ZUM Projektwiki - Benutzerbeiträge [de]

Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion

2024-02-10T11:48:04Z

Neukirch: Fehler korrigiert

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}
 

==5 Sinusfunktion und Kosinusfunktion==

Die Zuordnung der Sinuswerte zu einem Winkel ist eindeutig, d.h. es handelt sich um eine Funktion, die Sinusfunktion. 
Auf dieser Seite lernst du die verschiedenen Darstellungen (Text, Wertetabelle, Gleichung und Graph) zur Sinusfunktion kennen. Auch die Sinusfunktion enthält die Parameter a, b, c und d und du erforscht deren Bedeutung. 
Erinnerst du dich an die Bedeutung der Parameter m und b bei den linearen Funktionen f(x) = mx + b bzw. an die Bedeutung von a, d und e bei den quadratischen Funktionen f(x) = a(x + d)² + e? 
Ebenso erforscht du die Sinusfunktion.

===5.1 Der Einheitskreis===
Der Einheitskreis ist ein besonderer Kreis: Sein Mittelpunkt liegt im Ursprung M(0|0) und sein Radius beträgt r = 1 LE (Längeneinheit). 
Auf den Kreisrand liegen also alle Punkte, die vom Ursprung den Abstand 1 haben. 
[[Datei:Einheitskreis.png|rahmenlos|300x300px]] 

Am Einheitskreis lassen sich die Streckenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tangens gut verdeutlichen: 
{{Box|Sinus und Kosinus am Einheitskreis|Erkläre, wie Sinus und Kosinus am Einheitskreis dargestellt sind und welche Bedeutung sie für den Punkt P haben. 
[[Datei:Sinus und Kosinus am Einheitskreis.png|rahmenlos|500x500px]]|Meinung}}
Originallink https://www.geogebra.org/m/p2hcjn3f
<ggb_applet id="p2hcjn3f" width="811" height="716" border="888888" />
Applet von Buß-Haskert 

===5.2 Sinusfunktion und Kosinusfunktion===

{{Box|Sinus und Kosinus am Riesenrad|Die Gondel eines Riesenrades bewegt sich gegen den Uhrzeigersinn im Kreis.
*Starte im GeoGebra-Applet die Gondel. 
* Beobachte die Bewegung der Gondel mit dem Buchstaben A. Wann bewegt sie sich aufwärts, wann abwärts, wann nach links und wann nach rechts? Beschreibe.
* Das Riesenrad in der Animation benötigt für eine Umdrehung ca. 10 Sekunden. Wo befindet sich die Gondel nach 2,5 Sekunden, wo nach 5 Sekunden usw.?
* Setze das Häkchen bei "Situation im Koordinatensystem betrachten" und starte das Riesenrad.
* Wie entsteht die gezeichnete Kurve? Diskutiere mit deinem Partner/deiner Partnerin.|Meinung}}
<ggb_applet id="da526zbr" width="654" height="323" border="888888" />
Applet von Reinhard Schmidt Originallink https://www.geogebra.org/m/tjt2hhs2 
 

Stellst du dir den Punkt P des Einheitskreises als eine Gondel an einem Riesenrad vor und trägst die Höhe der Gondel zu einem bestimmten Zeitpunkt dar, ergibt sich der Graph der Sinusfunktion. 
<ggb_applet id="mzxhvtrh" width="1000" height="636" border="888888" />
Applet nach Matthias Heinitz Originallink https://www.geogebra.org/m/drb6q4ry

{{Box|1=Aufgabe1 |2=Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion f(α) = sin α. 
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} α
{{!}} 0°
{{!}} 30°
{{!}} 60°
{{!}} 90°
{{!}} ...
{{!-}}
{{!}} sin α
{{!}} 0
{{!}} 0,5
{{!}} 0,87
{{!}} 1
{{!}} ...
{{!)}}
 
Zeichne die Sinusfunktion in dein Heft. Wähle als Einteilung für die x-Achse 1cm für 30° und auf der y-Achse 2 cm bis zur 1. 
[[Datei:Sinusfunktion (Einheit 2cm).png|rahmenlos|500x500px]]|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Kosinusfunktion|Betrachte das Applet unten und erkläre, wie der Graph der Kosinusfunktion entsteht. Setze dazu das Häkchen bei "Kosinusfunktion". Diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner. 
Zeichne anschließend den Graphen der Kosinusfunktion.|Meinung}}
<ggb_applet id="upf2ncng" width="1250" height="504" border="888888" />
Applet von Buß-Haskert (nach chje)
Originallink: https://www.geogebra.org/m/stgatxum

===5.3 Die allgemeine Sinusfunktion: Bedeutung der Parameter für den Verlauf des Graphen===
Dieses Kapitel orientiert sich am Lernpfad "Trigonometrische Funktionen" von Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher. Er wurde erstellt unter der Lizenz CC BY SA (https://unterrichten.zum.de/wiki/Trigonometrische_Funktionen/Einfluss_der_Parameter). Herzlichen Dank! 

{{Box|1=Aufgabe 2|2=Untersuche den Einfluss der Parameter a, b, c und d auf den Verlauf des Graphen der Sinusfunktion. Erstelle dazu je ein Applet bei GeoGebra. 
* Zeichne dazu die Sinusfunktion f(x) = sin x
* Erstelle einen Schieberegler für den entsprechenden Parameter.
* Gib im Algebrafeld die neue Funktionsgleichung unter Angabe des Parameters an.
* Untersuche die Bedeutung des Parameters auf den Verlauf des Funktionsgraphen im Vergleich zur Funktion f(x) = sin x|3=Arbeitsmethode}}

<div class="grid">
<div class="width-1-4">
<div style="background-color:#ffff00"> Einfluss von <math>a</math> </div>

Untersuche den Einfluss von

:<math>a </math>

auf die Graphen der Funktionen

:f(x) = a·sin x

</div>
<div class="width-1-4">
<div style="background-color:#ffff00"> Einfluss von <math>b</math> </div>

Untersuche den Einfluss von

:<math>b</math>

auf die Graphen der Funktionen

:f(x) = sin ( b · x )

</div>
<div class="width-1-4"><div style="background-color:#ffff00"> Einfluss von <math>c</math> </div>

Untersuche den Einfluss von

:<math>c</math>

auf die Graphen der Funktionen

:f(x) = sin ( x + c )

</div>
<div class="width-1-4"><div style="background-color:#ffff00"> Einfluss von <math>d</math> </div>

Untersuche den Einfluss von

:<math>d</math>

auf die Graphen der Funktionen

: f(x) = sin x + d

</div>
</div>
 
 
Alternativ kannst du den Lernpfad weiter durcharbeiten, dort sind jeweils die Applets gegeben und die Beobachtungen in den Lösungen notiert.

====Die Bedeutung des Parameters a in f(x) = a·sin x ====
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> a </math> in

:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math>.

{{Box|1=Die Bedeutung von a in f(x) = a · sin x|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="yye6hqbw" /> 
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> a </math> ändern. 
# Stelle den Schieberegler auf <math> a = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? 
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> a = 3 </math> und <math> a = -1 </math> sowie <math> a = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. 
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merke|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>y</math>-Achse. Genauer:
* Ist der Betrag von <math>a</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> a </math> gestreckt.
* Ist der Betrag von <math>a</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> a </math> gestaucht.
* Falls <math> a </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>x</math>-Achse gespiegelt.
Der Betrag von <math> a </math> wird auch als Amplitude bezeichnet.|3=Merksatz}}
BILDER ERGÄNZEN?
}}

====Die Bedeutung der Parameters b in f(x) = sin ( b · x ) ====
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> b </math> in

:<math> x \rightarrow \sin ( b \cdot x ) </math>.

{{Box|1=Der Parameter b in f(x) = sin (b·x)|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="e7wkrhyj" /> 

# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> b </math> ändern. 
# Stelle den Schieberegler auf <math> b = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? 
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> b = 3 </math> und <math> b = -1 </math> sowie <math> b = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. 
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. 
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merke|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>x</math>-Achse. Genauer:
* Ist der Betrag von <math>b</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestaucht.
* Ist der Betrag von <math>b</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestreckt.
* Falls <math> b </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>y</math>-Achse gespiegelt.
Die Periode der Funktion ist <math>\frac{2\pi}{|b|}</math>.

D.h., wenn man z.B. <math>b </math> verdoppelt, so halbiert sich die Periode. |3=Merksatz}}
}}

====Die Bedeutung des Parameters c in f(x) = sin ( x + c ) ====
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> c </math> in

:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>.

{{Box|1=Der Parameter c in f(x) = sin (x + c)|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="ypthxjcu" /> 

# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> c </math> ändern. 
# Stelle den Schieberegler auf <math> c = 1 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? 
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> c = 2 </math> und <math> c = -1 </math>, sowie <math> c = 0,5 </math> und <math> c = \frac{\pi}{2} </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. 
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. 
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merke|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der <math>x</math>-Achse. Genauer:
* Ist <math>c</math> positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> c </math> nach links verschoben.
* Ist <math>c</math> negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> c </math> nach rechts verschoben.
<math>c</math> wird auch als Phasenverschiebung bezeichnet.|3=Merksatz}}

}}

====Die Bedeutung des Parameters d in f(x) = sin x + d ====
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> d </math> in

:<math> x \rightarrow \sin x + d </math>.

{{Box|1=Der Parameter d in f(x) = sin x + d|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="jr7hupnz" /> 

# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> d </math> ändern. 
# Stelle den Schieberegler auf <math> d = 1 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? 
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> d = 2 </math> und <math> d = -1 </math> sowie <math> d = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. 
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. 
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merek|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow \sin x + d </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der <math>y</math>-Achse. Genauer:
* Ist <math>d</math> positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> d </math> nach oben verschoben.
* Ist <math>d</math> negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> d </math> nach unten verschoben.|3=Merksatz}}
}}

----

'''Jetzt noch was zum Knobeln!!!'''

{{Box|1= Zusatz 1|2=
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen <math>\,\!x \rightarrow \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)</math> und <math>\,\!x \rightarrow \cos(x)</math> in dein Heft oder mit Hilfe von diesem [http://www.gymnasium-walldorf.de/mathematik/trigo_otto/trigo.html Applet] und betrachte sie! Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Überlege dir zunächst die Lage der Nullstellen und die Größe der Amplitude!|Tipp zum Zeichnen ins Heft|Tipp ausblenden}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1=
Ja genau, die Graphen der beiden angegebenen Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:
{{Box|1=Merke|2=
 Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion, indem man z.B. den Graphen der Sinusfunktion um <math>\frac{\pi}{2}</math> nach links verschiebt.
Deshalb verhält sich die allgemeine Kosinusfunktion bei Variation ihrer Parameter genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.|3=Merksatz}}
|2=Lösung zu Zusatz 1|3=Ausblenden}}

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

{{Box|1= Merke|2=
Die allgemeine Sinusfunktion lautet

: '''<math> x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d </math>''' .

Entsprechend lautet die allgemeine Kosinusfunktion

: '''<math> x \rightarrow a\cdot \cos \Big( b\cdot (x + c) \Big) + d </math>''' .

Dabei sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  '''<math>\ a,b,c,d \in \R </math>'''  und  '''<math>a,b\neq 0</math>''' .|3=Merksatz}}

{{Box|1=Zusatz 2|2=
Bringe den Smily zum Lachen! Variiere dazu die verschiedenen Parameter der allgemeinen Sinusfunktion und beobachte die Auswirkungen auf den Graphen.

<center>
<ggb_applet width="690" height="517" version="4.2" id="dtyeqjsn" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
</center>|3=Arbeitsmethode}}

Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion

2024-02-10T11:43:07Z

Neukirch: Rechtschreibfehler korrigiert

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}
 

==5 Sinusfunktion und Kosinusfunktion==

Die Zuordnung der Sinuswerte zu einem Winkel ist eindeutig, d.h. es handelt sich um eine Funktion, die Sinusfunktion. 
Auf dieser Seite lernst du die verschiedenen Darstellungen (Text, Wertetabelle, Gleichung und Graph) zur Sinusfunktion kennen. Auch die Sinusfunktion enthält die Parameter a, b, c und d und du erforscht deren Bedeutung. 
Erinnerst du dich an die Bedeutung der Parameter m und b bei den linearen Funktionen f(x) = mx + b bzw. an die Bedeutung von a, d und e bei den quadratischen Funktionen f(x) = a(x + d)² + e? 
Ebenso erforscht du die Sinusfunktion.

===5.1 Der Einheitskreis===
Der Einheitskreis ist ein besonderer Kreis: Sein Mittelpunkt liegt im Ursprung M(0|0) und sein Radius beträgt r = 1 LE (Längeneinheit). 
Auf den Kreisrand liegen also alle Punkte, die vom Ursprung den Abstand 1 haben. 
[[Datei:Einheitskreis.png|rahmenlos|300x300px]] 

Am Einheitskreis lassen sich die Streckenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tangens gut verdeutlichen: 
{{Box|Sinus und Kosinus am Einheitskreis|Erkläre, wie Sinus und Kosinus am Einheitskreis dargestellt sind und welche Bedeutung sie für den Punkt P haben. 
[[Datei:Sinus und Kosinus am Einheitskreis.png|rahmenlos|500x500px]]|Meinung}}
Originallink https://www.geogebra.org/m/p2hcjn3f
<ggb_applet id="p2hcjn3f" width="811" height="716" border="888888" />
Applet von Buß-Haskert 

===5.2 Sinusfunktion und Kosinusfunktion===

{{Box|Sinus und Kosinus am Riesenrad|Die Gondel eines Riesenrades bewegt sich gegen den Uhrzeigersinn im Kreis.
*Starte im GeoGebra-Applet die Gondel. 
* Beobachte die Bewegung der Gondel mit dem Buchstaben A. Wann bewegt sie sich aufwärts, wann abwärts, wann nach links und wann nach rechts? Beschreibe.
* Das Riesenrad in der Animation benötigt für eine Umdrehung ca. 10 Sekunden. Wo befindet sich die Gondel nach 2,5 Sekunden, wo nach 5 Sekunden usw.?
* Setze das Häkchen bei "Situation im Koordinatensystem betrachten" und starte das Riesenrad.
* Wie entsteht die gezeichnete Kurve? Diskutiere mit deinem Partner/deiner Partnerin.|Meinung}}
<ggb_applet id="da526zbr" width="654" height="323" border="888888" />
Applet von Reinhard Schmidt Originallink https://www.geogebra.org/m/tjt2hhs2 
 

Stellst du dir den Punkt P des Einheitskreises als eine Gondel an einem Riesenrad vor und trägst die Höhe der Gondel zu einem bestimmten Zeitpunkt dar, ergibt sich der Graph der Sinusfunktion. 
<ggb_applet id="mzxhvtrh" width="1000" height="636" border="888888" />
Applet nach Matthias Heinitz Originallink https://www.geogebra.org/m/drb6q4ry

{{Box|1=Aufgabe1 |2=Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion f(α) = sin α. 
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} α
{{!}} 0°
{{!}} 30°
{{!}} 60°
{{!}} 90°
{{!}} ...
{{!-}}
{{!}} sin α
{{!}} 0
{{!}} 0,5
{{!}} 0,87
{{!}} 1
{{!}} ...
{{!)}}
 
Zeichne die Sinusfunktion in dein Heft. Wähle als Einteilung für die x-Achse 1cm für 30° und auf der y-Achse 2 cm bis zur 1. 
[[Datei:Sinusfunktion (Einheit 2cm).png|rahmenlos|500x500px]]|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Kosinusfunktion|Betrachte das Applet unten und erkläre, wie der Graph der Kosinusfunktion entsteht. Setze dazu das Häkchen bei "Kosinusfunktion". Diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner. 
Zeichne anschließend den Graphen der Kosinusfunktion.|Meinung}}
<ggb_applet id="upf2ncng" width="1250" height="504" border="888888" />
Applet von Buß-Haskert (nach chje)
Originallink: https://www.geogebra.org/m/stgatxum

===5.3 Die allgemeinen Sinusfunktion: Bedeutung der Parameter für den Verlauf des Graphen===
Dieses Kapitel orientiert sich am Lernpfad "Trigonometrische Funktionen" von Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher. Er wurde erstellt unter der Lizenz CC BY SA (https://unterrichten.zum.de/wiki/Trigonometrische_Funktionen/Einfluss_der_Parameter). Herzlichen Dank! 

{{Box|1=Aufgabe 2|2=Untersuche den Einfluss der Parameter a, b, c und d auf den Verlauf des Graphen der Sinusfunktion. Erstelle dazu je ein Applet bei GeoGebra. 
* Zeichne dazu die Sinusfunktion f(x) = sin x
* Erstelle einen Schieberegler für den entsprechenden Parameter.
* Gib im Algebrafeld die neue Funktionsgleichung unter Angabe des Parameters an.
* Untersuche die Bedeutung des Parameters auf den Verlauf des Funktionsgraphen im Vergleich zur Funktion f(x) = sin x|3=Arbeitsmethode}}

<div class="grid">
<div class="width-1-4">
<div style="background-color:#ffff00"> Einfluss von <math>a</math> </div>

Untersuche den Einfluss von

:<math>a </math>

auf die Graphen der Funktionen

:f(x) = a·sin x

</div>
<div class="width-1-4">
<div style="background-color:#ffff00"> Einfluss von <math>b</math> </div>

Untersuche den Einfluss von

:<math>b</math>

auf die Graphen der Funktionen

:f(x) = sin ( b · x )

</div>
<div class="width-1-4"><div style="background-color:#ffff00"> Einfluss von <math>c</math> </div>

Untersuche den Einfluss von

:<math>c</math>

auf die Graphen der Funktionen

:f(x) = sin ( x + c )

</div>
<div class="width-1-4"><div style="background-color:#ffff00"> Einfluss von <math>d</math> </div>

Untersuche den Einfluss von

:<math>d</math>

auf die Graphen der Funktionen

: f(x) = sin x + d

</div>
</div>
 
 
Alternativ kannst du den Lernpfad weiter durcharbeiten, dort sind jeweils die Applets gegeben und die Beobachtungen in den Lösungen notiert.

====Die Bedeutung des Parameters a in f(x) = a·sin x ====
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> a </math> in

:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math>.

{{Box|1=Die Bedeutung von a in f(x) = a · sin x|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="yye6hqbw" /> 
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> a </math> ändern. 
# Stelle den Schieberegler auf <math> a = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? 
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> a = 3 </math> und <math> a = -1 </math> sowie <math> a = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. 
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen.|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merke|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>y</math>-Achse. Genauer:
* Ist der Betrag von <math>a</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> a </math> gestreckt.
* Ist der Betrag von <math>a</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> a </math> gestaucht.
* Falls <math> a </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>x</math>-Achse gespiegelt.
Der Betrag von <math> a </math> wird auch als Amplitude bezeichnet.|3=Merksatz}}
BILDER ERGÄNZEN?
}}

====Die Bedeutung der Parameters b in f(x) = sin ( b · x ) ====
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> b </math> in

:<math> x \rightarrow \sin ( b \cdot x ) </math>.

{{Box|1=Der Parameter b in f(x) = sin (b·x)|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="e7wkrhyj" /> 

# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> b </math> ändern. 
# Stelle den Schieberegler auf <math> b = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? 
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> b = 3 </math> und <math> b = -1 </math> sowie <math> b = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. 
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. 
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merke|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>x</math>-Achse. Genauer:
* Ist der Betrag von <math>b</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestaucht.
* Ist der Betrag von <math>b</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestreckt.
* Falls <math> b </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>y</math>-Achse gespiegelt.
Die Periode der Funktion ist <math>\frac{2\pi}{|b|}</math>.

D.h., wenn man z.B. <math>b </math> verdoppelt, so halbiert sich die Periode. |3=Merksatz}}
}}

====Die Bedeutung des Parameters c in f(x) = sin ( x + c ) ====
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> c </math> in

:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>.

{{Box|1=Der Parameter c in f(x) = sin (x + c)|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="ypthxjcu" /> 

# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> c </math> ändern. 
# Stelle den Schieberegler auf <math> c = 1 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? 
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> c = 2 </math> und <math> c = -1 </math>, sowie <math> c = 0,5 </math> und <math> c = \frac{\pi}{2} </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. 
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. 
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merke|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der <math>x</math>-Achse. Genauer:
* Ist <math>c</math> positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> c </math> nach links verschoben.
* Ist <math>c</math> negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> c </math> nach rechts verschoben.
<math>c</math> wird auch als Phasenverschiebung bezeichnet.|3=Merksatz}}

}}

====Die Bedeutung des Parameters d in f(x) = sin x + d ====
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> d </math> in

:<math> x \rightarrow \sin x + d </math>.

{{Box|1=Der Parameter d in f(x) = sin x + d|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="jr7hupnz" /> 

# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> d </math> ändern. 
# Stelle den Schieberegler auf <math> d = 1 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? 
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> d = 2 </math> und <math> d = -1 </math> sowie <math> d = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. 
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. 
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merek|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow \sin x + d </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der <math>y</math>-Achse. Genauer:
* Ist <math>d</math> positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> d </math> nach oben verschoben.
* Ist <math>d</math> negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> d </math> nach unten verschoben.|3=Merksatz}}
}}

----

'''Jetzt noch was zum Knobeln!!!'''

{{Box|1= Zusatz 1|2=
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen <math>\,\!x \rightarrow \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)</math> und <math>\,\!x \rightarrow \cos(x)</math> in dein Heft oder mit Hilfe von diesem [http://www.gymnasium-walldorf.de/mathematik/trigo_otto/trigo.html Applet] und betrachte sie! Was fällt dir auf?
{{Lösung versteckt|Überlege dir zunächst die Lage der Nullstellen und die Größe der Amplitude!|Tipp zum Zeichnen ins Heft|Tipp ausblenden}}
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1=
Ja genau, die Graphen der beiden angegebenen Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:
{{Box|1=Merke|2=
 Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion, indem man z.B. den Graphen der Sinusfunktion um <math>\frac{\pi}{2}</math> nach links verschiebt.
Deshalb verhält sich die allgemeine Kosinusfunktion bei Variation ihrer Parameter genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.|3=Merksatz}}
|2=Lösung zu Zusatz 1|3=Ausblenden}}

Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.

{{Box|1= Merke|2=
Die allgemeine Sinusfunktion lautet

: '''<math> x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d </math>''' .

Entsprechend lautet die allgemeine Kosinusfunktion

: '''<math> x \rightarrow a\cdot \cos \Big( b\cdot (x + c) \Big) + d </math>''' .

Dabei sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt  '''<math>\ a,b,c,d \in \R </math>'''  und  '''<math>a,b\neq 0</math>''' .|3=Merksatz}}

{{Box|1=Zusatz 2|2=
Bringe den Smily zum Lachen! Variiere dazu die verschiedenen Parameter der allgemeinen Sinusfunktion und beobachte die Auswirkungen auf den Graphen.

<center>
<ggb_applet width="690" height="517" version="4.2" id="dtyeqjsn" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
</center>|3=Arbeitsmethode}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Ordnen

2024-02-07T18:41:21Z

Neukirch:

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} 
{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche|0 Vorwissen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Brüche|1 Brüche und gemischte Zahlen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Zahlenstrahl|2 Brüche am Zahlenstrahl]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Erweitern und Kürzen|3 Brüche erweitern und kürzen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Ordnen|4 Brüche vergleichen und ordnen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Prozent|5 Brüche und Prozent]]}} 

==4 Brüche ordnen und vergleichen==

{{Box|1=Einstiegsaufgabe - Wer bekommt mehr Schokolade?|2=Du darfst in jedem Bild wählen, welchen Rest der Scholokadentafeln du jeweils wählst. Begründe deine Entscheidung! 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">Beispiel 1</div>
<div class="width-1-3">Beispiel 2</div>
<div class="width-1-3">Beispiel 3</div>

</div>
[[Datei:Schokolade Brüche vergleichen.png|rahmenlos|800x800px]]
Notiere die Anteile der Schokolade als Brüche in deinem Heft und notiere die passenden Relationszeichen "<, > oder =".|3=Frage}}
<div class="grid">
<div class="width-1-3">
{{Lösung versteckt|Der erste Anteil beträgt <math>\tfrac{2}{5}</math>, der zweite <math>\tfrac{2}{6}</math>. 
<math>\tfrac{2}{5}</math> sind mehr als <math>\tfrac{2}{6}</math>, da das Ganze nur in 5 gleich große Stücke geteilt wird und du davon 2 erhältst. Teilst du das Ganze in 6 gleich große Teile, sind diese Teile natürlich kleiner und wenn du dann 2 davon bekommst, ist dies weniger.|Tipp 1 zu Beispiel 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Brüche <math>\tfrac{2}{5}</math> und <math>\tfrac{2}{6}</math> haben '''gleiche Zähler'''. 
Dann ist der Bruch der '''größere''', der den '''kleineren Nenner''' hat, denn hier sind die einzelnen Teile größer.
<math>\tfrac{2}{5}</math> <math>></math> <math>\tfrac{2}{6}</math>|2=Tipp 2 zu Beispiel 1|3=Verbergen}}</div>
<div class="width-1-3">{{Lösung versteckt|Der erste Anteil beträgt <math>\tfrac{3}{6}</math>, der zweite <math>\tfrac{4}{6}</math>. 
<math>\tfrac{4}{6}</math> sind mehr als <math>\tfrac{3}{6}</math>, da das Ganze jeweils in 6 gleich große Teile geteilt wird und du davon 4 erhältst anstatt nur 3.|Tipp 1 zu Beispiel 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Brüche <math>\tfrac{4}{6}</math> und <math>\tfrac{3}{6}</math> haben '''gleiche Nenner'''. 
Dann ist der Bruch '''größer''', der den '''größeren Zähler''' hat, denn hier erhältst du mehr Teile. 
<math>\tfrac{4}{6}</math> <math>></math> <math>\tfrac{3}{6}</math>|2=Tipp 2 zu Beispiel 2|3=Lösung versteckt}}</div>
<div class="width-1-3">{{Lösung versteckt|Brich die Schokoladenreste jeweils in einzelne Stückchen (wie es vorgesehen ist). 
[[Datei:Schokolade Brüche vergleichen Beispiel 3 erweitert.png|rahmenlos]] Kannst du nun die Anteile vergleichen?|Tipp 1 zu Beispiel 3|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Brüche <math>\tfrac{4}{6}</math> und <math>\tfrac{3}{4}</math> haben weder gleiche Zähler noch gleiche Nenner. Das Zerteilen der Riegel in Stücke bedeutet mathematisch, die Brüche zu erweitern (verfeinern). 
<math>\tfrac{4}{6}</math> = <math>\tfrac{16}{24}</math> und <math>\tfrac{3}{4}</math>und <math>\tfrac{18}{24}</math> 
Nun haben beide Brüche denselben Nenner, du kannst vergleichen wie in Beispiel 2. 
<math>\tfrac{16}{24}</math><math>></math><math>\tfrac{18}{24}</math>, also 
<math>\tfrac{4}{6}</math><math>></math><math>\tfrac{3}{4}</math>|2=Tipp 2 zu Beispiel 3|3=Verbergen}}
</div>
</div>

{{Box|1=Erarbeitung 1 (im online-Brüche-Buch)|2=Bearbeite die Aufgaben aus dem online-Brüche-Buch. https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/60 
* [https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/60 Vergleiche Brüche mit gleichem Zähler.] Bearbeite die Aufgaben 80 und 81 und lies den Merksatz auf S. 62.
* [https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/63 Vergleiche Brüche mit gleichem Nenner (gleichnamige Brüche)] Bearbeite die Aufgaben die Aufgaben 83 und 84.
|3=Üben}}

{{Box|Merke 1|[[Datei:Brüche vergleichen Tafelbild 1.jpg|rahmenlos|900x900px]]|Merksatz}}
{{LearningApp|app=p4ekhj56a19|width=100%|height=300px}}
{{LearningApp|app=p1fswv95k19|width=100%|height=300px}}
{{LearningApp|app=p8po0kh7j19|width=100%|height=300px}}

{{Box|1=Erarbeitung 2 (im online-Brüche-Buch)|2=Bearbeite die Aufgaben aus dem online-Brüche-Buch. https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/56 
* [https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/56 Mehr oder weniger als 1 Ganzes?] Bearbeite Aufgabe 74, 75 und 76.
* [https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/58 Mehr oder weniger als die Hälfte?] Bearbeite die Aufgaben 77, 78 und 79
|3=Üben}}
{{Box|Merke 2|[[Datei:Brüche vergleichen Tafelbild 2.jpg|rahmenlos|724x724px]]|Merksatz}}

{{Box|1=Erarbeitung 3 (im online-Brüche-Buch)|2=Bearbeite die Aufgaben aus dem online-Brüche-Buch. https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/64 
* [https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/64 Vergleiche ungleichnamige Brüche.] Bearbeite die Aufgaben 85 bis 90.
|3=Üben}}

{{Box|Merke 3|[[Datei:Brüche vergleichen Tafelbild 3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Merksatz}}
{{LearningApp|app=pzx355kwk19|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=pe4pei2wk19|width=100%|heigth=600px}}
 
{{LearningApp|app=p3anjsroc19|width=100%|height=600px}} 

{{Box|Übung 1|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Welche Strategie wählst du für den Größenvergleich. Schreibe deine Idee zur Aufgabe ins Heft.
* S. 46 Nr. 1
* S. 46 Nr. 2
* S. 46 Nr. 3
* S. 46 Nr. 5|Üben}}
{{Lösung versteckt|Die Brüche in Aufgabenteil a) und b) sind gleichnamig, vergleiche also die Zähler. 
Im Aufgabenteil c) nutze den Vergleich mit der Hälfte, den Vergleich der Zähler und den Vergleich der Nenner. Alternativ kannst du alle Brüche auf den Nenner 8 erweitern.|Tipp zur Nr. 1}}
{{Lösung versteckt|Denke bei Aufgabe 2a an echte und unechte Brüche. Echte Brüche sind kleiner als 1, unechte größer. Bei 2b musst du schauen, ob der Zähler, weniger als die Hälfte des Nenners hat, dann ist der Bruch kleiner als <math>\frac{1}{2}</math>, ist der Zähler genau die Hälfte des Nenners ist es genau <math>\frac{1}{2}</math> und ist der Zähler größer als die Hälfte des Nenners, ist der Bruch größer als <math>\frac{1}{2}</math>. Bei 2c musst du nur die Brüche finden, deren Zähler größer als die Hälfte des Nenners sind.|Tipp zu Nr. 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Suche immer den gemeinsamen Nenner und erweitere oben (Zähler) mit derselben Zahl wie unten (Nenner).|Tipp zu Nr. 5|Verbergen}}

Wenn ihr Probleme bei der Bearbeitung habt, schaut euch nochmal das folgende Video an.

{{#ev:youtube|4jMg_j6y6do|800|center}}

{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Welche Strategie wählst du für den Größenvergleich. Schreibe deine Idee zur Aufgabe ins Heft.
* S. 46 Nr. 7
* S. 46 Nr. 8
* S. 46 Nr. 9|Üben}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche die Brüche zunächst mit einem Ganzen, danach mit der Hälfte. Lies noch einmal im Merkkasten 2.|Tipp zu Nr. 7|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schau noch einmal den Merkkasten 1 an. Dann fällt dir die Lösung der Aufgabe leicht.|Tipp zu Nr. 8|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Mache die Brüche gleichnamig. Lies noch einmal Merkkasten 3. 
a) Der Hauptnenner ist 24. 
b) Der Hauptnenner ist 36. 
c) Der Hauptnenner ist 72. 
d) Der Hauptnenner ist 144.|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=5 Brüche und Prozent|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Prozent}}

Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens

2024-02-02T19:31:11Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie|Startseite (Vorwissen)]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinus,Kosinus,Tangens|1) Sinus, Kosinus, Tangens]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|2) Strecken- und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in allgemeinen Dreiecken|3) Berechnungen in allgemeinen Dreiecken]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in beliebigen Figuren|4) Berechnungen in beliebigen Figuren]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion|5) Sinusfunktion und Kosinusfunktion]]}}
 

==1) Sinus, Kosinus, Tangens - Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken==
 

===1.1 Entdecken: Steigung einer Straße===
Der Einstieg ist angelehnt an das Material des Landesbildungsservers BW https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/geometrie/trig/trigors/lernumgebung/index.html Es wurde unter der Lizenz CC BY veröffentlicht.
 
[[Datei:Steigung 12%.png|rahmenlos]] 
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Steigung einer Straße anzugeben: 
'''1. Angabe in Prozent'''
Das Verkehrsschild gibt die Steigung einer Straße in Prozent an. 
a) Was bedeutet die Angabe von 12% Steigung? Erkläre!
{{Lösung versteckt|Verwende die Begriffe Höhenunterschied und Horziontalunterschied|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Höhenunterschied Horizontalunterschied.png|rahmenlos]]|Tipp 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Steigung 12% Dreieck.png|rahmenlos|500px]] Steigung p% = <math>\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> = <math>\frac{12}{100}</math>=12%|2=Tipp 3|3=Verbergen}}

b) Gibt es eine Steigung, die größer als 100% ist?
{{Lösung versteckt|Die Steigung 100% bedeutet 100m Höhenunterschied auf 100m Horizontalunterschied: 
[[Datei:100% Steigung.png|rahmenlos|500px]]|Tipp|Verbergen}}
 
'''2. Angabe mithilfe des Steigungsdreiecks und m''' 
Die Steigung einer Geraden f(x) = mx + b gibt der Faktor m an. Dazu zeichnest du das Steigungsdreieck. 
[[Datei:Steigungsdreieck 12%.png|rahmenlos|600px]] 

m = <math>\tfrac{12}{100}</math> = 0,12 
'''3. Angabe mithilfe des Steigungswinkels α'''
[[Datei:Steigungswinkel.png|rahmenlos|600px]] 

Das nachfolgende Applet zeigt diese drei Möglichkeiten noch einmal. Verändere die Steigung mithilfe des Schiebereglers und beobachte, was passiert. 
Orinigallink: https://www.geogebra.org/m/mSrdeKv9
<ggb_applet id="mSrdeKv9" width="520" height="400" border="888888" /> 
Applet von holo2012 

Versuche herauszufinden, welcher Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten besteht.

1. Verändere die Höhe und beobachte die anderen Angaben zur Steigung.

2. Aktiviere das Kontrollkästchen "Steigung eines beliebigen Punktes auf der Straße" und verschiebe den Punkt P entlang der Straße.

Ergebnis: In den ähnlichen (rechtwinkligen) Dreiecken gilt: 

[[Datei:Ähnliche Dreiecke.png|rahmenlos]] 

Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α. 
 
{{Box|Entdecken: Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken|Bearbeite die Aufgaben mithilfe des nachfolgenden Applets.
* Verändere durch Verschieben des Punktes C die Längen der Dreiecksseiten. Der Winkel soll gleich bleiben. Was stellst du für die Seitenverhältnisse <math>\tfrac{a}{c}; \tfrac{b}{c} und \tfrac{a}{b}</math> fest? Notiere im Heft.
* Verändere nun mithilfe des Schiebereglers die Größe des Winkels α. Welche Veränderungen ergeben sich bei den Dreiecksseiten und den Seitenverhältnissen? Notiere im Heft.|Arbeitsmethode}} 
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/nnmx7cpz
<ggb_applet id="nnmx7cpz" width="986" height="620" border="888888" />
Applet von C. Buß-Haskert
 
{{Lösung versteckt|1=Auch das folgende Applet zeigt die obigen Beobachtungen noch einmal.
Bewege die Punkte B1, B2 und C1 und beobachte die Seitenverhältnisse. 
Originallink: https://www.geogebra.org/m/zanbxdhr
<ggb_applet id="zanbxdhr" width="1692" height="824" border="888888" />|2=weiteres Applet zu den Seitenverhätnissen|3=Verbergen}}
 
===1.2 Definition: Sinus, Kosinus und Tangens: Streckenverhältinisse in rechwinkligen Dreiecken===
{{Box|Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken|In ähnlichen '''rechtwinkligen''' Dreiecken gilt: 
Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α. 
Diesen Zusammenhang zwischen Winkelgröße und Seitenlängen '''im rechtwinkligen Dreieck''' beschreiben die Winkelfunktionen '''Sinus''', '''Kosinus''' und '''Tangens'''.|Merksatz}}
In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Katheten bezogen auf den Winkel (z.B. <math>\alpha</math>) mit besonderen Namen: 
[[Datei:Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck.png|rahmenlos|600x600px]]
 
{{LearningApp|app=py8i8j00323|width=100%|height=800px}}
 
Wähle aus, welche Seite markiert werden soll. Präge dir die Namen und die besondere Lage der Seiten zum jeweiligen Winkel ein. 
Originallink: https://www.geogebra.org/m/zrrpdt9b
<ggb_applet id="arvwre7z" width="700" height="400" border="888888" />Applet von T. Traub

 
{{Box|1=Sinus, Kosinus, Tangens|2=In einem rechtwinkligen Dreieck (mit <math>\gamma</math>=90°) bezeichnet man die Seitenverhältnisse wie folgt:
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Sinus anschaulich.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Kosinus anschaulich.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Tangens anschaulich.png|rahmenlos]]</div>
</div>|3=Merksatz}}
 

Es gibt eine Eselsbrücke, mit der du dir die Streckenverhältnisse merken kannst:
[[Datei:Hen-3163515 1280.png|rechts|rahmenlos|150px]] Die '''<big>GAGA- Hühnerhof AG</big>''':
G steht dabei für die '''G'''egenkathete, A für die '''A'''nkathete und H für die '''H'''ypotenuse im Dreiecks.
[[Datei:GAGA HH AG.png|rahmenlos|500px]]
 
 
===1.3 Übungen: Sinus, Kosinus und Tangens - Streckenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken===

{{Box|1=Übung 1|2={{LearningApp|app=p66g51opj21|width=100%|height=600px}}
Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 4
* 6
und auf der Seite realmath die folgenden Übungen
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.php Übung 1 (realmath)]
* [https://realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen3b.php Übung 2 (realmath)]|3=Üben}}

{{Box|Übung 2|Löse aus dem Buch
* S. 91 Nr. 5
* S. 91 Nr. 6
* S. 110 Nr. 3|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Diese Figur besteht aus drei rechtwinkligen Dreiecken: 
Dreieck ABC, Dreieck BCD und Dreieck ACD. 
Im Dreieck ABC ist die Seite c die Hypotenuse, im Dreieck BCD ist die Seite a die Hypotenuse und im Dreieck ACD ist die Seite b die Hypotenuse.|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Diese Figur besteht aus drei rechtwinkligen Dreiecken: 
Dreieck ABC, Dreieck ABD und Dreieck ADC. 
Die Hypotenuse im Dreieck ABC ist die Seite a, die Hypotenuse im Dreieck ABD ist die Seite c und die Hypotenuse im Dreieck ADC ist die Seite b.|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Lösungen zu den Aufgaben auf dieser Seite findest du hinten im Buch.|Lösungen zu Nr. 3|Verbergen}}
 
 
{{Box|Übung 3 (online)|Löse die nachfolgenden Übungen der Seite dwu - Unterrichtsmaterialien:
* [https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/depothp/hp-math/hpmwf01.htm '''Übung 1''']
* [https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/depothp/hp-math/hpmwf02.htm '''Übung 2''']
* [https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/depothp/hp-math/hpmwf03.htm '''Übung 3''']
* [https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/depothp/hp-math/hpmwf04.htm '''Übung 4''']
* [https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/depothp/hp-math/hpmwf05.htm '''Übung 5''']
* [https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/depothp/hp-math/hpmwf11.htm '''Übung 6''']
* [https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/depothp/hp-math/hpmwf12.htm '''Übung 7''']
* [https://dwu-unterrichtsmaterialien.de/depothp/hp-math/hpmwf13.htm '''Übung 8''']
|Üben}}
 
====Zwischentest 1: Streckenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken====
[[Datei:Dreieck unterteilt in Teildreiecke neu.png|rahmenlos|400x400px]]
<quiz display="simple">
{ Welche Aussagen sind richtig? Kreuze an.}
- sinα = <math>\tfrac{h}{c}</math>
+ sinα = <math>\tfrac{a}{c}</math>
+ cosα = <math>\tfrac{b}{c}</math>
- b·tanα = i

{ Ergänze zu einer wahren Aussage.
<math>\tfrac{q}{a}</math> = ...}
+ cosβ
- sinβ
- tanβ
- sinα

{ Ergänze zu einer wahren Aussage.
<math>\tfrac{b}{p+q}</math> = ...}
- sinα
+ cosα
+ sinβ
- cosβ

{ Ergänze zu einer wahren Aussage.
tanβ = ...}
+ <math>\tfrac{b}{a}</math>
- <math>\tfrac{a}{b}</math>
+ <math>\tfrac{h}{q}</math>
- <math>\tfrac{h}{a}</math>

</quiz>
 

===1.4 Werte von sin, cos, tan berechnen===
In den vorausgegangenen Übungen hast du jeweils die Seitenverhältnisse für Sinus, Kosinus und Tangens benannt.
Wenn du die Länge der Seiten kennst, kannst du den Wert dieser Seitenverhältnisse berechnen. 
Dieser hängt ab vom Winkel, wie oben erarbeitet. 
Schau dazu das folgende Video an: 
{{#ev:youtube|a9xVFmL13ww|800|center}}
 
{{Box|Übung 4|Löse wie im Video aus dem Buch. Notiere die Seitenverhältnisse als Bruch und runde anschließend auf zwei Nachkommastellen.
* S. 91 Nr. 1
* S. 91 Nr. 2|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=sin <math>\alpha</math> = <math>\tfrac{8}{17}</math> <math>\approx</math> 0,47 
cos<math>\alpha</math> = <math>\tfrac{15}{17}</math> <math>\approx</math> 0,88 
tan<math>\alpha</math> = <math>\tfrac{8}{15}</math> <math>\approx</math> 0,53 usw.|2=Tipp zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Es fällt auf, dass sin <math>\alpha</math> = cos<math>\beta</math> und sin <math>\beta</math> = cos<math>\alpha</math>|2=Tipp zu Nr. 2|3=Verbergen}}
 
{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 5
Was fällt dir auf? Kannst du deine Beobachtung begründen?|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|1=Es fällt auf, dass der Sinuswert eines Winkels zwischen 0° und 90° immer kleiner als 1 ist, denn 
die Katheten immer kürzer als die Hypotenuse sind, daher ist der Quotient aus <math>\tfrac{Gegenkathete}{Hypotenuse}</math> immer kleiner als 1.|2=Tipp|3=Verbergen}}
 
 
Die Werte der Seitenverhältnisse hängen ab vom Winkel. Ist in einem rechtwinkligen Dreieck (mit <math>\gamma</math>=90°) der Winkel <math>\alpha</math> = 10°, so ist das Seitenverhältnis sin <math>\alpha</math> = <math>\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}</math> immer gleich groß. Diesen Wert kannst du mit deinem Taschenrechner bestimmen. Die Bildreihenfolge zeigt dir, wie du z.B. den Sinuswert für den Winkel <math>\alpha</math> =38° mit bestimmst.
<div class="grid">
<div class="width-1-4">[[Datei:Taschenrechner Bild sin markiert.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Taschenrechner Bild 38 markiert.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Taschenrechner Bild Klammer markiert.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Taschenrechner Bild Gleichzeichen markiert.png|rahmenlos]]</div>
</div>
<div class="grid">
<div class="width-1-4">[[Datei:Taschenrechner sin(.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Taschenrechner sin(38.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Taschenrechner sin(38).png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-4">[[Datei:Taschenrechner sin(38) Wert.png|rahmenlos]]</div>
</div>

Du hast also sin 38° <math>\approx</math> 0,62 berechnet. Dies kannst du mit der Simulation auf der Seite Aufgabenfuchs oben oder mit der nachfolgenden überprüfen.
 
<ggb_applet id="whswnkvg" width="1532" height="909" border="888888" />
 

Ebenso berechnest du mit dem Taschenrechner die Werte für den Kosinus (mit der Taste "cos") und den Tangens (mit "tan").
 
 
Der Wert von Sinus, Kosinus und Tangens ist abhängig vom Winkel α. Jedem Sinuswert, Kosinuswert und Tangenswert ist ein Winkel zugeordnet. Den '''Winkel berechnest''' du mit der jeweiligen Umkehrfunktion '''sin-1, cos-1''' bzw. '''tan-1''' dem Taschenrechner, indem du die "SHIFT" Taste nutzt: 
<div class="grid">
<div class="width-1-5">[[Datei:Taschenrechner Bild shift markiert.png|rahmenlos|290x290px]]</div>
<div class="width-1-5">[[Datei:Taschenrechner Bild sin markiert rot.png|rahmenlos|290x290px]]</div>

</div>

 
{{Box|Übung 6- Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte berechnen|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/trigonometrie.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* Sinus: 9
* Kosinus: 18
* Tangens: 26|Üben}}

{{Box|Übung 7|Löse aus dem Buch
* S. 91 Nr. 3
* S. 91 Nr. 4 (hier mündlich mithilfe der Simulation unten)|Üben}}
<ggb_applet id="wqjqhqd7" width="1050" height="439" border="888888" />
Applet von Buß-Haskert
{{Lösung versteckt|1= Berechne β mithilfe der Winkelsumme im Dreieck. (β = 180° - 90° - 38° = ...) 
Prüfe deine Lösungen zu den Sinuswerten mithilfe der Simulation über Übung 5.|2=Tipp zu Nr. 3|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Sinuswerte und Kosinuswerte sind in umgekehrter Reihenfolge gleich. Es gilt sin α = cos (90° – α). 
Die Werte für tan α werden immer größer, je näher α dem Wert 90° ist.|2=Beobachtung zu Nr. 4|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=2) Strecken - und Winkelberechnungen in rechtwinkligen Dreiecken|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Erweitern und Kürzen

2024-01-31T19:15:22Z

Neukirch: falsche Zahl korrigiert

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} 
{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche|0 Vorwissen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Brüche|1 Brüche und gemischte Zahlen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Zahlenstrahl|2 Brüche am Zahlenstrahl]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Erweitern und Kürzen|3 Brüche erweitern und kürzen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Ordnen|4 Brüche vergleichen und ordnen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Prozent|5 Brüche und Prozent]]}} 
 

==3 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert - Brüche erweitern und kürzen==

{{Box|Einstieg-Brüche falten|Zeichne auf einem Blatt Papier ein Quadrat und schneide es aus. Markiere (Schraffiere) dann die Hälfte des Quadrates mit einer beliebigen Farbe. Besprich dich mit deinem Partner, wie ihr den entstandenen Bruch nun nennen würdet. Faltet das Quadrat nun weitere Male und besprecht, wie die entstandenen Brüche heißen.|Üben}}

{{Box|Übung 1 (im online-Brüche-Buch)|Lies dir die Seiten 30 - 34 im unten stehenden Link durch und bearbeite die entsprechenden Aufgaben 
https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/30
* Nr. 33 - 37|Üben}}

{{Box|1=Hefteintrag: Erweitern und Kürzen|2= 
Beim '''Erweitern''' eines Bruches werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Die Einteilung wird feiner. 

<big>      <math>\frac{3}{5}</math>          =        <math>\frac{3\cdot4}{5\cdot4}</math>        =        <math>\frac{12}{20}</math></big> 
[[Datei:Erweitert mit 4.png|rahmenlos|400x400px]][[Datei:Erweitert mit 4 Rechteck.jpg|rahmenlos]] 
Bruch und erweiterter Bruch haben denselben Wert. 
 

Beim '''Kürzen''' eines Bruches werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert. Die Einteilung wird gröber. 

<big>    <math>\frac{15}{20} </math>    =                <math>\frac{15:5}{20:5} </math>        =        <math>\frac{3}{4}</math> </big> 
[[Datei:Kürzen mit 5.png|rahmenlos|400x400px]][[Datei:Gekürzt mit 5 Rechteck.jpg|rahmenlos]] 

Bruch und gekürzter Bruch haben denselben Wert.|3=Arbeitsmethode}}
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|Q1RG-Z4jjRs|420|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|-6OW-XImBQI|420|center}}</div>
</div>

{{#ev:youtube|CEfYuAvUh9w|800|center}}

{{LearningApp|app=pdbonb5x522|width=100%|height=500px}}

{{Box|Übung 2|Kontrolliere mit der folgenden App, ob du die Grundlagen des Erweiterns und Kürzens verstanden hast. Spiele gegen deinen Partner. Wenn du keinen hast, spiele gegen den Computer. Mal sehen, wer das schnellere Pferd hat.
|Üben}}

{{LearningApp|app=pendivrwc20|width=80%|height=200px}}

{{Box|Übung 3|Festige dein Wissen, indem Du auf den untenstehenden Link klickst und die Aufgaben auf den Seiten 35 - 38 bearbeitest. 
https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/35
* Nr. 38 - 53|Üben}}

{{Box|Übung 4|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Lösungen übersichtlich im Heft.
* S. 43 Nr. 4c,d
* S. 43 Nr. 5|Üben}}
{{Lösung versteckt|Nr. 4 
c) <math>\frac{2}{100}</math>; <math>\frac{30}{100}</math>; <math>\frac{35}{100}</math>; <math>\frac{36}{100}</math>; <math>\frac{80}{100}</math>; <math>\frac{75}{100}</math>; <math>\frac{250}{100}</math> 

d) <math>\frac{6}{1000}</math>; <math>\frac{44}{1000}</math>; <math>\frac{64}{1000}</math>; <math>\frac{48}{1000}</math>; <math>\frac{45}{1000}</math> 

|Lösungen zu Nr. 4|Schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nr. 5 
a) <math>\frac{1}{2}</math> = <math>\frac{6}{12}</math> 

b) <math>\frac{4}{5}</math> = <math>\frac{32}{40}</math> 

c) <math>\frac{5}{9}</math> = <math>\frac{35}{63}</math> 

d) <math>\frac{3}{7}</math> = <math>\frac{18}{42}</math> 

e) <math>\frac{5}{9}</math> = <math>\frac{60}{108}</math> 

f) <math>\frac{8}{11}</math> = <math>\frac{88}{121}</math> 

g) <math>\frac{1}{3}</math> = <math>\frac{9}{27}</math> 

h) <math>\frac{2}{7}</math> = <math>\frac{16}{56}</math> 

i) <math>\frac{5}{8}</math> = <math>\frac{45}{72}</math> 

j) <math>\frac{7}{10}</math> = <math>\frac{91}{130}</math> 

k) <math>\frac{5}{12}</math> = <math>\frac{60}{144}</math> 

l) <math>\frac{9}{13}</math> = <math>\frac{99}{143}</math> 

|2=Lösungen zu Nr. 5|3=Schließen}}

{{Box|Übung 5 - Erweitere auf einen gemeinsamen Nenner|Arbeite zunächst im online-Brüche-Buch. Bearbeite anschließend die Aufgabe aus dem Buch.
* [https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/38 Aufgabe 50]
* S. 43 Nr. 6|Üben}}
{{Lösung versteckt|a) <math>\tfrac{1}{3}</math> und <math>\tfrac{1}{4}</math> Der (kleinste) gemeinsame Nenner ist 12. Erweitere! <math>\tfrac{4}{12}</math> und <math>\tfrac{3}{12}</math> 
b) <math>\tfrac{5}{6}</math> und <math>\tfrac{4}{9}</math> Der (kleinste) gemeinsame Nenner ist 18. Erweitere! <math>\tfrac{15}{18}</math> und <math>\tfrac{8}{18}</math> 
Löse die anderen Aufgaben ebenso.|Tipp zu Nr. 6 (Lösung/Schreibweisen)|Verbergen}}

{{Box|Übung 6|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Lösungen übersichtlich im Heft.
* S. 43 Nr. 7c,d
* S. 43 Nr. 8|Üben}}

{{Lösung versteckt|Nr. 7 

c) <math>\frac{1}{3}</math>; <math>\frac{2}{3}</math>; <math>\frac{3}{5}</math>; <math>\frac{4}{7}</math>; <math>\frac{5}{9}</math> 

d) <math>\frac{2}{7}</math>; <math>\frac{4}{5}</math>; <math>\frac{3}{8}</math>; <math>\frac{7}{11}</math>; <math>\frac{9}{13}</math> 

|Lösungen zu Nr. 7|Schließen}}

{{Lösung versteckt|Nr. 8 

a) mit 3; mit 2; mit 8 

b) mit 5; mit 7; mit 8 

|Lösungen zu Nr. 8|Schließen}}

{{Box|Übung 7 - Würfelspiel (Partnerarbeit)|Nehmt euch zu zweit drei Würfel. Spielt damit das Spiel
* S. 44 Nr. 10
Räumt anschließend die Würfel wieder zurück.|Üben}}

====''' Vollständiges Kürzen'''====

Du kannst Brüche oft mehrmals kürzen. Der Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr haben. 
[[Datei:Vollständiges Kürzen.png|rahmenlos|600x600px]]

<math>\frac{48}{72} = \frac{12}{18} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}</math>

Zuerst wurde der Bruch mit 4 gekürzt, dann mit 3 und letztlich nochmal mit 2. Um sofort mit dem größten gemeinsam Teiler zu kürzen, kannst Du auch die Teilermengen notieren (siehe grüner Kasten auf der Buchseite 44). 
T48=<math>\{</math>1;2;3;4;6;8;12;16;24;48<math>\}</math> 
T72=<math>\{</math>1;2;3;4;6;8;9;12;18;24;36;72<math>\}</math>. 
Der größte gemeinsame Teiler von 48 und 72 ist also 24, ggt(48,72) = 24. 
Du kannst also direkt mit 24 kürzen. 

{{Box|Vollständiges Kürzen|
Lies das Beispiel oben durch. Fülle anschließend den Lückentext unten aus. Übertrage ihn in dein Heft.|Kurzinfo}}
<div class="lueckentext-quiz">
Brüche lassen sich häufig mehrmals '''kürzen'''. 
<math>\frac{15}{45}</math> = <math>\frac{5}{15}</math> = <math>\frac{1}{3}</math>. Wie Du siehst gehören die Kürzungszahlen 3 und 5 zur Teilermenge des Zählers und Nenners. Stellst Du nun die '''Teilermenge''' auf, kannst Du sofort den '''größten gemeinsamen Teiler finden'''. 
T15 = {1; 3; 5; '''15'''} 
T45 = {1; 3; 5; '''15'''; 45}
Also ist '''15''' der als ggT (größter gemeinsamer Teiler) zu bezeichnen. Folglich kannst Du auch sofort mit 15 kürzen: 
<math>\frac{15}{45}</math> = <math>\frac{1}{3}</math> 

Der Bruch ist sofort '''vollständig gekürzt'''
</div>

{{Box|Aufgabe 6|Bearbeite nun folgende Learningapps.|Üben}}

{{LearningApp|app=pfkkb8hon20|width=80%|height=200px}}

{{LearningApp|app=p1oqk1jyc20|width=80%|height=200px}}

{{LearningApp|app=px6q1o9da20|width=80%|height=200px}}

{{Box|Übung 8|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und kürze vollständig.
* S. 44 Nr. 12
* S. 44 Nr. 13
* S. 44 Nr. 14
* S. 44 Nr. 18|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Nr. 12 
a) <math>\frac{42}{48}</math> = <math>\frac{7}{8}</math> (ggT: 6) 

b) <math>\frac{90}{120}</math> = <math>\frac{3}{4}</math> (ggT: 30) 

c) <math>\frac{54}{90}</math> = <math>\frac{3}{5}</math> (ggT: 18) 

d) <math>\frac{40}{56}</math> = <math>\frac{5}{7}</math> (ggT: 8) 

e) <math>\frac{72}{108}</math> = <math>\frac{2}{3}</math> (ggT: 36) 

f) <math>\frac{60}{135}</math> = <math>\frac{4}{9}</math> (ggT: 15) 

g) <math>\frac{48}{144}</math> = <math>\frac{1}{3}</math> (ggT: 48) 

h) <math>\frac{54}{243}</math> = <math>\frac{2}{9}</math> (ggT: 27) 

|2=Lösungen zu Nr. 12|3=Schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nr. 13 
a) gleich 
b) gleich 
c) ungleich 
d) ungleich 
e) ungleich 
f) ungleich 
g) ungleich 
h) ungleich 
|2=Lösungen zu Nr. 13|3=Schließen}}

{{Lösung versteckt|Sucht zuerst den größten gemeinsamen Teiler.|Tipp zu Nr. 14|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Nr. 14 
a) <math>\frac{8}{16}</math> = <math>\frac{1}{2}</math> 

b) <math>\frac{25}{75}</math> = <math>\frac{1}{3}</math> 

c) <math>\frac{12}{18}</math> = <math>\frac{2}{3}</math> 

d) <math>\frac{24}{64}</math> = <math>\frac{3}{8}</math> 

e) <math>\frac{36}{90}</math> = <math>\frac{2}{5}</math> 

f) <math>\frac{32}{128}</math> = <math>\frac{1}{4}</math> 

g) <math>\frac{48}{144}</math> = <math>\frac{1}{3}</math> 

h) <math>\frac{56}{140}</math> = <math>\frac{2}{5}</math> 

|2=Lösungen zu Nr. 14|3=Schließen}}

{{Fortsetzung|weiter=4 Brüche vergleichen und ordnen
|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Ordnen}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Multiplizieren

2024-01-24T17:58:42Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen| 0) Vorwissen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Addieren und Subtrahieren|1) Addieren und subtrahieren von Brüchen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Multiplizieren|2) Multiplizieren von Brüchen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Dividieren|3) Dividieren von Brüchen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Verbindung der Rechenarten| 4) Verbindung der Rechenarten]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Bruchteile beliebiger Größen|5) Bruchteile beliebiger Größen]]}}

==2 Brüche multiplizieren==

===2.1 Brüche mit einer natürlichen Zahl multiplizieren (Vervielfachen)===
{{Box|Vervielfachen von Brüchen|Lege und löse: 
[[Datei:Fünf mal drei Viertel Brüche .jpg|rahmenlos]]
Notiere Aufgaben zu diesem Bild und löse sie.|Unterrichtsidee}}

{{Box|Vervielfachen von Brüchen - Übung 1|Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet. Stelle zunächst die Schieberegler für Multiplikator, Nenner und passend zur Aufgabe ein. Notiere mindestens 3 Aufgaben in dein Heft. 
Fällt dir etwas auf? 
Kannst du eine Regel formulieren?|Üben}}
{{Lösung versteckt|Möglicher Satzanfang für eine Regel: 
Ich multipliziere einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem ich ...|Tipp 1 zur Regel|Schließen}}
{{Lösung versteckt|Verwende z.B. die Wörter "Zähler", "Nenner", "natürliche Zahl", "multipizieren"|Tipp 2 (Wörterlisten)|Schließen}}

Direkter Link, falls das Applet nicht passend dargestellt wird: https://www.geogebra.org/m/cK6jYx5B
<ggb_applet id="cK6jYx5B" width="950" height="550" border="888888" />
Applet GeoGebra Translation Team German

{{Box|Hefteintrag: Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl (Vervielfachen)|
[[Datei:Merkkasten - Vervielfachen von Brüchen.jpg|800x800px]]|Arbeitsmethode}}

{{#ev:youtube|RohwoJ3XpeI|800|center}}

{{LearningApp|app=p45e9kcun20|width=100%|height=600px}}
{{Box|Übung 2 (online)|Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du jeweils mindestens 300 Punkte erreichst.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/zahlmalbruch01.php Zahl mal Bruch 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/zahlmalbruch02.php Zahl mal Bruch 2 (hier musst du das Ergebnis kürzen!)]|Üben}}

{{Box|Übung 3 Buch|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und berechne ausführlich. Falls möglich, kürze zuerst!
* S. 63 Nr. 4
* S. 63 Nr. 5
* S. 63 Nr. 6
* S. 63 Nr. 7 (Knobelaufgabe)|Üben}}
{{Lösung versteckt|Nutze das obige GeoGebra-Applet, wenn du unsicher bist.|Tipp zu Übung 3|Schließen}}

{{Box|Übung 4 - Anwendungsaufgabe|Leonie möchte zu ihrem Geburtstag für ihre Familie einen Kuchen backen. Für den Teig benötigt sie <math>\frac{1}{6}</math> Butter, <math>\frac{1}{8}</math> Marzipan-Rohmasse, <math>\frac{1}{10}</math> braunen Zucker, 2 Prisen Salz, 4 Eier, <math>\frac{1}{10}</math> kg Weizenmehl, 1 Packung Backpulver und <math>\frac{1}{6}</math> Schokoblättchen. 
Da ihre Familie sehr groß ist, nimmt sie die dreifache Masse. Welche Mengen benötigt sie für die Schokoblättchen und den braunen Zucker?|Üben}}
 

{{Lösung versteckt|1= 
Für die Butter und die Schokoblättchen muss Sie folgendes rechnen: 
<math>\frac{1}{6}</math> + <math>\frac{1}{6}</math> + <math>\frac{1}{6}</math> = <math>\frac{1+1+1}{6}</math>= <math>\frac{3}{6}</math> = <math>\frac{1}{2}</math>
Für den braunen Zucker und das Weizenmehl lautet die Rechnung:
<math>\frac{1}{10}</math> + <math>\frac{1}{10}</math> + <math>\frac{1}{10}</math> = <math>\frac{1+1+1}{10}</math>= <math>\frac{3}{10}</math>
|2=Lösung|3=Schließen}}

===2.2 Brüche multiplizieren (Bruch mal Bruch)===
{{Box|Brüche multiplizieren - Einstieg|Von einer Schokolade ist die Hälfte übrig. 
Julia sagt: „ Davon schaff ich <math>\tfrac{3}{4}</math> “. 
[[Datei:Schokolade Einführung Mulitplikation von Brüchen.png|rahmenlos]] 
Welchen Anteil schafft Julia von der ganzen Tafel Schokolade?|Frage}}
{{Lösung versteckt|Die Hälfte der Schokolade ist markiert, von dieser Hälfte müssen wir jetzt <math>\tfrac{3}{4}</math> bestimmen.|Tipp 1|Schließen}}
{{Lösung versteckt|<math>\tfrac{1}{2}</math>∙<math>\tfrac{3}{4}</math> bedeutet <math>\tfrac{1}{2}</math> von <math>\tfrac{3}{4}</math>|Tipp 2|Schließen}}

{{Box|Erarbeitung: Brüche multiplizieren|Stelle im nachfolgenden GeoGebra-Applet die Multiplikation zweier Brüche dar.
* Notiere die zugehörige Aufgabe und die Lösung in dein Heft.
* Fällt dir etwas auf?
* Kannst du eine Regel formulieren?|Frage}}
https://www.geogebra.org/m/rtfv8qwt
<ggb_applet id="fdxczgbs" width="800" height="560" border="888888" />
Applet von Serlo Education

{{Box|Hefteintrag: Brüche multiplizieren (Bruch mal Bruch)|[[Datei:Merkkasten - Brüche multiplizieren neu.jpg|800x800px]]|Arbeitsmethode}}

{{#ev:youtube|dYL1cta-Xnc|800|center}}

{{LearningApp|app=pvx4jv12v20|width=100%|height=600px}}
{{Box|Übung 3 (online)|Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du jeweils mindestens 300 Punkte erreichst.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/multiplizieren00.php Level 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/multiplizieren01.php Level 2]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/multiplizieren02.php Level 3]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchdiv/multcool.php Vorsicht: nur für Profis]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchmult/pyramidemulbruch3a.php Pyramide]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchmult/pyramidemulbruch5.php Pyramide für Profis]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/dreimult01.php Drei Brüche multiplizieren]|Üben}}

{{Box|1=Übung 4 (Heft)|2=Löse die nachfolgenden Aufgaben im Heft. Schreibe die Aufgabe ab und berechne ausführlich. Falls möglich, kürze zuerst!
<div class="grid">
<div class="width-1-2">a) <math>\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{2}{5}</math> 
    <math>\tfrac{5}{8}\cdot\tfrac{4}{5}</math> 
    <math>\tfrac{7}{9}\cdot\tfrac{3}{10}</math> 
c) <math>\tfrac{15}{16}\cdot\tfrac{12}{35}</math> 
    <math>\tfrac{7}{30}\cdot\tfrac{20}{21}</math> 
    <math>\tfrac{21}{48}\cdot\tfrac{16}{35}</math></div>
<div class="width-1-2">b) <math>\tfrac{6}{11}\cdot\tfrac{5}{8}</math> 
    <math>\tfrac{10}{3}\cdot\tfrac{3}{5}</math> 
    <math>\tfrac{2}{9}\cdot\tfrac{5}{12}</math> 
d) <math>\tfrac{9}{14}\cdot\tfrac{7}{15}</math> 
    <math>\tfrac{18}{35}\cdot\tfrac{7}{15}</math> 
    <math>\tfrac{27}{55}\cdot\tfrac{5}{9}</math></div>
</div>|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Multiplikation von Brüchen Übung 4 neu.jpg|rahmenlos|764x764px]]|Vergleiche deine Lösungen|Verbergen}}
{{Box|Übung 5 (7er Buch)|Löse die Aufgaben aus dem 7er Buch. Schreibe die Aufgabe ab und löse ausführlich. Kürze falls möglich vor dem Multiplizieren und wandle das Ergebnis in die gemischte Schreibweise um (falls möglich).
* S. 11 Nr. 1
* S. 11 Nr. 2
* S. 11 Nr. 5|Üben}}

{{Box|Übung 6 Würfelspiel mit dem Partner/der Partnerin|Würfle mit vier 10er-Würfeln. Bildet aus den Augenzahlen zwei Brüche und multipliziert diese.
[[Datei:Brüche multiplizieren Würfelspiel.PNG|rahmenlos|300x300px]] 
Vorsicht: Der Nenner darf NIE 0 sein, denn durch 0 dürfen wir nicht teilen. 

Stellt Bedingungen auf, mit denen ihr den Sieger/die Siegerin ermittelt, z.B. größtes Produkt o.ä.|Üben}}

{{Box|Übung 7 - Anwendungsaufgabe (7er Buch)|Löse die Aufgabe aus dem 7er Buch. Schreibe zuerst auf, was gegeben und was gesucht ist. 
* S. 12 Nr. 15|Üben}}

===2.3 Brüche in gemischter Schreibweise multiplizieren===

{{Box|Erinnerung: gemischte Schreibweise - unechter Bruch|So wandelst du die gemischte Schreibweise in einen unechten Bruch um:
[https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/ Schaue hier auf S. 52]. 
[[Datei:Zwei ein viertel gleich neun viertel.png|rahmenlos]]|Hervorhebung1}}

{{#ev:youtube|FYAB-IVdJxc|800|center}}

{{LearningApp|app=pkkm27e4n20|width=100%|height=600px}}
{{Box|1= Übung 8 - Brüche in gemischter Schreibweise multiplizieren|2=Wandle die Brüche in unechte Brüche um und multipliziere. 
a) 1<math>\tfrac{2}{3}</math>·2<math>\tfrac{2}{3}</math> 
b) 2<math>\tfrac{1}{4}</math>·<math>\tfrac{3}{5}</math> 
c) 3<math>\tfrac{1}{2}</math>·1<math>\tfrac{2}{5}</math> 
d) 4<math>\tfrac{4}{7}</math>·2<math>\tfrac{3}{8}</math>|3=Üben}}

{{Box|Übung 9 - ANTON|Nun bist du fit und kannst die Aufgaben zur Multiplikation bei [https://anton.app/de/ '''ANTON'''] lösen.|Üben}}

{{Box|1=Übung 10 - freiwillige Übung|2=Bearbeite auf den nachfolgenden Seiten weitere Aufgaben.
* [https://www.matheaufgaben.net/mathe-online/?Aufgabentyp=Bruchrechnung Matheaufgabennet] Wähle dazu die Rechenart Muliplikation aus.|3=Üben}}

{{Fortsetzung|weiter=3) Dividieren von Brüchen|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Dividieren}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Multiplizieren

2024-01-24T17:55:16Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen| 0) Vorwissen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Addieren und Subtrahieren|1) Addieren und subtrahieren von Brüchen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Multiplizieren|2) Multiplizieren von Brüchen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Dividieren|3) Dividieren von Brüchen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Verbindung der Rechenarten| 4) Verbindung der Rechenarten]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Bruchteile beliebiger Größen|5) Bruchteile beliebiger Größen]]}}

==2 Brüche multiplizieren==

===2.1 Brüche mit einer natürlichen Zahl multiplizieren (Vervielfachen)===
{{Box|Vervielfachen von Brüchen|Lege und löse: 
[[Datei:Fünf mal drei Viertel Brüche .jpg|rahmenlos]]
Notiere Aufgaben zu diesem Bild und löse sie.|Unterrichtsidee}}

{{Box|Vervielfachen von Brüchen - Übung 1|Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet. Stelle zunächst die Schieberegler für Multiplikator, Nenner und passend zur Aufgabe ein. Notiere mindestens 3 Aufgaben in dein Heft. 
Fällt dir etwas auf? 
Kannst du eine Regel formulieren?|Üben}}
{{Lösung versteckt|Möglicher Satzanfang für eine Regel: 
Ich multipliziere einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem ich ...|Tipp 1 zur Regel|Schließen}}
{{Lösung versteckt|Verwende z.B. die Wörter "Zähler", "Nenner", "natürliche Zahl", "multipizieren"|Tipp 2 (Wörterlisten)|Schließen}}

Direkter Link, falls das Applet nicht passend dargestellt wird: https://www.geogebra.org/m/cK6jYx5B
<ggb_applet id="cK6jYx5B" width="950" height="550" border="888888" />
Applet GeoGebra Translation Team German

{{Box|Hefteintrag: Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl (Vervielfachen)|
[[Datei:Merkkasten - Vervielfachen von Brüchen.jpg|800x800px]]|Arbeitsmethode}}

{{#ev:youtube|RohwoJ3XpeI|800|center}}

{{LearningApp|app=p45e9kcun20|width=100%|height=600px}}
{{Box|Übung 2 (online)|Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du jeweils mindestens 300 Punkte erreichst.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/zahlmalbruch01.php Zahl mal Bruch 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/zahlmalbruch02.php Zahl mal Bruch 2 (hier musst du das Ergebnis kürzen!)]|Üben}}

{{Box|Übung 3 Buch|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und berechne ausführlich. Falls möglich, kürze zuerst!
* S. 63 Nr. 4
* S. 63 Nr. 5
* S. 63 Nr. 6
* S. 63 Nr. 7 (Knobelaufgabe)|Üben}}
{{Lösung versteckt|Nutze das obige GeoGebra-Applet, wenn du unsicher bist.|Tipp zu Übung 3|Schließen}}

{{Box|Übung 4 - Anwendungsaufgabe|Leonie möchte zu ihrem Geburtstag für Ihre Familie einen Kuchen backen. Für den Teig benötigt sie <math>\frac{1}{6}</math> Butter, <math>\frac{1}{8}</math> Marzipan-Rohmasse, <math>\frac{1}{10}</math> braunen Zucker; 2 Prisen Salz, 4 Eier, <math>\frac{1}{10}</math> kg Weizenmehl, 1 Packung Backpulver und <math>\frac{1}{6}</math> Schokoblättchen. 
Da ihre Familie sehr groß ist, nimmt sie die dreifache Masse. Welche Mengen benötigt sie für die Schokoblättchen und den braunen Zucker?|Üben}}
 

{{Lösung versteckt|1= 
Für die Butter und die Schokoblättchen muss Sie folgendes rechnen: 
<math>\frac{1}{6}</math> + <math>\frac{1}{6}</math> + <math>\frac{1}{6}</math> = <math>\frac{1+1+1}{6}</math>= <math>\frac{3}{6}</math> = <math>\frac{1}{2}</math>
Für den braunen Zucker und das Weizenmehl lautet die Rechnung:
<math>\frac{1}{10}</math> + <math>\frac{1}{10}</math> + <math>\frac{1}{10}</math> = <math>\frac{1+1+1}{10}</math>= <math>\frac{3}{10}</math>
|2=Lösung|3=Schließen}}

===2.2 Brüche multiplizieren (Bruch mal Bruch)===
{{Box|Brüche multiplizieren - Einstieg|Von einer Schokolade ist die Hälfte übrig. 
Julia sagt: „ Davon schaff ich <math>\tfrac{3}{4}</math> “. 
[[Datei:Schokolade Einführung Mulitplikation von Brüchen.png|rahmenlos]] 
Welchen Anteil schafft Julia von der ganzen Tafel Schokolade?|Frage}}
{{Lösung versteckt|Die Hälfte der Schokolade ist markiert, von dieser Hälfte müssen wir jetzt <math>\tfrac{3}{4}</math> bestimmen.|Tipp 1|Schließen}}
{{Lösung versteckt|<math>\tfrac{1}{2}</math>∙<math>\tfrac{3}{4}</math> bedeutet <math>\tfrac{1}{2}</math> von <math>\tfrac{3}{4}</math>|Tipp 2|Schließen}}

{{Box|Erarbeitung: Brüche multiplizieren|Stelle im nachfolgenden GeoGebra-Applet die Multiplikation zweier Brüche dar.
* Notiere die zugehörige Aufgabe und die Lösung in dein Heft.
* Fällt dir etwas auf?
* Kannst du eine Regel formulieren?|Frage}}
https://www.geogebra.org/m/rtfv8qwt
<ggb_applet id="fdxczgbs" width="800" height="560" border="888888" />
Applet von Serlo Education

{{Box|Hefteintrag: Brüche multiplizieren (Bruch mal Bruch)|[[Datei:Merkkasten - Brüche multiplizieren neu.jpg|800x800px]]|Arbeitsmethode}}

{{#ev:youtube|dYL1cta-Xnc|800|center}}

{{LearningApp|app=pvx4jv12v20|width=100%|height=600px}}
{{Box|Übung 3 (online)|Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du jeweils mindestens 300 Punkte erreichst.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/multiplizieren00.php Level 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/multiplizieren01.php Level 2]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/multiplizieren02.php Level 3]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchdiv/multcool.php Vorsicht: nur für Profis]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchmult/pyramidemulbruch3a.php Pyramide]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchmult/pyramidemulbruch5.php Pyramide für Profis]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/dreimult01.php Drei Brüche multiplizieren]|Üben}}

{{Box|1=Übung 4 (Heft)|2=Löse die nachfolgenden Aufgaben im Heft. Schreibe die Aufgabe ab und berechne ausführlich. Falls möglich, kürze zuerst!
<div class="grid">
<div class="width-1-2">a) <math>\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{2}{5}</math> 
    <math>\tfrac{5}{8}\cdot\tfrac{4}{5}</math> 
    <math>\tfrac{7}{9}\cdot\tfrac{3}{10}</math> 
c) <math>\tfrac{15}{16}\cdot\tfrac{12}{35}</math> 
    <math>\tfrac{7}{30}\cdot\tfrac{20}{21}</math> 
    <math>\tfrac{21}{48}\cdot\tfrac{16}{35}</math></div>
<div class="width-1-2">b) <math>\tfrac{6}{11}\cdot\tfrac{5}{8}</math> 
    <math>\tfrac{10}{3}\cdot\tfrac{3}{5}</math> 
    <math>\tfrac{2}{9}\cdot\tfrac{5}{12}</math> 
d) <math>\tfrac{9}{14}\cdot\tfrac{7}{15}</math> 
    <math>\tfrac{18}{35}\cdot\tfrac{7}{15}</math> 
    <math>\tfrac{27}{55}\cdot\tfrac{5}{9}</math></div>
</div>|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Multiplikation von Brüchen Übung 4 neu.jpg|rahmenlos|764x764px]]|Vergleiche deine Lösungen|Verbergen}}
{{Box|Übung 5 (7er Buch)|Löse die Aufgaben aus dem 7er Buch. Schreibe die Aufgabe ab und löse ausführlich. Kürze falls möglich vor dem Multiplizieren und wandle das Ergebnis in die gemischte Schreibweise um (falls möglich).
* S. 11 Nr. 1
* S. 11 Nr. 2
* S. 11 Nr. 5|Üben}}

{{Box|Übung 6 Würfelspiel mit dem Partner/der Partnerin|Würfle mit vier 10er-Würfeln. Bildet aus den Augenzahlen zwei Brüche und multipliziert diese.
[[Datei:Brüche multiplizieren Würfelspiel.PNG|rahmenlos|300x300px]] 
Vorsicht: Der Nenner darf NIE 0 sein, denn durch 0 dürfen wir nicht teilen. 

Stellt Bedingungen auf, mit denen ihr den Sieger/die Siegerin ermittelt, z.B. größtes Produkt o.ä.|Üben}}

{{Box|Übung 7 - Anwendungsaufgabe (7er Buch)|Löse die Aufgabe aus dem 7er Buch. Schreibe zuerst auf, was gegeben und was gesucht ist. 
* S. 12 Nr. 15|Üben}}

===2.3 Brüche in gemischter Schreibweise multiplizieren===

{{Box|Erinnerung: gemischte Schreibweise - unechter Bruch|So wandelst du die gemischte Schreibweise in einen unechten Bruch um:
[https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/ Schaue hier auf S. 52]. 
[[Datei:Zwei ein viertel gleich neun viertel.png|rahmenlos]]|Hervorhebung1}}

{{#ev:youtube|FYAB-IVdJxc|800|center}}

{{LearningApp|app=pkkm27e4n20|width=100%|height=600px}}
{{Box|1= Übung 8 - Brüche in gemischter Schreibweise multiplizieren|2=Wandle die Brüche in unechte Brüche um und multipliziere. 
a) 1<math>\tfrac{2}{3}</math>·2<math>\tfrac{2}{3}</math> 
b) 2<math>\tfrac{1}{4}</math>·<math>\tfrac{3}{5}</math> 
c) 3<math>\tfrac{1}{2}</math>·1<math>\tfrac{2}{5}</math> 
d) 4<math>\tfrac{4}{7}</math>·2<math>\tfrac{3}{8}</math>|3=Üben}}

{{Box|Übung 9 - ANTON|Nun bist du fit und kannst die Aufgaben zur Multiplikation bei [https://anton.app/de/ '''ANTON'''] lösen.|Üben}}

{{Box|1=Übung 10 - freiwillige Übung|2=Bearbeite auf den nachfolgenden Seiten weitere Aufgaben.
* [https://www.matheaufgaben.net/mathe-online/?Aufgabentyp=Bruchrechnung Matheaufgabennet] Wähle dazu die Rechenart Muliplikation aus.|3=Üben}}

{{Fortsetzung|weiter=3) Dividieren von Brüchen|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Dividieren}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Multiplizieren

2024-01-24T17:54:28Z

Neukirch: Fehler im Text korrigiert

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen| 0) Vorwissen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Addieren und Subtrahieren|1) Addieren und subtrahieren von Brüchen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Multiplizieren|2) Multiplizieren von Brüchen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Dividieren|3) Dividieren von Brüchen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Verbindung der Rechenarten| 4) Verbindung der Rechenarten]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Bruchteile beliebiger Größen|5) Bruchteile beliebiger Größen]]}}

==2 Brüche multiplizieren==

===2.1 Brüche mit einer natürlichen Zahl multiplizieren (Vervielfachen)===
{{Box|Vervielfachen von Brüchen|Lege und löse: 
[[Datei:Fünf mal drei Viertel Brüche .jpg|rahmenlos]]
Notiere Aufgaben zu diesem Bild und löse sie.|Unterrichtsidee}}

{{Box|Vervielfachen von Brüchen - Übung 1|Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet. Stelle zunächst die Schieberegler für Multiplikator, Nenner und passend zur Aufgabe ein. Notiere mindestens 3 Aufgaben in dein Heft. 
Fällt dir etwas auf? 
Kannst du eine Regel formulieren?|Üben}}
{{Lösung versteckt|Möglicher Satzanfang für eine Regel: 
Ich multipliziere einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, indem ich ...|Tipp 1 zur Regel|Schließen}}
{{Lösung versteckt|Verwende z.B. die Wörter "Zähler", "Nenner", "natürliche Zahl", "multipizieren"|Tipp 2 (Wörterlisten)|Schließen}}

Direkter Link, falls das Applet nicht passend dargestellt wird: https://www.geogebra.org/m/cK6jYx5B
<ggb_applet id="cK6jYx5B" width="950" height="550" border="888888" />
Applet GeoGebra Translation Team German

{{Box|Hefteintrag: Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl (Vervielfachen)|
[[Datei:Merkkasten - Vervielfachen von Brüchen.jpg|800x800px]]|Arbeitsmethode}}

{{#ev:youtube|RohwoJ3XpeI|800|center}}

{{LearningApp|app=p45e9kcun20|width=100%|height=600px}}
{{Box|Übung 2 (online)|Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du jeweils mindestens 300 Punkte erreichst.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/zahlmalbruch01.php Zahl mal Bruch 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/zahlmalbruch02.php Zahl mal Bruch 2 (hier musst du das Ergebnis kürzen!)]|Üben}}

{{Box|Übung 3 Buch|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und berechne ausführlich. Falls möglich, kürze zuerst!
* S. 63 Nr. 4
* S. 63 Nr. 5
* S. 63 Nr. 6
* S. 63 Nr. 7 (Knobelaufgabe)|Üben}}
{{Lösung versteckt|Nutze das obige GeoGebra-Applet, wenn du unsicher bist.|Tipp zu Übung 3|Schließen}}

{{Box|Übung 4 - Anwendungsaufgabe|Leonie möchte zu ihrem Geburtstag für Ihre Familie einen Kuchen backen. Für den Teig benötigt sie <math>\frac{1}{6}</math> Butter, <math>\frac{1}{8}</math>Marzipan-Rohmasse, <math>\frac{1}{10}</math>braunen Zucker; 2 Prisen Salz, 4 Eier, <math>\frac{1}{10}</math> kg Weizenmehl, 1 Packung Backpulver und <math>\frac{1}{6}</math> Schokoblättchen. 
Da ihre Familie sehr groß ist, nimmt sie die dreifache Masse. Welche Mengen benötigt sie für die Schokoblättchen und den braunen Zucker?|Üben}}
 

{{Lösung versteckt|1= 
Für die Butter und die Schokoblättchen muss Sie folgendes rechnen: 
<math>\frac{1}{6}</math> + <math>\frac{1}{6}</math> + <math>\frac{1}{6}</math> = <math>\frac{1+1+1}{6}</math>= <math>\frac{3}{6}</math> = <math>\frac{1}{2}</math>
Für den braunen Zucker und das Weizenmehl lautet die Rechnung:
<math>\frac{1}{10}</math> + <math>\frac{1}{10}</math> + <math>\frac{1}{10}</math> = <math>\frac{1+1+1}{10}</math>= <math>\frac{3}{10}</math>
|2=Lösung|3=Schließen}}

===2.2 Brüche multiplizieren (Bruch mal Bruch)===
{{Box|Brüche multiplizieren - Einstieg|Von einer Schokolade ist die Hälfte übrig. 
Julia sagt: „ Davon schaff ich <math>\tfrac{3}{4}</math> “. 
[[Datei:Schokolade Einführung Mulitplikation von Brüchen.png|rahmenlos]] 
Welchen Anteil schafft Julia von der ganzen Tafel Schokolade?|Frage}}
{{Lösung versteckt|Die Hälfte der Schokolade ist markiert, von dieser Hälfte müssen wir jetzt <math>\tfrac{3}{4}</math> bestimmen.|Tipp 1|Schließen}}
{{Lösung versteckt|<math>\tfrac{1}{2}</math>∙<math>\tfrac{3}{4}</math> bedeutet <math>\tfrac{1}{2}</math> von <math>\tfrac{3}{4}</math>|Tipp 2|Schließen}}

{{Box|Erarbeitung: Brüche multiplizieren|Stelle im nachfolgenden GeoGebra-Applet die Multiplikation zweier Brüche dar.
* Notiere die zugehörige Aufgabe und die Lösung in dein Heft.
* Fällt dir etwas auf?
* Kannst du eine Regel formulieren?|Frage}}
https://www.geogebra.org/m/rtfv8qwt
<ggb_applet id="fdxczgbs" width="800" height="560" border="888888" />
Applet von Serlo Education

{{Box|Hefteintrag: Brüche multiplizieren (Bruch mal Bruch)|[[Datei:Merkkasten - Brüche multiplizieren neu.jpg|800x800px]]|Arbeitsmethode}}

{{#ev:youtube|dYL1cta-Xnc|800|center}}

{{LearningApp|app=pvx4jv12v20|width=100%|height=600px}}
{{Box|Übung 3 (online)|Löse auf der Seite realmath so viele Aufgaben, dass du jeweils mindestens 300 Punkte erreichst.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/multiplizieren00.php Level 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/multiplizieren01.php Level 2]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/multiplizieren02.php Level 3]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchdiv/multcool.php Vorsicht: nur für Profis]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchmult/pyramidemulbruch3a.php Pyramide]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchmult/pyramidemulbruch5.php Pyramide für Profis]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/dreimult01.php Drei Brüche multiplizieren]|Üben}}

{{Box|1=Übung 4 (Heft)|2=Löse die nachfolgenden Aufgaben im Heft. Schreibe die Aufgabe ab und berechne ausführlich. Falls möglich, kürze zuerst!
<div class="grid">
<div class="width-1-2">a) <math>\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{2}{5}</math> 
    <math>\tfrac{5}{8}\cdot\tfrac{4}{5}</math> 
    <math>\tfrac{7}{9}\cdot\tfrac{3}{10}</math> 
c) <math>\tfrac{15}{16}\cdot\tfrac{12}{35}</math> 
    <math>\tfrac{7}{30}\cdot\tfrac{20}{21}</math> 
    <math>\tfrac{21}{48}\cdot\tfrac{16}{35}</math></div>
<div class="width-1-2">b) <math>\tfrac{6}{11}\cdot\tfrac{5}{8}</math> 
    <math>\tfrac{10}{3}\cdot\tfrac{3}{5}</math> 
    <math>\tfrac{2}{9}\cdot\tfrac{5}{12}</math> 
d) <math>\tfrac{9}{14}\cdot\tfrac{7}{15}</math> 
    <math>\tfrac{18}{35}\cdot\tfrac{7}{15}</math> 
    <math>\tfrac{27}{55}\cdot\tfrac{5}{9}</math></div>
</div>|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Multiplikation von Brüchen Übung 4 neu.jpg|rahmenlos|764x764px]]|Vergleiche deine Lösungen|Verbergen}}
{{Box|Übung 5 (7er Buch)|Löse die Aufgaben aus dem 7er Buch. Schreibe die Aufgabe ab und löse ausführlich. Kürze falls möglich vor dem Multiplizieren und wandle das Ergebnis in die gemischte Schreibweise um (falls möglich).
* S. 11 Nr. 1
* S. 11 Nr. 2
* S. 11 Nr. 5|Üben}}

{{Box|Übung 6 Würfelspiel mit dem Partner/der Partnerin|Würfle mit vier 10er-Würfeln. Bildet aus den Augenzahlen zwei Brüche und multipliziert diese.
[[Datei:Brüche multiplizieren Würfelspiel.PNG|rahmenlos|300x300px]] 
Vorsicht: Der Nenner darf NIE 0 sein, denn durch 0 dürfen wir nicht teilen. 

Stellt Bedingungen auf, mit denen ihr den Sieger/die Siegerin ermittelt, z.B. größtes Produkt o.ä.|Üben}}

{{Box|Übung 7 - Anwendungsaufgabe (7er Buch)|Löse die Aufgabe aus dem 7er Buch. Schreibe zuerst auf, was gegeben und was gesucht ist. 
* S. 12 Nr. 15|Üben}}

===2.3 Brüche in gemischter Schreibweise multiplizieren===

{{Box|Erinnerung: gemischte Schreibweise - unechter Bruch|So wandelst du die gemischte Schreibweise in einen unechten Bruch um:
[https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/ Schaue hier auf S. 52]. 
[[Datei:Zwei ein viertel gleich neun viertel.png|rahmenlos]]|Hervorhebung1}}

{{#ev:youtube|FYAB-IVdJxc|800|center}}

{{LearningApp|app=pkkm27e4n20|width=100%|height=600px}}
{{Box|1= Übung 8 - Brüche in gemischter Schreibweise multiplizieren|2=Wandle die Brüche in unechte Brüche um und multipliziere. 
a) 1<math>\tfrac{2}{3}</math>·2<math>\tfrac{2}{3}</math> 
b) 2<math>\tfrac{1}{4}</math>·<math>\tfrac{3}{5}</math> 
c) 3<math>\tfrac{1}{2}</math>·1<math>\tfrac{2}{5}</math> 
d) 4<math>\tfrac{4}{7}</math>·2<math>\tfrac{3}{8}</math>|3=Üben}}

{{Box|Übung 9 - ANTON|Nun bist du fit und kannst die Aufgaben zur Multiplikation bei [https://anton.app/de/ '''ANTON'''] lösen.|Üben}}

{{Box|1=Übung 10 - freiwillige Übung|2=Bearbeite auf den nachfolgenden Seiten weitere Aufgaben.
* [https://www.matheaufgaben.net/mathe-online/?Aufgabentyp=Bruchrechnung Matheaufgabennet] Wähle dazu die Rechenart Muliplikation aus.|3=Üben}}

{{Fortsetzung|weiter=3) Dividieren von Brüchen|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Rechnen mit Brüchen/Dividieren}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Erweitern und Kürzen

2024-01-24T17:51:29Z

Neukirch: Grammatik korrigiert

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} 
{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche|0 Vorwissen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Brüche|1 Brüche und gemischte Zahlen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Zahlenstrahl|2 Brüche am Zahlenstrahl]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Erweitern und Kürzen|3 Brüche erweitern und kürzen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Ordnen|4 Brüche vergleichen und ordnen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Prozent|5 Brüche und Prozent]]}} 
 

==3 Verschiedene Brüche mit gleichem Wert - Brüche erweitern und kürzen==

{{Box|Einstieg-Brüche falten|Zeichne auf einem Blatt Papier ein Quadrat und schneide es aus. Markiere (Schraffiere) dann die Hälfte des Quadrates mit einer beliebigen Farbe. Besprich dich mit deinem Partner, wie ihr den entstandenen Bruch nun nennen würdet. Faltet das Quadrat nun weitere Male und besprecht, wie die entstandenen Brüche heißen.|Üben}}

{{Box|Übung 1 (im online-Brüche-Buch)|Lies dir die Seiten 30 - 34 im unten stehenden Link durch und bearbeite die entsprechenden Aufgaben 
https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/30
* Nr. 33 - 37|Üben}}

{{Box|1=Hefteintrag: Erweitern und Kürzen|2= 
Beim '''Erweitern''' eines Bruches werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Die Einteilung wird feiner. 

<big>      <math>\frac{3}{5}</math>          =        <math>\frac{3\cdot4}{5\cdot4}</math>        =        <math>\frac{12}{20}</math></big> 
[[Datei:Erweitert mit 4.png|rahmenlos|400x400px]][[Datei:Erweitert mit 4 Rechteck.jpg|rahmenlos]] 
Bruch und erweiterter Bruch haben denselben Wert. 
 

Beim '''Kürzen''' eines Bruches werden Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividiert. Die Einteilung wird gröber. 

<big>    <math>\frac{15}{20} </math>    =                <math>\frac{15:5}{20:5} </math>        =        <math>\frac{3}{4}</math> </big> 
[[Datei:Kürzen mit 5.png|rahmenlos|400x400px]][[Datei:Gekürzt mit 5 Rechteck.jpg|rahmenlos]] 

Bruch und gekürzter Bruch haben denselben Wert.|3=Arbeitsmethode}}
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|Q1RG-Z4jjRs|420|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|-6OW-XImBQI|420|center}}</div>
</div>

{{#ev:youtube|CEfYuAvUh9w|800|center}}

{{LearningApp|app=pdbonb5x522|width=100%|height=500px}}

{{Box|Übung 2|Kontrolliere mit der folgenden App, ob du die Grundlagen des Erweiterns und Kürzens verstanden hast. Spiele gegen deinen Partner. Wenn du keinen hast, spiele gegen den Computer. Mal sehen, wer das schnellere Pferd hat.
|Üben}}

{{LearningApp|app=pendivrwc20|width=80%|height=200px}}

{{Box|Übung 3|Festige dein Wissen, indem Du auf den untenstehenden Link klickst und die Aufgaben auf den Seiten 35 - 38 bearbeitest. 
https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/35
* Nr. 38 - 53|Üben}}

{{Box|Übung 4|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Lösungen übersichtlich im Heft.
* S. 43 Nr. 4c,d
* S. 43 Nr. 5|Üben}}
{{Lösung versteckt|Nr. 4 
c) <math>\frac{2}{100}</math>; <math>\frac{30}{100}</math>; <math>\frac{35}{100}</math>; <math>\frac{36}{100}</math>; <math>\frac{80}{100}</math>; <math>\frac{75}{100}</math>; <math>\frac{250}{100}</math> 

d) <math>\frac{6}{1000}</math>; <math>\frac{44}{1000}</math>; <math>\frac{64}{1000}</math>; <math>\frac{48}{1000}</math>; <math>\frac{45}{1000}</math> 

|Lösungen zu Nr. 4|Schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nr. 5 
a) <math>\frac{1}{2}</math> = <math>\frac{6}{12}</math> 

b) <math>\frac{4}{5}</math> = <math>\frac{32}{40}</math> 

c) <math>\frac{5}{9}</math> = <math>\frac{35}{63}</math> 

d) <math>\frac{3}{7}</math> = <math>\frac{18}{42}</math> 

e) <math>\frac{5}{9}</math> = <math>\frac{60}{108}</math> 

f) <math>\frac{8}{11}</math> = <math>\frac{88}{121}</math> 

g) <math>\frac{1}{3}</math> = <math>\frac{9}{27}</math> 

h) <math>\frac{2}{7}</math> = <math>\frac{16}{56}</math> 

i) <math>\frac{5}{8}</math> = <math>\frac{45}{72}</math> 

j) <math>\frac{7}{10}</math> = <math>\frac{91}{130}</math> 

k) <math>\frac{5}{12}</math> = <math>\frac{60}{144}</math> 

l) <math>\frac{9}{13}</math> = <math>\frac{99}{143}</math> 

|2=Lösungen zu Nr. 5|3=Schließen}}

{{Box|Übung 5 - Erweitere auf einen gemeinsamen Nenner|Arbeite zunächst im online-Brüche-Buch. Bearbeite anschließend die Aufgabe aus dem Buch.
* [https://www.alice.edu.tum.de/bruchrechnen.html#/38 Aufgabe 50]
* S. 43 Nr. 6|Üben}}
{{Lösung versteckt|a) <math>\tfrac{1}{3}</math> und <math>\tfrac{1}{4}</math> Der (kleinste) gemeinsame Nenner ist 12. Erweitere! <math>\tfrac{4}{12}</math> und <math>\tfrac{3}{12}</math> 
b) <math>\tfrac{5}{6}</math> und <math>\tfrac{4}{9}</math> Der (kleinste) gemeinsame Nenner ist 18. Erweitere! <math>\tfrac{15}{18}</math> und <math>\tfrac{8}{18}</math> 
Löse die anderen Aufgaben ebenso.|Tipp zu Nr. 6 (Lösung/Schreibweisen)|Verbergen}}

{{Box|Übung 6|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Lösungen übersichtlich im Heft.
* S. 43 Nr. 7c,d
* S. 43 Nr. 8|Üben}}

{{Lösung versteckt|Nr. 7 

c) <math>\frac{1}{3}</math>; <math>\frac{2}{3}</math>; <math>\frac{3}{5}</math>; <math>\frac{4}{7}</math>; <math>\frac{5}{9}</math> 

d) <math>\frac{2}{7}</math>; <math>\frac{4}{5}</math>; <math>\frac{3}{8}</math>; <math>\frac{7}{11}</math>; <math>\frac{9}{13}</math> 

|Lösungen zu Nr. 7|Schließen}}

{{Lösung versteckt|Nr. 8 

a) mit 3; mit 2; mit 8 

b) mit 5; mit 7; mit 8 

|Lösungen zu Nr. 8|Schließen}}

{{Box|Übung 7 - Würfelspiel (Partnerarbeit)|Nehmt euch zu zweit drei Würfel. Spielt damit das Spiel
* S. 44 Nr. 10
Räumt anschließend die Würfel wieder zurück.|Üben}}

====''' Vollständiges Kürzen'''====

Du kannst Brüche oft mehrmals kürzen. Der Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler mehr haben. 
[[Datei:Vollständiges Kürzen.png|rahmenlos|600x600px]]

<math>\frac{48}{72} = \frac{12}{88} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}</math>

Zuerst wurde der Bruch mit 4 gekürzt, dann mit 3 und letztlich nochmal mit 2. Um sofort mit dem größten gemeinsam Teiler zu kürzen, kannst Du auch die Teilermengen notieren (siehe grüner Kasten auf der Buchseite 44). 
T48=<math>\{</math>1;2;3;4;6;8;12;16;24;48<math>\}</math> 
T72=<math>\{</math>1;2;3;4;6;8;9;12;18;24;36;72<math>\}</math>. 
Der größte gemeinsame Teiler von 48 und 72 ist also 24, ggt(48,72) = 24. 
Du kannst also direkt mit 24 kürzen. 

{{Box|Vollständiges Kürzen|
Lies das Beispiel oben durch. Fülle anschließend den Lückentext unten aus. Übertrage ihn in dein Heft.|Kurzinfo}}
<div class="lueckentext-quiz">
Brüche lassen sich häufig mehrmals '''kürzen'''. 
<math>\frac{15}{45}</math> = <math>\frac{5}{15}</math> = <math>\frac{1}{3}</math>. Wie Du siehst gehören die Kürzungszahlen 3 und 5 zur Teilermenge des Zählers und Nenners. Stellst Du nun die '''Teilermenge''' auf, kannst Du sofort den '''größten gemeinsamen Teiler finden'''. 
T15 = {1; 3; 5; '''15'''} 
T45 = {1; 3; 5; '''15'''; 45}
Also ist '''15''' der als ggT (größter gemeinsamer Teiler) zu bezeichnen. Folglich kannst Du auch sofort mit 15 kürzen: 
<math>\frac{15}{45}</math> = <math>\frac{1}{3}</math> 

Der Bruch ist sofort '''vollständig gekürzt'''
</div>

{{Box|Aufgabe 6|Bearbeite nun folgende Learningapps.|Üben}}

{{LearningApp|app=pfkkb8hon20|width=80%|height=200px}}

{{LearningApp|app=p1oqk1jyc20|width=80%|height=200px}}

{{LearningApp|app=px6q1o9da20|width=80%|height=200px}}

{{Box|Übung 8|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch. Schreibe die Aufgabe ab und kürze vollständig.
* S. 44 Nr. 12
* S. 44 Nr. 13
* S. 44 Nr. 14
* S. 44 Nr. 18|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Nr. 12 
a) <math>\frac{42}{48}</math> = <math>\frac{7}{8}</math> (ggT: 6) 

b) <math>\frac{90}{120}</math> = <math>\frac{3}{4}</math> (ggT: 30) 

c) <math>\frac{54}{90}</math> = <math>\frac{3}{5}</math> (ggT: 18) 

d) <math>\frac{40}{56}</math> = <math>\frac{5}{7}</math> (ggT: 8) 

e) <math>\frac{72}{108}</math> = <math>\frac{2}{3}</math> (ggT: 36) 

f) <math>\frac{60}{135}</math> = <math>\frac{4}{9}</math> (ggT: 15) 

g) <math>\frac{48}{144}</math> = <math>\frac{1}{3}</math> (ggT: 48) 

h) <math>\frac{54}{243}</math> = <math>\frac{2}{9}</math> (ggT: 27) 

|2=Lösungen zu Nr. 12|3=Schließen}}

{{Lösung versteckt|1=Nr. 13 
a) gleich 
b) gleich 
c) ungleich 
d) ungleich 
e) ungleich 
f) ungleich 
g) ungleich 
h) ungleich 
|2=Lösungen zu Nr. 13|3=Schließen}}

{{Lösung versteckt|Sucht zuerst den größten gemeinsamen Teiler.|Tipp zu Nr. 14|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Nr. 14 
a) <math>\frac{8}{16}</math> = <math>\frac{1}{2}</math> 

b) <math>\frac{25}{75}</math> = <math>\frac{1}{3}</math> 

c) <math>\frac{12}{18}</math> = <math>\frac{2}{3}</math> 

d) <math>\frac{24}{64}</math> = <math>\frac{3}{8}</math> 

e) <math>\frac{36}{90}</math> = <math>\frac{2}{5}</math> 

f) <math>\frac{32}{128}</math> = <math>\frac{1}{4}</math> 

g) <math>\frac{48}{144}</math> = <math>\frac{1}{3}</math> 

h) <math>\frac{56}{140}</math> = <math>\frac{2}{5}</math> 

|2=Lösungen zu Nr. 14|3=Schließen}}

{{Fortsetzung|weiter=4 Brüche vergleichen und ordnen
|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Brüche/Ordnen}}

Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum

2024-01-11T09:15:40Z

Neukirch:

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}

{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion|Vorwissen]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum| 1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum|2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor ]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum|3) Exponentielles Wachstum]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion|4) Die Exponentialfunktion]]}}
 
==3 Exponentielles Wachstum==
{{Box|1=Einstieg: Weltbevölkerung|2=[[Datei:Person-2829500 1920.png|rechts|rahmenlos]]Im Jahr 2019 lebten 7,7 Mrd. Menschen auf der Erde. Wissenschaflter prognostizierten in diesem Jahr eine jährliche Zuwachsrate von 1,25%. Also gilt q=100%+1,25% = 101,25% = 1,0125 
Wie viele Menschen leben demnach im Jahr 2030 auf der Erde? 
Stelle diese Situation auf verschiedene Arten dar. (Erinnerung: Text (ist gegeben), Wertetabelle, Funktionsgleichung und Funktionsgraph) 
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Wertetabelle neu.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Prognose für das Jahr 2030: n = 11 
W11 = W0 ∙ q11 
   = 7,70 ∙ 1,02511
   ≈8,83|2=Tipp zur Funktionsgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Entwicklung Graph.png|rahmenlos|506x506px]]|Tipp zum Funktionsgraphen|Verbergen}}

{{Box|1=Exponentielles Wachstum - Exponentialgleichung|2=Wir sprechen von exponentiellem Wachstum, wenn der Wert einer Größe in gleichen Zeitspannen immer um denselben Prozentsatz p% zunimmt bzw. abnimmt. 
Die neue Größe nach n Zeitspannen berechnen wir mit 
'''<big>Wn = W0 · qn</big>''', 
wobei q der Wachstumsfaktor ist. 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Zunahme: q = 1 + p%, also q > 1</div>
<div class="width-1-2">Abnahme: q = 1 - p%, also q < 1</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
 
Die Gleichung Wn = W0 · qn heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.

{{Lösung versteckt|1=Erinnerung vermehrter/verminderter Grundwert in der Prozentrechnung: 
vermehrter Grundert: G+ = G · p+% (mit p+% = 1+p% = q) 
verminderter Grundwert: G- = G · p-% (mit p-% = 1-p% = q) |2=Zusammenhang Prozentrechnung|3=Verbergen}}

<ggb_applet id="jtgzqdtf" width="1138" height="787" border="888888" />
Applet von C. Buß-Haskert Originallink https://www.geogebra.org/m/jtgzqdtf

{{LearningApp|app=17257009|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=p62i35bq221|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=17256599|width=100%|heigth=600px}}

==3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen==
{{Box|Anwendungsaufgabe 1: Bevölkerungswachstum (Wn gesucht)|Die Bevölkerung in Indien beträgt zur Zeit 1,38 Milliarden Einwohner (2020). Die jährliche Zunahme beträgt derzeit 0,8%. 
Wie viele Einwohner hat Indien im Jahr 2025?|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 1,38 Mrd.; p% = 0,8% = 0,008, also ist q = 1+0,008 = 1,008; n = 5 (von 2020 - 2025) 
ges: W5 
 
Wn = W0 · qn 
W5 = 1,38 · 1,0085 
     = 1,436 
Indien wird im Jahr 2025 ca. 1,436 Mrd. Einwohner haben.|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8): 
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
 
{{Box|Übung 1: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 9
* 10
* 11
* 12
* 17
* 18
* 19
* 20
* 21|Üben}}
 
{{Box|Exponentialgleichung - Formel umstellen|[[Datei:Umstellen der Exponentialgleichung.png|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Formel auch nach n umstellen. Die Lösung erfolgt durch Logarithmieren. Eine Erklärung hierzu, findest du unten auf der Seite.|2=Hinweis zur Berechnung von n (Logarithmieren)|3=Verbergen}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel (W0 gesucht)|[[Datei:Iceberg-g3d68c08ff 1920.jpg|rechts|rahmenlos|100x100px]]Im Jahr 2021 ist die Fläche der Arktis mit 4,7 Mio km² deutlich kleiner als noch vor rund 30 Jahren. Die Abnahme beträgt mit leichten Schwankungen jährlich ca. 1,7%. 
Wie groß war die Fläche vor 30 Jahren?|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W30 = 4,7 Mio km²; p% = -1,7% = -0,017, also ist q = 1-0,017 = 0,983; n = 30 
ges: W0 
 
Wn = W0 · qn   | : qn 
W0 = <math>\tfrac{W_n}{q^n}</math> 
W0 = <math>\tfrac{W_{30}}{q^{30}}</math> 
      = <math>\tfrac{4,7}{0,983^{30}}</math> 
     ≈ 7,86 
Vor 30 Jahren betrug die Fläche der Arktis noch ca. 7,86 Mio km².|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 2: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 22
* 23
* 24
* 25|Üben}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)|[[Datei:House-g7ece683db 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€. 
Um wie viel Prozent ist die Miete durchschnittlich pro Jahr gestiegen? |Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 600 €; W5 = 730 €; n = 5 
ges: q bzw. p% 
 
Wn = W0 · qn   | : W0 
<math>\tfrac{W_n}{W_0}</math> = qn   | <math>\sqrt[n]{}</math> 
<math>\sqrt[n]{\tfrac{W_n}{W_0}}</math> = q 
<math>\sqrt[5]{\tfrac{730}{600}}= q</math> 
1,04 ≈ q 
p% = q - 1 = 0,04 = 4%
Die Mietsteigerung betrug jährlich 4%.|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die n-te Wurzel bestimmst du mit dem Taschenrechner mit der Tastenkombination im Bild 
[[Datei:Taschenrechner Bild n-te Wurzel.png|rahmenlos]]|Tipp: n-te Wurzel in den Taschenrechner eingeben|Verbergen}}
 

{{Box|Übung 3: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 26
* 27
* 28
* 29
* 30|Üben}}
 
{{Box|Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)|[[Datei:Tea-pot-gc1ced1e73 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65°C zu trinken. 
Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug? |Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100°C; Wn = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95 
ges: n 
 
Wn = W0 · qn   | Löse durch systematisches Probieren (Wertetabelle) 
Für n = 1 gilt: 
W1 = W0 · q1   |
    = 100 · 0,951 
    = 95 (°C) 
... 
Für n = 8 gilt:
W8 = W0 · q8   |
    = 100 · 0,958 
    ≈ 66,3 (°C) 
Für n = 9 gilt:
W9 = W0 · q9   |
    = 100 · 0,959 
    ≈ 63,0 (°C) 

Nach ca. 9 Minuten ist der Tee auf unter 65°C abgekühlt.
|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Lösung auch durch Logarithmieren lösen: 
Wn = W0 · qn 
65 = 100 · 0,95n   |:100 
0,65 = 0,95n   |log 
<math>\tfrac{\log0,65}{\log0,95}</math> = n 
8,4 ≈ n 
Also ist der Tee nach ca. 9 Minuten auf unter 65°C abgekühlt.|2=Lösen mit Logarithmieren|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 4: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 37
* 38
* 39
* 40
* 41|Üben}}
 
{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.
* S. 73 Nr. 1
* S. 73 Nr. 2
* S. 73 Nr. 4
* S. 75 Nr. 9
* S. 75 Nr. 11
* S. 80 Nr. 7|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3 
ges: W1; W2; ...; W5 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 1a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3; Wn = 1200 g 
ges: n 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 4. Löse durch systematische Probieren. 
Lösung:
für n = 6 ist W6 = ... ≈965,4 g 
für n = 7 ist W7 = ... ≈ 1254,9 g 
Nach etwas weniger als 7 Tagen ist die Algenmasse auf 1200 g gewachsen. 
|2=Tipp zu Nr. 1b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 18700 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009; n = 2 (von 2013 bis 2015) 
ges: W2 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 2a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W2 = 22500 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009 
ges: W0 (2013) und W1 (2014) 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 2.|2=Tipp zu Nr. 2b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 26200 €(im Jahr 2018); p% = 2,3% = 0,023, also q = 1+0,023 = 1,023; n = 5 (von 2018 bis 2023) 
ges: W5 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = ... (Bevölkerungszahlen im Jahr 2010); p% = 1,2% = 0,012, also q = 1+0,012= 1,012 usw.; n = 40 (von 2010 bis 2050) 
ges: W40 
Rechne jeweils wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 4a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:SP 10 S.75 Nr.9 Lösung.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100% (Lichtintensität); p% = -11% = -0,11, also q = 1-0,11 = 0,89; n = 10 (in 10m Tiefe) 
ges: W10 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1. 
Lösung: W10 = ... ≈ 31,2% 
In 10m Tiefe beträgt die Lichtintensität nur noch 31,2%. |2=Tipp zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Luftdruck in Meereshöhe W0=1013 hPa; Abnahme je 100m p%=-1,23%=-0,0123, also q=1-0,0123 = 0,9877; Höhe des Kilimandscharo 5895m = 58,95· 100 m, also x = 58,95 und des Mt. Everest 8848m = 88,48·100 m, also x = 88,48 
ges: Luftdruck auf den Bergen, also Wx 
Wx = W0 · qx 
    = 1013 · 0,987758,95 
   ≈ 488,4 (hPa) 
Rechne ebenso für den Mt Everest (Lösung: 338,9 hPa)|2=Tipp zu Nr. 7a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bestimme zunächst den Luftdruck in 500 m Höhe (also x = 5) und in 841 m Höhe (also x = 8,41). Danach berechne den Unterschied von beiden. dies ist W. 
Den prozentuale Unterschied berechne mit p% = <math>\tfrac{W}{G}</math>, mit dem Grundwert in 500m Höhe.|2=Tipp zu Nr. 7b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein. Wx = 1013 · 0,9887x:100 
x steht hier für die Höhe, in der der Luftdruck berechnet werden soll. 
[[Datei:SP10 S.80 Nr7c.png|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp zu Nr. 7c|3=Verbergen}}

 
{{Box|Übung 6: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die vermischten Aufgaben.
* 31
* 32
* 33
* 34
* 35
* 36|Üben}}
 
{{Box|Übung 7: ANTON-APP|Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der [https://anton.app/de/ ANTON-App].|Üben}}
 
===3.2) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung===
{{Box|1=Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst. 
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel 
'''<big>Kn = K0 ∙ qn       mit q = 1 + p%'''</big>''' 
|3=Arbeitsmethode}}

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
 

{{Box|1=Übung 8 (online)|2=Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 1 (Hier kannst du z.B. das Einstiegsbeispiel einstellen)
* 2 (Nutze die Zinseszinsformel Kn = K0 ∙ qn)
* 3 (Nutze die Zinseszinsformel Kn = K0 ∙ qn)|3=Üben}}

{{Box|Übung 9|[[Datei:Business-g97f006239 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]a) Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz von 2% angelegt. Berechne das Kapital nach 4 Jahren. 
b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.|Tipp zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5 
K5 = K0 ∙ q5 
   = 7500 ∙ 1,0155 
   = 8079,63 (€)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}

{{Box|1=Umstellen der Zinseszinformel|2=<div class="grid">

<div class="width-1-2"><big> Formel umstellen nach K0</big> ("Wie hoch war das Startkapital...?): 
Kn = K0 ∙ qn  |:qn 
<math>\tfrac{K_n}{q^n}</math>= K0 
 
 </div>
<div class="width-1-2"><big>Formel umstellen nach q </big> ("Mit welchem Prozentsatz ...?): 
Kn = K0 ∙ qn  |:K0 
<math>\tfrac{K_n}{K^0}</math> = qn  |<math>\sqrt[n]{}</math> 
<math>\sqrt[n]{\tfrac{K_n}{K_0}}</math> = q 
Bestimme dann p% mit q = 1+p%, also q-1 = p%. 
 </div>

</div>
<big>Formel umstellen nach n </big> ("Nach wie vielen Jahren...?"): 
Löse hier also durch systematisches '''Probieren'''! 
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.
(Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Du darfst auch durch Logarithmieren lösen.) 
 |3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Hefteintrag: Beispiele|Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.|Arbeitsmethode}}
{{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=193&end=420}}

{{Box|Übung 10 (online)|Wähle aus den folgenden Aufgaben '''mindestens zwei''' Aufgaben aus und löse: Aufgaben auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs''']
* 5
* 6
* 7
* 8
* 9|Üben}}

{{Box|Übung 11 - Zinseszinsrechnung|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
* S. 73 Nr. 3|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=a) geg:... 
ges: q; Kn 
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015 
K5 = K0 ∙ q5 Setze die Werte ein und berechne mit dem Taschenrechner.|2=Tipp zu Nr. 3a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=b) geg:... 
ges: p%; Kn 
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5% 
Berechne Kn durch einsetzen der Werte in die Formel.|2=Tipp zu Nr. 3b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=c) geg: ... 
ges: K0; p% 
Stelle die Formel nach K0 um und setze dann die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 3c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=d)geg: ... 
ges: q und p% 
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q. 
Berechne dann p% mit p% = q-1 (Wandel den Dezimalbruch in Prozent um.)|2=Tipp zu Nr. 3d|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=e) geg: ... 
ges: q; n 
q = 1 + p% = ... 
Bestimme n durch Probieren. 
Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.|2=Tipp zu Nr. 3e|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 12 - Anwendungsaufgaben zur Zinseszinsrechnung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
* S. 73 Nr. 5a (**)
* S. 75 Nr. 8 (Nutze GeoGeogebra)
* S. 79 Nr. 1
* S. 83 Nr. 10
* S. 87 Nr. 6
* S. 87 Nr. 7
|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€ 
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018 
Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder Kn mehr als 2000€ beträgt.|2=Tipp zu Nr. 5a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Stelle die passende Gleichung auf und gib diese bei GeoGebra ein. Löse damit Aufgabenteil c) und d), 
(Kn=7200∙1,018n 
Funktionsgleichung: f(x) = 7200∙1,018n x|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche die beiden Angebote: 
Angebot A: 
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre 
ges: Kn 
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne. 
 
Angebot B: 
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%. 
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne. 
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest: 
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ... 
denn p% = 10% = 0,1, also gilt q = 1,1.|2=Tipp zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€; 
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%). 
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt") 
ges: n 
Löse durch Probieren! 
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€ 
ges: K0 
Stelle die Zinseszinsformel nach K0 um und setzte die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)|Tipp zu Nr. 6 und 7|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung) 
K0 = 500€; K0 = 4500€ 
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%; 
q=1,015; q = 1,01; q =1,03 
Kn=8079,63€; Kn = 11685,39€; Kn = 11098,45€ 
n = 10 Jahre; n = 39 Jahre; n = 16 Jahre|2=Vergleiche deine Lösungen zu den Übungen 12 und 13|3=Verbergen}}

===3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Halbwertszeit und Generationszeit (Verdopplungszeit)===
Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf [https://www.leifiphysik.de/kern-teilchenphysik/radioaktivitaet-einfuehrung/versuche/bierschaumzerfall leifiphysik])
{{Box|1=Halbwertszeit|2=Die Halbwertszeit T<math>\tfrac{1}{2}</math> gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge radioaktiven Materials halbiert hat. 
Der Wachstumsfaktor ist also q=100% - 50% = 1 - 0,5 = 0,5 und 
die Anzahl n der Zerfallsprozesse wird berechnet mit n = <math>\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}</math>.|3=Kurzinfo}}
Das nachfolgende Applet stellt den Zerfallsprozess anschaulich dar:

*Halbwertszeit (Atome)

Direkter Link: https://www.geogebra.org/m/cq62nsqj
<ggb_applet id="fvudcjym" width="1100" height="650" border="888888" />
Applet von Hegius, Mathezone

{{Box|1=Generationszeit/ Verdopplungszeit|2= Die Generationszeit T2 gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge / Population verdoppelt hat. 
Der Wachstumsfaktor ist also q = 100%+100% = 1 + 1 = 2 und 
die Anzahl n der Generationszeiten wird berechnet mit n = <math>\tfrac{Zeit}{Generationszeit}</math>.|3=Kurzinfo}}
Das nachfolgende Applet stellt den Verdopplungsprozess anschaulich dar:

*Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien)

Direkter Link: passt das Applet??
<ggb_applet id="etu2dsm8" width="566" height="663" border="888888" />
Applet von Hegius, R. Schürz

{{Box|Übung 13 - Generationszeit und Halbwertszeit|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.
* S. 75 Nr. 10
* S. 79 Nr. 4
* S. 79 Nr. 5
* S. 80 Nr. 8
* S. 80 Nr. 9
* S. 80 Nr. 10
* S. 83 Nr. 12 (**)
* S. 85 Nr. 23 (***)
* S. 85 Nr. 26 (**)|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Wismut 210 mit T<math>\tfrac{1}{2}</math> = 5 Tage; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 100g. 
Zeit = 30 Tage, in 5 Tagesabschnitten, also für n = 1, 2, 3, 4, 5 und 6 
ges: Wertetabelle: 
W1 = W0 · 0,51 
    = 100 · 0,5 = 50 (g) 
W2 = W0 · 0,52 
    = 100 · 0,52 = 25 (g) 
W3 = W0 · 0,53 
    = 100 · 0,53 = 12,5 (g) 
... 
[[Datei:S.75 Nr.10a.png|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipps zu Nr. 10a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Nach 2 Halbwertszeiten ist nur noch ein Viertel der ursprünglichen Menge vorhanden, also nach 2·5 = 10 Tagen.|2=Tipp zu Nr. 10b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Radium-229 mit T<math>\tfrac{1}{2}</math> = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48g. 
Zeit = 6 Minuten = 360 s 
ges: n; Wn 
n = <math>\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}</math> = <math>\tfrac{360}{240}</math> = 1,5 
W1,5 = 48 · 0,51,5 = ...
|2=Tipp zu Nr. 4a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Radium-229 mit T<math>\tfrac{1}{2}</math> = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48mg. 
Wn = 1,5 mg 
ges: n; t (Zeit) 
 
1,5 = 48 · 0,5n 
Löse durch systematisches Probieren. 
Lösung: n = 5, also t = 5·240 s = 1200 s = 20 min
|2=Tipp zu Nr. 4b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Generationszeit T2 = 45 Tage; W0 = 10 (Ratten); q = 2; t = 3 Monate = 90 Tage; n = <math>\tfrac{t}{T_2}</math> = <math>\tfrac{90}{45}</math> = 2 
ges: Wn |2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Generationszeit T2 = 45 Tage = 1,5 Monate; q = 2; W0 = 10 (Ratten); Wn = 80 Mio; 
ges: n; t 
Löse durch systematisches Probieren. (Lösung: n = 23; t = n·1,5 (Monate))|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: n = 23 (wie in Nr. 8b) 
ges: t = n·2 (Monate)(Lösung: n = 23)|2=Tipp zu Nr. 8c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: q = 2; W0 = 50 Bakterien; T2 = 30 Minuten = 0,5 Stunden; t= 3,5 Stunden; n = <math>\tfrac{t}{T_2}</math> = <math>\tfrac{3,5}{0,5}</math> = 7 
ges: Wn|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: q = 2; T2 = 3 Wochen; Wn = 100·W0 
ges: n; t 
Wn = W0·qn   | Setze q = 2 und Wn = 100·W0 ein 
Löse durch systematisches Probieren. 
(Lösung: n = 6,6 , also t = ...|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<div class="grid">

<div class="width-1-2">geg: W0= 400 (Bakterien); q = 2 ("verdoppeln"); T2 = 18,8 min; T = 2 h 
ges: n; Wn 
n = <math>\tfrac{T}{T_2} = \tfrac{120}{18,8}</math> ≈ 6,4 
Wn = W0 · qn 
...</div>
<div class="width-1-2">2. Möglichkeit: Berechne zunächst den Wachstumsfaktor für 1 Minute: 
geg: W0 = 400; W18,8 = 2·400 = 800; n = 18,8 
ges: q 
Wn = W0 · qn 
800 = 400 · q18,8   |:400
2 = q18,8   |<math>\sqrt[18,8]{...}</math> 
<math>\sqrt[18,8]{2}</math> = q 
1,038 ≈ q 
 
geg: W0 = 400; n = 2h = 120min; q = 1,038 
ges: Wn 
...</div>

</div>

|2=Tipp zu Nr. 12|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100% (die gesamte Menge des Stoffe ist noch da); W6 = 100% - 34% = 66%; n = 6 
ges: q 
W6 = W0 · q6   | Umstellen nach q 
<math>\sqrt[6]{\tfrac{W_6}{W_0}}</math> = q 
<math>\sqrt[6]{\tfrac{0,66}{1}}</math> = q 
0,933 ≈ q 
Nun berechne die Halbwertszeit: 
geg: W0 = 100%; Wn = 50%; q = 0,933 
ges: n 
Wn = W0 · qn 
0,5 = 1 · 0,993n Löse durch Probieren. 
Für n = 9 gilt: W9 ≈ 0,54 
Für n = 10 gilt: W10 ≈ 0,4998 
Also beträgt die Halbwertszeit ca. 10 Jahre, denn nach 10 Jahren hat sich die Stoffmenge halbiert.|2=Lösung zu Nr. 23|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100%; W24 = 300% (verdreifacht); n = 24 
ges: q (prozentuales Wachstum pro Tag); p% 
... 
Lösung: q=1,0468|2=Tipp zu Nr. 26a|3=Verbergen}}
 
==Einschub: Logarithmieren==
Ist beim exponentiellen Wachstum der '''Exponent '''n '''gesucht''', kannst du diesen Wert durch systematisches Probieren erhalten. Eine genauere Möglichkeit ist das Logarithmieren. 
{{Box|1=Definition Logarithmus|2=Als Logarithmus wird der Exponent n bezeichnet, mit dem man die Basis b potenziert, um die Zahl a zu erhalten (a und b positiv): 
bn=a, dann gilt logba = n 
Beispiele:
* log28 = 3; denn 23 = 8 
* log10100000 = 5; denn 105 = 100000
Für die Berechnung des Exponenten in den Aufgaben zum exponentiellen Wachstum nutzt du die folgende Tastenfolge: 
5x = 25 
x = <math>\tfrac{log25}{log5}</math> 
x = 2 |3=Kurzinfo}} 
{{#ev:youtube|f1tFVT0_Iz8|800|center}}

{{Box|1=Übung zum Logarithmieren|2=Löse S. 84 Nr. 21b mithilfe des Taschenrechners: 
3x = 50 also ist 
x = <math>\tfrac{log50}{log3}</math> 
x ≈ 3,56|3=Üben}}

 
{{Fortsetzung|weiter=4 Die Exponentialfunktion|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion}}

Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum

2024-01-11T09:13:39Z

Neukirch:

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}

{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion|Vorwissen]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum| 1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum|2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor ]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum|3) Exponentielles Wachstum]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion|4) Die Exponentialfunktion]]}}
 
==3 Exponentielles Wachstum==
{{Box|1=Einstieg: Weltbevölkerung|2=[[Datei:Person-2829500 1920.png|rechts|rahmenlos]]Im Jahr 2019 lebten 7,7 Mrd. Menschen auf der Erde. Wissenschaflter prognostizierten in diesem Jahr eine jährliche Zuwachsrate von 1,25%. Also gilt q=100%+1,25% = 101,25% = 1,0125 
Wie viele Menschen leben demnach im Jahr 2030 auf der Erde? 
Stelle diese Situation auf verschiedene Arten dar. (Erinnerung: Text (ist gegeben), Wertetabelle, Funktionsgleichung und Funktionsgraph) 
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Wertetabelle neu.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Prognose für das Jahr 2030: n = 11 
W11 = W0 ∙ q11 
   = 7,70 ∙ 1,02511
   ≈8,83|2=Tipp zur Funktionsgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Entwicklung Graph.png|rahmenlos|506x506px]]|Tipp zum Funktionsgraphen|Verbergen}}

{{Box|1=Exponentielles Wachstum - Exponentialgleichung|2=Wir sprechen von exponentiellem Wachstum, wenn der Wert einer Größe in gleichen Zeitspannen immer um denselben Prozentsatz p% zunimmt bzw. abnimmt. 
Die neue Größe nach n Zeitspannen berechnen wir mit 
'''<big>Wn = W0 · qn</big>''', 
wobei q der Wachstumsfaktor ist. 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Zunahme: q = 1 + p%, also q > 1</div>
<div class="width-1-2">Abnahme: q = 1 - p%, also q < 1</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
 
Die Gleichung Wn = W0 · qn heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.

{{Lösung versteckt|1=Erinnerung vermehrter/verminderter Grundwert in der Prozentrechnung: 
vermehrter Grundert: G+ = G · p+% (mit p+% = 1+p% = q) 
verminderter Grundwert: G- = G · p-% (mit p-% = 1-p% = q) |2=Zusammenhang Prozentrechnung|3=Verbergen}}

<ggb_applet id="jtgzqdtf" width="1138" height="787" border="888888" />
Applet von C. Buß-Haskert Originallink https://www.geogebra.org/m/jtgzqdtf

{{LearningApp|app=17257009|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=p62i35bq221|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=17256599|width=100%|heigth=600px}}

==3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen==
{{Box|Anwendungsaufgabe 1: Bevölkerungswachstum (Wn gesucht)|Die Bevölkerung in Indien beträgt zur Zeit 1,38 Milliarden Einwohner (2020). Die jährliche Zunahme beträgt derzeit 0,8%. 
Wie viele Einwohner hat Indien im Jahr 2025?|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 1,38 Mrd.; p% = 0,8% = 0,008, also ist q = 1+0,008 = 1,008; n = 5 (von 2020 - 2025) 
ges: W5 
 
Wn = W0 · qn 
W5 = 1,38 · 1,0085 
     = 1,436 
Indien wird im Jahr 2025 ca. 1,436 Mrd. Einwohner haben.|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8): 
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
 
{{Box|Übung 1: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 9
* 10
* 11
* 12
* 17
* 18
* 19
* 20
* 21|Üben}}
 
{{Box|Exponentialgleichung - Formel umstellen|[[Datei:Umstellen der Exponentialgleichung.png|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Formel auch nach n umstellen. Die Lösung erfolgt durch Logarithmieren. Eine Erklärung hierzu, findest du unten auf der Seite.|2=Hinweis zur Berechnung von n (Logarithmieren)|3=Verbergen}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel (W0 gesucht)|[[Datei:Iceberg-g3d68c08ff 1920.jpg|rechts|rahmenlos|100x100px]]Im Jahr 2021 ist die Fläche der Arktis mit 4,7 Mio km² deutlich kleiner als noch vor rund 30 Jahren. Die Abnahme beträgt mit leichten Schwankungen jährlich ca. 1,7%. 
Wie groß war die Fläche vor 30 Jahren?|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W30 = 4,7 Mio km²; p% = -1,7% = -0,017, also ist q = 1-0,017 = 0,983; n = 30 
ges: W0 
 
Wn = W0 · qn   | : qn 
W0 = <math>\tfrac{W_n}{q^n}</math> 
W0 = <math>\tfrac{W_{30}}{q^{30}}</math> 
      = <math>\tfrac{4,7}{0,983^{30}}</math> 
     ≈ 7,86 
Vor 30 Jahren betrug die Fläche der Arktis noch ca. 7,86 Mio km².|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 2: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 22
* 23
* 24
* 25|Üben}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)|[[Datei:House-g7ece683db 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€. 
Um wie viel Prozent ist die Miete durchschnittlich pro Jahr gestiegen? |Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 600 €; W5 = 730 €; n = 5 
ges: q bzw. p% 
 
Wn = W0 · qn   | : W0 
<math>\tfrac{W_n}{W_0}</math> = qn   | <math>\sqrt[n]{}</math> 
<math>\sqrt[n]{\tfrac{W_n}{W_0}}</math> = q 
<math>\sqrt[5]{\tfrac{730}{600}}= q</math> 
1,04 ≈ q 
p% = q - 1 = 0,04 = 4%
Die Mietsteigerung betrug jährlich 4%.|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die n-te Wurzel bestimmst du mit dem Taschenrechner mit der Tastenkombination im Bild 
[[Datei:Taschenrechner Bild n-te Wurzel.png|rahmenlos]]|Tipp: n-te Wurzel in den Taschenrechner eingeben|Verbergen}}
 

{{Box|Übung 3: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 26
* 27
* 28
* 29
* 30|Üben}}
 
{{Box|Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)|[[Datei:Tea-pot-gc1ced1e73 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65°C zu trinken. 
Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug? |Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100°C; Wn = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95 
ges: n 
 
Wn = W0 · qn   | Löse durch systematisches Probieren (Wertetabelle) 
Für n = 1 gilt: 
W1 = W0 · q1   |
    = 100 · 0,951 
    = 95 (°C) 
... 
Für n = 8 gilt:
W8 = W0 · q8   |
    = 100 · 0,958 
    ≈ 66,3 (°C) 
Für n = 9 gilt:
W9 = W0 · q9   |
    = 100 · 0,959 
    ≈ 63,0 (°C) 

Nach ca. 9 Minuten ist der Tee auf unter 65°C abgekühlt.
|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Lösung auch durch Logarithmieren lösen: 
Wn = W0 · qn 
65 = 100 · 0,95n   |:100 
0,65 = 0,95n   |log 
<math>\tfrac{\log0,65}{\log0,95}</math> = n 
8,4 ≈ n 
Also ist der Tee nach ca. 9 Minuten auf unter 65°C abgekühlt|2=Lösen mit Logarithmieren|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 4: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 37
* 38
* 39
* 40
* 41|Üben}}
 
{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.
* S. 73 Nr. 1
* S. 73 Nr. 2
* S. 73 Nr. 4
* S. 75 Nr. 9
* S. 75 Nr. 11
* S. 80 Nr. 7|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3 
ges: W1; W2; ...; W5 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 1a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3; Wn = 1200 g 
ges: n 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 4. Löse durch systematische Probieren. 
Lösung:
für n = 6 ist W6 = ... ≈965,4 g 
für n = 7 ist W7 = ... ≈ 1254,9 g 
Nach etwas weniger als 7 Tagen ist die Algenmasse auf 1200 g gewachsen. 
|2=Tipp zu Nr. 1b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 18700 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009; n = 2 (von 2013 bis 2015) 
ges: W2 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 2a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W2 = 22500 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009 
ges: W0 (2013) und W1 (2014) 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 2.|2=Tipp zu Nr. 2b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 26200 €(im Jahr 2018); p% = 2,3% = 0,023, also q = 1+0,023 = 1,023; n = 5 (von 2018 bis 2023) 
ges: W5 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = ... (Bevölkerungszahlen im Jahr 2010); p% = 1,2% = 0,012, also q = 1+0,012= 1,012 usw.; n = 40 (von 2010 bis 2050) 
ges: W40 
Rechne jeweils wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 4a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:SP 10 S.75 Nr.9 Lösung.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100% (Lichtintensität); p% = -11% = -0,11, also q = 1-0,11 = 0,89; n = 10 (in 10m Tiefe) 
ges: W10 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1. 
Lösung: W10 = ... ≈ 31,2% 
In 10m Tiefe beträgt die Lichtintensität nur noch 31,2%. |2=Tipp zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Luftdruck in Meereshöhe W0=1013 hPa; Abnahme je 100m p%=-1,23%=-0,0123, also q=1-0,0123 = 0,9877; Höhe des Kilimandscharo 5895m = 58,95· 100 m, also x = 58,95 und des Mt. Everest 8848m = 88,48·100 m, also x = 88,48 
ges: Luftdruck auf den Bergen, also Wx 
Wx = W0 · qx 
    = 1013 · 0,987758,95 
   ≈ 488,4 (hPa) 
Rechne ebenso für den Mt Everest (Lösung: 338,9 hPa)|2=Tipp zu Nr. 7a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bestimme zunächst den Luftdruck in 500 m Höhe (also x = 5) und in 841 m Höhe (also x = 8,41). Danach berechne den Unterschied von beiden. dies ist W. 
Den prozentuale Unterschied berechne mit p% = <math>\tfrac{W}{G}</math>, mit dem Grundwert in 500m Höhe.|2=Tipp zu Nr. 7b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein. Wx = 1013 · 0,9887x:100 
x steht hier für die Höhe, in der der Luftdruck berechnet werden soll. 
[[Datei:SP10 S.80 Nr7c.png|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp zu Nr. 7c|3=Verbergen}}

 
{{Box|Übung 6: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die vermischten Aufgaben.
* 31
* 32
* 33
* 34
* 35
* 36|Üben}}
 
{{Box|Übung 7: ANTON-APP|Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der [https://anton.app/de/ ANTON-App].|Üben}}
 
===3.2) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung===
{{Box|1=Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst. 
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel 
'''<big>Kn = K0 ∙ qn       mit q = 1 + p%'''</big>''' 
|3=Arbeitsmethode}}

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
 

{{Box|1=Übung 8 (online)|2=Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 1 (Hier kannst du z.B. das Einstiegsbeispiel einstellen)
* 2 (Nutze die Zinseszinsformel Kn = K0 ∙ qn)
* 3 (Nutze die Zinseszinsformel Kn = K0 ∙ qn)|3=Üben}}

{{Box|Übung 9|[[Datei:Business-g97f006239 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]a) Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz von 2% angelegt. Berechne das Kapital nach 4 Jahren. 
b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.|Tipp zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5 
K5 = K0 ∙ q5 
   = 7500 ∙ 1,0155 
   = 8079,63 (€)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}

{{Box|1=Umstellen der Zinseszinformel|2=<div class="grid">

<div class="width-1-2"><big> Formel umstellen nach K0</big> ("Wie hoch war das Startkapital...?): 
Kn = K0 ∙ qn  |:qn 
<math>\tfrac{K_n}{q^n}</math>= K0 
 
 </div>
<div class="width-1-2"><big>Formel umstellen nach q </big> ("Mit welchem Prozentsatz ...?): 
Kn = K0 ∙ qn  |:K0 
<math>\tfrac{K_n}{K^0}</math> = qn  |<math>\sqrt[n]{}</math> 
<math>\sqrt[n]{\tfrac{K_n}{K_0}}</math> = q 
Bestimme dann p% mit q = 1+p%, also q-1 = p%. 
 </div>

</div>
<big>Formel umstellen nach n </big> ("Nach wie vielen Jahren...?"): 
Löse hier also durch systematisches '''Probieren'''! 
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.
(Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Du darfst auch durch Logarithmieren lösen.) 
 |3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Hefteintrag: Beispiele|Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.|Arbeitsmethode}}
{{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=193&end=420}}

{{Box|Übung 10 (online)|Wähle aus den folgenden Aufgaben '''mindestens zwei''' Aufgaben aus und löse: Aufgaben auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs''']
* 5
* 6
* 7
* 8
* 9|Üben}}

{{Box|Übung 11 - Zinseszinsrechnung|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
* S. 73 Nr. 3|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=a) geg:... 
ges: q; Kn 
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015 
K5 = K0 ∙ q5 Setze die Werte ein und berechne mit dem Taschenrechner.|2=Tipp zu Nr. 3a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=b) geg:... 
ges: p%; Kn 
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5% 
Berechne Kn durch einsetzen der Werte in die Formel.|2=Tipp zu Nr. 3b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=c) geg: ... 
ges: K0; p% 
Stelle die Formel nach K0 um und setze dann die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 3c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=d)geg: ... 
ges: q und p% 
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q. 
Berechne dann p% mit p% = q-1 (Wandel den Dezimalbruch in Prozent um.)|2=Tipp zu Nr. 3d|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=e) geg: ... 
ges: q; n 
q = 1 + p% = ... 
Bestimme n durch Probieren. 
Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.|2=Tipp zu Nr. 3e|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 12 - Anwendungsaufgaben zur Zinseszinsrechnung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
* S. 73 Nr. 5a (**)
* S. 75 Nr. 8 (Nutze GeoGeogebra)
* S. 79 Nr. 1
* S. 83 Nr. 10
* S. 87 Nr. 6
* S. 87 Nr. 7
|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€ 
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018 
Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder Kn mehr als 2000€ beträgt.|2=Tipp zu Nr. 5a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Stelle die passende Gleichung auf und gib diese bei GeoGebra ein. Löse damit Aufgabenteil c) und d), 
(Kn=7200∙1,018n 
Funktionsgleichung: f(x) = 7200∙1,018n x|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche die beiden Angebote: 
Angebot A: 
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre 
ges: Kn 
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne. 
 
Angebot B: 
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%. 
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne. 
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest: 
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ... 
denn p% = 10% = 0,1, also gilt q = 1,1.|2=Tipp zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€; 
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%). 
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt") 
ges: n 
Löse durch Probieren! 
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€ 
ges: K0 
Stelle die Zinseszinsformel nach K0 um und setzte die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)|Tipp zu Nr. 6 und 7|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung) 
K0 = 500€; K0 = 4500€ 
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%; 
q=1,015; q = 1,01; q =1,03 
Kn=8079,63€; Kn = 11685,39€; Kn = 11098,45€ 
n = 10 Jahre; n = 39 Jahre; n = 16 Jahre|2=Vergleiche deine Lösungen zu den Übungen 12 und 13|3=Verbergen}}

===3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Halbwertszeit und Generationszeit (Verdopplungszeit)===
Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf [https://www.leifiphysik.de/kern-teilchenphysik/radioaktivitaet-einfuehrung/versuche/bierschaumzerfall leifiphysik])
{{Box|1=Halbwertszeit|2=Die Halbwertszeit T<math>\tfrac{1}{2}</math> gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge radioaktiven Materials halbiert hat. 
Der Wachstumsfaktor ist also q=100% - 50% = 1 - 0,5 = 0,5 und 
die Anzahl n der Zerfallsprozesse wird berechnet mit n = <math>\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}</math>.|3=Kurzinfo}}
Das nachfolgende Applet stellt den Zerfallsprozess anschaulich dar:

*Halbwertszeit (Atome)

Direkter Link: https://www.geogebra.org/m/cq62nsqj
<ggb_applet id="fvudcjym" width="1100" height="650" border="888888" />
Applet von Hegius, Mathezone

{{Box|1=Generationszeit/ Verdopplungszeit|2= Die Generationszeit T2 gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge / Population verdoppelt hat. 
Der Wachstumsfaktor ist also q = 100%+100% = 1 + 1 = 2 und 
die Anzahl n der Generationszeiten wird berechnet mit n = <math>\tfrac{Zeit}{Generationszeit}</math>.|3=Kurzinfo}}
Das nachfolgende Applet stellt den Verdopplungsprozess anschaulich dar:

*Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien)

Direkter Link: passt das Applet??
<ggb_applet id="etu2dsm8" width="566" height="663" border="888888" />
Applet von Hegius, R. Schürz

{{Box|Übung 13 - Generationszeit und Halbwertszeit|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.
* S. 75 Nr. 10
* S. 79 Nr. 4
* S. 79 Nr. 5
* S. 80 Nr. 8
* S. 80 Nr. 9
* S. 80 Nr. 10
* S. 83 Nr. 12 (**)
* S. 85 Nr. 23 (***)
* S. 85 Nr. 26 (**)|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Wismut 210 mit T<math>\tfrac{1}{2}</math> = 5 Tage; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 100g. 
Zeit = 30 Tage, in 5 Tagesabschnitten, also für n = 1, 2, 3, 4, 5 und 6 
ges: Wertetabelle: 
W1 = W0 · 0,51 
    = 100 · 0,5 = 50 (g) 
W2 = W0 · 0,52 
    = 100 · 0,52 = 25 (g) 
W3 = W0 · 0,53 
    = 100 · 0,53 = 12,5 (g) 
... 
[[Datei:S.75 Nr.10a.png|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipps zu Nr. 10a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Nach 2 Halbwertszeiten ist nur noch ein Viertel der ursprünglichen Menge vorhanden, also nach 2·5 = 10 Tagen.|2=Tipp zu Nr. 10b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Radium-229 mit T<math>\tfrac{1}{2}</math> = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48g. 
Zeit = 6 Minuten = 360 s 
ges: n; Wn 
n = <math>\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}</math> = <math>\tfrac{360}{240}</math> = 1,5 
W1,5 = 48 · 0,51,5 = ...
|2=Tipp zu Nr. 4a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Radium-229 mit T<math>\tfrac{1}{2}</math> = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48mg. 
Wn = 1,5 mg 
ges: n; t (Zeit) 
 
1,5 = 48 · 0,5n 
Löse durch systematisches Probieren. 
Lösung: n = 5, also t = 5·240 s = 1200 s = 20 min
|2=Tipp zu Nr. 4b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Generationszeit T2 = 45 Tage; W0 = 10 (Ratten); q = 2; t = 3 Monate = 90 Tage; n = <math>\tfrac{t}{T_2}</math> = <math>\tfrac{90}{45}</math> = 2 
ges: Wn |2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Generationszeit T2 = 45 Tage = 1,5 Monate; q = 2; W0 = 10 (Ratten); Wn = 80 Mio; 
ges: n; t 
Löse durch systematisches Probieren. (Lösung: n = 23; t = n·1,5 (Monate))|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: n = 23 (wie in Nr. 8b) 
ges: t = n·2 (Monate)(Lösung: n = 23)|2=Tipp zu Nr. 8c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: q = 2; W0 = 50 Bakterien; T2 = 30 Minuten = 0,5 Stunden; t= 3,5 Stunden; n = <math>\tfrac{t}{T_2}</math> = <math>\tfrac{3,5}{0,5}</math> = 7 
ges: Wn|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: q = 2; T2 = 3 Wochen; Wn = 100·W0 
ges: n; t 
Wn = W0·qn   | Setze q = 2 und Wn = 100·W0 ein 
Löse durch systematisches Probieren. 
(Lösung: n = 6,6 , also t = ...|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<div class="grid">

<div class="width-1-2">geg: W0= 400 (Bakterien); q = 2 ("verdoppeln"); T2 = 18,8 min; T = 2 h 
ges: n; Wn 
n = <math>\tfrac{T}{T_2} = \tfrac{120}{18,8}</math> ≈ 6,4 
Wn = W0 · qn 
...</div>
<div class="width-1-2">2. Möglichkeit: Berechne zunächst den Wachstumsfaktor für 1 Minute: 
geg: W0 = 400; W18,8 = 2·400 = 800; n = 18,8 
ges: q 
Wn = W0 · qn 
800 = 400 · q18,8   |:400
2 = q18,8   |<math>\sqrt[18,8]{...}</math> 
<math>\sqrt[18,8]{2}</math> = q 
1,038 ≈ q 
 
geg: W0 = 400; n = 2h = 120min; q = 1,038 
ges: Wn 
...</div>

</div>

|2=Tipp zu Nr. 12|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100% (die gesamte Menge des Stoffe ist noch da); W6 = 100% - 34% = 66%; n = 6 
ges: q 
W6 = W0 · q6   | Umstellen nach q 
<math>\sqrt[6]{\tfrac{W_6}{W_0}}</math> = q 
<math>\sqrt[6]{\tfrac{0,66}{1}}</math> = q 
0,933 ≈ q 
Nun berechne die Halbwertszeit: 
geg: W0 = 100%; Wn = 50%; q = 0,933 
ges: n 
Wn = W0 · qn 
0,5 = 1 · 0,993n Löse durch Probieren. 
Für n = 9 gilt: W9 ≈ 0,54 
Für n = 10 gilt: W10 ≈ 0,4998 
Also beträgt die Halbwertszeit ca. 10 Jahre, denn nach 10 Jahren hat sich die Stoffmenge halbiert.|2=Lösung zu Nr. 23|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100%; W24 = 300% (verdreifacht); n = 24 
ges: q (prozentuales Wachstum pro Tag); p% 
... 
Lösung: q=1,0468|2=Tipp zu Nr. 26a|3=Verbergen}}
 
==Einschub: Logarithmieren==
Ist beim exponentiellen Wachstum der '''Exponent '''n '''gesucht''', kannst du diesen Wert durch systematisches Probieren erhalten. Eine genauere Möglichkeit ist das Logarithmieren. 
{{Box|1=Definition Logarithmus|2=Als Logarithmus wird der Exponent n bezeichnet, mit dem man die Basis b potenziert, um die Zahl a zu erhalten (a und b positiv): 
bn=a, dann gilt logba = n 
Beispiele:
* log28 = 3; denn 23 = 8 
* log10100000 = 5; denn 105 = 100000
Für die Berechnung des Exponenten in den Aufgaben zum exponentiellen Wachstum nutzt du die folgende Tastenfolge: 
5x = 25 
x = <math>\tfrac{log25}{log5}</math> 
x = 2 |3=Kurzinfo}} 
{{#ev:youtube|f1tFVT0_Iz8|800|center}}

{{Box|1=Übung zum Logarithmieren|2=Löse S. 84 Nr. 21b mithilfe des Taschenrechners: 
3x = 50 also ist 
x = <math>\tfrac{log50}{log3}</math> 
x ≈ 3,56|3=Üben}}

 
{{Fortsetzung|weiter=4 Die Exponentialfunktion|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion}}

Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum

2024-01-10T09:35:01Z

Neukirch:

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}

{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion|Vorwissen]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum| 1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum|2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor ]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum|3) Exponentielles Wachstum]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion|4) Die Exponentialfunktion]]}}
 
==3 Exponentielles Wachstum==
{{Box|1=Einstieg: Weltbevölkerung|2=[[Datei:Person-2829500 1920.png|rechts|rahmenlos]]Im Jahr 2019 lebten 7,7 Mrd. Menschen auf der Erde. Wissenschaflter prognostizierten in diesem Jahr eine jährliche Zuwachsrate von 1,25%. Also gilt q=100%+1,25% = 101,25% = 1,0125 
Wie viele Menschen leben demnach im Jahr 2030 auf der Erde? 
Stelle diese Situation auf verschiedene Arten dar. (Erinnerung: Text (ist gegeben), Wertetabelle, Funktionsgleichung und Funktionsgraph) 
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Wertetabelle neu.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Prognose für das Jahr 2030: n = 11 
W11 = W0 ∙ q11 
   = 7,70 ∙ 1,02511
   ≈8,83|2=Tipp zur Funktionsgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Entwicklung Graph.png|rahmenlos|506x506px]]|Tipp zum Funktionsgraphen|Verbergen}}

{{Box|1=Exponentielles Wachstum - Exponentialgleichung|2=Wir sprechen von exponentiellem Wachstum, wenn der Wert einer Größe in gleichen Zeitspannen immer um denselben Prozentsatz p% zunimmt bzw. abnimmt. 
Die neue Größe nach n Zeitspannen berechnen wir mit 
'''<big>Wn = W0 · qn</big>''', 
wobei q der Wachstumsfaktor ist. 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Zunahme: q = 1 + p%, also q > 1</div>
<div class="width-1-2">Abnahme: q = 1 - p%, also q < 1</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
 
Die Gleichung Wn = W0 · qn heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.

{{Lösung versteckt|1=Erinnerung vermehrter/verminderter Grundwert in der Prozentrechnung: 
vermehrter Grundert: G+ = G · p+% (mit p+% = 1+p% = q) 
verminderter Grundwert: G- = G · p-% (mit p-% = 1-p% = q) |2=Zusammenhang Prozentrechnung|3=Verbergen}}

<ggb_applet id="jtgzqdtf" width="1138" height="787" border="888888" />
Applet von C. Buß-Haskert Originallink https://www.geogebra.org/m/jtgzqdtf

{{LearningApp|app=17257009|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=p62i35bq221|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=17256599|width=100%|heigth=600px}}

==3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen==
{{Box|Anwendungsaufgabe 1: Bevölkerungswachstum (Wn gesucht)|Die Bevölkerung in Indien beträgt zur Zeit 1,38 Milliarden Einwohner (2020). Die jährliche Zunahme beträgt derzeit 0,8%. 
Wie viele Einwohner hat Indien im Jahr 2025?|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 1,38 Mrd.; p% = 0,8% = 0,008, also ist q = 1+0,008 = 1,008; n = 5 (von 2020 - 2025) 
ges: W5 
 
Wn = W0 · qn 
W5 = 1,38 · 1,0085 
     = 1,436 
Indien wird im Jahr 2025 ca. 1,436 Mrd. Einwohner haben.|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8): 
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
 
{{Box|Übung 1: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 9
* 10
* 11
* 12
* 17
* 18
* 19
* 20
* 21|Üben}}
 
{{Box|Exponentialgleichung - Formel umstellen|[[Datei:Umstellen der Exponentialgleichung.png|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Formel auch nach n umstellen. Die Lösung erfolgt durch Logarithmieren. Eine Erklärung hierzu, findest du unten auf der Seite.|2=Hinweis zur Berechnung von n (Logarithmieren)|3=Verbergen}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel (W0 gesucht)|[[Datei:Iceberg-g3d68c08ff 1920.jpg|rechts|rahmenlos|100x100px]]Im Jahr 2021 ist die Fläche der Arktis mit 4,7 Mio km² deutlich kleiner als noch vor rund 30 Jahren. Die Abnahme beträgt mit leichten Schwankungen jährlich ca. 1,7%. 
Wie groß war die Fläche vor 30 Jahren?|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W30 = 4,7 Mio km²; p% = -1,7% = -0,017, also ist q = 1-0,017 = 0,983; n = 30 
ges: W0 
 
Wn = W0 · qn   | : qn 
W0 = <math>\tfrac{W_n}{q^n}</math> 
W0 = <math>\tfrac{W_{30}}{q^{30}}</math> 
      = <math>\tfrac{4,7}{0,983^{30}}</math> 
     ≈ 7,86 
Vor 30 Jahren betrug die Fläche der Arktis noch ca. 7,86 Mio km².|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 2: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 22
* 23
* 24
* 25|Üben}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)|[[Datei:House-g7ece683db 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€. 
Um wie viel Prozent ist die Miete durchschnittlich pro Jahr gestiegen? |Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 600 €; W5 = 730 €; n = 5 
ges: q bzw. p% 
 
Wn = W0 · qn   | : W0 
<math>\tfrac{W_n}{W_0}</math> = qn   | <math>\sqrt[n]{}</math> 
<math>\sqrt[n]{\tfrac{W_n}{W_0}}</math> = q 
<math>\sqrt[5]{\tfrac{730}{600}}= q</math> 
1,04 ≈ q 
p% = q - 1 = 0,04 = 4%
Die Mietsteigerung betrug jährlich 4%.|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die n-te Wurzel bestimmst du mit dem Taschenrechner mit der Tastenkombination im Bild 
[[Datei:Taschenrechner Bild n-te Wurzel.png|rahmenlos]]|Tipp: n-te Wurzel in den Taschenrechner eingeben|Verbergen}}
 

{{Box|Übung 3: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 26
* 27
* 28
* 29
* 30|Üben}}
 
{{Box|Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)|[[Datei:Tea-pot-gc1ced1e73 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65° zu trinken. 
Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug? |Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100°; Wn = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95 
ges: n 
 
Wn = W0 · qn   | Löse durch systematisches Probieren (Wertetabelle) 
Für n = 1 gilt: 
W1 = W0 · q1   |
    = 100 · 0,951 
    = 95 (°C) 
... 
Für n = 8 gilt:
W8 = W0 · q8   |
    = 100 · 0,958 
    ≈ 66,3 (°C) 
Für n = 9 gilt:
W9 = W0 · q9   |
    = 100 · 0,959 
    ≈ 63,0 (°C) 

Nach ca. 9 Minuten ist der Tee auf unter 65°C abgekühlt.
|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Lösung auch durch Logarithmieren lösen: 
Wn = W0 · qn 
65 = 100 · 0,95n   |:100 
0,65 = 0,95n   |log 
<math>\tfrac{\log0,65}{\log0,95}</math> = n 
8,4 ≈ n 
Also ist der Tee nach ca. 9 Minuten auf unter 65°C abgekühlt|2=Lösen mit Logarithmieren|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 4: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 37
* 38
* 39
* 40
* 41|Üben}}
 
{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.
* S. 73 Nr. 1
* S. 73 Nr. 2
* S. 73 Nr. 4
* S. 75 Nr. 9
* S. 75 Nr. 11
* S. 80 Nr. 7|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3 
ges: W1; W2; ...; W5 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 1a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3; Wn = 1200 g 
ges: n 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 4. Löse durch systematische Probieren. 
Lösung:
für n = 6 ist W6 = ... ≈965,4 g 
für n = 7 ist W7 = ... ≈ 1254,9 g 
Nach etwas weniger als 7 Tagen ist die Algenmasse auf 1200 g gewachsen. 
|2=Tipp zu Nr. 1b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 18700 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009; n = 2 (von 2013 bis 2015) 
ges: W2 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 2a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W2 = 22500 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009 
ges: W0 (2013) und W1 (2014) 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 2.|2=Tipp zu Nr. 2b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 26200 €(im Jahr 2018); p% = 2,3% = 0,023, also q = 1+0,023 = 1,023; n = 5 (von 2018 bis 2023) 
ges: W5 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = ... (Bevölkerungszahlen im Jahr 2010); p% = 1,2% = 0,012, also q = 1+0,012= 1,012 usw.; n = 40 (von 2010 bis 2050) 
ges: W40 
Rechne jeweils wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 4a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:SP 10 S.75 Nr.9 Lösung.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100% (Lichtintensität); p% = -11% = -0,11, also q = 1-0,11 = 0,89; n = 10 (in 10m Tiefe) 
ges: W10 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1. 
Lösung: W10 = ... ≈ 31,2% 
In 10m Tiefe beträgt die Lichtintensität nur noch 31,2%. |2=Tipp zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Luftdruck in Meereshöhe W0=1013 hPa; Abnahme je 100m p%=-1,23%=-0,0123, also q=1-0,0123 = 0,9877; Höhe des Kilimandscharo 5895m = 58,95· 100 m, also x = 58,95 und des Mt. Everest 8848m = 88,48·100 m, also x = 88,48 
ges: Luftdruck auf den Bergen, also Wx 
Wx = W0 · qx 
    = 1013 · 0,987758,95 
   ≈ 488,4 (hPa) 
Rechne ebenso für den Mt Everest (Lösung: 338,9 hPa)|2=Tipp zu Nr. 7a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bestimme zunächst den Luftdruck in 500 m Höhe (also x = 5) und in 841 m Höhe (also x = 8,41). Danach berechne den Unterschied von beiden. dies ist W. 
Den prozentuale Unterschied berechne mit p% = <math>\tfrac{W}{G}</math>, mit dem Grundwert in 500m Höhe.|2=Tipp zu Nr. 7b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein. Wx = 1013 · 0,9887x:100 
x steht hier für die Höhe, in der der Luftdruck berechnet werden soll. 
[[Datei:SP10 S.80 Nr7c.png|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp zu Nr. 7c|3=Verbergen}}

 
{{Box|Übung 6: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die vermischten Aufgaben.
* 31
* 32
* 33
* 34
* 35
* 36|Üben}}
 
{{Box|Übung 7: ANTON-APP|Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der [https://anton.app/de/ ANTON-App].|Üben}}
 
===3.2) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung===
{{Box|1=Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst. 
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel 
'''<big>Kn = K0 ∙ qn       mit q = 1 + p%'''</big>''' 
|3=Arbeitsmethode}}

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
 

{{Box|1=Übung 8 (online)|2=Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 1 (Hier kannst du z.B. das Einstiegsbeispiel einstellen)
* 2 (Nutze die Zinseszinsformel Kn = K0 ∙ qn)
* 3 (Nutze die Zinseszinsformel Kn = K0 ∙ qn)|3=Üben}}

{{Box|Übung 9|[[Datei:Business-g97f006239 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]a) Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz von 2% angelegt. Berechne das Kapital nach 4 Jahren. 
b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.|Tipp zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5 
K5 = K0 ∙ q5 
   = 7500 ∙ 1,0155 
   = 8079,63 (€)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}

{{Box|1=Umstellen der Zinseszinformel|2=<div class="grid">

<div class="width-1-2"><big> Formel umstellen nach K0</big> ("Wie hoch war das Startkapital...?): 
Kn = K0 ∙ qn  |:qn 
<math>\tfrac{K_n}{q^n}</math>= K0 
 
 </div>
<div class="width-1-2"><big>Formel umstellen nach q </big> ("Mit welchem Prozentsatz ...?): 
Kn = K0 ∙ qn  |:K0 
<math>\tfrac{K_n}{K^0}</math> = qn  |<math>\sqrt[n]{}</math> 
<math>\sqrt[n]{\tfrac{K_n}{K_0}}</math> = q 
Bestimme dann p% mit q = 1+p%, also q-1 = p%. 
 </div>

</div>
<big>Formel umstellen nach n </big> ("Nach wie vielen Jahren...?"): 
Löse hier also durch systematisches '''Probieren'''! 
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.
(Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Du darfst auch durch Logarithmieren lösen.) 
 |3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Hefteintrag: Beispiele|Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.|Arbeitsmethode}}
{{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=193&end=420}}

{{Box|Übung 10 (online)|Wähle aus den folgenden Aufgaben '''mindestens zwei''' Aufgaben aus und löse: Aufgaben auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs''']
* 5
* 6
* 7
* 8
* 9|Üben}}

{{Box|Übung 11 - Zinseszinsrechnung|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
* S. 73 Nr. 3|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=a) geg:... 
ges: q; Kn 
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015 
K5 = K0 ∙ q5 Setze die Werte ein und berechne mit dem Taschenrechner.|2=Tipp zu Nr. 3a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=b) geg:... 
ges: p%; Kn 
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5% 
Berechne Kn durch einsetzen der Werte in die Formel.|2=Tipp zu Nr. 3b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=c) geg: ... 
ges: K0; p% 
Stelle die Formel nach K0 um und setze dann die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 3c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=d)geg: ... 
ges: q und p% 
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q. 
Berechne dann p% mit p% = q-1 (Wandel den Dezimalbruch in Prozent um.)|2=Tipp zu Nr. 3d|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=e) geg: ... 
ges: q; n 
q = 1 + p% = ... 
Bestimme n durch Probieren. 
Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.|2=Tipp zu Nr. 3e|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 12 - Anwendungsaufgaben zur Zinseszinsrechnung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
* S. 73 Nr. 5a (**)
* S. 75 Nr. 8 (Nutze GeoGeogebra)
* S. 79 Nr. 1
* S. 83 Nr. 10
* S. 87 Nr. 6
* S. 87 Nr. 7
|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€ 
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018 
Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder Kn mehr als 2000€ beträgt.|2=Tipp zu Nr. 5a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Stelle die passende Gleichung auf und gib diese bei GeoGebra ein. Löse damit Aufgabenteil c) und d), 
(Kn=7200∙1,018n 
Funktionsgleichung: f(x) = 7200∙1,018n x|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche die beiden Angebote: 
Angebot A: 
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre 
ges: Kn 
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne. 
 
Angebot B: 
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%. 
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne. 
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest: 
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ... 
denn p% = 10% = 0,1, also gilt q = 1,1.|2=Tipp zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€; 
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%). 
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt") 
ges: n 
Löse durch Probieren! 
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€ 
ges: K0 
Stelle die Zinseszinsformel nach K0 um und setzte die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)|Tipp zu Nr. 6 und 7|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung) 
K0 = 500€; K0 = 4500€ 
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%; 
q=1,015; q = 1,01; q =1,03 
Kn=8079,63€; Kn = 11685,39€; Kn = 11098,45€ 
n = 10 Jahre; n = 39 Jahre; n = 16 Jahre|2=Vergleiche deine Lösungen zu den Übungen 12 und 13|3=Verbergen}}

===3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Halbwertszeit und Generationszeit (Verdopplungszeit)===
Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf [https://www.leifiphysik.de/kern-teilchenphysik/radioaktivitaet-einfuehrung/versuche/bierschaumzerfall leifiphysik])
{{Box|1=Halbwertszeit|2=Die Halbwertszeit T<math>\tfrac{1}{2}</math> gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge radioaktiven Materials halbiert hat. 
Der Wachstumsfaktor ist also q=100% - 50% = 1 - 0,5 = 0,5 und 
die Anzahl n der Zerfallsprozesse wird berechnet mit n = <math>\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}</math>.|3=Kurzinfo}}
Das nachfolgende Applet stellt den Zerfallsprozess anschaulich dar:

*Halbwertszeit (Atome)

Direkter Link: https://www.geogebra.org/m/cq62nsqj
<ggb_applet id="fvudcjym" width="1100" height="650" border="888888" />
Applet von Hegius, Mathezone

{{Box|1=Generationszeit/ Verdopplungszeit|2= Die Generationszeit T2 gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge / Population verdoppelt hat. 
Der Wachstumsfaktor ist also q = 100%+100% = 1 + 1 = 2 und 
die Anzahl n der Generationszeiten wird berechnet mit n = <math>\tfrac{Zeit}{Generationszeit}</math>.|3=Kurzinfo}}
Das nachfolgende Applet stellt den Verdopplungsprozess anschaulich dar:

*Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien)

Direkter Link: passt das Applet??
<ggb_applet id="etu2dsm8" width="566" height="663" border="888888" />
Applet von Hegius, R. Schürz

{{Box|Übung 13 - Generationszeit und Halbwertszeit|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.
* S. 75 Nr. 10
* S. 79 Nr. 4
* S. 79 Nr. 5
* S. 80 Nr. 8
* S. 80 Nr. 9
* S. 80 Nr. 10
* S. 83 Nr. 12 (**)
* S. 85 Nr. 23 (***)
* S. 85 Nr. 26 (**)|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Wismut 210 mit T<math>\tfrac{1}{2}</math> = 5 Tage; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 100g. 
Zeit = 30 Tage, in 5 Tagesabschnitten, also für n = 1, 2, 3, 4, 5 und 6 
ges: Wertetabelle: 
W1 = W0 · 0,51 
    = 100 · 0,5 = 50 (g) 
W2 = W0 · 0,52 
    = 100 · 0,52 = 25 (g) 
W3 = W0 · 0,53 
    = 100 · 0,53 = 12,5 (g) 
... 
[[Datei:S.75 Nr.10a.png|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipps zu Nr. 10a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Nach 2 Halbwertszeiten ist nur noch ein Viertel der ursprünglichen Menge vorhanden, also nach 2·5 = 10 Tagen.|2=Tipp zu Nr. 10b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Radium-229 mit T<math>\tfrac{1}{2}</math> = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48g. 
Zeit = 6 Minuten = 360 s 
ges: n; Wn 
n = <math>\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}</math> = <math>\tfrac{360}{240}</math> = 1,5 
W1,5 = 48 · 0,51,5 = ...
|2=Tipp zu Nr. 4a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Radium-229 mit T<math>\tfrac{1}{2}</math> = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48mg. 
Wn = 1,5 mg 
ges: n; t (Zeit) 
 
1,5 = 48 · 0,5n 
Löse durch systematisches Probieren. 
Lösung: n = 5, also t = 5·240 s = 1200 s = 20 min
|2=Tipp zu Nr. 4b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Generationszeit T2 = 45 Tage; W0 = 10 (Ratten); q = 2; t = 3 Monate = 90 Tage; n = <math>\tfrac{t}{T_2}</math> = <math>\tfrac{90}{45}</math> = 2 
ges: Wn |2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Generationszeit T2 = 45 Tage = 1,5 Monate; q = 2; W0 = 10 (Ratten); Wn = 80 Mio; 
ges: n; t 
Löse durch systematisches Probieren. (Lösung: n = 23; t = n·1,5 (Monate))|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: n = 23 (wie in Nr. 8b) 
ges: t = n·2 (Monate)(Lösung: n = 23)|2=Tipp zu Nr. 8c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: q = 2; W0 = 50 Bakterien; T2 = 30 Minuten = 0,5 Stunden; t= 3,5 Stunden; n = <math>\tfrac{t}{T_2}</math> = <math>\tfrac{3,5}{0,5}</math> = 7 
ges: Wn|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: q = 2; T2 = 3 Wochen; Wn = 100·W0 
ges: n; t 
Wn = W0·qn   | Setze q = 2 und Wn = 100·W0 ein 
Löse durch systematisches Probieren. 
(Lösung: n = 6,6 , also t = ...|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<div class="grid">

<div class="width-1-2">geg: W0= 400 (Bakterien); q = 2 ("verdoppeln"); T2 = 18,8 min; T = 2 h 
ges: n; Wn 
n = <math>\tfrac{T}{T_2} = \tfrac{120}{18,8}</math> ≈ 6,4 
Wn = W0 · qn 
...</div>
<div class="width-1-2">2. Möglichkeit: Berechne zunächst den Wachstumsfaktor für 1 Minute: 
geg: W0 = 400; W18,8 = 2·400 = 800; n = 18,8 
ges: q 
Wn = W0 · qn 
800 = 400 · q18,8   |:400
2 = q18,8   |<math>\sqrt[18,8]{...}</math> 
<math>\sqrt[18,8]{2}</math> = q 
1,038 ≈ q 
 
geg: W0 = 400; n = 2h = 120min; q = 1,038 
ges: Wn 
...</div>

</div>

|2=Tipp zu Nr. 12|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100% (die gesamte Menge des Stoffe ist noch da); W6 = 100% - 34% = 66%; n = 6 
ges: q 
W6 = W0 · q6   | Umstellen nach q 
<math>\sqrt[6]{\tfrac{W_6}{W_0}}</math> = q 
<math>\sqrt[6]{\tfrac{0,66}{1}}</math> = q 
0,933 ≈ q 
Nun berechne die Halbwertszeit: 
geg: W0 = 100%; Wn = 50%; q = 0,933 
ges: n 
Wn = W0 · qn 
0,5 = 1 · 0,993n Löse durch Probieren. 
Für n = 9 gilt: W9 ≈ 0,54 
Für n = 10 gilt: W10 ≈ 0,4998 
Also beträgt die Halbwertszeit ca. 10 Jahre, denn nach 10 Jahren hat sich die Stoffmenge halbiert.|2=Lösung zu Nr. 23|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100%; W24 = 300% (verdreifacht); n = 24 
ges: q (prozentuales Wachstum pro Tag); p% 
... 
Lösung: q=1,0468|2=Tipp zu Nr. 26a|3=Verbergen}}
 
==Einschub: Logarithmieren==
Ist beim exponentiellen Wachstum der '''Exponent '''n '''gesucht''', kannst du diesen Wert durch systematisches Probieren erhalten. Eine genauere Möglichkeit ist das Logarithmieren. 
{{Box|1=Definition Logarithmus|2=Als Logarithmus wird der Exponent n bezeichnet, mit dem man die Basis b potenziert, um die Zahl a zu erhalten (a und b positiv): 
bn=a, dann gilt logba = n 
Beispiele:
* log28 = 3; denn 23 = 8 
* log10100000 = 5; denn 105 = 100000
Für die Berechnung des Exponenten in den Aufgaben zum exponentiellen Wachstum nutzt du die folgende Tastenfolge: 
5x = 25 
x = <math>\tfrac{log25}{log5}</math> 
x = 2 |3=Kurzinfo}} 
{{#ev:youtube|f1tFVT0_Iz8|800|center}}

{{Box|1=Übung zum Logarithmieren|2=Löse S. 84 Nr. 21b mithilfe des Taschenrechners: 
3x = 50 also ist 
x = <math>\tfrac{log50}{log3}</math> 
x ≈ 3,56|3=Üben}}

 
{{Fortsetzung|weiter=4 Die Exponentialfunktion|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion}}

Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum

2024-01-10T09:33:51Z

Neukirch:

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}

{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion|Vorwissen]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum| 1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum|2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor ]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum|3) Exponentielles Wachstum]] [[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion|4) Die Exponentialfunktion]]}}
 
==3 Exponentielles Wachstum==
{{Box|1=Einstieg: Weltbevölkerung|2=[[Datei:Person-2829500 1920.png|rechts|rahmenlos]]Im Jahr 2019 lebten 7,7 Mrd. Menschen auf der Erde. Wissenschaflter prognostizierten in diesem Jahr eine jährliche Zuwachsrate von 1,25%. Also gilt q=100%+1,25% = 101,25% = 1,0125 
Wie viele Menschen leben demnach im Jahr 2030 auf der Erde? 
Stelle diese Situation auf verschiedene Arten dar. (Erinnerung: Text (ist gegeben), Wertetabelle, Funktionsgleichung und Funktionsgraph) 
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Wertetabelle neu.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Prognose für das Jahr 2030: n = 11 
W11 = W0 ∙ q11 
   = 7,70 ∙ 1,02511
   ≈8,83|2=Tipp zur Funktionsgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Entwicklung Graph.png|rahmenlos|506x506px]]|Tipp zum Funktionsgraphen|Verbergen}}

{{Box|1=Exponentielles Wachstum - Exponentialgleichung|2=Wir sprechen von exponentiellem Wachstum, wenn der Wert einer Größe in gleichen Zeitspannen immer um denselben Prozentsatz p% zunimmt bzw. abnimmt. 
Die neue Größe nach n Zeitspannen berechnen wir mit 
'''<big>Wn = W0 · qn</big>''', 
wobei q der Wachstumsfaktor ist. 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Zunahme: q = 1 + p%, also q > 1</div>
<div class="width-1-2">Abnahme: q = 1 - p%, also q < 1</div>
</div>
|3=Arbeitsmethode}}
 
Die Gleichung Wn = W0 · qn heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.

{{Lösung versteckt|1=Erinnerung vermehrter/verminderter Grundwert in der Prozentrechnung: 
vermehrter Grundert: G+ = G · p+% (mit p+% = 1+p% = q) 
verminderter Grundwert: G- = G · p-% (mit p+% = 1-p% = q) |2=Zusammenhang Prozentrechnung|3=Verbergen}}

<ggb_applet id="jtgzqdtf" width="1138" height="787" border="888888" />
Applet von C. Buß-Haskert Originallink https://www.geogebra.org/m/jtgzqdtf

{{LearningApp|app=17257009|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=p62i35bq221|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=17256599|width=100%|heigth=600px}}

==3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen==
{{Box|Anwendungsaufgabe 1: Bevölkerungswachstum (Wn gesucht)|Die Bevölkerung in Indien beträgt zur Zeit 1,38 Milliarden Einwohner (2020). Die jährliche Zunahme beträgt derzeit 0,8%. 
Wie viele Einwohner hat Indien im Jahr 2025?|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 1,38 Mrd.; p% = 0,8% = 0,008, also ist q = 1+0,008 = 1,008; n = 5 (von 2020 - 2025) 
ges: W5 
 
Wn = W0 · qn 
W5 = 1,38 · 1,0085 
     = 1,436 
Indien wird im Jahr 2025 ca. 1,436 Mrd. Einwohner haben.|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8): 
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
 
{{Box|Übung 1: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 9
* 10
* 11
* 12
* 17
* 18
* 19
* 20
* 21|Üben}}
 
{{Box|Exponentialgleichung - Formel umstellen|[[Datei:Umstellen der Exponentialgleichung.png|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Formel auch nach n umstellen. Die Lösung erfolgt durch Logarithmieren. Eine Erklärung hierzu, findest du unten auf der Seite.|2=Hinweis zur Berechnung von n (Logarithmieren)|3=Verbergen}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel (W0 gesucht)|[[Datei:Iceberg-g3d68c08ff 1920.jpg|rechts|rahmenlos|100x100px]]Im Jahr 2021 ist die Fläche der Arktis mit 4,7 Mio km² deutlich kleiner als noch vor rund 30 Jahren. Die Abnahme beträgt mit leichten Schwankungen jährlich ca. 1,7%. 
Wie groß war die Fläche vor 30 Jahren?|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W30 = 4,7 Mio km²; p% = -1,7% = -0,017, also ist q = 1-0,017 = 0,983; n = 30 
ges: W0 
 
Wn = W0 · qn   | : qn 
W0 = <math>\tfrac{W_n}{q^n}</math> 
W0 = <math>\tfrac{W_{30}}{q^{30}}</math> 
      = <math>\tfrac{4,7}{0,983^{30}}</math> 
     ≈ 7,86 
Vor 30 Jahren betrug die Fläche der Arktis noch ca. 7,86 Mio km².|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 2: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 22
* 23
* 24
* 25|Üben}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)|[[Datei:House-g7ece683db 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€. 
Um wie viel Prozent ist die Miete durchschnittlich pro Jahr gestiegen? |Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 600 €; W5 = 730 €; n = 5 
ges: q bzw. p% 
 
Wn = W0 · qn   | : W0 
<math>\tfrac{W_n}{W_0}</math> = qn   | <math>\sqrt[n]{}</math> 
<math>\sqrt[n]{\tfrac{W_n}{W_0}}</math> = q 
<math>\sqrt[5]{\tfrac{730}{600}}= q</math> 
1,04 ≈ q 
p% = q - 1 = 0,04 = 4%
Die Mietsteigerung betrug jährlich 4%.|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die n-te Wurzel bestimmst du mit dem Taschenrechner mit der Tastenkombination im Bild 
[[Datei:Taschenrechner Bild n-te Wurzel.png|rahmenlos]]|Tipp: n-te Wurzel in den Taschenrechner eingeben|Verbergen}}
 

{{Box|Übung 3: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 26
* 27
* 28
* 29
* 30|Üben}}
 
{{Box|Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)|[[Datei:Tea-pot-gc1ced1e73 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65° zu trinken. 
Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug? |Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100°; Wn = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95 
ges: n 
 
Wn = W0 · qn   | Löse durch systematisches Probieren (Wertetabelle) 
Für n = 1 gilt: 
W1 = W0 · q1   |
    = 100 · 0,951 
    = 95 (°C) 
... 
Für n = 8 gilt:
W8 = W0 · q8   |
    = 100 · 0,958 
    ≈ 66,3 (°C) 
Für n = 9 gilt:
W9 = W0 · q9   |
    = 100 · 0,959 
    ≈ 63,0 (°C) 

Nach ca. 9 Minuten ist der Tee auf unter 65°C abgekühlt.
|2=Musterlösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du kannst die Lösung auch durch Logarithmieren lösen: 
Wn = W0 · qn 
65 = 100 · 0,95n   |:100 
0,65 = 0,95n   |log 
<math>\tfrac{\log0,65}{\log0,95}</math> = n 
8,4 ≈ n 
Also ist der Tee nach ca. 9 Minuten auf unter 65°C abgekühlt|2=Lösen mit Logarithmieren|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 4: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben.
* 37
* 38
* 39
* 40
* 41|Üben}}
 
{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.
* S. 73 Nr. 1
* S. 73 Nr. 2
* S. 73 Nr. 4
* S. 75 Nr. 9
* S. 75 Nr. 11
* S. 80 Nr. 7|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3 
ges: W1; W2; ...; W5 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 1a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3; Wn = 1200 g 
ges: n 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 4. Löse durch systematische Probieren. 
Lösung:
für n = 6 ist W6 = ... ≈965,4 g 
für n = 7 ist W7 = ... ≈ 1254,9 g 
Nach etwas weniger als 7 Tagen ist die Algenmasse auf 1200 g gewachsen. 
|2=Tipp zu Nr. 1b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 18700 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009; n = 2 (von 2013 bis 2015) 
ges: W2 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 2a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W2 = 22500 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009 
ges: W0 (2013) und W1 (2014) 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 2.|2=Tipp zu Nr. 2b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 26200 €(im Jahr 2018); p% = 2,3% = 0,023, also q = 1+0,023 = 1,023; n = 5 (von 2018 bis 2023) 
ges: W5 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = ... (Bevölkerungszahlen im Jahr 2010); p% = 1,2% = 0,012, also q = 1+0,012= 1,012 usw.; n = 40 (von 2010 bis 2050) 
ges: W40 
Rechne jeweils wie in Anwendungsaufgabe 1.|2=Tipp zu Nr. 4a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:SP 10 S.75 Nr.9 Lösung.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu Nr. 9|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100% (Lichtintensität); p% = -11% = -0,11, also q = 1-0,11 = 0,89; n = 10 (in 10m Tiefe) 
ges: W10 
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1. 
Lösung: W10 = ... ≈ 31,2% 
In 10m Tiefe beträgt die Lichtintensität nur noch 31,2%. |2=Tipp zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Luftdruck in Meereshöhe W0=1013 hPa; Abnahme je 100m p%=-1,23%=-0,0123, also q=1-0,0123 = 0,9877; Höhe des Kilimandscharo 5895m = 58,95· 100 m, also x = 58,95 und des Mt. Everest 8848m = 88,48·100 m, also x = 88,48 
ges: Luftdruck auf den Bergen, also Wx 
Wx = W0 · qx 
    = 1013 · 0,987758,95 
   ≈ 488,4 (hPa) 
Rechne ebenso für den Mt Everest (Lösung: 338,9 hPa)|2=Tipp zu Nr. 7a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bestimme zunächst den Luftdruck in 500 m Höhe (also x = 5) und in 841 m Höhe (also x = 8,41). Danach berechne den Unterschied von beiden. dies ist W. 
Den prozentuale Unterschied berechne mit p% = <math>\tfrac{W}{G}</math>, mit dem Grundwert in 500m Höhe.|2=Tipp zu Nr. 7b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein. Wx = 1013 · 0,9887x:100 
x steht hier für die Höhe, in der der Luftdruck berechnet werden soll. 
[[Datei:SP10 S.80 Nr7c.png|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp zu Nr. 7c|3=Verbergen}}

 
{{Box|Übung 6: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die vermischten Aufgaben.
* 31
* 32
* 33
* 34
* 35
* 36|Üben}}
 
{{Box|Übung 7: ANTON-APP|Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der [https://anton.app/de/ ANTON-App].|Üben}}
 
===3.2) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung===
{{Box|1=Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst. 
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel 
'''<big>Kn = K0 ∙ qn       mit q = 1 + p%'''</big>''' 
|3=Arbeitsmethode}}

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
 

{{Box|1=Übung 8 (online)|2=Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 1 (Hier kannst du z.B. das Einstiegsbeispiel einstellen)
* 2 (Nutze die Zinseszinsformel Kn = K0 ∙ qn)
* 3 (Nutze die Zinseszinsformel Kn = K0 ∙ qn)|3=Üben}}

{{Box|Übung 9|[[Datei:Business-g97f006239 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]a) Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz von 2% angelegt. Berechne das Kapital nach 4 Jahren. 
b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.|Tipp zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5 
K5 = K0 ∙ q5 
   = 7500 ∙ 1,0155 
   = 8079,63 (€)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}

{{Box|1=Umstellen der Zinseszinformel|2=<div class="grid">

<div class="width-1-2"><big> Formel umstellen nach K0</big> ("Wie hoch war das Startkapital...?): 
Kn = K0 ∙ qn  |:qn 
<math>\tfrac{K_n}{q^n}</math>= K0 
 
 </div>
<div class="width-1-2"><big>Formel umstellen nach q </big> ("Mit welchem Prozentsatz ...?): 
Kn = K0 ∙ qn  |:K0 
<math>\tfrac{K_n}{K^0}</math> = qn  |<math>\sqrt[n]{}</math> 
<math>\sqrt[n]{\tfrac{K_n}{K_0}}</math> = q 
Bestimme dann p% mit q = 1+p%, also q-1 = p%. 
 </div>

</div>
<big>Formel umstellen nach n </big> ("Nach wie vielen Jahren...?"): 
Löse hier also durch systematisches '''Probieren'''! 
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.
(Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Du darfst auch durch Logarithmieren lösen.) 
 |3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Hefteintrag: Beispiele|Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.|Arbeitsmethode}}
{{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=193&end=420}}

{{Box|Übung 10 (online)|Wähle aus den folgenden Aufgaben '''mindestens zwei''' Aufgaben aus und löse: Aufgaben auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs''']
* 5
* 6
* 7
* 8
* 9|Üben}}

{{Box|Übung 11 - Zinseszinsrechnung|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
* S. 73 Nr. 3|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=a) geg:... 
ges: q; Kn 
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015 
K5 = K0 ∙ q5 Setze die Werte ein und berechne mit dem Taschenrechner.|2=Tipp zu Nr. 3a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=b) geg:... 
ges: p%; Kn 
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5% 
Berechne Kn durch einsetzen der Werte in die Formel.|2=Tipp zu Nr. 3b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=c) geg: ... 
ges: K0; p% 
Stelle die Formel nach K0 um und setze dann die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 3c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=d)geg: ... 
ges: q und p% 
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q. 
Berechne dann p% mit p% = q-1 (Wandel den Dezimalbruch in Prozent um.)|2=Tipp zu Nr. 3d|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=e) geg: ... 
ges: q; n 
q = 1 + p% = ... 
Bestimme n durch Probieren. 
Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.|2=Tipp zu Nr. 3e|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 12 - Anwendungsaufgaben zur Zinseszinsrechnung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
* S. 73 Nr. 5a (**)
* S. 75 Nr. 8 (Nutze GeoGeogebra)
* S. 79 Nr. 1
* S. 83 Nr. 10
* S. 87 Nr. 6
* S. 87 Nr. 7
|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€ 
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018 
Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder Kn mehr als 2000€ beträgt.|2=Tipp zu Nr. 5a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Stelle die passende Gleichung auf und gib diese bei GeoGebra ein. Löse damit Aufgabenteil c) und d), 
(Kn=7200∙1,018n 
Funktionsgleichung: f(x) = 7200∙1,018n x|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche die beiden Angebote: 
Angebot A: 
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre 
ges: Kn 
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne. 
 
Angebot B: 
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%. 
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne. 
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest: 
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ... 
denn p% = 10% = 0,1, also gilt q = 1,1.|2=Tipp zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€; 
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%). 
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt") 
ges: n 
Löse durch Probieren! 
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€ 
ges: K0 
Stelle die Zinseszinsformel nach K0 um und setzte die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)|Tipp zu Nr. 6 und 7|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung) 
K0 = 500€; K0 = 4500€ 
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%; 
q=1,015; q = 1,01; q =1,03 
Kn=8079,63€; Kn = 11685,39€; Kn = 11098,45€ 
n = 10 Jahre; n = 39 Jahre; n = 16 Jahre|2=Vergleiche deine Lösungen zu den Übungen 12 und 13|3=Verbergen}}

===3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Halbwertszeit und Generationszeit (Verdopplungszeit)===
Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf [https://www.leifiphysik.de/kern-teilchenphysik/radioaktivitaet-einfuehrung/versuche/bierschaumzerfall leifiphysik])
{{Box|1=Halbwertszeit|2=Die Halbwertszeit T<math>\tfrac{1}{2}</math> gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge radioaktiven Materials halbiert hat. 
Der Wachstumsfaktor ist also q=100% - 50% = 1 - 0,5 = 0,5 und 
die Anzahl n der Zerfallsprozesse wird berechnet mit n = <math>\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}</math>.|3=Kurzinfo}}
Das nachfolgende Applet stellt den Zerfallsprozess anschaulich dar:

*Halbwertszeit (Atome)

Direkter Link: https://www.geogebra.org/m/cq62nsqj
<ggb_applet id="fvudcjym" width="1100" height="650" border="888888" />
Applet von Hegius, Mathezone

{{Box|1=Generationszeit/ Verdopplungszeit|2= Die Generationszeit T2 gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge / Population verdoppelt hat. 
Der Wachstumsfaktor ist also q = 100%+100% = 1 + 1 = 2 und 
die Anzahl n der Generationszeiten wird berechnet mit n = <math>\tfrac{Zeit}{Generationszeit}</math>.|3=Kurzinfo}}
Das nachfolgende Applet stellt den Verdopplungsprozess anschaulich dar:

*Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien)

Direkter Link: passt das Applet??
<ggb_applet id="etu2dsm8" width="566" height="663" border="888888" />
Applet von Hegius, R. Schürz

{{Box|Übung 13 - Generationszeit und Halbwertszeit|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.
* S. 75 Nr. 10
* S. 79 Nr. 4
* S. 79 Nr. 5
* S. 80 Nr. 8
* S. 80 Nr. 9
* S. 80 Nr. 10
* S. 83 Nr. 12 (**)
* S. 85 Nr. 23 (***)
* S. 85 Nr. 26 (**)|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Wismut 210 mit T<math>\tfrac{1}{2}</math> = 5 Tage; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 100g. 
Zeit = 30 Tage, in 5 Tagesabschnitten, also für n = 1, 2, 3, 4, 5 und 6 
ges: Wertetabelle: 
W1 = W0 · 0,51 
    = 100 · 0,5 = 50 (g) 
W2 = W0 · 0,52 
    = 100 · 0,52 = 25 (g) 
W3 = W0 · 0,53 
    = 100 · 0,53 = 12,5 (g) 
... 
[[Datei:S.75 Nr.10a.png|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipps zu Nr. 10a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Nach 2 Halbwertszeiten ist nur noch ein Viertel der ursprünglichen Menge vorhanden, also nach 2·5 = 10 Tagen.|2=Tipp zu Nr. 10b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Radium-229 mit T<math>\tfrac{1}{2}</math> = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48g. 
Zeit = 6 Minuten = 360 s 
ges: n; Wn 
n = <math>\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}</math> = <math>\tfrac{360}{240}</math> = 1,5 
W1,5 = 48 · 0,51,5 = ...
|2=Tipp zu Nr. 4a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Radium-229 mit T<math>\tfrac{1}{2}</math> = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48mg. 
Wn = 1,5 mg 
ges: n; t (Zeit) 
 
1,5 = 48 · 0,5n 
Löse durch systematisches Probieren. 
Lösung: n = 5, also t = 5·240 s = 1200 s = 20 min
|2=Tipp zu Nr. 4b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Generationszeit T2 = 45 Tage; W0 = 10 (Ratten); q = 2; t = 3 Monate = 90 Tage; n = <math>\tfrac{t}{T_2}</math> = <math>\tfrac{90}{45}</math> = 2 
ges: Wn |2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: Generationszeit T2 = 45 Tage = 1,5 Monate; q = 2; W0 = 10 (Ratten); Wn = 80 Mio; 
ges: n; t 
Löse durch systematisches Probieren. (Lösung: n = 23; t = n·1,5 (Monate))|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: n = 23 (wie in Nr. 8b) 
ges: t = n·2 (Monate)(Lösung: n = 23)|2=Tipp zu Nr. 8c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: q = 2; W0 = 50 Bakterien; T2 = 30 Minuten = 0,5 Stunden; t= 3,5 Stunden; n = <math>\tfrac{t}{T_2}</math> = <math>\tfrac{3,5}{0,5}</math> = 7 
ges: Wn|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: q = 2; T2 = 3 Wochen; Wn = 100·W0 
ges: n; t 
Wn = W0·qn   | Setze q = 2 und Wn = 100·W0 ein 
Löse durch systematisches Probieren. 
(Lösung: n = 6,6 , also t = ...|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<div class="grid">

<div class="width-1-2">geg: W0= 400 (Bakterien); q = 2 ("verdoppeln"); T2 = 18,8 min; T = 2 h 
ges: n; Wn 
n = <math>\tfrac{T}{T_2} = \tfrac{120}{18,8}</math> ≈ 6,4 
Wn = W0 · qn 
...</div>
<div class="width-1-2">2. Möglichkeit: Berechne zunächst den Wachstumsfaktor für 1 Minute: 
geg: W0 = 400; W18,8 = 2·400 = 800; n = 18,8 
ges: q 
Wn = W0 · qn 
800 = 400 · q18,8   |:400
2 = q18,8   |<math>\sqrt[18,8]{...}</math> 
<math>\sqrt[18,8]{2}</math> = q 
1,038 ≈ q 
 
geg: W0 = 400; n = 2h = 120min; q = 1,038 
ges: Wn 
...</div>

</div>

|2=Tipp zu Nr. 12|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100% (die gesamte Menge des Stoffe ist noch da); W6 = 100% - 34% = 66%; n = 6 
ges: q 
W6 = W0 · q6   | Umstellen nach q 
<math>\sqrt[6]{\tfrac{W_6}{W_0}}</math> = q 
<math>\sqrt[6]{\tfrac{0,66}{1}}</math> = q 
0,933 ≈ q 
Nun berechne die Halbwertszeit: 
geg: W0 = 100%; Wn = 50%; q = 0,933 
ges: n 
Wn = W0 · qn 
0,5 = 1 · 0,993n Löse durch Probieren. 
Für n = 9 gilt: W9 ≈ 0,54 
Für n = 10 gilt: W10 ≈ 0,4998 
Also beträgt die Halbwertszeit ca. 10 Jahre, denn nach 10 Jahren hat sich die Stoffmenge halbiert.|2=Lösung zu Nr. 23|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: W0 = 100%; W24 = 300% (verdreifacht); n = 24 
ges: q (prozentuales Wachstum pro Tag); p% 
... 
Lösung: q=1,0468|2=Tipp zu Nr. 26a|3=Verbergen}}
 
==Einschub: Logarithmieren==
Ist beim exponentiellen Wachstum der '''Exponent '''n '''gesucht''', kannst du diesen Wert durch systematisches Probieren erhalten. Eine genauere Möglichkeit ist das Logarithmieren. 
{{Box|1=Definition Logarithmus|2=Als Logarithmus wird der Exponent n bezeichnet, mit dem man die Basis b potenziert, um die Zahl a zu erhalten (a und b positiv): 
bn=a, dann gilt logba = n 
Beispiele:
* log28 = 3; denn 23 = 8 
* log10100000 = 5; denn 105 = 100000
Für die Berechnung des Exponenten in den Aufgaben zum exponentiellen Wachstum nutzt du die folgende Tastenfolge: 
5x = 25 
x = <math>\tfrac{log25}{log5}</math> 
x = 2 |3=Kurzinfo}} 
{{#ev:youtube|f1tFVT0_Iz8|800|center}}

{{Box|1=Übung zum Logarithmieren|2=Löse S. 84 Nr. 21b mithilfe des Taschenrechners: 
3x = 50 also ist 
x = <math>\tfrac{log50}{log3}</math> 
x ≈ 3,56|3=Üben}}

 
{{Fortsetzung|weiter=4 Die Exponentialfunktion|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion}}

Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum

2024-01-09T15:40:20Z

Neukirch:

Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente

2023-09-13T11:16:46Z

Neukirch: Links erneuert

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente|1) Vorwissen]] [[Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente/Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung|2) Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung]] [[Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente/Zweistufige Zufallsexperimente|3) Zweistufige Zufallsexperimente]] 
[[Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente/Erwartungswert|Zusatz: Erwartungswert]] [[Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente/Checkliste|4) Checkliste]]}} 
{{Box|Zweistufige Zufallsexperimente|In diesem Lernpfad lernst du, wie du die Wahrscheinlichkeiten bestimmst, wenn du einen Zufallsversuch zweimal (bzw. mehrfach)hintereinander ausführst.|Lernpfad}}

Die Übungen im Buch beziehen sich auf "Schnittpunkt Mathematik 9 - Differenzierende Ausgabe" aus dem Kett-Verlag.

Um diesen Lernpfad erfolgreich durchlaufen zu können, musst du über Grundlagen aus vergangenen Themen des Mathematikunterrichts verfügen. Wiederhole diese mit den Aufgaben aus dem Buch S. 30. Die Tabelle bietet dir zu Vertiefung online-Übungen zu den einzelnen Bereichen.

{| class="wikitable"

|-

! style="width:40%;" |Ich kann ...

! style="width:10%;" |Buch S. 30

!Übungen online

|-

| - Relative Häufigkeiten

|Nr. 1

|{{#ev:youtube|PBRoDcPymec|400|center}}{{LearningApp|app=2104031|width=100%|height=200px}}{{LearningApp|app=1871453|width=100%|height=200px}}

|-

| - Umwandeln: Brüche - Dezimalbrüche - Prozente
|Nr. 2, 3

|{{#ev:youtube|bbjTr0YsFOs|200}}{{#ev:youtube|MGpM8FWEzsw|200}}{{LearningApp|app=p9j1nqad319|width=100%|height=100px}}{{LearningApp|app=p98ky163n19|width=100%|height=100px}}

|-

| - mit Brüchen rechnen

|Nr. 4, 5, 6

|Übungen zur Bruchrechnung auf der Seite [https://www.matheaufgaben.net/mathe-online/?Aufgabentyp=Bruchrechnung '''matheaufgaben.net''']. Stelle die gewünschte Rechenart ein.
|-

| - Zufallsversuche erkennen

|Nr. 7

|{{#ev:youtube|rkLmLaFHodo|400}}{{LearningApp|app=2533765|width=100%|height=200px}}

|-

| - Wahrscheinlichkeiten bestimmen

|Nr. 8

|[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/stochastik/kugelnziehen2.php '''realmath.de''' : Kugeln ziehen] [https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/stochastik/einwurf2.php '''realmath.de''' : Würfel werfen] [https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/stochastik/eindreh2.php '''realmath.de''' : Kreisel drehen] 

|-
|}

Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch!
Wiederhole die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (aus Klasse 7) im Lernpfad auf der Seite ZUM-Unterrichten und mithilfe der Übungen im Buch auf der folgenden Seite.
{{Fortsetzung|weiter=2) Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung|weiterlink=Buss-Haskert/Zweistufige Zufallsexperimente/Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung}}

Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen

2023-08-27T17:12:10Z

Neukirch:

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen - Startseite]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Quadratische Funktionen entdecken|1 Quadratische Funktionen entdecken]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalparabel|2 Die Normalparabel f(x) = x²]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Gestreckte und gestauchte Parabel|3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters '''a '''in f(x) = '''a'''x²]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Verschiebung entlang der y-Achse|4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters''' c''' in f(x) = ax² + '''c''']] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Scheitelpunktform|5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform|6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen|7 Nullstellen quadratischer Funktionen]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren|8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)]]}}
==7 Nullstellen quadratischer Funktionen==

Ihr wart zur Klassenfahrt in Berlin und habt dort verschiedene Parabeln entdeckt.

Eine Parabel habt ihr in der Form der Reichstagskuppel gefunden. Nun können wir verschiedene Fragen an dieses Bild stellen.

{{Box|1=Einstieg: Anwendung Reichstag|2=Die Funktionsgleichung der Parabel lautet f(x) = -0,05875x² + 23,5.
* Welche Form hat diese Parabelgleichung und warum?
* Stellt verschiedene Fragen an das Foto, die mithilfe der Parabelgleichung beantwortet werden können.|3=Frage}}

[[Datei:Bild Reichstag mit Koordinatenkreuz.png|rahmenlos|500x500px]]

{{Lösung versteckt|1=Die Form der Parabelgleichung ist f(x) = ax² + c. Passen die Zahlen für a und c zum Bild?|2=Tipp zur Form der Parabelgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Form der Parabelgleichung ist f(x) = ax² + c. 
Diese Parabel ist also symmetrisch zur y-Achse. Der Parameter a muss negativ sein, denn die Parabel ist nach unten geöffnet. Zudem muss -1<a<0 sein, denn die Parabel ist gestaucht. 
Der Parameter c muss positiv sein, denn der Scheitelpunkt ist entlang der y-Achse nach oben verschoben.|2=Tipp zu den Parametern a und c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Fragen: 
* Wie hoch reicht das Kuppeldach über das Dach des Reichstags? 
* Wie groß ist der Durchmesser der Kuppel? 
* ...|2=mögliche Fragestellungen|3=Verbergen}}

Um die Frage nach dem Durchmesser des Kuppeldaches zu beantworten, müssen wir herausfinden, wo die Parabel die x-Achse schneidet.
Diese besonderen Stellen heißen '''Nullstellen''' der Funktion.

{{Box|1=Nullstellen quadratischer Funktionen|2=Die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse heißen '''Nullstellen''', 
denn die y-Koordinate dieser Punkte hat immer den Wert Null. N(xN|'''0''') 
Um die Nullstellen zu berechnen, setze also immer <big>'''f(x) = 0 '''</big>!!|3=Kurzinfo}}

===7.1 Anzahl der Nullstellen quadratischer Funktionen erkennen===
Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du die Anzahl der Nullstellen erkennen. Je nach Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel hat diese keine, eine oder zwei Nullstellen: 
[[Datei:Anzahl der Nullstellen .jpg|rahmenlos|800x800px]] 

{{Box|Übung 1: Anzahl der Nullstellen|Wie viele Nullstellen hat die Parabel jeweils? Ordne in der LearningApp und im Quiz passend zu.
|Üben}}
{{LearningApp|app=p8s7yei1v21|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pvhfbdc0v22|width=100%|height=400px}}
Tipp: Bestimme zunächst die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel. Ordne dann passend zu:
<div class="zuordnungs-quiz">

{|
|keine||f(x) = x² + 3||f(x) = -2x² - 5||f(x) = (x+2)² + 1
|-
|eine||f(x) = x²||f(x) = (x - 4)²||f(x) = -(x+2)²
|-
|zwei||f(x) = x² - 3||f(x) = -2x² + 5||f(x) = (x+2)² - 1
|}

</div>

===7.2 Nullstellen quadratischer Funktionen in der Scheitelpunktform berechnen===

Um den Durchmesser der Reichstagskuppel zu berechnen, müssen wir die Nullstellen der Funktion f(x) = -0,05875x² + 23,5 berechnen. 
Da die y-Koordinate der Nullstellen immer 0 ist, setzen wir dies in die Gleichung ein: 

<big>f(x) '''= 0'''</big> 

-0,05875x² + 23,5 = 0   |-23,5 
-0,05875x² = -23,5        |:(-0,05875) 
x² = 400                            |<math>\surd</math> 
x1 = - <math>\sqrt{400}</math> und x2 = + <math>\sqrt{400}</math> 
x1 = -20 und x2 = +20

Die Nullstellen lauten also N1(-20|0) und N2(20|0). 
Der Durchmesser der Kuppel beträgt also 20m+20m = 40m.

{{Box|Beispielrechnungen für Nullstellenberechnungen|Übertrage die nachfolgenden Beispiele zur Nullstellenberechnung in dein Heft.|Arbeitsmethode}}

<big>1. Form: f(x) = ax² </big> 
Beispiel: f(x) = 3x² 
f(x) = 0 
3x² = 0    |:3 
x² = 0    |<math>\surd</math> 
x = 0 
N(0|0) 

Natürlich hat jede Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² die Nullstelle N(0|0), denn ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Der Scheitelpunkt ist also die Nullstelle.

<big>2. Form: f(x) = ax² + c </big>

Beispiel: f(x) = 0,5x² - 8 

f(x) = 0 
0,5x² - 8 = 0    |+8 
0,5x² = 8      |:0,5 
x² = 16         |<math>\surd</math> 
x1 = - <math>\sqrt{16}</math> und x2 = + <math>\sqrt{16}</math> 
x1 = -4 und x2 = +4
 
N1(-4|0) und N2(4|0) 

{{LearningApp|app=pw5jvu07221|width=100%|height=400px}}

<big>3. Form: Scheitelpunktform f(x) = a(x+d)²+e </big>

Beispiel: f(x) = 2(x + 2)² - 18 
[[Datei:F(x) = 2(x+2)²-18.png|rechts|rahmenlos|425x425px]]
f(x) = 0 
2(x + 2)² - 18 = 0    |+18 
2(x + 2)² = 18    |:2 
(x + 2)² = 9        |<math>\surd</math> 
x1 + 2 = - <math>\sqrt{9}</math>    und x2 + 2 = + <math>\sqrt{9}</math> 
x1 + 2 = -3 und x2 + 2 = 3     |-2 
x1 = - 3 - 2    und x2 = + 3 - 2 
x1 = -5 und x2 = 1 
N1(-5|0) und N2(1|0) 

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss also -2 heißen. (x-Koordinate zwischen x = -5 und x = 1). 
Dies passt zum Scheitelpunkt S(-2|-18), der aus der Parabelgleichung abgelesen werden kann.

<big>4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q (mit quadratischer Ergänzung )</big>

Beispiel: f(x) = x² -6x + 5 
f(x) = 0 
x² - 6x + 5 = 0   | quadratische Ergänzung <math>\left ( \frac{6}{2} \right )^2 = 3^2</math> 
x² - 6x + 3² - 3² + 5 = 0   | 2. binomische Formel 
(x - 3)² - 9 + 5 = 0 
(x - 3)² - 4 = 0   | nun hast du wieder die Scheitelpunktform und gehst wie in Bsp 3 vor: +4 
(x - 3)² = 4        |<math>\surd</math> 
x1 - 3 = -2 und x2 - 3 = 2     |+3 
x1 = -2 + 3    und x2 = 2 + 3 
x1 = 1 und x2 = 5 
N1(1|0) und N2(5|0) 

{{Lösung versteckt|1=Später lösen wir Gleichungen in der Normalform auch mit der pq-Formel: 
Normalform: f(x) = x² + px + q 
x² + px + q = 0 
x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> 

Beispiel: f(x) = x² -6x + 5 
f(x) = 0 
x² - 6x + 5 = 0   | pq-Formel mit p=-6 und q=5 
x1/2 = -<math>\tfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-6}{2} \right )^2-5}</math> 
x1/2 = 3 <math> \pm \sqrt{9-5}</math> 
x1/2 = 3 <math>\pm \sqrt{4}</math> 
x1/2 = 3<math> \pm </math>2 
x1 = 3 - 2 = 1 ; x2 = 3+2 = 5
N1(1|0) und N2(5|0) |2=Lösung mit der pq-Formel|3=Verbergen}}

{{Box|1=Überprüfe deine Lösungen mit GeoGebra|2=Prüfe deine Lösungen, indem du die Funktionsgleichungen bei GeoGebra eingibst und schaust, ob die Parabel tatsächlich diese Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) hat. 
[https://www.geogebra.org/classic?lang=de Link zu GeoGebra]|3=Lösung}}

{{Box|Übung 2|Berechne jeweils die Nullstellen. Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.
* S. 21, Nr. 3a-d
* S. 21, Nr. 4 (Löse mit GeoGebra und rechnerisch!)
* S. 21, Nr. 5|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Vorsicht bei Nr. 3b: 
f(x) = x² + 9 
f(x) = 0 
x² + 9 = 0   |-9 
x² = -9    |<math>\surd</math> 
x1/2 = ±<math>\sqrt{-9}</math> 
Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden! Also hat diese Parabel kein Nullstellen. Begründe dies mithilfe der Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung.|2=Vorsicht bei Nr. 3b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Lies den Scheitelpunkt ab, gib dann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform an und berechne die Nullstellen wie in Beispiel 3: 
A: S(2|-1), also ist f(x) = (x-2)² - 1. 
Nullstellen: f(x) = 0 
... 
Du kannst deine rechnerische Lösung prüfen mit der Zeichnung im Buch!|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}

{{Box|1=Überprüfe deine Lösungen mit GeoGebra|2=Prüfe deine Lösungen, indem du die Funktionsgleichungen bei GeoGebra eingibst und schaust, ob die Parabel tatsächlich diese Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) hat. 
[https://www.geogebra.org/classic?lang=de Link zu GeoGebra]|3=Lösung}}

{{Box|Übung 3 - Mathe kreativ: keine, eine oder zwei Nullstellen|* Zeichne jeweils ein Beispiel einer verschobenen Normalparabel in dein Heft die keine, eine bzw. zwei Nullstellen hat und gib die Funktionsgleichung an.
* Berechne die Nullstellen und vergleiche mit deiner Zeichnung.
|Üben}}

{{Box|Übung 4|Wandel in die Scheitelpunktform um und berechne anschließend die Nullstellen. Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.
* S. 21, Nr. 2
* S. 21, Nr. 3 e-h|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung 
f(x) = x² + 6x + 9   | 1. binomische Formel 
f(x) = (x + 3)², also S(-3|0) 
Nullstellen: f(x) = 0 
(x + 3)² = 0   |<math>\surd</math> 
x + 3 = 0    |-3
x = -3 
N(-3|0) 
Die Parabel ist nur in Richtung der x-Achse verschoben, daher liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse, ist also die Nullstelle.|2=Tipp zu Nr. 2a|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung 
f(x) = x² + 2x - 3   | quadratische Ergänzung 1² 
f(x) = x² + 2x +1² - 1² - 3  |zusammenfassen
f(x) = (x + 1)² - 4 , also S(-1|-4) 
Nullstellen: f(x) = 0 
(x + 1)² - 4 = 0   | + 4 
(x + 1)² = 4   |<math>\surd</math> 
x1 + 1 = -2 und x2 + 1 = 2    |-1 
x1 = -3 und x2 = 1 
N1(-3|0) und N2(1|0) 
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S(-1|-4), also unterhalb der x-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet, also gibt es zwei Nullstellen. Prüfe mit GeoGebra!|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 5|Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt aus Symmetriegründen immer mittig zwischen den Nullstellen.
* S. 22, Nr. 8
* S. 22, Nr. 12|Üben}} 
{{Lösung versteckt|1=Verschiebe den Scheitelpunkt so, dass die Nullstellen zur Aufgabenstellung passen. Wo liegt der Scheitelpunkt? Fällt dir etwas auf? 
<ggb_applet id="tytyustj" width="1066" height="754" border="888888" />|2=Hilfe zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Erkläre die Lage des Scheitelpunktes anhand der Bilder.
[[Datei:SP 10 S.22 Nr.12.jpg|rahmenlos|775x775px]]
|2=Tipp zu Nr.12|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=Modellieren (Anwendungsaufgaben)|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren}}

===7.3 Nullstellen quadratischer Funktionen in der Normalform berechnen mit der p-q-Formel===

Du kannst die Nullstellen von Parabeln in der Normalform berechnen, indem du die Normalform zunächst in die Scheitelpunktform umwandelst und dann die Nullstellen berechnest (wie im Beispiel 4 oben).
Eine weitere, schnellere Möglichkeit ist die Anwendung der Lösungsformel: Die p-q-Formel. 

Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die Gleichung in der sogenannten '''Normalform''' gegeben sein: 
'''x² + px + q = 0''' 

{{Lösung versteckt|1=Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.|2=Was muss ich für die Normalform beachten?|3=Verbergen}}

Die Lösungsformel (pq-Formel) wird hergeleitet mithilfe der quadratischen Ergänzung. Wir leiten die Formel parallel zu einer Beispielaufgabe oben her: 
[[Datei:Herleitung der p-q-Formel.png|rahmenlos|908x908px]]

{{Box|1=Lösen mit der Lösungsformel: pq-Formel|2=Jede quadratische Gleichung lässt sich mit der p-q-Formel lösen. Dazu muss die Gleichung zunächst in die 
Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden. Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt: 
x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> 
Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.|3=Arbeitsmethode}}
 
Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:
{{#ev:youtube|tRblwTsX6hQ|800|center}}
 

Übe zunächst das Umstellen der Gleichung in die Normalform und die Bestimmung von p und q.
{{LearningApp|app=p887tapq520|width=100%|heiht=600px}}
 
Löse die nächsten Aufgaben mit der Lösungsformel. Schreibe wie im Beispiel:

x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; <math>\tfrac{p}{2}</math>=-11; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=11; q=72 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{11^2-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{121-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{49}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm</math>7 
x1 = 18; x2 = 4 

Kurzschreibweise: 
x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; <math>\tfrac{p}{2}</math>=-11; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=11; q=72 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{11^2-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm</math>7 
x1 = 18; x2 = 4 

{{LearningApp|app=26631445|width=100%|height=600px}} 
{{LearningApp|app=p5430i34t20|width=100%|height=600px}} 

{{Box|Übung 6|Löse mit der pq-Formel die Aufgaben im Buch.
* S. 30, Nr. 1
* S. 30, Nr. 2
* S. 32, Nr. 15|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Bestimme p und q, achte auf die Vorzeichen! 
1a) p=8, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -4; q=7 Setze diese Werte in die p-q-Formel ein. 
1b) p=7, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -3,5; q=10 
1c) p=2, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -1; q=-3 Tipp: Unter der Wurzel steht also ...-(-3)! 
1d) p=-5, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = +2,5; q=-24 
1e) p=10, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -5; q=-11 
1f) p=-22, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = +11; q=72 
1g) p=2,5, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -1,25; q=1 
1h) p=-5,2, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = +2,5; q=1|2=Tipp zu Nr. 1 (Bestimme p und q)|3=Verbergen}}
Prüfe deine Lösungen mithilfe des GeoGebra-Applets. Erinnerung: Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion.
<ggb_applet id="cqtgn4zw" width="800" height="620" />

{{LearningApp|app=p53v9bz7220|width=100%|height=600px}} 

===7.4 Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen===

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0. 
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.

Ordne in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um die Normalform oder die allgemeine Form quadratischer Gleichungen handelt.
{{LearningApp|app=pb85ajz4k20|width=100%|height=400px}}

Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Normalform x² + px + q = 0 umformen. Dann können wir wieder die pq-Formel zur Lösung anwenden.

{{Box|1=Allgemein quadratische Gleichungen lösen|2=Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0. Alle quadratischen Gleichungen lassen sich umformen in die Normalform x² + px + q = 0. Dann kann wieder die pq-Formel zur Lösung angewendet werden. 
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um.    (| : a) 
2. Schritt: Wende die pq-Formel x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> an.|3=Arbeitsmethode}}

Übe zunächst das Umwandeln in die Normalform:
{{LearningApp|app=p5ut2b9xc20|width=100%|height=400px}}

Ein Video zur Zusammenfassung:
{{#ev:youtube|UXYYntGcyY4|600|center}}

{{Box|Übung 7|Löse die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 30, Nr. 3
* S. 30, Nr. 4
Wandle die Gleichungen zunächst in die Normalform um und wende dann die p-q-Formel an.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Du hast in der obigen LearningApp schon die allgemeine Form in die Normalform umgewandelt. Damit kannst du Nr. 3 lösen|Tipp zu Nr. 3|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Forme die Gleichung zunächst so um, dass eine Seite = 0 ist. 
Du löst die Klammern jeweils durch Ausmultiplizieren aus ("Jeder gibt jedem die Hand")[[Datei:Händedruck grau.png|rahmenlos|50x50px]] 
Bringe diese Gleichung dann in die Normalform, indem du durch den Koeffizienten von x² dividierst.|2=Tipp 1 zu Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Normalform
a) x² + 9x - 52 = 0 
b) x²-<math>\tfrac{1}{2}</math>x-5=0 
c) x² -3x -70 = 0|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=Modellieren (Anwendungsaufgaben)|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren}}

__INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__

Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen

2023-08-27T17:05:56Z

Neukirch:

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen - Startseite]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Quadratische Funktionen entdecken|1 Quadratische Funktionen entdecken]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalparabel|2 Die Normalparabel f(x) = x²]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Gestreckte und gestauchte Parabel|3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters '''a '''in f(x) = '''a'''x²]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Verschiebung entlang der y-Achse|4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters''' c''' in f(x) = ax² + '''c''']] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Scheitelpunktform|5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform|6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen|7 Nullstellen quadratischer Funktionen]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren|8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)]]}}
==7 Nullstellen quadratischer Funktionen==

Ihr wart zur Klassenfahrt in Berlin und habt dort verschiedene Parabeln entdeckt.

Eine Parabel habt ihr in der Form der Reichstagskuppel gefunden. Nun können wir verschiedene Fragen an dieses Bild stellen.

{{Box|1=Einstieg: Anwendung Reichstag|2=Die Funktionsgleichung der Parabel lautet f(x) = -0,05875x² + 23,5.
* Welche Form hat diese Parabelgleichung und warum?
* Stellt verschiedene Fragen an das Foto, die mithilfe der Parabelgleichung beantwortet werden können.|3=Frage}}

[[Datei:Bild Reichstag mit Koordinatenkreuz.png|rahmenlos|500x500px]]

{{Lösung versteckt|1=Die Form der Parabelgleichung ist f(x) = ax² + c. Passen die Zahlen für a und c zum Bild?|2=Tipp zur Form der Parabelgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Form der Parabelgleichung ist f(x) = ax² + c. 
Diese Parabel ist also symmetrisch zur y-Achse. Der Parameter a muss negativ sein, denn die Parabel ist nach unten geöffnet. Zudem muss -1<a<0 sein, denn die Parabel ist gestaucht. 
Der Parameter c muss positiv sein, denn der Scheitelpunkt ist entlang der y-Achse nach oben verschoben.|2=Tipp zu den Parametern a und c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Fragen: 
* Wie hoch reicht das Kuppeldach über das Dach des Reichstags? 
* Wie groß ist der Durchmesser der Kuppel? 
* ...|2=mögliche Fragestellungen|3=Verbergen}}

Um die Frage nach dem Durchmesser des Kuppeldaches zu beantworten, müssen wir herausfinden, wo die Parabel die x-Achse schneidet.
Diese besonderen Stellen heißen '''Nullstellen''' der Funktion.

{{Box|1=Nullstellen quadratischer Funktionen|2=Die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse heißen '''Nullstellen''', 
denn die y-Koordinate dieser Punkte hat immer den Wert Null. N(xN|'''0''') 
Um die Nullstellen zu berechnen, setze also immer <big>'''f(x) = 0 '''</big>!!|3=Kurzinfo}}

===7.1 Anzahl der Nullstellen quadratischer Funktionen erkennen===
Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du die Anzahl der Nullstellen erkennen. Je nach Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel hat diese keine, eine oder zwei Nullstellen: 
[[Datei:Anzahl der Nullstellen .jpg|rahmenlos|800x800px]] 

{{Box|Übung 1: Anzahl der Nullstellen|Wie viele Nullstellen hat die Parabel jeweils? Ordne in der LearningApp und im Quiz passend zu.
|Üben}}
{{LearningApp|app=p8s7yei1v21|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pvhfbdc0v22|width=100%|height=400px}}
Tipp: Bestimme zunächst die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel. Ordne dann passend zu:
<div class="zuordnungs-quiz">

{|
|keine||f(x) = x² + 3||f(x) = -2x² - 5||f(x) = (x+2)² + 1
|-
|eine||f(x) = x²||f(x) = (x - 4)²||f(x) = -(x+2)²
|-
|zwei||f(x) = x² - 3||f(x) = -2x² + 5||f(x) = (x+2)² - 1
|}

</div>

===7.2 Nullstellen quadratischer Funktionen in der Scheitelpunktform berechnen===

Um den Durchmesser der Reichstagskuppel zu berechnen, müssen wir die Nullstellen der Funktion f(x) = -0,05875x² + 23,5 berechnen. 
Da die y-Koordinate der Nullstellen immer 0 ist, setzen wir dies in die Gleichung ein: 

<big>f(x) '''= 0'''</big> 

-0,05875x² + 23,5 = 0   |-23,5 
-0,05875x² = -23,5        |:(-0,05875) 
x² = 400                            |<math>\surd</math> 
x1 = - <math>\sqrt{400}</math> und x2 = + <math>\sqrt{400}</math> 
x1 = -20 und x2 = +20

Die Nullstellen lauten also N1(-20|0) und N2(20|0). 
Der Durchmesser der Kuppel beträgt also 20m+20m = 40m.

{{Box|Beispielrechnungen für Nullstellenberechnungen|Übertrage die nachfolgenden Beispiele zur Nullstellenberechnung in dein Heft.|Arbeitsmethode}}

<big>1. Form: f(x) = ax² </big> 
Beispiel: f(x) = 3x² 
f(x) = 0 
3x² = 0    |:3 
x² = 0    |<math>\surd</math> 
x = 0 
N(0|0) 

Natürlich hat jede Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² die Nullstelle N(0|0), denn ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Der Scheitelpunkt ist also die Nullstelle.

<big>2. Form: f(x) = ax² + c </big>

Beispiel: f(x) = 0,5x² - 8 

f(x) = 0 
0,5x² - 8 = 0    |+8 
0,5x² = 8      |:0,5 
x² = 16         |<math>\surd</math> 
x1 = - <math>\sqrt{16}</math> und x2 = + <math>\sqrt{16}</math> 
x1 = -4 und x2 = +4
 
N1(-4|0) und N2(4|0) 

{{LearningApp|app=pw5jvu07221|width=100%|height=400px}}

<big>3. Form: Scheitelpunktform f(x) = a(x+d)²+e </big>

Beispiel: f(x) = 2(x + 2)² - 18 
[[Datei:F(x) = 2(x+2)²-18.png|rechts|rahmenlos|425x425px]]
f(x) = 0 
2(x + 2)² - 18 = 0    |+18 
2(x + 2)² = 18    |:2 
(x + 2)² = 9        |<math>\surd</math> 
x1 + 2 = - <math>\sqrt{9}</math>    und x2 + 2 = + <math>\sqrt{9}</math> 
x1 + 2 = -3 und x2 + 2 = 3     |-2 
x1 = - 3 - 2    und x2 = + 3 - 2 
x1 = -5 und x2 = 1 
N1(-5|0) und N2(1|0) 

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss also -2 heißen. (x-Koordinate zwischen x = -5 und x = 1). 
Dies passt zum Scheitelpunkt S(-2|-18), der aus der Parabelgleichung abgelesen werden kann.

<big>4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q (mit quadratischer Ergänzung )</big>

Beispiel: f(x) = x² -6x + 5 
f(x) = 0 
x² - 6x + 5 = 0   | quadratische Ergänzung <math>\left ( \frac{6}{2} \right )^2 = 3^2</math> 
x² - 6x + 3² - 3² + 5 = 0   | 2. binomische Formel 
(x - 3)² - 9 + 5 = 0 
(x - 3)² - 4 = 0   | nun hast du wieder die Scheitelpunktform und gehst wie in Bsp 3 vor: +4 
(x - 3)² = 4        |<math>\surd</math> 
x1 - 3 = -2 und x2 - 3 = 2     |+3 
x1 = -2 + 3    und x2 = 2 + 3 
x1 = 1 und x2 = 5 
N1(1|0) und N2(5|0) 

{{Lösung versteckt|1=Später lösen wir Gleichungen in der Normalform auch mit der pq-Formel: 
Normalform: f(x) = x² + px + q 
x² + px + q = 0 
x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> 

Beispiel: f(x) = x² -6x + 5 
f(x) = 0 
x² - 6x + 5 = 0   | pq-Formel mit p=-6 und q=5 
x1/2 = -<math>\tfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-6}{2} \right )^2-5}</math> 
x1/2 = 3 <math> \pm \sqrt{9-5}</math> 
x1/2 = 3 <math>\pm \sqrt{4}</math> 
x1/2 = 3<math> \pm </math>2 
x1 = 3 - 2 = 1 ; x2 = 3+2 = 5
N1(1|0) und N2(5|0) |2=Lösung mit der pq-Formel|3=Verbergen}}

{{Box|1=Überprüfe deine Lösungen mit GeoGebra|2=Prüfe deine Lösungen, indem du die Funktionsgleichungen bei GeoGebra eingibst und schaust, ob die Parabel tatsächlich diese Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) hat. 
[https://www.geogebra.org/classic?lang=de Link zu GeoGebra]|3=Lösung}}

{{Box|Übung 2|Berechne jeweils die Nullstellen. Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.
* S. 21, Nr. 3a-d
* S. 21, Nr. 4 (Löse mit GeoGebra und rechnerisch!)
* S. 21, Nr. 5|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Vorsicht bei Nr. 3b: 
f(x) = x² + 9 
f(x) = 0 
x² + 9 = 0   |-9 
x² = -9    |<math>\surd</math> 
x1/2 = ±<math>\sqrt{-9}</math> 
Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden! Also hat diese Parabel kein Nullstellen. Begründe dies mithilfe der Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung.|2=Vorsicht bei Nr. 3b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Lies den Scheitelpunkt ab, gib dann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform an und berechne die Nullstellen wie in Beispiel 3: 
A: S(2|-1), also ist f(x) = (x-2)² - 1. 
Nullstellen: f(x) = 0 
... 
Du kannst deine rechnerische Lösung prüfen mit der Zeichnung im Buch!|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}

{{Box|1=Überprüfe deine Lösungen mit GeoGebra|2=Prüfe deine Lösungen, indem du die Funktionsgleichungen bei GeoGebra eingibst und schaust, ob die Parabel tatsächlich diese Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) hat. 
[https://www.geogebra.org/classic?lang=de Link zu GeoGebra]|3=Lösung}}

{{Box|Übung 3 - Mathe kreativ: keine, eine oder zwei Nullstellen|* Zeichne jeweils ein Beispiel einer verschobenen Normalparabel in dein Heft die keine, eine bzw. zwei Nullstellen hat und gib die Funktionsgleichung an.
* Berechne die Nullstellen und vergleiche mit deiner Zeichnung.
|Üben}}

{{Box|Übung 4|Wandel in die Scheitelpunktform um und berechne anschließend die Nullstellen. Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.
* S. 21, Nr. 2
* S. 21, Nr. 3 e-h|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung 
f(x) = x² + 6x + 9   | 1. binomische Formel 
f(x) = (x + 3)², also S(-3|0) 
Nullstellen: f(x) = 0 
(x + 3)² = 0   |<math>\surd</math> 
x + 3 = 0    |-3
x = -3 
N(-3|0) 
Die Parabel ist nur in Richtung der x-Achse verschoben, daher liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse, ist also die Nullstelle.|2=Tipp zu Nr. 2a|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung 
f(x) = x² + 2x - 3   | quadratische Ergänzung 1² 
f(x) = x² + 2x +1² - 1² - 3  |zusammenfassen
f(x) = (x + 1)² - 4 , also S(-1|-4) 
Nullstellen: f(x) = 0 
(x + 1)² - 4 = 0   | + 4 
(x + 1)² = 4   |<math>\surd</math> 
x1 + 1 = -2 und x2 + 1 = 2    |-1 
x1 = -3 und x2 = 1 
N1(-3|0) und N2(1|0) 
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S(-1|-4), also unterhalb der x-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet, also gibt es zwei Nullstellen. Prüfe mit GeoGebra!|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 5|Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt aus Symmetriegründen immer mittig zwischen den Nullstellen.
* S. 22, Nr. 8
* S. 22, Nr. 12|Üben}} 
{{Lösung versteckt|1=Verschiebe den Scheitelpunkt so, dass die Nullstellen zur Aufgabenstellung passen. Wo liegt der Scheitelpunkt? Fällt dir etwas auf? 
<ggb_applet id="tytyustj" width="1066" height="754" border="888888" />|2=Hilfe zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Erkläre die Lage des Scheitelpunktes anhand der Bilder.
[[Datei:SP 10 S.22 Nr.12.jpg|rahmenlos|775x775px]]
|2=Tipp zu Nr.12|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=Modellieren (Anwendungsaufgaben)|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren}}

===7.3 Nullstellen quadratischer Funktionen in der Normalform berechnen mit der p-q-Formel===

Du kannst die Nullstellen von Parabeln in der Normalform berechnen, indem du die Normalform zunächst in die Scheitelpunktform umwandelst und dann die Nullstellen berechnest (wie im Beispiel 4 oben)
Eine weitere, schnellere Möglichkeit ist die Anwendung der Lösungsformel: Die p-q-Formel. 

Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die Gleichung in der sogenannten '''Normalform''' gegeben sein: 
'''x² + px + q = 0''' 

{{Lösung versteckt|1=Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.|2=Was muss ich für die Normalform beachten?|3=Verbergen}}

Die Lösungsformel (pq-Formel) wird hergeleitet mithilfe der quadratischen Ergänzung. Wir leiten die Formel parallel zu einer Beispielaufgabe oben her: 
[[Datei:Herleitung der p-q-Formel.png|rahmenlos|908x908px]]

{{Box|1=Lösen mit der Lösungsformel: pq-Formel|2=Jede quadratische Gleichung lässt sich mit der p-q-Formel lösen. Dazu muss die Gleichung zunächst in die 
Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden. Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt: 
x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> 
Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.|3=Arbeitsmethode}}
 
Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:
{{#ev:youtube|tRblwTsX6hQ|800|center}}
 

Übe zunächst das Umstellen der Gleichung in die Normalform und die Bestimmung von p und q.
{{LearningApp|app=p887tapq520|width=100%|heiht=600px}}
 
Löse die nächsten Aufgaben mit der Lösungsformel. Schreibe wie im Beispiel:

x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; <math>\tfrac{p}{2}</math>=-11; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=11; q=72 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{11^2-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{121-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{49}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm</math>7 
x1 = 18; x2 = 4 

Kurzschreibweise: 
x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; <math>\tfrac{p}{2}</math>=-11; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=11; q=72 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{11^2-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm</math>7 
x1 = 18; x2 = 4 

{{LearningApp|app=26631445|width=100%|height=600px}} 
{{LearningApp|app=p5430i34t20|width=100%|height=600px}} 

{{Box|Übung 6|Löse mit der pq-Formel die Aufgaben im Buch.
* S. 30, Nr. 1
* S. 30, Nr. 2
* S. 32, Nr. 15|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Bestimme p und q, achte auf die Vorzeichen! 
1a) p=8, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -4; q=7 Setze diese Werte in die p-q-Formel ein. 
1b) p=7, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -3,5; q=10 
1c) p=2, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -1; q=-3 Tipp: Unter der Wurzel steht also ...-(-3)! 
1d) p=-5, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = +2,5; q=-24 
1e) p=10, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -5; q=-11 
1f) p=-22, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = +11; q=72 
1g) p=2,5, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -1,25; q=1 
1h) p=-5,2, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = +2,5; q=1|2=Tipp zu Nr. 1 (Bestimme p und q)|3=Verbergen}}
Prüfe deine Lösungen mithilfe des GeoGebra-Applets. Erinnerung: Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion.
<ggb_applet id="cqtgn4zw" width="800" height="620" />

{{LearningApp|app=p53v9bz7220|width=100%|height=600px}} 

===7.4 Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen===

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0. 
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.

Ordne in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um die Normalform oder die allgemeine Form quadratischer Gleichungen handelt.
{{LearningApp|app=pb85ajz4k20|width=100%|height=400px}}

Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Normalform x² + px + q = 0 umformen. Dann können wir wieder die pq-Formel zur Lösung anwenden.

{{Box|1=Allgemein quadratische Gleichungen lösen|2=Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0. Alle quadratischen Gleichungen lassen sich umformen in die Normalform x² + px + q = 0. Dann kann wieder die pq-Formel zur Lösung angewendet werden. 
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um.    (| : a) 
2. Schritt: Wende die pq-Formel x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> an.|3=Arbeitsmethode}}

Übe zunächst das Umwandeln in die Normalform:
{{LearningApp|app=p5ut2b9xc20|width=100%|height=400px}}

Ein Video zur Zusammenfassung:
{{#ev:youtube|UXYYntGcyY4|600|center}}

{{Box|Übung 7|Löse die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 30, Nr. 3
* S. 30, Nr. 4
Wandle die Gleichungen zunächst in die Normalform um und wende dann die p-q-Formel an.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Du hast in der obigen LearningApp schon die allgemeine Form in die Normalform umgewandelt. Damit kannst du Nr. 3 lösen|Tipp zu Nr. 3|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Forme die Gleichung zunächst so um, dass eine Seite = 0 ist. 
Du löst die Klammern jeweils durch Ausmultiplizieren aus ("Jeder gibt jedem die Hand")[[Datei:Händedruck grau.png|rahmenlos|50x50px]] 
Bringe diese Gleichung dann in die Normalform, indem du durch den Koeffizienten von x² dividierst.|2=Tipp 1 zu Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Normalform
a) x² + 9x - 52 = 0 
b) x²-<math>\tfrac{1}{2}</math>x-5=0 
c) x² -3x -70 = 0|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=Modellieren (Anwendungsaufgaben)|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren}}

__INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__

Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen

2023-08-27T17:03:40Z

Neukirch:

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen - Startseite]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Quadratische Funktionen entdecken|1 Quadratische Funktionen entdecken]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalparabel|2 Die Normalparabel f(x) = x²]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Gestreckte und gestauchte Parabel|3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters '''a '''in f(x) = '''a'''x²]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Verschiebung entlang der y-Achse|4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters''' c''' in f(x) = ax² + '''c''']] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Scheitelpunktform|5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform|6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen|7 Nullstellen quadratischer Funktionen]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren|8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)]]}}
==7 Nullstellen quadratischer Funktionen==

Ihr wart zur Klassenfahrt in Berlin und habt dort verschiedene Parabeln entdeckt.

Eine Parabel habt ihr in der Form der Reichstagskuppel gefunden. Nun können wir verschiedene Fragen an dieses Bild stellen.

{{Box|1=Einstieg: Anwendung Reichstag|2=Die Funktionsgleichung der Parabel lautet f(x) = -0,05875x² + 23,5.
* Welche Form hat diese Parabelgleichung und warum?
* Stellt verschiedene Fragen an das Foto, die mithilfe der Parabelgleichung beantwortet werden können.|3=Frage}}

[[Datei:Bild Reichstag mit Koordinatenkreuz.png|rahmenlos|500x500px]]

{{Lösung versteckt|1=Die Form der Parabelgleichung ist f(x) = ax² + c. Passen die Zahlen für a und c zum Bild?|2=Tipp zur Form der Parabelgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Form der Parabelgleichung ist f(x) = ax² + c. 
Diese Parabel ist also symmetrisch zur y-Achse. Der Parameter a muss negativ sein, denn die Parabel ist nach unten geöffnet. Zudem muss -1<a<0 sein, denn die Parabel ist gestaucht. 
Der Parameter c muss positiv sein, denn der Scheitelpunkt ist entlang der y-Achse nach oben verschoben.|2=Tipp zu den Parametern a und c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Fragen: 
* Wie hoch reicht das Kuppeldach über das Dach des Reichstags? 
* Wie groß ist der Durchmesser der Kuppel? 
* ...|2=mögliche Fragestellungen|3=Verbergen}}

Um die Frage nach dem Durchmesser des Kuppeldaches zu beantworten, müssen wir herausfinden, wo die Parabel die x-Achse schneidet.
Diese besonderen Stellen heißen '''Nullstellen''' der Funktion.

{{Box|1=Nullstellen quadratischer Funktionen|2=Die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse heißen '''Nullstellen''', 
denn die y-Koordinate dieser Punkte hat immer den Wert Null. N(xN|'''0''') 
Um die Nullstellen zu berechnen, setze also immer <big>'''f(x) = 0 '''</big>!!|3=Kurzinfo}}

===7.1 Anzahl der Nullstellen quadratischer Funktionen erkennen===
Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du die Anzahl der Nullstellen erkennen. Je nach Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel hat diese keine, eine oder zwei Nullstellen: 
[[Datei:Anzahl der Nullstellen .jpg|rahmenlos|800x800px]] 

{{Box|Übung 1: Anzahl der Nullstellen|Wie viele Nullstellen hat die Parabel jeweils? Ordne in der LearningApp und im Quiz passend zu.
|Üben}}
{{LearningApp|app=p8s7yei1v21|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pvhfbdc0v22|width=100%|height=400px}}
Tipp: Bestimme zunächst die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel. Ordne dann passend zu:
<div class="zuordnungs-quiz">

{|
|keine||f(x) = x² + 3||f(x) = -2x² - 5||f(x) = (x+2)² + 1
|-
|eine||f(x) = x²||f(x) = (x - 4)²||f(x) = -(x+2)²
|-
|zwei||f(x) = x² - 3||f(x) = -2x² + 5||f(x) = (x+2)² - 1
|}

</div>

===7.2 Nullstellen quadratischer Funktionen in der Scheitelpunktform berechnen===

Um den Durchmesser der Reichstagskuppel zu berechnen, müssen wir die Nullstellen der Funktion f(x) = -0,05875x² + 23,5 berechnen. 
Da die y-Koordinate der Nullstellen immer 0 ist, setzen wir dies in die Gleichung ein: 

<big>f(x) '''= 0'''</big> 

-0,05875x² + 23,5 = 0   |-23,5 
-0,05875x² = -23,5        |:(-0,05875) 
x² = 400                            |<math>\surd</math> 
x1 = - <math>\sqrt{400}</math> und x2 = + <math>\sqrt{400}</math> 
x1 = -20 und x2 = +20

Die Nullstellen lauten also N1(-20|0) und N2(20|0). 
Der Durchmesser der Kuppel beträgt also 20m+20m = 40m.

{{Box|Beispielrechnungen für Nullstellenberechnungen|Übertrage die nachfolgenden Beispiele zur Nullstellenberechnung in dein Heft.|Arbeitsmethode}}

<big>1. Form: f(x) = ax² </big> 
Beispiel: f(x) = 3x² 
f(x) = 0 
3x² = 0    |:3 
x² = 0    |<math>\surd</math> 
x = 0 
N(0|0) 

Natürlich hat jede Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² die Nullstelle N(0|0), denn ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Der Scheitelpunkt ist also die Nullstelle.

<big>2. Form: f(x) = ax² + c </big>

Beispiel: f(x) = 0,5x² - 8 

f(x) = 0 
0,5x² - 8 = 0    |+8 
0,5x² = 8      |:0,5 
x² = 16         |<math>\surd</math> 
x1 = - <math>\sqrt{16}</math> und x2 = + <math>\sqrt{16}</math> 
x1 = -4 und x2 = +4
 
N1(-4|0) und N2(4|0) 

{{LearningApp|app=pw5jvu07221|width=100%|height=400px}}

<big>3. Form: Scheitelpunktform f(x) = a(x+d)²+e </big>

Beispiel: f(x) = 2(x + 2)² - 18 
[[Datei:F(x) = 2(x+2)²-18.png|rechts|rahmenlos|425x425px]]
f(x) = 0 
2(x + 2)² - 18 = 0    |+18 
2(x + 2)² = 18    |:2 
(x + 2)² = 9        |<math>\surd</math> 
x1 + 2 = - <math>\sqrt{9}</math>    und x2 + 2 = + <math>\sqrt{9}</math> 
x1 + 2 = -3 und x2 + 2 = 3     |-2 
x1 = - 3 - 2    und x2 = + 3 - 2 
x1 = -5 und x2 = 1 
N1(-5|0) und N2(1|0) 

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss also -2 heißen. (x-Koordinate zwischen x = -5 und x = 1). 
Dies passt zum Scheitelpunkt S(-2|-18), der aus der Parabelgleichung abgelesen werden kann.

<big>4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q (mit quadratischer Ergänzung )</big>

Beispiel: f(x) = x² -6x + 5 
f(x) = 0 
x² - 6x + 5 = 0   | quadratische Ergänzung <math>\left ( \frac{6}{2} \right )^2 = 3^2</math> 
x² - 6x + 3² - 3² + 5 = 0   | 2. binomische Formel 
(x - 3)² - 9 + 5 = 0 
(x - 3)² - 4 = 0   | nun hast du wieder die Scheitelpunktform und geht wie in Bsp 3 vor: +4 
(x - 3)² = 4        |<math>\surd</math> 
x1 - 3 = -2 und x2 - 3 = 2     |+3 
x1 = -2 + 3    und x2 = 2 + 3 
x1 = 1 und x2 = 5 
N1(1|0) und N2(5|0) 

{{Lösung versteckt|1=Später lösen wir Gleichungen in der Normalform auch mit der pq-Formel: 
Normalform: f(x) = x² + px + q 
x² + px + q = 0 
x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> 

Beispiel: f(x) = x² -6x + 5 
f(x) = 0 
x² - 6x + 5 = 0   | pq-Formel mit p=-6 und q=5 
x1/2 = -<math>\tfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-6}{2} \right )^2-5}</math> 
x1/2 = 3 <math> \pm \sqrt{9-5}</math> 
x1/2 = 3 <math>\pm \sqrt{4}</math> 
x1/2 = 3<math> \pm </math>2 
x1 = 3 - 2 = 1 ; x2 = 3+2 = 5
N1(1|0) und N2(5|0) |2=Lösung mit der pq-Formel|3=Verbergen}}

{{Box|1=Überprüfe deine Lösungen mit GeoGebra|2=Prüfe deine Lösungen, indem du die Funktionsgleichungen bei GeoGebra eingibst und schaust, ob die Parabel tatsächlich diese Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) hat. 
[https://www.geogebra.org/classic?lang=de Link zu GeoGebra]|3=Lösung}}

{{Box|Übung 2|Berechne jeweils die Nullstellen. Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.
* S. 21, Nr. 3a-d
* S. 21, Nr. 4 (Löse mit GeoGebra und rechnerisch!)
* S. 21, Nr. 5|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Vorsicht bei Nr. 3b: 
f(x) = x² + 9 
f(x) = 0 
x² + 9 = 0   |-9 
x² = -9    |<math>\surd</math> 
x1/2 = ±<math>\sqrt{-9}</math> 
Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden! Also hat diese Parabel kein Nullstellen. Begründe dies mithilfe der Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung.|2=Vorsicht bei Nr. 3b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Lies den Scheitelpunkt ab, gib dann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform an und berechne die Nullstellen wie in Beispiel 3: 
A: S(2|-1), also ist f(x) = (x-2)² - 1. 
Nullstellen: f(x) = 0 
... 
Du kannst deine rechnerische Lösung prüfen mit der Zeichnung im Buch!|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}

{{Box|1=Überprüfe deine Lösungen mit GeoGebra|2=Prüfe deine Lösungen, indem du die Funktionsgleichungen bei GeoGebra eingibst und schaust, ob die Parabel tatsächlich diese Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) hat. 
[https://www.geogebra.org/classic?lang=de Link zu GeoGebra]|3=Lösung}}

{{Box|Übung 3 - Mathe kreativ: keine, eine oder zwei Nullstellen|* Zeichne jeweils ein Beispiel einer verschobenen Normalparabel in dein Heft die keine, eine bzw. zwei Nullstellen hat und gib die Funktionsgleichung an.
* Berechne die Nullstellen und vergleiche mit deiner Zeichnung.
|Üben}}

{{Box|Übung 4|Wandel in die Scheitelpunktform um und berechne anschließend die Nullstellen. Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.
* S. 21, Nr. 2
* S. 21, Nr. 3 e-h|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung 
f(x) = x² + 6x + 9   | 1. binomische Formel 
f(x) = (x + 3)², also S(-3|0) 
Nullstellen: f(x) = 0 
(x + 3)² = 0   |<math>\surd</math> 
x + 3 = 0    |-3
x = -3 
N(-3|0) 
Die Parabel ist nur in Richtung der x-Achse verschoben, daher liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse, ist also die Nullstelle.|2=Tipp zu Nr. 2a|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung 
f(x) = x² + 2x - 3   | quadratische Ergänzung 1² 
f(x) = x² + 2x +1² - 1² - 3  |zusammenfassen
f(x) = (x + 1)² - 4 , also S(-1|-4) 
Nullstellen: f(x) = 0 
(x + 1)² - 4 = 0   | + 4 
(x + 1)² = 4   |<math>\surd</math> 
x1 + 1 = -2 und x2 + 1 = 2    |-1 
x1 = -3 und x2 = 1 
N1(-3|0) und N2(1|0) 
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S(-1|-4), also unterhalb der x-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet, also gibt es zwei Nullstellen. Prüfe mit GeoGebra!|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 5|Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt aus Symmetriegründen immer mittig zwischen den Nullstellen.
* S. 22, Nr. 8
* S. 22, Nr. 12|Üben}} 
{{Lösung versteckt|1=Verschiebe den Scheitelpunkt so, dass die Nullstellen zur Aufgabenstellung passen. Wo liegt der Scheitelpunkt? Fällt dir etwas auf? 
<ggb_applet id="tytyustj" width="1066" height="754" border="888888" />|2=Hilfe zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Erkläre die Lage des Scheitelpunktes anhand der Bilder.
[[Datei:SP 10 S.22 Nr.12.jpg|rahmenlos|775x775px]]
|2=Tipp zu Nr.12|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=Modellieren (Anwendungsaufgaben)|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren}}

===7.3 Nullstellen quadratischer Funktionen in der Normalform berechnen mit der p-q-Formel===

Du kannst die Nullstellen von Parabeln in der Normalform berechnen, indem du die Normalform zunächst in die Scheitelpunktform umwandelst und dann die Nullstellen berechnest (wie im Beispiel 4 oben)
Eine weitere, schnellere Möglichkeit ist die Anwendung der Lösungsformel: Die p-q-Formel. 

Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die Gleichung in der sogenannten '''Normalform''' gegeben sein: 
'''x² + px + q = 0''' 

{{Lösung versteckt|1=Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.|2=Was muss ich für die Normalform beachten?|3=Verbergen}}

Die Lösungsformel (pq-Formel) wird hergeleitet mithilfe der quadratischen Ergänzung. Wir leiten die Formel parallel zu einer Beispielaufgabe oben her: 
[[Datei:Herleitung der p-q-Formel.png|rahmenlos|908x908px]]

{{Box|1=Lösen mit der Lösungsformel: pq-Formel|2=Jede quadratische Gleichung lässt sich mit der p-q-Formel lösen. Dazu muss die Gleichung zunächst in die 
Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden. Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt: 
x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> 
Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.|3=Arbeitsmethode}}
 
Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:
{{#ev:youtube|tRblwTsX6hQ|800|center}}
 

Übe zunächst das Umstellen der Gleichung in die Normalform und die Bestimmung von p und q.
{{LearningApp|app=p887tapq520|width=100%|heiht=600px}}
 
Löse die nächsten Aufgaben mit der Lösungsformel. Schreibe wie im Beispiel:

x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; <math>\tfrac{p}{2}</math>=-11; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=11; q=72 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{11^2-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{121-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{49}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm</math>7 
x1 = 18; x2 = 4 

Kurzschreibweise: 
x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; <math>\tfrac{p}{2}</math>=-11; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=11; q=72 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{11^2-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm</math>7 
x1 = 18; x2 = 4 

{{LearningApp|app=26631445|width=100%|height=600px}} 
{{LearningApp|app=p5430i34t20|width=100%|height=600px}} 

{{Box|Übung 6|Löse mit der pq-Formel die Aufgaben im Buch.
* S. 30, Nr. 1
* S. 30, Nr. 2
* S. 32, Nr. 15|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Bestimme p und q, achte auf die Vorzeichen! 
1a) p=8, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -4; q=7 Setze diese Werte in die p-q-Formel ein. 
1b) p=7, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -3,5; q=10 
1c) p=2, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -1; q=-3 Tipp: Unter der Wurzel steht also ...-(-3)! 
1d) p=-5, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = +2,5; q=-24 
1e) p=10, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -5; q=-11 
1f) p=-22, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = +11; q=72 
1g) p=2,5, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -1,25; q=1 
1h) p=-5,2, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = +2,5; q=1|2=Tipp zu Nr. 1 (Bestimme p und q)|3=Verbergen}}
Prüfe deine Lösungen mithilfe des GeoGebra-Applets. Erinnerung: Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion.
<ggb_applet id="cqtgn4zw" width="800" height="620" />

{{LearningApp|app=p53v9bz7220|width=100%|height=600px}} 

===7.4 Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen===

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0. 
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.

Ordne in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um die Normalform oder die allgemeine Form quadratischer Gleichungen handelt.
{{LearningApp|app=pb85ajz4k20|width=100%|height=400px}}

Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Normalform x² + px + q = 0 umformen. Dann können wir wieder die pq-Formel zur Lösung anwenden.

{{Box|1=Allgemein quadratische Gleichungen lösen|2=Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0. Alle quadratischen Gleichungen lassen sich umformen in die Normalform x² + px + q = 0. Dann kann wieder die pq-Formel zur Lösung angewendet werden. 
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um.    (| : a) 
2. Schritt: Wende die pq-Formel x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> an.|3=Arbeitsmethode}}

Übe zunächst das Umwandeln in die Normalform:
{{LearningApp|app=p5ut2b9xc20|width=100%|height=400px}}

Ein Video zur Zusammenfassung:
{{#ev:youtube|UXYYntGcyY4|600|center}}

{{Box|Übung 7|Löse die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 30, Nr. 3
* S. 30, Nr. 4
Wandle die Gleichungen zunächst in die Normalform um und wende dann die p-q-Formel an.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Du hast in der obigen LearningApp schon die allgemeine Form in die Normalform umgewandelt. Damit kannst du Nr. 3 lösen|Tipp zu Nr. 3|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Forme die Gleichung zunächst so um, dass eine Seite = 0 ist. 
Du löst die Klammern jeweils durch Ausmultiplizieren aus ("Jeder gibt jedem die Hand")[[Datei:Händedruck grau.png|rahmenlos|50x50px]] 
Bringe diese Gleichung dann in die Normalform, indem du durch den Koeffizienten von x² dividierst.|2=Tipp 1 zu Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Normalform
a) x² + 9x - 52 = 0 
b) x²-<math>\tfrac{1}{2}</math>x-5=0 
c) x² -3x -70 = 0|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=Modellieren (Anwendungsaufgaben)|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren}}

__INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__

Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen

2023-08-27T17:02:18Z

Neukirch: Artikel ergänzt

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen - Startseite]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Quadratische Funktionen entdecken|1 Quadratische Funktionen entdecken]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalparabel|2 Die Normalparabel f(x) = x²]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Gestreckte und gestauchte Parabel|3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters '''a '''in f(x) = '''a'''x²]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Verschiebung entlang der y-Achse|4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters''' c''' in f(x) = ax² + '''c''']] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Scheitelpunktform|5 Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen f(x) = a(x+d)² + e]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Normalform|6 Die Normalform f(x) = x² + px + q und die allgemeine Form quadratischer Funktionen f(x) = ax² + bx + c]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Nullstellen|7 Nullstellen quadratischer Funktionen]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren|8 Modellieren (Anwendungsaufgaben)]]}}
==7 Nullstellen quadratischer Funktionen==

Ihr wart zur Klassenfahrt in Berlin und habt dort verschiedene Parabeln entdeckt.

Eine Parabel habt ihr in der Form der Reichstagskuppel gefunden. Nun können wir verschiedene Fragen an dieses Bild stellen.

{{Box|1=Einstieg: Anwendung Reichstag|2=Die Funktionsgleichung der Parabel lautet f(x) = -0,05875x² + 23,5.
* Welche Form hat diese Parabelgleichung und warum?
* Stellt verschiedene Fragen an das Foto, die mithilfe der Parabelgleichung beantwortet werden können.|3=Frage}}

[[Datei:Bild Reichstag mit Koordinatenkreuz.png|rahmenlos|500x500px]]

{{Lösung versteckt|1=Die Form der Parabelgleichung ist f(x) = ax² + c. Passen die Zahlen für a und c zum Bild?|2=Tipp zur Form der Parabelgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Form der Parabelgleichung ist f(x) = ax² + c. 
Diese Parabel ist also symmetrisch zur y-Achse. Der Parameter a muss negativ sein, denn die Parabel ist nach unten geöffnet. Zudem muss -1<a<0 sein, denn die Parabel ist gestaucht. 
Der Parameter c muss positiv sein, denn der Scheitelpunkt ist entlang der y-Achse nach oben verschoben.|2=Tipp zu den Parametern a und c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Fragen: 
* Wie hoch reicht das Kuppeldach über das Dach des Reichstags? 
* Wie groß ist der Durchmesser der Kuppel? 
* ...|2=mögliche Fragestellungen|3=Verbergen}}

Um die Frage nach dem Durchmesser des Kuppeldaches zu beantworten, müssen wir herausfinden, wo die Parabel die x-Achse schneidet.
Diese besonderen Stellen heißen '''Nullstellen''' der Funktion.

{{Box|1=Nullstellen quadratischer Funktionen|2=Die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse heißen '''Nullstellen''', 
denn die y-Koordinate dieser Punkte hat immer den Wert Null. N(xN|'''0''') 
Um die Nullstellen zu berechnen, setze also immer <big>'''f(x) = 0 '''</big>!!|3=Kurzinfo}}

===7.1 Anzahl der Nullstellen quadratischer Funktionen erkennen===
Ist die Parabelgleichung in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du die Anzahl der Nullstellen erkennen. Je nach Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel hat diese keine, eine oder zwei Nullstellen: 
[[Datei:Anzahl der Nullstellen .jpg|rahmenlos|800x800px]] 

{{Box|Übung 1: Anzahl der Nullstellen|Wie viele Nullstellen hat die Parabel jeweils? Ordne in der LearningApp und im Quiz passend zu.
|Üben}}
{{LearningApp|app=p8s7yei1v21|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pvhfbdc0v22|width=100%|height=400px}}
Tipp: Bestimme zunächst die Lage des Scheitelpunktes und die Öffnungsrichtung der Parabel. Ordne dann passend zu:
<div class="zuordnungs-quiz">

{|
|keine||f(x) = x² + 3||f(x) = -2x² - 5||f(x) = (x+2)² + 1
|-
|eine||f(x) = x²||f(x) = (x - 4)²||f(x) = -(x+2)²
|-
|zwei||f(x) = x² - 3||f(x) = -2x² + 5||f(x) = (x+2)² - 1
|}

</div>

===7.2 Nullstellen quadratischer Funktionen in der Scheitelpunktform berechnen===

Um den Durchmesser der Reichstagskuppel zu berechnen, müssen wir die Nullstellen der Funktion f(x) = -0,05875x² + 23,5 berechnen. 
Da die y-Koordinate der Nullstellen immer 0 ist, setzen wir dies in die Gleichung ein: 

<big>f(x) '''= 0'''</big> 

-0,05875x² + 23,5 = 0   |-23,5 
-0,05875x² = -23,5        |:(-0,05875) 
x² = 400                            |<math>\surd</math> 
x1 = - <math>\sqrt{400}</math> und x2 = + <math>\sqrt{400}</math> 
x1 = -20 und x2 = +20

Die Nullstellen lauten also N1(-20|0) und N2(20|0). 
Der Durchmesser der Kuppel beträgt also 20m+20m = 40m.

{{Box|Beispielrechnungen für Nullstellenberechnungen|Übertrage die nachfolgenden Beispiele zur Nullstellenbrechnung in dein Heft.|Arbeitsmethode}}

<big>1. Form: f(x) = ax² </big> 
Beispiel: f(x) = 3x² 
f(x) = 0 
3x² = 0    |:3 
x² = 0    |<math>\surd</math> 
x = 0 
N(0|0) 

Natürlich hat jede Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = ax² die Nullstelle N(0|0), denn ihr Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Der Scheitelpunkt ist also die Nullstelle.

<big>2. Form: f(x) = ax² + c </big>

Beispiel: f(x) = 0,5x² - 8 

f(x) = 0 
0,5x² - 8 = 0    |+8 
0,5x² = 8      |:0,5 
x² = 16         |<math>\surd</math> 
x1 = - <math>\sqrt{16}</math> und x2 = + <math>\sqrt{16}</math> 
x1 = -4 und x2 = +4
 
N1(-4|0) und N2(4|0) 

{{LearningApp|app=pw5jvu07221|width=100%|height=400px}}

<big>3. Form: Scheitelpunktform f(x) = a(x+d)²+e </big>

Beispiel: f(x) = 2(x + 2)² - 18 
[[Datei:F(x) = 2(x+2)²-18.png|rechts|rahmenlos|425x425px]]
f(x) = 0 
2(x + 2)² - 18 = 0    |+18 
2(x + 2)² = 18    |:2 
(x + 2)² = 9        |<math>\surd</math> 
x1 + 2 = - <math>\sqrt{9}</math>    und x2 + 2 = + <math>\sqrt{9}</math> 
x1 + 2 = -3 und x2 + 2 = 3     |-2 
x1 = - 3 - 2    und x2 = + 3 - 2 
x1 = -5 und x2 = 1 
N1(-5|0) und N2(1|0) 

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes muss also -2 heißen. (x-Koordinate zwischen x = -5 und x = 1). 
Dies passt zum Scheitelpunkt S(-2|-18), der aus der Parabelgleichung abgelesen werden kann.

<big>4. Form: Normalform f(x) = x² + px + q (mit quadratischer Ergänzung )</big>

Beispiel: f(x) = x² -6x + 5 
f(x) = 0 
x² - 6x + 5 = 0   | quadratische Ergänzung <math>\left ( \frac{6}{2} \right )^2 = 3^2</math> 
x² - 6x + 3² - 3² + 5 = 0   | 2. binomische Formel 
(x - 3)² - 9 + 5 = 0 
(x - 3)² - 4 = 0   | nun hast du wieder die Scheitelpunktform und geht wie in Bsp 3 vor: +4 
(x - 3)² = 4        |<math>\surd</math> 
x1 - 3 = -2 und x2 - 3 = 2     |+3 
x1 = -2 + 3    und x2 = 2 + 3 
x1 = 1 und x2 = 5 
N1(1|0) und N2(5|0) 

{{Lösung versteckt|1=Später lösen wir Gleichungen in der Normalform auch mit der pq-Formel: 
Normalform: f(x) = x² + px + q 
x² + px + q = 0 
x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> 

Beispiel: f(x) = x² -6x + 5 
f(x) = 0 
x² - 6x + 5 = 0   | pq-Formel mit p=-6 und q=5 
x1/2 = -<math>\tfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left ( \frac{-6}{2} \right )^2-5}</math> 
x1/2 = 3 <math> \pm \sqrt{9-5}</math> 
x1/2 = 3 <math>\pm \sqrt{4}</math> 
x1/2 = 3<math> \pm </math>2 
x1 = 3 - 2 = 1 ; x2 = 3+2 = 5
N1(1|0) und N2(5|0) |2=Lösung mit der pq-Formel|3=Verbergen}}

{{Box|1=Überprüfe deine Lösungen mit GeoGebra|2=Prüfe deine Lösungen, indem du die Funktionsgleichungen bei GeoGebra eingibst und schaust, ob die Parabel tatsächlich diese Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) hat. 
[https://www.geogebra.org/classic?lang=de Link zu GeoGebra]|3=Lösung}}

{{Box|Übung 2|Berechne jeweils die Nullstellen. Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.
* S. 21, Nr. 3a-d
* S. 21, Nr. 4 (Löse mit GeoGebra und rechnerisch!)
* S. 21, Nr. 5|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Vorsicht bei Nr. 3b: 
f(x) = x² + 9 
f(x) = 0 
x² + 9 = 0   |-9 
x² = -9    |<math>\surd</math> 
x1/2 = ±<math>\sqrt{-9}</math> 
Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden! Also hat diese Parabel kein Nullstellen. Begründe dies mithilfe der Lage des Scheitelpunktes und der Öffnung.|2=Vorsicht bei Nr. 3b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Lies den Scheitelpunkt ab, gib dann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform an und berechne die Nullstellen wie in Beispiel 3: 
A: S(2|-1), also ist f(x) = (x-2)² - 1. 
Nullstellen: f(x) = 0 
... 
Du kannst deine rechnerische Lösung prüfen mit der Zeichnung im Buch!|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}

{{Box|1=Überprüfe deine Lösungen mit GeoGebra|2=Prüfe deine Lösungen, indem du die Funktionsgleichungen bei GeoGebra eingibst und schaust, ob die Parabel tatsächlich diese Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse) hat. 
[https://www.geogebra.org/classic?lang=de Link zu GeoGebra]|3=Lösung}}

{{Box|Übung 3 - Mathe kreativ: keine, eine oder zwei Nullstellen|* Zeichne jeweils ein Beispiel einer verschobenen Normalparabel in dein Heft die keine, eine bzw. zwei Nullstellen hat und gib die Funktionsgleichung an.
* Berechne die Nullstellen und vergleiche mit deiner Zeichnung.
|Üben}}

{{Box|Übung 4|Wandel in die Scheitelpunktform um und berechne anschließend die Nullstellen. Prüfe deine Lösung mit GeoGebra.
* S. 21, Nr. 2
* S. 21, Nr. 3 e-h|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung 
f(x) = x² + 6x + 9   | 1. binomische Formel 
f(x) = (x + 3)², also S(-3|0) 
Nullstellen: f(x) = 0 
(x + 3)² = 0   |<math>\surd</math> 
x + 3 = 0    |-3
x = -3 
N(-3|0) 
Die Parabel ist nur in Richtung der x-Achse verschoben, daher liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse, ist also die Nullstelle.|2=Tipp zu Nr. 2a|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Von der Normalform zur Scheitelpunktform: quadratische Ergänzung 
f(x) = x² + 2x - 3   | quadratische Ergänzung 1² 
f(x) = x² + 2x +1² - 1² - 3  |zusammenfassen
f(x) = (x + 1)² - 4 , also S(-1|-4) 
Nullstellen: f(x) = 0 
(x + 1)² - 4 = 0   | + 4 
(x + 1)² = 4   |<math>\surd</math> 
x1 + 1 = -2 und x2 + 1 = 2    |-1 
x1 = -3 und x2 = 1 
N1(-3|0) und N2(1|0) 
Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei S(-1|-4), also unterhalb der x-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet, also gibt es zwei Nullstellen. Prüfe mit GeoGebra!|2=Tipp zu Nr. 2c|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 5|Die x-Koordinate des Scheitelpunktes liegt aus Symmetriegründen immer mittig zwischen den Nullstellen.
* S. 22, Nr. 8
* S. 22, Nr. 12|Üben}} 
{{Lösung versteckt|1=Verschiebe den Scheitelpunkt so, dass die Nullstellen zur Aufgabenstellung passen. Wo liegt der Scheitelpunkt? Fällt dir etwas auf? 
<ggb_applet id="tytyustj" width="1066" height="754" border="888888" />|2=Hilfe zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Erkläre die Lage des Scheitelpunktes anhand der Bilder.
[[Datei:SP 10 S.22 Nr.12.jpg|rahmenlos|775x775px]]
|2=Tipp zu Nr.12|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=Modellieren (Anwendungsaufgaben)|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren}}

===7.3 Nullstellen quadratischer Funktionen in der Normalform berechnen mit der p-q-Formel===

Du kannst die Nullstellen von Parabeln in der Normalform berechnen, indem du die Normalform zunächst in die Scheitelpunktform umwandelst und dann die Nullstellen berechnest (wie im Beispiel 4 oben)
Eine weitere, schnellere Möglichkeit ist die Anwendung der Lösungsformel: Die p-q-Formel. 

Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die Gleichung in der sogenannten '''Normalform''' gegeben sein: 
'''x² + px + q = 0''' 

{{Lösung versteckt|1=Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.|2=Was muss ich für die Normalform beachten?|3=Verbergen}}

Die Lösungsformel (pq-Formel) wird hergeleitet mithilfe der quadratischen Ergänzung. Wir leiten die Formel parallel zu einer Beispielaufgabe oben her: 
[[Datei:Herleitung der p-q-Formel.png|rahmenlos|908x908px]]

{{Box|1=Lösen mit der Lösungsformel: pq-Formel|2=Jede quadratische Gleichung lässt sich mit der p-q-Formel lösen. Dazu muss die Gleichung zunächst in die 
Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden. Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt: 
x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> 
Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.|3=Arbeitsmethode}}
 
Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:
{{#ev:youtube|tRblwTsX6hQ|800|center}}
 

Übe zunächst das Umstellen der Gleichung in die Normalform und die Bestimmung von p und q.
{{LearningApp|app=p887tapq520|width=100%|heiht=600px}}
 
Löse die nächsten Aufgaben mit der Lösungsformel. Schreibe wie im Beispiel:

x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; <math>\tfrac{p}{2}</math>=-11; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=11; q=72 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{11^2-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{121-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{49}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm</math>7 
x1 = 18; x2 = 4 

Kurzschreibweise: 
x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; <math>\tfrac{p}{2}</math>=-11; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=11; q=72 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{11^2-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm</math>7 
x1 = 18; x2 = 4 

{{LearningApp|app=26631445|width=100%|height=600px}} 
{{LearningApp|app=p5430i34t20|width=100%|height=600px}} 

{{Box|Übung 6|Löse mit der pq-Formel die Aufgaben im Buch.
* S. 30, Nr. 1
* S. 30, Nr. 2
* S. 32, Nr. 15|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Bestimme p und q, achte auf die Vorzeichen! 
1a) p=8, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -4; q=7 Setze diese Werte in die p-q-Formel ein. 
1b) p=7, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -3,5; q=10 
1c) p=2, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -1; q=-3 Tipp: Unter der Wurzel steht also ...-(-3)! 
1d) p=-5, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = +2,5; q=-24 
1e) p=10, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -5; q=-11 
1f) p=-22, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = +11; q=72 
1g) p=2,5, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = -1,25; q=1 
1h) p=-5,2, also -<math>\tfrac{p}{2}</math> = +2,5; q=1|2=Tipp zu Nr. 1 (Bestimme p und q)|3=Verbergen}}
Prüfe deine Lösungen mithilfe des GeoGebra-Applets. Erinnerung: Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion.
<ggb_applet id="cqtgn4zw" width="800" height="620" />

{{LearningApp|app=p53v9bz7220|width=100%|height=600px}} 

===7.4 Nullstellen von quadratischen Funktionen in der allgemeinen Form berechnen===

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0. 
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.

Ordne in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um die Normalform oder die allgemeine Form quadratischer Gleichungen handelt.
{{LearningApp|app=pb85ajz4k20|width=100%|height=400px}}

Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Normalform x² + px + q = 0 umformen. Dann können wir wieder die pq-Formel zur Lösung anwenden.

{{Box|1=Allgemein quadratische Gleichungen lösen|2=Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0. Alle quadratischen Gleichungen lassen sich umformen in die Normalform x² + px + q = 0. Dann kann wieder die pq-Formel zur Lösung angewendet werden. 
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um.    (| : a) 
2. Schritt: Wende die pq-Formel x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> an.|3=Arbeitsmethode}}

Übe zunächst das Umwandeln in die Normalform:
{{LearningApp|app=p5ut2b9xc20|width=100%|height=400px}}

Ein Video zur Zusammenfassung:
{{#ev:youtube|UXYYntGcyY4|600|center}}

{{Box|Übung 7|Löse die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 30, Nr. 3
* S. 30, Nr. 4
Wandle die Gleichungen zunächst in die Normalform um und wende dann die p-q-Formel an.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Du hast in der obigen LearningApp schon die allgemeine Form in die Normalform umgewandelt. Damit kannst du Nr. 3 lösen|Tipp zu Nr. 3|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Forme die Gleichung zunächst so um, dass eine Seite = 0 ist. 
Du löst die Klammern jeweils durch Ausmultiplizieren aus ("Jeder gibt jedem die Hand")[[Datei:Händedruck grau.png|rahmenlos|50x50px]] 
Bringe diese Gleichung dann in die Normalform, indem du durch den Koeffizienten von x² dividierst.|2=Tipp 1 zu Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Normalform
a) x² + 9x - 52 = 0 
b) x²-<math>\tfrac{1}{2}</math>x-5=0 
c) x² -3x -70 = 0|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=Modellieren (Anwendungsaufgaben)|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen/Modellieren}}

__INHALTSVERZEICHNIS_ERZWINGEN__

Buss-Haskert/Quadratische Gleichungen

2023-08-14T18:15:16Z

Neukirch: doppelte Übung entfernt

SEITE IM AUFBAU !!!
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Box|Lernpfad Quadratische Gleichungen|In diesem Lernpfad lernst du
* was quadratische Gleichungen sind,
* wie du quadratische Gleichungen lösen kannst,
* wie du Anwendungsaufgaben mithilfe von quadratischen Gleichungen löst. 
Bearbeite die Schritte des Lernpfades selbständig. Stelle Fragen, wo du unsicher bist. Achte auf die Zeit!!|Lernpfad}}

[[Datei:Anhalteweg.png|links|rahmenlos|454x454px]]In der Fahrschule lernst du eine Faustformel für die Berechnung des '''Bremsweges''':
Bremsweg in m:   sB = (<math>\tfrac{v}{10}</math>)²
{{Lösung versteckt| "s" bedeutet Weg bzw. Strecke; v steht für Geschwindigkeit (engl. velocity)|Was bedeuten s und v?|Verbergen}}
Hier handelt es sich um eine quadratische Gleichung, da die Variable v quadriert wird (v²).

 
Berechne den Bremsweg, wenn das Auto mit einer Geschwindigkeit von 30km/h fährt, also v=30 und wenn es mit einer Geschwindigkeit von 50km/h unterwegs ist.

Was fällt dir auf? 
Vor Schulen oder Kindergärten sollten die Bremswege möglichst kurz sein. Wie schnell darf ein Auto fahren, damit der Bremsweg höchstens 4m beträgt?
{{Lösung versteckt|1=Wenn v=30 beträgt, ist sB = (<math>\tfrac{30}{10}</math>)² = 3² = 9 (m) 
Für v=50 ist sB = (<math>\tfrac{50}{10}</math>)² = 5² = 25(m) 
Der Bremsweg ist also bei 50 km/h deutlich länger als bei 30 km/h, denn er hängt vom '''Quadrat''' der Geschwindigkeit ab. 
Hier ist s=4m gegeben, die Gleichung muss also nach v aufgelöst werden. Dies lernst du in diesem Lernpfad!|2=Tipp|3=Verbergen}}
Du siehst: Mathe ist überall!
Du erarbeitest nun die Grundlagen zum Lösen solcher quadratischer Gleichungen.

===1) Was sind quadratische Gleichungen?===
Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable in zweiter Potenz (also z.B. x'''²''') vorkommt.

Erinnerung: Lineare Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable nur in erster Potenz (also z.B. x = x1) vorkommt.

Entscheide in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um eine quadratische Gleichung handelt oder nicht.
{{LearningApp|app=pxynm4rpa20|width=100%|height=400px}}

===2) Wie löse ich quadratische Gleichungen?===
Quadratische Gleichungen kannst du zeichnerisch und rechnerisch lösen. Nutze für die zeichnerische Lösung GeoGebra und prüfe so immer deine rechnerischen Lösungen. Es gibt verschiedene Formen quadratischer Gleichungen. Die Lösungsstrategie hängt von der Form ab. Dies erklären die folgenden Kapitel.

====2.1) Rein quadratische Gleichungen lösen====
In der obigen Faustformel kommt die Variable v nur in quadratischer Form vor, also nur als v². Solche Gleichungen heißen "rein quadratisch".
Sie haben immer die Form ax² = d (hier umgeformt <math>\tfrac{1}{100}</math>v² = sB)

{{Box|1=Rein quadratische Gleichungen|2=Eine quadratische Gleichung heißt rein quadratisch, wenn die Variable ausschließlich in der zweiten Potenz vorkommt: 
    '''ax² = c'''|3=Arbeitsmethode}}

Diese Gleichungen zu lösen hast du schon in der 9. Klasse gelernt. Wiederhole dein Wissen mithilfe der nachfolgenden Aufgaben.
{{LearningApp|app=pwadearzt20|width=100%|height=400px}}

{{Box|Übung 1|Löse Buch
* S. 32 Nr. 10
* S. 35 Nr. 18
* S. 35 Nr. 19
* S. 35 Nr. 20|Üben}}

{{Lösung versteckt|Im Bruch sind Zähler und Nenner jeweils Quadratzahlen. Ziehe einzeln die Wurzel (Wurzelgesetze) und schreibe die Lösungen als Bruch.|Tipp zu Nr. 18a,b|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Erinnerung: Gehe beim Lösen von Gleichungen immer "rückwärts" vor, also zuerst die Strichrechnung, dann die Punktrechnung, dann die Potenzen und Klammern. Rechne hier also zuerst +100, dann :3 und zum Schluss ziehe die Wurzel.|Tipp zu Nr. 18h|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bringe zunächst alle Terme mit x² auf eine Seite der Gleichung und dann alle Terme ohne Variable auf die andere Seite. Teile durch den Koeffizienten von x² und ziehe dann die Wurzel: 
15x² - 2 = 6x² - 1 | -6x² 
9x² - 2 = -1 | +2 
9x² = 1 |:9 
x² = <math>\tfrac{1}{9}</math> |<math>\surd</math>
x1 = <math>\tfrac{1}{3}</math> ; x2 = -<math>\tfrac{1}{3}</math>|2=Tipp zu Nr. 19|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Beseitige zunächst die Brüche, indem du mit dem Nenner multiplizierst. 
Beispiel a): 
<math>\tfrac{x^2}{3}</math> = 12 |∙3 
x² = 36 |<math>\surd</math> 
x1 = 6 ; x2 = -6 |2=Tipp zu Nr. 20|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 2|Löse die nachfolgende App.|Üben}}
{{LearningApp|app=p88cbqzo320|width=100%|heigth=300px}}

Was ist die bei der letzten Aufgabe aufgefallen?
{{Lösung versteckt|Bei der letzten Aufgabe muss im letzten Schritt <math>\sqrt{-2}</math> berechnet werden. Dies ist nicht möglich, da das Quadrat einer Zahl niemals negativ ist, also die Wurzel nie aus einer negativen Zahl gezogen werden kann.|Tipp zu Aufgabe g)|Verbergen}}

In den obigen Aufgaben erkennst du, dass eine rein quadratische Gleichung mehrere Lösungen haben kann: 
'''zwei''' Lösungen, '''eine '''Lösung oder '''keine''' Lösung.
Wovon hängt die Anzahl der Lösungen ab?
Erkläre und begründe mithilfe der nachfolgenden Beispiele:
<div class="grid">
<div class="width-1-3">'''Zwei''' Lösungen: 
1. x² = 169  | 
...</div>
<div class="width-1-3">'''Eine''' Lösung: 
2. 2x² + 10 = 10  | 
...</div>
<div class="width-1-3">'''Keine''' Lösung: 
3. -3x² = 108  | 
...</div>
</div>

{{Box|1=Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen|2=Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel): 
Die Gleichung hat zwei Lösungen, eine oder keine Lösung, wenn der Radikand positiv, null oder negativ ist.|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Begriff Radikand.png|rahmenlos]]|Begriff Radikand|Verbergen}}

[[Datei:Idee Flipchart.png|rahmenlos|95x95px]]Du kannst diese Gleichungen auch grafisch lösen: 
Beispiel: 
1. x² = 169 kannst du auch schreiben als x² - 169 '''= 0'''. Du berechnest also die '''Nullstellen''' der Funktion f(x) = x² - 169.
<ggb_applet id="gbagj7ym" width="800" height="620" />
Übertrage die Zeichnung in dein Heft und erkläre die grafische Lösung.

Wie hilft dir das nachfolgende Applet bei der Lösung der Gleichung 0,5x² = 4,5 ? Erkläre im Heft!
<ggb_applet id="zrufgn8r" width="800" height="620" />

{{Box|Übung 3|Löse Buch
* S. 35 Nr. 22
* S. 35 Nr. 23
* S. 35 Nr. 24 a, b 
Nutze zur Lösung bzw. zur Kontrolle die obigen Applets von GeoGebra.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Löse die Gleichung und schau auf den Wert unter der Wurzel: Ist es eine positive Zahl gibt es zwei Lösungen, ist der Wert unter der Wurzel 0, so gibt es genau eine Lösung und ist der Wert unter der Wurzel negativ, gibt es keine Lösung.|Tipp zu Nr. 22|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze zur Lösung das obige Geogebra-Applet.|Tipp zu Nr. 23|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Löse die Gleichungen zunächst nach x auf. Die Variable a befindet sich dann immer unter dem Wurzelzeichen. Nun betrachte den Wert unter der Wurzel und prüfe, für welche Werte von a dieser positiv, null oder negativ ist. 
Beispiel a): 
x² - a = 0 |+a
x² = a |<math>\surd</math> 
Hier gibt es zwei Lösungen, wenn a eine positive Zahl ist, also a>0.
x1 = <math>\sqrt{a}</math>; x2 = -<math>\sqrt{a}</math> |2=Tipp zu Nr. 24|3=Verbergen}}

{{Box|1=Übung 4|2=Löse die Gleichungen ① <math>\dfrac{1}{2}</math>x² - 2 = 0 und ② -2x² + 2 = 0 zeichnerisch. Es gibt mehrere Möglichkeiten. Vergleiche deine Lösungen mit denen deines Partners.|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=1. Möglichkeit: Zeichne die Parabeln mithilfe einer Wertetabelle und lies die Nullstellen ab. 2. Möglichkeit: Forme die Gleichungen um in die Form ax² = d und zeichne die Parabel ax² und die Gerade y=c. Lies die Schnittpunkte ab.|2=Tipp 1 zur zeichnerischen Lösung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=1. Möglichkeit: 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">[[Datei:0,5x²-2=0.png|rechts|rahmenlos]]</div><div class="width-1-2"> [[Datei:-2x²+2=0.png|rechts|rahmenlos]]</div></div> 2. Möglichkeit: 
<div class="grid">
<div class="width-1-2"> [[Datei:0,5x²=2.png|rahmenlos]]</div><div class="width-1-2">[[Datei:-2x²=-2.png|rahmenlos]]</div></div> |2=Tipp 2 zur zeichnerischen Lösung|3=Verbergen}}

====2.2) Gemischt quadratische Gleichungen lösen====
Eine Gleichung heißt "gemischt quadratisch", wenn die Variable in der zweiten Potenz (z.B. x²) und in einfacher Potenz (z.B. x) vorkommt. 
====2.2.1) Lösen durch Ausklammern: Gleichungen der Form x² + bx = 0====
Eine Gleichung heißt "gemischt quadratisch", wenn die Variable in der zweiten Potenz (z.B. x²) und in einfacher Potenz (z.B. x) vorkommt. 
Beginnen wir mit dem besonderen Fall, dass die Gleichung die Form x² + bx = 0 hat, es also keinen Term "ohne" Variable gibt und eine Seite den Wert 0 hat.
{{Box|1=Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch Ausklammern|2=Hat die Gleichung die Form '''x² + bx = 0''', so kannst du '''x ausklammern''': 
x² + bx = 0 
x(x + b) = 0   Dieses Produkt wird nur 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist (Satz vom Nullprodukt), also 
x = 0 oder x + b = 0 |-b 
x1 = 0 oder x2 = -b.|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|Übung 5|Löse die nachfolgende App, indem du zunächst die Gleichung durch Ausklammern in die Produktform umwandelst.|Üben}}
{{LearningApp|app=pt87u3ef520|width=100%|heigth=600px}} 
{{Box|Übung 6|Löse Buch
* S. 28 Nr. 14
* S. 28 Nr. 15|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Bringe die Gleichung zunächst in die Form x² + bx = 0 und löse dann wie in der LearningApp.|2=Tipp zu Nr. 14|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=c) x² = 3x |-3x 
x² - 3x = 0 
Klammere nun x aus (wie in Übung 4)|2=Tipp zu Nr. 14c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2x² + 5x = 0 |Klammere 2x aus. 
2x(x + 2,5) = 0 |Nullprodukt 
2x = 0 oder x + 2,5 = 0 
Den letzten Schritt schaffst du allein! 
Du kannst hier auch anderes vorgehen: 
2x² + 5 = 0 |Klammere x aus. 
x(2x + 5) = 0 |Nullprodukt 
x = 0 oder 2x + 5 = 0 Nun musst du noch in zwei Schritten die Gleichung 2x+5=0 nach x auflösen. 
Welches Vorgehen fällt dir leichter? Du darfst wählen.|2=Tipp zu 14d|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bringe erst alle Terme auf die linke Seite, damit die rechte Seite den Wert 0 hat. Löse dann wie in 14d|2=Tipp zu 14e|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Hier ist die Produktform schon gegeben. Es gilt wieder, dass ein Produkt nur 0 sein kann, wenn einer der Faktoren 0 ist: 
(x + 4)(x + 5) = 0 
x + 4 = 0 oder x + 5 = 0 
x1 = -4 oder x2=-5.|2=Tipp zu Nr. 15|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Der Faktor 3 kann nicht 0 werden, also müssen wieder die Klammern den Wert 0 annehmen: 
3(x+5)(x-10) = 0 
x+5 = 0 oder x - 10 = 0|2=Tipp zu Nr. 15d|3=Verbergen}}

====2.2.2) Lösen durch quadratische Ergänzung: Gleichungen der Form x² + bx + c = 0====

[[Datei:Idee Flipchart.png|rahmenlos|95x95px]]Kannst du die folgenden Gleichungen lösen? Probiere aus und vergleiche deine Ideen mit denen deines Partners. 
1. (x + 3)² = 0

2. x² + 6x + 9 = 0

3. x² -10x + 25 = 0

4. x² +8x + 7 = 0

{{Lösung versteckt|1=Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel, dann gilt x+3 = 0, also x = -3. Hier hilft wieder die zeichnerische Lösung: Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=(x+3)². 
[[Datei:(x+3)² = 0.png|rahmenlos]] Hier siehst du auch, warum die Gleichung nur eine Lösung hat.|2=Tipp zu 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Erkennst du, dass der Term ein Binom ist (1.binomische Formel)? x² + 6x + 9 = (x + 3)² 
Wandle also den Term um und löse durch Wurzelziehen: 
x² + 6x + 9 = 0  |1. bin. Formel 
(x + 3)² = 0   |<math>\surd</math> 
x + 3 = 0  |-3 
x1= -3 
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: Die binomischen Formeln 
1. binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² 
2. binomische Formel (a - b)² = a² - 2ab + b² 
3. binomische Formel (a + b)(a - b) = a² - b² 
Du benötigst für die quadratische Ergänzung die 1. und 2. binomische Formel. 
{{Lösung versteckt|1={{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE|420|center}}|2=Lied zu den binomische Formeln|3=Verbergen}}
|2=Erinnerung: Binomische Formeln|3=Verbergen}}
|2=Tipp zu 2|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Erkennst du, dass der Term ein Binom ist (2.binomische Formel)? x² - 10x + 25 = (x - 5)² 
Wandle also den Term um und löse durch Wurzelziehen: 
x² - 10x + 25 = 0  |2. bin. Formel. 
(x - 5)² = 0   |<math>\surd</math> 
x - 5 = 0  |+5 
x1= 5 
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: Die binomischen Formeln 
1. binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² 
2. binomische Formel (a - b)² = a² - 2ab + b² 
3. binomische Formel (a + b)(a - b) = a² - b² 
Du benötigst für die quadratische Ergänzung die 1. und 2. binomische Formel. 
{{Lösung versteckt|1={{#ev:youtube|EYbvhWEG6kE|420|center}}|2=Lied zu den binomische Formeln|3=Verbergen}}
|2=Erinnerung: Binomische Formeln|3=Verbergen}}
|2=Tipp zu 3|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Nutze die Idee aus den ersten drei Beispielen. Du "wünscht" dir eine binomische Formel! 
x² + 8x + 7 = 0 Der Anfang des Terms x² + 8x passt zur ersten binomische Formel. Leider passt die Zahl +7 nicht. Forme die Gleichung zunächst so um, dass der Teil der binomische Formel auf einer Seite und die Zahl auf der anderen Seite der Gleichung steht. Ergänze dann den für die binomische Formel fehlenden Term. Löse diese Gleichung dann wie in den Beispielen 1 - 3. 
x² + 8x + 7 = 0  |-7 
x² + 8x = -7      |quadratische Ergänzung: Es fehlt für die 1. bin. Formel <math>\left ( \tfrac{8}{2} \right )^2</math>=4²=16 
x² + 8x + 16 = -7 + 16   |1. bin. Formel 
(x + 4)² = 9   |<math>\surd</math> 
x + 4 = 3   oder x + 4 = -3 
x = -1 oder x = -7 |2=Tipp zu 4|3=Verbergen}}

Kommt in der Gleichung neben x² und x auch noch ein Term ohne x vor, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung.

{{Box|1=Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch quadratische Ergänzung|2=Hat die Gleichung die Form x² + bx + c = 0, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung: 
Stelle die Gleichung um: x² + bx = -c. Mithilfe der quadratischen Ergänzung <math>\left ( \frac{b}{2} \right )^2</math> auf beiden Seiten der Gleichung, wird dann der Term x² + bx zu einem Binom umgeformt. Dann wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.|3=Arbeitsmethode}}

Schau das Video zur Beispielaufgabe an. Schreibe das Beispiel in dein Heft und mache dir Notizen zu jedem Schritt der Lösung.
{{#ev:youtube|Ok73gEoo1j4|800|center}}
 
{{Box|Übung 7|Nun bist du an der Reihe. Löse mit der quadratischen Ergänzung
* S. 27 Nr. 3 . 
Drehe zu einer deiner Lösungen ein Video, ähnlich wie das Video oben und lade es auf IServ in den Mathematik-Order eurer Klasse hoch. Falls dir diese Aufgabe noch zu schwer ist, bearbeite zunächst die LearningApps unten und löse die Aufgaben danach.|Üben}}

Vorübung zu Übung 7
{{LearningApp|app=pcse2ekgt20|width=100%|height=600px}}

{{Box|Übung 8|Löse mit quadratischer Ergänzung Buch
* S. 27 Nr. 2
* S. 27 Nr. 4
* S. 27 Nr. 5|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Bringe zunächst die Terme mit Variable auf eine Seite der Gleichung und den Term ohne Variable auf die andere Seite. Bestimme dann die quadratische Ergänzung und löse wie in Übung 6|2=Tipp zu Nr. 2|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=x² + 6x + 9 = 25 |-9 
x² + 6x = 16   |quadratische Ergänzung <math>\left ( \frac{6}{2} \right )^2</math>=3² 
x² + 6x + 3² = 16 + 3² |1. binomische Formel 
(x + 3)² = 25   |<math>\surd</math> 
x + 3 = 5 oder x + 3 = -5 
x = 2 oder x = -8 
Löse die folgenden Aufgaben entsprechend.|2=Lösung zu Nr. 2a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bringe die Gleichung zunächst in die Form, dass auf der einen Seite die Terme mit Variable stehen und auf der anderen Seite der Term ohne Variable. Dabei muss das Vorzeichen von x² positiv sein.|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=10 - x² = 3x  |+x² 
10 = x² + 3x  |quadratische Ergänzung <math>\left ( \frac{3}{2} \right )^2</math>=1,5² 
10 + 1,5² = x² + 3x + 1,5² | 1. binomische Formel 
12,25 = (x + 1,5)²   |<math>\surd</math> 
3,5 = x + 1,5 oder-3,5 = x + 1,5 
x = 2 oder x = -5 
Löse die folgenden Aufgaben entsprechend.|2=Lösung zu Nr. 4a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Bringe die Gleichung zunächst in die Form, dass auf der einen Seite die Terme mit Variable stehen und auf der anderen Seite der Term ohne Variable. Dabei muss das Vorzeichen von x² positiv sein.|2=Tipp zu Nr. 5|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=5x² + 14 + 4x = 6x² + 3x - 6  |-5x² 
14 + 4x = x² + 3x - 6   |-4x 
14 = x² - x - 6   |+6 
20 = x² - x  |quadratische Ergänzung <math>\left ( \frac{1}{2} \right )^2</math>=0,5² 
20 + 0,5² = x² - x + 0,5² | 2. binomische Formel 
20,25 = (x - 0,5)²   |<math>\surd</math> 
4,5 = x - 0,5 oder-4,5 = x - 0,5 
x = 5oder x = -4 
Löse die folgenden Aufgaben entsprechend.|2=Lösung zu Nr. 5a|3=Verbergen}}

====2.2.3) Lösen mit der Lösungsformel: p-q-Formel====

Mit der quadratischen Ergänzung kannst du gemischt quadratische Gleichungen lösen. Eine weitere Möglichkeit ist die Anwendung der Lösungsformel: Die p-q-Formel. 

Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die gemischt quadratische Gleichung in der sogenannten '''Normalform''' gegeben sein: 
'''x² + px + q = 0''' 

{{Lösung versteckt|1=Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.|2=Was muss ich für die Normalform beachten?|3=Verbergen}}

Diese Formel wird hergeleitet mithilfe der quadratischen Ergänzung. Wir leiten die Formel parallel zu einer Beispielaufgabe oben her: 
[[Datei:Herleitung der p-q-Formel.png|rahmenlos|908x908px]]

{{Box|1=Lösen mit der Lösungsformel: p-q-Formel|2=Jede quadratische Gleichung lässt sich mit der p-q-Formel lösen. Dazu muss die Gleichung zunächst in die Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden. Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt: 
x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> 
Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.|3=Arbeitsmethode}}
 
Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:
{{#ev:youtube|tRblwTsX6hQ|800|center}}
 

Übe zunächst das Umstellen der Gleichung ein die Normalform und die Bestimmung von p und q.
{{LearningApp|app=p887tapq520|width=100%|heiht=600px}}
 
Löse die nächsten Aufgaben mit der Lösungsformel. Schreibe wie im Beispiel:

x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; <math>\tfrac{p}{2}</math>=-11; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=11; q=72 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{11^2-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{121-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{49}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm</math>7 
x1 = 18; x2 = 4 

Kurzschreibweise: 
x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; <math>\tfrac{p}{2}</math>=-11; -<math>\tfrac{p}{2}</math>=11; q=72 
x1/2 = 11<math>\pm\sqrt{11^2-72}</math> 
x1/2 = 11<math>\pm</math>7 
x1 = 18; x2 = 4 

{{LearningApp|app=p5430i34t20|width=100%|height=600px}} 

{{Box|Übung 9|Löse mit der p-q-Formel Buch
* S. 30 Nr. 1
* S. 30 Nr. 2
* S. 32 Nr. 15|Üben}}
Prüfe deine Lösungen mithilfe des GeoGebra-Applets. Erinnerung: Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion.
<ggb_applet id="cqtgn4zw" width="800" height="620" />

{{LearningApp|app=p53v9bz7220|width=100%|height=600px}} 

====2.3) Allgemein quadratische Gleichungen lösen====

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0. 
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.

Ordne in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um die Normalform oder die allgemeine Form quadratischer Gleichungen handelt.
{{LearningApp|app=pb85ajz4k20|width=100%|height=400px}}

Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Normalform x² + px + q = 0 umformen. Dann können wir wieder die p-q-Formel zur Lösung anwenden.

{{Box|1=Allgemein quadratische Gleichungen lösen|2=Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0. Alle quadratischen Gleichungen lassen sich umformen in die Normalform x² + px + q = 0. Dann kann wieder die p-q-Formel zur Lösung angewendet werden. 
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um. 
2. Schritt: Wende die p-q-Formel x1/2 = -<math>\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}</math> an.|3=Arbeitsmethode}}

Übe zunächst das Umwandeln in die Normalform:
{{LearningApp|app=p5ut2b9xc20|width=100%|height=400px}}

Ein Video zur Zusammenfassung:
{{#ev:youtube|UXYYntGcyY4|600|center}}

{{Box|Übung 9|Löse Buch
* S. 30 Nr. 3
* S. 30 Nr. 4
Wandle die Gleichungen zunächst in die Normalform um und wende dann die p-q-Formel an.|Üben}}
{{Lösung versteckt|Du hast in der obigen LearningApp schon die allgemeine Form in die Normalform umgewandelt. Damit kannst du Nr. 3 lösen|Tipp zu Nr. 3|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Forme die Gleichung zunächst so um, dass eine Seite = 0 ist. Bringe diese Gleichung dann in die Normalform, indem du durch den Koeffizienten von x² dividierst.|2=Tipp 1 zu Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Normalform
a) x² + 9x - 52 = 0 
b) x²-<math>\tfrac{1}{2}</math>x-5=0 
c) x² -3x -70 = 0|2=Tipp 2 zu Nr. 4|3=Verbergen}}

Prüfe deine Lösungen mithilfe des GeoGebra-Applets. Erinnerung: Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion.
<ggb_applet id="yvpnwwp6" width="800" height="500" />

{{Box|1=Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen|2=Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel). Der Radikand <math>\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q</math> wird '''Diskriminante D''' genannt. Die Anzahl der Lösungen ist abhängig von D. 
Die Gleichung hat zwei Lösungen, eine oder keine Lösung, wenn die Diskriminante D positiv, null oder negativ ist.|3=Arbeitsmethode}}

Beispiele: 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">'''D > 0''', zwei Lösungen: 
1. x² + 6x + 5 = 0  |<math>\tfrac{p}{2} = 3; q = 5</math> 
x1/2 = -3<math>\pm\sqrt{3^2-5}</math> 
x1/2 = -3<math>\pm\sqrt{4}</math>  D = 4 (positiv) 
x1/2 = -3<math>\pm</math>2  
x1 = -1 ; x2 = -5 
</div>
<div class="width-1-3">'''D = 0''',eine Lösung: 
2. x² + 6x + 9 = 0  |<math>\tfrac{p}{2} = 3; q = 9</math> 
x1/2 = -3<math>\pm\sqrt{3^2-9}</math> 
x1/2 = -3<math>\pm\sqrt{0}</math>  D = 0 
x1/2 = -3<math>\pm</math>0
</div>
<div class="width-1-3"> '''D < 0''',keine Lösung: 
3. x² + 6x + 10 = 0  |<math>\tfrac{p}{2} = 3; q = 10</math> 
x1/2 = -3<math>\pm\sqrt{3^2-10}</math> 
x1/2 = -3<math>\pm\sqrt{-1}</math>  D < 0 (negativ) 
<math>\sqrt{-1}</math> ist nicht lösbar, da das Quadrat einer Zahl niemals negativ ist, also die Wurzel nie aus einer negativen Zahl gezogen werden kann.</div>
</div>

{{LearningApp|app=2626415|width=100%|height=600px}}
{{Box|Übung 10|Löse Buch
* S. 30 Nr. 10|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=a)3x² + 20x + 120 = 12 - 16x |1. Schritt: "...=0", also-12; +16x 
3x² + 36x + 108 = 0  |2.Schritt: Normieren, also :3 
x² + 12x + 36 = 0   |pq-Formel 
x1/2 = -6<math>\pm\sqrt{6^2-36}</math> 
x1/2 = -6<math>\pm\sqrt{0}</math> 
x = -6 '''Eine''' Lösung, da die Diskriminate D = 0 ist.

b) (x + 3)² - 5 = 2(x - 5) + 3x²   Klammern auflösen 
x² + 6x + 9 - 5 = 2x - 10 + 3x²   -2x; +10; -3x² 
-2x² + 4x + 14 = 0 | :(-2)
x² - 2x - 7 = 0 |pq-Formel...(D > 0, also '''2 Lösungen''') 
c) (x-1)² + x² - 2 = (x - 2)(x + 2) |Klammern auflösen (2. und 3. bin. Formel) 
x² - 2x + 1 + x² - 2 = x² - 4 |-x²; +4 
x² - 2x + 5 = 0 | pq-Formel ... (D<0, also '''keine Lösung''') 
d) x(x + 3) + 12 = 12 - (2x + 1)² |Klammern auflösen 
x² + 3x + 12 = 12 - (4x² + 4x + 1) | Klammer auflösen 
x² + 3x + 12 = 12 - 4x² - 4x - 1 | -12; + 4x²; +4x; +1 
5x² + 7x + 1 = 0 | :5 
x² + 1,4x + 0,2 = 0 | pq-Formel...(D > 0, also '''2 Lösungen''')
|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 11: Vermischte Übungen|Wähle Aufgaben auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/quadratischeGleichung.shtml '''Aufgabenfuchs'''] Nr. 1 - 19 .|Üben}}

===3) Anwendungsaufgaben===
Anwendungsaufgaben lassen sich schrittweise lösen mithilfe eines Modells. Dabei wird die reale Situation (Sachsituation) in ein vereinfachtes mathematisches Modell übersetzt. Nun können wir diese Rechnung lösen. Die mathematische Lösung wird dann auf die Realität bezogen und die Ergebnisse werden zur Bewertung der Situation genutzt.

Der nachfolgende Kreislauf veranschaulicht dies:

[[Datei:Modellieren.png|rahmenlos|600x600px]]

Häufig geht es in Anwendungsaufgaben mathematisch darum, die Nullstellen von Parabeln zu bestimmen. Dazu nutzt du dein Wissen zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Um Aufgaben zu geometrischen Anwendungen zu lösen, helfen dir die nachfolgenden Schritte: 
1. Gib die Bedeutung der Variablen an. Bei geometrischen Anwendungen zeichne eine Skizze und beschrifte sie vollständig. 
2. Stelle Terme zu den Angaben im Text auf. 
3. Stelle eine Gleichung auf. 
4. Löse die Gleichung 
5. Probe 
6. Antwort 

{{Box|Übung 12|Löse Buch
* S. 35 Nr. 26
* S. 35 Nr. 27
* S. 35 Nr. 28|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=x ist die Breite des Rechtecks, 5x ist die Länge. Es gibt zwei Rechtecke, die sich in einer Ecke überlagern. Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt A = x∙5x. 
Die sich überlagernde Ecke hat die Form eines Quadrates mit der Seitenlänge x, diese Fläche muss subtrahiert werden: 
AFigur = 2∙x∙5x - x² 
144 = 10x² - x² 
...|2=Tipp zu Nr. 26 a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= s ist die Seitenlänge eines Quadrates. 
Die Figur setzt sich zusammen aus 4 Quadraten. Also gilt 
100 = 4x² 
...|2=Tipp zu Nr. 26 b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=x ist die Kantenlänge eines Würfels. 
Die Oberfläche setzt sich zusammen aus 10 Quadraten. Also: 
10x² = 640 
... 
Das Volumen setzt sich zusammen aus dem Volumen von zwei Würfel, also V = 2x³. Setzte den passenden Wert für x ein und berechne.|2= Tipp zu 27 links|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Die Oberfläche setzt sich zusammen aus 14 Quadraten. 
14x² = 350 
... 
Das Volumen setzt sich zusammen aus dem Volumen von drei Würfeln, also V = 3x³. Setze den passenden Wert für x ein und berechne.|2= Tipp zu 27 rechts|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|x ist die Länge, um die die quadratische Tischplatte verlängert bzw. verkürzt wird. 
Die neuen Tischplatte ist rechteckig mit der Länge (x+1) und der Breite (x-1) 
Der Flächeninhalt der neuen Tischplatte berechnet sich mit A = (x+1)(x-1). Erinnerung: 3. binomische Formel.|2=Tipp zu Nr. 28|3=Verbergen}}
 
{{Box|Übung 13: Vermischte Übungen|Wähle Aufgaben auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/quadratischeGleichung.shtml '''Aufgabenfuchs''']
* Nr. 39 und
* Nr. 40 .|Üben}}
 
{{Box|1=Aufgabe Kugelstoß|2=Beim Kugelstoß ließ sich die Bahn der Kugel durch folgende Gleichung beschreiben: 
f(x) = -0,081x² + 0,972x + 2,268 
Welche Weite erzielte der Stoß?|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Der Funktionsgraph der Gleichung ist eine nach unten geöffnete, gestauchte Parabel (wegen a=-0,081). 
Die Stoßweite entspricht der zweiten '''Nullstelle''' der Funktion. Setze also '''f(x) = 0''' und löse diese quadratische Gleichung.|2=Tipp 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=-0,081x² + 0,972x + 2,268 = 0 
Dies ist eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form. Gehe schrittweise vor: 
Bringe die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0 und löse dann mit der pq-Formel.|2=Tipp 2|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=-0,081x² + 0,972x + 2,268 = 0   |:(-0,081) normieren 
x² -12x - 28 = 0   |pq-Formel mit p=-12 und q=-28 
x1/2 = -(-6)<math>\pm\sqrt{6^2-(-28)}</math> 
x1/2 = 6<math>\pm\sqrt{36+28}</math>   
x1/2 = 6<math>\pm\sqrt{64}</math> 
x1/2 = 6<math>\pm</math>8 
x1 = -2 (nicht sinnvoll); x2 = 14 
Die Stoßweite beträgt 14m.|2=Lösung|3=Verbergen}}
 
===4) Checkliste===
'''1.''' Lies S. 31 ab der Mitte die Zusammenfassung! Bearbeite zunächst die Pflichtaufgaben (2. Spalte), vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch! Kreuze danach den für dich zutreffenden Smiley an. '''2.''' Bearbeite dann die Übungsaufgaben der ausgeteilten Checkliste zu den Feldern, bei denen du 😢 angekreuzt hast. 

Denke daran, deine Lösungen mit den Musterlösungen hinten im Buch zu vergleichen!
{| class="wikitable"
|+
! style="width:60%;" |Thema
! style="width:25%;" |Pflichtaufgaben
! style="width:5%;" |😀
! style="width:5%;" |😑
! style="width:5%;" |😢
|-
!Rein quadratische Gleichungen
!
!
!
!
|-
|Du kannst rein quadratische Gleichungen lösen (Wurzelziehen).
|S. 32 Nr. 9, 10, 11
|
|
|
|-
|Du kannst angeben, wie viele Lösungen eine rein quadratische Gleichung hat und dies begründen.
|S. 32 Nr. 12 
S. 35 Nr. 22, 23
|
|
|
|-

!Gemischt quadratische Gleichungen
!
!
!
!
|-
|Du kannst gemischt quadratische Gleichungen lösen:
a) mithilfe der quadratischen Ergänzung
|S. 32 Nr. 14 (und Nr.13)
|
|
|
|-
|b) mithilfe der p/q-Formel (Lösungsformel)
|S. 39 Nr. 4 links und rechts
S. 39 Nr. 5 links und rechts
S. 32 Nr. 15, 17
|
|
|
|-
|Du kannst angeben, ob eine Gleichung zwei, eine oder keine Lösung hat.
|S. 32 Nr. 16
|
|
|
|-
!Anwendungsaufgaben
!
!
!
!
|-
|Mathematische Texte
|S. 39 Nr. 6 links
|
|
|
|-
|Geometrische Anwendungen
|S. 39 Nr. 6 rechts
|
|
|
|-
|Sachsituationen (Erinnerung: Quadratische Funktionen)
|S. 39 Nr. 7 rechts
Aufgabe Kugelstoß (s.oben)
|
|
|
|-
|}

Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/3) Strahlensätze

2023-05-23T07:05:43Z

Neukirch:

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}

{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/1) Vergrößern und Verkleinern|1) Vergrößern und Verkleinern]]
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/2) Ähnlichkeit|2) Ähnlichkeit]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/3) Strahlensätze|3) Strahlensätze]]}}

===3) Strahlensätze===

In der Umwelt lassen viele Strecken sich nicht messen, wie z.B. die Höhe von Bäumen oder die Breite eines Sees. Hier hilft die Mathematik!
<div class="grid">
<div class="width-1-2">[[Datei:Einsteigsbeispiel Baumhöhe Schule.png|422x422px]]</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Einsteigsbeispiel Breite See.png]]</div>
</div>

Wir können mithilfe von Vergleichsstrecken jeweils die Breite bzw. Höhe bestimmen. Wie genau, das lernst du in diesem Kapitel. Wir werden verschiedene Messmethoden kennen lernen, zur "Schattenmethode" sollt ihr schon jetzt Aufgaben selbst zusammenstellen (natürliche ohne sie schon zu lösen):

{{Box|Aufgabensammlung Schattenmethode|Suche bei Sonnenschein ein Gebäude, einen Baum, eine Straßenlaterne, ein Windrad,... mit zugehörigem Schattenwurf und fotografiere den Gegenstand samt Schatten. Nun wird gemessen: Miss die Länge des Schattens des Gegenstandes und miss deine Körpergröße sowie die Länge deines eigenen Schattens. Das Foto samt der 3 gemessenen Längen lade im Gruppenordner Mathematik deiner Klasse hoch. Wir werden damit später berechnen, wie hoch das Gebäude, der Baum, die Laterne, das Windrad... ist. Die Aufgabe oben (Baumhöhe) und das Bild S. 103 Nr. 10 zeigen mögliche Situationen.|Lösung|Icon=brainy hdg-smartphone03}}

Nun aber zunächst zu den nötigen mathematischen Fähigkeiten, die du zur Lösung der Aufgaben benötigst.
{{Box|1=Hefteintrag: Einstiegsbeispiel|2=Konstruiere die ähnlichen Dreiecke: ① a = 3cm; c = 5cm; β = 110° und ② a = 6cm; c = 10 cm; β = 110°.

a) Begründe, warum die Dreiecke ähnlich sind.

b) Bestimme den Streckungsfaktor k. Notiere verschiedene Möglichkeiten.

c) Bilde verschiedene Streckenverhältnisse <math>\tfrac{a}{b}</math> ; <math>\tfrac{a'}{b'}</math> ;<math>\tfrac{a'}{a}</math> uws.

Was fällt dir auf?|3=Arbeitsmethode}}
[[Datei:Dreiecke Konstruktion Einstieg Strahlensätze neu.png|rahmenlos|600x600px]]

{{Lösung versteckt|1= Für die Streckenverhältnisse ergeben sich immer gleiche Werte:

<math>\tfrac{a}{b}</math>=<math>\tfrac{3}{6,7}</math> <math>\approx</math>0,45

<math>\tfrac{a'}{b'}</math>=<math>\tfrac{6}{13,4}</math> <math>\approx</math>0,45

<math>\tfrac{a}{c}</math>=<math>\tfrac{3}{5}</math> = 0,6

<math>\tfrac{a'}{c'}</math>=<math>\tfrac{6}{10}</math> = 0,6

<math>\tfrac{b}{c}</math>=<math>\tfrac{6,7}{5}</math> <math>\approx</math> 1,3

<math>\tfrac{b'}{c'}</math>=<math>\tfrac{13,4}{10}</math> <math>\approx</math> 1,3

<math>\tfrac{a'}{a}</math>=<math>\tfrac{6}{3}= 2</math> Erinnerung: Das ist der Streckungsfaktor k

<math>\tfrac{b'}{b}</math>=<math>\tfrac{13,4}{6,7}</math> = 2

<math>\tfrac{c'}{c}</math>=<math>\tfrac{10}{5}</math> = 2|2=Streckenverhältnisse|3=Verbergen}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Diese Dreiecke "schieben" wir nun übereinander.

[[Datei:Dreiecke Konstruktion übereinandergelegt mit Maßen neu.png|rahmenlos|400x400px]]</div>
<div class="width-1-2">Und wenn wir die Seiten jeweils mit Geraden ergänzen und die Beschriftungen anpassen, erhalten wir eine sogenannte Strahlensatzfigur. Sie besteht aus zwei Geraden, die von zwei Parallelen geschnitten werden. Es entstehen dabei unsere zwei kongruenten Dreiecke.
[[Datei:Strahlensatzfigur zu Beispieldreiecken.png]]</div>
</div>
Der Name "Strahlensatzfigur" wird gewählt, weil die Dreiecksseiten c und b bzw. c' und b' vom Punkt S aus gesehen zwei Strahlen (mit dem Anfangspunkt S) sind. Die parallelen Geraden g und g' sind die Verlängerungen der Seiten a bzw. a'. Die Strahlensätze machen Aussagen über die Streckenverhältnisse, die du oben für die zwei ähnlichen Dreieck aufgestellt hast. Die Bezeichnungen der Strecken ist dann entsprechend der Strahlensatzfigur, also c =<math>\overline{SA}</math> ; c' = <math>\overline{SA'}</math> usw. Die Streckenverhältnisse des Einsteigsbeispiels gelten demnach auch hier. Dies sind die Strahlensätze.

{{Box|1=Hefteintrag: Die Strahlensätze |2=Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei parallelen Geraden geschnitten, entstehen zwei zueinander ähnliche Dreiecke SAB und SA'B'.
Die Seitenlängen einander entsprechender Seiten stehen im gleichen Verhältnis zueinander.
[[Datei:Strahlensätze.png]]
Schreibe die Strahlensätze in dein Heft und zeichne auch die Strahlensatzfiguren|3=Arbeitsmethode}}

Der erste Strahlensatz mach also Aussagen über die Streckenverhältnisse von Strecken auf den Strahlen, der zweite Strahlensatz über die Streckenverhältnisse von Strecken auf den parallelen Geraden und den Strahlen.

{{Lösung versteckt|1=Die Streckenverhältnisse des ersten Strahlensatz heißen für unsere ähnlichen Dreiecke im Beispiel

<math>\tfrac{c'}{c}</math>=<math>\tfrac{b'}{b}</math>=k

Die Streckenverhältnisse des zweiten Strahlensatzes sind in unserem Beispiel entsprechend

<math>\tfrac{a'}{a}</math>=<math>\tfrac{c'}{c}</math>=k und <math>\tfrac{a'}{a}</math>=<math>\tfrac{b'}{b}</math>=k
|2=Erklärung am Einsteigsbeispiel|3=Verbergen}}
Zum besseren Verständnis noch einmal links die Erklärung und rechts einige Beispiele in Videos:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|xcsKEsB0cqE|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|ow1RXss_T4M|460|center}}</div>
</div>
<div class="grid">
<div class="width-1-2"></div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|XmFLkHBJFy8|460|center}}</div>
</div> {{Box|Übung 1|Formuliere die Strahlensätze in der folgenden App.|Üben}}
{{LearningApp|app=pd9ma7p5j20|width=100%|heigth=800px}}

{{Box|Hefteintrag: Längen mit den Strahlensätzen berechnen-Beispiele|Um Längen mit den Strahlensätzen zu berechnen, gehen wir schrittweise vor. Übertrage die Beispiele in dein Heft.|Arbeitsmethode}}
[[Datei:Beispiele 1 und 2 Längen mit dem Strahlensatz berechnen.png]]
{{#ev:youtube|Ap-7HCLJuaw|800|center}}
{{Box|Übung 2|Berechne die Länge der fehlenden Strecke x. Übe die Schreibweisen in der nachfolgenden LearningApp|Üben}}
{{LearningApp|app=pm26e1vdk20|width=100%|height=600px}}

{{Box|Übung 3|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die Lösungsschritte ausführlich wie in den Beispielen.
* S. 99 Nr. 1
* S. 99 Nr. 2
*S. 100 Nr. 3
*S. 100 Nr. 7 a, b, d. |Üben}}
Du kannst deine Ergebnisse mithilfe des GeoGebra-Applets prüfen. Stelle dazu die Längen mit den Schiebereglern passend ein.

Um die Strecke <math>\overline{SB'}</math> einzustellen, nutze den Schieberegler für die Strecke <math>\overline{SB}</math> (oder bei Nr. 3 auch Schieberegler für die Strecke <math>\overline{SA}</math>) und verändere diese Länge so lange, bis der passende Wert für die Länge von <math>\overline{SB'}</math> erscheint.

Die Figur sieht teils anders aus, als die Abbildungen im Buch, entscheidend sind aber nur die Streckenverhältnisse.
<ggb_applet id="ktgvdhq4" width="800" height="610"></ggb_applet>

{{Lösung versteckt|[[Datei:SP9 S.99 Nr.1.jpg|rahmenlos]]|Lösung zu Nr. 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:SP9 S.99 Nr.2.jpg|rahmenlos]]|Lösung zu Nr. 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:SP9 S.100 Nr.3.jpg|rahmenlos]]|Lösung zu Nr. 3|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:SP9 S.100 Nr.7.jpg|rahmenlos]]|Lösung zu Nr. 7|Verbergen}}

{{Box|Die Strahlensätze für die x-Figur|Bisher haben wir nur Strahlensatzfiguren betrachtet, bei denen beide ähnlichen Dreiecke auf einer Seite vom Punkt S lagen. Bewege die roten Punkte beim folgenden GeoGebra-Applet und erkläre, wie sich die Strahlensatzfigur ändert. Welche Strecken entsprechen sich nun?|Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="CQafknDF" width="800" height="610"></ggb_applet>
Die nachfolgende Video zeigt die Strahlensätze in dieser sogenannten x-Figur und Beispiele zu Streckenberechnungen.
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|edU9ObNq9Lc|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|BerHdPRy-ts|460|center}}</div>
</div>

{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 100 Nr. 4 (Kontrolliere deine Ergebnisse mit GeoGebra)
* S. 100 Nr. 7c.|Üben}}

Kontrolliere hier deine Ergebnisse der Verhältnisgleichungen zu Aufgabe 4. Stelle dazu mit den Schiebereglern die Länge der Strecken passend ein:
<ggb_applet id="e2bc7pry" width="800" height="610"></ggb_applet>

{{Lösung versteckt|1=Die Verhältnisgleichung, die du aufstellen und lösen musst, heißt z.B. <math>\frac{x}{27}</math>=<math>\frac{5}{8}</math>|2=Tipp zu Nr. 7c|3=Verbergen}}

===3.1) Die Strahlensätze anwenden===
Die Strahlensätze helfen, schwer zugängliche oder weit entfernte Streckenlängen zu bestimmen.

{{Box|Strahlensätze anwenden|Gehe schrittweise vor:

1. Was ist gegeben, was gesucht? Erstelle eine Strahlensatzfigur und trage die gegebenen Werte in die Skizze ein.

Falls keine Strahlensatzfigur erkennbar ist, zeichne Hilfslinien ein.

2. Stelle eine Verhältnisgleichung mithilfe der Strahlensätze auf. Tipp: Notiere die gesuchte Größe im Zähler, dann kannst du leichter rechnen.

3. Löse die Gleichung.

4. Notiere einen Antwortsatz mit Bezug zur gesuchten Größe.|Merksatz}}

Schreibe das folgende Beispiel in dein Heft:

Die Länge eines Sees soll bestimmt werden. Dazu werden drei Strecken an Land gemessen und dann mit dem Strahlensatz die Länge des Sees berechnet.
[[Datei:Anwendung 1 See.png|mini|466x466px]]
1. Die Strahlensatzfigur ist in der Skizze gegeben. Wo sind die Strahlen? Wo sind die Parallelen?

2. Verhältnisgleichung: <math>\frac{x}{120}</math>=<math>\frac{200}{160}</math>

3. Gleichung lösen: x = <math>\frac{200}{160}</math>· 120

x = 150

4. Antwort: Der See ist 120 m lang.

{{Box|Übung 1|Löse das Einstiegsproblem: Wie hoch ist der Baum auf dem Schulhof? Zeichne eine passende Strahlensatzfigur in dein Heft und bestimme die Höhe des Baums.|Üben}}
Welche Größen mussten gemessen werden, um die Höhe des Baumes berechnen zu können?
Zeichne eine passende Strahlensatzfigur in dein Heft und bestimme die Höhe des Baums.
[[Datei:Einsteigsbeispiel Baumhöhe Schule.png|422x422px]]

{{Lösung versteckt|Strahlensatzfigur:[[Datei:Strahlensatzfigur zum Einsteigsbeispiel (Baumhöhe) mit Hinweisen.png|422x422px]]|Hilfe: Strahlensatzfigur|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verhältnisgleichung: <math>\frac{x}{1,7}</math>=<math>\frac{12,4}{2,4}</math>|2=Hilfe: Verhältnisgleichung|3=Verbergen}}
{{#ev:youtube|NMIH7m3HHa8|800|center}}

{{Box|Übung 2|Bestimme jeweils die Flussbreite. Die angegebenen Längen wurden gemessen.|Üben}}
<div class="grid">
<div class="width-1-2">[[Datei:Anwendung Flussbreite 1.png|center]]
{{Lösung versteckt|1=Verhältnisgleichung <math>\frac{x}{10}</math>=<math>\frac{78}{12}</math>|2=Hilfe: Verhältnisgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Der Fluss ist 65m breit.|Lösung|Verbergen}}
</div>
<div class="width-1-2">[[Datei:Anwendung Flussbreite 2.png|center]]
{{Lösung versteckt|1= Vervollständige die Strahlensatzfigur:
[[Datei:Anwendung Flussbreite 2 Tipp.png|center]]|2=Hilfe 1: Ergänzung Skizze|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verhältnisgleichung <math>\frac{x+30}{x}</math>=<math>\frac{67,5}{45}</math>|2=Hilfe 2: Verhältnisgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verhältnisgleichung

<math>\frac{x+30}{x}</math>=<math>\frac{67,5}{45}</math>

x+30 =<math>\frac{67,5}{45}</math>·x

x+30 = 1,5·x

30 = 0,5·x

60 = x
|2=Hilfe 3: Gleichung lösen|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Der Fluss ist 60m breit.|Lösung|Verbergen}}
</div>
</div>

{{Box|Übung 3|Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Anwendungsaufgaben Nr. 23 - 28. Zeichne jeweils die Strahlensatzfigur in dein Heft und löse schrittweise. Gib deine Lösung auf der Seite zur Kontrolle ein.
[https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/strahlensatz.shtml Nr. 23-28]|Üben}}

{{Box|Übung 4|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Arbeite Schritt für Schritt.
* S. 102 Nr. 1a
* S. 102 Nr. 2a
* S. 102 Nr. 3
* S. 102 Nr. 5|Üben}}
{{Lösung versteckt|Die nachfolgenden Tipps helfen dir bei der Lösung der Aufgabe.
{{Lösung versteckt|Ergänze die Strahlensatzfigur: Lange Seite x+102.|Tipp 1: Ergänze die Strahlensatzfigur|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verhältnisgleichung <math>\frac{x+102}{102}</math>=<math>\frac{138}{57}</math>|2=Tipp 2: Verhältnisgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verhältnisgleichung

<math>\frac{x+102}{102}</math>=<math>\frac{138}{57}</math>

x+102 =<math>\frac{138}{57}</math>·102

x = <math>\frac{138}{57}</math>·102 - 102

x =<math>\approx</math> 145 [m]
|2=Tipp 3: Gleichung lösen|3=Verbergen}}
|Tipps zu Nr. 1a (1)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die nachfolgenden Tipps helfen dir bei der Lösung der Aufgabe.
{{Lösung versteckt|Ergänze die Strahlensatzfigur: Lange Seite x+86; kurze Seite x|Tipp 1: Ergänze die Strahlensatzfigur|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verhältnisgleichung <math>\frac{x+86}{x}</math>=<math>\frac{95}{58}</math>|2=Tipp 2: Verhältnisgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verhältnisgleichung

<math>\frac{x+86}{x}</math>=<math>\frac{95}{58}</math>

x+86 =<math>\frac{95}{58}</math>·x

58(x+86)= 95·x

58x+4988 = 95x

4988 = 95x - 58x

4988 = 37x

134,8 [m] =<math>\approx</math> x
|2=Tipp 3: Gleichung lösen|3=Verbergen}}
|Tipps zu Nr. 1a (2)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die nachfolgenden Tipps helfen dir bei der Lösung der Aufgabe.
{{Lösung versteckt|Ergänze die Strahlensatzfigur mit den entsprechendne Längen:[[Datei:S. 102 Nr. 2 Tipp.png|center]] |Tipp 1: Ergänze die Strahlensatzfigur|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verhältnisgleichung <math>\frac{x}{20}</math>=<math>\frac{100}{25}</math>|2=Tipp 2: Verhältnisgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verhältnisgleichung

<math>\frac{x}{20}</math>=<math>\frac{100}{25}</math>

x =<math>\frac{100}{25}</math>·20

x = 80 [m]
|2=Tipp 3: Gleichung lösen|3=Verbergen}}
|Tipps zu Nr. 2a|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|Für die Strahlensatzfigur musst du eine Hilfslinie einzeichnen, parallel zum Boden|Tipp zu Nr. 3|Verbergen}}

{{Box|Übung 5|Vermischte Übungen mit Lösungen findest du auf der Seite Mathe-Trainer. [http://www.mathe-trainer.de/Klasse9/Strahlensaetze/Aufgabensammlung.htm]

Löse mindestens 5 Aufgaben im Heft und kontrolliere deine Lösungen!|Üben}}
===3.2) Messmethoden===

====Die Schattenmethode====
[[Datei:Schattenmethode Beispiel Baum.png|center]]
Erkläre anhand des Bildes, wie sich mit den Schattenlängen und den Strahlensätzen die Baumhöhe bestimmen lässt.
Welche Längen musst du messen?

Du musstest als Aufgabe ein eigenes Beispiel zu Schattenmethode erstellen (Handyfoto und Messungen).
Löse "deine" Aufgabe.

====Das Försterdreieck====
[[Datei:Deutsch Försterdreieck.svg|center]]
Das Försterdreieck ist ein GLEICHSCHENKLIGES Dreieck.
Erkläre, wie du die Baumhöhe mithilfe des Försterdreiecks und deiner Schrittlänge bestimmen kannst.

Löse danach auf der Seite Aufgabenfuchs Nr. 22 https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/strahlensatz.shtml
 

====Der Messkeil====
[[Datei:Messkeil Bild mit Pfeil.png|center]]
Erkläre, wie du mit einem '''Messkeil''' und den Strahlensätzen die Breite einer Öffnung bestimmen kannst.

Mit einer '''Messlehre''' lässt sich die Dicke von Drähten bestimmen. Erkläre.
[[Datei:Messlehre.png|center]]
Löse S. 103 Nr. 11.

====Die Daumenpeilmethode====
S. 102 Nr. 4

Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/1) Vergrößern und Verkleinern

2023-05-23T05:38:32Z

Neukirch:

[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}

{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/1) Vergrößern und Verkleinern|1) Vergrößern und Verkleinern]]
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/2) Ähnlichkeit|2) Ähnlichkeit]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/3) Strahlensätze|3) Strahlensätze]]}}
===1) Vergrößern und Verkleinern===

Ein Zeichengerät zum Vergrößern bzw. Verkleinern von Figuren ist der Pantograph. Er wurde früher zum Verkleinern oder Vergrößern von Plänen oder Karten genutzt. Im nachfolgenden Applet kannst du dieses Gerät ausprobieren. 
Bewege den blauen Punkt und beobachte, was geschieht.

<ggb_applet id="nVU9f6k8" width="778" height="543" border="888888" />
Applet von G. Baustista


Das folgende Geogebra-Applet zeigt den Buchstaben T. Verändere die Größe des rechten Buchstabens mithilfe des Schiebereglers.

<ggb_applet id="xfawm8bn" width="769" height="639" border="888888" />
Applet von C. Buß-Haskert 
Welche Bedeutung hat der Schieberegler?

 
{{Box|Vergrößern und Verkleinern|Ziehe die richtigen Lösungen in die Lücken und schreibe dann den Merksatz in dein Heft ab.|Arbeitsmethode}}
<div class="lueckentext-quiz">
Beim Vergrößern oder Verkleinern einer Figur werden alle Streckenlängen mit demselben '''Faktor k''' multipliziert. Dabei ist k immer eine '''positive''' Zahl.

Für '''k > 1''' wird die Figur vergrößert.

Für '''k < 1''' wird die Figur verkleinert.

Für die Streckenlängen gilt a' = k∙a, also gilt k = '''<math>{\operatorname{a'}\over\operatorname{a}\!}</math>'''.</div>

{{Box|Übung 1: Vergrößern und Verkleinern|Zeichne die Buchstaben H oder L in dein Heft, vergrößere und verkleinere das Original und gib den Faktor k an.|Üben}}

{{Lösung versteckt|Schau ins Buch S. 92 oben, dort findest du Beispiele für den Buchstaben L.|Tipp|Verbergen}}

{{Box| Übung 2: Rechtecke vergrößern und verkleinern|Lies im Buch S. 92 unten Beispiel a). Bearbeite danach S. 93 Nr. 1, 2, 3 und 4.|Üben}}

{{Lösung versteckt|Link GeoGebra-Applet https://www.geogebra.org/classic/rhctngwz|GeoGebra-Applet zu Nr. 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Seitenlänge des Originals: a=7cm
Seitenlänge des vergrößerten Bildes: a=10,5cm
Erinnerung: k = <math>{\operatorname{a'}\over\operatorname{a}\!}</math>=..., denn a'=k∙a

Für die Breite des vergrößerten Bildes gilt: b'=k∙b=...
<ggb_applet id="bznvvgsb" width="1000" height="610"></ggb_applet>|2=Tipp zu Nr. 2|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: k = <math>{\operatorname{a'}\over\operatorname{a}\!}</math>=<math>{\operatorname{10}\over\operatorname{6}\!}</math>=... (Kürze!)
Für die Breite des vergrößerten Bildes gilt: b'=k∙b=...Setze k ein und berechne.|2=Tipp zu Nr. 3|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 3: Vielecke vergrößern|Lies im Buch S. 93 oben Beispiel b). Bearbeite danach S. 94 Nr. 6 und 7|Üben}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S.94 Nr. 6.png]]|Lösung zu Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 94 Nr. 7 Lösung.png]]|Lösung zu Nr.7|Verbergen}}
{{Box|Übung 4: Wie ändert sich der Flächeninhalt beim Vergrößern und Verkleinern?|Bearbeite S. 94 Nr. 11. Das nachfolgende GeoGebra-Applet hilft dabei.
a) Vergrößere das Rechteck mit dem Faktor k (Schieberegler). Wie ändert sich der Flächeninhalt? Notiere in einer Tabelle, wie auf S.94 Nr. 11a) dargestellt. (Lies die Tabelle spaltenweise.)|Üben}}

<ggb_applet id="usyfabzs" width="769" height="782" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=Beim Vergrößern bzw. Verkleinern eines Rechtecks ändert sich der Flächeninhalt mit dem Quadrat des Vergrößerungsfaktors k. Also A' = k²· A.

A = a · b , vergrößere/verkleinere das Rechteck mit dem Faktor k, also a'=k·a und b'=k·b, dann gilt

A’ = a’ · b’ = k·a · k·b = k² · a · b = k² · A|2=Tipp zu S. 94 Nr. 11c|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 5: Der Kopierer| Wende dein Wissen aus Übung 4 an und löse S. 95 Nr. 18.|Üben}}
Nutze auch hier das GeoGebra-Applet. Stelle k=71%=0,71 und danach k=141%=1,41 ein. Wie ändert sich der Flächeninhalt?
<ggb_applet id="bwbxqydh" width="862" height="722" border="888888" />
Applet von C.Buß-Haskert
{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|1=Wenn k =71% ist, dann wird die Fläche halbiert: f = 0,5.

Wenn k=141% ist, dann wird die Fläche verdoppelt: f = 2.

Erklärung:

A'=k²∙A=0,71²∙A <math>\approx</math>0,5∙A, denn 0,71²=0,5041<math>\approx</math>0,5.

A'=k²∙A=1,41²∙A <math>\approx</math>2∙A, denn 1,41²=1,9881<math>\approx</math>2.|2=Tipp zu a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Tipp zu b): Bestimme zunächst den Vergrößerungsfaktor k für die Seitenlängen mit k=<math>\frac{a'}{a}</math>=a':a

29,7 : 25,8 = 1,15 = 115 %, 21 : 19 = 1,10 = 110 %.

Damit alles auf der Seite abgebildet wird, sollte der Kopierer also auf 110 % gestellt werden.|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}|Tipps und Lösungen zu S.95 Nr.18|Verbergen}}

{{Box|Übung 6: Wie verändert sich das Volumen beim Vergrößern und Verkleinern?|Bearbeite S.94 Nr.12. Das nachfolgende GeoGebra-Applet hilft dir dabei.|Üben}}
Das GeoGebra-Applet zeigt einen Quader mit a=3cm; b=2cm und c=1cm. Vergrößere die Seitenlängen mit dem Faktor k (Schieberegler). Wie verändert sich das Volumen des Quaders?
Notiere V1=6cm³; V2 = 48cm³ = ____ ∙V1; V3 = ... = ____∙V1; usw.
Was fällt dir auf?
<ggb_applet id="qzknx4ue" width="1342" height="722" border="888888" />
Applet von C.Buß-Haskert
{{Lösung versteckt|1=1=Vergrößert man die Kantenlängen des Quaders mit k, so vergrößert sich das Volumen des Quaders mit k³. Also V' = k³· V.

V = a · b · c , vergrößere/verkleinere die Kantenlängen mit dem Faktor k, also a'=k·a und b'=k·b, c=k·c' dann gilt

V’ = a’· b’· c’= k·a · k·b · k·c = k³ · a · b · c = k³ · V|2=Allgemeine Regel zu S. 94 Nr. 12a|3=Verbergen}}
 
 

{{Fortsetzung|weiter=2) Ähnlichkeit|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Ähnlichkeit und Strahlensätze/2) Ähnlichkeit}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Flächen und Körper/1) Rechteck und Quadrat

2023-02-01T12:40:20Z

Neukirch:

===1. Rechteck und Quadrat===

{{Box|Rechtecke und Quadrate|Im Alltag begegnen dir verschiedene geometrische Formen. 
Erarbeite selbstständig die Eigenschaften von Rechtecken und Quadraten mithilfe der nachfolgenden GeoGebra-Applets und der LearningApp.|Unterrichtsidee}}
<ggb_applet id="mrxhcca8" width="800" height="700" border="888888" /> 
<ggb_applet id="yccmqdpf" width="800" height="500" border="888888" /> 
<ggb_applet id="wecu8vah" width="800" height="480" border="888888" /> 
Applets vom FLINK-Team
{{LearningApp|app=prts30ifk21|width=100%|height=600px}}
 

{{Box|Erklärvideo 1|Schau dir das Video zu ''Eigenschaften vom Rechteck und Quadrat'' an.|Kurzinfo}}
{{#ev:youtube|G4sWXSb3F-c|800|center}}

{{Box|Merke|[[Datei:Merkkasten Rechteck und Quadrat neu.jpg|rahmenlos|700x700px]]|Merksatz}}

====1.1 Rechtecke und Quadrate erkennen====
<ggb_applet id="APjTfG6z" width="763" height="512" border="888888" />
Applet von Sandra Lenk 
{{Box|Übung 1 (im Heft)|Bearbeite die Aufgabe aus dem Buch. Schreibe die Lösung in dein Heft. 
* S. 121, Nr. 1|Üben}}
{{Lösung versteckt|1= Sieh dir die Eigenschaften vom Rechteck und Quadrat an. Treffen sie auf die abgebildeten Figuren zu?
* Rechteck: benachbarte Seiten sind zueinander senkrecht/ gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang
* Quadrat: benachbarte Seiten sind zueinander senkrecht/ gegenüberliegende Seiten sind parallel/ alle Seiten sind gleich lang|2=Tipp zu Nr. 1|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1= Folgende Figuren sind Rechtecke: A, B, E, F, G 
Folgende Figuren sind Quadrate: B, E, F|2=Lösung zu Nr. 1|3=Tipp ausblenden}}

{{Box|Übung 2|Bearbeite die folgenden drei LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pi7xh34xa21|width=100%|height=400px}}

{{LearningApp|app=pue9h7obc21|width=100%|height=400px}}

{{LearningApp|app=p704ptdva21|width=100%|height=600px}}

====1.2 Rechtecke zeichnen====

{{Box|Info 1|[[Datei:Anleitung_Rechteck_zeichnen.jpg|700px]]|Kurzinfo}}

{{Box|1= Übung 3 (im Heft)|2= Bearbeite die folgenden Aufgaben im Heft. 
* S. 121, Nr. 2 Denke an die Beschriftung: '''Eckpunkte''' und '''Seitenlängen'''. 
* S. 121, Nr. 3 '''Arbeite genau!''' Denke an die Beschriftung: '''Eckpunkte''' und '''Seitenlängen'''. 
* S. 121, Nr. 4 Denke an die '''Beschriftung der Eckpunkte'''. |3= Üben}}

{{Lösung versteckt|Das GeoGebra-Buch des FLINK-Teams zeigt dir Schritt für Schritt die Konstruktion. 
https://www.geogebra.org/m/ngjycczy|Tipp zu Nr. 2|Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1= Sieh dir die "Anleitung" ('''Info 1''') oberhalb der Übung 2 genau an und befolge die einzelnen Schritte. Erinnere dich daran, was du zuletzt in Geometrie über senkrechte und parallele Strecken gelernt hast. Welche besonderen Linien auf dem Geodreieck helfen dir dabei, senkrechte bzw. parallele Strecken zu zeichnen?|2=Tipp zu Nr. 3|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Koordinatensystem Merke.jpg|620 px|center|Koordinatensystem_Erinnerung]]|2=Tipp zu Nr. 4 - Wie war das nochmal mit dem Koordinatensystem (= Quadratgitter)?|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne zuerst die Punkte ein, beschrifte sie und verbinde dann A mit B und B mit C. 
Bestimme den fehlenden Eckpunkt D. Denke daran, dass gegenüberliegende Seiten parallel verlaufen müssen.|2=Tipp zu Nr. 4c|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="rwqxyhrb" width="1102" height="590" border="888888" /> 
|2=Vergleiche deine Zeichnung zu Nr. 4a|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="jupuzcap" width="1102" height="590" border="888888" /> 
|2=Vergleiche deine Zeichnung zu Nr. 4b|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="dwh7wez5" width="1092" height="752" border="888888" />|2=Vergleiche deine Zeichnung zu Nr. 4c|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Hier findest du die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte, aber '''nicht in der richtigen Reihenfolge'''! Sie nach, ob du die Rechtecke richtig ergänzt und die Koordinaten korrekt angegeben hast. 
D ( 2 / 6 ) D ( 2 / 8 ) D ( 12 / 9 ) |2=Lösung zu Nr. 4|3=Tipp ausblenden}}

 
 
 
 
 
 
{{Box|Übung 4 - Quadrat und Rechteck im Koordinatensystem zeichnen|Bearbeite das folgende GeogebraApplet: 
Befolge die Schritte aus der Anleitung. |Üben}}
<ggb_applet id="ha6pps4c" width="840" height="652" border="888888" /> 

{{Fortsetzung|weiter=2) Parallelogramm und Raute|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Flächen und Körper/2) Parallelogramm und Raute|vorher= zurück zum Vorwissen|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Flächen und Körper}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Multiplikation und Division/4) Dividieren

2022-11-28T16:40:47Z

Neukirch: falsche Rechenart korrigiert

===4. Dividieren===

{{Box|Merke|'''<big>Fachbegriffe beim Dividieren</big>''' 

[[Datei:Fachbegriffe Division.jpg|300px]]|Merksatz
}}

{{Box|Übung 16: Fachbegriffe der Division|Bearbeite die folgende Learningapp.|Üben
}}
{{LearningApp|app=pr2gktqb320|width=85%|height=400px}}

{{Box|Info|Schau dir die folgenden Videos zum Thema ''Schriftliche Division'' an.|Kurzinfo
}}
'''mit einstelligem Divisor'''
{{#ev:youtube|2A-9_-GCXrA}}

'''mit mehrstelligem Divisor'''
{{#ev:youtube|x0M3WFmBwi4}}

{{Box|Merke|'''<big>Schriftliche Division</big>'''

[[Datei:Merkkasten schriftliches Dividieren.jpg|600px]]|Merksatz
}}

{{Box|Übung 17: Schriftliches Dividieren|Suche dir eine Schwierigkeitsstufe aus. Bearbeite so viele Aufgaben, dass du 299 Punkte erreichst.|Üben
}}

http://realmath.de/Neues/Klasse5/dividieren/zahlendividieren01.html
http://realmath.de/Neues/Klasse5/dividieren/zahlendividieren03.html

{{Box|Merke|'''<big>Probe bei der schriftlichen Division</big>'''

[[Datei:Merkkasten Probe Division.jpg|600px]]|Merksatz
}}

{{Box|Info|Besonderheiten bei der Division
[[Datei:Achtung- Besonderheiten Division.jpg|400px]]|Kurzinfo
}}

{{Box|Übung 18: Aufgaben im Buch|Bearbeite die folgenden Aufgaben in deinem Heft.
* S. 73, Nr. 1, 2, 3, 4|Üben
}}

{{Lösung versteckt|Hier findest du die '''Lösungen'''. Sie stehen in der richtigen Reihenfolge. Denke daran, bei dir muss auch die schriftliche Rechnung stehen. Rechne bei falschen Ergebnissen die Aufgabe noch einmal nach. a) 147 ; 133 ; 189 b) 216 ; 321 ; 256 c) 138 ; 122 ; 456 d) 689 ; 687 ; 1 259 e) 690 ; 452 ; 1 008 f) 1 055 ; 2 456 ; 902 g) 786 ; 234 ; 487 h) 951 ; 283 ; 789 i) 954 ; 1 123 ; 1 094 |Lösungen zu Nr. 1|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|Hier findest du die '''Lösungen'''. Sie stehen in der richtigen Reihenfolge. Denke daran, bei dir muss auch die schriftliche Rechnung stehen. Rechne bei falschen Ergebnissen die Aufgabe noch einmal nach. a) 119 R2 ; 75 R3 ; 334 R6 b) 162 R1 ; 268 R1 ; 893 R2 c) 123 R5 ; 46 R3 ; 143 R1 d) 192 R3 ; 416 R3 ; 1 251 R6 e) 1 943 R1 ; 1 086 R4 ; 502 R4 f) 676 R1 ; 1 956 R2 ; 306 R8 g) 616 R8 ; 193 R4 ; 468 R7 h) 4965 R6 ; 2 111 R9 ; 8 048 R11 i) 1 888 R5; 3 708 R5; 1 251 R14 |Lösungen zu Nr. 2|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|Hier findest du die '''Lösungen'''. Aber Achtung, sie stehen nicht in der richtigen Reihenfolge. Kontrolliere deine Ergebnisse. Rechne bei falschen Ergebnissen die Aufgabe noch einmal nach. a) 2; 3; 6; 8; 9; 12; 12; 18; 24; 36 b) 6; 8; 9; 12; 16; 24; 32; 48; 48; 72|Lösungen zu Nr. 3|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|Hier findest du die '''Lösungen'''. Aber Achtung, sie stehen nicht in der richtigen Reihenfolge. Kontrolliere deine Ergebnisse. Rechne bei falschen Ergebnissen die Aufgabe noch einmal nach. a)7; 56; 8 b) 171; 13; 9 c) 20; 25; 104 d) 12; 720; 160|Lösungen zu Nr. 4|Verbergen}}

{{Box|Info|Schau dir das folgende Video zum Thema ''Division mit Nullen'' an.|Kurzinfo
}}
{{#evt:
service=youtube|id=hABWbImYlV8|urlargs=start=000&end=208|dimensions=600|alignment=center}}

{{Box|Übung 19: Dividieren mit Nullen|[[Datei:Dividieren durch 10, 100, 1000.png|rahmenlos|500x500px]] 
Kreuze die richtigen Antworten an.|Üben
}}
<div class="multiplechoice-quiz">

810 : 9 = (!9) (90) (!9 000) (!900)

27 000 : 30 = (!9) (!9 000) (900) (!90)

400 : 50 = (!800) (8) (!80) (!8 000)

140 000 : 2 000 = (70) (!700) (!7 000) (!70 000)

|540 000 000 : 60 000 = (!900) (!9 000 000) (!900 000) (9 000)

</div>

{{Box|Übung 20: Aufgaben im Buch|Bearbeite die folgenden Aufgaben in deinem Heft.
* S. 73, Nr. 5|Üben
}}

{{Lösung versteckt|Hier findest du die '''Lösungen'''. Aber Achtung, sie stehen nicht in der richtigen Reihenfolge. Kontrolliere deine Ergebnisse. Rechne bei falschen Ergebnissen die Aufgabe noch einmal nach. a) 80 ; 700 ; 8 000 b) 200 ; 200 ; 3 000 c) 800 ; 200 ; 20 d) 50 ; 20 ; 3|Lösungen zu Nr. 5|Verbergen}}

{{Box|Übung 21: Schriftliches Dividieren - unterschiedliche Schwierigkeit|Bearbeite mind. 5 Aufgaben. Die Schwierigkeit kannst du dir selbst einstellen, indem du angibst, wie viele Stellen der Dividend und der Divisor besitzen sollen.|Üben
}}
https://www.matheaufgaben.net/mathe-online/?Aufgabentyp=Schriftliche-Division

{{Box|Übung 22: Aufgaben im Buch|Bearbeite die folgenden Aufgaben in deinem Heft.
* S. 74, Nr. 8, 11 |Üben
}}

{{Lösung versteckt|Hier findest du die '''Lösungen'''. Sie stehen in der richtigen Reihenfolge. Denke daran, bei dir muss auch die schriftliche Rechnung stehen. Rechne bei falschen Ergebnissen die Aufgabe noch einmal nach. a) 358 ; 234 ; 637 ; 126 ; 893 b) 245 R21 ; 102 R2 ; 458 R7 ; 135 R3 ; 951 R8|Lösungen zu Nr. 8|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|Bei a) muss als letzte Zahl 56 herauskommen. Bei b) kannst du dich selbst konrollieren, da hier die Endzahl schon steht.|Lösungen zu Nr. 11|Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=5) Rechnen mit Klammern|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Multiplikation und Division/5) Rechnen mit Klammern|vorher=3) Potenzieren|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Multiplikation und Division/3) Potenzieren}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Addition und Subtraktion/1) Kopfrechnen - Addieren und Subtrahieren

2022-10-19T16:47:54Z

Neukirch: sachliche Begriffskorrektur

{{Navigation verstecken|
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Addition und Subtraktion/1) Kopfrechnen - Addieren und Subtrahieren|1) Kopfrechnen - Addieren und Subtrahieren]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Addition und Subtraktion/2) Addieren|2) Addieren]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Addition und Subtraktion/3) Subtrahieren|3) Subtrahieren]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Addition und Subtraktion/4) Rechnen mit Klammern, Summen, Differenzen|4) Rechnen mit Klammern, Summen, Differenzen]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Addition und Subtraktion/5) Anwendungsaufgaben|5) Anwendungsaufgaben]]
}}
===1. Kopfrechnen - Addieren und Subtrahieren===

{{Box|Idee|
Auf der Karte seht ihr den ungefähren Verlauf der Autobahn A7. Sie beginnt im Norden bei Flensburg und endet im Süden in der Nähe von Füssen.

Familie Meier kommt aus Füssen und möchte an der Ostsee Urlaub machen. Dafür haben sie in Flensburg eine Ferienwohnung angemietet. Karla hat schon mal eingetragen, wie viele Kilometer die einzelnen Orte von ihrem Wohnort Füssen entfernt sind.

[[Datei:Autobahn Aufgabe Kopfrechnen1.JPG|400px]]

Schreibt drei Fragen auf, die ihr mithilfe der Karte beantworten könnt. Notiert ebenfalls eure Antwort.
 Stellt euch nun gegenseitig die Fragen und beantwortet sie.
|Unterrichtsidee}}

{{Lösung versteckt|1= Fragt nach der Entfernung...

* des gesamten Weges.
* vom Wohnort Füssen zu einem der anderen Orte an der Autobahn.
* zwischen zwei Orten an der Autobahn.
|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}

{{Box|Aufgabe|'''Die Autobahn A7''' 
Beantwortet die folgenden Fragen. Notiert die Rechnungen im Heft.

a) Von der Autobahn muss Familie Meier noch 15 km bis zu ihrer Ferienwohnung fahren. Wie lang war die gesamte Strecke? 
b) Karlas Tante wohnt in Würzburg. Sie möchte auch bald gerne Urlaub in Flensburg machen. Wie weit muss sie fahren? 
c) Karla hat vergessen bei Fulda eine Entfernung einzutragen. Sie weiß, dass Fulda auf der Autobahnstrecke 100 km vor Kassel liegt. Wie weit ist die Entfernung von Füssen nach Fulda?|Üben}}

{{Lösung versteckt|1= 
* Wie lang ist die gesamte Strecke von Füssen bis nach Flensburg? Lies den Wert aus der Karte ab.
* Anschließend musst du noch die restlichen 15 km bis zur Ferienwohnung "dazu rechnen". Welches Rechenzeichen ist mit "dazu rechnen" gemeint?
|2=Tipp zu a)|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1= 
Von Füssen bis nach Würzburg zur Tante sind es 300 km. D.h. die Strecke, die Karlas Tante bis nach Flensburg zurücklegen muss, ist 300 km kürzer.
|2=Tipp zu b)|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Wenn Fulda 100 km vor Kassel liegt, dann muss Karla von der Strecke bis nach Kassel 100 km "abziehen". Welches Rechenzeichen ist mit "abziehen" gemeint?
|2=Tipp zu c)|3=Tipp ausblenden}}

{{Box|Merke|'''<big>Addition und Subtraktion</big>'''

<big>'''+'''</big> ist das Rechenzeichen für die '''ADDITION'''. 
<big>'''-'''</big> ist das Rechenzeichen für die '''SUBTRAKTION'''. 

Um Rechenaufgaben im Kopf rechnen zu können, ist es oft hilfreich, die '''Zahlen''' zu '''zerlegen'''. 

[[Datei:Beispiel zerlegen.jpg|500px]]

|Merksatz}}

{{Box|Info|Schaue dir die folgenden '''Erklärvideos''' zum '''Addieren bzw. Subtrahieren im Kopf''' an. |Kurzinfo}}
{{#ev:youtube|eSDM5f5vuJY|800|center}}
 
{{#ev:youtube|4h_q-35kTFg|800|center}}

{{Box|Übung 1 (im Heft)|Bearbeite die folgenden Aufgaben im Heft.|Üben}}
S. 32, Nr. 1a) [Löse auf verschiedenen Wegen wie in Beispiel a) auf S. 32!]{{Lösung versteckt|64 332 1010|Lösung|Verbergen}} 
und Nr. 1b) [Löse auf verschiedenen Wegen wie in Beispiel b) auf S. 32!]{{Lösung versteckt|31 163 550|Lösung|Verbergen}}

S. 32, Nr. 2
{{Lösung versteckt|Hier findest du die '''Lösungen der Größe nach geordnet'''. Schaue nach, ob deine Ergebnisse dabei sind und ordne sie richtig zu. 38 41 43 71 82 92 98 99 201 235 453 807 |Lösung|Verbergen}}

S. 33, Nr. 6 [Schreibe die Zwischenschritte wie im Beispiel auf!]
{{Lösung versteckt|Hier findest du die '''Lösungen der Größe nach geordnet'''. Schaue nach, ob deine Ergebnisse dabei sind und ordne sie richtig zu. 13 22 32 46 51 58 84 97 99 |Lösung|Verbergen}}

{{Box|Übung 2: Additions- und Subtraktionsmauer|Suche dir eine der beiden Learningapps zu den Zahlenmauern aus - je nach Schwierigkeitsgrad: 1 Stern: leicht, 2 Sterne: mittel. Löse hier mind. 6 Zahlenmauern.|Üben}}

[[Datei:1 Stern Niveau.JPG|50px]]
{{LearningApp|app=ppewx8m8k20|width=100%|heigth=900px}}

[[Datei:2 Stern Niveau.JPG|75px]]
{{LearningApp|app=p1ocey45v20|width=100%|heigth=900px}}

{{Box|Übung 3 (im Heft)|Bearbeite die folgenden Aufgaben im Heft.
* S. 33, Nr. 4, 5|Üben}}
{{Lösung versteckt| Hier sind die Lösungen der obersten bzw. untersten Stufe der Zahlenmauer angegeben: 122 39|Lösung|Verbergen}}

{{Box|Info|Hier einige Beispiele, wie das Addieren und Subtrahieren auch genannt wird. |Kurzinfo}}
[[Datei:Wörterbuch (Add&Sub).jpg|800px]]

{{Box|Übung 4: Begriffe für das "Plus-" und "Minus-Rechnen"|Ordne die Begriffe zu. Schaue nur dann oben in das Additions- und Subtraktionswörterbuch, wenn du selbst nicht mehr weiter weißt. |Üben}}
<div class="zuordnungs-quiz">

{|
|"plus"||addieren||zusammenzählen||vermehren||hinzurechnen||dazuzählen||hinzufügen||Summe bilden
|-
|"minus"||subtrahieren||abziehen||vermindern||abrechnen||wegnehmen||verringern||Differenz bilden
|}

</div>

{{Box|Übung 5: Rechenausdrücke|Bearbeite die folgende Learningapp. |Üben}}
{{LearningApp|app=pofaqt2pk20|width=100%|heigth=900px}}

{{Box|Merke|'''<big>Fachbegriffe beim Addieren</big>'''
[[Datei:Addition.jpg|rahmenlos|800px]]|Merksatz}}

{{Box|Fachbegriffe der Addition |Bearbeite die folgende LearningApp. Versuche die Fachbegriffe zuzuordnen, ohne in den Merkkasten zu schauen. |Üben}}
{{LearningApp|app=p9o5ngdvt20|width=100%|heigth=900px}}

{{Box|Merke|'''<big>Fachbegriffe beim Subtrahieren</big>'''
[[Datei:Subtraktion.jpg|mini|800px]]|Merksatz}}

{{Box|Fachbegriffe der Subtraktion |Bearbeite die folgende LearningApp. Versuche die Fachbegriffe zuzuordnen, ohne in den Merkkasten zu schauen. |Üben}}
{{LearningApp|app=p6se812at20|width=100%|heigth=900px}}

{{Box|Übung 6 (im Heft)|Bearbeite die folgenden Aufgaben im Heft.
* S. 35, Nr. 5 a-d
* S. 42, Nr. 12a-e|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Summe: Rechenausdruck bei einer Additionsaufgabe 
Addiere: + 
Summanden: Zahlen, die addiert werden 
Ergebnisse: 2027549; 1431; 1110; 208|2=Tipps und Lösungen zu Nr. 5a-d|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Subtrahiere: - 
Die '''vordere Zahl''' (Minuend) beim Subtrahieren ist diejenige, '''von''' der die zweite Zahl abgezogen wird. 
Ergebnisse: 1704; 68; 60; 80; 47|2=Tipps und Lösungen zu Nr. 12|3=Verbergen}}

{{Box|Knobelaufgabe (für Profis)|Richtig oder falsch? Löse die Aufgabe gemeinsam mit deinem Partner/deiner Partnerin.
* Wenn ich zwei gerade Zahlen addiere, erhalte ich immer eine gerade Zahl.
* Wenn ich zwei ungerade Zahlen addiere, erhalte ich immer eine ungerade Zahl.
* Wenn ich eine gerade und eine ungerade Zahl addiere, erhalte ich immer eine ungerade Zahl.
Könnt ihr ähnliche Aussagen für die Subtraktion aufschreiben? |Meinung}}
{{Lösung versteckt|Prüfe die Aussage an mehreren Beispielen. Schreibe Beispielaufgaben auf und rechne. Was stellt ihr fest?|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die erste und die dritte Aussage ist richtig, die zweite ist falsch.|Lösung|Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=2) Addieren|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Addition und Subtraktion/2) Addieren|vorher= zurück zum Vorwissen|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Addition und Subtraktion}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Natürliche Zahlen/3) Das Zehnersystem - Große Zahlen

2022-08-20T09:19:41Z

Neukirch:

{{Box|Übung 1) Große Zahlen|
a) Welche Zahl kann passen? Überlege und ordne zu. 
b) Kannst du die Zahlen lesen? Schreibe sie in Worten in dein Heft.
|Üben}}

<div class="lueckentext-quiz">

Wie viele Kinder gehen in eure Klasse? '''ca. 30''' 
Wie viele Schülerinnen und Schüler gehen zur Herta-Lebenstein-Realschule? '''ca. 530''' 
Wie viele Menschen leben in Stadtlohn? '''ca. 20 780''' 
Wie viele Menschen leben in Deutschland? '''ca. 83 020 000''' 
Wie viele Menschen gibt es auf der Erde? '''ca. 7 594 0000 000'''

</div>

{{Lösung versteckt|1= Schau dir die Beispiele an und versuche sie auf die oben genannten Beispiele zu übertragen: 
50 = fünfzig 
420 = vierhundertzwanzig 
30 480 = dreißigtausendvierhundertachtzig 
95 060 000 = fünfundneunzig Millionen sechzigtausend 
2 813 000 000 = zwei Milliarden achthundertdreizehn Millionen|2=Tipp zu b)|3=Tipp ausblenden}}

{{Box|Merke|'''<big>Das Stellenwertsystem und die Stellenwerttafel</big>'''

Unser Zahlsystem wird als '''Zehnersystem''' bezeichnet. Die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 reichen aus, um alle Zahlen darzustellen.
Man spricht von einem '''Stellenwertsystem''', da durch das Vervielfachen mit 10 jeder Stellenwert in den nächstgrößeren Stellenwert übergeht.

Jede Zahl kann in einer '''Stellenwerttafel''' dargestellt werden:

z.B.
[[Datei:Beispiel Stellenwerttafel.jpg|Beispiel Stellenwerttafel.jpg]]

Durch das Vervielfachen mit Tausend entsteht ein neuer Stellenwert mit eigenem Namen:
[[Datei:Stellenwerttreppe.jpg|Stellenwerttreppe.jpg]]
|Merksatz}}

{{Box|Info|Schau dir das folgende Erklärvideo zum '''Eintrag von Zahlen in die Stellenwerttafel''' an.|Kurzinfo}}
{{#ev:youtube|sEh0z1F2JQQ}}

{{Box|Übung 2) Die Stellenwerttafel|a) Bearbeite die Online-Übungen auf realmath. Schaffst du es bis zum Profi?
*[https://realmath.de/Neues/Klasse5/zahlenausn/nerkenn.php Übung realmath: Stellenwerte finden]
*[https://realmath.de/Neues/Klasse5/zahlenausn/textinzahl.php Übung realmath: Texte in Zahlen verwandeln]
b) Bearbeite die drei LearningApps. Gib bei den Apps zum Hören je 6 Zahlen in die Stellenwerttafel ein.
c) Bearbeite das Quiz.
d) Freiwillig: Trage die Zahlen in die Stellenwerttafel ein (GeoGebra)|Üben}}
{{LearningApp|app=p7v69rhmn21|width=85%|height=600px}}
{{LearningApp|app=ptru1ujf501|width=85%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p4y068i5n20|width=85%|height=400px}}

{{h5p-zum|id=15867|height=200px}}

<ggb_applet id="nppjcek6" width="800" height="550" border="888888" />
Applet von FLINK Team

{{Box|Übung 3) Aufgaben im Buch|Bearbeite die folgenden Übungen im Buch:
* S. 17, Nr. 1, 3, 5, 6|Üben}}
{{Lösung versteckt|Schreibweise zu Nr. 3: 
[[Datei:SP 5 S.17 Nr. 3 Tipp.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu Nr. 3 (Schreibweise)|Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Achte auf die Nullen. Ergänze die fehlenden Stellenwerte in der Summe mit Nullen.|Tipp zu Nr. 6|Tipp ausblenden}}

{{Box|Sprinteraufgabe|Recheriere im Internet:
* Vor wie vielen Jahren lebten die verschiedenen Dinosaurierarten?
* Wie weit sind die Planeten in unserem Sonnensystem von der Erde entfernt?
Notiere die Zahlen in verschiedenen Schreibweisen. |Lösung|Icon=brainy hdg-magnifying-glass}}

{{Box|Übung 4) Zahlenkärtchen|Lege die folgenden Zahlenkärtchen so in eine Reihe, dass ...|Üben}}
a) eine möglichst kleine Zahl entsteht.
<div class="lueckentext-quiz">
'''3''' '''4''' '''6''' '''8''' '''9'''
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
'''1''' '''21''' '''2''' '''43''' '''4'''
</div>

b) eine möglichst große Zahl entsteht.
<div class="lueckentext-quiz">
'''8''' '''7''' '''4''' '''3''' '''1'''
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
'''5''' '''54''' '''3''' '''31''' '''1'''
</div>

{{Box|Übung 5) Aufgaben im Buch|Bearbeite die folgenden Übungen im Buch:
* S. 17, Nr. 4, 8
* Zusatzaufgabe: S. 18, Nr. 13|Üben}}

{{Box|Info|Schau dir das folgende Erklärvideo zum '''Ordnen großer Zahlen''' an.|Kurzinfo}}
{{#ev:youtube|YxGL1z6U7Ig}}

{{Box|Übung 6) große Zahlen vergleichen und ordnen||Üben}}
a) Setze eines der Zeichen < oder > richtig ein.
<div class="lueckentext-quiz">
1 200 '''>''' 1 190 
15 030 '''>''' 15 008 
45 077'''<''' 450 777 
28 545 '''<''' 284 221 
689 123 '''>''' 70 797 
4 230 040 '''<''' 4 230 400
</div>

b) Ordne die Zahlen von klein nach groß.
<div class="lueckentext-quiz">
'''345''' < '''354''' < '''435''' < '''453''' < '''543'''< '''3045'''
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
'''2003''' < '''2030''' < '''3002''' < '''3020''' < '''3200'''
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
'''999''' < '''4890''' < '''8111''' < '''12545''' < '''111000'''
</div>

{{Box|Übung 7) Aufgaben im Buch|Bearbeite die folgende Übung im Buch:
* S.18, Nr. 11|Üben}}

Freiwillige Übung: Spiel Hexenkessel
<ggb_applet id="jqpjhkkj" width="800" height="660" border="888888" />

{{Box|Info|Schau dir das folgende Erklärvideo zum '''Schätzen von großen Zahlen mithilfe der Raster-Methode''' an.|Kurzinfo}}
{{#ev:youtube|tP087_E-PqA}}

{{Box|Übung 8) Aufgaben im Buch|Bearbeite die folgende Übung im Buch:
* S.18, Nr. 10|Üben}}

{{Box|Übung 9) Schätzen mit der Raster-Methode|Wie viele Smarties befinden sich ungefähr auf dem Bild? Gehe hierfür - wie im Unterricht - Schritt für Schritt vor. Gib jeden Schritt in deinem Heft an.
[[Datei:Smarties-50838 1920.jpg|Smarties-50838 1920.jpg]]|Üben}}

{{Fortsetzung|weiter=4) Runden und Darstellen großer Zahlen|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Natürliche Zahlen/4) Runden und Darstellen großer Zahlen|vorher= zurück zu 2) Zahlenstrahl und Anordnung|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Natürliche Zahlen/2) Zahlenstrahl und Anordnung}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph

2022-06-26T17:25:53Z

Neukirch: Satz vervollständigt

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Vorwissen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1 Zuordnungen und Funktionen]] [[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2 Lineare Funktionen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung_und_Funktionsgraph|2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.4 Anwendungen|2.4 Anwendungen]]}}

==Wertetabelle und Funktionsgraph==
{{Box|1=Wertetabelle erstellen|2=Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. 
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5 
Für x = 1 gilt: y = 2 · 1 + 5 
                         = 7 
Für x = 2 gilt: y = 2 · 2 + 5 
                         = 9 
Übertrage die Werte in die Wertetabelle: 
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!}} 4
{{!}} ...
{{!-}}
{{!}} y
{{!}} 5
{{!}} 7
{{!}} 9
{{!}} 11
{{!}} 13
{{!}} ...
{{!)}}
|3=Kurzinfo}}

{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion. 
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen." 
[[Datei:F(x)=2x+5 mit Punkten.png|rahmenlos|500x500px]]
|Kurzinfo}}
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
{{#ev:youtube| EfPX2lmay0c}}
{{Box|Übung 1|Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.|Üben}}
<ggb_applet id="ee7U2NGK" width="1280" height="792" border="888888" />
Applet von Hans Scharrer, jkreitner

{{Box|1=Übung 2|2=Lege jeweils eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen der Funktion. Zeichne a, b und c in ein Koordinatenkreuz und b, d und e in ein zweites Koordinatenkreuz. Nutze verschiedene Farben. 
a) y = x 
b) y = 2x 
c) y = 0,5x 
d) y = 2x + 1 
e) y = 2x - 3 
Fällt dir etwas auf?

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Aufgabe
{{!}} x
{{!}} -3
{{!}} -2
{{!}} -1
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!-}}
{{!}} a)
{{!}}y=x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} b)
{{!}}y=2x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} c)
{{!}}y=0,5x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} d)
{{!}}y=2x+1
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} e)
{{!}}y=2x-3
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!)}}|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen.png|rahmenlos|611x611px]] 
[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen 2.png|rahmenlos|600x600px]]|Vergleiche deine Graphen|Verbergen}}
==Funktionsgleichung und Funktionsgraph==
 

===f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===
 

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
 <ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" />
 
{{Lösung versteckt|1=In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen: 
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse. 
m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.|2=Beobachtungen|3=Verbergen}}

Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0). 
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.
{{Lösung versteckt|Hier geht es zum Kapitel "proportionale Zuordnungen" im Lernpfad der Klasse 7 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Lernpfad_Zuordnungen_und_Dreisatz/Proportionale_Zuordnungen|Proportionale Zuordnungen]]|Erinnerung: proportionale Zuordnungen|Verbergen}}
 

===Die Steigung m===
{{Box|Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Arbeitsmethode}}
 

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss. 
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab. 
 
Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.

<ggb_applet id="ryydnrna" width="863" height="522" border="888888" /> Wenn die Steigung '''m''' steil ist, muss der Maulwurf sehr '''m'''utig sein!

Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft:
<div class="lueckentext-quiz">

Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden: 
Für '''m > 0''' steigt die Gerade und für '''m < 0''' fällt die Gerade. 
Die Gerade steigt flach für '''0 < m < 1''' und steil für '''m > 1'''. 
Die Gerade fällt flach für '''-1 < m < 0''' und steil für '''m < -1'''.

</div>

{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps, um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung zu überprüfen.|Üben}}

{{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width=100%|height=400px}}

{{h5p-zum|id=14434|height=300}}

 

{{Box|1=Übung 4|2=Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art: 
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flach fällt." Lösung z.B. f(x) = '''-'''[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
Prüft die Antworten mit GeoGebra.|3=Meinung}}
 
{{Lösung versteckt|Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach? 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen 1.png|rahmenlos|500x500px]] 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png|rahmenlos|646x646px]]|Wie kann ich mit GeoGebra meine Antworten prüfen?|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png|rahmenlos|500x500px]] 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png|rahmenlos|500x500px]]|Dezimalzahlen oder Brüche bei GeoGebra eingeben|Verbergen}}

 
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).

===Das Steigungsdreieck===

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

<ggb_applet id="pjvps3st" width="1458" height="900" border="888888" />

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus <math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math> bleibt immer gleich, dies ist die '''Steigung m'''.
 

{{Box|1=Merke: Die Steigung m|2= Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]=<math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math>
[[Datei:Steigungsdreieck Tafelbild 3.png|rahmenlos|500x500px]]|3=Arbeitsmethode}}
 

{{Box|Das Steigungsdreieck|Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen: 
[[Datei:Steigunsdreieck zwei Möglichkeiten Tina und Tom.JPG|rahmenlos|800x800px]] 
Was meinst du? 
Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.|Meinung}}
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5 
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin. 
<ggb_applet id="gjbxvqr5" width="1200" height="768" border="888888" />
Applet von Buß-Haskert
 
{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
*15
|Üben}}

=====Die Steigung m eines Graphen ablesen=====
Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' bestimmen. 
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. 
 
{{#ev:youtube|7zYsjAdTT5M|800|center|||start=0&end=134}}
 
{{Box|Übung 6|Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. 
Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben}}
 
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl): 
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p4u99frac21|width=100%|heigth=600px}}
 
 
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl: 
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p1e8uj53c21|width=100%|heigth=600px}}
 
 
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv): 
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pyy290xt521|width=100%|heigth=600px}}
 
 
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ): 
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pqf5b16sj21|width=100%|heigth=600px}}
 
 

 
{{Box|Übung 7|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.|Üben}}
{{LearningApp|app=p3f0yxqy321|width=100%|height=800px}}

{{Box|Übung 8|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend.
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/punktaufg.php Level 2]|Üben}}

{{Box|1=Übung 9|2=Löse aus die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere wie folgt: 
g1: f(x) = ... 
g2: f(x) = ... 
* S. 126 Nr. 5
* S. 126 Nr. 6|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke. 
|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 5|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu g6 und g7|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 6|Verbergen}}

 
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).

 
{{Box|1=Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub|2=
* 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
* 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
* 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
* 4. Erfinde selbst ein Beispiel.
Übertrage die Aufgaben in dein Heft, fülle die Wertetabelle aus und zeichne jeweils die Gerade. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und erkläre jeweils den Zusammenhang des Textes zum Steigungsdreieck.|3=Üben}}
{| class="wikitable"
|-
|x
|1
|2
|3
|...
|-
|y-Strecke
|5
|10
|...
|
|-
|y-Eintrittskosten
|13
|...
|
|
|-
|y-Trainingskosten
|...
|
|
|
|-
|}

{{Lösung versteckt|1=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub 
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an. 
Aktivurlaub an der Nordsee: 
1. Familie Mann fährt in den Urlaub an die Nordsee. Für 100 km benötigt ihr Auto ca. 7,8 Liter Benzin. 
2. An einem Rastplatz legen sie eine Pause ein und essen eine Kleinigkeit. Ein Fischbrötchen kostet 1,50€. 
3. Familie Mann möchte im Urlaub an der Nordsee surfen gehen. Für 4 Personen zahlen sie 40€ pro Stunde. 
4. Nach dem Surfen gönnt sich die Familie jeweils eine Kugel Eis zu 1,10€. 
5. Nachmittags gehen sie in der Nordsee schwimmen. Dabei schwimmen sie in 5 Minuten ca. 70m weit. Eine Freundin schwimmt gleichzeitig los, sie benötig für 25m 100 Sekunden. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz) 
Wanderurlaub: 
6. Ein Sportgeschäft bietet Wanderstöcke an. Jeder Stock kostet 25€. 
7. Familie H. unternimmt eine Wanderung. Für die Strecke von 4m benötigen sie 5 Sekunden. 
Familie U. geht ebenfalls wandern. Sie schafft in 10 Minuten 500m. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz.) 
8. Für eine geführte Wanderung durch den Nationalpark zahlt die Familie 15€ pro Stunde. 
9. Zum Picknick während der Wanderung gibt es Obst und Schokoriegel. Ein Riegel kostet 0,60€. 
Reiterferien: 
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€. 
11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€. |2=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 11-Anwendungsaufgaben|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
* S. 127 Nr. 10
* S. 127 Nr. 11
* S. 127 Nr. 12|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne das Steigungsdreieck ein und lies die Werte für Δy und Δx ab. Es gilt m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> |2=Tipp 1 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) Eisenbahn 
Höhenunterschied 40m 
Horizontalunterschied 100m 
m = <math>\tfrac{40}{1000} = \tfrac{4}{100}</math> = 4%.
Lösungen: 4%; 28%; 75%; 90%|2=Tipp 2 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende verschiedene Darstellungen: [[Datei:S. 127 Nr. 11a Darstellungen.jpg|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne jeweils den gegebenen Punkt in ein Koordinatenkreuz und zeichne die Ursprungsgerade. Lies die Steigung m ab und gib die Funktionsgleichung f(x) = mx an.|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Du kannst deine Lösung mithilfe von GeoGebra prüfen: Gib die Koordinaten des gegebenen Punktes ein und zeichne eine Gerade durch den Ursprung und den gegebenen Punkt. Lass dir dann das Steigungsdreieck einzeichnen. Nun kannst du die Funktionsgleichung angeben. Zoome so, dass du das Steigungsdreieck besser erkennen kannst.|Tipp 3 zu Nr. 11|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung lässt sich auch wie in Aufgabe 10 berechnen. m = m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> 
a) m = <math>\tfrac{5}{100} = 0,05</math>, also f(x) = 0,05x 
b) m = <math>\tfrac{275}{25} = \tfrac{11}{1}</math> = 11, also ... 
c) m = <math>\tfrac{320}{8}</math> = 40 ct. 
d) m = <math>\tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}</math>|2=Tipp 4 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Welche Bedeutung haben die x- bzw. y-Achse? Erkläre. 
Welche Bedeutung hat dann ein steiler Verlauf des Graphen? Erkläre.|2=Tipp zu Nr. 12a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Da es sich um Ursprungsgeraden handelt, müssen die Funktionsgleichungen die Form f(x)=mx haben (proportionale Funktionen). Bestimme die Steiung m mit einem geeigneten Steigungsdreieck. 
Welchen Punkt kannst du jeweils ablesen? 
m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> 
m1 = ... = 0,08 
m2 = ... = 0,16|2=Tipp zu Nr. 12b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Füllhöhe im Würfel steigt doppelt so schnell wie im Quader, also muss die Grundfläche ... so groß sein.|2=Tipp zu Nr. 12c|3=Verbergen}}

=====Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck=====
Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen. 

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. 
{{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}
 
{{Box|Übung 12|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben}}

 
{{Box|Übung 13|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz.
* S. 126 Nr. 2
* S. 126 Nr. 4
* S. 126 Nr. 3|Üben}}

{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i) 
Gehe so viele Schritte, wie der NENNER angibt, nach RECHTS und 
so viele Schritte wie der ZÄHLER angibt nach OBEN (m positiv) oder UNTEN (m negativ).|2=Tipp 4 Steigungsdreiecke zu d bis i|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5 Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6 Steigungsdreiecke f,h|Verbergen}}
|Tipps zu S. 126 Nr. 2|Verbergen}}

Zusammenfassung: Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:

{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|800|center}}
 
 
===Der y-Achsenabschnitt b===
 
Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b
 

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von '''m''', also der '''Steigung''' einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter '''b''' für den Graphen der Funktion hat.
 <ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" /> 
{{Lösung versteckt|Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse. 
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)|Beobachtung|Verbergen}}

{{Box|1=Merke: Der y-Achsenabschnitt b|2=Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion. 
Der Graph ist eine Gerade. 
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b). 
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|Übung 14|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}}

{{LearningApp|app=pfeqzdf8521|width=100%|height=600px}}
 

Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b. 
Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie du zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst. 
 

===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
 
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung| Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Erklärvideo: {{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div>
</div>

Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png|535x535px]]
 

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png|528x528px]] 

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]

{{Box|Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
<div class="grid">
<div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp|app=phd8q7we221|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp|app=popvxxk2v21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=pw8bbo2st20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp|app=p5mxjgbpt21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=400px}}</div>
 
{{Box|1=Übung 16|2=Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx+b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]|3=Üben}}</div>
 

{{Box|Übung 17|Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft.
* S. 129 Nr. 2
* S. 129 Nr. 4
* S. 130 Nr. 6
* S. 130 Nr. 7|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b. 
https://www.geogebra.org/classic/fuuc9dcy
|Tipp zu S. 129 Nr. 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.
https://www.geogebra.org/classic/qfasm3eg|2=Tipp zu S. 129 Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Für g1 ist das Vorgehen noch einmal in einem Bild gezeigt, für g2, g3, usw. stellen die Schieberegler des GeoGebra-Applets so ein, dass der entsprechende Graph dargestellt ist. Die Funktionsgleichung wird dir dann angezeigt.{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 6 Tipp zu g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh|GeoGebra-Applet zu Nr. 6|Verbergen}}|Tipps zu S. 130 Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen
https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 7 Tipp Steigungsdreiecke.png]]|Tipp Steigungsdreiecke|Verbergen}}
|Tipps zu S. 130 Nr. 7|Verbergen}}
 
 

===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}}

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. 1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) 
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten). 
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.
<div class="grid">
<div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png]]</div>
</div>
Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!

Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div>
</div>
 
{{Box|Übung 18 - online|Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.|Üben}} 
<ggb_applet id="fcgnxdsu" width="775" height="485" border="888888" /> 
Applet von Wolfgang Wengler 
 

{{Box|Übung 19|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 129 Nr. 5 (immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz)
* S. 130 Nr. 8 (Beachte die Alternative zur Partnerarbeit).
Nutze bei Bedarf die Tipps.|Üben}}

{{Lösung versteckt|Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zu S. 129 Nr. 5|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Statt der Partnerarbeit erstelle eine Learningapp, in der den von dir gezeichneten Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden soll. 
Wenn du für die Steigung einen Bruch wählst, kannst du ihn bei den LearningApps auch so schreiben, wie du es aus dem Unterricht kennst, indem du statt 2/3 folgendes schreibst: $$\frac{2}{3}$$|S. 130 Nr. 8 Alternative zur Partnerarbeit|Verbergen}}

 

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|weiter=2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph

2022-06-26T17:21:48Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Vorwissen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1 Zuordnungen und Funktionen]] [[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2 Lineare Funktionen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung_und_Funktionsgraph|2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.4 Anwendungen|2.4 Anwendungen]]}}

==Wertetabelle und Funktionsgraph==
{{Box|1=Wertetabelle erstellen|2=Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. 
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5 
Für x = 1 gilt: y = 2 · 1 + 5 
                         = 7 
Für x = 2 gilt: y = 2 · 2 + 5 
                         = 9 
Übertrage die Werte in die Wertetabelle: 
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!}} 4
{{!}} ...
{{!-}}
{{!}} y
{{!}} 5
{{!}} 7
{{!}} 9
{{!}} 11
{{!}} 13
{{!}} ...
{{!)}}
|3=Kurzinfo}}

{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion. 
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen." 
[[Datei:F(x)=2x+5 mit Punkten.png|rahmenlos|500x500px]]
|Kurzinfo}}
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
{{#ev:youtube| EfPX2lmay0c}}
{{Box|Übung 1|Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.|Üben}}
<ggb_applet id="ee7U2NGK" width="1280" height="792" border="888888" />
Applet von Hans Scharrer, jkreitner

{{Box|1=Übung 2|2=Lege jeweils eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen der Funktion. Zeichne a, b und c in ein Koordinatenkreuz und b, d und e in ein zweites Koordinatenkreuz. Nutze verschiedene Farben. 
a) y = x 
b) y = 2x 
c) y = 0,5x 
d) y = 2x + 1 
e) y = 2x - 3 
Fällt dir etwas auf?

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Aufgabe
{{!}} x
{{!}} -3
{{!}} -2
{{!}} -1
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!-}}
{{!}} a)
{{!}}y=x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} b)
{{!}}y=2x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} c)
{{!}}y=0,5x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} d)
{{!}}y=2x+1
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} e)
{{!}}y=2x-3
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!)}}|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen.png|rahmenlos|611x611px]] 
[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen 2.png|rahmenlos|600x600px]]|Vergleiche deine Graphen|Verbergen}}
==Funktionsgleichung und Funktionsgraph==
 

===f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===
 

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
 <ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" />
 
{{Lösung versteckt|1=In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen: 
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse. 
m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.|2=Beobachtungen|3=Verbergen}}

Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0). 
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.
{{Lösung versteckt|Hier geht es zum Kapitel "proportionale Zuordnungen" im Lernpfad der Klasse 7 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Lernpfad_Zuordnungen_und_Dreisatz/Proportionale_Zuordnungen|Proportionale Zuordnungen]]|Erinnerung: proportionale Zuordnungen|Verbergen}}
 

===Die Steigung m===
{{Box|Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Arbeitsmethode}}
 

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss. 
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab. 
 
Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.

<ggb_applet id="ryydnrna" width="863" height="522" border="888888" /> Wenn die Steigung '''m''' steil ist, muss der Maulwurf sehr '''m'''utig sein!

Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft:
<div class="lueckentext-quiz">

Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden: 
Für '''m > 0''' steigt die Gerade und für '''m < 0''' fällt die Gerade. 
Die Gerade steigt flach für '''0 < m < 1''' und steil für '''m > 1'''. 
Die Gerade fällt flach für '''-1 < m < 0''' und steil für '''m < -1'''.

</div>

{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps, um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung zu überprüfen.|Üben}}

{{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width=100%|height=400px}}

{{h5p-zum|id=14434|height=300}}

 

{{Box|1=Übung 4|2=Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art: 
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flach fällt." Lösung z.B. f(x) = '''-'''[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
Prüft die Antworten mit GeoGebra.|3=Meinung}}
 
{{Lösung versteckt|Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach? 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen 1.png|rahmenlos|500x500px]] 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png|rahmenlos|646x646px]]|Wie kann ich mit GeoGebra meine Antworten prüfen?|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png|rahmenlos|500x500px]] 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png|rahmenlos|500x500px]]|Dezimalzahlen oder Brüche bei GeoGebra eingeben|Verbergen}}

 
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).

===Das Steigungsdreieck===

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

<ggb_applet id="pjvps3st" width="1458" height="900" border="888888" />

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus <math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math> bleibt immer gleich, dies ist die '''Steigung m'''.
 

{{Box|1=Merke: Die Steigung m|2= Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]=<math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math>
[[Datei:Steigungsdreieck Tafelbild 3.png|rahmenlos|500x500px]]|3=Arbeitsmethode}}
 

{{Box|Das Steigungsdreieck|Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen: 
[[Datei:Steigunsdreieck zwei Möglichkeiten Tina und Tom.JPG|rahmenlos|800x800px]] 
Was meinst du? 
Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.|Meinung}}
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5 
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin. 
<ggb_applet id="gjbxvqr5" width="1200" height="768" border="888888" />
Applet von Buß-Haskert
 
{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
*15
|Üben}}

=====Die Steigung m eines Graphen ablesen=====
Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' bestimmen. 
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. 
 
{{#ev:youtube|7zYsjAdTT5M|800|center|||start=0&end=134}}
 
{{Box|Übung 6|Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. 
Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben}}
 
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl): 
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p4u99frac21|width=100%|heigth=600px}}
 
 
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl: 
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p1e8uj53c21|width=100%|heigth=600px}}
 
 
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv): 
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pyy290xt521|width=100%|heigth=600px}}
 
 
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ): 
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pqf5b16sj21|width=100%|heigth=600px}}
 
 

 
{{Box|Übung 7|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.|Üben}}
{{LearningApp|app=p3f0yxqy321|width=100%|height=800px}}

{{Box|Übung 8|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend.
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/punktaufg.php Level 2]|Üben}}

{{Box|1=Übung 9|2=Löse aus die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere wie folgt: 
g1: f(x) = ... 
g2: f(x) = ... 
* S. 126 Nr. 5
* S. 126 Nr. 6|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke. 
|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 5|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu g6 und g7|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 6|Verbergen}}

 
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).

 
{{Box|1=Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub|2=
* 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
* 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
* 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
* 4. Erfinde selbst ein Beispiel.
Übertrage die Aufgaben in dein Heft, fülle die Wertetabelle aus und zeichne jeweils die Gerade. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und erkläre jeweils den Zusammenhang des Textes zum Steigungsdreieck.|3=Üben}}
{| class="wikitable"
|-
|x
|1
|2
|3
|...
|-
|y-Strecke
|5
|10
|...
|
|-
|y-Eintrittskosten
|13
|...
|
|
|-
|y-Trainingskosten
|...
|
|
|
|-
|}

{{Lösung versteckt|1=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub 
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an. 
Aktivurlaub an der Nordsee: 
1. Familie Mann fährt in den Urlaub an die Nordsee. Für 100 km benötigt ihr Auto ca. 7,8 Liter Benzin. 
2. An einem Rastplatz legen sie eine Pause ein und essen eine Kleinigkeit. Ein Fischbrötchen kostet 1,50€. 
3. Familie Mann möchte im Urlaub an der Nordsee surfen gehen. Für 4 Personen zahlen sie 40€ pro Stunde. 
4. Nach dem Surfen gönnt sich die Familie jeweils eine Kugel Eis zu 1,10€. 
5. Nachmittags gehen sie in der Nordsee schwimmen. Dabei schwimmen sie in 5 Minuten ca. 70m weit. Eine Freundin schwimmt gleichzeitig los, sie benötig für 25m 100 Sekunden. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz) 
Wanderurlaub: 
6. Ein Sportgeschäft bietet Wanderstöcke an. Jeder Stock kostet 25€. 
7. Familie H. unternimmt eine Wanderung. Für die Strecke von 4m benötigen sie 5 Sekunden. 
Familie U. geht ebenfalls wandern. Sie schafft in 10 Minuten 500m. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz.) 
8. Für eine geführte Wanderung durch den Nationalpark zahlt die Familie 15€ pro Stunde. 
9. Zum Picknick während der Wanderung gibt es Obst und Schokoriegel. Ein Riegel kostet 0,60€. 
Reiterferien: 
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€. 
11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€. |2=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 11-Anwendungsaufgaben|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
* S. 127 Nr. 10
* S. 127 Nr. 11
* S. 127 Nr. 12|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne das Steigungsdreieck ein und lies die Werte für Δy und Δx ab. Es gilt m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> |2=Tipp 1 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) Eisenbahn 
Höhenunterschied 40m 
Horizontalunterschied 100m 
m = <math>\tfrac{40}{1000} = \tfrac{4}{100}</math> = 4%.
Lösungen: 4%; 28%; 75%; 90%|2=Tipp 2 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende verschiedene Darstellungen: [[Datei:S. 127 Nr. 11a Darstellungen.jpg|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne jeweils den gegebenen Punkt in ein Koordinatenkreuz und zeichne die Ursprungsgerade. Lies die Steigung m ab und gib die Funktionsgleichung f(x) = mx an.|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Du kannst deine Lösung mithilfe von GeoGebra prüfen: Gib die Koordinaten des gegebenen Punktes ein und zeichne eine Gerade durch den Ursprung und den gegebenen Punkt. Lass dir dann das Steigungsdreieck einzeichnen. Nun kannst du die Funktionsgleichung angeben. Zoome so, dass du das Steigungsdreieck besser erkennen kannst.|Tipp 3 zu Nr. 11|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung lässt sich auch wie in Aufgabe 10 berechnen. m = m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> 
a) m = <math>\tfrac{5}{100} = 0,05</math>, also f(x) = 0,05x 
b) m = <math>\tfrac{275}{25} = \tfrac{11}{1}</math> = 11, also ... 
c) m = <math>\tfrac{320}{8}</math> = 40 ct. 
d) m = <math>\tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}</math>|2=Tipp 4 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Welche Bedeutung haben die x- bzw. y-Achse? Erkläre. 
Welche Bedeutung hat dann ein steiler Verlauf des Graphen? Erkläre.|2=Tipp zu Nr. 12a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Da es sich um Ursprungsgeraden handelt, müssen die Funktionsgleichungen die Form f(x)=mx haben (proportionale Funktionen). Bestimme die Steiung m mit einem geeigneten Steigungsdreieck. 
Welchen Punkt kannst du jeweils ablesen? 
m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> 
m1 = ... = 0,08 
m2 = ... = 0,16|2=Tipp zu Nr. 12b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Füllhöhe im Würfel steigt doppelt so schnell wie im Quader, also muss die Grundfläche ... so groß sein.|2=Tipp zu Nr. 12c|3=Verbergen}}

=====Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck=====
Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen. 

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. 
{{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}
 
{{Box|Übung 12|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben}}

 
{{Box|Übung 13|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz.
* S. 126 Nr. 2
* S. 126 Nr. 4
* S. 126 Nr. 3|Üben}}

{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i) 
Gehe so viele Schritte, wie der NENNER angibt, nach RECHTS und 
so viele Schritte wie der ZÄHLER angibt nach OBEN (m positiv) oder UNTEN (m negativ).|2=Tipp 4 Steigungsdreiecke zu d bis i|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5 Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6 Steigungsdreiecke f,h|Verbergen}}
|Tipps zu S. 126 Nr. 2|Verbergen}}

Zusammenfassung: Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:

{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|800|center}}
 
 
===Der y-Achsenabschnitt b===
 
Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b
 

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von '''m''', also der '''Steigung''' einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter '''b''' für den Graphen der Funktion hat.
 <ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" /> 
{{Lösung versteckt|Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse. 
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)|Beobachtung|Verbergen}}

{{Box|1=Merke: Der y-Achsenabschnitt b|2=Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion. 
Der Graph ist eine Gerade. 
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b). 
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|Übung 14|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}}

{{LearningApp|app=pfeqzdf8521|width=100%|height=600px}}
 

Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b. 
Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst. 
 

===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
 
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung| Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Erklärvideo: {{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div>
</div>

Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png|535x535px]]
 

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png|528x528px]] 

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]

{{Box|Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
<div class="grid">
<div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp|app=phd8q7we221|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp|app=popvxxk2v21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=pw8bbo2st20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp|app=p5mxjgbpt21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=400px}}</div>
 
{{Box|1=Übung 16|2=Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx+b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]|3=Üben}}</div>
 

{{Box|Übung 17|Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft.
* S. 129 Nr. 2
* S. 129 Nr. 4
* S. 130 Nr. 6
* S. 130 Nr. 7|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b. 
https://www.geogebra.org/classic/fuuc9dcy
|Tipp zu S. 129 Nr. 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.
https://www.geogebra.org/classic/qfasm3eg|2=Tipp zu S. 129 Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Für g1 ist das Vorgehen noch einmal in einem Bild gezeigt, für g2, g3, usw. stellen die Schieberegler des GeoGebra-Applets so ein, dass der entsprechende Graph dargestellt ist. Die Funktionsgleichung wird dir dann angezeigt.{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 6 Tipp zu g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh|GeoGebra-Applet zu Nr. 6|Verbergen}}|Tipps zu S. 130 Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen
https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 7 Tipp Steigungsdreiecke.png]]|Tipp Steigungsdreiecke|Verbergen}}
|Tipps zu S. 130 Nr. 7|Verbergen}}
 
 

===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}}

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. 1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) 
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten). 
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.
<div class="grid">
<div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png]]</div>
</div>
Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!

Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div>
</div>
 
{{Box|Übung 18 - online|Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.|Üben}} 
<ggb_applet id="fcgnxdsu" width="775" height="485" border="888888" /> 
Applet von Wolfgang Wengler 
 

{{Box|Übung 19|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 129 Nr. 5 (immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz)
* S. 130 Nr. 8 (Beachte die Alternative zur Partnerarbeit).
Nutze bei Bedarf die Tipps.|Üben}}

{{Lösung versteckt|Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zu S. 129 Nr. 5|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Statt der Partnerarbeit erstelle eine Learningapp, in der den von dir gezeichneten Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden soll. 
Wenn du für die Steigung einen Bruch wählst, kannst du ihn bei den LearningApps auch so schreiben, wie du es aus dem Unterricht kennst, indem du statt 2/3 folgendes schreibst: $$\frac{2}{3}$$|S. 130 Nr. 8 Alternative zur Partnerarbeit|Verbergen}}

 

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|weiter=2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph

2022-06-26T17:21:01Z

Neukirch: Aufgabenstellung ergänzt

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Vorwissen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1 Zuordnungen und Funktionen]] [[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2 Lineare Funktionen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung_und_Funktionsgraph|2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.4 Anwendungen|2.4 Anwendungen]]}}

==Wertetabelle und Funktionsgraph==
{{Box|1=Wertetabelle erstellen|2=Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. 
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5 
Für x = 1 gilt: y = 2 · 1 + 5 
                         = 7 
Für x = 2 gilt: y = 2 · 2 + 5 
                         = 9 
Übertrage die Werte in die Wertetabelle: 
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!}} 4
{{!}} ...
{{!-}}
{{!}} y
{{!}} 5
{{!}} 7
{{!}} 9
{{!}} 11
{{!}} 13
{{!}} ...
{{!)}}
|3=Kurzinfo}}

{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion. 
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen." 
[[Datei:F(x)=2x+5 mit Punkten.png|rahmenlos|500x500px]]
|Kurzinfo}}
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
{{#ev:youtube| EfPX2lmay0c}}
{{Box|Übung 1|Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.|Üben}}
<ggb_applet id="ee7U2NGK" width="1280" height="792" border="888888" />
Applet von Hans Scharrer, jkreitner

{{Box|1=Übung 2|2=Lege jeweils eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen der Funktion. Zeichne a, b und c in ein Koordinatenkreuz und b, d und e in ein zweites Koordinatenkreuz. Nutze verschiedene Farben. 
a) y = x 
b) y = 2x 
c) y = 0,5x 
d) y = 2x + 1 
e) y = 2x - 3 
Fällt dir etwas auf?

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Aufgabe
{{!}} x
{{!}} -3
{{!}} -2
{{!}} -1
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!-}}
{{!}} a)
{{!}}y=x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} b)
{{!}}y=2x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} c)
{{!}}y=0,5x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} d)
{{!}}y=2x+1
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} e)
{{!}}y=2x-3
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!)}}|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen.png|rahmenlos|611x611px]] 
[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen 2.png|rahmenlos|600x600px]]|Vergleiche deine Graphen|Verbergen}}
==Funktionsgleichung und Funktionsgraph==
 

===f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===
 

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
 <ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" />
 
{{Lösung versteckt|1=In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen: 
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse. 
m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.|2=Beobachtungen|3=Verbergen}}

Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0). 
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.
{{Lösung versteckt|Hier geht es zum Kapitel "proportionale Zuordnungen" im Lernpfad der Klasse 7 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Lernpfad_Zuordnungen_und_Dreisatz/Proportionale_Zuordnungen|Proportionale Zuordnungen]]|Erinnerung: proportionale Zuordnungen|Verbergen}}
 

===Die Steigung m===
{{Box|Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Arbeitsmethode}}
 

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss. 
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab. 
 
Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.

<ggb_applet id="ryydnrna" width="863" height="522" border="888888" /> Wenn die Steigung '''m''' steil ist, muss der Maulwurf sehr '''m'''utig sein!

Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft:
<div class="lueckentext-quiz">

Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden: 
Für '''m > 0''' steigt die Gerade und für '''m < 0''' fällt die Gerade. 
Die Gerade steigt flach für '''0< m < 1''' und steil für '''m > 1'''. 
Die Gerade fällt flach für '''-1 < m < 0''' und steil für '''m < -1'''.

</div>

{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps, um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung zu überprüfen.|Üben}}

{{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width=100%|height=400px}}

{{h5p-zum|id=14434|height=300}}

 

{{Box|1=Übung 4|2=Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art: 
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flach fällt." Lösung z.B. f(x) = '''-'''[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
Prüft die Antworten mit GeoGebra.|3=Meinung}}
 
{{Lösung versteckt|Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach? 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen 1.png|rahmenlos|500x500px]] 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png|rahmenlos|646x646px]]|Wie kann ich mit GeoGebra meine Antworten prüfen?|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png|rahmenlos|500x500px]] 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png|rahmenlos|500x500px]]|Dezimalzahlen oder Brüche bei GeoGebra eingeben|Verbergen}}

 
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).

===Das Steigungsdreieck===

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

<ggb_applet id="pjvps3st" width="1458" height="900" border="888888" />

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus <math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math> bleibt immer gleich, dies ist die '''Steigung m'''.
 

{{Box|1=Merke: Die Steigung m|2= Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]=<math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math>
[[Datei:Steigungsdreieck Tafelbild 3.png|rahmenlos|500x500px]]|3=Arbeitsmethode}}
 

{{Box|Das Steigungsdreieck|Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen: 
[[Datei:Steigunsdreieck zwei Möglichkeiten Tina und Tom.JPG|rahmenlos|800x800px]] 
Was meinst du? 
Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.|Meinung}}
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5 
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin. 
<ggb_applet id="gjbxvqr5" width="1200" height="768" border="888888" />
Applet von Buß-Haskert
 
{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
*15
|Üben}}

=====Die Steigung m eines Graphen ablesen=====
Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' bestimmen. 
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. 
 
{{#ev:youtube|7zYsjAdTT5M|800|center|||start=0&end=134}}
 
{{Box|Übung 6|Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. 
Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben}}
 
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl): 
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p4u99frac21|width=100%|heigth=600px}}
 
 
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl: 
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p1e8uj53c21|width=100%|heigth=600px}}
 
 
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv): 
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pyy290xt521|width=100%|heigth=600px}}
 
 
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ): 
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pqf5b16sj21|width=100%|heigth=600px}}
 
 

 
{{Box|Übung 7|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.|Üben}}
{{LearningApp|app=p3f0yxqy321|width=100%|height=800px}}

{{Box|Übung 8|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend.
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/punktaufg.php Level 2]|Üben}}

{{Box|1=Übung 9|2=Löse aus die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere wie folgt: 
g1: f(x) = ... 
g2: f(x) = ... 
* S. 126 Nr. 5
* S. 126 Nr. 6|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke. 
|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 5|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu g6 und g7|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 6|Verbergen}}

 
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).

 
{{Box|1=Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub|2=
* 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
* 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
* 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
* 4. Erfinde selbst ein Beispiel.
Übertrage die Aufgaben in dein Heft, fülle die Wertetabelle aus und zeichne jeweils die Gerade. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und erkläre jeweils den Zusammenhang des Textes zum Steigungsdreieck.|3=Üben}}
{| class="wikitable"
|-
|x
|1
|2
|3
|...
|-
|y-Strecke
|5
|10
|...
|
|-
|y-Eintrittskosten
|13
|...
|
|
|-
|y-Trainingskosten
|...
|
|
|
|-
|}

{{Lösung versteckt|1=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub 
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an. 
Aktivurlaub an der Nordsee: 
1. Familie Mann fährt in den Urlaub an die Nordsee. Für 100 km benötigt ihr Auto ca. 7,8 Liter Benzin. 
2. An einem Rastplatz legen sie eine Pause ein und essen eine Kleinigkeit. Ein Fischbrötchen kostet 1,50€. 
3. Familie Mann möchte im Urlaub an der Nordsee surfen gehen. Für 4 Personen zahlen sie 40€ pro Stunde. 
4. Nach dem Surfen gönnt sich die Familie jeweils eine Kugel Eis zu 1,10€. 
5. Nachmittags gehen sie in der Nordsee schwimmen. Dabei schwimmen sie in 5 Minuten ca. 70m weit. Eine Freundin schwimmt gleichzeitig los, sie benötig für 25m 100 Sekunden. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz) 
Wanderurlaub: 
6. Ein Sportgeschäft bietet Wanderstöcke an. Jeder Stock kostet 25€. 
7. Familie H. unternimmt eine Wanderung. Für die Strecke von 4m benötigen sie 5 Sekunden. 
Familie U. geht ebenfalls wandern. Sie schafft in 10 Minuten 500m. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz.) 
8. Für eine geführte Wanderung durch den Nationalpark zahlt die Familie 15€ pro Stunde. 
9. Zum Picknick während der Wanderung gibt es Obst und Schokoriegel. Ein Riegel kostet 0,60€. 
Reiterferien: 
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€. 
11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€. |2=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 11-Anwendungsaufgaben|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
* S. 127 Nr. 10
* S. 127 Nr. 11
* S. 127 Nr. 12|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne das Steigungsdreieck ein und lies die Werte für Δy und Δx ab. Es gilt m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> |2=Tipp 1 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) Eisenbahn 
Höhenunterschied 40m 
Horizontalunterschied 100m 
m = <math>\tfrac{40}{1000} = \tfrac{4}{100}</math> = 4%.
Lösungen: 4%; 28%; 75%; 90%|2=Tipp 2 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende verschiedene Darstellungen: [[Datei:S. 127 Nr. 11a Darstellungen.jpg|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne jeweils den gegebenen Punkt in ein Koordinatenkreuz und zeichne die Ursprungsgerade. Lies die Steigung m ab und gib die Funktionsgleichung f(x) = mx an.|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Du kannst deine Lösung mithilfe von GeoGebra prüfen: Gib die Koordinaten des gegebenen Punktes ein und zeichne eine Gerade durch den Ursprung und den gegebenen Punkt. Lass dir dann das Steigungsdreieck einzeichnen. Nun kannst du die Funktionsgleichung angeben. Zoome so, dass du das Steigungsdreieck besser erkennen kannst.|Tipp 3 zu Nr. 11|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung lässt sich auch wie in Aufgabe 10 berechnen. m = m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> 
a) m = <math>\tfrac{5}{100} = 0,05</math>, also f(x) = 0,05x 
b) m = <math>\tfrac{275}{25} = \tfrac{11}{1}</math> = 11, also ... 
c) m = <math>\tfrac{320}{8}</math> = 40 ct. 
d) m = <math>\tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}</math>|2=Tipp 4 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Welche Bedeutung haben die x- bzw. y-Achse? Erkläre. 
Welche Bedeutung hat dann ein steiler Verlauf des Graphen? Erkläre.|2=Tipp zu Nr. 12a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Da es sich um Ursprungsgeraden handelt, müssen die Funktionsgleichungen die Form f(x)=mx haben (proportionale Funktionen). Bestimme die Steiung m mit einem geeigneten Steigungsdreieck. 
Welchen Punkt kannst du jeweils ablesen? 
m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> 
m1 = ... = 0,08 
m2 = ... = 0,16|2=Tipp zu Nr. 12b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Füllhöhe im Würfel steigt doppelt so schnell wie im Quader, also muss die Grundfläche ... so groß sein.|2=Tipp zu Nr. 12c|3=Verbergen}}

=====Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck=====
Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen. 

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. 
{{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}
 
{{Box|Übung 12|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben}}

 
{{Box|Übung 13|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz.
* S. 126 Nr. 2
* S. 126 Nr. 4
* S. 126 Nr. 3|Üben}}

{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i) 
Gehe so viele Schritte, wie der NENNER angibt, nach RECHTS und 
so viele Schritte wie der ZÄHLER angibt nach OBEN (m positiv) oder UNTEN (m negativ).|2=Tipp 4 Steigungsdreiecke zu d bis i|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5 Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6 Steigungsdreiecke f,h|Verbergen}}
|Tipps zu S. 126 Nr. 2|Verbergen}}

Zusammenfassung: Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:

{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|800|center}}
 
 
===Der y-Achsenabschnitt b===
 
Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b
 

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von '''m''', also der '''Steigung''' einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter '''b''' für den Graphen der Funktion hat.
 <ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" /> 
{{Lösung versteckt|Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse. 
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)|Beobachtung|Verbergen}}

{{Box|1=Merke: Der y-Achsenabschnitt b|2=Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion. 
Der Graph ist eine Gerade. 
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b). 
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|Übung 14|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}}

{{LearningApp|app=pfeqzdf8521|width=100%|height=600px}}
 

Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b. 
Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst. 
 

===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
 
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung| Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Erklärvideo: {{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div>
</div>

Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png|535x535px]]
 

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png|528x528px]] 

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]

{{Box|Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
<div class="grid">
<div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp|app=phd8q7we221|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp|app=popvxxk2v21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=pw8bbo2st20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp|app=p5mxjgbpt21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=400px}}</div>
 
{{Box|1=Übung 16|2=Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx+b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]|3=Üben}}</div>
 

{{Box|Übung 17|Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft.
* S. 129 Nr. 2
* S. 129 Nr. 4
* S. 130 Nr. 6
* S. 130 Nr. 7|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b. 
https://www.geogebra.org/classic/fuuc9dcy
|Tipp zu S. 129 Nr. 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.
https://www.geogebra.org/classic/qfasm3eg|2=Tipp zu S. 129 Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Für g1 ist das Vorgehen noch einmal in einem Bild gezeigt, für g2, g3, usw. stellen die Schieberegler des GeoGebra-Applets so ein, dass der entsprechende Graph dargestellt ist. Die Funktionsgleichung wird dir dann angezeigt.{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 6 Tipp zu g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh|GeoGebra-Applet zu Nr. 6|Verbergen}}|Tipps zu S. 130 Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen
https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 7 Tipp Steigungsdreiecke.png]]|Tipp Steigungsdreiecke|Verbergen}}
|Tipps zu S. 130 Nr. 7|Verbergen}}
 
 

===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}}

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. 1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) 
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten). 
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.
<div class="grid">
<div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png]]</div>
</div>
Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!

Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div>
</div>
 
{{Box|Übung 18 - online|Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.|Üben}} 
<ggb_applet id="fcgnxdsu" width="775" height="485" border="888888" /> 
Applet von Wolfgang Wengler 
 

{{Box|Übung 19|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 129 Nr. 5 (immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz)
* S. 130 Nr. 8 (Beachte die Alternative zur Partnerarbeit).
Nutze bei Bedarf die Tipps.|Üben}}

{{Lösung versteckt|Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zu S. 129 Nr. 5|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Statt der Partnerarbeit erstelle eine Learningapp, in der den von dir gezeichneten Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden soll. 
Wenn du für die Steigung einen Bruch wählst, kannst du ihn bei den LearningApps auch so schreiben, wie du es aus dem Unterricht kennst, indem du statt 2/3 folgendes schreibst: $$\frac{2}{3}$$|S. 130 Nr. 8 Alternative zur Partnerarbeit|Verbergen}}

 

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|weiter=2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph

2022-06-26T17:18:19Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Vorwissen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1 Zuordnungen und Funktionen]] [[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2 Lineare Funktionen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung_und_Funktionsgraph|2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.4 Anwendungen|2.4 Anwendungen]]}}

==Wertetabelle und Funktionsgraph==
{{Box|1=Wertetabelle erstellen|2=Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. 
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5 
Für x = 1 gilt: y = 2 · 1 + 5 
                         = 7 
Für x = 2 gilt: y = 2 · 2 + 5 
                         = 9 
Übertrage die Werte in die Wertetabelle: 
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!}} 4
{{!}} ...
{{!-}}
{{!}} y
{{!}} 5
{{!}} 7
{{!}} 9
{{!}} 11
{{!}} 13
{{!}} ...
{{!)}}
|3=Kurzinfo}}

{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion. 
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen." 
[[Datei:F(x)=2x+5 mit Punkten.png|rahmenlos|500x500px]]
|Kurzinfo}}
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
{{#ev:youtube| EfPX2lmay0c}}
{{Box|Übung 1|Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.|Üben}}
<ggb_applet id="ee7U2NGK" width="1280" height="792" border="888888" />
Applet von Hans Scharrer, jkreitner

{{Box|1=Übung 2|2=Lege jeweils eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen der Funktion. Zeichne a, b und c in ein Koordinatenkreuz und b, d und e in ein zweites Koordinatenkreuz. Nutze verschiedene Farben. 
a) y = x 
b) y = 2x 
c) y = 0,5x 
d) y = 2x + 1 
e) y = 2x - 3 
Fällt dir etwas auf?

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Aufgabe
{{!}} x
{{!}} -3
{{!}} -2
{{!}} -1
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!-}}
{{!}} a)
{{!}}y=x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} b)
{{!}}y=2x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} c)
{{!}}y=0,5x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} d)
{{!}}y=2x+1
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} e)
{{!}}y=2x-3
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!)}}|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen.png|rahmenlos|611x611px]] 
[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen 2.png|rahmenlos|600x600px]]|Vergleiche deine Graphen|Verbergen}}
==Funktionsgleichung und Funktionsgraph==
 

===f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===
 

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
 <ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" />
 
{{Lösung versteckt|1=In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen: 
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse. 
m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.|2=Beobachtungen|3=Verbergen}}

Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0). 
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.
{{Lösung versteckt|Hier geht es zum Kapitel "proportionale Zuordnungen" im Lernpfad der Klasse 7 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Lernpfad_Zuordnungen_und_Dreisatz/Proportionale_Zuordnungen|Proportionale Zuordnungen]]|Erinnerung: proportionale Zuordnungen|Verbergen}}
 

===Die Steigung m===
{{Box|Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Arbeitsmethode}}
 

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss. 
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab. 
 
Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.

<ggb_applet id="ryydnrna" width="863" height="522" border="888888" /> Wenn die Steigung '''m''' steil ist, muss der Maulwurf sehr '''m'''utig sein!

Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft:
<div class="lueckentext-quiz">

Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden: 
Für '''m > 0''' steigt die Gerade und für '''m < 0''' fällt die Gerade. 
Die Gerade steigt flach für '''0< m < 1''' und steil für '''m > 1'''. 
Die Gerade fällt flach für '''-1 < m < 0''' und steil für '''m < -1'''.

</div>

{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben}}

{{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width=100%|height=400px}}

{{h5p-zum|id=14434|height=300}}

 

{{Box|1=Übung 4|2=Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art: 
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flach fällt." Lösung z.B. f(x) = '''-'''[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
Prüft die Antworten mit GeoGebra.|3=Meinung}}
 
{{Lösung versteckt|Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach? 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen 1.png|rahmenlos|500x500px]] 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png|rahmenlos|646x646px]]|Wie kann ich mit GeoGebra meine Antworten prüfen?|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png|rahmenlos|500x500px]] 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png|rahmenlos|500x500px]]|Dezimalzahlen oder Brüche bei GeoGebra eingeben|Verbergen}}

 
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).

===Das Steigungsdreieck===

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

<ggb_applet id="pjvps3st" width="1458" height="900" border="888888" />

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus <math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math> bleibt immer gleich, dies ist die '''Steigung m'''.
 

{{Box|1=Merke: Die Steigung m|2= Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]=<math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math>
[[Datei:Steigungsdreieck Tafelbild 3.png|rahmenlos|500x500px]]|3=Arbeitsmethode}}
 

{{Box|Das Steigungsdreieck|Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen: 
[[Datei:Steigunsdreieck zwei Möglichkeiten Tina und Tom.JPG|rahmenlos|800x800px]] 
Was meinst du? 
Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.|Meinung}}
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5 
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin. 
<ggb_applet id="gjbxvqr5" width="1200" height="768" border="888888" />
Applet von Buß-Haskert
 
{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
*15
|Üben}}

=====Die Steigung m eines Graphen ablesen=====
Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' bestimmen. 
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. 
 
{{#ev:youtube|7zYsjAdTT5M|800|center|||start=0&end=134}}
 
{{Box|Übung 6|Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. 
Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben}}
 
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl): 
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p4u99frac21|width=100%|heigth=600px}}
 
 
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl: 
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p1e8uj53c21|width=100%|heigth=600px}}
 
 
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv): 
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pyy290xt521|width=100%|heigth=600px}}
 
 
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ): 
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pqf5b16sj21|width=100%|heigth=600px}}
 
 

 
{{Box|Übung 7|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.|Üben}}
{{LearningApp|app=p3f0yxqy321|width=100%|height=800px}}

{{Box|Übung 8|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend.
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/punktaufg.php Level 2]|Üben}}

{{Box|1=Übung 9|2=Löse aus die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere wie folgt: 
g1: f(x) = ... 
g2: f(x) = ... 
* S. 126 Nr. 5
* S. 126 Nr. 6|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke. 
|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 5|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu g6 und g7|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 6|Verbergen}}

 
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).

 
{{Box|1=Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub|2=
* 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
* 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
* 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
* 4. Erfinde selbst ein Beispiel.
Übertrage die Aufgaben in dein Heft, fülle die Wertetabelle aus und zeichne jeweils die Gerade. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und erkläre jeweils den Zusammenhang des Textes zum Steigungsdreieck.|3=Üben}}
{| class="wikitable"
|-
|x
|1
|2
|3
|...
|-
|y-Strecke
|5
|10
|...
|
|-
|y-Eintrittskosten
|13
|...
|
|
|-
|y-Trainingskosten
|...
|
|
|
|-
|}

{{Lösung versteckt|1=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub 
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an. 
Aktivurlaub an der Nordsee: 
1. Familie Mann fährt in den Urlaub an die Nordsee. Für 100 km benötigt ihr Auto ca. 7,8 Liter Benzin. 
2. An einem Rastplatz legen sie eine Pause ein und essen eine Kleinigkeit. Ein Fischbrötchen kostet 1,50€. 
3. Familie Mann möchte im Urlaub an der Nordsee surfen gehen. Für 4 Personen zahlen sie 40€ pro Stunde. 
4. Nach dem Surfen gönnt sich die Familie jeweils eine Kugel Eis zu 1,10€. 
5. Nachmittags gehen sie in der Nordsee schwimmen. Dabei schwimmen sie in 5 Minuten ca. 70m weit. Eine Freundin schwimmt gleichzeitig los, sie benötig für 25m 100 Sekunden. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz) 
Wanderurlaub: 
6. Ein Sportgeschäft bietet Wanderstöcke an. Jeder Stock kostet 25€. 
7. Familie H. unternimmt eine Wanderung. Für die Strecke von 4m benötigen sie 5 Sekunden. 
Familie U. geht ebenfalls wandern. Sie schafft in 10 Minuten 500m. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz.) 
8. Für eine geführte Wanderung durch den Nationalpark zahlt die Familie 15€ pro Stunde. 
9. Zum Picknick während der Wanderung gibt es Obst und Schokoriegel. Ein Riegel kostet 0,60€. 
Reiterferien: 
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€. 
11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€. |2=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 11-Anwendungsaufgaben|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
* S. 127 Nr. 10
* S. 127 Nr. 11
* S. 127 Nr. 12|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne das Steigungsdreieck ein und lies die Werte für Δy und Δx ab. Es gilt m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> |2=Tipp 1 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) Eisenbahn 
Höhenunterschied 40m 
Horizontalunterschied 100m 
m = <math>\tfrac{40}{1000} = \tfrac{4}{100}</math> = 4%.
Lösungen: 4%; 28%; 75%; 90%|2=Tipp 2 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende verschiedene Darstellungen: [[Datei:S. 127 Nr. 11a Darstellungen.jpg|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne jeweils den gegebenen Punkt in ein Koordinatenkreuz und zeichne die Ursprungsgerade. Lies die Steigung m ab und gib die Funktionsgleichung f(x) = mx an.|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Du kannst deine Lösung mithilfe von GeoGebra prüfen: Gib die Koordinaten des gegebenen Punktes ein und zeichne eine Gerade durch den Ursprung und den gegebenen Punkt. Lass dir dann das Steigungsdreieck einzeichnen. Nun kannst du die Funktionsgleichung angeben. Zoome so, dass du das Steigungsdreieck besser erkennen kannst.|Tipp 3 zu Nr. 11|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung lässt sich auch wie in Aufgabe 10 berechnen. m = m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> 
a) m = <math>\tfrac{5}{100} = 0,05</math>, also f(x) = 0,05x 
b) m = <math>\tfrac{275}{25} = \tfrac{11}{1}</math> = 11, also ... 
c) m = <math>\tfrac{320}{8}</math> = 40 ct. 
d) m = <math>\tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}</math>|2=Tipp 4 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Welche Bedeutung haben die x- bzw. y-Achse? Erkläre. 
Welche Bedeutung hat dann ein steiler Verlauf des Graphen? Erkläre.|2=Tipp zu Nr. 12a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Da es sich um Ursprungsgeraden handelt, müssen die Funktionsgleichungen die Form f(x)=mx haben (proportionale Funktionen). Bestimme die Steiung m mit einem geeigneten Steigungsdreieck. 
Welchen Punkt kannst du jeweils ablesen? 
m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> 
m1 = ... = 0,08 
m2 = ... = 0,16|2=Tipp zu Nr. 12b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Füllhöhe im Würfel steigt doppelt so schnell wie im Quader, also muss die Grundfläche ... so groß sein.|2=Tipp zu Nr. 12c|3=Verbergen}}

=====Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck=====
Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen. 

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. 
{{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}
 
{{Box|Übung 12|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben}}

 
{{Box|Übung 13|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz.
* S. 126 Nr. 2
* S. 126 Nr. 4
* S. 126 Nr. 3|Üben}}

{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i) 
Gehe so viele Schritte, wie der NENNER angibt, nach RECHTS und 
so viele Schritte wie der ZÄHLER angibt nach OBEN (m positiv) oder UNTEN (m negativ).|2=Tipp 4 Steigungsdreiecke zu d bis i|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5 Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6 Steigungsdreiecke f,h|Verbergen}}
|Tipps zu S. 126 Nr. 2|Verbergen}}

Zusammenfassung: Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:

{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|800|center}}
 
 
===Der y-Achsenabschnitt b===
 
Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b
 

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von '''m''', also der '''Steigung''' einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter '''b''' für den Graphen der Funktion hat.
 <ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" /> 
{{Lösung versteckt|Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse. 
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)|Beobachtung|Verbergen}}

{{Box|1=Merke: Der y-Achsenabschnitt b|2=Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion. 
Der Graph ist eine Gerade. 
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b). 
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|Übung 14|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}}

{{LearningApp|app=pfeqzdf8521|width=100%|height=600px}}
 

Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b. 
Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst. 
 

===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
 
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung| Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Erklärvideo: {{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div>
</div>

Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png|535x535px]]
 

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png|528x528px]] 

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]

{{Box|Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
<div class="grid">
<div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp|app=phd8q7we221|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp|app=popvxxk2v21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=pw8bbo2st20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp|app=p5mxjgbpt21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=400px}}</div>
 
{{Box|1=Übung 16|2=Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx+b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]|3=Üben}}</div>
 

{{Box|Übung 17|Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft.
* S. 129 Nr. 2
* S. 129 Nr. 4
* S. 130 Nr. 6
* S. 130 Nr. 7|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b. 
https://www.geogebra.org/classic/fuuc9dcy
|Tipp zu S. 129 Nr. 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.
https://www.geogebra.org/classic/qfasm3eg|2=Tipp zu S. 129 Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Für g1 ist das Vorgehen noch einmal in einem Bild gezeigt, für g2, g3, usw. stellen die Schieberegler des GeoGebra-Applets so ein, dass der entsprechende Graph dargestellt ist. Die Funktionsgleichung wird dir dann angezeigt.{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 6 Tipp zu g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh|GeoGebra-Applet zu Nr. 6|Verbergen}}|Tipps zu S. 130 Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen
https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 7 Tipp Steigungsdreiecke.png]]|Tipp Steigungsdreiecke|Verbergen}}
|Tipps zu S. 130 Nr. 7|Verbergen}}
 
 

===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}}

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. 1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) 
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten). 
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.
<div class="grid">
<div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png]]</div>
</div>
Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!

Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div>
</div>
 
{{Box|Übung 18 - online|Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.|Üben}} 
<ggb_applet id="fcgnxdsu" width="775" height="485" border="888888" /> 
Applet von Wolfgang Wengler 
 

{{Box|Übung 19|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 129 Nr. 5 (immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz)
* S. 130 Nr. 8 (Beachte die Alternative zur Partnerarbeit).
Nutze bei Bedarf die Tipps.|Üben}}

{{Lösung versteckt|Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zu S. 129 Nr. 5|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Statt der Partnerarbeit erstelle eine Learningapp, in der den von dir gezeichneten Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden soll. 
Wenn du für die Steigung einen Bruch wählst, kannst du ihn bei den LearningApps auch so schreiben, wie du es aus dem Unterricht kennst, indem du statt 2/3 folgendes schreibst: $$\frac{2}{3}$$|S. 130 Nr. 8 Alternative zur Partnerarbeit|Verbergen}}

 

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|weiter=2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph

2022-06-26T17:17:46Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Vorwissen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1 Zuordnungen und Funktionen]] [[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2 Lineare Funktionen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung_und_Funktionsgraph|2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.4 Anwendungen|2.4 Anwendungen]]}}

==Wertetabelle und Funktionsgraph==
{{Box|1=Wertetabelle erstellen|2=Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. 
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5 
Für x = 1 gilt: y = 2· 1 + 5 
                         = 7 
Für x = 2 gilt: y = 2· 2 + 5 
                         = 9 
Übertrage die Werte in die Wertetabelle: 
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!}} 4
{{!}} ...
{{!-}}
{{!}} y
{{!}} 5
{{!}} 7
{{!}} 9
{{!}} 11
{{!}} 13
{{!}} ...
{{!)}}
|3=Kurzinfo}}

{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion. 
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen." 
[[Datei:F(x)=2x+5 mit Punkten.png|rahmenlos|500x500px]]
|Kurzinfo}}
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
{{#ev:youtube| EfPX2lmay0c}}
{{Box|Übung 1|Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.|Üben}}
<ggb_applet id="ee7U2NGK" width="1280" height="792" border="888888" />
Applet von Hans Scharrer, jkreitner

{{Box|1=Übung 2|2=Lege jeweils eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen der Funktion. Zeichne a, b und c in ein Koordinatenkreuz und b, d und e in ein zweites Koordinatenkreuz. Nutze verschiedene Farben. 
a) y = x 
b) y = 2x 
c) y = 0,5x 
d) y = 2x + 1 
e) y = 2x - 3 
Fällt dir etwas auf?

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Aufgabe
{{!}} x
{{!}} -3
{{!}} -2
{{!}} -1
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!-}}
{{!}} a)
{{!}}y=x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} b)
{{!}}y=2x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} c)
{{!}}y=0,5x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} d)
{{!}}y=2x+1
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} e)
{{!}}y=2x-3
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!)}}|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen.png|rahmenlos|611x611px]] 
[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen 2.png|rahmenlos|600x600px]]|Vergleiche deine Graphen|Verbergen}}
==Funktionsgleichung und Funktionsgraph==
 

===f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===
 

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
 <ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" />
 
{{Lösung versteckt|1=In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen: 
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse. 
m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.|2=Beobachtungen|3=Verbergen}}

Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0). 
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.
{{Lösung versteckt|Hier geht es zum Kapitel "proportionale Zuordnungen" im Lernpfad der Klasse 7 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Lernpfad_Zuordnungen_und_Dreisatz/Proportionale_Zuordnungen|Proportionale Zuordnungen]]|Erinnerung: proportionale Zuordnungen|Verbergen}}
 

===Die Steigung m===
{{Box|Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Arbeitsmethode}}
 

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss. 
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab. 
 
Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.

<ggb_applet id="ryydnrna" width="863" height="522" border="888888" /> Wenn die Steigung '''m''' steil ist, muss der Maulwurf sehr '''m'''utig sein!

Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft:
<div class="lueckentext-quiz">

Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden: 
Für '''m > 0''' steigt die Gerade und für '''m < 0''' fällt die Gerade. 
Die Gerade steigt flach für '''0< m < 1''' und steil für '''m > 1'''. 
Die Gerade fällt flach für '''-1 < m < 0''' und steil für '''m < -1'''.

</div>

{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben}}

{{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width=100%|height=400px}}

{{h5p-zum|id=14434|height=300}}

 

{{Box|1=Übung 4|2=Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art: 
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flach fällt." Lösung z.B. f(x) = '''-'''[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
Prüft die Antworten mit GeoGebra.|3=Meinung}}
 
{{Lösung versteckt|Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach? 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen 1.png|rahmenlos|500x500px]] 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png|rahmenlos|646x646px]]|Wie kann ich mit GeoGebra meine Antworten prüfen?|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png|rahmenlos|500x500px]] 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png|rahmenlos|500x500px]]|Dezimalzahlen oder Brüche bei GeoGebra eingeben|Verbergen}}

 
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).

===Das Steigungsdreieck===

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

<ggb_applet id="pjvps3st" width="1458" height="900" border="888888" />

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus <math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math> bleibt immer gleich, dies ist die '''Steigung m'''.
 

{{Box|1=Merke: Die Steigung m|2= Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]=<math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math>
[[Datei:Steigungsdreieck Tafelbild 3.png|rahmenlos|500x500px]]|3=Arbeitsmethode}}
 

{{Box|Das Steigungsdreieck|Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen: 
[[Datei:Steigunsdreieck zwei Möglichkeiten Tina und Tom.JPG|rahmenlos|800x800px]] 
Was meinst du? 
Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.|Meinung}}
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5 
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin. 
<ggb_applet id="gjbxvqr5" width="1200" height="768" border="888888" />
Applet von Buß-Haskert
 
{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
*15
|Üben}}

=====Die Steigung m eines Graphen ablesen=====
Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' bestimmen. 
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. 
 
{{#ev:youtube|7zYsjAdTT5M|800|center|||start=0&end=134}}
 
{{Box|Übung 6|Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. 
Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben}}
 
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl): 
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p4u99frac21|width=100%|heigth=600px}}
 
 
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl: 
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p1e8uj53c21|width=100%|heigth=600px}}
 
 
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv): 
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pyy290xt521|width=100%|heigth=600px}}
 
 
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ): 
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pqf5b16sj21|width=100%|heigth=600px}}
 
 

 
{{Box|Übung 7|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.|Üben}}
{{LearningApp|app=p3f0yxqy321|width=100%|height=800px}}

{{Box|Übung 8|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend.
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/punktaufg.php Level 2]|Üben}}

{{Box|1=Übung 9|2=Löse aus die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere wie folgt: 
g1: f(x) = ... 
g2: f(x) = ... 
* S. 126 Nr. 5
* S. 126 Nr. 6|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke. 
|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 5|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu g6 und g7|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 6|Verbergen}}

 
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).

 
{{Box|1=Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub|2=
* 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
* 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
* 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
* 4. Erfinde selbst ein Beispiel.
Übertrage die Aufgaben in dein Heft, fülle die Wertetabelle aus und zeichne jeweils die Gerade. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und erkläre jeweils den Zusammenhang des Textes zum Steigungsdreieck.|3=Üben}}
{| class="wikitable"
|-
|x
|1
|2
|3
|...
|-
|y-Strecke
|5
|10
|...
|
|-
|y-Eintrittskosten
|13
|...
|
|
|-
|y-Trainingskosten
|...
|
|
|
|-
|}

{{Lösung versteckt|1=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub 
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an. 
Aktivurlaub an der Nordsee: 
1. Familie Mann fährt in den Urlaub an die Nordsee. Für 100 km benötigt ihr Auto ca. 7,8 Liter Benzin. 
2. An einem Rastplatz legen sie eine Pause ein und essen eine Kleinigkeit. Ein Fischbrötchen kostet 1,50€. 
3. Familie Mann möchte im Urlaub an der Nordsee surfen gehen. Für 4 Personen zahlen sie 40€ pro Stunde. 
4. Nach dem Surfen gönnt sich die Familie jeweils eine Kugel Eis zu 1,10€. 
5. Nachmittags gehen sie in der Nordsee schwimmen. Dabei schwimmen sie in 5 Minuten ca. 70m weit. Eine Freundin schwimmt gleichzeitig los, sie benötig für 25m 100 Sekunden. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz) 
Wanderurlaub: 
6. Ein Sportgeschäft bietet Wanderstöcke an. Jeder Stock kostet 25€. 
7. Familie H. unternimmt eine Wanderung. Für die Strecke von 4m benötigen sie 5 Sekunden. 
Familie U. geht ebenfalls wandern. Sie schafft in 10 Minuten 500m. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz.) 
8. Für eine geführte Wanderung durch den Nationalpark zahlt die Familie 15€ pro Stunde. 
9. Zum Picknick während der Wanderung gibt es Obst und Schokoriegel. Ein Riegel kostet 0,60€. 
Reiterferien: 
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€. 
11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€. |2=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 11-Anwendungsaufgaben|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
* S. 127 Nr. 10
* S. 127 Nr. 11
* S. 127 Nr. 12|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne das Steigungsdreieck ein und lies die Werte für Δy und Δx ab. Es gilt m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> |2=Tipp 1 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) Eisenbahn 
Höhenunterschied 40m 
Horizontalunterschied 100m 
m = <math>\tfrac{40}{1000} = \tfrac{4}{100}</math> = 4%.
Lösungen: 4%; 28%; 75%; 90%|2=Tipp 2 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende verschiedene Darstellungen: [[Datei:S. 127 Nr. 11a Darstellungen.jpg|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne jeweils den gegebenen Punkt in ein Koordinatenkreuz und zeichne die Ursprungsgerade. Lies die Steigung m ab und gib die Funktionsgleichung f(x) = mx an.|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Du kannst deine Lösung mithilfe von GeoGebra prüfen: Gib die Koordinaten des gegebenen Punktes ein und zeichne eine Gerade durch den Ursprung und den gegebenen Punkt. Lass dir dann das Steigungsdreieck einzeichnen. Nun kannst du die Funktionsgleichung angeben. Zoome so, dass du das Steigungsdreieck besser erkennen kannst.|Tipp 3 zu Nr. 11|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung lässt sich auch wie in Aufgabe 10 berechnen. m = m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> 
a) m = <math>\tfrac{5}{100} = 0,05</math>, also f(x) = 0,05x 
b) m = <math>\tfrac{275}{25} = \tfrac{11}{1}</math> = 11, also ... 
c) m = <math>\tfrac{320}{8}</math> = 40 ct. 
d) m = <math>\tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}</math>|2=Tipp 4 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Welche Bedeutung haben die x- bzw. y-Achse? Erkläre. 
Welche Bedeutung hat dann ein steiler Verlauf des Graphen? Erkläre.|2=Tipp zu Nr. 12a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Da es sich um Ursprungsgeraden handelt, müssen die Funktionsgleichungen die Form f(x)=mx haben (proportionale Funktionen). Bestimme die Steiung m mit einem geeigneten Steigungsdreieck. 
Welchen Punkt kannst du jeweils ablesen? 
m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> 
m1 = ... = 0,08 
m2 = ... = 0,16|2=Tipp zu Nr. 12b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Füllhöhe im Würfel steigt doppelt so schnell wie im Quader, also muss die Grundfläche ... so groß sein.|2=Tipp zu Nr. 12c|3=Verbergen}}

=====Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck=====
Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen. 

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. 
{{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}
 
{{Box|Übung 12|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben}}

 
{{Box|Übung 13|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz.
* S. 126 Nr. 2
* S. 126 Nr. 4
* S. 126 Nr. 3|Üben}}

{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i) 
Gehe so viele Schritte, wie der NENNER angibt, nach RECHTS und 
so viele Schritte wie der ZÄHLER angibt nach OBEN (m positiv) oder UNTEN (m negativ).|2=Tipp 4 Steigungsdreiecke zu d bis i|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5 Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6 Steigungsdreiecke f,h|Verbergen}}
|Tipps zu S. 126 Nr. 2|Verbergen}}

Zusammenfassung: Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:

{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|800|center}}
 
 
===Der y-Achsenabschnitt b===
 
Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b
 

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von '''m''', also der '''Steigung''' einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter '''b''' für den Graphen der Funktion hat.
 <ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" /> 
{{Lösung versteckt|Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse. 
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)|Beobachtung|Verbergen}}

{{Box|1=Merke: Der y-Achsenabschnitt b|2=Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion. 
Der Graph ist eine Gerade. 
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b). 
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|Übung 14|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}}

{{LearningApp|app=pfeqzdf8521|width=100%|height=600px}}
 

Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b. 
Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst. 
 

===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
 
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung| Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Erklärvideo: {{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div>
</div>

Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png|535x535px]]
 

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png|528x528px]] 

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]

{{Box|Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
<div class="grid">
<div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp|app=phd8q7we221|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp|app=popvxxk2v21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=pw8bbo2st20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp|app=p5mxjgbpt21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=400px}}</div>
 
{{Box|1=Übung 16|2=Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx+b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]|3=Üben}}</div>
 

{{Box|Übung 17|Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft.
* S. 129 Nr. 2
* S. 129 Nr. 4
* S. 130 Nr. 6
* S. 130 Nr. 7|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b. 
https://www.geogebra.org/classic/fuuc9dcy
|Tipp zu S. 129 Nr. 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.
https://www.geogebra.org/classic/qfasm3eg|2=Tipp zu S. 129 Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Für g1 ist das Vorgehen noch einmal in einem Bild gezeigt, für g2, g3, usw. stellen die Schieberegler des GeoGebra-Applets so ein, dass der entsprechende Graph dargestellt ist. Die Funktionsgleichung wird dir dann angezeigt.{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 6 Tipp zu g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh|GeoGebra-Applet zu Nr. 6|Verbergen}}|Tipps zu S. 130 Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen
https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 7 Tipp Steigungsdreiecke.png]]|Tipp Steigungsdreiecke|Verbergen}}
|Tipps zu S. 130 Nr. 7|Verbergen}}
 
 

===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}}

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. 1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) 
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten). 
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.
<div class="grid">
<div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png]]</div>
</div>
Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!

Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div>
</div>
 
{{Box|Übung 18 - online|Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.|Üben}} 
<ggb_applet id="fcgnxdsu" width="775" height="485" border="888888" /> 
Applet von Wolfgang Wengler 
 

{{Box|Übung 19|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 129 Nr. 5 (immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz)
* S. 130 Nr. 8 (Beachte die Alternative zur Partnerarbeit).
Nutze bei Bedarf die Tipps.|Üben}}

{{Lösung versteckt|Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zu S. 129 Nr. 5|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Statt der Partnerarbeit erstelle eine Learningapp, in der den von dir gezeichneten Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden soll. 
Wenn du für die Steigung einen Bruch wählst, kannst du ihn bei den LearningApps auch so schreiben, wie du es aus dem Unterricht kennst, indem du statt 2/3 folgendes schreibst: $$\frac{2}{3}$$|S. 130 Nr. 8 Alternative zur Partnerarbeit|Verbergen}}

 

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|weiter=2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen

2022-06-26T17:15:40Z

Neukirch:

Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph

2022-06-08T04:15:07Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|Vorwissen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/1) Zuordnungen und Funktionen| 1 Zuordnungen und Funktionen]] [[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2 Lineare Funktionen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen|2.1 Lineare Funktionen erkennen und darstellen]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.2 Funktionsgleichung_und_Funktionsgraph|2.2 Funktionsgleichung und Funktionsgraph]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung]] 
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.4 Anwendungen|2.4 Anwendungen]]}}

==Wertetabelle und Funktionsgraph==
{{Box|1=Wertetabelle erstellen|2=Berechne den y-Wert der Funktion, indem du den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. 
Beispiel Bootsverleih: y = 2x + 5 
Für x = 1 gilt: y = 2· 1 + 5 
                         = 7 
Für x = 2 gilt: y = 2· 2 + 5 
                         = 9 
Übertrage die Werte in die Wertetabelle: 
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} x
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!}} 4
{{!}} ...
{{!-}}
{{!}} y
{{!}} 5
{{!}} 7
{{!}} 9
{{!}} 11
{{!}} 13
{{!}} ...
{{!)}}
|3=Kurzinfo}}

{{Box|Funktionsgraphen zeichnen|Trage die Punkte der Wertetabelle in ein Koordinatenkreuz ein und zeichne den Graphen der Funktion. 
Erinnerung:"Zuerst nach rechts und dann nach oben, dann werde ich dich loben" bzw. "Zuerst Anlauf nehmen, dann hoch springen." 
[[Datei:F(x)=2x+5 mit Punkten.png|rahmenlos|500x500px]]
|Kurzinfo}}
Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
{{#ev:youtube| EfPX2lmay0c}}
{{Box|Übung 1|Bearbeite das nachfolgende Applet. Löse mindestens 5 Aufgaben.|Üben}}
<ggb_applet id="ee7U2NGK" width="1280" height="792" border="888888" />
Applet von Hans Scharrer, jkreitner

{{Box|1=Übung 2|2=Lege jeweils eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen der Funktion. Zeichne a,b und c in ein Koordinatenkreuz und b, d und e in ein zweites Koordinatenkreuz. Nutze verschiedene Farben. 
a) y = x 
b) y = 2x 
c) y = 0,5x 
d) y = 2x + 1 
e) y = 2x - 3 
Fällt dir etwas auf?

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Aufgabe
{{!}} x
{{!}} -3
{{!}} -2
{{!}} -1
{{!}} 0
{{!}} 1
{{!}} 2
{{!}} 3
{{!-}}
{{!}} a)
{{!}}y=x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} b)
{{!}}y=2x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} c)
{{!}}y=0,5x
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} d)
{{!}}y=2x+1
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!-}}
{{!}} e)
{{!}}y=2x-3
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!)}}|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen.png|rahmenlos|611x611px]] 
[[Datei:Lösung Übung 2 Lineare Funktionen 2.png|rahmenlos|600x600px]]|Vergleiche deine Graphen|Verbergen}}
==Funktionsgleichung und Funktionsgraph==
 

===f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===
 

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.
 <ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" />
 
{{Lösung versteckt|1=In der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x)= m·x + b haben die Parameter m und b verschiedene Bedeutungen: 
b ist der y-Achsenabschnitt, im Punkt P(0|b) schneidet die Gerade die y-Achse. 
m ist die Steigung der Funktion, der Graph verläuft steigend oder fallend, je steil oder flach.|2=Beobachtungen|3=Verbergen}}

Nun schauen wir uns die Steigung m genauer an. Dazu wählen wir den y-Achsenabschnitt b = 0, die Gerade geht also durch den Ursprung (0|0). 
Erinnerung: Diese Funktionen heißen "proportionale Funktionen", da ihr Graph eine Ursprungsgerade ist.
{{Lösung versteckt|Hier geht es zum Kapitel "proportionale Zuordnungen" im Lernpfad der Klasse 7 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Lernpfad_Zuordnungen_und_Dreisatz/Proportionale_Zuordnungen|Proportionale Zuordnungen]]|Erinnerung: proportionale Zuordnungen|Verbergen}}
 

===Die Steigung m===
{{Box|Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Arbeitsmethode}}
 

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss. 
Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab. 
 
Um zu unterscheiden, ob eine Gerade steil oder flach verläuft (steigt oder fällt), beobachte in der nächsten Simulation den Maulwurf, der seinen Maulwurfshügel hinaufklettert.

<ggb_applet id="ryydnrna" width="863" height="522" border="888888" /> Wenn die Steigung '''m''' steil ist, muss der Maulwurf sehr '''m'''utig sein!

Fülle den nachfolgenden Lückentext aus und übertrage ihn in dein Heft:
<div class="lueckentext-quiz">

Die Steigung m einer proportionalen (linearen) Funktion f(x) = mx bestimmt den Verlauf der Geraden: 
Für '''m > 0''' steigt die Gerade und für '''m < 0''' fällt die Gerade. 
Die Gerade steigt flach für '''0< m < 1''' und steil für '''m > 1'''. 
Die Gerade fällt flach für '''-1 < m < 0''' und steil für '''m < -1'''.

</div>

{{Box|Übung 3: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben}}

{{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width=100%|height=400px}}

{{h5p-zum|id=14434|height=300}}

 

{{Box|1=Übung 4|2=Erfinde Aufgaben für deinen Sitznachbarn in der Art: 
"Nenne mir eine proportionale Funktion, deren Graph flach fällt." Lösung z.B. f(x) = '''-'''[[Datei:Einhalb grün.png|rahmenlos|30x30px]]x.
Prüft die Antworten mit GeoGebra.|3=Meinung}}
 
{{Lösung versteckt|Öffne die App GeoGebra und gib die Funktionsgleichung ein. Der zugehörige Graph wird sofort angezeigt. Steigt oder fällt dieser, steil oder flach? 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen 1.png|rahmenlos|500x500px]] 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen f(x) = 2x.png|rahmenlos|646x646px]]|Wie kann ich mit GeoGebra meine Antworten prüfen?|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Dezimalzahlen f(x) = -1,5x.png|rahmenlos|500x500px]] 
[[Datei:GeoGebra Graphen zeichnen Brüche f(x) = einhalb x.png|rahmenlos|500x500px]]|Dezimalzahlen oder Brüche bei GeoGebra eingeben|Verbergen}}

 
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).

===Das Steigungsdreieck===

Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

<ggb_applet id="pjvps3st" width="1458" height="900" border="888888" />

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus <math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math> bleibt immer gleich, dies ist die '''Steigung m'''.
 

{{Box|1=Merke: Die Steigung m|2= Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]=<math>\tfrac{\text{Dreieckshöhe y}}{\text{Dreiecksbreite x}}</math>
[[Datei:Steigungsdreieck Tafelbild 3.png|rahmenlos|500x500px]]|3=Arbeitsmethode}}
 

{{Box|Das Steigungsdreieck|Tina und Tom diskutieren darüber, wie sie das Steigungsdreieck einer linearen Funktion zeichnen: 
[[Datei:Steigunsdreieck zwei Möglichkeiten Tina und Tom.JPG|rahmenlos|800x800px]] 
Was meinst du? 
Nutze das nachfolgende GeoGebra-Applet und diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner.|Meinung}}
Originallink zum Applet: https://www.geogebra.org/m/gjbxvqr5 
Du kannst das jeweilige Steigungsdreieck einblenden lassen. Verschiebe das Steigungsdreieck durch Verschieben der angezeigten Punkte. Diskutiere deine Beobachtungen mit deinem Partner/deiner Partnerin. 
<ggb_applet id="gjbxvqr5" width="1200" height="768" border="888888" />
Applet von Buß-Haskert
 
{{Box|Übung 5|Löse auf der Seite [https://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/funktion/funktion.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
*15
|Üben}}

=====Die Steigung m eines Graphen ablesen=====
Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben (also eine Gerade im Koordinatensystem), kannst du die Steigung m mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' bestimmen. 
Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei einem gegebenen Graphen ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. 
 
{{#ev:youtube|7zYsjAdTT5M|800|center|||start=0&end=134}}
 
{{Box|Übung 6|Die Bilder zeigen dir noch einmal, wie du ein Steigungsdreieck einzeichnest und damit die Steigung m bestimmst. 
Übertrage jeweils das Beispiel in dein Heft und bearbeite anschließend die LearningApp.|Üben}}
 
1. Beispiel: m ist eine positive ganze Zahl (also eine natürliche Zahl): 
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p4u99frac21|width=100%|heigth=600px}}
 
 
2. Beispiel: m ist eine negative ganze Zahl: 
[[Datei:Steigungsdreieck m ganze Zahl (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=p1e8uj53c21|width=100%|heigth=600px}}
 
 
3. Beispiel: m ist ein Bruch (positiv): 
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (positiv).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pyy290xt521|width=100%|heigth=600px}}
 
 
4. Beispiel: m ist ein Bruch (negativ): 
[[Datei:Steigungsdreieck m Bruch (negativ).png|rahmenlos|500x500px]]
{{LearningApp|app=pqf5b16sj21|width=100%|heigth=600px}}
 
 

 
{{Box|Übung 7|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab.|Üben}}
{{LearningApp|app=p3f0yxqy321|width=100%|height=800px}}

{{Box|Übung 8|Lies jeweils am Steigungsdreieck die Steigung m der Geraden ab. Verschiebe dazu den Punkt auf dem Graphen passend.
Bearbeite je so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradeablesen.php Level 1]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linearefunktion/punktaufg.php Level 2]|Üben}}

{{Box|1=Übung 9|2=Löse aus die folgenden Aufgaben aus dem Buch. Notiere wie folgt: 
g1: f(x) = ... 
g2: f(x) = ... 
* S. 126 Nr. 5
* S. 126 Nr. 6|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|Prüfe deine Lösungen anhand der eingezeichneten Steigungsdreiecke. 
|Tipp: Steigungsdreiecke|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g2.png]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g3.png]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 5 g5 Tipp.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 5|Verbergen}}

{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 g2.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g2|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr.6 g3.jpg|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zu g3|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g4.png]]|Tipp zu g4|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g5.png]]|Tipp zu g5|Verbergen}}{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 6 Tipp g6 und g7.png]]|Tipp zu g6 und g7|Verbergen}}|Tipps zu S. 126 Nr. 6|Verbergen}}

 
Teste dein Wissen mit einem '''Kahoot''' (im Unterricht).

 
{{Box|1=Übung 10: Proportionale Funktionen im Aktiv-Urlaub|2=
* 1. Thomas fährt mit seinem Fahrrad in einer Sekunde durchschnittlich 5 m.
* 2. Die Eintrittskarte für einen Kletterpark kostet pro Person 13 €.
* 3. Das Fitness-Training kostet für eine halbe Stunde 3,50 €.
* 4. Erfinde selbst ein Beispiel.
Übertrage die Aufgaben in dein Heft, fülle die Wertetabelle aus und zeichne jeweils die Gerade. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und erkläre jeweils den Zusammenhang des Textes zum Steigungsdreieck.|3=Üben}}
{| class="wikitable"
|-
|x
|1
|2
|3
|...
|-
|y-Strecke
|5
|10
|...
|
|-
|y-Eintrittskosten
|13
|...
|
|
|-
|y-Trainingskosten
|...
|
|
|
|-
|}

{{Lösung versteckt|1=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub 
Erstelle eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und gib die Funktionsgleichung an. 
Aktivurlaub an der Nordsee: 
1. Familie Mann fährt in den Urlaub an die Nordsee. Für 100 km benötigt ihr Auto ca. 7,8 Liter Benzin. 
2. An einem Rastplatz legen sie eine Pause ein und essen eine Kleinigkeit. Ein Fischbrötchen kostet 1,50€. 
3. Familie Mann möchte im Urlaub an der Nordsee surfen gehen. Für 4 Personen zahlen sie 40€ pro Stunde. 
4. Nach dem Surfen gönnt sich die Familie jeweils eine Kugel Eis zu 1,10€. 
5. Nachmittags gehen sie in der Nordsee schwimmen. Dabei schwimmen sie in 5 Minuten ca. 70m weit. Eine Freundin schwimmt gleichzeitig los, sie benötig für 25m 100 Sekunden. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz) 
Wanderurlaub: 
6. Ein Sportgeschäft bietet Wanderstöcke an. Jeder Stock kostet 25€. 
7. Familie H. unternimmt eine Wanderung. Für die Strecke von 4m benötigen sie 5 Sekunden. 
Familie U. geht ebenfalls wandern. Sie schafft in 10 Minuten 500m. (Zeichne in ein Koordinatenkreuz.) 
8. Für eine geführte Wanderung durch den Nationalpark zahlt die Familie 15€ pro Stunde. 
9. Zum Picknick während der Wanderung gibt es Obst und Schokoriegel. Ein Riegel kostet 0,60€. 
Reiterferien: 
10. Familie M. macht Urlaub auf einem Reiterhof. Drei Runden Pony-Reiten um den See kosten 13,50€. 
11. Nach dem Pony-Reiten geht es für die Familie in eine Eisdiele, jede Kugel kostet 1,50€. |2=Aufgabensammlung der Klasse 8b: Proportionale Funktionen im Aktivurlaub|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 11-Anwendungsaufgaben|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
* S. 127 Nr. 10
* S. 127 Nr. 11
* S. 127 Nr. 12|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne das Steigungsdreieck ein und lies die Werte für Δy und Δx ab. Es gilt m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> |2=Tipp 1 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
a) Eisenbahn 
Höhenunterschied 40m 
Horizontalunterschied 100m 
m = <math>\tfrac{40}{1000} = \tfrac{4}{100}</math> = 4%.
Lösungen: 4%; 28%; 75%; 90%|2=Tipp 2 zu Nr. 10|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende verschiedene Darstellungen: [[Datei:S. 127 Nr. 11a Darstellungen.jpg|rahmenlos|600x600px]]|2=Tipp 1 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne jeweils den gegebenen Punkt in ein Koordinatenkreuz und zeichne die Ursprungsgerade. Lies die Steigung m ab und gib die Funktionsgleichung f(x) = mx an.|2=Tipp 2 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Du kannst deine Lösung mithilfe von GeoGebra prüfen: Gib die Koordinaten des gegebenen Punktes ein und zeichne eine Gerade durch den Ursprung und den gegebenen Punkt. Lass dir dann das Steigungsdreieck einzeichnen. Nun kannst du die Funktionsgleichung angeben. Zoome so, dass du das Steigungsdreieck besser erkennen kannst.|Tipp 3 zu Nr. 11|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Steigung lässt sich auch wie in Aufgabe 10 berechnen. m = m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> 
a) m = <math>\tfrac{5}{100} = 0,05</math>, also f(x) = 0,05x 
b) m = <math>\tfrac{275}{25} = \tfrac{11}{1}</math> = 11, also ... 
c) m = <math>\tfrac{320}{8}</math> = 40 ct. 
d) m = <math>\tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}</math>|2=Tipp 4 zu Nr. 11|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Welche Bedeutung haben die x- bzw. y-Achse? Erkläre. 
Welche Bedeutung hat dann ein steiler Verlauf des Graphen? Erkläre.|2=Tipp zu Nr. 12a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Da es sich um Ursprungsgeraden handelt, müssen die Funktionsgleichungen die Form f(x)=mx haben (proportionale Funktionen). Bestimme die Steiung m mit einem geeigneten Steigungsdreieck. 
Welchen Punkt kannst du jeweils ablesen? 
m = <math>\tfrac{\Delta y}{\Delta x}</math> = <math>\tfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Horizontalunterschied}}</math> 
m1 = ... = 0,08 
m2 = ... = 0,16|2=Tipp zu Nr. 12b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Füllhöhe im Würfel steigt doppelt so schnell wie im Quader, also muss die Grundfläche ... so groß sein.|2=Tipp zu Nr. 12c|3=Verbergen}}

=====Den Graphen zeichnen mit einem Steigungsdreieck=====
Ist die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion gegeben, kannst du den Graphen (also eine Ursprungsgerade) mithilfe eines '''Steigungsdreiecks''' zeichnen. 

Das nachfolgende Video erklärt, wie du bei gegebener Steigung mit dem Steigungsdreieck den Graphen (Ursprungsgerade) einer proportionalen Funktion zeichnest. 
{{#ev:youtube|fGcJaqTueak|800|center}}
 
{{Box|Übung 12|Zeichne die Ursprungsgerade zur Funktionsgleichung. Verschiebe dazu den Punkt P, so dass ein geeignetes Steigungsdreieck ensteht.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnen.php Level 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/ursprungsgeraden/ugeradezeichnenneu.php Level 2]|Üben}}

 
{{Box|Übung 13|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Zeichne höchstens 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz. Wenn die Aufgabe mehr Graphen enthält, zeichne ein weiteres Koordinatenkreuz.
* S. 126 Nr. 2
* S. 126 Nr. 4
* S. 126 Nr. 3|Üben}}

{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein und vergleiche den Verlauf des angezeigten Graphen mit deiner Zeichnung.|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Tipp zum Zeichnen der Steigungsdreiecke, wenn m eine ganze Zahl ist(bei a,b und c): Gehe vom Ursprung aus 1 Schritt nach rechts und m Schritte nach oben (m positiv) bzw. nach unten (m negativ)|Tipp 2 zu a, b, c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke abc.png]]|Tipp 3 Steigungsdreiecke a,b,c|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Tipp zum Zeichnen von Steigungsdreiecken, wenn m ein Bruch ist (bei d bis i) 
Gehe so viele Schritte, wie der NENNER angibt, nach RECHTS und 
so viele Schritte wie der ZÄHLER angibt nach OBEN (m positiv) oder UNTEN (m negativ).|2=Tipp 4 Steigungsdreiecke zu d bis i|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke de.png]]|Tipp 5 Steigungsdreiecke d,e|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 126 Nr. 2 Steigungsdreiecke fh.png]]|Tipp 6 Steigungsdreiecke f,h|Verbergen}}
|Tipps zu S. 126 Nr. 2|Verbergen}}

Zusammenfassung: Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:

{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|800|center}}
 
 
===Der y-Achsenabschnitt b===
 
Lineare Funktionen: f(x) = m·x + b
 

Nachdem wir uns ausführlich mit der Bedeutung von '''m''', also der '''Steigung''' einer linearen Funktion beschäftigt haben, schau noch einmal im Applet, welche Bedeutung der Parameter '''b''' für den Graphen der Funktion hat.
 <ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" /> 
{{Lösung versteckt|Die Veränderung von b bewirkt eine Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse. 
Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b)|Beobachtung|Verbergen}}

{{Box|1=Merke: Der y-Achsenabschnitt b|2=Eine Funktion mit der Gleichung f(x) = m·x + b ist eine lineare Funktion. 
Der Graph ist eine Gerade. 
Diese Gerade hat die Steigung m und schneidet die y-Achse im Punkt (0|b). 
'''b''' ist der '''y-Achsenabschnitt'''.|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|Übung 14|Lies in der nachfolgenden App jeweils den y-Achsenabschnitt b am Graphen bzw. in der Funktionsgleichung ab.|Üben}}

{{LearningApp|app=pfeqzdf8521|width=100%|height=600px}}
 

Im Weiteren betrachten wir lineare Funktionen f(x) = mx + b. 
Auch hier lernst du, wie du anhand eines Graphen die Funktionsgleichung bestimmst bzw. wie zu einer Funktionsgleichung eine passende Gerade zeichnen kannst. 
 

===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
 
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung| Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Erklärvideo: {{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div>
</div>

Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
Beispiel 1 (leicht): m ist eine natürliche Zahl 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=2.png|535x535px]]
 

Beispiel 2 (mittel): m ist eine negative ganze Zahl 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=-1,5.png|528x528px]] 

Beispiel 3 (schwer): m ist ein Bruch 
[[Datei:Funktionsgleichung einer Geraden bestimmen m=drei Fünftel.png|523x523px]]

{{Box|Übung 15: Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu. Wähle eine passende Schwierigkeit aus.|Üben}}
<div class="grid">
<div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp|app=phd8q7we221|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp|app=popvxxk2v21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=pw8bbo2st20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp|app=p5mxjgbpt21|width=100%|height=400px}}{{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=400px}}</div>
 
{{Box|1=Übung 16|2=Gib auf der Seite realmath jeweils die Funktionsgleichung f(x) = mx+b an. Bestimme dazu m und b, wie oben beschrieben.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/linfkt/geradeablesen.php Übung: Funktionsgleichung ablesen]|3=Üben}}</div>
 

{{Box|Übung 17|Gib die Funktionsgleichung an, die zur Geraden gehört. Notiere deine Lösung übersichtlich im Heft.
* S. 129 Nr. 2
* S. 129 Nr. 4
* S. 130 Nr. 6
* S. 130 Nr. 7|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 2 und verändere den Wert des Schiebereglers b. 
https://www.geogebra.org/classic/fuuc9dcy
|Tipp zu S. 129 Nr. 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Öffne das GeoGebra-Applet zu S. 129 Nr. 4 und verändere den Wert des Schiebereglers m. Stelle m so ein, dass der Graph g1, g2,... entspricht. Die Funktionsgleichung wird dir angezeigt.
https://www.geogebra.org/classic/qfasm3eg|2=Tipp zu S. 129 Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Für g1 ist das Vorgehen noch einmal in einem Bild gezeigt, für g2, g3, usw. stellen die Schieberegler des GeoGebra-Applets so ein, dass der entsprechende Graph dargestellt ist. Die Funktionsgleichung wird dir dann angezeigt.{{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 6 Tipp zu g1.png]]|Tipp zu g1|Verbergen}}{{Lösung versteckt|https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh|GeoGebra-Applet zu Nr. 6|Verbergen}}|Tipps zu S. 130 Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Nutze auch hier das GeoGebra-Applet, um die Graphen nachzustellen und die Funktionsgleichung abzulesen
https://www.geogebra.org/classic/w8n4uabh {{Lösung versteckt|[[Datei:S. 130 Nr. 7 Tipp Steigungsdreiecke.png]]|Tipp Steigungsdreiecke|Verbergen}}
|Tipps zu S. 130 Nr. 7|Verbergen}}
 
 

===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo}}

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung. 1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b) 
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten). 
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.
<div class="grid">
<div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 1.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen 2. Schritt.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade zur Gleichung zeichnen Schritt 3.png]]</div>
</div>
Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!

Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div>
</div>
 
{{Box|Übung 18 - online|Übe das Zeichnen von Geraden zu vorgegebenen linearen Funktionsgleichungen, bis du keine Schwierigkeiten mehr damit hast.|Üben}} 
<ggb_applet id="fcgnxdsu" width="775" height="485" border="888888" /> 
Applet von Wolfgang Wengler 
 

{{Box|Übung 19|Bearbeite die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 129 Nr. 5 (immer 4 Geraden in ein Koordinatenkreuz)
* S. 130 Nr. 8 (Beachte die Alternative zur Partnerarbeit).
Nutze bei Bedarf die Tipps.|Üben}}

{{Lösung versteckt|Zeichne zuerst den y-Achsenabschnitt b ein, von hier aus zeichne das Steigungsdreieck. Prüfe deine Zeichnung mit GeoGebra.
https://www.geogebra.org/graphing|Tipp zu S. 129 Nr. 5|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Statt der Partnerarbeit erstelle eine Learningapp, in der den von dir gezeichneten Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zugeordnet werden soll. 
Wenn du für die Steigung einen Bruch wählst, kannst du ihn bei den LearningApps auch so schreiben, wie du es aus dem Unterricht kennst, indem du statt 2/3 folgendes schreibst: $$\frac{2}{3}$$|S. 130 Nr. 8 Alternative zur Partnerarbeit|Verbergen}}

 

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub|weiter=2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare_Funktionen_im_Aktiv-Urlaub/2.3 Wertetabelle und Funktionsgleichung}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub/2) Lineare Funktionen

2022-05-24T12:30:13Z

Neukirch: Korrektur von Rechtschreibfehlern

Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben

2022-05-02T11:02:19Z

Neukirch: Fehler korrigiert

SEITE IM AUFBAU!!
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen|Gleichungen - Halte die Waage im Gleichgewicht]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.1) Was ist eine Gleichung]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.2) Gleichungen lösen durch Probieren]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen lösen|2) Gleichungen lösen durch Umformen]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen mit Klammern|3) Gleichungen mit Klammern]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben|4) Anwendungsaufgaben]]}}
 
===4) Anwendungsaufgaben zu Gleichungen===

Es gibt verschiedene Bereiche, in denen Gleichungen mit Klammern Anwendung finden:
[[Datei:Anwendungsbereiche Gleichungen.png|rahmenlos|800px]]

====Bist du fit? Vorübungen====
{{Box|Vorübung 1: Mathematische Texte|Um Zahlenrätsel lösen zu können, musst du die Fachbegriffe kennen. Übe dies im nachfolgenden Quiz|Üben}}
<div class="lueckentext-quiz">

Addition: '''1. Summand''' + '''2. Summand''' = Wert der'''Summe''' 
Subtraktion: '''Minuend''' - '''Subtrahend''' = Wert der '''Differenz''' 
Multiplikation: '''1. Faktor''' ∙ '''2. Faktor''' = Wert des '''Produktes''' 
Division: '''Dividend''': '''Divisor''' = Wert des '''Quotienten'''

</div>
<div class="zuordnungs-quiz">

{|
|Addition||addieren||vermehren||plus
|-
|Subtraktion||subtrahieren||vermindern||minus
|-
|Multiplikation||multiplizieren||verdoppeln||vervielfachen||mal
|-
|Division||dividieren||halbieren||teilen||geteilt
|}

</div>

Schreibe über den Aufgabentext die passenden Rechenzeichen. Dies hilft dir beim Aufstellen der Terme.

 

{{Box|Vorübung 2: Geometrische Anwendungen|Anwendungsaufgaben aus dem Bereich Geometrie erfordern Kenntnisse über verschiedene Figuren. Löse das nachfolgende Quiz zur Wiederholung.|Üben}}
<div class="zuordnungs-quiz">

{|
|Quadrat||[[Datei:Quadrat.png|ohne|70px]]||u = 4·a||A = a²
|-
|Rechteck||[[Datei:Rechteck.png|ohne|70px]]||u = 2a + 2b||A = a·b
|-
|gleichschenkliges Dreieck||[[Datei:Gleichschenkliges Dreieck.png|ohne|70px]]||u = 2a + c||2 gleich lange Seiten||α+β+γ=180°

|-
|gleichseitiges Dreieck||[[Datei:Gleichseitiges Dreieck.png|ohne|70px]]||u = 3a||3 gleich lange Seiten||α+β+γ=180°
|}

</div>
{{LearningApp|app=pgc1th79520|width=100%|height|400px}}

{{Box|Vorübung 3: Sachsituationen|Ordne in der nachfolgenden LearningApp den Termen die passende Bedeutung zu.|Üben}}
{{LearningApp|app=p8yuzo3dj20|width=100%|height=500px}}

In allen Anwendungsbereichen ist es wichtig, dass du den Text '''genau liest''', dir die Situation vorstellst und mit eigenen Worten beschreibst.

====6-Schritte-Verfahren für Anwendungsaufgaben====

{{Box|6-Schritte-Verfahren<ref>Das Buch "Mathematik real 8 - Differenzierende Ausgabe" aus dem Cornelsenverlag verwendet ebenfalls dieses Verfahren zur Lösung von Sachaufgaben.</ref>|Eine Hilfe zur Lösung von Anwendungsaufgaben ist das 6-Schritte-Verfahren. Übertrage die Beispielaufgabe in dein Heft. Notiere auch die Bemerkungen zu den Schritten.|Arbeitsmethode}}[[Datei:6 Schritte Verfahren Anwendungsaufgaben neu.png|rahmenlos|1000px]]

Diese 6 Schritte helfen dir beim Lösen der Anwendungsaufgaben. Beachte vor allem die Schritte 1 und 2. Notiere genau, welche Bedeutung die Variable hat und stelle die Terme passend zum Text auf. Dann schaffst du es sicherlich auch, eine Gleichung aufzustellen und diese zu lösen.

====4.1 Mathematische Texte====
{{Box|Übung 1|Wiederhole das Aufstellen von Termen. Löse dazu die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pr2s6mz4n20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p6r74aay220|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=prjmr922j19|width=100%|height=400px}}

{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Nutze dazu das 6-Schritte-Verfahren zur Lösung von Anwendungsaufgaben. Notiere alle Schritte in deinem Heft.
* S. 123 Nr. 4
* S. 123 Nr. 5|Üben}}
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist eine Zahl|2=1. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Terme aufstellen: 
"das Vierfache einer Zahl" — 4x 
"beträgt 96" — = 96|2=2. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Gleichung aufstellen: 
4x = 96|2=3. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=4. Schritt: Gleichung lösen: 
4x = 96   |:4 
  x = 24|2=4. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=5. Schritt: Lösung prüfen: 
x=24 einsetzen: 
4·24 = 96 
96 = 96 (w)|2=5. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=6. Schritt: Antwort: 
Die gesuchte Zahl heißt 24.|2=6. Schritt|3=Verbergen}}|2=6-Schritte-Verfahren für Nr. 4a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist eine Zahl|2=1. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Terme aufstellen: 
"Vermindert... um 8" — x-8 
"erhält man -2" — = -2|2=2. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Gleichung aufstellen: 
x-8 = -2|2=3. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=4. Schritt: Gleichung lösen: 
x-8 = -2   |+8 
  x = 6|2=4. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=5. Schritt: Lösung prüfen: 
x= einsetzen: 
6-8 = -2 
-2 = -2 (w)|2=5. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=6. Schritt: Antwort: 
Die gesuchte Zahl heißt 6.|2=6. Schritt|3=Verbergen}}|2=6-Schritte-Verfahren für Nr. 4b|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 3|Bearbeite die nachfolgende LearningApp zu Gleichungen mit mathematischen Texten. |Üben}}
{{LearningApp|app=p6nig05g219|width=100%|height=600px}}

{{Box|Übung 4|Wähle auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] '''<big>5</big>''' Aufgaben und löse diese mit dem "6-Schritte-Verfahren". Notiere deine Lösung übersichtlich in deinem Heft.
* Nr. 40 bis Nr. 59
Wähle aus!
|Üben}}

====4.2) Geometrische Texte====
{{Box|Übung 5|Wiederhole das Aufstellen von Termen. Löse dazu die nachfolgende LearningApp.|Üben}}
{{LearningApp|app=pvyyg1j2a19|width=100%|height=400px}}
{{Box|Übung 7|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Nutze dazu das 6-Schritte-Verfahren zur Lösung von Anwendungsaufgaben. Notiere alle Schritte in deinem Heft. Denke bei geometrischen Anwendungen immer an eine SKIZZE! Zeichne mit Bleistift und Lineal.
* S. 123 Nr. 8
* S. 126 Nr. 13|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: '''Um'''fang ist dr'''um''' her'''um'''. Addiere die Längen!|2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: Winkelsummensatz für Dreiecke: 
α+β+γ=180°|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Skizziere ein Rechteck: 
[[Datei:S.126 Nr. 13 Skizze.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 13|Verbergen}}
 
{{Box|Übung 9|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zu Gleichungen mit geometrischen Anwendungen. |Üben}}
{{LearningApp|app=pfkqhwrtv20|width=100%|height=600px}}
 
{{Box|Übung 10|Wähle auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] <big>'''5'''</big> Aufgaben und löse diese mit dem "6-Schritte-Verfahren". Notiere deine Lösung übersichtlich in deinem Heft.
* Nr. 60 bis Nr. 67
Wähle aus! Denke an die Skizze!
|Üben}}

====4.3 Sachsituationen====
{{Box|Übung 11|Wiederhole das Aufstellen von Termen. Löse dazu die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pbwn2x6bj20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p0w62mo0j20|width=100%|height=400px}}
{{Box|Übung 12|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Nutze dazu das 6-Schritte-Verfahren zur Lösung von Anwendungsaufgaben. Notiere alle Schritte in deinem Heft.
* S. 123 Nr. 1
* S. 123 Nr. 3
* S. 123 Nr. 6
* S. 123 Nr. 7
* S. 126 Nr. 14|Üben}}
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist das Alter von Claudia '''heute'''|2=1. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Terme aufstellen: 
"3-mal so alt wie" — 3· ... 
"Alter von Claudia vor 14 Jahren" - x-14|2=2. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Gleichung aufstellen: 
x = 3(x-14)|2=3. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=4. Schritt: Gleichung lösen: 
x = 3(x-14)   |[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen ("Jedem die Hand geben") 
  x = 3x-42   |-3x 
 -2x = -42   |:(-2) 
   x = 21 |2=4. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=5. Schritt: Lösung prüfen: 
x=21 einsetzen: 
21 = 3·(21-14) 
21 = 3·7
21 = 21 (w)|2=5. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=6. Schritt: Antwort: 
Claudia ist heute 21 Jahre alt.|2=6. Schritt|3=Verbergen}}|2=6-Schritte-Verfahren für Nr. 1a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist das Alter von Benno '''heute'''|2=1. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Terme aufstellen: 
"Alter von Benno in 5 Jahre" — x+5 
"Alter von Benno vor 7 Jahren" - x-7
"Vier mal das Alter von Benno vor 7 Jahren" - 4·(x-7)|2=2. Schritt|3=Verbergen}}|2=Tipps zu Nr. 3a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist der Preis des Laptops|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist der Preis für einen Reifen|Tipp zu Nr. 7|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist der Betrag, den die Klasse 7b spendete|Tipp zu Nr. 14|Verbergen}}

{{Box|Übung 13|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zu Gleichungen zu Sachsituationen. |Üben}}
{{LearningApp|app=py3bcd7i220|width=100%|height=600px}}
{{Box|Übung 14|Wähle auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] '''<big>5</big>''' Aufgaben und löse diese mit dem "6-Schritte-Verfahren". Notiere deine Lösung übersichtlich in deinem Heft.
* Nr. 68 - Nr. 84
Wähle aus!
|Üben}}

IDEENSAMMLUNG
Lernpfad zu Textaufgaben
https://unterrichten.zum.de/wiki/Textaufgaben

<references />

Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben

2022-05-02T10:50:36Z

Neukirch: Fehler korrigiert

SEITE IM AUFBAU!!
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen|Gleichungen - Halte die Waage im Gleichgewicht]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.1) Was ist eine Gleichung]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.2) Gleichungen lösen durch Probieren]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen lösen|2) Gleichungen lösen durch Umformen]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen mit Klammern|3) Gleichungen mit Klammern]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben|4) Anwendungsaufgaben]]}}
 
===4) Anwendungsaufgaben zu Gleichungen===

Es gibt verschiedene Bereiche, in denen Gleichungen mit Klammern Anwendung finden:
[[Datei:Anwendungsbereiche Gleichungen.png|rahmenlos|800px]]

====Bist du fit? Vorübungen====
{{Box|Vorübung 1: Mathematische Texte|Um Zahlenrätsel lösen zu können, musst du die Fachbegriffe kennen. Übe dies im nachfolgenden Quiz|Üben}}
<div class="lueckentext-quiz">

Addition: '''1. Summand''' + '''2. Summand''' = Wert der'''Summe''' 
Subtraktion: '''Minuend''' - '''Subtrahend''' = Wert der '''Differenz''' 
Multiplikation: '''1. Faktor''' ∙ '''2. Faktor''' = Wert des '''Produktes''' 
Division: '''Dividend''': '''Divisor''' = Wert des '''Quotienten'''

</div>
<div class="zuordnungs-quiz">

{|
|Addition||addieren||vermehren||plus
|-
|Subtraktion||subtrahieren||vermindern||minus
|-
|Multiplikation||multiplizieren||verdoppeln||vervielfachen||mal
|-
|Division||dividieren||halbieren||teilen||geteilt
|}

</div>

Schreibe über den Aufgabentext die passenden Rechenzeichen. Dies hilft dir beim Aufstellen der Terme.

 

{{Box|Vorübung 2: Geometrische Anwendungen|Anwendungsaufgaben aus dem Bereich Geometrie erfordern Kenntnisse über verschiedene Figuren. Löse das nachfolgende Quiz zur Wiederholung.|Üben}}
<div class="zuordnungs-quiz">

{|
|Quadrat||[[Datei:Quadrat.png|ohne|70px]]||u = 4·a||A = a²
|-
|Rechteck||[[Datei:Rechteck.png|ohne|70px]]||u = 2a + 2b||A = a·b
|-
|gleichschenkliges Dreieck||[[Datei:Gleichschenkliges Dreieck.png|ohne|70px]]||u = 2a + c||2 gleich lange Seiten||α+β+γ=180°

|-
|gleichseitiges Dreieck||[[Datei:Gleichseitiges Dreieck.png|ohne|70px]]||u = 3a||3 gleich lange Seiten||α+β+γ=180°
|}

</div>
{{LearningApp|app=pgc1th79520|width=100%|height|400px}}

{{Box|Vorübung 3: Sachsituationen|Ordne in der nachfolgen den Termen die passende Bedeutung zu.|Üben}}
{{LearningApp|app=p8yuzo3dj20|width=100%|height=500px}}

In allen Anwendungsbereichen ist es wichtig, dass du den Text '''genau liest''', dir die Situation vorstellst und mit eigenen Worten beschreibst.

====6-Schritte-Verfahren für Anwendungsaufgaben====

{{Box|6-Schritte-Verfahren<ref>Das Buch "Mathematik real 8 - Differenzierende Ausgabe" aus dem Cornelsenverlag verwendet ebenfalls dieses Verfahren zur Lösung von Sachaufgaben.</ref>|Eine Hilfe zur Lösung von Anwendungsaufgaben ist das 6-Schritte-Verfahren. Übertrage die Beispielaufgabe in dein Heft. Notiere auch die Bemerkungen zu den Schritten.|Arbeitsmethode}}[[Datei:6 Schritte Verfahren Anwendungsaufgaben neu.png|rahmenlos|1000px]]

Diese 6 Schritte helfen dir beim Lösen der Anwendungsaufgaben. Beachte vor allem die Schritte 1 und 2. Notiere genau, welche Bedeutung die Variable hat und stelle die Terme passend zum Text auf. Dann schaffst du es sicherlich auch, eine Gleichung aufzustellen und diese zu lösen.

====4.1 Mathematische Texte====
{{Box|Übung 1|Wiederhole das Aufstellen von Termen. Löse dazu die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pr2s6mz4n20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p6r74aay220|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=prjmr922j19|width=100%|height=400px}}

{{Box|Übung 2|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Nutze dazu das 6-Schritte-Verfahren zur Lösung von Anwendungsaufgaben. Notiere alle Schritte in deinem Heft.
* S. 123 Nr. 4
* S. 123 Nr. 5|Üben}}
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist eine Zahl|2=1. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Terme aufstellen: 
"das Vierfache einer Zahl" — 4x 
"beträgt 96" — = 96|2=2. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Gleichung aufstellen: 
4x = 96|2=3. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=4. Schritt: Gleichung lösen: 
4x = 96   |:4 
  x = 24|2=4. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=5. Schritt: Lösung prüfen: 
x=24 einsetzen: 
4·24 = 96 
96 = 96 (w)|2=5. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=6. Schritt: Antwort: 
Die gesuchte Zahl heißt 24.|2=6. Schritt|3=Verbergen}}|2=6-Schritte-Verfahren für Nr. 4a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist eine Zahl|2=1. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Terme aufstellen: 
"Vermindert... um 8" — x-8 
"erhält man -2" — = -2|2=2. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Gleichung aufstellen: 
x-8 = -2|2=3. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=4. Schritt: Gleichung lösen: 
x-8 = -2   |+8 
  x = 6|2=4. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=5. Schritt: Lösung prüfen: 
x= einsetzen: 
6-8 = -2 
-2 = -2 (w)|2=5. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=6. Schritt: Antwort: 
Die gesuchte Zahl heißt 6.|2=6. Schritt|3=Verbergen}}|2=6-Schritte-Verfahren für Nr. 4b|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 3|Bearbeite die nachfolgenden LearningApp zu Gleichungen mit mathematischen Texten. |Üben}}
{{LearningApp|app=p6nig05g219|width=100%|height=600px}}

{{Box|Übung 4|Wähle auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] '''<big>5</big>''' Aufgaben und löse diese mit dem "6-Schritte-Verfahren". Notiere deine Lösung übersichtlich in deinem Heft.
* Nr. 40 bis Nr. 59
Wähle aus!
|Üben}}

====4.2) Geometrische Texte====
{{Box|Übung 5|Wiederhole das Aufstellen von Termen. Löse dazu die nachfolgende LearningApp.|Üben}}
{{LearningApp|app=pvyyg1j2a19|width=100%|height=400px}}
{{Box|Übung 7|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Nutze dazu das 6-Schritte-Verfahren zur Lösung von Anwendungsaufgaben. Notiere alle Schritte in deinem Heft. Denke bei geometrischen Anwendungen immer an eine SKIZZE! Zeichne mit Bleistift und Lineal.
* S. 123 Nr. 8
* S. 126 Nr. 13|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: '''Um'''fang ist dr'''um''' her'''um'''. Addiere die Längen!|2=Tipp zu Nr. 8a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Erinnerung: Winkelsummensatz für Dreiecke: 
α+β+γ=180°|2=Tipp zu Nr. 8b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Skizziere ein Rechteck: 
[[Datei:S.126 Nr. 13 Skizze.png|rahmenlos]]|Tipp zu Nr. 13|Verbergen}}
 
{{Box|Übung 9|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zu Gleichungen mit geometrischen Anwendungen. |Üben}}
{{LearningApp|app=pfkqhwrtv20|width=100%|height=600px}}
 
{{Box|Übung 10|Wähle auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] <big>'''5'''</big> Aufgaben und löse diese mit dem "6-Schritte-Verfahren". Notiere deine Lösung übersichtlich in deinem Heft.
* Nr. 60 bis Nr. 67
Wähle aus! Denke an die Skizze!
|Üben}}

====4.3 Sachsituationen====
{{Box|Übung 11|Wiederhole das Aufstellen von Termen. Löse dazu die nachfolgende LearningApp.|Üben}}
{{LearningApp|app=pbwn2x6bj20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p0w62mo0j20|width=100%|height=400px}}
{{Box|Übung 12|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Nutze dazu das 6-Schritte-Verfahren zur Lösung von Anwendungsaufgaben. Notiere alle Schritte in deinem Heft.
* S. 123 Nr. 1
* S. 123 Nr. 3
* S. 123 Nr. 6
* S. 123 Nr. 7
* S. 126 Nr. 14|Üben}}
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist das Alter von Claudia '''heute'''|2=1. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Terme aufstellen: 
"3-mal so alt wie" — 3· ... 
"Alter von Claudia vor 14 Jahren" - x-14|2=2. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=3. Schritt: Gleichung aufstellen: 
x = 3(x-14)|2=3. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=4. Schritt: Gleichung lösen: 
x = 3(x-14)   |[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen ("Jedem die Hand geben") 
  x = 3x-42   |-3x 
 -2x = -42   |:(-2) 
   x = 21 |2=4. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=5. Schritt: Lösung prüfen: 
x=21 einsetzen: 
21 = 3·(21-14) 
21 = 3·7
21 = 21 (w)|2=5. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=6. Schritt: Antwort: 
Claudia ist heute 21 Jahre alt.|2=6. Schritt|3=Verbergen}}|2=6-Schritte-Verfahren für Nr. 1a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1={{Lösung versteckt|1=1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist das Alter von Benno '''heute'''|2=1. Schritt|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=2. Schritt: Terme aufstellen: 
"Alter von Benno in 5 Jahre" — x+5 
"Alter von Benno vor 7 Jahren" - x-7
"Vier mal das Alter von Benno vor 7 Jahren" - 4·(x-7)|2=2. Schritt|3=Verbergen}}|2=Tipps zu Nr. 3a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist der Preis des Laptops|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist der Preis für einen Reifen|Tipp zu Nr. 7|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1. Schritt: Bedeutung der Variablen angeben: 
x ist der Betrag, den die Klasse 7b spendete|Tipp zu Nr. 14|Verbergen}}

{{Box|Übung 13|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps zu Gleichungen zu Sachsituationen. |Üben}}
{{LearningApp|app=py3bcd7i220|width=100%|height=600px}}
{{Box|Übung 14|Wähle auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] '''<big>5</big>''' Aufgaben und löse diese mit dem "6-Schritte-Verfahren". Notiere deine Lösung übersichtlich in deinem Heft.
* Nr. 68 - Nr. 84
Wähle aus!
|Üben}}

IDEENSAMMLUNG
Lernpfad zu Textaufgaben
https://unterrichten.zum.de/wiki/Textaufgaben

<references />

Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen lösen

2022-04-13T07:15:24Z

Neukirch:

SEITE IM AUFBAU!!
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen|Gleichungen - Halte die Waage im Gleichgewicht]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.1) Was ist eine Gleichung]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Was ist eine Gleichung|1.2) Gleichungen lösen durch Probieren]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen lösen|2) Gleichungen lösen durch Umformen]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen mit Klammern|3) Gleichungen mit Klammern]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Anwendungsaufgaben|4) Anwendungsaufgaben]]}}
 
==2) Gleichungen lösen durch Umformen==
{{Box|Zahlenzauber|[[Datei:Magic-154526 1280.png|rechts|rahmenlos|200x200px]]Denke dir eine Zahl (zwischen 1 und 9). Verdopple sie und addiere 3. Multipliziere dann das Ergebnis mit 5 und subtrahiere schließlich 6. Nenne mir das Ergebnis und ich verrate dir deine Zahl. 
Findest du den Trick heraus?|Unterrichtsidee}}
{{Lösung versteckt|1=Erklärung des Tricks: 
Mögliche Ergebnisse dieses Zahlenzaubers sind 19, 29, 39, 49, ...,99. Die gedachte Zahl ist jeweils die Zehner-Ziffer. Warum? Das kannst du bald erklären... |3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Noch mehr Zahlenzauber-Aufgaben findest du auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml Aufgabenfuchs] Nr. 1|noch mehr Zahlenzauber|Verbergen}}
 
 

[[Datei:Tütengleichung 1.png|rahmenlos]] 
Du hast im letzten Kapitel Gleichungen durch Probieren gelöst. In diesem Kapitel lernst du Möglichkeiten kennen, die Gleichung durch Umformungen zu lösen. Wiederhole dazu die Vorstellungen zu Gleichungen anhand von Waagen im Gleichgewicht in der nachfolgenden LearningApp.
{{LearningApp|app=p374ht9n316|width=100%|height=600px}}
App von G. Plaschke
 
 
===2.1 Tütengleichungen - Waagemodell===

{{Box|1=Idee|2=Stelle in der Simulation von [https://phet.colorado.edu/sims/html/equality-explorer/latest/equality-explorer_de.html PhET (Variablen)] die Gleichung 4x + 5 = 13 nach.[[Datei:4x+5=13 Waagemodell PhET neu.PNG|rechts|rahmenlos]] 
Wie kannst du vorgehen, damit auf der Waage auf der einen Seite nur noch eine Tüte und auf der anderen Seite nur noch die passende Anzahl von Steinen liegen?|3=Unterrichtsidee}}
 

{{Box|Waagemodell-Rechenoperationen|Die Bilder zeigen ein mögliches Vorgehen. Beschreibe die Rechenoperationen, die jeweils auf beiden Seiten der Gleichung (Waage) durchgeführt wurden.|Meinung}} 
[[Datei:4x+5=13 Waagemodell PhET neu.PNG|rahmenlos]] 
[[Datei:4x=8 Waagemodell PhET neu.PNG|rahmenlos]] 
[[Datei:X=2 Waagemodell PhET.PNG|rahmenlos]] 

{{Box|Übung 1 - Tütengleichungen|Überlege dir zwei Gleichungen, die man mit den Tüten und Würfeln darstellen kann. Mach dir Notizen, damit du deine Gleichungen und die Vorgehensweise zum Lösen deinem Partner präsentieren kannst.|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Hilfe zum Finden von schwierigen Gleichungen: 
Gehe rückwärts vor: Die Lösung soll z.B. x = 2 sein, also sollen in einer Tüte 2 Steine liegen. Die Gleichung lautet also 
x = 2 
Nun ergänze auf beiden Seiten immer das Gleiche, bis eine schwierige Gleichung entstanden ist, z.B. 
auf beiden Seite zwei Steine ergänzen 
x+2 = 4 
auf beiden Seiten ein x oder eine Tüte ergänzen 
2x + 2 = x + 4 
auf beiden Seiten noch eine Tüte ergänzen 
3x + 2 = 2x + 4 
So erhältst du eine schwierige Gleichung, die Lösung ist immer noch x = 2.|2=Tipp zum Finden von schwierigen Gleichungen|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 2|Öffne den Link zur Simulation zum Schulbuch.
[https://static.klett.de/software/digitale-module/gleichungen-waage-sp/balkenwaage.html '''Simulation zum Buch''']. 
Notiere jeweils die Gleichung, die dargestellt ist in dein Heft. Verändere dann beide Seiten der Gleichung so, dass du die Lösung der Gleichung (Gewicht des Würfels) angeben kannst. Notiere dazu passende Rechenoperationen in deinem Heft.|Üben}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Beispiele Gleichungen Waage Klett.png|rahmenlos]]|Vergleiche deine Lösungen|Verbergen}}

{{Box|Merke|Die Darstellung zeigt die Lösung im Modell und als Gleichung.<ref>Die Bildausschnitte stammen von der Simulation zu Gleichungen auf der Seite von PhET

https://phet.colorado.edu/sims/html/equality-explorer/latest/equality-explorer_de.html </ref> 
[[Datei:Lösung des Einstiegsbeispiels 4x+5=13 als Waage und Gleichung.png|rahmenlos|900x900px]] 
Um eine Gleichung zu lösen darfst du '''auf beiden Seiten'''
* den gleichen Term addieren oder subtrahieren
* mit der gleichen Zahl (≠0) multiplizieren oder durch die gleiche Zahl (≠0) dividieren.
Dabei wird die Lösung nicht geändert.|Merksatz}}
Diese Umformungen heißen "Äquivalenzumformungen" (von lat. äqui - gleich und vale - wert sein).

{{Box|Übung 3 - Waagemodell|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs'''] mindestens 5 Beispiele. Nimm das Material und stelle die Gleichung und die Lösung als Tütengleichung nach. Notiere die Gleichung und die passende Rechenoperation zur Lösung der Aufgabe in deinem Heft.
* Nr. 25|Üben}}

{{Box|Übung 4|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Wenn nötig, nutze das Material, stelle die Gleichung als Tütengleichung nach und löse schrittweise. Notiere passend dazu die Umformungen der Gleichung.
* S. 118 Nr. 1|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Hast du deine Lösung ausführlich notiert? Vergleiche und ergänze - falls nötig.[[Datei:SP 7 S.118 Nr.1.jpg|rahmenlos|600x600px]]|2=Vergleiche deine Lösungen (ausführliche Schreibweise)|3=Verbergen}}

===2.2 Gleichungen mit Variablen auf einer Seite lösen===

{{Box|1=Übung 5|2=Löse die Übungen auf der Seite realmath. Stelle dir die Situation als Tütengleichung mit dem Waagemodell vor. Bearbeite jeweils so viele Aufgaben, bis du mindestens 300 Punkte gesammelt hast.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/gleichungen/gleichungswaage.html Level 1 Waagemodell]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/gleichungen/gleichunglevel.html Level 1 Übung 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/gleichungen/gleichungerfinden.html Level 1 Übung 2]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/gleichungen/gleichungswaage2.html Level 2 Waagemodell]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/gleichungen/gleichunglevela1.html Level 2 Übung]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/gleichungen/gleichungswaage3.html Level 3 Waagemodell]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/gleiloes.html Level 3 Übung 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/gleichungen/gleichunglevel1.html Level 3 Übung 2]|3=Üben}}

{{LearningApp|app=pjews6mnv21|width=100%|height=1500px}}

Klicke auf das Bild, dann siehst du, wie du die Mengenklammer für die Lösung schreibst. Übe so lange, bis du diese Klammer ebenso schreiben kannst. 
[[Datei:Lösungsmenge schreiben.gif|rahmenlos|300x300px]]

{{Box|Übung 6|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die Umformungen mit Pfeilen auf beiden Seiten der Gleichung.
* S. 118 Nr. 2
* S. 118 Nr. 3
* S. 118 Nr. 4**
* S. 126 Nr. 3|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Die folgenden Zahlen sind Lösungen der Gleichungen (unsortiert): -9; -7; -6; -5; 0; 1; 2; 6; 22; 69|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 2|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die folgenden Zahlen sind Lösungen der Gleichungen (unsortiert): -18; -6; -5; 0,5; 2; 2; 2; 4|Verlgeiche deine Lösungen zu S. 118 Nr. 3|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=x:10 = <math>\tfrac{x}{10}</math> Forme also um mit ·10.|2=Tipp zu Nr. 4b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=<math>\tfrac{1}{10}</math>x = <math>\tfrac{x}{10}</math> Forme also um mit ·10|2=Tipp zu Nr. 4c|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=1 = x : <math>\tfrac{1}{2}</math> Die Umkehraufgabe zu Division : ist die Multiplikation ·. Multipliziere also mit <math>\tfrac{1}{2}</math>|2=Tipp zu Nr. 4e|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die folgenden Zahlen sind Lösungen der Gleichungen (unsortiert): -49; -1; <math>\tfrac{1}{2}</math>; 20; 30; 50; 128; 250|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösung mit den Lösungen hinten im Buch (grüne Seiten!)|Vergleiche deine Lösungen zu S. 126 Nr. 3|Verbergen}}
 
{{Box|Übung 7|Berechne x aus -x. Löse dazu auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/gleichung-mit-einer-unbekannten.shtml '''Aufgabenfuchs''']
* Nr. 5|Üben}}

{{Box|1=Gleichungen lösen - Schreibweisen|2=Jede Gleichung lässt sich Schritt für Schritt durch Umformungen lösen. Anstatt der Pfeile auf beiden Seiten kann man kürzer '''Kommandostriche''' schreiben und die Umformung dahinter notieren: 
[[Datei:Lösen mit Kommandostrich.png|rahmenlos|600x600px]]|3=Arbeitsmethode}} 

{{#ev:youtube|G5XxS2OFsJU|800|center}}
 
{{Box|Übung 8|Löse die Übungen auf der Seite dwu Schritt für Schritt.
* [http://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmgl11.htm Übung 1]
* [https://www.zum.de/dwu/depothp/hp-math/hpmgl12.htm Übung 2]|Üben}}

 
{{Box|Übung 9|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die Umformungen in der Kurzschreibweise mit einem Kommandostrich, wie in der vorausgegangenen Übung. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.
* S. 118 Nr. 5
* S. 126 Nr. 4
* S. 126 Nr. 5
* S. 126 Nr. 8
* S. 126 Nr. 9
* S. 126 Nr. 10|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Schreibweise mit Kommandostrich: 
a) z + 18 = 38   |-18 
   z = 20 
Kontrolle aller Lösungen: Addiere alle Lösungen, das Ergebnis muss 160 betragen.|2=Tipp zu S. 118 Nr. 5|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 10 - Fehler finden|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Schreibe dazu die Aufgabe (mit Äquivalenzumformung!) mit der richtigen Lösung in dein Heft und erläutere deinem Sitznachbarn den Fehler im Buch.
* S. 118 Nr. 6|Üben}}

===2.3 Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten lösen===

Sicherlich kennst du noch die Vorrangregeln beim Berechnen von Termen: [[Datei:SADC road sign IN7.svg|alternativtext=|rechts|rahmenlos|50x50px]]
- Punktrechnung vor 
- Strichrechnung 
Möchtest du nun eine Gleichung nach x auflösen, ist das Ziel, dass x "allein auf einer Seite" der Gleichung steht. Du musst also "alles, was stört auf die andere Seite bringen". 
Bei den Umformungen musst du diese '''Reihenfolge "rückwärts"''' beachten: [[Datei:Vienna Convention road sign B4-V3.svg|rechts|rahmenlos|50x50px]]
Bringe zunächst die Terme mit Strichrechnung auf die andere Seite, dann löse die Punktrechnung auf. 
 

{{Box|Gleichungen lösen Schritt für Schritt|[[Datei:Gleichungen lösen Schritt für Schritt 119.png|rahmenlos|800x800px]] |Arbeitsmethode}} 

{{#ev:youtube|K0zma5hxJCM|800|center}}
 
{{Box|Übung 11|Löse die Gleichungen Schritt für Schritt. Notiere jeweils die Umformungen hinter den Kommandostrichen.
* S. 119 Nr. 7 (Führe für jede Aufgabe eine Probe durch.)
* S. 126 Nr. 11 (Vergleiche mit den Lösungen hinten im Buch.)
* S. 127 Nr. 10|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Um deine Lösung zu prüfen, setze deine Lösung anstelle von x in die Gleichung ein. Rechne dann die linke und die rechte Seite der Gleichung aus (nicht umformen!!). Es muss eine wahre Aussage entstehen. 
Beispiel: 
12x - 1 = 7x + 19   |... 
... 
Die Lösung für Nr. 7a) ist x = 4. 
Probe: 
12·4 - 1 = 7·4 + 19 
48 - 1 = 28 + 19 
47 = 47 (w) |2=Tipp zur Probe|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 12|In der nächsten Übung fasse zunächst auf beiden Seiten so weit wie möglich zusammen. Danach löse Schritt für Schritt. (Übungen von realmath)
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse7/gleichungen/gleichung.html Übung 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/gleichungen/gleichung2.html Übung 2]
* S. 119 Nr. 11
* S. 119 Nr. 12|Üben}}
{{Lösung versteckt|Lösungen (unsortiert): 
-3; -<math>\tfrac{1}{3}</math>; 0,2; <math>\tfrac{1}{2}</math>; 1,2; 2; 4; 8; 10; 10<math>\tfrac{1}{3}</math>|Vergleiche deine Lösungen|Verbergen}}

Noch mehr Übungen (mit Lösungen) findest du hier: 
[http://www.mathe-trainer.de/Klasse8/Lineare_Gleichungen/Aufgabensammlung.htm Mathe-Trainer: Lineare Gleichungen]

{{Fortsetzung|weiter=3) Gleichungen mit Klammern|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Gleichungen/Gleichungen mit Klammern}}

<references />

Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche selbständig erarbeiten/1) Dezimalbrüche in der Stellenwerttafel

2022-03-26T10:27:47Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} 

{{Navigation|
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/1) Dezimalbr%C3%BCche_in_der_Stellenwerttafel|1) Dezimalbrüche in der Stellenwerttafel]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/2)_Dezimalbr%C3%BCche_in_Br%C3%BCche_umwandeln|2) Dezimalbrüche in Brüche umwandeln]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche_selbständig_erarbeiten/3)_Brüche_in_Dezimalbrüche_umwandeln|3) Brüche in Dezimalbrüche umwandeln]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/4)_Periodische_Dezimalbr%C3%BCche|4) Periodische Dezimalbrüche]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/5)_Dezimalbr%C3%BCche_am_Zahlenstrahl_eintragen|5) Dezimalbrüche am Zahlenstrahl eintragen]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/6)_Vergleichen_und_Ordnen_von_Dezimalbr%C3%BCchen|6) Vergleichen und Ordnen von Dezimalbrüchen]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/7)_Runden_von_Dezimalbr%C3%BCchen|7) Runden von Dezimalbrüchen]]
}}
==1 Dezimalbrüche in der Stellenwerttafel==
{{Box|1=Merke|2=Schreibe ins Heft: 
Dezimalbrüche sind Brüche in einer anderen Schreibweise: Sie haben den Nenner 10, 100, 1000, … 
0,7 = <math>{7 \over 10}</math> ; die erste Stelle nach dem Komma sind die Zehntel '''z''' (dezi). 
0,08 = <math>{8 \over 100}</math> ; die zweite Stelle nach dem Komma sind die Hundertstel '''h''' (centi). 
0,004 = <math>{4 \over 1000}</math> ; die dritte Stelle sind Tausendstel '''t''' (milli). 
Die Ziffern hinter dem Komma heißen '''Nachkommaziffern''' oder '''Dezimalen'''. 
Dezimalbrüche lassen sich in einer '''Stellenwerttafel''' darstellen:
[[Datei:Stellenwerttafel.png|700px|center]]
|3=Merksatz}}
 
Dezimalzahlen lassen sich auch am Zahlenstrahl darstellen:
{{Box|Zahlenstrahl-Lupe|Du kannst zwischen den natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl weitere Zahlen eintragen. Schau mit der Lupe!|Unterrichtsidee}}
<ggb_applet id="rajsk9m7" width="961" height="395" border="888888" />
Applet von B. Lachner 

{{Box|Dezimalzahlen darstellen|Im nachfolgenden Applet kannst du die Dezimalzahlen als Bruchteile darstellen. Erkläre!|Unterrichtsidee}}
<ggb_applet id="a3pehc4h" width="1100" height="757" border="888888" />
Applet von B. Lachner
 
{{Box|Übung 1|Bearbeite die folgenden Apps.|Üben}}

{{H5p|id=776597|height=600}}

{{LearningApp|app=ppzvvcetc20|width=100%|height=1200px}}

{{LearningApp|app=pkvdywpga20|width=100%|height=800px|}}

{{LearningApp|app=pri52nu7t22|width=100%|height=600px}}
{{Box|Übung 2 im Heft|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Löse im Heft.
* S. 105 Nr. 1
* S. 105 Nr. 2|Üben}}

{{Box|Übung 3 - online|Löse auf der Seite [https://aufgabenfuchs.de/mathematik/bruch/dezimalbruch.shtml Aufgabenfuchs] die Aufgaben
* 1
* 2
* 3
* 4 |Üben}}

{{Box|Überflüssige Nullen|
Zeichne eine Stellenwerttafel in dein Heft und trage die folgenden Dezimalbrüche ein:

a) 2,50 b) 2,05 c) 2,0500 d) 00,500 e) 02,505

Welche Nullen kann man bei jeder Zahl weglassen, ohne dass sich der Wert des Dezimalbruches ändert?
Formuliere eine Regel.|Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|Schreibe die Zahlen in eine Stellenwerttafel:[[Datei:Unnötige Nullen Tipp Stellenwerttafel.png]]|Tipp 1: Stellenwerttafel|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Welche Nullen dürfen weggelassen werden, ohne dass sich der Wert der Zahl ändert?[[Datei:Unnötige Nullen Tipp 2 Stellenwerttafel.png]]|Tipp 2: Unnötige Nullen streichen|Verbergen}}
Das folgende Quiz soll dir helfen, eine Regel zu formulieren.
{{H5p|id=780302|height=400}}

Vergleiche deine Regel mit dem Lückentext. Falls nötig, ergänze und berichtige deine Regel.
 
 

{{Box| Übung 4|Schreibe die Zahlen ohne unnötige Nullen.|Üben}}
{{LearningApp|app=pzj6m66f520|width=100%|height=400px}}

{{Box|1=Übung 5|2=Bearbeite die Aufgabe aus dem Buch. Löse im Heft.
* S. 105 Nr. 7
 '''Beachte den Tipp zu Nr. 7. Genau so musst du alle Aufgaben bearbeiten!''' Schreibe immer zunächst die Aufgabe ab und schreibe dann - wenn möglich - nach Umwandlung in einen Bruch ohne die unnötigen Nullen (ähnlich wie in der App oben).|3=Üben}}

{{Lösung versteckt|1='''Notiere das folgende Beispiel''' für die Bearbeitung: Nr. 7a (erster Dezimalbruch) Bearbeite die folgenden Aufgaben in derselben Weise. [[Datei:S 105 - Nr 7a (Beispiel).jpg|400 px|center]]|2=Tipp zu Nr. 7|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Bei dir müssen neben einem Antwortsatz (wie dem folgenden) zusätzlich '''alle 12 Umwandlungen zu den Teilaufgaben im Heft''' notiert werden! Erkenntnis: Ist bei einem Dezimalbruch die letzte Nachkommaziffer eine Null, so kann diese weggelassen werden, ohne dass sich der Wert ändert.|2=Lösung zu Nr. 7|3=Tipp ausblenden}}

 

{{Fortsetzung|weiter=2) Dezimalbrüche in Brüche umwandeln|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche selbständig erarbeiten/2) Dezimalbrüche in Brüche umwandeln|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche selbständig erarbeiten}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche selbständig erarbeiten/2) Dezimalbrüche in Brüche umwandeln

2022-03-26T10:27:17Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} 
{{Navigation|
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/1) Dezimalbr%C3%BCche_in_der_Stellenwerttafel|1) Dezimalbrüche in der Stellenwerttafel]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/2)_Dezimalbr%C3%BCche_in_Br%C3%BCche_umwandeln|2) Dezimalbrüche in Brüche umwandeln]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche_selbständig_erarbeiten/3)_Brüche_in_Dezimalbrüche_umwandeln|3) Brüche in Dezimalbrüche umwandeln]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/4)_Periodische_Dezimalbr%C3%BCche|4) Periodische Dezimalbrüche]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/5)_Dezimalbr%C3%BCche_am_Zahlenstrahl_eintragen|5) Dezimalbrüche am Zahlenstrahl eintragen]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/6)_Vergleichen_und_Ordnen_von_Dezimalbr%C3%BCchen|6) Vergleichen und Ordnen von Dezimalbrüchen]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/7)_Runden_von_Dezimalbr%C3%BCchen|7) Runden von Dezimalbrüchen]]
}}

==2 Dezimalbrüche in Brüche umwandeln==

{{Box|1=Erinnerung|2=Dezimalbrüche sind Brüche mit dem Nenner 10, 100, 1000...
Beispiele: 0,7 = <math>\frac{7}{10}</math>(= sieben Zehntel)|3=Unterrichtsidee}}

{{Box| Übung 1| Verbinde die Dezimalbrüche mit den passenden Brüchen.|Üben}}

{{LearningApp|width:100%|high:800px|app=p6urs5k1t20}}

Bist du noch unsicher? Dann hilft dir das folgende Video weiter. Ansonsten gehe weiter zu den Übungen unten.
{{#ev:youtube|9x21-I_JEsk|800|center}}

{{Box|Übung 2|Bearbeite die folgenden Apps:|Üben}}

{{LearningApp|width:100%|high:800px|app=p6au41nm520}}

{{LearningApp|width:100%|high:800px|app=p7k7n9h2520}}

{{Box|Übung 3 im Heft|Schreibe S. 105 Nr. 5 und 6 in dein Heft ab und löse. Dein Hefteintrag muss wie im Foto aussehen!|Üben}}
[[Datei:Hefteintrag S. 105 Nr. 5.png|mini|600x600px|Hefteintrag zu S. 105 Nr. 5|alternativtext=|zentriert]]

{{Box|Übung 4 online|Löse Nr. 5 und 6 der Seite Aufgabenfuchs https://aufgabenfuchs.de/mathematik/bruch/dezimalbruch.shtml |Üben}}

 {{Fortsetzung|weiter=3) Brüche in Dezimalbrüche umwandeln|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche selbständig erarbeiten/3) Brüche in Dezimalbrüche umwandeln|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche selbständig erarbeiten}}

Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche selbständig erarbeiten/2) Dezimalbrüche in Brüche umwandeln

2022-03-26T10:26:34Z

Neukirch: /* 2 Brüche in Dezimalbrüche umwandeln */

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} 
{{Navigation|
[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/1) Dezimalbr%C3%BCche_in_der_Stellenwerttafel|1) Dezimalbrüche in der Stellenwerttafel]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/2)_Dezimalbr%C3%BCche_in_Br%C3%BCche_umwandeln|2) Dezimalbrüchen in Brüche umwandeln]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche_selbständig_erarbeiten/3)_Brüche_in_Dezimalbrüche_umwandeln|3) Brüche in Dezimalbrüche umwandeln]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/4)_Periodische_Dezimalbr%C3%BCche|4) Periodische Dezimalbrüche]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/5)_Dezimalbr%C3%BCche_am_Zahlenstrahl_eintragen|5) Dezimalbrüche am Zahlenstrahl eintragen]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/6)_Vergleichen_und_Ordnen_von_Dezimalbr%C3%BCchen|6) Vergleichen und Ordnen von Dezimalbrüchen]]

[[Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbr%C3%BCche_selbst%C3%A4ndig_erarbeiten/7)_Runden_von_Dezimalbr%C3%BCchen|7) Runden von Dezimalbrüchen]]
}}

==2 Dezimalbrüche in Brüche umwandeln ==

{{Box|1=Erinnerung|2=Dezimalbrüche sind Brüche mit dem Nenner 10, 100, 1000...
Beispiele: 0,7 = <math>\frac{7}{10}</math>(= sieben Zehntel)|3=Unterrichtsidee}}

{{Box| Übung 1| Verbinde die Dezimalbrüche mit den passenden Brüchen.|Üben}}

{{LearningApp|width:100%|high:800px|app=p6urs5k1t20}}

Bist du noch unsicher? Dann hilft dir das folgende Video weiter. Ansonsten gehe weiter zu den Übungen unten.
{{#ev:youtube|9x21-I_JEsk|800|center}}

{{Box|Übung 2|Bearbeite die folgenden Apps:|Üben}}

{{LearningApp|width:100%|high:800px|app=p6au41nm520}}

{{LearningApp|width:100%|high:800px|app=p7k7n9h2520}}

{{Box|Übung 3 im Heft|Schreibe S. 105 Nr. 5 und 6 in dein Heft ab und löse. Dein Hefteintrag muss wie im Foto aussehen!|Üben}}
[[Datei:Hefteintrag S. 105 Nr. 5.png|mini|600x600px|Hefteintrag zu S. 105 Nr. 5|alternativtext=|zentriert]]

{{Box|Übung 4 online|Löse Nr. 5 und 6 der Seite Aufgabenfuchs https://aufgabenfuchs.de/mathematik/bruch/dezimalbruch.shtml |Üben}}

 {{Fortsetzung|weiter=3) Brüche in Dezimalbrüche umwandeln|weiterlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche selbständig erarbeiten/3) Brüche in Dezimalbrüche umwandeln|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Dezimalbrüche selbständig erarbeiten}}

Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und Zinsrechnung/Vermehrter und verminderter Grundwert

2022-03-19T10:11:39Z

Neukirch: kleine Fehler korrigiert

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
 
SEITE IM AUFBAU
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung| Prozent-und Zinsrechnung Startseite]]
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Wiederholung:Grundwert,Prozentwert,Prozentsatz| 1) Wiederholung der Grundbegriffe: Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p%]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Vermehrter_und_verminderter_Grundwert|2) Vermehrter und verminderter Grundwert]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und_Zinsrechnung/Zinsrechnung|3) Zinsrechnung]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und Zinsrechnung/Monats- und Tageszinsen|4) Monats- und Tageszinsen]]}}
==2) Vermehrter und verminderter Grundwert==

{{Box|Einstiegsaufgabe 1 - Handykauf|[[Datei:Smartphone_-_The_Noun_Project.svg|rechts|rahmenlos|150x150px]]Luis möchte sich ein Handy für 388€ kaufen.
In einem Prospekt ist der Preis um 19% reduziert. 
Wie viel kostet das Handy nun? 
Finde verschiedene Möglichkeiten, den neuen Preis auszurechnen!|Unterrichtsidee}}

{{Box|1=Hefteintrag|2=Erkläre die Aufgabe, fülle dazu die Lücken passend. Übertrage die Sätze in dein Heft.
<div class="lueckentext-quiz">
Das Handy kostet ursprünglich '''388€'''. Das ist '''G'''. 
Der Preis wird mit dem Rabatt '''um''' '''19%''' gesenkt. Das ist '''p%'''. 
Du sparst '''73,72€'''. Das ist '''W'''. 
Der Preis wird '''auf''' '''81%''' des ursprünglichen Preises gesenkt. Du musst also noch '''81%''' des ursprünglichen Preises bezahlen. Das ist '''p-%''' 
Du musst also noch '''314,28€''' bezahlen. Das ist '''G-'''.

</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|[[Datei:Vermehrter und verminderter Grundwert Beispiel 1 Lösung.png|rahmenlos|600x600px]]|Lösung Einstiegsaufgabe 1|Verbergen}}

{{Box|Einstiegsaufgabe 2 - Miete|[[Datei:House-2492054 1280.png|rechts|rahmenlos|150x150px]]Familie Rabe wohnt in einem Haus zur Miete und zahlt monatlich 950€. Ab dem 01. Januar diesen Jahres verlangt der Vermieter 5% mehr. 
Wie viel muss die Familie nun bezahlen? 
Finde verschiedene Möglichkeiten, die Höhe der neuen Miete auszurechnen!|Unterrichtsidee}}

{{Box|1=Hefteintrag|2=Erkläre die Aufgabe, fülle dazu die Lücken passend. Übertrage die Sätze in dein Heft.
<div class="lueckentext-quiz">
Die Miete beträgt ursprünglich '''950€'''. Das ist '''G'''. 
Die Miete steigt '''um''' '''5%'''. Das ist '''p%'''. 
Die Familie muss nun '''47,50€''' mehr bezahlen. Das ist '''W'''. 
Die Miete wird '''auf''' '''105%''' des ursprünglichen Preises erhöht. Das ist '''p+%''' 
Die Familie muss nun also '''997,50€''' bezahlen. Das ist '''G+'''.

</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|[[Datei:Vermehrter und verminderter Grundwert Beispiel 2 Lösung 2.png|rahmenlos|800x800px]]|Lösung zum Einstiegsbeispiel 2|Verbergen}}

===2.1 Vermehrten und verminderten Grundwert berechnen===

{{Box|1=Vermehrter und verminderter Grundwert|2=Es gibt Situationen, in denen wird ein Grundwert G um einen prozentualen Anteil p% vermehrt oder vermindert. 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Den vermehrten Grundwert G+ berechnest du, indem du den Grundwert G mit dem vermehrten Prozentsatz p+% = 100% + p% multiplizierst: 
G+ = G ∙ p+%. 
</div>
<div class="width-1-2">Den verminderten Grundwert G- berechnest du, indem du den Grundwert G mit dem verminderten Prozentsatz p-% = 100% - p% multiplizierst: 
G- = G ∙ p-%.</div>
</div>|3=Arbeitsmethode}}
Beispiele: 
'''Rechnung mit Formel''' 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Miete: 
geg: G=950€; p%=5%, also p+%=100%+p%=105% = 1,05 
ges: G+ 
G+ = G ∙ p+% 
   = 950 ∙ 1,05 
   = 997,50 [€]</div>
<div class="width-1-2">Handykauf: 
geg: G=388€; p%=19%, also p-%=100%-p%=81% = 0,81 
ges: G- 
G- = G ∙ p-% 
   = 388 ∙ 0,81 
   = 314,28 [€]
</div>
</div>
 
Du kannst für die Berechnung des vermehrten bzw. verminderten Grundwertes auch den Dreisatz benutzen:
{{#ev:youtube|RAKS6Iad9lQ|600|center}}
 
'''Rechnung mit Dreisatz:'''
Ergänze die Lücken:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
Miete:
{| class="wikitable"
|-
|Prozentsatz
|Mietkosten (€)
|-
|100%
|950
|-
|1%
|____
|-
|105%
|_____
|}
</div>
<div class="width-1-2">
Preis Handy:
{| class="wikitable"
|-
|Prozentsatz
|Preis (€)
|-
|100%
|388
|-
|1%
|____
|-
|81%
|_____
|}
</div>
</div>
{{Lösung versteckt|1=
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
{{(!}} class="wikitable"
{{!-}}
! Prozentsatz p%
! Mietkosten (€)
{{!-}}
{{!}} 100%
{{!}} 950
{{!-}}
{{!}} 1%
{{!}} 9,50
{{!-}}
{{!}} 105%
{{!}} 997,50
{{!-}}
{{!)}}
</div>
<div class="width-1-2">
{{(!}} class="wikitable"
{{!-}}
! Prozentsatz p%
! Preis (€)
{{!-}}
{{!}} 100%
{{!}} 388
{{!-}}
{{!}} 1%
{{!}} 3,88
{{!-}}
{{!}} 81%
{{!}} 314,28
{{!-}}
{{!)}}
</div>
</div>
|2=Lösung|3=Verbergen}}

{{Box|Hefteintrag|Übertrage die Beispiele von oben in dein Heft. 
1. Möglichkeit: Rechnung mit Formel... 
2. Möglichkeit: Rechnung mit Dreisatz...|Arbeitsmethode}}
 
 

Du kennst schon das Formeldreieck für die Prozentrechnung mit der Formel W = G ∙ p%. Nun ersetzt du in diesem Formeldreieck den Prozentwert W durch den vermehrten/verminderten Grundwert G+/-.

{{Box|Formeldreieck für den vermehrten/verminderten Grundwert|Du kennst das Formeldreieck bereits aus der Prozentrechnung. Es ist auch eine Hilfe für das Umstellen der Formeln für den vermehrten Grundwert. Zeichne das Formeldreieck in dein Heft. [[Datei:Formeldreieck vermehrter Grundwert.png|rahmenlos]] 
Merke dir die Anordnung der Größen im Dreieck. Halte die gesuchte Größe mit dem Finger zu, dann erhältst du die zugehörige Formel. Notiere die drei Formeln in dein Heft. Kontrolliere die Lösung. 
[[Datei:Formeldreieck vermehrter Grundwert mit Hand ohne Formel.png|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Formeldreieck vermehrter Grundwert mit Hand.png|rahmenlos|600x600px]]|Lösung|Verbergen}}
 

{{Box|Übung 1|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
* 11
Lies auch die Informationen unter der Aufgabe.|Üben}}

{{Box|Übung 2 |Trage im nachfolgenden Quiz die veränderten Prozentsätze p+% bzw. p-% ein (Prozent- und Dezimalbruchschreibweise).|Üben}}
{{h5p-zum|id=10428|height=200px}}

{{Box|1=Übung 3|2=Löse die Aufgaben aus dem Buch mit der Formel. Notiere so: 
geg: G = 150€, p% = 20%, also p-% = 100%-20% = 80% = 0,8 
ges: G- 
G- = G ∙ p-% 
   = 150 ∙ 0,8 
   = 120 [€] 
 
* S. 106 Nr. 2
* S. 106 Nr. 3
* S. 115 Nr. 4
* S. 115 Nr. 5|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Das Video zeigt dir noch einmal anhand von zwei Beispielen, wie du rechnen kannst. Hier wird für den veränderten Prozentsatz p+/-% die Variable q verwendet. 
{{#ev:youtube|04AbpjTSeEc|800|center}}|2=Video mit Beispielrechnungen|3=Verbergen}}
 

{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift! 
Lösungen zu Nr. 2 bunt gemischt: 
8,16 €; 9,60 €; 10 €; 20 €; 30,40 €; 36 €; 48€; 68,80 €; 79,20 €; 88 €; 120 €;|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 2|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift! 
Lösungen zu Nr. 3 bunt gemischt: 
84,70; 110,08; 127,57; 192 ; 399; 2003,45; 56367,6|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 3|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit einem andersfarbigen Stift! 
Die Lösungen zu Nr. 4 und 5 findest du hinten im Buch!|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 4 und Nr. 5|Verbergen}}

{{Box|Übung 4|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml''' Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 14
* 15 |Üben}}

===2.2 Prozentsatz p% aus dem Grundwert und dem vermehrten/verminderten Grundwert berechnen===

{{Box|Winterschlussverkauf|[[Datei:Snowboard reduziert 1.png|rahmenlos]][[Datei:Snowboard reduziert 2 neu.png|rahmenlos]] Schau dir die Angebote genau an. 
a) Für Welches Board entscheidest du dich, bunt oder blau? Begründe.
b) Bei welchem Board sparst du prozentual am meisten? Notiere deine Rechnung.|Unterrichtsidee}}

{{Lösung versteckt|1=geg: G=alter Preis; G-=neuer Preis 
ges: p-% und p% 
Berechne zunächst durch Umstellen der Formel (oder mit dem Dreisatz) p-%. 
Mit diesem Wert kannst du dann p% berechnen: p% = 100% - p-%.|2=Tipp zu b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung Prozentsatz berechnen Lernpfad Boards.png|rahmenlos|1000x1000px]]|Lösung zu b|Verbergen}}

{{#ev:youtube|gq0clIHMgiY|600|center}}

{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch mit Formel und Dreisatz. Es reicht, wenn du je zwei Angebote auswählst.
* S. 106 Nr. 4
* S. 116 Nr. 5
* S. 116 Nr. 7|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=geg: G=alter Preis; G-=neuer Preis 
ges: p-% und p% 
Berechne zunächst durch Umstellen der Formel (oder mit dem Dreisatz) p-%. 
Mit diesem Wert kannst du dann p% berechnen: p% = 100% - p-%.|2=Tipp zu Nr. 4|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|[[Datei:Beispielrechnung zu Nr. 4 (S.106).jpg|400px]]|2=Beispielrechnung zu Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 4 (bunt gemischt). Es ist immer p% angegeben, nicht der Zwischenschritt p-%. Falls nötig, berichtige oder notiere Fragen und hake mit einem andersfarbigen Stift ab. 
p% = 16,7%; p% = 20%; p% = 27,4%; p% = 41,7%|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 4|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Das Plakat verspricht, dass du bis zu 80% sparen kannst. Stimmt das? 
geg: alter Preis G = 2900€; neuer Preis G-= 790€ 
ges: p% (Wie viel Prozent spare ich?) 
Mit den gegebenen Werten kannst berechnest du zunächst p-%, also '''auf''' wie viel Prozent der Preis gesunken ist. In einer zweiten Rechnung bestimmst du dann p%. 
p-% = <math>\tfrac{G-}{G}</math> = <math>\tfrac{790}{2900}</math><math>\approx</math> 0,272 = 27,2% 
Der Preis wurde auf 27,2% des ursprünglichen Preises gesenkt. 
Berechne nun p%, also, um wie viel Prozent der Preis reduziert wurde: 
p% = 100% - p-% = 100% - 27,2% = 72,7%. 
Du sparst also 72,7%. Das ist viel, aber nicht die versprochenen 80%. Sparst du bei den anderen Angeboten mehr? 
Rechne ebenso. 
Lösungen (bunt gemischt): 76%; 80%; 80,8%; 81,9% 
Der Händler gibt also tatsächlich einen so hohen Rabatt!|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 5|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gegeben ist jeweils der alte Preis G und der reduzierte neue Preis G-. 
Gesucht ist der Prozentsatz p%, nämlich, wie viel Prozent gespart wurde. 
Berechne wie in den vorangegangenen Aufgaben zunächst p-% und damit dann p%. 
Lösungen (bunt gemischt): 16,7%; 20,1%; 30,3%|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 7|3=Verbergen}}

===2.3 Grundwert G aus dem vermehrten/verminderten Grundwert berechnen===

{{Box|Tischtennis|Mats möchte einen neuen Tischtennisschläger kaufen und findet folgendes Angebot: 
[[Datei:Tischtennisschläger Preis reduziert.png|rahmenlos|400x400px]] 
Nun möchte er wissen, wie viel der Schläger ursprünglich gekostet hat. Wie könnte er vorgehen? 
Notiere deine Ideen im Heft.
|Unterrichtsidee}}
{{Lösung versteckt|1=geg: p%=15%=0,15, also ist p-% = ...; G-=93,50€ 
ges: G 
Berechne mit Formel oder Dreisatz|2=Tipp|3=Verbergen}}
 
{{#ev:youtube|vQAjV3g8Frw|600|center}}
 

Du musst dem Text entnehmen können, welche Größen gegeben und welche gesucht sind. Bearbeite dazu die nachfolgende LearningApp.
{{LearningApp|app=p00z91n7j21|width=100%|height=600px}}

{{Box|Übung 6|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Vergleiche deine Lösungen!
* S. 115 Nr. 9
* S. 115 Nr. 10|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Stelle dir eine Anwendungssituation zur Aufgabe vor: Beispiel: 
Der Preis für ein Snowboard wurde '''um 18% erhöht''', es kostet '''jetzt 513,30 €'''. Wie teuer war es '''ursprünglich'''? 
Kannst du jetzt angeben, was gegeben und was gesucht ist?|2=Tipp 1 zu Nr. 9|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: G+ = 513,30€; p% = 18%, also p+% = 100%+18%=118%=1,18 
ges: G 
Wie lautet die Formel für G? Schau im Formeldreieck nach oder forme die Grundformel G+ = G· p+% nach G um.|2=Tipp 2 zu Nr. 9|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Lösungen der Aufgaben auf den grünen Seiten stehen immer hinten im Buch. Vergleiche deine Lösungen und hake ab.|Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 9 und 10|Verbergen}}

{{Box|Übung 7|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 10
* 16
* 17
* 18
* 19
* 20
|Üben}}

=====Mehrwertsteuer=====
'''Mehrwertsteuer:''' (Information zur Aufgabe 21) 
Wenn du einkaufen gehst, sind die Preise in der Regel als '''Brutto'''preis angegeben. Das bedeutet, dass in diesem Preis die Mehrwertsteuer enthalten ist. Der '''Brutto'''preis ist also der Preis '''mit''' Mehrwertsteuer. 
Der '''Netto'''preis gibt den Preis '''ohne''' Mehrwertsteuer an. 
Also gilt: 
Bruttopreis = Nettopreis + Mehrwertsteuer 
     G+      =      G     +      W
 
Die Abbildung verdeutlicht diesen Zusammenhang: 
[[Datei:Bild Balken Brutto und Nettopreis.png|rahmenlos|800x800px]] 
 

{{Box|Übung 8 - Mehrwertsteuer|[[Datei:Woolworth-Quittung-2007.jpg|alternativtext=|rechts|349x349px]]1) Nimm den Kassenbon deines letzten Einkaufs und prüfe die Angaben zur berechneten Mehrwertsteuer. 
2) Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgabe
* 21
* 23|Üben}}

{{Box|Übung 9|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Lösung ausführlich und übersichtlich (geg:...; ges:...).
* S. 106 Nr. 5|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Beispiel zu Nr. 5 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Nimm an, du kaufst ein Fernsehgerät für 1000€ und sparst laut dem Angebot 19%. Wie viel musst du für den Fernseher dann bezahlen? 
geg: G= 1000€; p% = 19%, also p-% = 100% - 19% = 81% = 0,81 
ges: G- (neuer Preis) 
G- = G ∙ p-% 
   = 1000 ∙ 0,81 
   = 810 (€) 
Mit 19% Rabatt musst du 810 € bezahlen.</div>
<div class="width-1-2">Du hättest auch zuerst die Ersparnis ausrechnen können: 
W = G ∙ p% 
W = 1000 ∙ 0,19 
W = 190 (€) 
Du sparst also 190€.</div>
</div>
 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Wie viel Mehrwertsteuer ist im Preis von 1000€ enthalten? 
geg: G+ = 1000€ (Bruttopreis: Preis mit Mehrwertsteuer); p+% = 119% = 1,19 
ges: G (Nettopreis) 
G+ = G ∙ p+%   |: p+% 
<math>\tfrac{G^+}{p^+%}</math>= G 
G = <math>\tfrac{1000}{1,19}</math> 
   <math>\approx</math> 840,34 (€) 
Der Preis ohne Mehrwertsteuer beträgt 840,34 €.</div>
<div class="width-1-2">
1000 - 840,34 = 159,66 (€) 
Es sind also 159,66 € Mehrwertsteuer im Preis enthalten.</div>
</div>
|2=Beispiel zu Nr. 5|3=Verbergen}}

===2.4 Vermischte Übungen - Anwendungsaufgaben===

{{LearningApp|app=pik3b5p0320|width=100%|height=600px}}
{{LearningApp|app=p8wh42h2k20|width=100%|height=600px}}

{{Box|1=Übung 10|2=Lies die Aufgabe genau. Notiere, welche Größen gegeben sind und welche gesucht ist. Löse dann die Aufgabe mit der Formel oder dem Dreisatz. Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch.
* S. 115 Nr. 6
* S. 115 Nr. 7
* S. 115 Nr. 8 (Vorsicht: Druckfehler im Buch: p% = 5%, nicht 0,5%)|3=Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Welche Größen sind gegeben, welche gesucht? 
G; G+; G-; p%; p+%; P-% 
Berechne die fehlende Größe mit der Formel (diese musst du teils umstellen) und/oder mit dem Dreisatz. 
Formel: G+ = G ∙ p+% bzw. G- = G ∙ p-% 
(Kontrolliere deine umstellte Formel mithilfe des Formeldreiecks.)|2=Tipp|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=a) geg: G=2650€; p%=3,7% = 0,037 also ... 
ges: p+%; G+ 
b) geg: "nach" der Erhöhung..., also G+ = 1971€; p% = 4,5% = 0,045
ges: G; p+%|2=Tipp zu Nr. 6|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: p% = 12% = 0,12; G- = 396 ("gesenkt"; "danach") 
ges: G; (p-)|2=Tipp zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: p% = 5% = 0,05; G = 72 
ges: G+; G-; (p+%;p-%)|2=Tipp zu Nr. 8|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 11|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/grundwert-erhoeht---vermindert.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 25
* 26
* 27
* 28
* 29
* 30
* 31
|Üben}}

===2.5 Mehrfach veränderter Grundwert===

{{Box|Erarbeiten|[[Datei:Mehrfach veränderter Grundwert Einstieg.png|rahmenlos|900x900px]] 
Schreibe deine Ideen zur Frage in dein Heft. Diskutiere sie anschließend mit deinem Partner.|Frage}}
{{Lösung versteckt|Es wird zweimal nacheinander um 50% reduziert. Rechne schrittweise. Was fällt dir auf?|Tipp 1|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Preis wird in zwei Schritten reduziert: 
1. Schritt: 
geg: G=360€; p%=50% also p-% = 100% - 50% = 50% = 0,5 
ges: G- 
G- = G ∙ p-% 
   =360 ∙ 0,5 
   = 180 (€) 
Dies ist der neue Grundwert für die nächste Reduzierung! Nun erhältst du also auf diesen Preis (180€) noch einmal 50% Ermäßigung! (2. Schritt:...)|2=Tipp 2|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Preis wird in zwei Schritten reduziert. 
Nach der ersten Reduzierung kostet das Snowboard noch 180€, dies ist der neue Grundwert für die zweite Rechnung: 
2. Schritt: 
geg: '''G = 180€'''; p% = 50%, also p-% = 100% - 50% = 50% = 0,5 
ges: G- 
G- = G ∙ p-% 
   =180 ∙ 0,5 
   = 90 (€) 
Also kostet das Snowboard nach der zweiten Reduzierung 90€.|2=Tipp 3|3=Verbergen}} 

{{Box|Mehrfach veränderter Grundwert|Beispielaufgabe: Ein Preis von 50 € wird zweimal hintereinander um 10% ermäßigt.
Eine zweimalige Reduzierung um 10% ist aber nicht das Gleiche wie eine Reduzierung um 20%, da der Grundwert sich nach der ersten Ermäßigung verändert hat.
[[Datei:Mehrfach verminderter Grundwert.png|links|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}}

Im Vergleich dazu wäre der Endpreis bei einer Ermäßigung um 20%: G- = G ∙ p-% = 50 ∙ 0,8 = 40 (€).

{{Lösung versteckt|1=Eine zweimalige Reduzierung um 10% entspricht einer einmaligen Ermäßigung um 19 %, denn der Endpreis beträgt 81% des ersten Grundwertes 0,9 ∙ 0,9 = 0,81 = 81%.|2=Tipp für Schnelldenker|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 12|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/prozent/textaufgaben.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 19
* 20
* 17
* 26 (schwer)
|Üben}}

{{Lösung versteckt|1=Rechne schrittweise: 
Zuerst wird der Preis reduziert. Dieser reduzierte Preis wird dann aber wieder erhöht. 
① geg: G = 2800€; p% = -8%, also p-% = 92% = 0,92
ges: G- 
G- = G · p-% 
... (Werte einsetzen) 
... = 2576(€) 
Nach der Reduzierung kostet der Kaffeevollautomat also noch 2576€. Dieser Preis wird nun wieder erhöht. 
② geg: G = 2576€; p% = 5%, also p+% = 105% = 1,05 
ges: G+ 
.... 
Der Preis nach der Erhöhung beträgt 2704,80 €. Nun kannst du den Unterschied zwischen diesem Preis und dem Anfangspreis berechnen.|2=Lösungsansätze zu Aufgabe 19|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Rechne schrittweise:
Zuerst wird der Preis erhöht. Dieser erhöhte Preis wird dann noch einmal erhöht. 
① geg: G = 15€; p% = 8%, also p+% = 108% = 1,08
ges: G+ 
G+ = G · p+% 
... (Werte einsetzen) 
... = 16,20(€) 
Nach der Erhöhung kostet der Kaffee also 16,20€. Dieser Preis wird nun wieder erhöht. 
② geg: G = 16,20€; p% = 5%, also p+% = 105% = 1,05 
ges: G+ 
.... 
Der Preis nach beiden Erhöhungen 17,01 €.|2=Lösungsansätze zu Aufgabe 20a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Der Kaffee wurde um 0,86€ teurer, das ist W. Wie teuer war er also? 
geg: W = 0,86 €; p% = 5% = 0,05 
ges: G 
W = G · p% 
Stelle die Formel nach G um.|2=Lösungsansatz zu Aufgabe 20b|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Rechne schrittweise "rückwärts": 
Er wiegt nach dem zweiten Abnehmen noch 69,92kg. Also gilt hier: 
① geg: G-=69,92kg; p% = 5%, also p-% = 95% = 0,95 
ges: G (Wie viel wog er vor dem Abnehmen) 
G- = G·p-% 
... (Formel umstellen, Werte einsetzen) 
73,6(kg) = G 
Er wog also vor dem zweiten Abnehmen 73,6 kg. 
Dies ist also ebenso das Gewicht, das er nach dem ersten Abnehmen hatte. 
② geg: G- = 73,6 kg; p% = 8%, also p-% = 92% = 0,92 
ges: G 
Berechne wie oben... 
G = 80(kg) 
Er wog also vor dem zweimaligen Abnehmen 80kg.|2=Lösungsansätze zu Aufgabe 17|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Rechne schrittweise: 
Leichter kannst du die Aufgabe lösen, wenn du eine bestimmte Anzahl für die Wahlberechtigten festlegst, z.B. 1000. (Dieser Wert ist natürlich viel zu klein, mit dieser Zahl kannst du aber leichter rechnen.) 
① geg: G = 1000 (Wahlberechtigte); p% = 70,8% = 0,708 
ges: W (Wie viele Wahlberechtigte haben tatsächlich gewählt?) 
W = G · p% 
... (Werte einsetzen) 
W = 708 (haben ihre Stimme abgegeben) 
Die Regierung wurde dann von 48,4% der Stimmen gebildet. 
② geg: G =708 (Stimmen insgesamt); p% = 48,4% = 0,484 
ges: W 
Berechne wie oben... 
W = 343 (Stimmen) 
Wie viel Prozent sind dies von allen Wahlberechtigten? 
③ geg: G = 1000 (Wahlberechtigte); W = 343
p% = <math>\tfrac{W}{G}</math> = <math>\tfrac{343}{1000}</math> = 0,343 = 34,3%.|2=Lösungsansätze zu Aufgabe 26|3=Verbergen}}
{{Box|Übung 13 - mehrfach veränderter Grundwert|Löse die Aufgaben aus dem Buch.
* S. 116 Nr. 3 oder S. 116 Nr. 9
* S. 108 Nr. 12
* S. 108 Nr. 15
* S. 108 Nr. 16
* S. 108 Nr. 17|Üben}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{Lösung versteckt|Es ist falsch, einfach 35% abzuziehen. Begründe. Die Rechnung in Teil b) hilft dir dabei.|Tipp zu Nr. 3a|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: G = 298,50€; erste Ermäßigung p% = 25%, also p-% = 100% - 25% = 75% = 0,75 
Berechne den verminderten Grundwert G-. 

Dies ist der neue Grundwert für die neue Reduzierung um 10%. 
geg: G = 223,88 €; p% = 10%, also p-% = 100% - 10% = 90% = 0,90 
Berechne erneut den verminderten Grundwert G-. 
 
298,50€   <chem>->[*0,75]</chem>   G-   <chem>->[*0,9]</chem>   Endpreis|2=Tipp zu Nr. 3b|3=Verbergen}}</div>
<div class="width-1-2">{{Lösung versteckt|1=Die ursprünglichen Kosten werden zunächst um 40% reduziert, also p-% = 100% - 40% = 60% = 0,6 
Dieser reduzierte Zwischenwert wird dann 35% reduziert, also also p-% = 100% - 35% = 65% = 0,65 und 
dann wird dieser neue Wert nochmals um 35% reduziert, also also p-% = 65% = 0,65
 
Ursprüngliche Kosten   <chem>->[*0,6]</chem>   G-   <chem>->[*0,65]</chem>  <chem>->[*0,65]</chem>   Endpreis 
Der ursprüngliche Preis wird also auf 0,6 ∙ 0,65 ∙ 0,65 = 0,2535 = 25,35% reduziert. Er spart also 100% - 25,35% = 74,65%. |2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}</div>
</div>

{{Lösung versteckt|1=1. Schritt: 
Der angegebene Preis ist der um 10% ermäßige Preis, also G- = 899,10€ und p-% = 100% - 10% = 90% = 0,9. Bestimme zunächst den Preis ohne die Reduzierung, also den Grundwert G. 
2. Schritt: Dieser Preis ist der Bruttopreis G+, darin sind also 19% Mehrwertsteuer enthalten. Also p+% = 119% = 1,19. 
Bestimme den Nettopreis G.|2=Tipp zu Nr. 12a|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Berechne mit einem Beispiel: Wähle als Preis den Wert 100€. Erhöhe den Preis um 10%. Ziehe von diesem neuen Preis 10% ab. Was antwortest du Sabine?|Tipp zu Nr. 15|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schau deine Rechnungen aus Aufgabe 16 an.|Tipp zu Nr. 17|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben: 
201,49€; 202,50€; 225,00€ 839,50€; 969,03€; 999.00€ 
74,65%; 99% 
72; 88; 132;|2=Vergleiche deine Lösungen zu Übung 13|3=Verbergen}}

Das Video zeigt weitere Beispiel. Stoppe das Video vor der Rechnung, überlege selbst und schau dann, ob du richtig gedacht hast.
{{#ev:youtube|N8wbwuJ9kIE|800|center}}

{{Fortsetzung|weiter=3) Zinsrechnung|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Prozent-und Zinsrechnung/Zinsrechnung}}

Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Terme mit Klammern

2022-03-15T08:04:15Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
SEITE IM AUFBAU!!
{{Navigation|
[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme| Vorwissen zum Thema Terme]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Variablen und Terme|1) Variablen und Terme]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Terme vereinfachen|2) Terme vereinfachen]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Terme mit Klammern|3) Terme mit Klammern]]}}
==3) Terme mit Klammern==
Einstieg noch ergänzen!

===3.1 Pluszeichen vor der Klammer===
{{Box|Pluszeichen vor der Klammer|Steht in einer Summe oder Differenz ein Pluszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer einfach weglassen. Die Rechenzeichen im Term ändern sich nicht. 
Merke dir als Bild den lachenden Smiley 🌝, denn diese Klammer aufzulösen ist sehr leicht!|Arbeitsmethode}}
Beispiele: 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
   2a '''+''' (3b + 4a)   |🌝 Klammer auflösen (weglassen) 
= 2a + 3b + 4a   |gleichartige Terme zusammenfassen 
= 6a + 3b 
</div>
<div class="width-1-2">
   -4x '''+''' (2y - 6x)   |🌝 Klammer auflösen (weglassen) 
= -4x + 2y - 6x   |gleichartige Terme zusammenfassen 
= -10x + 2y
</div>
</div>

{{Box|Übung 1|Löse auf der Seite realmath von den Übungen jeweils so viele Aufgaben, dass du die 300 Punkte-Marke knackst. Lade einen Screenshot im Modul Aufgaben hoch.
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/terme/sutermloes01.php Übung a]|Üben}}
===3.2 Minuszeichen vor der Klammer===
{{Box|Minuszeichen vor der Klammer|Steht in einer Summe oder Differenz ein Minuszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer auflösen, indem du die Rechenzeichen umdrehst: 
aus + wird - 
aus - wird + 
Merke dir als Bild den Blitz [[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]], denn wenn du diese Klammer auflöst, musst du aufpassen!|Arbeitsmethode}}
Beispiele: 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
   5a '''-''' (6b + 7a)   |[[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]Klammer auflösen (Zeichen umkehren) 
= 5a - 6b - 7a   |gleichartige Terme zusammenfassen 
= -2a - 6b 
</div>
<div class="width-1-2">
   8x '''-''' (-9y - 4x)   |[[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]Klammer auflösen (Zeichen umkehren) 
= 8x + 9y + 4x   |gleichartige Terme zusammenfassen 
= 12x + 9y
</div>
</div>
 
{{Box|Übung 2|Löse auf der Seite realmath von den Übungen jeweils so viele Aufgaben, dass du die 300 Punkte-Marke knackst. Lade einen Screenshot im Modul Aufgaben hoch.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/terme/sutermloes02.php Übung a]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/terme/sutermloes.php Übung b (Toplevel)]|Üben}}

{{Box|Übung 3|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pgpizagbn20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pxhvvnchk19|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pz9gbr89j19|width=100%|height=400px}}
 
{{Box|Übung 4|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/terme-vereinfachen.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 17
* 18
* 19
* 20
* 21|Üben}} 
{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen übersichtlich und vollständig:
1. Schreibe zunächst die Aufgabe ab, 
2. löse dann die Klammer auf und 
3. fasse zum Schluss so weit wie möglich zusammen.
* S. 106 Nr. 1
* S. 106 Nr. 2
* S. 106 Nr. 3|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen und hake mit einem andersfarbigen Stift ab: 
1a) m – n – o b) 23 + g – h c) 50 – k + m d) 32 + p – q e) –2x – 3y – 4z f) 3y + 2x – z 
2 a) 6a + 8b b) 2a + 2b c) -6a + 2b d) 6a – 8b 
3 a) 9m – 6n b) –9u – 2v c) –r – 10s d) 3,4d – 1,5c e) –4b + 6c + 6,1a|2=Vergleiche deine Lösungen|3=Verbergen}}

===Teste dich - Plusklammer oder Minusklammer===
{{Box|Teste dich - Plusklammer 🌝 oder Minusklammer [[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]|Bearbeite das nachfolgende Quiz.
* Wenn du weniger als 8 Punkte hast, übe mit den Links in den Übungen 1 und 2 (realmath).
* Wenn du 8 oder mehr Punkte hast, kannst du im Lernpfad weitergehen.|Üben}}
 
{{h5p-zum|id=13429|height=400px}}

===3.3 Malzeichen vor der Klammer (Ausmultiplizieren)===

{{Box|Entdecken|[[Datei:Skizze Rechteck Distributivgesetz.png|links|300px]]Skizziere das Rechteck in dein Heft und berechne den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks. 
Findest du verschiedene Möglichkeiten? Notiere im Heft.|Arbeitsmethode}}

Vergleiche deine Ideen mit denen im nachfolgenden Video:
{{#ev:youtube|r7uwFsEcxGI}}

Wie lautet der Name dieses Gesetzes? Notiere dies als Überschrift über die obige Zeichnung in dein Heft.
{{Lösung versteckt|Das Gesetz heißt Verteilungsgesetz (Distributivgesetz). Wir haben dies umgangssprachlich auch "Jedem die Hand geben" genannt und die Hände als Tipp gezeichnet.[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]|Lösung|Verbergen}}

Dieses Gesetz wird im folgenden GeoGebra-Applet noch einmal veranschaulicht. Du kannst die Zahlen durch Variablen ersetzen, indem du die Häkchen "Variable anzeigen" auswählst.
<ggb_applet id="XcFmnc9X" width="1072" height="600" border="888888" />

Das Verteilungsgesetz lässt sich auf das Rechnen mit Variablen und Termen übertragen:
 
{{Box|1=Malzeichen vor der Klammer - Verteilungsgesetz (Distributivgesetz)|2=Steht in einer Summe oder Differenz ein Malzeichen vor der Klammer, löst du die Klammer auf, indem du jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor multiplizierst. 
Merke dir als Bild die Hände [[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]], denn wenn du diese Klammer auflöst, musst der Faktor jedem Summanden "die Hand geben". 
[[Datei:Rechteck Distributivgesetz allgemein.png|links|rahmenlos]] 
a '''∙''' (b + c) = a ∙ b + a ∙ c|3=Arbeitsmethode}}
Beispiele: 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
   2a '''∙''' (6b + 7a)   |[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen ("Jedem die Hand geben") 
= 2a ∙ 6b + 2a ∙ 7a   |Terme multiplizieren 
= 12ab + 14a² 
</div>
<div class="width-1-2">
   5x '''∙''' (7y - 8x)   |[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen ("Jedem die Hand geben") 
= 5x ∙ 7y - 5x ∙ 8x   |Terme multiplizieren 
= 35xy - 40x²
</div>
</div>
 

{{Box|Übung 6|Löse zur Übung die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pv9ujh6r520|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pq6j6ei0n21|width=100%|height=600px}}

{{Box|Übung 7|Löse auf der Seite realmath von den Übungen jeweils so viele Aufgaben, dass du die 300 Punkte-Marke knackst. Lade einen Screenshot im Modul Aufgaben hoch.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/summenterme/distributiv.html Übung 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/summenterme/distributiv02.html Übung 2]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/summenterme/distributiv03.html Übung 3 (Profilevel)]|Üben}}

{{Box|Übung 8|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/terme-vereinfachen.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 22
* 23
* 24
* 25
* 26
* 27
* 28
* 29|Üben}} 
{{Box|Übung 9|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen übersichtlich und vollständig: 
1. Schreibe zunächst die Aufgabe ab, 
2. löse dann die Klammer auf und 
3. fasse zum Schluss so weit wie möglich zusammen.
* S. 106 Nr. 5
* S. 106 Nr. 6
* S. 106 Nr. 7
* S. 106 Nr. 9|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Das Verteilungsgesetz gilt auch für die Division, also wenn ein Geteilt-Zeichen hinter der Klammer steht. Teile jeden Summanden der Klammer durch den Divisor. 
b) (18u + 9w) : 3 = 18u:3 + 9w:3 = 6u + 3w
|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 10|Finde den Fehler und schreibe die Aufgabe korrigiert in dein Heft.
* S. 106 Nr. 8|Üben}}

===Teste dich - Ausmultiplizieren===
{{Box|Teste dich - Malzeichen vor der Klammer [[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]|Bearbeite das nachfolgende Quiz.
* Wenn du weniger als 4 Punkte hast, übe mit den Links von Übung 7.
* Wenn du 4 oder mehr Punkte hast, bist du bereit für die Checkliste.|Üben}}
 
{{h5p-zum|id=13430|height=400px}}

Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Terme mit Klammern

2022-03-15T08:00:56Z

Neukirch: neue Links

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
SEITE IM AUFBAU!!
{{Navigation|
[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme| Vorwissen zum Thema Terme]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Variablen und Terme|1) Variablen und Terme]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Terme vereinfachen|2) Terme vereinfachen]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Terme mit Klammern|3) Terme mit Klammern]]}}
==3) Terme mit Klammern==
Einstieg noch ergänzen!

===3.1 Pluszeichen vor der Klammer===
{{Box|Pluszeichen vor der Klammer|Steht in einer Summe oder Differenz ein Pluszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer einfach weglassen. Die Rechenzeichen im Term ändern sich nicht. 
Merke dir als Bild den lachenden Smiley 🌝, denn diese Klammer aufzulösen ist sehr leicht!|Arbeitsmethode}}
Beispiele: 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
   2a '''+''' (3b + 4a)   |🌝 Klammer auflösen (weglassen) 
= 2a + 3b + 4a   |gleichartige Terme zusammenfassen 
= 6a + 3b 
</div>
<div class="width-1-2">
   -4x '''+''' (2y - 6x)   |🌝 Klammer auflösen (weglassen) 
= -4x + 2y - 6x   |gleichartige Terme zusammenfassen 
= -10x + 2y
</div>
</div>

{{Box|Übung 1|Löse auf der Seite realmath von den Übungen jeweils so viele Aufgaben, dass du die 300 Punkte-Marke knackst. Lade einen Screenshot im Modul Aufgaben hoch.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/terme/suterm01.php Übung a]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/terme/sutermloes01.php Übung b]|Üben}}
===3.2 Minuszeichen vor der Klammer===
{{Box|Minuszeichen vor der Klammer|Steht in einer Summe oder Differenz ein Minuszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer auflösen, indem du die Rechenzeichen umdrehst: 
aus + wird - 
aus - wird + 
Merke dir als Bild den Blitz [[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]], denn wenn du diese Klammer auflöst, musst du aufpassen!|Arbeitsmethode}}
Beispiele: 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
   5a '''-''' (6b + 7a)   |[[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]Klammer auflösen (Zeichen umkehren) 
= 5a - 6b - 7a   |gleichartige Terme zusammenfassen 
= -2a - 6b 
</div>
<div class="width-1-2">
   8x '''-''' (-9y - 4x)   |[[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]Klammer auflösen (Zeichen umkehren) 
= 8x + 9y + 4x   |gleichartige Terme zusammenfassen 
= 12x + 9y
</div>
</div>
 
{{Box|Übung 2|Löse auf der Seite realmath von den Übungen jeweils so viele Aufgaben, dass du die 300 Punkte-Marke knackst. Lade einen Screenshot im Modul Aufgaben hoch.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/terme/suterm02.php Übung a]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/terme/sutermloes02.php Übung b]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/terme/sutermloes.php Übung c (Toplevel)]|Üben}}

{{Box|Übung 3|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pgpizagbn20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pxhvvnchk19|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pz9gbr89j19|width=100%|height=400px}}
 
{{Box|Übung 4|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/terme-vereinfachen.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 17
* 18
* 19
* 20
* 21|Üben}} 
{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen übersichtlich und vollständig:
1. Schreibe zunächst die Aufgabe ab, 
2. löse dann die Klammer auf und 
3. fasse zum Schluss so weit wie möglich zusammen.
* S. 106 Nr. 1
* S. 106 Nr. 2
* S. 106 Nr. 3|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen und hake mit einem andersfarbigen Stift ab: 
1a) m – n – o b) 23 + g – h c) 50 – k + m d) 32 + p – q e) –2x – 3y – 4z f) 3y + 2x – z 
2 a) 6a + 8b b) 2a + 2b c) -6a + 2b d) 6a – 8b 
3 a) 9m – 6n b) –9u – 2v c) –r – 10s d) 3,4d – 1,5c e) –4b + 6c + 6,1a|2=Vergleiche deine Lösungen|3=Verbergen}}

===Teste dich - Plusklammer oder Minusklammer===
{{Box|Teste dich - Plusklammer 🌝 oder Minusklammer [[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]|Bearbeite das nachfolgende Quiz.
* Wenn du weniger als 8 Punkte hast, übe mit den Links in den Übungen 1 und 2 (realmath).
* Wenn du 8 oder mehr Punkte hast, kannst du im Lernpfad weitergehen.|Üben}}
 
{{h5p-zum|id=13429|height=400px}}

===3.3 Malzeichen vor der Klammer (Ausmultiplizieren)===

{{Box|Entdecken|[[Datei:Skizze Rechteck Distributivgesetz.png|links|300px]]Skizziere das Rechteck in dein Heft und berechne den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks. 
Findest du verschiedene Möglichkeiten? Notiere im Heft.|Arbeitsmethode}}

Vergleiche deine Ideen mit denen im nachfolgenden Video:
{{#ev:youtube|r7uwFsEcxGI}}

Wie lautet der Name dieses Gesetzes? Notiere dies als Überschrift über die obige Zeichnung in dein Heft.
{{Lösung versteckt|Das Gesetz heißt Verteilungsgesetz (Distributivgesetz). Wir haben dies umgangssprachlich auch "Jedem die Hand geben" genannt und die Hände als Tipp gezeichnet.[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]|Lösung|Verbergen}}

Dieses Gesetz wird im folgenden GeoGebra-Applet noch einmal veranschaulicht. Du kannst die Zahlen durch Variablen ersetzen, indem du die Häkchen "Variable anzeigen" auswählst.
<ggb_applet id="XcFmnc9X" width="1072" height="600" border="888888" />

Das Verteilungsgesetz lässt sich auf das Rechnen mit Variablen und Termen übertragen:
 
{{Box|1=Malzeichen vor der Klammer - Verteilungsgesetz (Distributivgesetz)|2=Steht in einer Summe oder Differenz ein Malzeichen vor der Klammer, löst du die Klammer auf, indem du jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor multiplizierst. 
Merke dir als Bild die Hände [[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]], denn wenn du diese Klammer auflöst, musst der Faktor jedem Summanden "die Hand geben". 
[[Datei:Rechteck Distributivgesetz allgemein.png|links|rahmenlos]] 
a '''∙''' (b + c) = a ∙ b + a ∙ c|3=Arbeitsmethode}}
Beispiele: 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
   2a '''∙''' (6b + 7a)   |[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen ("Jedem die Hand geben") 
= 2a ∙ 6b + 2a ∙ 7a   |Terme multiplizieren 
= 12ab + 14a² 
</div>
<div class="width-1-2">
   5x '''∙''' (7y - 8x)   |[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen ("Jedem die Hand geben") 
= 5x ∙ 7y - 5x ∙ 8x   |Terme multiplizieren 
= 35xy - 40x²
</div>
</div>
 

{{Box|Übung 6|Löse zur Übung die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pv9ujh6r520|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pq6j6ei0n21|width=100%|height=600px}}

{{Box|Übung 7|Löse auf der Seite realmath von den Übungen jeweils so viele Aufgaben, dass du die 300 Punkte-Marke knackst. Lade einen Screenshot im Modul Aufgaben hoch.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/summenterme/distributiv.html Übung 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/summenterme/distributiv02.html Übung 2]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/summenterme/distributiv03.html Übung 3 (Profilevel)]|Üben}}

{{Box|Übung 8|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/terme-vereinfachen.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 22
* 23
* 24
* 25
* 26
* 27
* 28
* 29|Üben}} 
{{Box|Übung 9|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen übersichtlich und vollständig: 
1. Schreibe zunächst die Aufgabe ab, 
2. löse dann die Klammer auf und 
3. fasse zum Schluss so weit wie möglich zusammen.
* S. 106 Nr. 5
* S. 106 Nr. 6
* S. 106 Nr. 7
* S. 106 Nr. 9|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Das Verteilungsgesetz gilt auch für die Division, also wenn ein Geteilt-Zeichen hinter der Klammer steht. Teile jeden Summanden der Klammer durch den Divisor. 
b) (18u + 9w) : 3 = 18u:3 + 9w:3 = 6u + 3w
|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 10|Finde den Fehler und schreibe die Aufgabe korrigiert in dein Heft.
* S. 106 Nr. 8|Üben}}

===Teste dich - Ausmultiplizieren===
{{Box|Teste dich - Malzeichen vor der Klammer [[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]|Bearbeite das nachfolgende Quiz.
* Wenn du weniger als 4 Punkte hast, übe mit den Links von Übung 7.
* Wenn du 4 oder mehr Punkte hast, bist du bereit für die Checkliste.|Üben}}
 
{{h5p-zum|id=13430|height=400px}}

Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Terme mit Klammern

2022-03-15T07:58:40Z

Neukirch: neue Links

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}
SEITE IM AUFBAU!!
{{Navigation|
[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme| Vorwissen zum Thema Terme]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Variablen und Terme|1) Variablen und Terme]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Terme vereinfachen|2) Terme vereinfachen]] 
[[Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Terme mit Klammern|3) Terme mit Klammern]]}}
==3) Terme mit Klammern==
Einstieg noch ergänzen!

===3.1 Pluszeichen vor der Klammer===
{{Box|Pluszeichen vor der Klammer|Steht in einer Summe oder Differenz ein Pluszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer einfach weglassen. Die Rechenzeichen im Term ändern sich nicht. 
Merke dir als Bild den lachenden Smiley 🌝, denn diese Klammer aufzulösen ist sehr leicht!|Arbeitsmethode}}
Beispiele: 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
   2a '''+''' (3b + 4a)   |🌝 Klammer auflösen (weglassen) 
= 2a + 3b + 4a   |gleichartige Terme zusammenfassen 
= 6a + 3b 
</div>
<div class="width-1-2">
   -4x '''+''' (2y - 6x)   |🌝 Klammer auflösen (weglassen) 
= -4x + 2y - 6x   |gleichartige Terme zusammenfassen 
= -10x + 2y
</div>
</div>

{{Box|Übung 1|Löse auf der Seite realmath von den Übungen jeweils so viele Aufgaben, dass du die 300 Punkte-Marke knackst. Lade einen Screenshot im Modul Aufgaben hoch.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/terme/suterm01.php Übung a]
* [https://realmath.de/Neues/Klasse8/terme/sutermloes01.php Übung b]|Üben}}
===3.2 Minuszeichen vor der Klammer===
{{Box|Minuszeichen vor der Klammer|Steht in einer Summe oder Differenz ein Minuszeichen vor der Klammer, kannst du die Klammer auflösen, indem du die Rechenzeichen umdrehst: 
aus + wird - 
aus - wird + 
Merke dir als Bild den Blitz [[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]], denn wenn du diese Klammer auflöst, musst du aufpassen!|Arbeitsmethode}}
Beispiele: 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
   5a '''-''' (6b + 7a)   |[[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]Klammer auflösen (Zeichen umkehren) 
= 5a - 6b - 7a   |gleichartige Terme zusammenfassen 
= -2a - 6b 
</div>
<div class="width-1-2">
   8x '''-''' (-9y - 4x)   |[[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]Klammer auflösen (Zeichen umkehren) 
= 8x + 9y + 4x   |gleichartige Terme zusammenfassen 
= 12x + 9y
</div>
</div>
 
{{Box|Übung 2|Löse auf der Seite realmath von den Übungen jeweils so viele Aufgaben, dass du die 300 Punkte-Marke knackst. Lade einen Screenshot im Modul Aufgaben hoch.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/terme/suterm02.html Übung a]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/terme/sutermloes02.html Übung b]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/terme/sutermloes.html Übung c (Toplevel)]|Üben}}

{{Box|Übung 3|Bearbeite die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pgpizagbn20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pxhvvnchk19|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pz9gbr89j19|width=100%|height=400px}}
 
{{Box|Übung 4|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/terme-vereinfachen.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 17
* 18
* 19
* 20
* 21|Üben}} 
{{Box|Übung 5|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen übersichtlich und vollständig:
1. Schreibe zunächst die Aufgabe ab, 
2. löse dann die Klammer auf und 
3. fasse zum Schluss so weit wie möglich zusammen.
* S. 106 Nr. 1
* S. 106 Nr. 2
* S. 106 Nr. 3|Üben}}
 
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen und hake mit einem andersfarbigen Stift ab: 
1a) m – n – o b) 23 + g – h c) 50 – k + m d) 32 + p – q e) –2x – 3y – 4z f) 3y + 2x – z 
2 a) 6a + 8b b) 2a + 2b c) -6a + 2b d) 6a – 8b 
3 a) 9m – 6n b) –9u – 2v c) –r – 10s d) 3,4d – 1,5c e) –4b + 6c + 6,1a|2=Vergleiche deine Lösungen|3=Verbergen}}

===Teste dich - Plusklammer oder Minusklammer===
{{Box|Teste dich - Plusklammer 🌝 oder Minusklammer [[Datei:Flash-1015467 1920.jpg|rahmenlos|40px]]|Bearbeite das nachfolgende Quiz.
* Wenn du weniger als 8 Punkte hast, übe mit den Links in den Übungen 1 und 2 (realmath).
* Wenn du 8 oder mehr Punkte hast, kannst du im Lernpfad weitergehen.|Üben}}
 
{{h5p-zum|id=13429|height=400px}}

===3.3 Malzeichen vor der Klammer (Ausmultiplizieren)===

{{Box|Entdecken|[[Datei:Skizze Rechteck Distributivgesetz.png|links|300px]]Skizziere das Rechteck in dein Heft und berechne den Flächeninhalt des gesamten Rechtecks. 
Findest du verschiedene Möglichkeiten? Notiere im Heft.|Arbeitsmethode}}

Vergleiche deine Ideen mit denen im nachfolgenden Video:
{{#ev:youtube|r7uwFsEcxGI}}

Wie lautet der Name dieses Gesetzes? Notiere dies als Überschrift über die obige Zeichnung in dein Heft.
{{Lösung versteckt|Das Gesetz heißt Verteilungsgesetz (Distributivgesetz). Wir haben dies umgangssprachlich auch "Jedem die Hand geben" genannt und die Hände als Tipp gezeichnet.[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]|Lösung|Verbergen}}

Dieses Gesetz wird im folgenden GeoGebra-Applet noch einmal veranschaulicht. Du kannst die Zahlen durch Variablen ersetzen, indem du die Häkchen "Variable anzeigen" auswählst.
<ggb_applet id="XcFmnc9X" width="1072" height="600" border="888888" />

Das Verteilungsgesetz lässt sich auf das Rechnen mit Variablen und Termen übertragen:
 
{{Box|1=Malzeichen vor der Klammer - Verteilungsgesetz (Distributivgesetz)|2=Steht in einer Summe oder Differenz ein Malzeichen vor der Klammer, löst du die Klammer auf, indem du jeden Summanden in der Klammer mit dem Faktor multiplizierst. 
Merke dir als Bild die Hände [[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]], denn wenn du diese Klammer auflöst, musst der Faktor jedem Summanden "die Hand geben". 
[[Datei:Rechteck Distributivgesetz allgemein.png|links|rahmenlos]] 
a '''∙''' (b + c) = a ∙ b + a ∙ c|3=Arbeitsmethode}}
Beispiele: 
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
   2a '''∙''' (6b + 7a)   |[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen ("Jedem die Hand geben") 
= 2a ∙ 6b + 2a ∙ 7a   |Terme multiplizieren 
= 12ab + 14a² 
</div>
<div class="width-1-2">
   5x '''∙''' (7y - 8x)   |[[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]Klammer auflösen ("Jedem die Hand geben") 
= 5x ∙ 7y - 5x ∙ 8x   |Terme multiplizieren 
= 35xy - 40x²
</div>
</div>
 

{{Box|Übung 6|Löse zur Übung die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=pv9ujh6r520|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=pq6j6ei0n21|width=100%|height=600px}}

{{Box|Übung 7|Löse auf der Seite realmath von den Übungen jeweils so viele Aufgaben, dass du die 300 Punkte-Marke knackst. Lade einen Screenshot im Modul Aufgaben hoch.
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/summenterme/distributiv.html Übung 1]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/summenterme/distributiv02.html Übung 2]
* [https://www.realmath.de/Neues/Klasse8/summenterme/distributiv03.html Übung 3 (Profilevel)]|Üben}}

{{Box|Übung 8|Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/gleichung/terme-vereinfachen.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben
* 22
* 23
* 24
* 25
* 26
* 27
* 28
* 29|Üben}} 
{{Box|Übung 9|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere deine Rechnungen übersichtlich und vollständig: 
1. Schreibe zunächst die Aufgabe ab, 
2. löse dann die Klammer auf und 
3. fasse zum Schluss so weit wie möglich zusammen.
* S. 106 Nr. 5
* S. 106 Nr. 6
* S. 106 Nr. 7
* S. 106 Nr. 9|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Das Verteilungsgesetz gilt auch für die Division, also wenn ein Geteilt-Zeichen hinter der Klammer steht. Teile jeden Summanden der Klammer durch den Divisor. 
b) (18u + 9w) : 3 = 18u:3 + 9w:3 = 6u + 3w
|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}

{{Box|Übung 10|Finde den Fehler und schreibe die Aufgabe korrigiert in dein Heft.
* S. 106 Nr. 8|Üben}}

===Teste dich - Ausmultiplizieren===
{{Box|Teste dich - Malzeichen vor der Klammer [[Datei:Hand-1311786 1280.png|rahmenlos|40x40px]]|Bearbeite das nachfolgende Quiz.
* Wenn du weniger als 4 Punkte hast, übe mit den Links von Übung 7.
* Wenn du 4 oder mehr Punkte hast, bist du bereit für die Checkliste.|Üben}}
 
{{h5p-zum|id=13430|height=400px}}

Benutzer:Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez

2022-03-06T07:36:58Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt}}
{{Navigation verstecken|[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke| Einstieg und Vorwissen]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Vierecke und ihre Eigenschaften|1) Vierecke und ihre Eigenschaften 2) Haus der Vierecke]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Winkelsumme|3) Winkelsumme im Viereck]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4) Umfang und Flächeninhalt]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4.1) Quadrat und Rechteck]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm|4.2) Parallelogramm]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez|4.3) Trapez]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck|4.4) Dreieck]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.4) Drachen]]
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Zusammengesetzte Figuren|4.5) Zusammengesetzte Figuren]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4.6) Bunte Mischung]] 
[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Checkliste|5) Checkliste]]}}

===4.3) Trapez: Umfang und Flächeninhalt===

====1) Höhe im Trapez====
Die Höhe eines Trapezes ist der Abstand zwischen den parallelen Seiten. Schau, welche der Seiten parallel zueinander liegen und zeichne dazwischen die Höhe ein. 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 1.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 2.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 3.png|rahmenlos]]</div>
</div>

{{Box|Übung 1: Höhe im Trapez|Kennzeichne auf dem AB jeweils die parallelen Seiten und zeichne die Höhe des Trapezes ein.|Üben}}

====2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u====
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]]
Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes herzuleiten. Notiere deine Ideen. 
<ggb_applet id="M6dqPq6U" width="150ö" height="700" border="888888" />
 
{{#ev:youtube|w4SIXMBb0Ak|800|center}} 
Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung mit Hilfe der sogenannten '''Mittellinie'''. Hier ein Video zur Erklärung.
{{#ev:youtube|wMLQ89-_qUs|800|center}} 

{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Trapezes|2=[[Datei:Trapez allgemein.png|rechts|rahmenlos]] 
Sind die a und c die parallelen Seiten des Trapezes und h die Höhe, wird der Flächeninhalt A eines Trapezes so berechnet: 
'''A = <math>\frac{\text{(a+c)h}}{\text{2}}</math>''' oder '''A = <math>\frac{\text{(a+c)}}{\text{2}}</math> ∙ h''' oder '''A = m ∙ h'''

Der Umfang u eines Trapezes wird berechnet mit 
'''u = a + b + c + d'''.|3=Arbeitsmethode}}

{{#ev:youtube|RBk6VlyANAw|800|center}}

{{Box|Übung 2|Löse die nachfolgenden Learningapps. Schreibe die Aufgaben strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=pet3cyrgk19|width=100%|heigth=600px}} 

{{Box|Übung 3|Löse Buch
* S. 92 Nr. 1
* S. 92 Nr. 2a,c|Üben}} 
{{Lösung versteckt|1=Entnimm den Skizzen die nötigen Angaben für a, c und h. Setze dann in die Formel ein. 
Vergleiche deine Lösungen (hier sind sie durcheinander angegeben): 
32,97cm²; 28,0cm²; 52,25cm²;46,48cm²|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Hier sind die Werte für a, c und h gegeben. Setze sie in die Formel ein und berechne. 
Lösungen (gemischt):63,0 cm²; 812,67cm²;85,5cm²;20,4dm²|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 2|3=Verbergen}}

====3) Formeln umstellen====
 

{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer der Seiten a und c oder der Höhe zu berechnen, muss die Formeln für den Flächeninhalt umgestellt werden. 1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach den Seitenlängen a und c. 
 2. Stelle die Flächeninhaltsformel nach der Höhe um.|Üben}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Umstellen nach der Seite a: 
A = <math>\frac{\text{a+c}}{\text{2}}</math>∙h   |∙2 
2∙A = (a+c)∙h   |:h 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{h}}</math> = a+c   |-c 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{h}}</math> - c = a 

Stelle die Formel entsprechend nach c um. 

<div class="width-1-2">Umstellen nach der Höhe: 
A = <math>\frac{\text{a+c}}{\text{2}}</math>∙h   |∙2 
2∙A = (a+c)∙h   |:(a+c) 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{a+c}}</math> = h 
</div>

{{Box|Übung 4: Formel umstellen|Löse die nachfolgende LearningApp. Schreibe die Aufgabe strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=p5q3qzoq319|width=100%|heigth=600px}}

{{Box|Übung 5|Löse Buch
* S. 92 Nr. 5
* S. 96 Nr. 4
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Lösungen (gemischt) 0,9; 2,5; 7,2; 9; 14; 25; 75,6 
Achte auf die richtige Einheit im Ergebnis.|2=Vergleiche deine Lösungen|3=Verbergen}}
====4) Anwendungsaufgaben====
{{Box|Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Trapezen|Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächen'''in'''halt A('''in'''nen dr'''in''') und '''Um'''fang u (dr'''um''' her'''um''').
* S. 92 Nr. 6
* S. 92 Nr. 7
* S. 92 Nr. 8|Üben}}

{{Lösung versteckt|Der Querschnitt des Kanals hat die Form eines Trapezes. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. 
Gesucht ist die Querschnitts'''fläche'''. Lösung: 1386m²|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die gesamte Fläche der Backform setzt sich aus 5 Teilflächen zusammen: 
Der Boden ist ein Rechteck. 
Die Seiten der Backform sind jeweils Trapeze. 
Skizziere die Flächen jeweils und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. 
Lösung: 671 cm²|2=Tipp 1 zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zugabe von 10% 
geg: G = 671cm²; p% = 10% = 0,1; 
ges: W = G∙p% 
W = 671 ∙ 0,1 
W = 67,1 (cm²] 
Dieser Wert muss also noch hinzugefügt werden. 
(Du kannst auch mit dem Dreisatz rechnen: 
100% | 671 
10%   |67,1 
|2=Tipp 2 zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche des Steins entspricht der Fläche des großen Rechtecks minus den 2 kleinen Trapezflächen. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie vollständig. Berechne dann die Fläche eines Steines. Bestimme damit die Anzahl der Steine pro 1m² (=10000cm²). Lösung: AStein=265cm²; ca.38 Steine|2=Tipp 1 zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Skizze zu S.92 Nr. 8.png|rahmenlos]] 
Bestimme den Flächeninhalt des Pflastersteins: 
A = ARechteck - 2∙ATrapez 
   = 16∙20 - 2∙ ... wie kannst du den Flächeninhalt der Trapeze bestimmen? 
Lösung: A = 265 cm², also hat ein Stein die Fläche von 265 cm². Wie viele solcher Steine passen in 1m² = 100dm² = 10000cm²? 
Lösung ca. 38.|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=4) Dreieck|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck}}

Benutzer:Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez

2022-03-06T07:36:17Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt}}
{{Navigation verstecken|[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke| Einstieg und Vorwissen]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Vierecke und ihre Eigenschaften|1) Vierecke und ihre Eigenschaften 2) Haus der Vierecke]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Winkelsumme|3) Winkelsumme im Viereck]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4) Umfang und Flächeninhalt]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4.1) Quadrat und Rechteck]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm|4.2) Parallelogramm]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez|4.3) Trapez]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck|4.4) Dreieck]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.4) Drachen]]
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Zusammengesetzte Figuren|4.5) Zusammengesetzte Figuren]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4.6) Bunte Mischung]] 
[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Checkliste|5) Checkliste]]}}

===4.3) Trapez: Umfang und Flächeninhalt===

====1) Höhe im Trapez====
Die Höhe eines Trapezes ist der Abstand zwischen den parallelen Seiten. Schau, welche der Seiten parallel zueinander liegen und zeichne dazwischen die Höhe ein. 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 1.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 2.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 3.png|rahmenlos]]</div>
</div>

{{Box|Übung 1: Höhe im Trapez|Kennzeichne auf dem AB jeweils die parallelen Seiten und zeichne die Höhe des Trapezes ein.|Üben}}

====2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u====
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]]
Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes herzuleiten. Notiere deine Ideen. 
<ggb_applet id="M6dqPq6U" width="150ö" height="700" border="888888" />
 
{{#ev:youtube|w4SIXMBb0Ak|800|center}} 
Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung mit Hilfe der sognenannten '''Mittellinie'''. Hier ein Video zur Erklärung.
{{#ev:youtube|wMLQ89-_qUs|800|center}} 

{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Trapezes|2=[[Datei:Trapez allgemein.png|rechts|rahmenlos]] 
Sind die a und c die parallelen Seiten des Trapezes und h die Höhe, wird der Flächeninhalt A eines Trapezes so berechnet: 
'''A = <math>\frac{\text{(a+c)h}}{\text{2}}</math>''' oder '''A = <math>\frac{\text{(a+c)}}{\text{2}}</math> ∙ h''' oder '''A = m ∙ h'''

Der Umfang u eines Trapezes wird berechnet mit 
'''u = a + b + c + d'''.|3=Arbeitsmethode}}

{{#ev:youtube|RBk6VlyANAw|800|center}}

{{Box|Übung 2|Löse die nachfolgenden Learningapps. Schreibe die Aufgaben strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=pet3cyrgk19|width=100%|heigth=600px}} 

{{Box|Übung 3|Löse Buch
* S. 92 Nr. 1
* S. 92 Nr. 2a,c|Üben}} 
{{Lösung versteckt|1=Entnimm den Skizzen die nötigen Angaben für a, c und h. Setze dann in die Formel ein. 
Vergleiche deine Lösungen (hier sind sie durcheinander angegeben): 
32,97cm²; 28,0cm²; 52,25cm²;46,48cm²|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Hier sind die Werte für a, c und h gegeben. Setze sie in die Formel ein und berechne. 
Lösungen (gemischt):63,0 cm²; 812,67cm²;85,5cm²;20,4dm²|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 2|3=Verbergen}}

====3) Formeln umstellen====
 

{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer der Seiten a und c oder der Höhe zu berechnen, muss die Formeln für den Flächeninhalt umgestellt werden. 1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach den Seitenlängen a und c. 
 2. Stelle die Flächeninhaltsformel nach der Höhe um.|Üben}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Umstellen nach der Seite a: 
A = <math>\frac{\text{a+c}}{\text{2}}</math>∙h   |∙2 
2∙A = (a+c)∙h   |:h 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{h}}</math> = a+c   |-c 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{h}}</math> - c = a 

Stelle die Formel entsprechend nach c um. 

<div class="width-1-2">Umstellen nach der Höhe: 
A = <math>\frac{\text{a+c}}{\text{2}}</math>∙h   |∙2 
2∙A = (a+c)∙h   |:(a+c) 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{a+c}}</math> = h 
</div>

{{Box|Übung 4: Formel umstellen|Löse die nachfolgende LearningApp. Schreibe die Aufgabe strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=p5q3qzoq319|width=100%|heigth=600px}}

{{Box|Übung 5|Löse Buch
* S. 92 Nr. 5
* S. 96 Nr. 4
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Lösungen (gemischt) 0,9; 2,5; 7,2; 9; 14; 25; 75,6 
Achte auf die richtige Einheit im Ergebnis.|2=Vergleiche deine Lösungen|3=Verbergen}}
====4) Anwendungsaufgaben====
{{Box|Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Trapezen|Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächen'''in'''halt A('''in'''nen dr'''in''') und '''Um'''fang u (dr'''um''' her'''um''').
* S. 92 Nr. 6
* S. 92 Nr. 7
* S. 92 Nr. 8|Üben}}

{{Lösung versteckt|Der Querschnitt des Kanals hat die Form eines Trapezes. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. 
Gesucht ist die Querschnitts'''fläche'''. Lösung: 1386m²|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die gesamte Fläche der Backform setzt sich aus 5 Teilflächen zusammen: 
Der Boden ist ein Rechteck. 
Die Seiten der Backform sind jeweils Trapeze. 
Skizziere die Flächen jeweils und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. 
Lösung: 671 cm²|2=Tipp 1 zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zugabe von 10% 
geg: G = 671cm²; p% = 10% = 0,1; 
ges: W = G∙p% 
W = 671 ∙ 0,1 
W = 67,1 (cm²] 
Dieser Wert muss also noch hinzugefügt werden. 
(Du kannst auch mit dem Dreisatz rechnen: 
100% | 671 
10%   |67,1 
|2=Tipp 2 zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche des Steins entspricht der Fläche des großen Rechtecks minus den 2 kleinen Trapezflächen. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie vollständig. Berechne dann die Fläche eines Steines. Bestimme damit die Anzahl der Steine pro 1m² (=10000cm²). Lösung: AStein=265cm²; ca.38 Steine|2=Tipp 1 zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Skizze zu S.92 Nr. 8.png|rahmenlos]] 
Bestimme den Flächeninhalt des Pflastersteins: 
A = ARechteck - 2∙ATrapez 
   = 16∙20 - 2∙ ... wie kannst du den Flächeninhalt der Trapeze bestimmen? 
Lösung: A = 265 cm², also hat ein Stein die Fläche von 265 cm². Wie viele solcher Steine passen in 1m² = 100dm² = 10000cm²? 
Lösung ca. 38.|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=4) Dreieck|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck}}

Benutzer:Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez

2022-03-06T07:34:31Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt}}
{{Navigation verstecken|[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke| Einstieg und Vorwissen]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Vierecke und ihre Eigenschaften|1) Vierecke und ihre Eigenschaften 2) Haus der Vierecke]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Winkelsumme|3) Winkelsumme im Viereck]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4) Umfang und Flächeninhalt]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4.1) Quadrat und Rechteck]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm|4.2) Parallelogramm]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez|4.3) Trapez]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck|4.4) Dreieck]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.4) Drachen]]
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Zusammengesetzte Figuren|4.5) Zusammengesetzte Figuren]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4.6) Bunte Mischung]] 
[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Checkliste|5) Checkliste]]}}

===4.3) Trapez: Umfang und Flächeninhalt===

====1) Höhe im Trapez====
Die Höhe eines Trapezes ist der Abstand zwischen den parallelen Seiten. Schau, welche der Seiten parallel zueinander liegen und zeichne dazwischen die Höhe ein. 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 1.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 2.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 3.png|rahmenlos]]</div>
</div>

{{Box|Übung 1: Höhe im Trapez|Kennzeichne auf dem AB jeweils die parallelen Seiten und zeichne die Höhe des Trapezes ein.|Üben}}

====2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u====
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]]
Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes herzuleiten. Notiere deine Ideen. 
<ggb_applet id="M6dqPq6U" width="150ö" height="700" border="888888" />
 
{{#ev:youtube|w4SIXMBb0Ak|800|center}} 
 
Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung mit Hilfe der sognenannten '''Mittellinie'''. Hier ein Video zur Erklärung.
{{#ev:youtube|wMLQ89-_qUs|800|center}} 

<nowiki>{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Trapezes|2=</nowiki>[[Datei:Trapez allgemein.png|rechts|rahmenlos]] 
Sind die a und c die parallelen Seiten des Trapezes und h die Höhe, wird der Flächeninhalt A eines Trapezes so berechnet: 
'''A = <math>\frac{\text{(a+c)h}}{\text{2}}</math>''' oder '''A = <math>\frac{\text{(a+c)}}{\text{2}}</math>∙h''' oder '''A = m ∙ h'''

Der Umfang u eines Trapezes wird berechnet mit 
'''u = a + b + c + d'''<nowiki>.|3=Arbeitsmethode}}</nowiki>

{{#ev:youtube|RBk6VlyANAw|800|center}}

{{Box|Übung 2|Löse die nachfolgenden Learningapps. Schreibe die Aufgaben strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=pet3cyrgk19|width=100%|heigth=600px}} 

{{Box|Übung 3|Löse Buch
* S. 92 Nr. 1
* S. 92 Nr. 2a,c|Üben}} 
{{Lösung versteckt|1=Entnimm den Skizzen die nötigen Angaben für a, c und h. Setze dann in die Formel ein. 
Vergleiche deine Lösungen (hier sind sie durcheinander angegeben): 
32,97cm²; 28,0cm²; 52,25cm²;46,48cm²|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Hier sind die Werte für a, c und h gegeben. Setze sie in die Formel ein und berechne. 
Lösungen (gemischt):63,0 cm²; 812,67cm²;85,5cm²;20,4dm²|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 2|3=Verbergen}}

====3) Formeln umstellen====
 

{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer der Seiten a und c oder der Höhe zu berechnen, muss die Formeln für den Flächeninhalt umgestellt werden. 1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach den Seitenlängen a und c. 
 2. Stelle die Flächeninhaltsformel nach der Höhe um.|Üben}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Umstellen nach der Seite a: 
A = <math>\frac{\text{a+c}}{\text{2}}</math>∙h   |∙2 
2∙A = (a+c)∙h   |:h 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{h}}</math> = a+c   |-c 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{h}}</math> - c = a 

Stelle die Formel entsprechend nach c um. 

<div class="width-1-2">Umstellen nach der Höhe: 
A = <math>\frac{\text{a+c}}{\text{2}}</math>∙h   |∙2 
2∙A = (a+c)∙h   |:(a+c) 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{a+c}}</math> = h 
</div>

{{Box|Übung 4: Formel umstellen|Löse die nachfolgende LearningApp. Schreibe die Aufgabe strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=p5q3qzoq319|width=100%|heigth=600px}}

{{Box|Übung 5|Löse Buch
* S. 92 Nr. 5
* S. 96 Nr. 4
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Lösungen (gemischt) 0,9; 2,5; 7,2; 9; 14; 25; 75,6 
Achte auf die richtige Einheit im Ergebnis.|2=Vergleiche deine Lösungen|3=Verbergen}}
====4) Anwendungsaufgaben====
{{Box|Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Trapezen|Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächen'''in'''halt A('''in'''nen dr'''in''') und '''Um'''fang u (dr'''um''' her'''um''').
* S. 92 Nr. 6
* S. 92 Nr. 7
* S. 92 Nr. 8|Üben}}

{{Lösung versteckt|Der Querschnitt des Kanals hat die Form eines Trapezes. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. 
Gesucht ist die Querschnitts'''fläche'''. Lösung: 1386m²|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die gesamte Fläche der Backform setzt sich aus 5 Teilflächen zusammen: 
Der Boden ist ein Rechteck. 
Die Seiten der Backform sind jeweils Trapeze. 
Skizziere die Flächen jeweils und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. 
Lösung: 671 cm²|2=Tipp 1 zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zugabe von 10% 
geg: G = 671cm²; p% = 10% = 0,1; 
ges: W = G∙p% 
W = 671 ∙ 0,1 
W = 67,1 (cm²] 
Dieser Wert muss also noch hinzugefügt werden. 
(Du kannst auch mit dem Dreisatz rechnen: 
100% | 671 
10%   |67,1 
|2=Tipp 2 zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche des Steins entspricht der Fläche des großen Rechtecks minus den 2 kleinen Trapezflächen. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie vollständig. Berechne dann die Fläche eines Steines. Bestimme damit die Anzahl der Steine pro 1m² (=10000cm²). Lösung: AStein=265cm²; ca.38 Steine|2=Tipp 1 zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Skizze zu S.92 Nr. 8.png|rahmenlos]] 
Bestimme den Flächeninhalt des Pflastersteins: 
A = ARechteck - 2∙ATrapez 
   = 16∙20 - 2∙ ... wie kannst du den Flächeninhalt der Trapeze bestimmen? 
Lösung: A = 265 cm², also hat ein Stein die Fläche von 265 cm². Wie viele solcher Steine passen in 1m² = 100dm² = 10000cm²? 
Lösung ca. 38.|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=4) Dreieck|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck}}

Benutzer:Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez

2022-03-06T07:33:56Z

Neukirch:

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt}}
{{Navigation verstecken|[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke| Einstieg und Vorwissen]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Vierecke und ihre Eigenschaften|1) Vierecke und ihre Eigenschaften 2) Haus der Vierecke]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Winkelsumme|3) Winkelsumme im Viereck]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4) Umfang und Flächeninhalt]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4.1) Quadrat und Rechteck]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm|4.2) Parallelogramm]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez|4.3) Trapez]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck|4.4) Dreieck]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.4) Drachen]]
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Zusammengesetzte Figuren|4.5) Zusammengesetzte Figuren]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4.6) Bunte Mischung]] 
[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Checkliste|5) Checkliste]]}}

===4.3) Trapez: Umfang und Flächeninhalt===

====1) Höhe im Trapez====
Die Höhe eines Trapezes ist der Abstand zwischen den parallelen Seiten. Schau, welche der Seiten parallel zueinander liegen und zeichne dazwischen die Höhe ein. 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 1.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 2.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 3.png|rahmenlos]]</div>
</div>

{{Box|Übung 1: Höhe im Trapez|Kennzeichne auf dem AB jeweils die parallelen Seiten und zeichne die Höhe des Trapezes ein.|Üben}}

====2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u====
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]]
Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes herzuleiten. Notiere deine Ideen. 
<ggb_applet id="M6dqPq6U" width="150ö" height="700" border="888888" />
 
{{#ev:youtube|w4SIXMBb0Ak|800|center}} 
 
Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung mit Hilfe der sognenannten '''Mittellinie'''. Hier ein Video zur Erklärung.
{{#ev:youtube|wMLQ89-_qUs|800|center}} 

<nowiki>{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Trapezes|2=</nowiki>[[Datei:Trapez allgemein.png|rechts|rahmenlos]] 
Sind die a und c die parallelen Seiten des Trapezes und h die Höhe, wird der Flächeninhalt A eines Trapezes so berechnet: 
'''A = <math>\frac{\text{(a+c)h}}{\text{2}}</math>''' oder '''A = <math>\frac{\text{(a+c)}}{\text{2}}</math>∙h''' oder '''A = m ∙ h'''

Der Umfang u eines Trapezes wird berechnet mit 
'''u = a + b + c + d'''.|3=Arbeitsmethode}}

{{#ev:youtube|RBk6VlyANAw|800|center}}

{{Box|Übung 2|Löse die nachfolgenden Learningapps. Schreibe die Aufgaben strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=pet3cyrgk19|width=100%|heigth=600px}} 

{{Box|Übung 3|Löse Buch
* S. 92 Nr. 1
* S. 92 Nr. 2a,c|Üben}} 
{{Lösung versteckt|1=Entnimm den Skizzen die nötigen Angaben für a, c und h. Setze dann in die Formel ein. 
Vergleiche deine Lösungen (hier sind sie durcheinander angegeben): 
32,97cm²; 28,0cm²; 52,25cm²;46,48cm²|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Hier sind die Werte für a, c und h gegeben. Setze sie in die Formel ein und berechne. 
Lösungen (gemischt):63,0 cm²; 812,67cm²;85,5cm²;20,4dm²|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 2|3=Verbergen}}

====3) Formeln umstellen====
 

{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer der Seiten a und c oder der Höhe zu berechnen, muss die Formeln für den Flächeninhalt umgestellt werden. 1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach den Seitenlängen a und c. 
 2. Stelle die Flächeninhaltsformel nach der Höhe um.|Üben}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Umstellen nach der Seite a: 
A = <math>\frac{\text{a+c}}{\text{2}}</math>∙h   |∙2 '''
2∙A = (a+c)∙h   |:h 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{h}}</math> = a+c   |-c 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{h}}</math> - c = a 

Stelle die Formel entsprechend nach c um. 

<div class="width-1-2">Umstellen nach der Höhe: 
A = <math>\frac{\text{a+c}}{\text{2}}</math>∙h   |∙2 
2∙A = (a+c)∙h   |:(a+c) 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{a+c}}</math> = h 
</div>

{{Box|Übung 4: Formel umstellen|Löse die nachfolgende LearningApp. Schreibe die Aufgabe strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=p5q3qzoq319|width=100%|heigth=600px}}

{{Box|Übung 5|Löse Buch
* S. 92 Nr. 5
* S. 96 Nr. 4
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Lösungen (gemischt) 0,9; 2,5; 7,2; 9; 14; 25; 75,6 
Achte auf die richtige Einheit im Ergebnis.|2=Vergleiche deine Lösungen|3=Verbergen}}
====4) Anwendungsaufgaben====
{{Box|Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Trapezen|Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächen'''in'''halt A('''in'''nen dr'''in''') und '''Um'''fang u (dr'''um''' her'''um''').
* S. 92 Nr. 6
* S. 92 Nr. 7
* S. 92 Nr. 8|Üben}}

{{Lösung versteckt|Der Querschnitt des Kanals hat die Form eines Trapezes. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. 
Gesucht ist die Querschnitts'''fläche'''. Lösung: 1386m²|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die gesamte Fläche der Backform setzt sich aus 5 Teilflächen zusammen: 
Der Boden ist ein Rechteck. 
Die Seiten der Backform sind jeweils Trapeze. 
Skizziere die Flächen jeweils und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. 
Lösung: 671 cm²|2=Tipp 1 zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zugabe von 10% 
geg: G = 671cm²; p% = 10% = 0,1; 
ges: W = G∙p% 
W = 671 ∙ 0,1 
W = 67,1 (cm²] 
Dieser Wert muss also noch hinzugefügt werden. 
(Du kannst auch mit dem Dreisatz rechnen: 
100% | 671 
10%   |67,1 
|2=Tipp 2 zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche des Steins entspricht der Fläche des großen Rechtecks minus den 2 kleinen Trapezflächen. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie vollständig. Berechne dann die Fläche eines Steines. Bestimme damit die Anzahl der Steine pro 1m² (=10000cm²). Lösung: AStein=265cm²; ca.38 Steine|2=Tipp 1 zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Skizze zu S.92 Nr. 8.png|rahmenlos]] 
Bestimme den Flächeninhalt des Pflastersteins: 
A = ARechteck - 2∙ATrapez 
   = 16∙20 - 2∙ ... wie kannst du den Flächeninhalt der Trapeze bestimmen? 
Lösung: A = 265 cm², also hat ein Stein die Fläche von 265 cm². Wie viele solcher Steine passen in 1m² = 100dm² = 10000cm²? 
Lösung ca. 38.|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=4) Dreieck|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck}}

Benutzer:Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez

2022-03-06T07:32:27Z

Neukirch: Formel ergänzt

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt}}
{{Navigation verstecken|[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke| Einstieg und Vorwissen]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Vierecke und ihre Eigenschaften|1) Vierecke und ihre Eigenschaften 2) Haus der Vierecke]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Winkelsumme|3) Winkelsumme im Viereck]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4) Umfang und Flächeninhalt]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4.1) Quadrat und Rechteck]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm|4.2) Parallelogramm]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez|4.3) Trapez]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck|4.4) Dreieck]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.4) Drachen]]
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Zusammengesetzte Figuren|4.5) Zusammengesetzte Figuren]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4.6) Bunte Mischung]] 
[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Checkliste|5) Checkliste]]}}

===4.3) Trapez: Umfang und Flächeninhalt===

====1) Höhe im Trapez====
Die Höhe eines Trapezes ist der Abstand zwischen den parallelen Seiten. Schau, welche der Seiten parallel zueinander liegen und zeichne dazwischen die Höhe ein. 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 1.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 2.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 3.png|rahmenlos]]</div>
</div>

{{Box|Übung 1: Höhe im Trapez|Kennzeichne auf dem AB jeweils die parallelen Seiten und zeichne die Höhe des Trapezes ein.|Üben}}

====2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u====
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]]
Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes herzuleiten. Notiere deine Ideen. 
<ggb_applet id="M6dqPq6U" width="150ö" height="700" border="888888" />
 
{{#ev:youtube|w4SIXMBb0Ak|800|center}} 
 
Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung mit Hilfe der sognenannten '''Mittellinie'''. Hier ein Video zur Erklärung.
{{#ev:youtube|wMLQ89-_qUs|800|center}} 

{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Trapezes|2=[[Datei:Trapez allgemein.png|rechts|rahmenlos]] 
Sind die a und c die parallelen Seiten des Trapezes und h die Höhe, wird der Flächeninhalt A eines Trapezes so berechnet: 
'''A = <math>\frac{\text{(a+c)h}}{\text{2}}</math>''' oder '''A = <math>\frac{\text{(a+c)}}{\text{2}}</math>∙h''' oder '''A = <math>m ∙ h'''

Der Umfang u eines Trapezes wird berechnet mit 
'''u = a + b + c + d'''.|3=Arbeitsmethode}}

{{#ev:youtube|RBk6VlyANAw|800|center}}

{{Box|Übung 2|Löse die nachfolgenden Learningapps. Schreibe die Aufgaben strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=pet3cyrgk19|width=100%|heigth=600px}} 

{{Box|Übung 3|Löse Buch
* S. 92 Nr. 1
* S. 92 Nr. 2a,c|Üben}} 
{{Lösung versteckt|1=Entnimm den Skizzen die nötigen Angaben für a, c und h. Setze dann in die Formel ein. 
Vergleiche deine Lösungen (hier sind sie durcheinander angegeben): 
32,97cm²; 28,0cm²; 52,25cm²;46,48cm²|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Hier sind die Werte für a, c und h gegeben. Setze sie in die Formel ein und berechne. 
Lösungen (gemischt):63,0 cm²; 812,67cm²;85,5cm²;20,4dm²|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 2|3=Verbergen}}

====3) Formeln umstellen====
 

{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer der Seiten a und c oder der Höhe zu berechnen, muss die Formeln für den Flächeninhalt umgestellt werden. 1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach den Seitenlängen a und c. 
 2. Stelle die Flächeninhaltsformel nach der Höhe um.|Üben}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Umstellen nach der Seite a: 
A = <math>\frac{\text{a+c}}{\text{2}}</math>∙h   |∙2 
2∙A = (a+c)∙h   |:h 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{h}}</math> = a+c   |-c 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{h}}</math> - c = a 

Stelle die Formel entsprechend nach c um. 
</div>
<div class="width-1-2">Umstellen nach der Höhe: 
A = <math>\frac{\text{a+c}}{\text{2}}</math>∙h   |∙2 
2∙A = (a+c)∙h   |:(a+c) 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{a+c}}</math> = h 
</div>
</div>

{{Box|Übung 4: Formel umstellen|Löse die nachfolgende LearningApp. Schreibe die Aufgabe strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=p5q3qzoq319|width=100%|heigth=600px}}

{{Box|Übung 5|Löse Buch
* S. 92 Nr. 5
* S. 96 Nr. 4
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Lösungen (gemischt) 0,9; 2,5; 7,2; 9; 14; 25; 75,6 
Achte auf die richtige Einheit im Ergebnis.|2=Vergleiche deine Lösungen|3=Verbergen}}
====4) Anwendungsaufgaben====
{{Box|Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Trapezen|Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächen'''in'''halt A('''in'''nen dr'''in''') und '''Um'''fang u (dr'''um''' her'''um''').
* S. 92 Nr. 6
* S. 92 Nr. 7
* S. 92 Nr. 8|Üben}}

{{Lösung versteckt|Der Querschnitt des Kanals hat die Form eines Trapezes. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. 
Gesucht ist die Querschnitts'''fläche'''. Lösung: 1386m²|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die gesamte Fläche der Backform setzt sich aus 5 Teilflächen zusammen: 
Der Boden ist ein Rechteck. 
Die Seiten der Backform sind jeweils Trapeze. 
Skizziere die Flächen jeweils und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. 
Lösung: 671 cm²|2=Tipp 1 zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zugabe von 10% 
geg: G = 671cm²; p% = 10% = 0,1; 
ges: W = G∙p% 
W = 671 ∙ 0,1 
W = 67,1 (cm²] 
Dieser Wert muss also noch hinzugefügt werden. 
(Du kannst auch mit dem Dreisatz rechnen: 
100% | 671 
10%   |67,1 
|2=Tipp 2 zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche des Steins entspricht der Fläche des großen Rechtecks minus den 2 kleinen Trapezflächen. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie vollständig. Berechne dann die Fläche eines Steines. Bestimme damit die Anzahl der Steine pro 1m² (=10000cm²). Lösung: AStein=265cm²; ca.38 Steine|2=Tipp 1 zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Skizze zu S.92 Nr. 8.png|rahmenlos]] 
Bestimme den Flächeninhalt des Pflastersteins: 
A = ARechteck - 2∙ATrapez 
   = 16∙20 - 2∙ ... wie kannst du den Flächeninhalt der Trapeze bestimmen? 
Lösung: A = 265 cm², also hat ein Stein die Fläche von 265 cm². Wie viele solcher Steine passen in 1m² = 100dm² = 10000cm²? 
Lösung ca. 38.|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=4) Dreieck|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck}}

Benutzer:Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez

2022-03-06T07:28:58Z

Neukirch: Video ergänzt

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt}}
{{Navigation verstecken|[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke| Einstieg und Vorwissen]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Vierecke und ihre Eigenschaften|1) Vierecke und ihre Eigenschaften 2) Haus der Vierecke]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Winkelsumme|3) Winkelsumme im Viereck]] [[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4) Umfang und Flächeninhalt]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt|4.1) Quadrat und Rechteck]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Parallelogramm|4.2) Parallelogramm]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Trapez|4.3) Trapez]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck|4.4) Dreieck]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Drachen|4.4) Drachen]]
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Zusammengesetzte Figuren|4.5) Zusammengesetzte Figuren]] 
*[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Bunte Mischung|4.6) Bunte Mischung]] 
[[Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Checkliste|5) Checkliste]]}}

===4.3) Trapez: Umfang und Flächeninhalt===

====1) Höhe im Trapez====
Die Höhe eines Trapezes ist der Abstand zwischen den parallelen Seiten. Schau, welche der Seiten parallel zueinander liegen und zeichne dazwischen die Höhe ein. 
<div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 1.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 2.png|rahmenlos]]</div>
<div class="width-1-3">[[Datei:Trapez Höhe 3.png|rahmenlos]]</div>
</div>

{{Box|Übung 1: Höhe im Trapez|Kennzeichne auf dem AB jeweils die parallelen Seiten und zeichne die Höhe des Trapezes ein.|Üben}}

====2) Formeln herleiten: Flächeninhalt A und Umfang u====
[[Datei:Idee_Flipchart.png|alternativtext=|links|rahmenlos|81x81px]]
Nun versuche, mithilfe des GeoGebra-Applets die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes herzuleiten. Notiere deine Ideen. 
<ggb_applet id="M6dqPq6U" width="150ö" height="700" border="888888" />
 
{{#ev:youtube|w4SIXMBb0Ak|800|center}} 

Eine andere Möglichkeit ist die Berechnung mit Hilfe der sognenannten '''Mittellinie'''. Hier ein Video zur Erklärung.
{{#ev:youtube|wMLQ89-_qUs|800|center}} 

{{Box|1=Flächeninhalt und Umfang des Trapezes|2=[[Datei:Trapez allgemein.png|rechts|rahmenlos]] 
Sind die a und c die parallelen Seiten des Trapezes und h die Höhe, wird der Flächeninhalt A eines Trapezes so berechnet: 
'''A = <math>\frac{\text{(a+c)h}}{\text{2}}</math>''' oder '''A = <math>\frac{\text{(a+c)}}{\text{2}}</math>∙h''' 

Der Umfang u eines Trapezes wird berechnet mit 
'''u = a + b + c + d'''.|3=Arbeitsmethode}}

{{#ev:youtube|RBk6VlyANAw|800|center}}

{{Box|Übung 2|Löse die nachfolgenden Learningapps. Schreibe die Aufgaben strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=pet3cyrgk19|width=100%|heigth=600px}} 

{{Box|Übung 3|Löse Buch
* S. 92 Nr. 1
* S. 92 Nr. 2a,c|Üben}} 
{{Lösung versteckt|1=Entnimm den Skizzen die nötigen Angaben für a, c und h. Setze dann in die Formel ein. 
Vergleiche deine Lösungen (hier sind sie durcheinander angegeben): 
32,97cm²; 28,0cm²; 52,25cm²;46,48cm²|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Hier sind die Werte für a, c und h gegeben. Setze sie in die Formel ein und berechne. 
Lösungen (gemischt):63,0 cm²; 812,67cm²;85,5cm²;20,4dm²|2=Vergleiche deine Lösungen zu Nr. 2|3=Verbergen}}

====3) Formeln umstellen====
 

{{Box|Umstellen der Formel|Um die Länge einer der Seiten a und c oder der Höhe zu berechnen, muss die Formeln für den Flächeninhalt umgestellt werden. 1. Stelle die Flächeninhaltsformel um nach den Seitenlängen a und c. 
 2. Stelle die Flächeninhaltsformel nach der Höhe um.|Üben}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Umstellen nach der Seite a: 
A = <math>\frac{\text{a+c}}{\text{2}}</math>∙h   |∙2 
2∙A = (a+c)∙h   |:h 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{h}}</math> = a+c   |-c 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{h}}</math> - c = a 

Stelle die Formel entsprechend nach c um. 
</div>
<div class="width-1-2">Umstellen nach der Höhe: 
A = <math>\frac{\text{a+c}}{\text{2}}</math>∙h   |∙2 
2∙A = (a+c)∙h   |:(a+c) 
<math>\frac{\text{2A}}{\text{a+c}}</math> = h 
</div>
</div>

{{Box|Übung 4: Formel umstellen|Löse die nachfolgende LearningApp. Schreibe die Aufgabe strukturiert in dein Heft.|Üben}}
{{LearningApp|app=p5q3qzoq319|width=100%|heigth=600px}}

{{Box|Übung 5|Löse Buch
* S. 92 Nr. 5
* S. 96 Nr. 4
Notiere die Formel und stelle sie nach der gesuchten Größe um. Setze dann ein und berechne.|Üben}}
{{Lösung versteckt|1=Lösungen (gemischt) 0,9; 2,5; 7,2; 9; 14; 25; 75,6 
Achte auf die richtige Einheit im Ergebnis.|2=Vergleiche deine Lösungen|3=Verbergen}}
====4) Anwendungsaufgaben====
{{Box|Übung 6: Anwendungsaufgaben zu Trapezen|Löse die Anwendungsaufgaben übersichtlich. Notiere zunächst die gegebenen Größen. Zeichne eine Skizze und beschrifte diese. Überlege, was gesucht ist. Unterscheide zwischen Flächen'''in'''halt A('''in'''nen dr'''in''') und '''Um'''fang u (dr'''um''' her'''um''').
* S. 92 Nr. 6
* S. 92 Nr. 7
* S. 92 Nr. 8|Üben}}

{{Lösung versteckt|Der Querschnitt des Kanals hat die Form eines Trapezes. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. 
Gesucht ist die Querschnitts'''fläche'''. Lösung: 1386m²|Tipp zu Nr. 6|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die gesamte Fläche der Backform setzt sich aus 5 Teilflächen zusammen: 
Der Boden ist ein Rechteck. 
Die Seiten der Backform sind jeweils Trapeze. 
Skizziere die Flächen jeweils und beschrifte sie mit den angegebenen Maßen. 
Lösung: 671 cm²|2=Tipp 1 zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zugabe von 10% 
geg: G = 671cm²; p% = 10% = 0,1; 
ges: W = G∙p% 
W = 671 ∙ 0,1 
W = 67,1 (cm²] 
Dieser Wert muss also noch hinzugefügt werden. 
(Du kannst auch mit dem Dreisatz rechnen: 
100% | 671 
10%   |67,1 
|2=Tipp 2 zu Nr. 7|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Die Fläche des Steins entspricht der Fläche des großen Rechtecks minus den 2 kleinen Trapezflächen. Zeichne eine Skizze in dein Heft und beschrifte sie vollständig. Berechne dann die Fläche eines Steines. Bestimme damit die Anzahl der Steine pro 1m² (=10000cm²). Lösung: AStein=265cm²; ca.38 Steine|2=Tipp 1 zu Nr. 8|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Skizze zu S.92 Nr. 8.png|rahmenlos]] 
Bestimme den Flächeninhalt des Pflastersteins: 
A = ARechteck - 2∙ATrapez 
   = 16∙20 - 2∙ ... wie kannst du den Flächeninhalt der Trapeze bestimmen? 
Lösung: A = 265 cm², also hat ein Stein die Fläche von 265 cm². Wie viele solcher Steine passen in 1m² = 100dm² = 10000cm²? 
Lösung ca. 38.|2=Tipp 2 zu Nr. 8|3=Verbergen}}

{{Fortsetzung|weiter=4) Dreieck|weiterlink=Buss-Haskert/Vierecke und Dreiecke/Umfang und Flächeninhalt/Dreieck}}