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Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-30T09:26:11Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 1: Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 2: Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (**) Aufgabe 3: Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 4: Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (<math>€</math>), Cent (<math>ct</math>)

[[Datei:Umwandeln von Geldeinheiten.jpg|links|200px|rahmenlos]]

'''Gewicht''': Tonne (<math>t</math>), Kilogramm (<math>kg</math>), Gramm (<math>g</math>), Milligramm (<math>mg</math>)

[[Datei:Umwandeln von Gewicht.jpg|rahmenlos]]

'''Länge''': Kilometer (<math>km</math>), Meter (<math>m</math>), Dezimeter (<math>dm</math>), Zentimeter (<math>cm</math>), Millimeter (<math>mm</math>)

[[Datei:Umwandeln von Länge.jpg|400px|rahmenlos]]

'''Zeit''': Jahre, Tage (<math>d</math>), Stunden (<math>h</math>), Minuten (<math>min</math>), Sekunden (<math>s</math>)

[[Datei:Umwandeln von Zeit.jpg|400px|rahmenlos]]
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 5: Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (**/***) Aufgabe 6: Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlagen bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Runden und Überschlagen bei Dezimalzahlen|Schaue dir das Beispiel an.

[[Datei:Beispiel Runden und Überschlagen bei Dezimalzahlen.jpg|links|rahmenlos|800px|Beispiel Runden und Überschlagen bei Dezimalzahlen]]|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|gelb}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (**) Aufgabe 7: Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (***) Aufgabe 8: Runden von Dezimalzahlen|[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 9: Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (**) Aufgabe 10: Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 11: Rechnen im Kopf|Rechne folgende Aufgaben im Kopf.

a) <math>0,4 \cdot 0,6</math>

b) <math>0,5 \cdot 0,01</math>

c) <math>0,72 \div 0,08</math>

{{Lösung versteckt|1= a) <math>0,24</math>

b) <math>0,005</math>

c) <math>9</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (***) Aufgabe 12: Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten|400x400px]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 2,19 € = 3,01 €</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: <math>... mg < g < kg < t ...</math>, wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: <math>mm < cm < dm < m < km ...</math>, wobei sich die Einheiten von <math>mm</math> bis <math>m</math> jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und <math>m</math> und <math>km</math> um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: <math>ct < €</math>, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... <math>s < min < h < d (Tage) < Jahre</math>, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1 Jahr</math>
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g > 1500 g < 2000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 13: Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]''Wenn du mit der Aufgabe fertig bist, schreibe das Beispiel mit Lösung auf dein Arbeitsblatt.''

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|gelb}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (**) Aufgabe 14: Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (***) Aufgabe 15: Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 \cdot 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25kg</math>}
- <math>32,5mg</math>.
- <math>0,00325t</math>.
+ <math>3250g</math>.

{ Berechne: <math>5,3m</math> <math>+ 123cm</math> }
+ <math>6,53m</math>
- <math>5,423m</math>
- <math>176cm</math>
+ <math>653cm</math>
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-30T09:25:42Z

Moritz Uni MS-13:

Datei:Umwandeln von Zeit.jpg

2024-05-30T09:24:32Z

Moritz Uni MS-13: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Umwandeln von Zeit
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Moritz Uni MS-13|Moritz Uni MS-13]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Umwandeln von Länge.jpg

2024-05-30T09:23:36Z

Moritz Uni MS-13: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Umwandeln von Länge
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Moritz Uni MS-13|Moritz Uni MS-13]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Umwandeln von Gewicht.jpg

2024-05-30T09:21:41Z

Moritz Uni MS-13: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Umwandeln von Gewicht
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Moritz Uni MS-13|Moritz Uni MS-13]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Umwandeln von Geldeinheiten.jpg

2024-05-30T09:20:10Z

Moritz Uni MS-13: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Umwandeln von Geldeinheiten
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Moritz Uni MS-13|Moritz Uni MS-13]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Beispiel Runden und Überschlagen bei Dezimalzahlen.jpg

2024-05-30T09:15:25Z

Moritz Uni MS-13: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Beispiel Runden und Überschlagen bei Dezimalzahlen
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Moritz Uni MS-13|Moritz Uni MS-13]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-30T09:09:13Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 1: Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 2: Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (**) Aufgabe 3: Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 4: Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (<math>€</math>), Cent (<math>ct</math>)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (<math>t</math>), Kilogramm (<math>kg</math>), Gramm (<math>g</math>), Milligramm (<math>mg</math>)

<math>1t = 1000kg</math>, <math>1kg = 1000g</math>, <math>1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (<math>km</math>), Meter (<math>m</math>), Dezimeter (<math>dm</math>), Zentimeter (<math>cm</math>), Millimeter (<math>mm</math>)

<math>1km = 1000m</math>, <math>1m = 10dm</math>, <math>1dm = 10cm</math>, <math>1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (<math>d</math>), Stunden (<math>h</math>), Minuten (<math>min</math>), Sekunden (<math>s</math>)

<math>1</math> Jahr <math>= 365</math> Tage, <math>1</math> Tag <math>= 24</math> Stunden, <math>1</math> Stunde <math>= 60</math> Minuten, <math>1</math> Minute <math>= 60</math> Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen ==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 5: Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (**/***) Aufgabe 6: Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlagen bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (**) Aufgabe 7: Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (***) Aufgabe 8: Runden von Dezimalzahlen|[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 9: Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (**) Aufgabe 10: Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 11: Rechnen im Kopf|Rechne folgende Aufgaben im Kopf.

a) <math>0,4 \cdot 0,6</math>

b) <math>0,5 \cdot 0,01</math>

c) <math>0,72 \div 0,08</math>

{{Lösung versteckt|1= a) <math>0,24</math>

b) <math>0,005</math>

c) <math>9</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (***) Aufgabe 12: Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten|400x400px]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 2,19 € = 3,01 €</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: <math>... mg < g < kg < t ...</math>, wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: <math>mm < cm < dm < m < km ...</math>, wobei sich die Einheiten von <math>mm</math> bis <math>m</math> jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und <math>m</math> und <math>km</math> um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: <math>ct < €</math>, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... <math>s < min < h < d (Tage) < Jahre</math>, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1 Jahr</math>
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g > 1500 g < 2000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 13: Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]''Wenn du mit der Aufgabe fertig bist, schreibe das Beispiel mit Lösung auf dein Arbeitsblatt.''

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (**) Aufgabe 14: Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (***) Aufgabe 15: Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 \cdot 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25kg</math>}
- <math>32,5mg</math>.
- <math>0,00325t</math>.
+ <math>3250g</math>.

{ Berechne: <math>5,3m</math> <math>+ 123cm</math> }
+ <math>6,53m</math>
- <math>5,423m</math>
- <math>176cm</math>
+ <math>653cm</math>
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-30T09:06:24Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (<math>€</math>), Cent (<math>ct</math>)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (<math>t</math>), Kilogramm (<math>kg</math>), Gramm (<math>g</math>), Milligramm (<math>mg</math>)

<math>1t = 1000kg</math>, <math>1kg = 1000g</math>, <math>1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (<math>km</math>), Meter (<math>m</math>), Dezimeter (<math>dm</math>), Zentimeter (<math>cm</math>), Millimeter (<math>mm</math>)

<math>1km = 1000m</math>, <math>1m = 10dm</math>, <math>1dm = 10cm</math>, <math>1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (<math>d</math>), Stunden (<math>h</math>), Minuten (<math>min</math>), Sekunden (<math>s</math>)

<math>1</math> Jahr <math>= 365</math> Tage, <math>1</math> Tag <math>= 24</math> Stunden, <math>1</math> Stunde <math>= 60</math> Minuten, <math>1</math> Minute <math>= 60</math> Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen ==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlagen bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 11: Rechnen im Kopf|Rechne folgende Aufgaben im Kopf.

a) <math>0,4 \cdot 0,6</math>

b) <math>0,5 \cdot 0,01</math>

c) <math>0,72 \div 0,08</math>

{{Lösung versteckt|1= a) <math>0,24</math>

b) <math>0,005</math>

c) <math>9</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (***) Aufgabe 12: Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten|400x400px]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 2,19 € = 3,01 €</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: <math>... mg < g < kg < t ...</math>, wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: <math>mm < cm < dm < m < km ...</math>, wobei sich die Einheiten von <math>mm</math> bis <math>m</math> jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und <math>m</math> und <math>km</math> um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: <math>ct < €</math>, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... <math>s < min < h < d (Tage) < Jahre</math>, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1 Jahr</math>
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g > 1500 g < 2000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]]''Wenn du mit der Aufgabe fertig bist, schreibe das Beispiel mit Lösung auf dein Arbeitsblatt.''

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 \cdot 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25kg</math>}
- <math>32,5mg</math>.
- <math>0,00325t</math>.
+ <math>3250g</math>.

{ Berechne: <math>5,3m</math> <math>+ 123cm</math> }
+ <math>6,53m</math>
- <math>5,423m</math>
- <math>176cm</math>
+ <math>653cm</math>
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-30T08:54:54Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (<math>€</math>), Cent (<math>ct</math>)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (<math>t</math>), Kilogramm (<math>kg</math>), Gramm (<math>g</math>), Milligramm (<math>mg</math>)

<math>1t = 1000kg</math>, <math>1kg = 1000g</math>, <math>1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (<math>km</math>), Meter (<math>m</math>), Dezimeter (<math>dm</math>), Zentimeter (<math>cm</math>), Millimeter (<math>mm</math>)

<math>1km = 1000m</math>, <math>1m = 10dm</math>, <math>1dm = 10cm</math>, <math>1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (<math>d</math>), Stunden (<math>h</math>), Minuten (<math>min</math>), Sekunden (<math>s</math>)

<math>1</math> Jahr <math>= 365</math> Tage, <math>1</math> Tag <math>= 24</math> Stunden, <math>1</math> Stunde <math>= 60</math> Minuten, <math>1</math> Minute <math>= 60</math> Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlagen bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen ====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (*) Aufgabe 11: Rechnen im Kopf|Rechne folgende Aufgaben im Kopf.

a) <math>0,4 \cdot 0,6</math>

b) <math>0,5 \cdot 0,01</math>

c) <math>0,72 \div 0,08</math>

{{Lösung versteckt|1= a) <math>0,24</math>

b) <math>0,005</math>

c) <math>9</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] (***) Aufgabe 12: Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten|400x400px]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 2,19 € = 3,01 €</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: <math>... mg < g < kg < t ...</math>, wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: <math>mm < cm < dm < m < km ...</math>, wobei sich die Einheiten von <math>mm</math> bis <math>m</math> jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und <math>m</math> und <math>km</math> um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: <math>ct < €</math>, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... <math>s < min < h < d (Tage) < Jahre</math>, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1 Jahr</math>
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g > 1500 g < 2000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

''Wenn du mit der Aufgabe fertig bist, schreibe das Beispiel mit Lösung auf dein Arbeitsblatt.''

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 \cdot 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25kg</math>}
- <math>32,5mg</math>.
- <math>0,00325t</math>.
+ <math>3250g</math>.

{ Berechne: <math>5,3m</math> <math>+ 123cm</math> }
+ <math>6,53m</math>
- <math>5,423m</math>
- <math>176cm</math>
+ <math>653cm</math>
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-30T08:45:35Z

Moritz Uni MS-13: /* Multiplikation von Dezimalzahlen */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (<math>€</math>), Cent (<math>ct</math>)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (<math>t</math>), Kilogramm (<math>kg</math>), Gramm (<math>g</math>), Milligramm (<math>mg</math>)

<math>1t = 1000kg</math>, <math>1kg = 1000g</math>, <math>1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (<math>km</math>), Meter (<math>m</math>), Dezimeter (<math>dm</math>), Zentimeter (<math>cm</math>), Millimeter (<math>mm</math>)

<math>1km = 1000m</math>, <math>1m = 10dm</math>, <math>1dm = 10cm</math>, <math>1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (<math>d</math>), Stunden (<math>h</math>), Minuten (<math>min</math>), Sekunden (<math>s</math>)

<math>1</math> Jahr <math>= 365</math> Tage, <math>1</math> Tag <math>= 24</math> Stunden, <math>1</math> Stunde <math>= 60</math> Minuten, <math>1</math> Minute <math>= 60</math> Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlagen bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen ====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten|400x400px]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 2,19 € = 3,01 €</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: <math>... mg < g < kg < t ...</math>, wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: <math>mm < cm < dm < m < km ...</math>, wobei sich die Einheiten von <math>mm</math> bis <math>m</math> jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und <math>m</math> und <math>km</math> um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: <math>ct < €</math>, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... <math>s < min < h < d (Tage) < Jahre</math>, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1 Jahr</math>
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g > 1500 g < 2000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

''Wenn du mit der Aufgabe fertig bist, schreibe das Beispiel mit Lösung auf dein Arbeitsblatt.''

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 \cdot 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

=== Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25kg</math>}
- <math>32,5mg</math>.
- <math>0,00325t</math>.
+ <math>3250g</math>.

{ Berechne: <math>5,3m</math> <math>+ 123cm</math> }
+ <math>6,53m</math>
- <math>5,423m</math>
- <math>176cm</math>
+ <math>653cm</math>
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6

2024-05-30T08:24:43Z

Moritz Uni MS-13: /* Dezimalzahlen und Umgang mit Größen */

{{Box
|1=Info zum Lernpfad: Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6
|2= Der Lernpfad besteht aus '''6 Kapiteln''', mit denen du Themen aus der Jahrgangsstufe 5 oder 6 wiederholen und vertiefen kannst. Bearbeite dafür zunächst die '''Diagnoseaufgaben zum Basiswissen''', um herauszufinden, in welchen Themen du noch Schwierigkeiten hast. Du kannst jederzeit zwischen den Kapiteln wechseln.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

=Diagnoseaufgaben zum Basiswissen Klasse 5/6=

==Daten und Zuordnungen==

<quiz display="simple">
[[Datei:Säulendiagramm Diagnoseaufgabe.png|thumb]]
Welche Aussagen treffen zu?}
-Es handelt sich um ein Balkendiagramm.
+Es handelt sich um ein Säulendiagramm.
-Es handelt sich um eine Häufigkeitstabelle.
-Der höchste dargestellte Wert ist 9, der niedrigste 2.
-Das Diagramm gibt Prozentzahlen an.
+Der zweithöchste Wert beträgt 7.
</quiz>

<quiz display="simple">
Welche Häufigkeit gibt man in Brüchen, Dezimalzahlen oder Prozentzahlen an?}
- absolute Häufigkeit
+ relative Häufigkeit
</quiz>

<quiz display="simple">
Mit der Formel <math>\frac{Summe\;aller\;Werte}{Anzahl\;der\;Werte}</math> wird was ausgerechnet?}
- Spannweite
- Median
+ Durchschnitt
</quiz>
[[Datei:Weg-Zeit-Diagramm_Neu.png|900x900px|Die zurückgelegte Strecke eines Schülers abhängig von der bereits gelaufenen Zeit.|zentriert|rahmenlos]]
<quiz display="simple">
Schau dir das Weg-Zeit-Diagramm an. Es zeigt die Strecke eines Schülers im Sportunterricht abhängig von der Zeit an. Kreuze alle richtigen Antworten an!}
+ Der Schüler ist nach etwa einer Minute erst losgelaufen.
- Der Schüler ist nach Beginn der Zeitmessung sofort losgelaufen.
- Nach 2 Minuten wurden etwa 8 Kilometer zurückgelegt.
+ Nach 8 Minuten wurden etwa 2 Kilometer zurückgelegt.

</quiz>

==Natürliche Zahlen==

<quiz display="simple">

{ Wie verändert sich der Wert eines Quotienten, wenn ich den Dividenden verdopple?}
- Der Wert halbiert sich.
- Der Wert wird geviertelt.
+ Der Wert verdoppelt sich.
- Keine dieser Aussagen stimmen.

{ Welche Aufgabe besitzt die Lösung 25? }
- <math>378-343</math>
+ <math>50\div(10\div5)</math>
- <math>50\div10\div5</math>
- <math>755-735+15</math>

{ Für welche Grundrechenarten gilt das Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)? }
+ Addition und Multiplikation
- Subtraktion
- Division
- für alle

</quiz>

==Brüche==

<div class="lueckentext-quiz">
Setze die Wörter an den passenden Stellen ein.

Die Aufgabe lautet: "Stelle den '''Anteil''' <math>\frac{1}{3}</math> grafisch dar." Was musst du dann tun?

Erinnere dich: Unten im Bruch steht die '''Gesamtzahl''' der Kästchen. Man nennt diese Zahl auch '''Nenner'''.

Oben steht die Anzahl der '''gefärbten''' Kästchen.

Du zeichnest also zum Beispiel drei gleich große '''Kästchen'''. Davon malst du '''ein''' Kästchen farbig aus.

Du kannst auch einen Kreis zeichnen.

Teile den Kreis in '''drei''' gleich große Teile. Male davon einen Teil aus.

[[Datei:1-3.jpg|rahmenlos]]

Du kannst den Bruch vor dem Zeichen auch erweitern: <math>\frac13 = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac26</math>

Nun teilst du den Kreis in '''sechs''' gleich große Teile. Davon malst du '''zwei''' Teile farbig an. Du kannst den '''Bruch''' mit jeder anderen Zahl erweitern.

[[Datei:1-3 erweitert.jpg|rahmenlos]]

Beim '''Erweitern''' muss man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren.

Beim '''Kürzen''' muss man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl dividiert.

Zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen müssen die Nenner '''gleich''' sein. Dann addiert bzw. subtrahiert man die '''Zähler'''.
</div>

==Dezimalzahlen und Umgang mit Größen ==
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Was ergibt <math>1,43 + 4,61</math>?}
+ <math>6,04</math>
- <math>6,4</math>
- <math>5,104</math>
- <math>5,96</math>

{ Wie lautet das Ergebnis der Rechnung <math>0,3 \cdot 0,2</math>? }
- <math>0,5</math>
- <math>0,6</math>
+ <math>0,06</math>
- <math>0,32</math>

{ Was ergibt <math>23 dm</math> <math>+ 7,5 m</math>? }
+ <math>98 dm</math>
- <math>30,5 m</math>
+ <math>9,8 m</math>
- <math>305 dm</math>
</quiz>

==Geometrische Figuren und Winkel==
<quiz display="simple">
{Wie nennt man einen Winkel mit 90°?}
+ rechter Winkel
- stumpfer Winkel
- Vollwinkel

{Wie nennt man einen Winkel mit 201°?}
- spitzer Winkel
- stumpfer Winkel
+ überstumpfer Winkel

{Du stehst in einem Koordinatensystem bei (0|0), gehst 3 Schritte nach rechts und 2 Schritte nach oben, wie heißt der Punkt?}
- (2|3)
+ (3|2)
- (0|3)

{Du stehst in einem Koordinatensystem bei (4|0), gehst 7 Schritte nach oben und 5 Schritte nach rechts, wie heißt der Punkt?}
- (7|5)
- (11|5)
+ (9|7)

{Gegeben sind die Winkel <math> \alpha </math>=14° und <math> \beta </math>=106°, berechne den fehlenden Winkel <math> \gamma </math>}
- <math> \gamma </math>=70°
- <math> \gamma </math>=65°
+ <math> \gamma </math>=60°

{Gegeben sind die Winkel <math> \alpha </math>=18° und <math> \beta </math>=25°, berechne den fehlenden Winkel <math> \gamma </math>}
+ <math> \gamma </math>=137°
- <math> \gamma </math>=125°
- <math> \gamma </math>=133°

</quiz>

==Flächen und Körper==
<quiz display="simple">

{Wie viele Kanten hat ein Quader?}
- 6
- 8
- 10
+ 12

{ Berechne den Flächeninhalt <math> A </math> eines Quadrats mit einer Seitenlänge von <math>a=3 cm</math>. Wie groß ist der Flächeninhalt? }
- <math>A=6 cm</math>
- <math>A=9 cm</math>
+ <math>A=9 cm^2</math>
- <math>A=6 cm^2</math>

{ Berechne den Flächeninhalt <math> A </math> eines Rechtecks mit Seitenlängen von <math>a=2 cm</math> und <math>b=4 cm</math>. Wie groß ist der Flächeninhalt? }
- <math>A=6 cm</math>
+ <math>A=8 cm^2</math>
- <math>A=16 cm</math>
- <math>A=4 cm^2</math>

{ Der Umfang <math> U </math> ist... }
+ ... die Länge aller Linien, die eine Fläche begrenzen
- ... die Anzahl der Seiten
- ... die Anzahl der Kästchen innerhalb der Linien
- ... der Flächeninhalt + die Oberfläche

{ Geht es um das Volumen oder den Oberflächeninhalt? Helena füllt ihr Aquarium mit frischem Wasser.}
+ Volumen
- Oberflächeninhalt

{ Ein Schwimmbecken ist <math> 10 m </math> lang, <math> 8 m </math> breit und <math> 3 m </math> tief. Berechne das Volumen <math> V </math>.}
- <math>V= 120 m^2 </math>
+ <math>V= 240 m^3 </math>
- <math>V= 21 m^3 </math>
- <math>V= 83 m^2 </math>

</quiz>

=Themenauswahl=

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+
!Nr.
!Lernpfadkapitel
|-
!1
| style="text-align:left" |[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Zuordnungen, Zahlen und Daten|Daten und Zuordnungen]]
|-
!2
| style="text-align:left" |[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Natürliche Zahlen|Natürliche Zahlen]]
|-
!3
| style="text-align:left" |[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Brüche|Brüche]]
|-
!4
| style="text-align:left" | [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen|Dezimalzahlen und Umgang mit Größen]]
|-
!5
| style="text-align:left" |[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Geometrische Figuren und Winkel|Geometrische Figuren und Winkel]]
|-
!6
| style="text-align:left" |[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Flächen und Körper|Flächen und Körper]]
|-
|}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-13T08:44:23Z

Moritz Uni MS-13: /* Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (<math>€</math>), Cent (<math>ct</math>)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (<math>t</math>), Kilogramm (<math>kg</math>), Gramm (<math>g</math>), Milligramm (<math>mg</math>)

<math>1t = 1000kg</math>, <math>1kg = 1000g</math>, <math>1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (<math>km</math>), Meter (<math>m</math>), Dezimeter (<math>dm</math>), Zentimeter (<math>cm</math>), Millimeter (<math>mm</math>)

<math>1km = 1000m</math>, <math>1m = 10dm</math>, <math>1dm = 10cm</math>, <math>1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (<math>d</math>), Stunden (<math>h</math>), Minuten (<math>min</math>), Sekunden (<math>s</math>)

<math>1</math> Jahr <math>= 365</math> Tage, <math>1</math> Tag <math>= 24</math> Stunden, <math>1</math> Stunde <math>= 60</math> Minuten, <math>1</math> Minute <math>= 60</math> Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen ====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten|400x400px]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: <math>... mg < g < kg < t ...</math>, wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: <math>mm < cm < dm < m < km ...</math>, wobei sich die Einheiten von <math>mm</math> bis <math>m</math> jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und <math>m</math> und <math>km</math> um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: <math>ct < €</math>, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... <math>s < min < h < d (Tage) < Jahre</math>, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1 Jahr</math>
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

''Wenn du mit der Aufgabe fertig bist, schreibe das Beispiel mit Lösung auf dein Arbeitsblatt.''

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 \cdot 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

=== Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25kg</math>}
- <math>32,5mg</math>.
- <math>0,00325t</math>.
+ <math>3250g</math>.

{ Berechne: <math>5,3m</math> <math>+ 123cm</math> }
+ <math>6,53m</math>
- <math>5,423m</math>
- <math>176cm</math>
+ <math>653cm</math>
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-10T20:09:41Z

Moritz Uni MS-13: /* Umgang mit Größen */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (<math>€</math>), Cent (<math>ct</math>)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (<math>t</math>), Kilogramm (<math>kg</math>), Gramm (<math>g</math>), Milligramm (<math>mg</math>)

<math>1t = 1000kg</math>, <math>1kg = 1000g</math>, <math>1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (<math>km</math>), Meter (<math>m</math>), Dezimeter (<math>dm</math>), Zentimeter (<math>cm</math>), Millimeter (<math>mm</math>)

<math>1km = 1000m</math>, <math>1m = 10dm</math>, <math>1dm = 10cm</math>, <math>1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (<math>d</math>), Stunden (<math>h</math>), Minuten (<math>min</math>), Sekunden (<math>s</math>)

<math>1</math> Jahr <math>= 365</math> Tage, <math>1</math> Tag <math>= 24</math> Stunden, <math>1</math> Stunde <math>= 60</math> Minuten, <math>1</math> Minute <math>= 60</math> Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen ====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten|400x400px]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: <math>... mg < g < kg < t ...</math>, wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: <math>mm < cm < dm < m < km ...</math>, wobei sich die Einheiten von <math>mm</math> bis <math>m</math> jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und <math>m</math> und <math>km</math> um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: <math>ct < €</math>, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... <math>s < min < h < d (Tage) < Jahre</math>, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1 Jahr</math>
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

''Wenn du mit der Aufgabe fertig bist, schreibe das Beispiel mit Lösung auf dein Arbeitsblatt.''

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 \cdot 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

=== Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25kg</math>}
- <math>32,5mg</math>.
- <math>0,00325t</math>.
+ <math>3250g</math>.

{ Berechne: <math>5,3m</math> <math>+ 123cm</math> }
+ <math>6,53m</math>
- <math>5,423m</math>
- <math>176cm</math>
+ <math>653cm</math>
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-10T20:03:57Z

Moritz Uni MS-13: /* Multiplikation von Dezimalzahlen */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten|400x400px]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: <math>... mg < g < kg < t ...</math>, wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: <math>mm < cm < dm < m < km ...</math>, wobei sich die Einheiten von <math>mm</math> bis <math>m</math> jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und <math>m</math> und <math>km</math> um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: <math>ct < €</math>, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... <math>s < min < h < d (Tage) < Jahre</math>, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1 Jahr</math>
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

''Wenn du mit der Aufgabe fertig bist, schreibe das Beispiel mit Lösung auf dein Arbeitsblatt.''

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 \cdot 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25kg</math>}
- <math>32,5mg</math>.
- <math>0,00325t</math>.
+ <math>3250g</math>.

{ Berechne: <math>5,3m</math> <math>+ 123cm</math> }
+ <math>6,53m</math>
- <math>5,423m</math>
- <math>176cm</math>
+ <math>653cm</math>
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-10T20:01:35Z

Moritz Uni MS-13: /* Teste dich zum Umgang mit Größen */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: <math>... mg < g < kg < t ...</math>, wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: <math>mm < cm < dm < m < km ...</math>, wobei sich die Einheiten von <math>mm</math> bis <math>m</math> jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und <math>m</math> und <math>km</math> um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: <math>ct < €</math>, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... <math>s < min < h < d (Tage) < Jahre</math>, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1 Jahr</math>
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

''Wenn du mit der Aufgabe fertig bist, schreibe das Beispiel mit Lösung auf dein Arbeitsblatt.''

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 \cdot 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25kg</math>}
- <math>32,5mg</math>.
- <math>0,00325t</math>.
+ <math>3250g</math>.

{ Berechne: <math>5,3m</math> <math>+ 123cm</math> }
+ <math>6,53m</math>
- <math>5,423m</math>
- <math>176cm</math>
+ <math>653cm</math>
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-10T20:00:28Z

Moritz Uni MS-13: /* Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: <math>... mg < g < kg < t ...</math>, wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: <math>mm < cm < dm < m < km ...</math>, wobei sich die Einheiten von <math>mm</math> bis <math>m</math> jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und <math>m</math> und <math>km</math> um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: <math>ct < €</math>, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... <math>s < min < h < d (Tage) < Jahre</math>, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1 Jahr</math>
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

''Wenn du mit der Aufgabe fertig bist, schreibe das Beispiel mit Lösung auf dein Arbeitsblatt.''

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 \cdot 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-10T19:59:16Z

Moritz Uni MS-13: /* Verhältnisse von Größen */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: <math>... mg < g < kg < t ...</math>, wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: <math>mm < cm < dm < m < km ...</math>, wobei sich die Einheiten von <math>mm</math> bis <math>m</math> jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und <math>m</math> und <math>km</math> um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: <math>ct < €</math>, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... <math>s < min < h < d (Tage) < Jahre</math>, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1 Jahr</math>
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

''Wenn du mit der Aufgabe fertig bist, schreibe das Beispiel mit Lösung auf dein Arbeitsblatt.''

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

=== Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-10T19:54:55Z

Moritz Uni MS-13: /* Verhältnisse von Größen */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.
''Wenn du mit der Aufgabe fertig bist, schreibe das Beispiel mit Lösung auf dein Arbeitsblatt.''

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6

2024-05-08T12:50:07Z

Moritz Uni MS-13: /* Dezimalzahlen und Umgang mit Größe */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:53:25Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:52:59Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:52:27Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:51:41Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:50:56Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
[[Datei:Madita_Abeln.png|rechts|rahmenlos]]
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:50:18Z

Moritz Uni MS-13: /* Verhältnisse von Größen */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

[[Datei:Madita_Abeln.png|rahmenlos]]
{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:46:23Z

Moritz Uni MS-13: /* Multiplikation von Dezimalzahlen */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:45:46Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:45:10Z

Moritz Uni MS-13: /* Multiplikation von Dezimalzahlen */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:44:28Z

Moritz Uni MS-13: /* Multiplikation von Dezimalzahlen */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten. [[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:40:51Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]
===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:40:02Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:39:26Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]][[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]][[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|293x293px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen? ===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

=== Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen ===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen ===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:39:07Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

[[Datei:Alltag_Supermarkt_2.jpg|220x220px]][[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|220x220px]][[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|240x240px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen? ===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

=== Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen ===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen ===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:38:14Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|rechts|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|240x240px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen? ===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

=== Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen ===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen ===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:37:57Z

Moritz Uni MS-13: /* Einführung */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|rechts|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|240x240px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen? ===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

=== Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen ===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen ===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:37:25Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|rechts|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|240x240px]] [[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|220x220px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen? ===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

=== Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen ===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen ===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:36:12Z

Moritz Uni MS-13: /* Einführung */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|220x220px]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|rechts|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|217x217px]][[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]][[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|200x250px]]

=== Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen? ===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

=== Umgang mit Größen ===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
=== Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen ===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:34:27Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|220x220px|im Supermarkt]] [[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|rechts|rahmenlos|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|200x200px|zentriert]][[Datei:Alltag_Wiegen.jpg|220x220px]]
[[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|200x250px]]
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen ==
===Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:30:50Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
[[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|rechts|rahmenlos|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|links|200x200px]]
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|250x250px|im Supermarkt]]

[[Datei:Alltag Wiegen.jpg|250x250px]]
[[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|200x250px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:30:01Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
[[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|rechts|rahmenlos|220x220px]] [[Datei:Alltag_Tankstelle.jpg|links|327x327px]]
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|250x250px|im Supermarkt]]

[[Datei:Alltag Wiegen.jpg|250x250px]]
[[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|200x250px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:28:44Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
[[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|rechts|rahmenlos|220x220px]]
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|250x250px|im Supermarkt]]
[[Datei:Alltag Wiegen.jpg|250x250px]]
[[Datei:Alltag Tankstelle.jpg|327x327px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|200x250px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:28:16Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
[[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|rechts|rahmenlos|220x220px]]
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|250x250px|im Supermarkt]]
[[Datei:Alltag Wiegen.jpg|250x250px]] [[Datei:Alltag Tankstelle.jpg|327x327px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|200x250px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:27:46Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
[[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|rechts|rahmenlos|220x220px]]
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|250x250px|im Supermarkt]] [[Datei:Alltag Wiegen.jpg|250x250px]]
[[Datei:Alltag Tankstelle.jpg|327x327px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|200x250px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:27:16Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
[[Datei:Alltag_Wegweiser.jpg|rechts|rahmenlos|220x220px]]
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|250x250px|im Supermarkt]]
[[Datei:Alltag Wiegen.jpg|250x250px]]
[[Datei:Alltag Tankstelle.jpg|327x327px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|200x250px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:25:00Z

Moritz Uni MS-13:

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|250x250px|im Supermarkt]]
[[Datei:Alltag Wiegen.jpg|rechts|250x250px]]
[[Datei:Alltag Wegweiser.jpg|rahmenlos|220x220px]] [[Datei:Alltag Tankstelle.jpg|327x327px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|200x250px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen ====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen ===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Kleine Lernstandserhebung zur Doppeljahrgangsstufe 5/6/Dezimalzahlen und Umgang mit Größen

2024-05-07T11:22:46Z

Moritz Uni MS-13: /* Einführung */

{{Box
| 1 = Info
| 2 = In diesem Lernpfadkapitel wiederholen wir mit dir die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen.

In diesem Kapitel wecken wir zusammen deine Erinnerungen ...
* zu den Begrifflichkeiten der Dezimalzahlen
* zu den Darstellungsweisen einer rationalen Zahl
* zum Runden und Rechnen mit Dezimalzahlen
* zum Umgang mit Größen in Dezimalschreibweise

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines '''Fragezeichen''' oder eine '''Glühlampe'''. Wenn du die Aufgabenstellung nochmal lesen möchtest, klicke auf das Fragezeichen. Wenn du einen Tipp brauchst, klicke auf die Glühlampe.
Viel Spaß!
| 3 = Kurzinfo
}}

==Einführung==
Dezimalzahlen tauchen in unserem Alltag fast überall auf: im Supermarkt, beim Wiegen von Lebensmitteln, beim Messen deiner Körpergröße oder an der Tankstelle mit deinen Eltern. Deswegen kannst du die Dezimalzahlen und den Umgang mit Größen in diesem Lernpfad mit den wichtigsten Begriffen und Rechengesetzen wiederholen.
[[Datei:Alltag Supermarkt 2.jpg|links|250x250px|im Supermarkt]]
[[Datei:Alltag Wiegen.jpg|rechts|250x250px]]
[[Datei:Alltag Wegweiser.jpg|rahmenlos|250x250px]] [[Datei:Alltag Tankstelle.jpg|327x327px]] [[Datei:Alltag Supermarkt.jpg|200x250px]]

===Erinnerst du dich noch an die Dezimalzahlen?===

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen|[[Datei:Stellenwerttafel Dezimalzahlen.jpg|mini]]'''Dezimalzahlen''' sind Zahlen mit einem Komma. Nach dem Komma kommen Zehntel (z), Hundertstel (h), Tausendstel (t), ...

'''Dezimalzahlen''' kannst du in eine erweiterte Stellenwerttafel eintragen. Dezimalzahlen sind Brüche in einer anderen Schreibweise.
Dezimalzahlen kannst du als Brüche mit den Nennern <math>10, 100, 1000, ...</math> schreiben und andersherum.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 1 (*): Vor- und Nachkommastellen einer Dezimalzahl|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35466334}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Vor- und Nachkommastelle in der Stellenwerttafel===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 2 (*): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Trage die Ziffern der Zahl an die richtigen Stellen der Stellenwerttafel. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="kdapxmsh" width="1400" height="500" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 3 (**): Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel
| 2 = Schreibe die Zahl aus der Stellenwerttafel als Dezimalzahl auf. Übe das Verfahren mit 3 bis 5 neuen Zahlen.
<ggb_applet id="j5yeytef" width="1265" height="642" border="888888" />
| 3 = Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Umgang mit Größen===
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen|Größen sind '''Geld, Gewicht (Masse), Länge '''und '''Zeit'''. Größen bestehen aus '''Maßzahl''' und '''Einheit'''.

''Notiere dir den Merksatz in das zugehörige Feld auf dem Arbeitsblatt.''|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 4 (*): Größen im Alltag|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467673}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größeneinheiten
| 2 = '''Geld''': Euro (€), Cent (ct)

<math>1€ = 100ct</math>

'''Gewicht''': Tonne (t), Kilogramm (kg), Gramm (g), Milligramm (mg)

<math>1t = 1000kg, 1kg = 1000g, 1g = 1000mg</math>

'''Länge''': Kilometer (km), Meter (m), Dezimeter (dm), Zentimeter (cm), Millimeter (mm)

<math>1km = 1000m, 1m = 10dm, 1dm = 10cm, 1cm = 10mm</math>

'''Zeit''': Jahre, Tage (d), Stunden (h), Minuten (min), Sekunden (s)

1 Jahr = 365 Tage, 1 Tag = 24 Stunden, 1 Stunde = 60 Minuten, 1 Minute = 60 Sekunden
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Dezimalzahlen in der Welt der Größen==
=== Drei Darstellungszahlen einer rationalen Zahl===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Dezimalzahlen, Brüche, Prozentzahlen
| 2 = Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit einem Komma. Sie lässt sich als jedoch auch als Bruch oder Prozentzahl darstellen.

Beispiel:
Dezimalzahl: <math>0,5</math>
und Bruch: <math>\frac{1}{2}</math>
und Prozentzahl: <math>50 \%</math>

<math>\Rightarrow 0,5 = \frac{1}{2} = 50\%</math>

'''Wechsel vom Bruch zur Dezimalzahl:'''

Kürzere oder erweitere den Nenner der Zahl auf <math>10, 100, 1000, ...</math> (Hinweis: bei der Dezimalzahl denkst du dir, dass sie eine 1 im Nenner hat). Wechsele dann in die Dezimalschreibweise.

Beispiel: <math>\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8</math>

'''Wechsel von der Dezimalzahl zum Bruch:'''

Erweitere den Nenner der Dezimalzahl (du denkst dir, dass die Dezimalzahl zunächst den Nenner 1 hat) auf <math>10, 100, 1000, ...</math> je nachdem, wie viele Nachkommastellen du hast. Das heißt, wenn du drei Nachkommastellen hast, erweiterst du auf den Nenner <math>1000</math>.

Beispiel: <math>2,67</math> <math> (= \frac{2,67}{1}) = \frac{267}{100}</math>

Wenn möglich, kannst du den Bruch dann noch kürzen.

'''Wechsel von Dezimalzahlen oder Brüchen zu Prozentzahlen:'''

Das Prozent-Zeichen <math>\%</math> steht für Hundertstel (1 von 100). Das heißt, du kannst einen Bruch, der als Nenner die <math>100</math> hat auch als Prozentangabe schreiben.

Beispiele:

<math>\frac{1}{100} = 0,01 = 1\%</math>

<math>\frac{3}{10} = \frac{30}{100} = 0,3 = 30\%</math>

<math>\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40\%</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 5 (*): Wechsel der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35467586}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 6 (**/***): Wechsel und Ordnung der Darstellungsformen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35468079}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

===Das Geheimnis des Rundens von Dezimalzahlen===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Runden und Überschlage bei Dezimalzahlen
| 2 = Vor dem '''Runden''' von Dezimalzahlen muss du festlegen, wie viele Stellen nach dem Komma die gerundete Zahl haben soll.

Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 0; 1; 2; 3 oder 4, so wird '''abgerundet'''.

Ist die erste Ziffer, die du weglässt, 5; 6; 7; 8 oder 9, so wird '''aufgerundet'''.
</div>

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 7 (**): Dezimalzahlen runden|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3276966}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 8 (***): Runden von Dezimalzahlen|Bearbeite diese Aufgabe auf dem Arbeitsblatt.

a) Gib an, auf welche Stelle gerundet wurde: <math>0,982 \approx 0,98</math>

b) Runde <math>27,943</math> auf Zehntel.

c) Nenne drei Dezimalzahlen, die gerundet <math>4,75</math> ergeben.

d) Gib die größte Zahl mit vier Nachkommastellen an, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt.

{{Lösung versteckt|1=Es wurde auf '''Hundertstel '''gerundet.
|2=Lösung a)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=<math>27,943 \approx 27,9</math>
|2=Lösung b)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Folgende Zahlen ergeben <math>4,75</math> gerundet auf Hundertstel: '''<math>4,745; 4,746; 4,747; 4,748; 4,749; 4,750; 4,751; 4,752; 4,753; 4,754</math>'''
|2=Lösung c)|3=Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die größte Zahl mit vier Nachkommastellen, die auf Hundertstel gerundet <math>2,67</math> ergibt lautet '''<math>2,6749</math>'''.
|2=Lösung d)|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Rechengesetze===
====Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen|Wie bei den ganzen Zahlen addiert und subtrahiert man auch Dezimalzahlen stellenweise. Dies gilt ebenso, wenn die Anzahl der Nachkommastellen unterschiedlich ist. Damit gleiche Stellen beim schriftlichen Rechnen untereinander stehen, muss Komma unter Komma stehen.
Tipp: Nullen ergänzen und Fehler vermeiden!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 9 (*): Dezimalbrüche addieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1388189}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 10 (**): Dezimalbrüche addieren und subtrahieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=1911134}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

====Multiplikation von Dezimalzahlen ====
{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Multiplikation von Dezimalzahlen|# Bestimme das Vorzeichen (<math>+</math> und <math>+ \rightarrow +</math>; <math>+</math> und <math>- \rightarrow -</math>; <math>-</math> und <math>- \rightarrow +</math>).
# Multipliziere zuerst, ohne auf das Komma zu achten.
# Verschiebe beim Ergebnis das Komma um so viele Stellen nach links wie die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren.
Tipp: Runde zunächst die Dezimalzahlen und überschlage das Ergebnis im Kopf, so vermeidest du Fehler in der Größenordnung des Ergebnisses!|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 11 (***): Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen|[[Datei:Lernpfad Mathe Didaktik.jpg|thumb|Preise für Möhren, Kartoffeln und Tomaten]]Max kauft <math>1,034 kg</math> Möhren, <math>1,497 kg</math> Kartoffeln und <math>0,731 kg</math> Tomaten.
Wie viel muss er zahlen? Runde sinnvoll.

{{Lösung versteckt|1= Für die Möhren muss Max <math>1,034 kg \cdot 0,79 €/kg = 0,82 €</math> bezahlen.
Für die Kartoffeln muss Max <math>1,497 kg \cdot 2,49 €/kg = 3,73 €</math> bezahlen.
Für die Tomaten muss Max <math>0,731 kg \cdot 2,99 €/kg = 2,19 €</math> bezahlen.
Insgesamt muss er also <math>0,82 € + 3,73 € + 2,19 € = '''6,74 €'''</math> bezahlen.

Info: Bei Geld ist es sinnvoll, auf zwei Nachkommastellen zu runden, weil dies den Cent-Betrag beschreibt und wir bei Geld keine kleinere Einheit als Cent haben.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

===Verhältnisse von Größen ===
{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Merksatz: Größen und Verhältnisse von Größen
| 2 = Du kennst bereits die verschiedenen Größen Gewicht, Länge, Geld und Zeit. Ein Vergleich kann immer nur innerhalb einer Größe stattfinden, d.h. du kannst nicht <math>3 kg</math> mit <math>50 m</math> vergleichen. Die Größen werden durch verschiedene Einheiten angegeben, die du beim Vergleich beachten musst. Erinnerung:
* Gewicht: ... mg < g < kg < t ..., wobei die Einheiten sich jeweils um den Faktor <math>1000</math> unterscheiden
* Länge: mm < cm < dm < m < km ..., wobei sich die Einheiten von mm bis m jeweils um den Faktor <math>10</math> unterscheiden und m und km um den Faktor <math>1000</math>
* Geld: ct < €, wobei <math>100ct = 1€</math>
* Zeit: ... s < min < h < d (Tage) < Jahre, wobei <math>60 s = 1 min</math>, <math>60 min = 1 h</math>, <math>24 h = 1 d</math> und <math>365 d = 1</math> Jahr
Tipp: Wenn du zwei Größen vergleichen willst, z.B. <math>1500 g</math> und <math>2 kg</math>, so bringe alle Größen auf dieselbe Einheit und vergleiche dann: <math>2 kg = 2000 g \rightarrow 1500 g < 20000 g = 2 kg</math>
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 12 (*): Objekte nach Gewicht sortieren|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35498085}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box
| 1 = [[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Merksatz: Dezimalschreibweise von Größen
| 2 = Vervollständige den Merksatz.

<div class="lueckentext-quiz">
Bei der Dezimalschreibweise von Größen entspricht der Wechsel zu einer '''größeren '''Maßeinheit einer Kommaverschiebung nach links. Der Wechsel zu einer '''kleineren '''Maßeinheit entspricht einer Kommaverschiebung nach rechts. Das Komma wird um eine, um zwei, um drei Stellen verschoben, wenn die eine Maßeinheit das '''10fache''', das '''100fache''', das '''1000fache '''der anderen Maßeinheit ist.
</div>[[Datei:Madita Abeln.png|rechts|ohne|mini]]

''Wenn du alle Lücken richtig ausgefüllt hast, schreibe den Merksatz auf dein Arbeitsblatt.''
| 3 = Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-Pinnnadel.svg|links|rahmenlos|30x30px]]Beispiel: Einheiten|Schreibe in der angegebenen Einheit.

a) <math>2,68 m</math> (in <math>dm</math>)

b) <math>420 g</math> (in <math>kg</math>)

Erkläre deiner/m Partner/in deinen Rechenweg mithilfe des Merksatzes. Falls du dabei Probleme hast, schaue dir die Lösung an.

{{Lösung versteckt|1= a) <math>2,68m = 26,8dm</math>, da in eine kleinere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1m = 10dm</math>, muss das Komma eine Stelle nach rechts verschoben werden.

b) <math>420g = 0,42kg</math>, da in eine größere Maßeinheit überführt werden soll, mit <math>1000g = 1kg</math>, muss das Komma drei Stellen nach links verschoben werden.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Aufgabe
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 13 (**): Umrechnen von Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35502421}}|Aufgabe
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|[[Datei:Icon-pencil-9576.svg|links|rahmenlos|30x30px]] Aufgabe 14 (***): Rechnen mit Größen|{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=35497640}}|Aufgabe
| Farbe = #5E43A5
}}

==Teste dich!==
===Teste dich zum Rechnen mit Dezimalzahlen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Welche Stelle besitzt die "<math>4</math>" in <math>327,246</math>? }
- Zehntel (z) <math>\frac{1}{10}</math>
- Tausendstel (t) <math>\frac{1}{1000}</math>
+ Hundertstel (h) <math>\frac{1}{100}</math>

{ Wie lässt sich <math>0,75</math> noch darstellen? }
+ <math>75\%</math>
+ <math>\frac{75}{100}</math>
- <math>\frac{75}{10}</math>

{ Wie lautet die Zahl <math>16,783</math> auf den Zehntel gerundet? }
+ <math>16,8</math>
- <math>16,78</math>
- <math>16,7</math>

{ Welche Aufgaben haben das gleiche Ergebnis? }
+ <math>1,76 + 4,24</math>
- <math>2,43 + 3,67</math>
+ <math>5,32 + 0,68</math>
- <math>3,12 + 3,08</math>

{ Was ergibt <math>3,2 * 2,3</math>? }
- <math>6,6</math>
- <math>5,5</math>
+ <math>7,36</math>
- <math>11,5</math>
</quiz>

===Teste dich zum Umgang mit Größen===
'''Beachte:''' Es können auch mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.
<quiz display="simple">
{ Wandle in die nächstkleinere Einheit um: <math>3,25</math>kg}
- <math>32,5</math>mg.
- <math>0,00325</math>t.
+ <math>3250</math>g.

{ Berechne: <math>5,3</math>m <math>+ 123</math>cm }
+ <math>6,53</math>m
- <math>5,423</math>m
- <math>176</math>cm
+ <math>653</math>cm
</quiz>

Datei:Alltag Tankstelle.jpg

2024-05-07T11:18:15Z

Moritz Uni MS-13: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = an der Tankstelle
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Moritz Uni MS-13|Moritz Uni MS-13]]
}}

== Lizenz ==
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2024-05-07T11:16:10Z

Moritz Uni MS-13: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = beim Wiegen von Lebensmitteln
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Moritz Uni MS-13|Moritz Uni MS-13]]
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2024-05-07T11:12:22Z

Moritz Uni MS-13: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
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