ZUM Projektwiki - Benutzerbeiträge [de]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-05-28T14:25:59Z

Lena WWU-6:

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung.

<quiz display="simple">
{ Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? }
+ Mittels einer Sekante.
- Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
+ Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
- Mittels einer Tangente.

{ Was gibt die Tangentensteigung an? }
- Die durchschnittliche Änderungsrate.
+ Die lokale Änderungsrate.
- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

{ Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)=x+5. </math>}
- -1
+ 1
- 5

{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
- zwei Extrema
+ drei Extrema
- vier Extrema
- keinen Wendepunkt
- einen Wendepunkt
+ zwei Wendepunkte

{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math>.
+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math>.
+ nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
- nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.

{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2)</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>(x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend
+ <math>f'(x_1)>0 </math>
+ <math>f'(x_2)=0 </math>
- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

{ Du hast 20m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen.
Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?

Wie gehst du bei der Bearbeitung dieser Aufgabe vor? }
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Nebenbedingung überlegen 3.Extremwerte ermitteln
- 1.Nebenbedingung überlegen 2.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln
- 1.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln 3.Nebenbedingung aufstellen

{ Die Nebenbedingung der Aufgabe 7 ist... [[Datei:Weidenzaun .png| mini | rechts]] }
- a=1m+6b oder b=20m
+ a=10m-b oder b=10m-a
- a=10m+b oder b=10m+a

{ In der Zielfunktion aus Aufgabe 7... }
+ kommt genau eine Unbekannte vor.
- kommen genau zwei Unbekannte vor.
- kommen genau drei Unbekannte vor.

{ Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt }
- einen Hochpunkt.
+ einen Wendepunkt.
- eine Nullstelle.
- einen Sattelpunkt.

{Löse folgendes Gleichungssystem: 
<math>\begin{array}{rlllll}\\
I\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
II\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
 
Welche Aussage trifft auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?
}

- <math>x > 0</math>, <math>y > 6</math>
+ <math>x > 1</math>, <math>y < 6</math>
- <math>x < 1</math>, <math>y > 3</math>
- <math>x < 0</math>, <math>y < 3</math>

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in km/h bis es wieder zum Stehen kommt. <math>x</math> wird in Sekunden seit Fahrtbeginn gemessen. Nach 10 Sekunden fährt der Wagen 55km/h. Nach 20 Sekunden ist seine Beschleunigung maximal. Nach einer Minute hat der Wagen die maximale Entfernung dieser Fahrt erreicht. }

+ <math>f(10)=55</math>
- <math>f'(20)=0</math>
+ <math>f(20)</math> ist eine Wendestelle.
+ <math>f(60)=f(0)</math>
- Im Intervall <math>[20,60]</math> ist <math>f'(x)</math> negativ.
+ Im Intervall <math>[20,60]</math> hat <math>f'(x)</math> mindestens eine Nullstelle.

{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme? }
- Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
+ Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
- Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert man sich dem Integral an.
+ Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral.

{ Sei <math> f(x) </math> die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde (<math> km/h </math>) angibt, dann gilt für die Stammfunktion <math> F(x) </math>: }
- <math> F(x) </math> gibt die Beschleunigung des Autos an.
- <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Quadratmeter an.
+ <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Kilometern an.
- <math> F(x) </math> gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an.

{ Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. }
- wahr
+ falsch

{ Auf der nebenstehenden Abbildung siehst du die Funktion <math>b(x)= x^2 + 1</math> mit dem Flächeninhalt <math> B=6</math>.
[[Datei:Flächeninhalt der Funktion h(x)..jpg|links|mini|483x483px|Flächeninhalt der Funktion <math>b(x)</math>.]]

Wie lautet der Mittelwert der Funktion?(Sieh dir dazu die Intervallgrenzen auf der Abbildung an.)}

+ 2
- 9
- 13

{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{3} 2 \cdot x dx </math>}
- 12
- 6
+ 9
</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung|Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Optimierungsprobleme|Optimierungsprobleme]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Steckbriefaufgaben|Steckbriefaufgaben]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]

|Frage}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-05-28T14:23:06Z

Lena WWU-6:

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung.

<quiz display="simple">
{ Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? }
+ Mittels einer Sekante.
- Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
+ Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
- Mittels einer Tangente.

{ Was gibt die Tangentensteigung an? }
- Die durchschnittliche Änderungsrate.
+ Die lokale Änderungsrate.
- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

{ Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)=x+5. </math>}
- -1
+ 1
- 5

{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
- zwei Extrema
+ drei Extrema
- vier Extrema
- keinen Wendepunkt
- einen Wendepunkt
+ zwei Wendepunkte

{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math>.
+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math>.
+ nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
- nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.

{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2)</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>(x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend
+ <math>f'(x_1)>0 </math>
+ <math>f'(x_2)=0 </math>
- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

{ Du hast 20m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen.
Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?

Wie gehst du bei der Bearbeitung dieser Aufgabe vor? }
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Nebenbedingung überlegen 3.Extremwerte ermitteln
- 1.Nebenbedingung überlegen 2.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln 3.Nebenbedingung aufstellen

{ Die Nebenbedingung der Aufgabe 7 ist... [[Datei:Weidenzaun .png| mini | rechts]] }
+ a=1m+6b oder b=20m
- a=10m-b oder b=10m-a
+ a=10m+b oder b=10m+a

{ In der Zielfunktion aus Aufgabe 7... }
- kommt genau eine Unbekannte vor.
+ kommen genau zwei Unbekannte vor.
- kommen genau drei Unbekannte vor.

{ Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt }
- einen Hochpunkt.
+ einen Wendepunkt.
- eine Nullstelle.
- einen Sattelpunkt.

{Löse folgendes Gleichungssystem: 
<math>\begin{array}{rlllll}\\
I\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
II\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
 
Welche Aussage trifft auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?
}

- <math>x > 0</math>, <math>y > 6</math>
+ <math>x > 1</math>, <math>y < 6</math>
- <math>x < 1</math>, <math>y > 3</math>
- <math>x < 0</math>, <math>y < 3</math>

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in km/h bis es wieder zum Stehen kommt. <math>x</math> wird in Sekunden seit Fahrtbeginn gemessen. Nach 10 Sekunden fährt der Wagen 55km/h. Nach 20 Sekunden ist seine Beschleunigung maximal. Nach einer Minute hat der Wagen die maximale Entfernung dieser Fahrt erreicht. }

+ <math>f(10)=55</math>
- <math>f'(20)=0</math>
+ <math>f(20)</math> ist eine Wendestelle.
+ <math>f(60)=f(0)</math>
- Im Intervall <math>[20,60]</math> ist <math>f'(x)</math> negativ.
+ Im Intervall <math>[20,60]</math> hat <math>f'(x)</math> mindestens eine Nullstelle.

{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme? }
- Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
+ Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
- Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert man sich dem Integral an.
+ Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral.

{ Sei <math> f(x) </math> die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde (<math> km/h </math>) angibt, dann gilt für die Stammfunktion <math> F(x) </math>: }
- <math> F(x) </math> gibt die Beschleunigung des Autos an.
- <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Quadratmeter an.
+ <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Kilometern an.
- <math> F(x) </math> gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an.

{ Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. }
- wahr
+ falsch

{ Auf der nebenstehenden Abbildung siehst du die Funktion <math>b(x)= x^2 + 1</math> mit dem Flächeninhalt <math> B=6</math>.
[[Datei:Flächeninhalt der Funktion h(x)..jpg|links|mini|483x483px|Flächeninhalt der Funktion <math>b(x)</math>.]]

Wie lautet der Mittelwert der Funktion?(Sieh dir dazu die Intervallgrenzen auf der Abbildung an.)}

+ 2
- 9
- 13

{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{3} 2 \cdot x dx </math>}
- 12
- 6
+ 9
</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung|Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Optimierungsprobleme|Optimierungsprobleme]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Steckbriefaufgaben|Steckbriefaufgaben]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]

|Frage}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-05-28T14:20:55Z

Lena WWU-6:

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung.

<quiz display="simple">
{ Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? }
+ Mittels einer Sekante.
- Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
+ Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
- Mittels einer Tangente.

{ Was gibt die Tangentensteigung an? }
- Die durchschnittliche Änderungsrate.
+ Die lokale Änderungsrate.
- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

{ Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)=x+5. </math>}
- -1
+ 1
- 5

{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
- zwei Extrema
+ drei Extrema
- vier Extrema
- keinen Wendepunkt
- einen Wendepunkt
+ zwei Wendepunkte

{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math>.
+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math>.
+ nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
- nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.

{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2)</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>(x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend
+ <math>f'(x_1)>0 </math>
+ <math>f'(x_2)=0 </math>
- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

{ Du hast 20m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen.
Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?

Wie gehst du bei der Bearbeitung dieser Aufgabe vor? }
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Nebenbedingung überlegen 3.Extremwerte ermitteln
- 1.Nebenbedingung überlegen 2.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln 3.Nebenbedingung aufstellen

{ Die Nebenbedingung dieser Aufgabe ist... [[Datei:Weidenzaun .png| mini | rahmenlos | rechts]] }
+ a=1m+6b oder b=20m
- a=10m-b oder b=10m-a
+ a=10m+b oder b=10m+a

{ In der Zielfunktion... }
- kommt genau eine Unbekannte vor.
+ kommen genau zwei Unbekannte vor.
- kommen genau drei Unbekannte vor.

{ Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt }
- einen Hochpunkt.
+ einen Wendepunkt.
- eine Nullstelle.
- einen Sattelpunkt.

{Löse folgendes Gleichungssystem: 
<math>\begin{array}{rlllll}\\
I\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
II\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
 
Welche Aussage trifft auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?
}

- <math>x > 0</math>, <math>y > 6</math>
+ <math>x > 1</math>, <math>y < 6</math>
- <math>x < 1</math>, <math>y > 3</math>
- <math>x < 0</math>, <math>y < 3</math>

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in km/h bis es wieder zum Stehen kommt. <math>x</math> wird in Sekunden seit Fahrtbeginn gemessen. Nach 10 Sekunden fährt der Wagen 55km/h. Nach 20 Sekunden ist seine Beschleunigung maximal. Nach einer Minute hat der Wagen die maximale Entfernung dieser Fahrt erreicht. }

+ <math>f(10)=55</math>
- <math>f'(20)=0</math>
+ <math>f(20)</math> ist eine Wendestelle.
+ <math>f(60)=f(0)</math>
- Im Intervall <math>[20,60]</math> ist <math>f'(x)</math> negativ.
+ Im Intervall <math>[20,60]</math> hat <math>f'(x)</math> mindestens eine Nullstelle.

{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme? }
- Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
+ Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
- Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert man sich dem Integral an.
+ Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral.

{ Sei <math> f(x) </math> die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde (<math> km/h </math>) angibt, dann gilt für die Stammfunktion <math> F(x) </math>: }
- <math> F(x) </math> gibt die Beschleunigung des Autos an.
- <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Quadratmeter an.
+ <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Kilometern an.
- <math> F(x) </math> gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an.

{ Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. }
- wahr
+ falsch

{ Auf der nebenstehenden Abbildung siehst du die Funktion <math>b(x)= x^2 + 1</math> mit dem Flächeninhalt <math> B=6</math>.
[[Datei:Flächeninhalt der Funktion h(x)..jpg|links|mini|483x483px|Flächeninhalt der Funktion <math>b(x)</math>.]]

Wie lautet der Mittelwert der Funktion?(Sieh dir dazu die Intervallgrenzen auf der Abbildung an.)}

+ 2
- 9
- 13

{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{3} 2 \cdot x dx </math>}
- 12
- 6
+ 9
</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung|Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Optimierungsprobleme|Optimierungsprobleme]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Steckbriefaufgaben|Steckbriefaufgaben]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]

|Frage}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-05-28T14:20:12Z

Lena WWU-6:

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung.

<quiz display="simple">
{ Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? }
+ Mittels einer Sekante.
- Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
+ Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
- Mittels einer Tangente.

{ Was gibt die Tangentensteigung an? }
- Die durchschnittliche Änderungsrate.
+ Die lokale Änderungsrate.
- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

{ Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)=x+5. </math>}
- -1
+ 1
- 5

{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
- zwei Extrema
+ drei Extrema
- vier Extrema
- keinen Wendepunkt
- einen Wendepunkt
+ zwei Wendepunkte

{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math>.
+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math>.
+ nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
- nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.

{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2)</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>(x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend
+ <math>f'(x_1)>0 </math>
+ <math>f'(x_2)=0 </math>
- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

{ Du hast 20m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen.
Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann? }

{ Wie gehst du bei der Bearbeitung dieser Aufgabe vor? }
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Nebenbedingung überlegen 3.Extremwerte ermitteln
- 1.Nebenbedingung überlegen 2.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln 3.Nebenbedingung aufstellen

{ Die Nebenbedingung dieser Aufgabe ist... [[Datei:Weidenzaun .png| mini | rahmenlos | rechts]] }
+ a=1m+6b oder b=20m
- a=10m-b oder b=10m-a
+ a=10m+b oder b=10m+a

{ In der Zielfunktion... }
- kommt genau eine Unbekannte vor.
+ kommen genau zwei Unbekannte vor.
- kommen genau drei Unbekannte vor.

{ Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt }
- einen Hochpunkt.
+ einen Wendepunkt.
- eine Nullstelle.
- einen Sattelpunkt.

{Löse folgendes Gleichungssystem: 
<math>\begin{array}{rlllll}\\
I\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
II\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
 
Welche Aussage trifft auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?
}

- <math>x > 0</math>, <math>y > 6</math>
+ <math>x > 1</math>, <math>y < 6</math>
- <math>x < 1</math>, <math>y > 3</math>
- <math>x < 0</math>, <math>y < 3</math>

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in km/h bis es wieder zum Stehen kommt. <math>x</math> wird in Sekunden seit Fahrtbeginn gemessen. Nach 10 Sekunden fährt der Wagen 55km/h. Nach 20 Sekunden ist seine Beschleunigung maximal. Nach einer Minute hat der Wagen die maximale Entfernung dieser Fahrt erreicht. }

+ <math>f(10)=55</math>
- <math>f'(20)=0</math>
+ <math>f(20)</math> ist eine Wendestelle.
+ <math>f(60)=f(0)</math>
- Im Intervall <math>[20,60]</math> ist <math>f'(x)</math> negativ.
+ Im Intervall <math>[20,60]</math> hat <math>f'(x)</math> mindestens eine Nullstelle.

{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme? }
- Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
+ Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
- Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert man sich dem Integral an.
+ Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral.

{ Sei <math> f(x) </math> die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde (<math> km/h </math>) angibt, dann gilt für die Stammfunktion <math> F(x) </math>: }
- <math> F(x) </math> gibt die Beschleunigung des Autos an.
- <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Quadratmeter an.
+ <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Kilometern an.
- <math> F(x) </math> gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an.

{ Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. }
- wahr
+ falsch

{ Auf der nebenstehenden Abbildung siehst du die Funktion <math>b(x)= x^2 + 1</math> mit dem Flächeninhalt <math> B=6</math>.
[[Datei:Flächeninhalt der Funktion h(x)..jpg|links|mini|483x483px|Flächeninhalt der Funktion <math>b(x)</math>.]]

Wie lautet der Mittelwert der Funktion?(Sieh dir dazu die Intervallgrenzen auf der Abbildung an.)}

+ 2
- 9
- 13

{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{3} 2 \cdot x dx </math>}
- 12
- 6
+ 9
</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung|Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Optimierungsprobleme|Optimierungsprobleme]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Steckbriefaufgaben|Steckbriefaufgaben]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]

|Frage}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-05-28T14:18:45Z

Lena WWU-6:

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung.

<quiz display="simple">
{ Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? }
+ Mittels einer Sekante.
- Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
+ Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
- Mittels einer Tangente.

{ Was gibt die Tangentensteigung an? }
- Die durchschnittliche Änderungsrate.
+ Die lokale Änderungsrate.
- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

{ Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)=x+5. </math>}
- -1
+ 1
- 5

{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
- zwei Extrema
+ drei Extrema
- vier Extrema
- keinen Wendepunkt
- einen Wendepunkt
+ zwei Wendepunkte

{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math>.
+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math>.
+ nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
- nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.

{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2)</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>(x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend
+ <math>f'(x_1)>0 </math>
+ <math>f'(x_2)=0 </math>
- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

#Du hast 20m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen.
Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?

{ Wie gehst du bei der Bearbeitung dieser Aufgabe vor? }
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Nebenbedingung überlegen 3.Extremwerte ermitteln
- 1.Nebenbedingung überlegen 2.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln 3.Nebenbedingung aufstellen

{ Die Nebenbedingung dieser Aufgabe ist... [[Datei:Weidenzaun .png| 400p< | rechts]] }
+ a=1m+6b oder b=20m
- a=10m-b oder b=10m-a
+ a=10m+b oder b=10m+a

{ In der Zielfunktion... }
- kommt genau eine Unbekannte vor.
+ kommen genau zwei Unbekannte vor.
- kommen genau drei Unbekannte vor.

{ Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt }
- einen Hochpunkt.
+ einen Wendepunkt.
- eine Nullstelle.
- einen Sattelpunkt.

{Löse folgendes Gleichungssystem: 
<math>\begin{array}{rlllll}\\
I\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
II\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
 
Welche Aussage trifft auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?
}

- <math>x > 0</math>, <math>y > 6</math>
+ <math>x > 1</math>, <math>y < 6</math>
- <math>x < 1</math>, <math>y > 3</math>
- <math>x < 0</math>, <math>y < 3</math>

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in km/h bis es wieder zum Stehen kommt. <math>x</math> wird in Sekunden seit Fahrtbeginn gemessen. Nach 10 Sekunden fährt der Wagen 55km/h. Nach 20 Sekunden ist seine Beschleunigung maximal. Nach einer Minute hat der Wagen die maximale Entfernung dieser Fahrt erreicht. }

+ <math>f(10)=55</math>
- <math>f'(20)=0</math>
+ <math>f(20)</math> ist eine Wendestelle.
+ <math>f(60)=f(0)</math>
- Im Intervall <math>[20,60]</math> ist <math>f'(x)</math> negativ.
+ Im Intervall <math>[20,60]</math> hat <math>f'(x)</math> mindestens eine Nullstelle.

{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme? }
- Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
+ Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
- Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert man sich dem Integral an.
+ Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral.

{ Sei <math> f(x) </math> die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde (<math> km/h </math>) angibt, dann gilt für die Stammfunktion <math> F(x) </math>: }
- <math> F(x) </math> gibt die Beschleunigung des Autos an.
- <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Quadratmeter an.
+ <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Kilometern an.
- <math> F(x) </math> gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an.

{ Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. }
- wahr
+ falsch

{ Auf der nebenstehenden Abbildung siehst du die Funktion <math>b(x)= x^2 + 1</math> mit dem Flächeninhalt <math> B=6</math>.
[[Datei:Flächeninhalt der Funktion h(x)..jpg|links|mini|483x483px|Flächeninhalt der Funktion <math>b(x)</math>.]]

Wie lautet der Mittelwert der Funktion?(Sieh dir dazu die Intervallgrenzen auf der Abbildung an.)}

+ 2
- 9
- 13

{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{3} 2 \cdot x dx </math>}
- 12
- 6
+ 9
</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung|Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Optimierungsprobleme|Optimierungsprobleme]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Steckbriefaufgaben|Steckbriefaufgaben]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]

|Frage}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-05-28T14:16:08Z

Lena WWU-6:

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung.

<quiz display="simple">
{ Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? }
+ Mittels einer Sekante.
- Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
+ Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
- Mittels einer Tangente.

{ Was gibt die Tangentensteigung an? }
- Die durchschnittliche Änderungsrate.
+ Die lokale Änderungsrate.
- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

{ Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)=x+5. </math>}
- -1
+ 1
- 5

{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
- zwei Extrema
+ drei Extrema
- vier Extrema
- keinen Wendepunkt
- einen Wendepunkt
+ zwei Wendepunkte

{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math>.
+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math>.
+ nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
- nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.

{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2)</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>(x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend
+ <math>f'(x_1)>0 </math>
+ <math>f'(x_2)=0 </math>
- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

Du hast 20m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen.
Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?

{ Wie gehst du bei der Bearbeitung dieser Aufgabe vor? }
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Nebenbedingung überlegen 3.Extremwerte ermitteln
- 1.Nebenbedingung überlegen 2.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln 3.Nebenbedingung aufstellen

{ Die Nebenbedingung dieser Aufgabe ist... [[Datei:Weidenzaun .png| mini | rechts]] }
+ Wahr
- Falsch

{ Zur Lösung eines Optimierungsproblems braucht man keine Extremwerte. }
- Wahr
+ Falsch

{ Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt }
- einen Hochpunkt.
+ einen Wendepunkt.
- eine Nullstelle.
- einen Sattelpunkt.

{Löse folgendes Gleichungssystem: 
<math>\begin{array}{rlllll}\\
I\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
II\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
 
Welche Aussage trifft auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?
}

- <math>x > 0</math>, <math>y > 6</math>
+ <math>x > 1</math>, <math>y < 6</math>
- <math>x < 1</math>, <math>y > 3</math>
- <math>x < 0</math>, <math>y < 3</math>

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in km/h bis es wieder zum Stehen kommt. <math>x</math> wird in Sekunden seit Fahrtbeginn gemessen. Nach 10 Sekunden fährt der Wagen 55km/h. Nach 20 Sekunden ist seine Beschleunigung maximal. Nach einer Minute hat der Wagen die maximale Entfernung dieser Fahrt erreicht. }

+ <math>f(10)=55</math>
- <math>f'(20)=0</math>
+ <math>f(20)</math> ist eine Wendestelle.
+ <math>f(60)=f(0)</math>
- Im Intervall <math>[20,60]</math> ist <math>f'(x)</math> negativ.
+ Im Intervall <math>[20,60]</math> hat <math>f'(x)</math> mindestens eine Nullstelle.

{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme? }
- Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
+ Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
- Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert man sich dem Integral an.
+ Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral.

{ Sei <math> f(x) </math> die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde (<math> km/h </math>) angibt, dann gilt für die Stammfunktion <math> F(x) </math>: }
- <math> F(x) </math> gibt die Beschleunigung des Autos an.
- <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Quadratmeter an.
+ <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Kilometern an.
- <math> F(x) </math> gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an.

{ Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. }
- wahr
+ falsch

{ Auf der nebenstehenden Abbildung siehst du die Funktion <math>b(x)= x^2 + 1</math> mit dem Flächeninhalt <math> B=6</math>.
[[Datei:Flächeninhalt der Funktion h(x)..jpg|links|mini|483x483px|Flächeninhalt der Funktion <math>b(x)</math>.]]

Wie lautet der Mittelwert der Funktion?(Sieh dir dazu die Intervallgrenzen auf der Abbildung an.)}

+ 2
- 9
- 13

{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{3} 2 \cdot x dx </math>}
- 12
- 6
+ 9
</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung|Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Optimierungsprobleme|Optimierungsprobleme]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Steckbriefaufgaben|Steckbriefaufgaben]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]

|Frage}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-05-28T14:14:22Z

Lena WWU-6:

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung.

<quiz display="simple">
{ Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? }
+ Mittels einer Sekante.
- Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
+ Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
- Mittels einer Tangente.

{ Was gibt die Tangentensteigung an? }
- Die durchschnittliche Änderungsrate.
+ Die lokale Änderungsrate.
- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

{ Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)=x+5. </math>}
- -1
+ 1
- 5

{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
- zwei Extrema
+ drei Extrema
- vier Extrema
- keinen Wendepunkt
- einen Wendepunkt
+ zwei Wendepunkte

{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math>.
+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math>.
+ nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
- nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.

{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2)</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>(x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend
+ <math>f'(x_1)>0 </math>
+ <math>f'(x_2)=0 </math>
- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

Du hast 20m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen.
Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?

{ Wie gehst du bei der Bearbeitung dieser Aufgabe vor? }
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Nebenbedingung überlegen 3.Extremwerte ermitteln
- 1.Nebenbedingung überlegen 2.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln 3.Nebenbedingung aufstellen

{ Die Nebenbedingung dieser Aufgabe ist... [[Datei:Weidenzaun .png| 400p< | rechts]] }
+ Wahr
- Falsch

{ Zur Lösung eines Optimierungsproblems braucht man keine Extremwerte. }
- Wahr
+ Falsch

{ Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt }
- einen Hochpunkt.
+ einen Wendepunkt.
- eine Nullstelle.
- einen Sattelpunkt.

{Löse folgendes Gleichungssystem: 
<math>\begin{array}{rlllll}\\
I\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
II\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
 
Welche Aussage trifft auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?
}

- <math>x > 0</math>, <math>y > 6</math>
+ <math>x > 1</math>, <math>y < 6</math>
- <math>x < 1</math>, <math>y > 3</math>
- <math>x < 0</math>, <math>y < 3</math>

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in km/h bis es wieder zum Stehen kommt. <math>x</math> wird in Sekunden seit Fahrtbeginn gemessen. Nach 10 Sekunden fährt der Wagen 55km/h. Nach 20 Sekunden ist seine Beschleunigung maximal. Nach einer Minute hat der Wagen die maximale Entfernung dieser Fahrt erreicht. }

+ <math>f(10)=55</math>
- <math>f'(20)=0</math>
+ <math>f(20)</math> ist eine Wendestelle.
+ <math>f(60)=f(0)</math>
- Im Intervall <math>[20,60]</math> ist <math>f'(x)</math> negativ.
+ Im Intervall <math>[20,60]</math> hat <math>f'(x)</math> mindestens eine Nullstelle.

{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme? }
- Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
+ Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
- Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert man sich dem Integral an.
+ Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral.

{ Sei <math> f(x) </math> die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde (<math> km/h </math>) angibt, dann gilt für die Stammfunktion <math> F(x) </math>: }
- <math> F(x) </math> gibt die Beschleunigung des Autos an.
- <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Quadratmeter an.
+ <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Kilometern an.
- <math> F(x) </math> gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an.

{ Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. }
- wahr
+ falsch

{ Auf der nebenstehenden Abbildung siehst du die Funktion <math>b(x)= x^2 + 1</math> mit dem Flächeninhalt <math> B=6</math>.
[[Datei:Flächeninhalt der Funktion h(x)..jpg|links|mini|483x483px|Flächeninhalt der Funktion <math>b(x)</math>.]]

Wie lautet der Mittelwert der Funktion?(Sieh dir dazu die Intervallgrenzen auf der Abbildung an.)}

+ 2
- 9
- 13

{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{3} 2 \cdot x dx </math>}
- 12
- 6
+ 9
</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung|Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Optimierungsprobleme|Optimierungsprobleme]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Steckbriefaufgaben|Steckbriefaufgaben]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]

|Frage}}

Datei:Weidenzaun .png

2020-05-28T14:13:44Z

Lena WWU-6: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Weidenzaun
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Lena WWU-6|Lena WWU-6]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-05-28T14:10:49Z

Lena WWU-6:

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung.

<quiz display="simple">
{ Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? }
+ Mittels einer Sekante.
- Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
+ Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
- Mittels einer Tangente.

{ Was gibt die Tangentensteigung an? }
- Die durchschnittliche Änderungsrate.
+ Die lokale Änderungsrate.
- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

{ Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)=x+5. </math>}
- -1
+ 1
- 5

{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
- zwei Extrema
+ drei Extrema
- vier Extrema
- keinen Wendepunkt
- einen Wendepunkt
+ zwei Wendepunkte

{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math>.
+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math>.
+ nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
- nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.

{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2)</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>(x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend
+ <math>f'(x_1)>0 </math>
+ <math>f'(x_2)=0 </math>
- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

Du hast 20m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen.
Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?

{ Wie gehst du bei der Bearbeitung dieser Aufgabe vor? }
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Nebenbedingung überlegen 3.Extremwerte ermitteln
- 1.Nebenbedingung überlegen 2.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln
+ 1.Zielfunktion aufstellen 2.Extremwerte ermitteln 3.Nebenbedingung aufstellen

{ Um ein Optimierungsproblem zu lösen, braucht man eine Nebenbedingung. }
+ Wahr
- Falsch

{ Zur Lösung eines Optimierungsproblems braucht man keine Extremwerte. }
- Wahr
+ Falsch

{ Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt }
- einen Hochpunkt.
+ einen Wendepunkt.
- eine Nullstelle.
- einen Sattelpunkt.

{Löse folgendes Gleichungssystem: 
<math>\begin{array}{rlllll}\\
I\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
II\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
 
Welche Aussage trifft auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?
}

- <math>x > 0</math>, <math>y > 6</math>
+ <math>x > 1</math>, <math>y < 6</math>
- <math>x < 1</math>, <math>y > 3</math>
- <math>x < 0</math>, <math>y < 3</math>

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> beschreibt die Geschwindigkeit eines anfahrenden Autos in km/h bis es wieder zum Stehen kommt. <math>x</math> wird in Sekunden seit Fahrtbeginn gemessen. Nach 10 Sekunden fährt der Wagen 55km/h. Nach 20 Sekunden ist seine Beschleunigung maximal. Nach einer Minute hat der Wagen die maximale Entfernung dieser Fahrt erreicht. }

+ <math>f(10)=55</math>
- <math>f'(20)=0</math>
+ <math>f(20)</math> ist eine Wendestelle.
+ <math>f(60)=f(0)</math>
- Im Intervall <math>[20,60]</math> ist <math>f'(x)</math> negativ.
+ Im Intervall <math>[20,60]</math> hat <math>f'(x)</math> mindestens eine Nullstelle.

{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme? }
- Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
+ Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
- Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert man sich dem Integral an.
+ Wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen Unendlich geht, beschreibt die Untersumme sehr genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Also entspricht der Grenzwert der Untersumme dem Integral.

{ Sei <math> f(x) </math> die Funktion, die die Geschwindigkeit eines Autos in Kilometern pro Stunde (<math> km/h </math>) angibt, dann gilt für die Stammfunktion <math> F(x) </math>: }
- <math> F(x) </math> gibt die Beschleunigung des Autos an.
- <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Quadratmeter an.
+ <math> F(x) </math> gibt die zurückgelegte Strecke in Kilometern an.
- <math> F(x) </math> gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit des Autos an.

{ Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. }
- wahr
+ falsch

{ Auf der nebenstehenden Abbildung siehst du die Funktion <math>b(x)= x^2 + 1</math> mit dem Flächeninhalt <math> B=6</math>.
[[Datei:Flächeninhalt der Funktion h(x)..jpg|links|mini|483x483px|Flächeninhalt der Funktion <math>b(x)</math>.]]

Wie lautet der Mittelwert der Funktion?(Sieh dir dazu die Intervallgrenzen auf der Abbildung an.)}

+ 2
- 9
- 13

{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{3} 2 \cdot x dx </math>}
- 12
- 6
+ 9
</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung|Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Optimierungsprobleme|Optimierungsprobleme]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Steckbriefaufgaben|Steckbriefaufgaben]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]

|Frage}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-27T13:01:49Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200</math>cm sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360</math>cm groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360</math>cm groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Um das maximale Volumen angeben zu können, nutze die in Aufgabenteil a ermittelten Abmessungen für die Höhe, Breite und Länge. Das Volumen errechnest du, indem du Höhe <math>* </math>Breite <math>*</math> Länge rechnest. | 2= Tipp zur Errechnung des Volumens | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200</math>cm sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60</math>cm.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120</math>cm.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000</math>cm³.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10</math>cm eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10</math>cm der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403</math>cm³.

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>g</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von <math>g</math> liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x*y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
Als Nebenbedingung eignet sich die Funktion <math>g(x)=(x-3)^2 + 2{,}5</math>.
Das liegt daran, dass ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt. Somit wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> bestimmt.
Die Nebenbedingung <math>g(x)</math> wird in <math>A(x,y)=x*y</math> für <math>y</math> eingesetzt. | Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt|
1=
Mit <math>x,y</math> in cm berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>. Da ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt, wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> angegeben.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5</math>cm².
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-27T12:58:26Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200</math>cm sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360</math>cm groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360</math>cm groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Um das maximale Volumen angeben zu können, nutze die in Aufgabenteil a ermittelten Abmessungen für die Höhe, Breite und Länge. Das Volumen errechnest du, indem durch Höhe <math>* </math>Breite <math>*</math> Länge rechnest. | 2= Tipp zur Errechnung des Volumens | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200</math>cm sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60</math>cm.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120</math>cm.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000</math>cm³.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>g</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von <math>g</math> liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x*y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
Als Nebenbedingung eignet sich die Funktion <math>g(x)=(x-3)^2 + 2{,}5</math>.
Das liegt daran, dass ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt. Somit wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> bestimmt.
Die Nebenbedingung <math>g(x)</math> wird in <math>A(x,y)=x*y</math> für <math>y</math> eingesetzt. | Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt|
1=
Mit <math>x,y</math> in cm berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>. Da ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt, wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> angegeben.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5</math>cm².
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-27T12:56:34Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200</math>cm sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360</math>cm groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360</math>cm groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Um das maximale Volumen angeben zu können, nutze die in Aufgabenteil a ermittelten Abmessungen für die Höhe, Breite und Länge. Das Volumen errechnest du, indem durch Höhe <math>* </math>Breite <math>*</math> Länge rechnest. |Tipp zur Errechnung des Volumens | Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200</math>cm sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60</math>cm.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120</math>cm.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000</math>cm³.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>g</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von <math>g</math> liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x*y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
Als Nebenbedingung eignet sich die Funktion <math>g(x)=(x-3)^2 + 2{,}5</math>.
Das liegt daran, dass ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt. Somit wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> bestimmt.
Die Nebenbedingung <math>g(x)</math> wird in <math>A(x,y)=x*y</math> für <math>y</math> eingesetzt. | Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt|
1=
Mit <math>x,y</math> in cm berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>. Da ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt, wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> angegeben.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5</math>cm².
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-27T12:43:51Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>g</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von <math>g</math> liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x*y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
Als Nebenbedingung eignet sich die Funktion <math>g(x)=(x-3)^2 + 2{,}5</math>.
Das liegt daran, dass ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt. Somit wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> bestimmt.
Die Nebenbedingung <math>g(x)</math> wird in <math>A(x,y)=x*y</math> für <math>y</math> eingesetzt. | Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt|
1=
Mit <math>x,y</math> in cm berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>. Da ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt, wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> angegeben.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5</math>cm².
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-27T12:42:48Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>g</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von <math>g</math> liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x*y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
Als Nebenbedingung eignet sich die Funktion <math>g(x)=(x-3)^2 + 2{,}5</math>.
Das liegt daran, dass ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt. Somit wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> bestimmt.
Die Nebenbedingung <math>g(x)</math> wird in <math>A(x,y)=x*y</math> für <math>y</math> eingesetzt. | Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt|
1=
Mit <math>x,y</math> in cm berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>. Da ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt, wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> angegeben.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5</math>cm^2.
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-27T12:36:31Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>g</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x*y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
Als Nebenbedingung eignet sich die Funktion <math>g(x)=(x-3)^2 + 2,5</math>.
Das liegt daran, dass ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt. Somit wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> bestimmt.
Die Nebenbedingung <math>g(x)</math> wird in <math>A(x,y)=x*y</math> für <math>y</math> eingesetzt. | Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt|
1=
Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-27T12:34:56Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>g</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x*y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
Als Nebenbedingung eignet sich die Funktion <math>g(x)=(x-3)^2 + 2,5</math>.
Das liegt daran, dass ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt. Somit wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle x bestimmt.
Die Nebenbedingung <math>g(x)</math> wird in <math>A(x,y)=x*y</math> für <math>y</math> eingesetzt. | Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt|
1=
Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-27T12:33:55Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>g</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x*y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
Als Nebenbedingung eignet sich die Funktion <math>g(x)=(x-3)^2 + 2,5</math>.
Das liegt daran, dass ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt. Somit wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle x bestimmt.
Die Nebenbedingung <math>g(x) wird als in <math>A(x,y)=x*y</math> für <math>y</math> eingesetzt. | Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt|
1=
Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-27T12:31:06Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>g</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x*y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
Als Nebenbedingung eignet sich die Funktion <math>g(x)=(x-3)²+2,5</math>.
Das liegt daran, dass ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt. Somit wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle x bestimmt.
Die Nebenbedingung <math>g(x) wird als in <math>A(x,y)=x*y</math> für <math>y</math> eingesetzt. | Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt|
1=
Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-27T12:25:17Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>g</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x*y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-27T12:23:21Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x*y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-20T15:03:16Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-20T15:02:01Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-20T15:00:26Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Du kannst in der untenstehenden Abbildung Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-20T14:59:42Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Du kannst in der untenstehenden Abbildung Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="25%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-20T14:57:53Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis:Du kannst in der untenstehenden Abbildung Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="50%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-20T14:53:56Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-20T14:45:45Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

<ggb_applet id=xqe2gfjd" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-18T10:11:36Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-18T10:06:54Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-18T09:47:03Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-18T09:44:12Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0 cm</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200 cm</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach <math>a</math> auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen:
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir b in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0 cm</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die '''Extremstellen''' von <math>V(a)</math>'''bestimmt werden'''.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.
<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>
<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.
Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.
Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-18T09:36:06Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir b in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.
<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>
<math>V''(a) = -24a + 720</math>.
Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.
<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>
<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.
Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.
Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-18T08:54:46Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-18T08:47:50Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Der optimale Karton
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-18T08:46:29Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Der optimale Karton
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe <math>a *</math> Breite <math>a *</math> Länge <math>b</math>, um das Volumen eines Quaders zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-18T08:44:11Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Der optimale Karton
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-17T20:42:41Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y=200</math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Datei:Kartonfabrik 3.png

2020-05-17T20:41:51Z

Lena WWU-6: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Karton
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Lena WWU-6|Lena WWU-6]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-17T20:37:38Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.[[Datei:Kartonfabrik.png|mini]]

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y=200</math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-17T20:36:47Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

[[Datei:Katonfabrik 1.png|400|rechts|rahmenlos]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y=200</math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59/7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Datei:Katonfabrik 1.png

2020-05-17T20:36:02Z

Lena WWU-6: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Karton

|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Lena WWU-6|Lena WWU-6]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:Lena WWU-6/Testseite

2020-05-17T20:33:29Z

Lena WWU-6: /* Spielwiese */

===Spielwiese===
<ggb_applet id="sgkruc4q" width="1000" height="1000" />
====Schreiben im Wiki====
Neben normalem Text kann man auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten'''Text schreiben'''''. Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich'''''. Grüner Text ist schon etwas schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. 

====Vorlagen====
{{Box | Aufgabe | Inhalt | Arbeitsmethode
}}
{{Box | Übung | Inhalt | Übung
}}
{{Box | Merksatz | Inhalt | Merksatz
}}

====Dateien====
[[Datei: GIF Basketball.gif | links | thumb | Basketball]]

[[File:Easterbunny 1.jpg| zentriert | thumb|Kaninchen mit Ostereiern]]

====Interaktive Applets====
{{LearningApp|width:50%|height:350px|app=7077356}}

===Kombinationen===
{{Box | 1 = Subtraktion eines Bruches von einer gemischten Zahl| 2 =

 a) <math> 3\frac{2}{3} - \frac{1}{3} </math> 
 b) <math> 5\frac{4}{5} - \frac{2}{5} </math> 
 c) <math> 5\frac{3}{4} - \frac{1}{2} </math> 
| 3=Übung}}

{{Lösung versteckt|1= Bei der Subtraktion eines Bruches von einer gemischten Zahl muss darauf geachtet werden, dass der Nenner der gemischten Zahl mit dem Nenner des Bruchs übereinstimmt. Dann wird der Zähler der gemischten Zahl um den Zähler des Bruchs verringert| 2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}

==Optimierungsprobleme==
{{Box | 1=Aufgabe | 2=
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1=Aufgabe | 2=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
| 3=Arbeitsmethode}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box|1=Aufgabe
| 2 = Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
| 3 = Arbeitsmethode
}}

Benutzer:Lena WWU-6/Testseite

2020-05-17T20:31:14Z

Lena WWU-6: /* Spielwiese */

===Spielwiese===
<ggb_applet id="sgkruc4q" width="400" height="310" />
====Schreiben im Wiki====
Neben normalem Text kann man auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten'''Text schreiben'''''. Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich'''''. Grüner Text ist schon etwas schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. 

====Vorlagen====
{{Box | Aufgabe | Inhalt | Arbeitsmethode
}}
{{Box | Übung | Inhalt | Übung
}}
{{Box | Merksatz | Inhalt | Merksatz
}}

====Dateien====
[[Datei: GIF Basketball.gif | links | thumb | Basketball]]

[[File:Easterbunny 1.jpg| zentriert | thumb|Kaninchen mit Ostereiern]]

====Interaktive Applets====
{{LearningApp|width:50%|height:350px|app=7077356}}

===Kombinationen===
{{Box | 1 = Subtraktion eines Bruches von einer gemischten Zahl| 2 =

 a) <math> 3\frac{2}{3} - \frac{1}{3} </math> 
 b) <math> 5\frac{4}{5} - \frac{2}{5} </math> 
 c) <math> 5\frac{3}{4} - \frac{1}{2} </math> 
| 3=Übung}}

{{Lösung versteckt|1= Bei der Subtraktion eines Bruches von einer gemischten Zahl muss darauf geachtet werden, dass der Nenner der gemischten Zahl mit dem Nenner des Bruchs übereinstimmt. Dann wird der Zähler der gemischten Zahl um den Zähler des Bruchs verringert| 2=Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}

==Optimierungsprobleme==
{{Box | 1=Aufgabe | 2=
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1=Aufgabe | 2=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
| 3=Arbeitsmethode}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box|1=Aufgabe
| 2 = Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
| 3 = Arbeitsmethode
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-17T20:11:38Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
[[Kartonfabrik.png | 400 | rechts | rahmenlos]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y=200</math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-17T20:07:55Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

<ggb_applet id="cpmkymnx" width="400" height="310"/>

[[Datei:Kartonfabrik.png|mini]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y=200</math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Datei:Kartonfabrik.png

2020-05-17T20:06:15Z

Lena WWU-6: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = lala
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Lena WWU-6|Lena WWU-6]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-17T19:54:19Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

<ggb_applet id="ccfrdkc9" width="750" height="500" border="888888" />

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y=200</math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59/7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-17T19:46:39Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

<ggb_applet id="xvsm4dac" width="750" height="500" border="888888" />

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y=200</math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59/7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-17T18:10:54Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y=200</math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59/7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-17T17:43:12Z

Lena WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y=200</math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge <math>s</math> ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|blue}} }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59/7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}