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Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T12:08:21Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

{{Lösung versteckt|1=

Schau dir die Achsenbeschriftungen der Abbildung an. Welche Einheit bekommst du aus dem Produkt beider Achsen?

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''Eine Kästchenfläche''' = <math>5000000 m^{3}</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

{{Lösung versteckt|1=

Hier werden nicht die schnellsten Durchflussraten gesucht.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Die schnellste '''Zunahme''' passiert im Intervall <math>[2, 4]</math>

Die schnellste '''Abnahme''' passiert im Intervall <math>[8, 10]</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

{{Lösung versteckt|1=

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''Nach 6h:''' <math>A1 = \frac {2h \cdot 10000000\frac{m^{3}}{h}}{2} + 2h \cdot 10000000\frac{m^{3}}{h} + \frac {2h \cdot 10000000\frac{m^{3}}{h}}{2} = 40000000 m^{3}</math>

Antwort: Nach 6h befinden sich 40000000 <math>m^{3}</math> im Speicher.

'''Nach 12h:'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|500px|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="nc2h8k9s" width="100%" height="100%" border="888888" />

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T12:02:35Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

{{Lösung versteckt|1=

Schau dir die Achsenbeschriftungen der Abbildung an. Welche Einheit bekommst du aus dem Produkt beider Achsen?

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''Eine Kästchenfläche''' = <math>5000000 m^{3}</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

{{Lösung versteckt|1=

Hier werden nicht die schnellsten Durchflussraten gesucht.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Die schnellste '''Zunahme''' passiert im Intervall <math>[2, 4]</math>

Die schnellste '''Abnahme''' passiert im Intervall <math>[8, 10]</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

{{Lösung versteckt|1=

Schau dir die Achsenbeschriftungen der Abbildung an. Welche Einheit bekommst du aus dem Produkt beider Achsen?

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Für 6h: <math>A = \frac {2h \cdot 10000000\frac{m^{3}}{h}}{2} + 2h \cdot 10000000\frac{m^{3}}{h} + \frac {2h \cdot 10000000\frac{m^{3}}{h}}{2} = 40000000 m^{3}</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|500px|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="nc2h8k9s" width="100%" height="100%" border="888888" />

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T12:01:16Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

{{Lösung versteckt|1=

Schau dir die Achsenbeschriftungen der Abbildung an. Welche Einheit bekommst du aus dem Produkt beider Achsen?

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''Eine Kästchenfläche''' = <math>5000000 m^{3}</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

{{Lösung versteckt|1=

Hier werden nicht die schnellsten Durchflussraten gesucht.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Die schnellste '''Zunahme''' passiert im Intervall <math>[2, 4]</math>

Die schnellste '''Abnahme''' passiert im Intervall <math>[8, 10]</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

{{Lösung versteckt|1=

Schau dir die Achsenbeschriftungen der Abbildung an. Welche Einheit bekommst du aus dem Produkt beider Achsen?

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Für 6h: <math>A = \frac {2h \cdot 10\frac{Mio m^{3}}{h}}{2} + 2h \cdot 10\frac{Mio m^{3}}{h} + \frac {2h \cdot 10\frac{Mio m^{3}}{h}}{2} = 40000000 m^{3}</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|500px|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="nc2h8k9s" width="100%" height="100%" border="888888" />

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T12:00:54Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

{{Lösung versteckt|1=

Schau dir die Achsenbeschriftungen der Abbildung an. Welche Einheit bekommst du aus dem Produkt beider Achsen?

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''Eine Kästchenfläche''' = <math>5000000 m^{3}</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

{{Lösung versteckt|1=

Hier werden nicht die schnellsten Durchflussraten gesucht.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Die schnellste '''Zunahme''' passiert im Intervall <math>[2, 4]</math>

Die schnellste '''Abnahme''' passiert im Intervall <math>[8, 10]</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

{{Lösung versteckt|1=

Schau dir die Achsenbeschriftungen der Abbildung an. Welche Einheit bekommst du aus dem Produkt beider Achsen?

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Für 6h: <math>A = \frac {2h \cdot 10\frac{Mio m^{3}}{h}}{2} + 2h \cdot 10\frac{Mio m^{3}}{h} + \frac {2h \cdot 10\frac{Mio m^{3}}{h}}{2} = 40000000 m^{3]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|500px|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="nc2h8k9s" width="100%" height="100%" border="888888" />

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T11:47:13Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

{{Lösung versteckt|1=

Schau dir die Achsenbeschriftungen der Abbildung an. Welche Einheit bekommst du aus dem Produkt beider Achsen?

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Eine Kästchenfläche = <math>5000000 m^{3}</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|500px|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="m74hyeny" width="500" height="800" border="888888" />

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T11:33:25Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|500px|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T11:28:28Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|600px|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T11:28:13Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|800px|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T11:27:36Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|width=400%|height=100%|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T11:27:06Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T11:26:46Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|width=800%|height=100%|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T11:26:17Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|width=400%|height=100%|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T11:26:02Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|width=200%|height=100%|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T11:25:49Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

[[Datei:Durchflussrate Aufgabe 1.png|alternativtext=Durchflussrate|mini|width=100%|height=100%|center|Durchflussrate]]

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-06-02T11:14:47Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Gezeitenkraftwerk|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

In einem Gezeitenkraftwerk strömt bei Flut das Wasser in einen Speicher und bei Ebbe wieder heraus. Das durchfließende Wasser treibt dabei Turbinen zur Stromerzeugung an. Der Graph zeigt '''vereinfacht''' die Durchflussrate d vom Meer in den Speicher.

'''a)''' Was bedeutet eine Kästchenfläche in der Abbildung im Sachzusammenhang?

'''b)'''In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Speicher am '''schnellsten zu''' und wann am '''schnellsten ab'''?

'''c)'''Wie viel Wasser befindet sich nach 6h und nach 12h im Speicher?

'''d)'''Wie geht es nach 12h vermutlich weiter?

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit einer Murmel. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=pq8dtnxrt20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung 1). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht (siehe Abbildung 2).
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen (siehe Abbildung 3).

'''Beachte:''' Es wird zunächst nur Abbildung 1 angezeigt. Wenn du Abbildung 2 und Abbildung 3 ansehen möchtest, musst du die Pfeile über der Abbildung nutzen, um zur nächsten Abbildung zu gelangen.

<gallery mode="slideshow" widths="700" heights="600">
Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|'''Abbildung 1:''' Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot 
Kanal Integral f-g.png|'''Abbildung 2:''' Querschnitt des Kanals, der mit Hilfe des Integrals <math>g-f</math> berechnet werden kann.
Kanal nach unten verschoben.png|'''Abbildung 3:''' f wurde um 4 Einheiten nach unten verschoben, sodass die x-Achse die Wasseroberfläche wiederspiegelt.
</gallery>

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
In Aufgabe '''a)''' hast du bereits den Querschnitt des Kanals berechnet. Zudem hast du die Länge des Kanals gegeben. Nun solltest du dir klar machen, wie du die Wassermenge in dem 2km langen Kanal berechnen kannst. Beachte dabei, dass du gleiche Einheiten nutzt.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Um die Wassermenge im Kanal [in <math>m^3</math>] (also das Volumen) zu berechnen, musst du die Länge des Kanals in Metern mit dem Querschnitt des Kanals multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
Zunächst solltest du berechnen, wie viel Wasser überhaupt im Kanal ist, wenn er halb gefüllt ist. Dafür solltest du wie in Aufgabe '''a) & b)''' vorgehen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Um nun auf den prozentualen Anteil zu kommen, musst du die Wassermenge des halb gefüllten Kanals durch die Wassermenge des komplett gefüllten Kanals dividieren. Beachte dabei, dass es sich bei dem Ergebnis noch um keine prozentuale Angabe handelt. Dafür musst du das Ergebnis der Division noch mit 100 multiplizieren.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ermittle die zugehörige Stammfunktion der Funktion <math>f(x)</math>.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und Stammfunktionen besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=p3wmp08ka20|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=
'''Um diese Aufgabe lösen zu können, musst du mit e-Funktionen vertraut sein.'''

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,8} v_R(t) dt=100 </math>.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Es muss also folgendes gelten: <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt = V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
Wie viel Strecke haben Lars und René jeweils nach 5 s zurückgelegt? Berechne die Differenz.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T11:18:56Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und Lars dafür 9,8 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) = 100 </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
Beachte, dass die zurückgelegte Strecke 100 m entspricht und René dafür 9,69 s benötigen soll.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
Setze <math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math> und löse nach r auf.
|2=Tipp|3=Tipp}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , <math>x</math> ≥ <math>3</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T11:17:02Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x). Beachte, dass du bei mehreren Nullstellen den Aufgabenkontext berücksichtigen musst, um die richtige Nullstelle zu berechnen.
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T11:10:57Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
'''Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!'''

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T11:08:57Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Da du die Funktion der Geschwindigkeit hast und die des Weges angeben sollst, musst du wie der vorherige Tipp dir zeigt, die Geschwindigkeitsfunktion integrieren (also die Stammfunktion bilden).
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
===Beachte: Diese Aufgabe ist erfunden und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!===

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitig kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T11:06:03Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
Bedenke: Die Ableitung des Weges gibt die Geschwindigkeit an. Die Ableitung der Geschwindigkeit gibt die Beschleunigung an. Folgende Abbildung verdeutlicht dies.
[[Datei:Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung.jpg||450px|center]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
===Beachte bitte: Diese Aufgabe ist erdacht und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!===

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können. Die Abnahme der Viren bei Einnahme des Medikaments zum Zeitpunkt <math>x = 3</math> Tagen lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>. (a = Zeitpunkt an dem alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind)
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0 = g(a)</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T10:40:14Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2) - F(0) = -24 - 0 = -24</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = F(7) - F(0) = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = F(9) - F(0) = 380,25</math>
2 und 3 analog wie 1.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Nullstellen berechnen: <math> f(x) = 0 </math>

<math> x_1 = -4,79 </math>

<math> x_2 = 1,31 </math>

<math> x_3 = 7,98 </math>

Es kommen aufgrund des Aufgabenkontextes nur die Nullstellen <math>x_2</math> und <math>x_3</math> in Betracht. Diese wählt man als Grenzen für das zu berechnende Integral.

<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = F(7,98) - F(1,31) = 465,71</math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
===Beachte bitte: Diese Aufgabe ist erdacht und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!===

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Nullstelle von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T10:30:41Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|400px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|400px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2)-F(0) = -24 - 0 = -24</math>
Analog wie 1:
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = ... = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = ... = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
===Beachte bitte: Diese Aufgabe ist erdacht und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!===

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T10:29:58Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|500px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|500px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2)-F(0) = -24 - 0 = -24</math>
Analog wie 1:
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = ... = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = ... = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
===Beachte bitte: Diese Aufgabe ist erdacht und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!===

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T10:29:36Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|200px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|200px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2)-F(0) = -24 - 0 = -24</math>
Analog wie 1:
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = ... = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = ... = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
===Beachte bitte: Diese Aufgabe ist erdacht und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!===

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T10:29:09Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|700px|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|700px|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2)-F(0) = -24 - 0 = -24</math>
Analog wie 1:
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = ... = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = ... = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
===Beachte bitte: Diese Aufgabe ist erdacht und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!===

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T10:27:18Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini|left]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini|right]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2)-F(0) = -24 - 0 = -24</math>
Analog wie 1:
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = ... = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = ... = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
===Beachte bitte: Diese Aufgabe ist erdacht und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!===

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T10:25:52Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.

[[Datei:Z(t).png|mini]] [[Datei:Gesamtmenge.png|mini]]
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral für die jeweiligen Zeiträume. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann!
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Stammfunktion: <math> F(x) = -\frac{1}{4}x^4+\frac{4,5}{3}x^3+17x^2-50x </math>
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2)-F(0) = -24 - 0 = -24</math>
Analog wie 1:
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = ... = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = ... = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben, und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (Warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
In welchem Zeitraum liegt der Graph von <math>f(x)</math> überhalb der x-Achse (grüne Fläche). Dies ist der Zeitraum, in dem das Unternehmen ausschließlich Gewinn erzielt.
|2= Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Schaue dir den Graphen von f, der den Gewinn angibt, und überlege dir welche Grenzen der grüne Bereich (ausschließlich Gewinn) hat.
|2= Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Wähle die richtigen Nullstellen als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100 m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100 m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
===Beachte bitte: Diese Aufgabe ist erdacht und entspricht nicht der Realität! Es ist eine rein hypothetische Aufgabe!===

Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Datei:Gesamtmenge.png

2020-05-26T10:25:00Z

Lars WWU-6: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Gesamtmenge des CO₂-Gehalts

|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Lars WWU-6|Lars WWU-6]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Z(t).png

2020-05-26T10:24:19Z

Lars WWU-6: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Änderungsrate des CO₂-Gehalts
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Lars WWU-6|Lars WWU-6]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T09:35:32Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Was bedeutet das in diesem Kontext?

Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T09:33:15Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T09:32:27Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe Zettel und Stift.)

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

Die Stammfunktion <math>F(t)</math> gibt die Anzahl der Bakterien an, wenn zu Beginn null Bakterien vorhanden sind.

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

Bei der Funktion <math>g(t)</math> wird 2 addiert, da zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien in Hundertstel angibt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t)</math> gibt die Wachstumsrate an und <math>g(t)</math> die Anzahl der Bakterien. Setze die zwei Zeitpunkte (nach 4 und 6 Stunden) in die richtige Funktion ein.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 Bakterien.

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 6 Stunden sind es ca. 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben. (Du benötigst zur Bearbeitung der Aufgabe einen Zettel und Stift)

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Die Tabelle zeigt die Änderungsrate des CO₂-Gehalts an. Welchen Einfluss könnten die Pflanzen auf die Änderungsrate haben?
|2=Tipp|Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für die Zeiten <math>t = 0, 3, 6, 12, 24</math> die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}}
{{!}}
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}}
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}}
{{!)}}
{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,12], [0,24]</math>.
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t= 12, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} '''0'''
{{!}} '''3'''
{{!}} '''6'''
{{!}} 9
{{!}} '''12'''
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} '''24'''
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} '''2,6'''
{{!}} '''2,54'''
{{!}} '''2,42'''
{{!}} 2,33
{{!}} '''2,28'''
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} '''2,57'''
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?
{{Lösung versteckt|1=
Überlege dir welche der beiden Tabellen (1 = Änderungsrate des CO₂-Gehalt, 2= Gesamtmenge des CO₂) du zur Erfassung des CO₂-Gehalts benötigst. Der Wert lässt sich aus der Tabelle ablesen.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
Das Integral in dieser Aufgabe gibt den Bestand zu einem gegebenen Zeitintervall an. Falls dir die allgemeine Bedeutung nicht mehr präsent ist, schau dir die Beispiele und Definition zu Beginn des Lernpfadkapitels an.
|2= Tipp| 3= Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T08:51:07Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|
{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-26T08:49:13Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels, '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''', erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt, so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''. Aufgaben, die mit einem Stern ⭐ markiert sind, sind speziell für den LK gedacht.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

{{Lösung versteckt|1=
Betrachte die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Mache dir bewusst, dass <math> F'(x)=f(x) </math> ist.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Dir sollte folgendes auffallen:
* <math> F'(x)=f(x) </math>
* Nullstellen bei <math>f(x)</math> sind Extremstellen bei <math>F(x)</math>. Beachte hier den Vorzeichenwechsel um sagen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt.
* Extremstellen bei <math>f(x)</math> sind Wendestellen bei <math>F(x)</math>
* Wenn <math>f(x)</math> negativ bzw. positiv ist so ist bei <math>F(x)</math> die Steigung negativ bzw. positiv.
* <math>F(x)</math> kann durch eine beliebige Konstante nach oben oder unten verschoben werden, bleibt aber eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33\ m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660\ m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgender Funktion auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann eine zugehörige Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.

{{Lösung versteckt|1=
Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, muss dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist?
|2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
|2=Tipp 3|3=Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
|2=Tipp 4|3=Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=Tipp 5|3=Tipp 5 verbergen}}

[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{Lösung versteckt|1=
Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.). Schaue dir dazu die folgende Abbildung, die den Zusammenhang von Stammfunktion F und ihr entsprechenden Funktion f verdeutlicht, an.
|2=Tipp 1|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Solltest du beim bilden der Stammfunktion Probleme haben, schau dir nochmals die Definition der Stammfunktion, den Satz zur Bestimmung der Stammfunktion und die Beispiele dazu an. Dies findest du zu Beginn dieses Lernpfades.
[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|center|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]
|2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
Bestimme das Integral von <math>f(t)</math> von <math>0</math> bis <math>t</math> und berücksichtige, dass zu Beginn 200 Bakterien vorhanden sind.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>

<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math>

<math>g(t) = 2 - \frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2 </math>

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7 </math>

<math>28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 </math>

<math>38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint ⭐|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-20T12:32:22Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

{{Lösung versteckt|1=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

|2=|3=}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
# Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33 m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
{{Lösung versteckt|1=
# Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, musst du dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
# Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}

a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.
{{Lösung versteckt|1=
# Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.).

[[Datei:Ableiten-und-Integrieren.png|mini|Durch "Ableiten" und "Integrieren" von der Stammfunktion F die entsprechende Funktion f (und umgekehrt) ermitteln. ]]

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die Nullstelle des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-20T12:27:05Z

Lars WWU-6: /* Knobelaufgaben */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

{{Lösung versteckt|1=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

|2=|3=}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
# Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33 m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
{{Lösung versteckt|1=
# Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, musst du dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
# Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}

a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=
Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

hier kommt ein Bild

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.
{{Lösung versteckt|1=
# Eine Stammfunktion F einer entsprechenden Funktion f erhält man, indem man die Funktion f integriert ("aufleitet", bitte dieses Wort nicht gebrauchen! Dient nur dem Verständnis.).

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-20T12:24:53Z

Lars WWU-6: /* Stammfunktionen bilden */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math> <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

{{Lösung versteckt|1=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

|2=|3=}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
# Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33 m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
{{Lösung versteckt|1=
# Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, musst du dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
# Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}

a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=

Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-20T12:24:35Z

Lars WWU-6: /* Stammfunktionen bilden */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math>; <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

{{Lösung versteckt|1=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

|2=|3=}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
# Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33 m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
{{Lösung versteckt|1=
# Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, musst du dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
# Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}

a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=

Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-20T12:23:42Z

Lars WWU-6: /* Stammfunktionen bilden */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, wenn gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r</math>, <math>(r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

{{Lösung versteckt|1=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

|2=|3=}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
# Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33 m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
{{Lösung versteckt|1=
# Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, musst du dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
# Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}

a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=

Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-20T12:19:11Z

Lars WWU-6: /* Allgemeine Herleitung und Definition */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

'''Hinweis:''' Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, wenn für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r (r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

{{Lösung versteckt|1=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

|2=|3=}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
# Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33 m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
{{Lösung versteckt|1=
# Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, musst du dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
# Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}

a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=

Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-20T12:18:13Z

Lars WWU-6: /* Allgemeine Herleitung und Definition */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen kannst|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

Falls du Schwierigkeiten mit den Formulierungen hast, schau dir dazu noch einmal die '''Idee für ganzrationalen Funktionen''' an. Für eine ausführlichere Erklärung kann für dich dieses Video hilfreich sein: [https://www.youtube.com/watch?v=rwv7IMF4uw8]

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, wenn für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r (r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

{{Lösung versteckt|1=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

|2=|3=}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
# Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33 m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
{{Lösung versteckt|1=
# Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, musst du dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
# Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}

a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=

Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

In der oberen, rechten Ecke der App ist ein kleiner Button, mit dem du in den Vollbildmodus schalten kannst. Dann sind die Funktionen und die Stammfunktion besser lesbar.

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-20T12:05:46Z

Lars WWU-6: /* Konstante und lineare Funktionen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral. (siehe Beispiel 2: Durchflussrate)
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen solltest|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, wenn für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r (r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

{{Lösung versteckt|1=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

|2=|3=}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
# Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33 m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
{{Lösung versteckt|1=
# Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, musst du dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
# Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}

a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=

Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-20T12:04:40Z

Lars WWU-6: /* Konstante und lineare Funktionen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage, wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann. Das bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral.
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen solltest|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, wenn für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r (r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

{{Lösung versteckt|1=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

|2=|3=}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
# Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33 m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion in ein Koordinatensystem auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
{{Lösung versteckt|1=
# Um eine Stammfunktion F zu einer Funktion f zu skizzieren, musst du dir klar sein, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
# Wenn dir der Zusammenhang klar ist, kannst du diese Punkte einzeichnen und hast schon einen groben "Rahmen" für deine zu skizzierende Stammfunktion.
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a eine Nullstelle.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}

a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=

Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-20T12:02:14Z

Lars WWU-6: /* Gelerntes Wiederholen und Vertiefen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann? Dass bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral.
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen solltest|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, wenn für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r (r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

{{Lösung versteckt|1=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

|2=|3=}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="100%" height="100%"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33 m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}

a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=

Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-20T12:01:13Z

Lars WWU-6: /* Allgemeine Herleitung und Definition */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann? Dass bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral.
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="100%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen solltest|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, wenn für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r (r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

{{Lösung versteckt|1=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

|2=|3=}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="1000" height="800"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33 m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}

a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=

Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt

2020-05-20T12:00:11Z

Lars WWU-6: /* Konstante und lineare Funktionen */

{{Box | 1=Info | 2=
Als Einstieg in das Kapitel findest du eine Herleitung des Integrals aus dem Kontext der Differentialrechnung. Dabei werden dir die zwei Oberbegriffe des Kapitels '''Änderungsrate''' und '''Änderungseffekt''' erläutert. Anschließend folgen einige Aufgaben zum Integral. Die Aufgaben werden in drei unterschiedliche Schwierigkeitsstufen eingeteilt so dass du jederzeit die Möglichkeit hast auf deinem Leistungsstand zu arbeiten.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''. Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

| 3=Kurzinfo}}

==Herleitung des Integrals==

===Konstante und lineare Funktionen===
{{Box|Beispiel 1: Jogger|
Wir nehmen an, dass ein Jogger im Durchschnitt 3m/s läuft. Dadurch ergibt sich die konstante Funktion <math>f(x) = 3</math>, wie in der unteren Abbildung dargestellt. Nun kann man sich die Frage stellen: ''Wie viel Meter hat er in einer bestimmten Zeit zurückgelegt?'' Um das herauszufinden, muss lediglich der Flächeninhalt des Rechtecks zwischen dem Graphen '''f(x)''' und der '''x-Achse''' in einem festgelegten Zeitintervall berechnet werden. Beispielsweise hätte der Jogger innerhalb der ersten 10s eine Strecke von 30m (<math>3\frac{m}{s} \cdot 10s = 30m</math>) zurückgelegt. Das lässt sich für beliebig große Intervalle <math>[0,b]</math> auf der x-Achse fortführen.

Probiere das in der Darstellung aus indem du die Grenze b verschiebst. Vergleiche den Wert der Stammfunktion '''F(x)''' mit dem Wert des Flächeninhalts. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="fgfwxped" width="100%" height="100%" border="888888" />

|Merke|Farbe= #828282}}

{{Box|Beispiel 2: Durchflussrate|
{{Lösung versteckt|1=

Ein zu Beginn leerer Wassertank wird durch dieselbe Leitung befüllt und entleert. In Figur 1 ist die momentane Durchflussrate f der Leitung für das Intervall <math>[0,9]</math> dargestellt.

[[Datei:Durchflussrate Figur 1.png|alternativtext=Beispielaufgabe|mini|900px|center|Figur 1]]

Es stellt sich die Frage wie aus der gegebenen Durchflussrate das Gesamtwasservolumen bestimmt werden kann? Dass bedeutet, wie viel Liter Wasser befinden sich nach 9 min im Wassertank?

{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|Es befinden sich nach 9 min 2 Liter im Wassertank.|Lösung|Lösung verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

Im Intervall <math>[0;3]</math> beträgt der Zufluss <math>2\frac{l}{min}</math>. In diesen 3 Minuten fließen <math> A1 = 2 \frac{l}{min} \cdot 3\ min = 6 l </math> in den Tank. Im Intervall <math>[3;5]</math> beträgt die mittlere Zuflussrate <math>1\frac{l}{min}</math>. In diesen 2 Minuten kommen <math>A2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{l}{min} \cdot 2\ min = 2 l </math> dazu. Im Intevall <math>[5;9]</math> ist die Durchflussrate negativ. Es fließen <math>A3 = 1,5 \frac{l}{min} \cdot 4\ min = 6 l </math> ab. Man kann also die Gesamtänderung des Wasservolumens in einem Intervall <math>[a;b]</math> mit Flächeninhalten veranschaulichen, wenn man oberhalb der x-Achse liegende Flächen positiv und unterhalb der x-Achse liegenden Flächen negativ zählt. Dieser '''orientierte Flächeninhalt''' beträgt beim Wassertank:

<math>A1 + A2 - A3 = 2\ (FE)</math>

(FE = Flächeneinheiten) und entspricht einer Volumenänderung von 2 l. Da der Tank zu Beginn leer war, befinden sich jetzt insgesamt 2 l im Tank.

|2=Lösungsweg|3=Lösungweg verbergen}}

|2=|3=}}
|Merke|Farbe= #828282 }}

{{Box|Merke: Orientierter Flächeninhalt|
{{Lösung versteckt|1=
Ist der Graph einer momentanen '''Änderungsrate''' aus gradlinigen Teilstücken (konstanten und linearen Funktionen) zusammengesetzt, so kann man die '''Gesamtänderung''' der Größe (Wirkung) rekonstruieren, indem man den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse bestimmt. Den orientierten Flächeninhalt nennt man auch das bestimmte Integral.
|2=|3=}}
|Merksatz|Farbe= #FF0000 }}

===Allgemeine Herleitung und Definition===
{{Box|Idee für ganzrationale Funktionen|

Bei konstanten oder linearen Funktionen schafft man es den '''Änderungseffekt''' durch Rechtecks- und Dreicksflächen zu ermitteln. Doch wie funktioniert das bei Funktionen zweiten Grades oder höher?
Um den Effekt bei Funktionen zweiten Grades oder höher zu ermitteln nutzt man dasselbe Verfahren. Man versucht sich der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse mit Rechtecksflächen anzunähern. Aktiviere dazu in der unteren Abbildung die '''Untersumme'''. Für einen direkten Vergleich kannst du auch das '''Integral''' aktivieren.

'''Hinweise:'''
* N markiert die Anzahl der Rechtecke unter dem Graphen.
* Das Δx gibt die Breite der Rechtecke an. Je mehr Rechtecke unterhalb des Graphen desto kleiner wird ihre Breite und damit auch das Δx.
* Die eingeblendete Untersumme gibt den aktuellen Flächeninhalt der Summe aller Rechtecksflächen an.

<ggb_applet id="vnm4cynq" width="857" height="469" border="888888" />

{{Lösung versteckt|1=
* Je mehr Unterteilungen desto kleiner wird die Breite der Rechtecke.
* Je mehr Unterteilungen der Untersumme desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
* Die Summenformel der Untersumme stellt den Flächeninhalt aller Rechtecke dar.
* Je mehr Unterteilungen und je kleiner das Δx desto eher nähert man sich dem Integral. Geht also die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich so bekommt man das Integral für die Funktion über das jeweilige Intervall.
|2=Was du erkennen solltest|3=}}

|Unterrichtsidee|Farbe= #828282 }}

{{Box|1=Definition: Integral|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei auf dem Intervall <math>[a;b]</math> stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) und <math>A_n = f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + ... + f(x_n) \cdot \Delta x</math> sei eine beliebige Rechtecksumme zu <math>f</math> über dem Intervall <math>[a;b]</math>.

Dann heißt der Grenzwert <math> \textstyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle A_n </math> Integral der Funktion <math>f</math> zwischen den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> .

Man schreibt dafür:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx</math> (lies: Integral von <math>f(x)</math> von <math>a</math> bis <math>b</math>).

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f</math> sei stetig (Graph kann nahtlos gezeichnet werden) auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) </math> für eine beliebige Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math> auf <math>[a;b]</math>.

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

==Stammfunktionen bilden==

{{Box|1=Stammfunktion Definition|2=

{{Lösung versteckt|1=

Eine Funktion <math>F</math> heißt '''Stammfunktion ''' zu einer Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, wenn für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F'(x) = f(x)</math>.
Sind <math>F</math> und <math>G</math> Stammfunktionen von <math>f</math> auf einem Intervall <math>I</math>, dann gibt es eine Konstante <math>c</math>, sodass für alle <math>x</math> in <math>I</math> gilt:
<math>F(x) = G(x)+c</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000}}

{{Box|1=Satz: Bestimmung von Stammfunktionen|2=

{{Lösung versteckt|1=

Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^r (r \neq -1)</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\frac{1}{r+1} \cdot x^{r+1}</math> eine Stammfunktion.
Zur Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}</math> ist <math>F</math> mit <math>F(x)=\ln(|x|)</math> eine Stammfunktion.
Sind <math>G</math> und <math>H</math> Stammfunktionen von <math>g</math> und <math>h</math>, so gilt für die zusammengesetzten Funktionen:
* <math>f(x) = g(x) + h(x) \rightarrow F(x) = G(x) + H(x)</math>
* <math>f(x)=c\cdot g(x) \rightarrow F(x)=c\cdot G(x)</math>
* <math>f(x)=g(c\cdot x+d) \rightarrow F(x)=\frac{1}{c} \cdot G(c\cdot x+d)</math>

|2=|3=}}

|3=Merksatz|Farbe=#FF0000 }}

{{Box|1=Beispiele|2=
Hier findest du ein paar Beispiel Funktionen und ihre Stammfunktion.

<math> f(x) = x^2 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 +c </math>

<math> f(x) = x^2+2x^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5 +c </math>

<math> f(x) = (2x+3)^4 \rightarrow F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}(2x+3)^5 +c = \frac{1}{10}(2x+3)^5 +c </math>

|3=Merke|Farbe=#FF0000}}

==Gelerntes Wiederholen und Vertiefen==

{{Box|Aufgabe 1: Integral und Flächeninhalt|

{{Lösung versteckt|1=

Du erkennst, dass der orientierte Flächeninhalt nicht mit dem Wert des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse übereinstimmt. Bearbeite folgende Aufgabe und nutze Zettel und Stift, um deine Rechnungen festzuhalten.

Du kannst die App oben in der rechten Ecke in den Vollbildmodus schalten, damit du alles besser erkennen kannst. Du sollst in der Aufgabe zu jeder Funktion (insgesamt 4 Funktionen) den dargestellten Flächeninhalt A und das entsprechende Integral I zuordnen. Dies machst du, indem du die vorgegebenen Lösungen über das Feld, wo die entsprechende Funktion abgebildet ist, ziehst. Am Ende kannst du überprüfen, ob du alles richtig zugeordnet hast.
{{Lösung versteckt|1=
# Für den Flächeninhalt A solltet ihr den Flächeninhalt der einzelnen Formen (Rechteck oder Dreieck) bestimmen und anschließend die Flächeninhalte aller addieren.
# Gibt es Rechtecke oder Dreiecke, die die gleiche Form haben und gleich groß sind? Wenn du welche findest, heben sich diese eventuell gegenseitig auf? Dies ist der Fall wenn eine Form oberhalb der x-Achse ist und die zugehörige andere Form unterhalb der x-Achse. Dann wäre das Integral der beiden Formen 0.
# Beachte, dass das Integral I maximal der Flächeninhalt A d.h. <math>I\leq A</math> sein kann. Dies kann nur der Fall sein, sofern die Funktion komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
# Das Integral I kann auch negativ sein, sofern die Fläche, die zwischen Graph und unterhalb der x-Achse ist, größer als die Fläche, die zwischen Graph und oberhalb der x-Achse ist.

|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}

{{LearningApp|app=1140264|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 2: Geschwindigkeit-Zeit Diagramm|

{{Lösung versteckt|1=

Die folgenden Graphen zeigen die Geschwindigkeit verschiedener Körper. Ermittle jeweils die vom Startpunkt zurückgelegte Strecke in m nach 9 s. Du benötigst einen Zettel und einen Stift, um deine Rechnungen und Ergebnisse zu notieren.

a) [[Datei:1a Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 a)|mini|800px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=

Unterteile die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in geeignete Flächen (Dreicks- und Vierecksflächen), sodass du diese einfach berechnen kannst.

|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>16\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>4\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>16 - 4 = 12\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 12 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b) [[Datei:1b Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 b)|mini|800px|center|Figur 2]]

{{Lösung versteckt|1=
Auf dem Intervall <math> [4,7] </math> musst du die Fläche zwischen x-Achse und Funktion in zwei bekannte Flächen aufteilen.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>20\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>0\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>20\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 20 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

c) [[Datei:1c Bild.png|alternativtext=Aufgabe 1 c)|mini|800px|center|Figur 3]]

{{Lösung versteckt|1=

* Fläche oberhalb der x-Achse: <math>49,5\ FE</math>
* Flächer unterhalb der x-Achse: <math>5\ FE</math>
* Integral/orientierter Flächeninhalt: <math>44,5\ FE</math>
* Der Körper hat eine Strecke von 44,5 m vom Startpunkt zurückgelegt.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|1=Aufgabe 3: Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Funktion|2=

{{Lösung versteckt|1=

Betrachte folgendes Applet. Lasse dir mithilfe von diesem folgende Funktionen abbilden.

# <math>f(x)=1</math>
# <math>f(x)=x</math>
# <math>f(x)=x^2</math>
# <math>f(x)=x^3 + x^2 - 1</math>

Was fällt dir auf? Wo besteht der Zusammenhang zwischen der Funktion und seiner Stammfunktion? Wo sind charakteristische Punkte?

|2=|3=}}

<ggb_applet id="eexgtxva" width="1000" height="800"></ggb_applet>

|3=Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

{{Box|Aufgabe 4: Stammfunktionen graphisch zuordnen|

{{Lösung versteckt|1=

Bearbeite die folgenden Aufgabe. Ordne die Graphen der Funktion <math> f(x) </math> mithilfe von charakteristischen Punkten den Graphen der Stammfunktion <math> F(x) </math> zu. Falls du Schwierigkeiten mit der Zuordnung hast, schaue dir Aufgabe 3 an?

Auch hier kannst du den Vollbildmodus in der rechten, oberen Ecke einschalten, sodass du die Graphen der entsprechenden Funktionen besser erkennen kannst.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}
{{LearningApp|app=1689396|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|Arbeitsmethode|Farbe= #F19E4F}}

==Aufgaben mittlerer Schwierigkeit==
{{Box|1=Aufgabe 5: Kanalaufgabe
|2= {{Lösung versteckt|1=Der Boden eines 2 km langen Kanals hat die Form einer Parabel (siehe Abbildung). Dabei entspricht eine Längeneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
[[Datei: Querschnitt des Kanals.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals]]
'''a)'''
Gib den Inhalt der Querschnittsfläche A des Kanals an. Nimm dabei an, dass die Funktion f mit <math>f(x)= \frac{1}{4} \cdot x^2</math> den Grundverlauf des Kanals darstellt.

{{Lösung versteckt|1=
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um den Inhalt der Querschnittsfläche des Kanal zu berechnen. Im folgenden werden 3 Möglichkeiten aufgeführt.
# Du berechnest das Integral von der Funktion f mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>. Weiter berechnest du den Flächeninhalt des Rechtecks (schraffiert, siehe nachfolgende Abbildung). Abschließend subtrahierst du die Fläche des Integrals (Rot) von der des Rechtecks.
# Du erstellst eine zweite Funktion <math>g(x)=4</math>, welche den Wasserstand im Kanal wiederspiegelt. Die Fläche unterhalb des Graphen (das Integral) g mit den Grenzen <math>(-4|4)</math> entspricht dem Flächeninhalt des Rechtecks aus Möglichkeit 1. Nun kannst du wie in Möglichkeit 1 vorgehen. Du kannst aber auch das Integral von <math>g-f</math> mit den Grenzen <math>(-4|4)</math>, also <math>\int_{-4}^{4} g-f</math> berechnen, was der gleichen Fläche entspricht.
# Du verschiebst die Funktion um 4 Einheiten nach unten, sodass die x-Achse den Wasserspiegel entspricht. Anschließend berechnest du das Integral. Da dies negativ sein wird, musst du noch den Betrag davon nehmen.
[[Datei: Kanalquerschnitt mit Rechteck.jpg|mini|700px|zentriert|Querschnitt des komplett gefüllten Kanals, die Fläche des Rechtecks schraffiert und die des Integrals in Rot ]]
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math> f(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2, F(x) = \frac{1}{12} \cdot x^3</math> und <math> g(x) = 4, G(x) = 4 \cdot x </math>
<math>A= \int_{-4}^{4} g(x)-f(x) dx = 21{,}33</math>

Antwort: Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt <math>21{,}33 m^2</math>.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)'''
Wie viel Wasser [in <math>m^3</math>] befindet sich im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>21{,}33 \cdot 2000 = 42660</math>

Antwort: Es befinden sich <math>42660 m^3</math> Wasser im Kanal, wenn er komplett gefüllt ist.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)'''
Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge befindet sich im Kanal, wenn er nur halb gefüllt ist?

{{Lösung versteckt|1=
<math>7{,}54 \cdot 2000 = 15080</math> , <math>\frac{15080}{42660} \approx 0{,}35349</math>

Antwort: Wenn der Kanal nur halb gefüllt ist, befinden sich ca. 35% der maximalen Wassermenge im Kanal.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
|2=Ausklappen|3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 6: Stammfunktion graphisch rekonstruieren|2=

{{Lösung versteckt|1=

Skizziere eine beliebige Stammfunktion zu folgenden Funktionen auf dem Intervall <math>I=[-5,5]</math>. Zeichne zunächst die Funktion und dann die Stammfunktion auf einen Zettel. Nutze charakteristische Punkte (Nullstellen, Extrempunkte, etc.), um den Graph der Stammfunktion zu zeichnen.
{{Lösung versteckt|1=
# Mache dir klar, wie die Funktion f und eine zugehörige Stammfunktion F zueinander stehen. Was bedeutet es, dass F eine Stammfunktion von f ist.
# Was gilt für die Stammfunktion F von f, wenn f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt oder ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum besitzt?
|2=Tipps|3=Tipps verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=
# f(x) ist die Ableitung von F(x). Somit gibt die Funktion f die Steigung der Stammfunktion F an.
# Hat F an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt (d.h. lokale maximale bzw. lokale minimale Steigung), so hat f an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum.
#Hat F an der Stelle a ein lokales Maximum bzw. ein lokales Minimum, so hat f an der Stelle a einen lokalen Wendepunkt.
|2=erweiterte Tipps|3=erweiterte Tipps verbergen}}

a)[[Datei:Funktion g(x).png|mini|800px|center|<math>f(x)=x^3+2x^2-3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4a Lösung.png|mini|800px|center|<math>F(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3-3x</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

b)[[Datei:Funktion f(x).png|mini|800px|center|<math>g(x)=x^6+3x^4-5x^3</math>]]

{{Lösung versteckt|1=

[[Datei:Aufgabe 4b Lösung.png|mini|800px|center|<math>G(x)=\frac{1}{7}x^7+\frac{3}{5}x^5-\frac{5}{4}x^4</math>]]

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Funktionsvorschrift der Stammfunktion ermitteln|2=

{{Lösung versteckt|1=

Ordne den Funktionen ihre passende Stammfunktion zu. Ermittle dabei die Stammfunktion auf einem Zettel und ordne anschließend richtig zu.

{{LearningApp|app=4942220|width=100%|height=400px}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

{{Box|1=Aufgabe 8: Bakterienwachstum|2=

{{Lösung versteckt|1=

Die Funktion <math>f(t)=-t^2+6t</math> gibt die Wachstumsrate von Bakterien an, <math>t</math> in Stunden, <math>f(t)</math> in Hundert Bakterien (siehe Figur 1). Zu Beginn waren 200 Bakterien vorhanden.

'''a)''' Wie lautet die Funktion <math>g(t)</math>, die die vorhandene Anzahl von Bakterien zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt?

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(t) = 2+\int_{0}^{t} f(t)dt</math> <math>F(t)=-\frac{1}{3}\cdot t^3+3t^2</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Wie viele Bakterien existieren nach 4 Stunden und nach 6 Stunden?

[[Datei:Aufgabe 8.png|mini|600px|center|Figur 1]]

{{Lösung versteckt|1=
<math>g(4) = \frac{86}{3} \approx 28,7; 28,7 \cdot 100=28700 </math>

<math>g(6) = 38 \rightarrow 38 \cdot 100=38000</math>

Antwort: Nach 4 Stunden sind es ca. 28700 und nach 6 Stunden 38000 Bakterien.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#5E43A5}}

==Knobelaufgaben==
{{Box|1=Aufgabe 9: CO₂-Gehalt in Teichen|2=
{{Lösung versteckt|1=

Die biologische Aktivität in einem Teich kann man durch die Änderungsrate beschreiben, mit der CO₂ dem Wasser zugefügt oder entnommen wird. Pflanzen entnehmen tagsüber dem Wasser im Rahmen der Photosynthese CO₂ und geben Nachts O₂ ab. Tiere geben durch ihre Atmung CO₂ an das Wasser ab. Bei Tagesanbruch werden 2,6ME CO₂ im Teich festgestellt. (ME steht hier für eine nicht so ganz gebräuchliche Mengen-Einheit, in der die Stoffmenge von CO₂ gemessen werden kann.) Biologen haben die Zu- und Abnahmerate <math>z(t)</math> über einen ganzen Tag, beginnend mit dem Sonnenaufgang, gemessen. Die Werte werden in der Einheit ME pro Stunde angegeben.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Änderungsrate z(t) in ME/h
{{!}} 0,0
{{!}} -0,041
{{!}} -0,037
{{!}} -0,026
{{!}} -0,009
{{!}} 0,046
{{!}} 0,031
{{!}} 0,019
{{!}} 0,006
{{!)}}

'''a)''' Begründe, dass der Teich Pflanzen enthält.

{{Lösung versteckt|1=
Der Teich enthält Pflanzen, da nur so die negativen Änderungsraten von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang erklärt werden können.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''b)''' Berechne für jede der angegebenen Zeiten die Gesamtmenge von CO₂ im Wasser und stelle die Ergebnisse tabellarisch dar. Runde jedes Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

{{Lösung versteckt|1=
Trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde sie. Zum Berechnen der Gesamtmengen brauchst du keine Stammfunktionen bilden.
| 2=Tipp 1| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die Flächen unter den Intervallen <math>[0,3], [0,6], [0,9], [0,12], [0,15]</math>, etc...
|2=Tipp 2| 3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# Für <math>t=0</math>: Bei Tagesanbruch wurden 2,6 ME CO₂ im Teich gemessen (siehe Aufgabe).
# Für <math>t=3</math>: Wir betrachten die Fläche auf dem Intervall <math>[0.3]</math>. Die erste Seite des Dreiecks ist die Länge des Intervalls und beträgt 3. Die zweite Seite des Dreiecks ist der Punkt (3,-0,041) und damit -0,041. Daraus ergibt sich die folgende Gesamtmenge:<math>A_1 = \frac {3h \cdot (-0,041 \frac{ME}{h})}{2} + 2,6 ME</math> ≈ <math>2,54 ME</math> (aufgerundet)
# Für <math>t=6</math>: Wir betrachten die Fläche <math>A_2</math> auf dem Intervall <math>[0,6]</math>. Den Flächeninhalt auf dem Intervall <math> [0,3]</math> kennen wir bereits als <math>A_1</math>. Die Fläche unter dem Graphen auf dem Intervall <math>[3,6]</math> besteht aus einer Vierecks- und einer Dreiecksfläche und wird wie folgt berechnet: <math>A_2 = A_1 + 3h \cdot (-0,037 \frac{ME}{h}) + \frac {3h \cdot (-0,005 \frac{ME}{h})}{2}</math> ≈ <math>2,42 ME</math> (aufgerundet).
# Für <math>t=9, 12, 15, 18, 21, 24</math> mit dem gleichen Verfahren.

{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Zeit t in h
{{!}} 0
{{!}} 3
{{!}} 6
{{!}} 9
{{!}} 12
{{!}} 15
{{!}} 18
{{!}} 21
{{!}} 24
{{!-}}
{{!}} Gesamtmenge CO₂ in ME
{{!}} 2,6
{{!}} 2,54
{{!}} 2,42
{{!}} 2,33
{{!}} 2,28
{{!}} 2,33
{{!}} 2,45
{{!}} 2,53
{{!}} 2,57
{{!)}}
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''c)''' Wann war der CO₂-Gehalt am niedrigsten? Wie groß war er?

{{Lösung versteckt|1=
Der CO2-Gehalt war nach ca. 12 h am geringsten (etwa 2,28 ME).
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}

'''d)''' Welche Bedeutung haben die folgenden Integrale für die vorgegebene Situation?

# <math> \int_{0}^{12} z(t) dt </math>
# <math> \int_{12}^{24} z(t) dt </math>
# <math> \int_{0}^{24} z(t) dt </math>

{{Lösung versteckt|1=
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 12 Stunden. Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ entnommen als abgegeben, der Gesamtbestand ist gesunken.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von 12 bis nach 24 Stunden. Die Fläche liegt oberhalb der x-Achse, also wurde im betreffenden Zeitraum mehr CO₂ abgegeben als entnommen, der Gesamtbestand ist also gestiegen.
# Das Integral beschreibt die Durchschnittliche CO₂ Menge im Teich von morgens bis nach 24 Stunden. Das Integral gibt an, wie viel CO₂ nach 24 Stunden im Vergleich zum Anfangsbestand hinzugekommen ist bzw. entnommen wurde.
|2= Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2= Ausklappen|3= Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 10: Gewinnermittlung eines Smartphone-Herstellers|2=

{{Lösung versteckt
|1=
* |Ein Technik-Unternehmen hat ein neues Smartphone auf den Markt gebracht. Nach 9 Monaten will das Unternehmen prüfen, wie lukrativ das neue Handy in den ersten 9 Monaten war. Der monatliche Gewinn, der durch das Smartphone eingespielt wurde, kann durch die folgende Funktion dargestellt werden: <math>f(x)=-x^3+4,5 \cdot x^2+34x-50</math>

Die x-Achse gibt die Anzahl der Monate an und die y-Achse den Gewinn in Millionen (€).
[[Datei: Smartphone Gewinn.jpg|mini|700px|zentriert|Gewinn, der durch das neue Smartphone erzielt wird]]

'''a)''' Berechne den Ertrag, den das Unternehmen in den ersten 2 Monaten, 7 Monaten und nach den kompletten 9 Monaten durch das Smartphone eingespielt hat.

{{Lösung versteckt|1=
Es ist also die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse für die jeweiligen Zeitabschnitte zu bestimmen. Beachte dabei, dass ein Integral auch negativ sein kann! Was würde es in diesem Fall bedeuten, wenn das Integral für einen bestimmten Abschnitt negativ ist?
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\int_{0}^{2} f(x) dx = -33,69</math>
# <math>\int_{0}^{7} f(x) dx = 397,25</math>
# <math>\int_{0}^{9} f(x) dx = 380,25</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' In welchem Zeitraum erbringt das Smartphone ausschließlich Gewinn für das Unternehmen? Wie viel wird in dem Zeitraum eingenommen?

{{Lösung versteckt|1=
Hier solltest du zunächst die Nullstellen der Funktion berechnen (beachte dabei, dass du die richtigen wählst, evtl. gibt es mehrere Nullstellen). Die x-Koordinaten der entsprechenden Nullstellen benötigst du als Grenzen für das zu berechnende Integral.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{1,31}^{7,98} f(x) dx = 465,71</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Interpretiere die Ergebnisse aus der Aufgabe a) und überlege dir mögliche Begründungen für die erzielten Beträge. Sollte das Smartphone weiterhin produziert werden?

{{Lösung versteckt|1=
Hier sollst du dir Gedanken machen, ob einerseits deine Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben Sinn ergeben (solltest du natürlich nach jeder Aufgabe machen), und anschließend deine eigenen Begründungen der Ergebnisse festhalten. Zum Bespiel, könnte der anfängliche Verlust mit höheren Produktionskosten als Verkaufseinnahmen begründet werden (warum? plausible Begründung).

Zur Überlegung, ob es lukrativ ist, das Smartphone weiterhin zu produzieren, solltest du dir den Gewinn bzw. Verlust der gesamten 9 Monate anschauen und natürlich den Verlauf der Funktion, die die Einnahmen wiederspiegelt.
|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Das Smartphone sollte nicht weiter produziert werden, da durch die gegebene Funktion absehbar ist, dass es schon nach ca. 8 Monaten erneut Verluste für das Unternehmen einspielt.
|2=Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

|2=Ausklappen
|3=Einklappen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 11: 100m-Sprint|2=

{{Lösung versteckt|1=

Bei einem Sprint über 100m treten Lars und René gegeneinander an. Lars sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_L(t)=0,25t+10 \cdot (1-e^{-t})</math>.
René sprintet mit der Geschwindigkeitsfunktion <math>v_R(t)=12 \cdot (1-e^{-t})+r \cdot t^2</math>.

<math>t</math> ist jeweils die Zeit in Sekunden ab dem Start des Laufes und <math>v(t)</math> die Geschwindigkeit
von Lars und René in Meter pro Sekunde.

'''a)''' Gib die Funktionen an, die die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt <math>t</math> angibt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>V_L(t)= \frac{1}{8} \cdot t^2+10 \cdot (t+e^{-t})</math>

<math>V_R(t)=12 \cdot (t+e^{-t})+\frac{r}{3} \cdot t^3</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Zeige, dass Lars ungefähr 9,8 Sekunden benötigt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,8} v_L(t) dt = 100 </math>

<math> \Leftrightarrow V_L(9,8)-V_L(0)</math>

<math> =\frac{1}{8} \cdot 9,8^2+10 \cdot (9,8+e^{-9,8}) - \frac{1}{8} \cdot 0^2+10 \cdot (0+e^{-0}) </math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''c)''' Bestimme den Wert von r so, dass René nach 9,69 Sekunden ins Ziel kommt.

{{Lösung versteckt|1=
<math>\int_{0}^{9,69} v_R(t) dt=100 </math>

<math>\Leftrightarrow V_R(9,69)-V_b(0) </math>

<math>=12 \cdot (9,69+e^{-9,69})+\frac{r}{3} \cdot 9,69^3-12 \cdot (0+e^{-0})+\frac{r}{3} \cdot 0^3 </math>

<math>\approx 116,28+303,28r-12 = 100 </math>

<math>\Leftrightarrow r\approx -0,0141</math>
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''d)''' Wie viel Meter sind die Lars und René nach 5 s von einander entfernt, wenn r dem in c) ermittelten Wert entspricht?

{{Lösung versteckt|1=
<math> \int_{0}^{5} v_L(t) dt -\int_{0}^{5} v_R(t) dt = \int_{0}^{5} v_L(t)-v_R(t) dt = -4,3</math>
Antwort: Lars und René sind 4,3 m voneinander entfernt.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

|2=|3=}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}

{{Box|1=Aufgabe 12: Corona Virus| 2=
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Coronavirus SARS-CoV-2.jpg||450px|rechts]]
Bei einer Coronavirusinfektion ergibt sich die Anzahl der Viren (in Milliarden) nach folgender Funktionsgleichung:

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> (x: Anzahl der Tage)

Wie bei fast allen Virusinfektionen vergeht auch beim derzeitg kursierenden Coronavirus eine gewisse Zeit von der Ansteckung bis zur Erkrankung (Inkubationszeit). Das Robert Koch-Institut schätzt die Inkubationszeit für SARS-CoV-2 auf 3-5 Tage.

Ein halbes Jahr später hat die Forschung das Medikament „Gibcovid19einenkorb“ entwickelt, um der Ausbreitung des Coronavirus entgegenzuwirken. Die Wirkung des Medikaments bzw. die Abnahme der Viren lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:

<math> g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math>

Dieses Medikament kann erst nach 3 Tagen verabreicht werden, da dann die ersten Symptome auftreten können.

'''a)''' Ein Patient ist mit dem Coronavirus infiziert und bekommt nach 3 Tagen das Medikament verabreicht. Berechne nach wie vielen Tagen (x = a) alle Viren im Körper des Patienten abgestorben sind (Runde das Ergebnis sinnvoll).

{{Lösung versteckt|1=
Die Funktion ist aus den Funktionen f(x) und g(x) zusammengesetzt. f(x) ist nun im Zuge der Aufgabe auf das Intervall von <math>[0,3]</math> beschränkt und g(x) auf dem Intervall von <math>[3,a]</math>.
|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
Berechne die NST von g(x).
|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
'''Es handelt sich um eine aus zwei Teilfunktionen zusammengesetzte Funktion:'''

<math> f(x) = \frac{1}{2}x^2</math> , für '''0 ≤ x ≤ 3''' und <math> g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x -9</math> , für '''3 ≤ x ≤ a'''.

'''Bestimme die NST des zweiten Funktionsterms für x≥3:'''

<math> g(x) = 0</math> ↔ <math> \frac{1}{2}x^2 + 6x -9 = 0</math> ↔ <math> x^2 -12x + 18 = 0</math>

'''Anwendung der p/q Formel:'''

<math> x_1 = -6 + \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_1 = 6 + 3 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>10,243</math>

<math> x_2 = -6 - \sqrt{6^2 - 18}</math>, <math> x_2</math> ≈ <math> 1,757</math> < <math>3</math>

'''Antwort: Nach etwa 11 Tagen sind alle Coronaviren gestorben.'''

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

'''b)''' Die Fläche zwischen dem Graphen und der x- Achse ist ein Maß für die schädigende Wirkung der Coronaviren, auch Wirkungsfaktor genannt. Gesundheitliche Schäden können auftreten, wenn der Wert 60 WE (Wirkungseinheiten) überschreitet. Berechne den gesamten Wirkungsfaktor bis zum völligen Abklingen der Krankheit, wenn das Medikament nach 3 Tagen eingenommen wird.

{{Lösung versteckt|1=
Es gelten die selben Definitionsbereiche, wie in Aufagbenteil a). Für genaueres siehe Tipp 1.
|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

<math> W(x) = \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx + \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx </math>

'''Wir berchnen beide Teilintegrale einzeln:'''

<math> \int_{0}^{3} \frac{1}{2}x^2 dx = \frac{1}{6} \cdot 3^3 - 0 = \frac{9}{2}</math>

<math> \int_{3}^{6 + 3 \cdot \sqrt{2}} (\frac{1}{2}x^2 + 6x -9) dx = [-\frac{1}{6} \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^3 + 3 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2})^2 - 9 \cdot (6 + 3 \cdot \sqrt{2}) -(-\frac{1}{6} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3)] = \frac{9}{2} + 18 + 18 \cdot \sqrt{2}</math>

<math> W(x) = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 18 + 18 = 27 + 18 \cdot \sqrt{2}</math> ≈ <math>52,459</math>

'''Antwort: Der Wirkungsfaktor W (x) beträgt etwa 52,456. Er liegt knapp unter der Grenze von 60, so dass mit gesundheitlichen Schäden nicht zu rechnen ist.'''

|2=Lösung|3= Lösung verbergen}}
|2=|3=}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe=#00FF00}}