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Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-19T14:10:53Z

Lara:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-19T13:58:05Z

Lara:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math>:
<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung zu a)
|1=
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

}}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>

}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung zu b)
|1=

Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.

}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-19T13:55:57Z

Lara:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
}}
}}

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math>:
<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung zu a)
|1=
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

}}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>

}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung zu b)
|1=

Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.

}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-19T13:48:13Z

Lara:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg zu a)
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math>:
<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung zu a)
|1=
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

}}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>

}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung zu b)
|1=

Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.

}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-19T13:38:31Z

Lara:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg zu a)
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math>:
<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung zu a)
|1=
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

}}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung zu b)
|1=

Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.

}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-19T13:24:35Z

Lara:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-19T13:19:24Z

Lara:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-19T13:17:15Z

Lara:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-19T13:15:29Z

Lara:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-19T13:11:49Z

Lara:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Beispiel |

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59|7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Benutzer:Lara

2020-05-19T13:10:20Z

Lara:

*Seminar: DiWerS Seminar zur Fachdidaktik
*Projekt: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme]]
*[[Benutzer:Lara / Testseite|Testseite]]
*betreut durch: Lena Frenken & Maurice Krause

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-28T09:08:26Z

Lara:

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Extremwertproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.
}}

|3=Merke
}}

{{Box | 1=Aufgabe | 2=
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1=Aufgabe | 2=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
| 3=Arbeitsmethode}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box|1=Aufgabe
| 2 = Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
| 3 = Arbeitsmethode
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==
{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box| 1=Aufgabe|2=
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-28T09:04:10Z

Lara:

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Extremwertproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.
}}

|3=Merke
}}

{{Box | 1=Aufgabe | 2=
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1=Aufgabe | 2=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
| 3=Arbeitsmethode}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box|1=Aufgabe
| 2 = Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
| 3 = Arbeitsmethode
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==
{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box| 1=Aufgabe|2=
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-28T09:01:33Z

Lara:

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Extremwertproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.
}}

|3=Merke
}}

{{Box | 1=Aufgabe | 2=
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1=Aufgabe | 2=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
| 3=Arbeitsmethode}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box|1=Aufgabe
| 2 = Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
| 3 = Arbeitsmethode
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==
{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box| 1=Aufgabe|2=
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

|2 = Tipp 1|3 = Lösung}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-17T11:36:41Z

Lara:

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Extremwertproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.
}}

|3=Merke
}}

{{Box | 1=Aufgabe | 2=
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1=Aufgabe | 2=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
| 3=Arbeitsmethode}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box|1=Aufgabe
| 2 = Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
| 3 = Arbeitsmethode
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==
{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box| 1=Aufgabe|2=
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}

Benutzer:Lara / Optimierungsprobleme - Funktionsscharen

2020-04-17T11:36:13Z

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2020-04-17T08:29:23Z

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2020-04-17T08:28:56Z

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2020-04-17T08:24:59Z

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2020-04-17T08:23:07Z

Lara:

====Einführung: Optimierungsprobleme====
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

====Optimierungsprobleme & Funktionenscharen====
{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

Benutzer:Lara / Optimierungsprobleme - Funktionsscharen

2020-04-17T08:22:39Z

Lara:

Benutzer:Lara / Optimierungsprobleme - Funktionsscharen

2020-04-17T08:22:16Z

Lara:

====Einführung: Optimierungsprobleme====
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Info}}

====Optimierungsprobleme & Funktionenscharen====
{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}
{{Box|Übung 1|
Bei der Funktion f(x)= bla bestimmt der Parameter a, wie tief der tiefste Punkt bla. Berechne, für welchen Wert|Üben}}

<math>f</math>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-17T08:20:00Z

Lara:

'''Optimierungsprobleme'''

 

====Globales Extremum und Randextremum====
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Arbeitsmehtode}}

{{Box|Aufgabe
| 2 = Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
| 3 = Arbeitsmethode
}}{{Box
| Typ = Arbeitsmethode|Aufgabe|<nowiki>Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius s=10cm soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. </nowiki>|Arbeitsmethode
}}{{Lösung versteckt|Text zum Verstecken|Bezeichnung fürs Anzeigen}}