Jule Volbers/Testseite

2023-05-03T08:31:08Z

Jule Volbers:

2023-05-03T08:09:51Z

Jule Volbers:

Jule Volbers/Testseite

2023-05-03T08:04:35Z

Jule Volbers:

<div style="font-size: 14pt; background-color: #8B8386 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Variablen, Terme und Gleichungen. </div>
[[Datei:Calcul mental.png|300 px|right]]
<br/>

Kaum tauchen Buchstaben auf, wird Mathe für manche kompliziert. Dabei sind '''Variablen, Terme und Gleichungen''' sehr nützliche ud häufig benötigte Werkzeuge, die man sicher nutzen können sollte. In diesem Kapitel geht es darum, grundlegende Begriffe und Verfahren zum Aufstellen und Umformen von Termen sowie dem Lösen von Gleichungen zu wiederholen. Im Anschluss findest kannst du dein Wissen in Anwendungsaufgaben testen. <br/> <br/> <br/>
<s>.</s>
<br/>

=='''1.Terme, Variable und Gleichungen'''==
{{Box|1='''Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!'''|2= Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial.
<div class="lueckentext-quiz">
Variablen sind '''Zeichen''' (meistens kleine Buchstaben). Sie sind '''Platzhalter'''. Du kannst '''Zahlen''' für sie einsetzen. Terme sind '''Rechenausdrücke'''. Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und '''Variablen''' enthalten. Werden zwei '''Terme''' mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine '''Gleichung'''. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Bei '''linearen''' Gleichungen ist die größte Potenz der Varialbe 1, bei '''quadratischen''' Gleichungen 2.
</div>| 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|Begriffstraining |
Teste dein Wissen! {{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pgvznoxrk23}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

=='''2.Terme '''==
=== Terme aufstellen ===

{{Box|Terme in Sachsituationen|Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen. <br/>
Kreuze auch hier den passenden Term an. <br/>
{{H5p-zum|id= 21668|height=250}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

===Terme vereinfachen===

{{Box|Info|Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Du hast die Regeln im Unterricht bereits kennengelernt.|Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Erinnerung: Überflüssige Malpunkte|Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.
{{LearningApp|app=pynxyt0qk20|width=100%|height=350px}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|Info|Überflüssige Malpunkte werden nicht notiert. |Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Terme zusammenfassen|
Vereinfache die Terme soweit wie möglich. Übertrage die Ergebnisse in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir die Tipps an. <br/>
'''Zusammenfassen von Summen:''' <br/>
a) <math>2a+10a+11+7</math> <br/>
b) <math>-4x+5+9x-7</math><br/>
c) <math>3a+5a +7b-2b</math> <br/>
d) <math>-2c+15-4d-3c-5</math> <br/>
e) <math>13x^2+3x+9y-3y</math> <br/>
f) <math> 2x+xy-3y-2xy+2xy^2 </math>

{{Lösung versteckt|1= '''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/>
* Nur gleiche Variablen dürfen zusammengefasst werden.
* Auch die Potenz muss übereinstimmen.
* Die Rechenregeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen müssen beachtet werden.
* Es kann helfen, gleiche Summanden farbig zu markieren.
|2= Tipp 1|3=einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Beispiele: <br/>
1) <math> {\color{blue}b}{\color{red}+a+3a} </math> <math> = {\color{blue}b}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/>
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math>
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math>
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/>
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/>
|2= Tipp 2|3=einklappen}} <br/>

'''Zusammenfassen von Produkten''' <br/>
f) <math> 5{r} 4{r}{s} </math> <br/>
g) <math> 2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3}) </math> <br/>

{{Lösung versteckt|1= '''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/>
* Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/>
* Der Multiplikationspunkt muss nicht notiert werden <math> {2}\cdot {a} </math> = '''2a''' <br/>
* Beachte die Vorzeichen der Faktoren!
|2= Tipp 3|3=einklappen}}

|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
<br />
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>2a+10a+11+7</math> = <math>12a+18</math> <br/>
b) <math>-4x+5+9x-7</math>= <math>5x-2</math> <br/>
c) <math>3a+5a+7b-2b</math> = <math>8a+5b</math> <br/>
d) <math>-2c+15-4d-3c-5</math>= <math>-5c-4d+10</math> <br/>
e) <math>13x^2+3x+9y-3y</math>= <math>13x^2+3x+6y</math> <br/>
f) <math> 5{r}4{r}{s}</math>
<math> = 5 \cdot 4 {r} {r} {s} </math> <math> = 20 {r^2}{s} </math> <br/>
g) <math> 2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3}) </math> <math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) {x} {x^2} {y} {y^3} </math> <math> = 42{x^3}{y^4} </math> <br/>
|3=Üben}}

{{Box|Erinnerung|Wichtig: Unterscheide <br/> <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/>
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/>
Denke daran. Es gilt: <br/>
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math> <br/>
<math> + \cdot - </math> ergibt: <math> - </math> <br/> <br/>
Beachte außerdem die Vorfahrtsregeln: '''Potenz- vor - Punkt- vor Strichrechnung''', die '''Klammer''' geht immer vor. |Unterrichtsidee }}

{{Box|Termtraining. |Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=2954651}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

=== Klammern in Termen ===
{{Box|Info|Zunächst geht es um das sogenannte '''Ausmultiplizieren''', das heißt das '''Auflösen von Klammern'''. |Kurzinfo|Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|1 = Auflösen von Klammern|
2 = Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:
[[Datei:Distr1.png|mini]]
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br/>
<math>(b+c){\color{green}a} = b{\color{green}a} + c{\color{green}a} </math>.<br/>
Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.
{{Lösung versteckt|1= Der Flächeninhalt des blauen Rechtecks ist <math> a\cdot b = ab [FE]</math> , der des roten Rechtecks <math> a\cdot c = ac [FE]</math>. Die beiden Rechtecks bilden ein großes Rechteck mit den Seitenlängen <math> a [LE] und (b+c) [LE] </math>. Der Flächeninhalts dieses Rechtecks kann auf 2 Arten berechnet werden: A<sub>groß</sub> = <math> a\cdot (b+c) = a(b+c) [FE]</math> oder durch Addition der beiden Flächeninhalte der kleinen Rechtecke: <math> ab [FE] + ac [FE]</math>. <br/>
Dies ist die Erklärung der ersten Gleichung. Da die Multiplikation kommutativ ist (z.B. ist ab = ba), gilt auch die 2. Gleichung. <br/>
Formulierung in eigenen Worten: Durch Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|mini | links | thumb ]]<br />
Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht: <br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.
|2= Lösung|3=einklappen}}<br />

Erinnerung
# Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn: <math>a(b{\color{red}-}c) = a \cdot b {\color{red}-} a\cdot c </math>
# Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:
<math> {\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.

b)
Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt:
<math> (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd </math>. Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung
[[Datei:Distr2.png|mini]]

{{Lösung versteckt|1= Hier bilden die vier kleinen Rechtecke ein großes Rechteck. Die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke sind:
<math> a\cdot c = ac [FE]</math> (blau), <math> b\cdot c = bc [FE]</math> (lila), <math> a\cdot d = ad [FE]</math> (rot), <math> b\cdot d = bd [FE]</math> (gelb). <br />
Auch hier bilden die kleinen Rechtecke ein großes Rechteck mit den Seitenlängen <math> (a+b) [LE] und (c+d) [LE].</math> <br />
Der Flächeninhalt des großen Rechtecks lässt sich wieder auf zwei Arten berechnen: A<sub>groß</sub> = <math> (a+b)\cdot (c+d) = (a+b)(c+d) [FE]</math> oder durch Addition der vier Flächeninhalte der kleinen Rechtecke: <math> ac [FE] + ad [FE] + bc [FE] + bd [FE ]</math>. <br />
Formulierung in eigenen Worten: Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links| thumb]] <br /> <br />
Es ist
<math> (2+3) (7-2) = 5 \cdot 5 = 25 </math>
<math>(2+3)(7-2) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 7 - 3 \cdot 2 = 14 - 4 + 21 - 6 = 25 </math>
<br /> <br /> <br /> <br />
|2= Lösung|3=einklappen}}<br />

{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}
|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1 = Merke: Auflösen von Klammern|2 = Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitheft.
<div class="lueckentext-quiz">
Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine '''Klammer aufzulösen'''. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer '''multipliziert'''. <br />
<math> {\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.
Diese Regel nennt man '''Distributivgesetz'''. <br /> Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht: <br />
<math>(b+c) {\color{green}a} = b{\color{green}a} + c{\color{green}a}
= {\color{green}a}b + {\color{green}a}c = {\color{green}a}(b+c) </math> <br />
Steht ein '''negativer Faktor''' vor der Klammer, '''drehen''' sich die Vorzeichen beim Auflösen der Klammer herum:
- a(b - c) = '''-''' ab ''' + ''' ac.
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden''' der ersten Klammer mit '''jedem Summanden''' der zweiten Klammer '''multipliziert:'''
<math>(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd</math>.
</div>
|3 = Merksatz}}

{{Box|1 = Training zum Ausmultiplizieren |2 =In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.
<div class="lueckentext-quiz">
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br />
d) <math> (2x+5)(3x-7) = </math> '''<math> 6x^2+x-35 </math>''' <br />
d) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br />
</div>
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|Info|Jetzt geht es um den umgekehrten Weg. Beim '''Ausklammern''' wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt, es werden also '''Klammern hinzugefügt'''.
Dies ist nur dann möglich, wenn die Summanden '''gemeinsame Faktoren''' haben.|Kurzinfo|Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|1=Ausklammern|2 = Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summanden und klammere diese dann aus. Achtung: Du musst <u>alle</u> gemeinsamen Faktoren ausklammern.
Wenn du dir unsicher bist, schaue dir zuerst das Beispiel an.
Übertrage die Ergebnisse nach der Kontrolle in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.

{{Lösung versteckt|1= 8x + 12xy<br>
= <span style="color:red">4x</span>⋅2 + <span style="color:red">4x</span>⋅3y<br>
= <span style="color:red">4x</span>⋅(2 + 3y)
|2=Beispiel |3=Beispiel ausblenden}}

{{LearningApp|app=p5pcm6z0a20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p1on72s7319|width=100%|height=400px}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

== '''3. Gleichungen''' ==

{{Box|Idee|Lineare und quadratische Gleichungen. Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:
<math> x^1=x </math>.
Ihre einfachste Form ist: <math> a x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.
Eine '''quadratische Gleichung''' ist eine Gleichung 2. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 2. Zum Beispiel: <math> x^2 = 9 </math> oder <math> 2x^2 +5x - 8 = 0 </math>. Die Verfahren zur Lösung solcher Gleichungen sollst du jetzt wiederholen.
|Unterrichtsidee }}

{{Box|1 = Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen| 2 = Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen hast du bereits kennengelernt. Die folgende Learning-App hilft dir, dich zu erinnern.
{{LearningApp|app=p3j3a7sia23|width=100%|height=400px}}
|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1 = Merke|2 = '''<big>Vorgehensweise zum Lösen von Gleichungen </big>'''
Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge, übertrage diese dann in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.
<div class="lueckentext-quiz">
# '''Löse die Klammern auf.'''
# '''Fasse die Terme auf beiden Seiten zusammen.'''
# '''Bringe die Summanden mit Variablen und die Summanden ohne Variablen jeweils auf eine Seite, fasse sie zusammen bzw. ordne sie.'''
# '''Dividiere durch den Faktor vor der Variable.'''
</div>
Beispiel: <br>
[[Datei:Beispiel Gleichung Merkkasten.jpg]]
|3 = Merksatz}}

{{Box|1 = Training: lineare Gleichungen lösen |2= Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt. <br />
'''a)''' <math>2a-64=5+a</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 2a-64 &=5+a & &\mid +64-a\\
\Leftrightarrow & & a &=69 \\
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\
\Leftrightarrow & & 5 &=5
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''b)''' <math>2x+7=16-x</math>
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16-x & &\mid -7+x\\
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\
\Leftrightarrow & & x &=3\\
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\
\Leftrightarrow & & 16 &=16
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''c)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math>
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & -1 &=1
\end{align}</math>
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''d)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math>
{{Lösung versteckt|1=Forme so um, dass 2x im Zähler steht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\
& & \mathbb{L}=\{1\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''e)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math>
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:

<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\
& & \mathbb{L}=\{0,5\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math>
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|Info|Auch für die Lösung quadratischer Gleichungen hast du Verfahren kennengelernt. Die Aufgaben helfen dir dabei, diese zu wiederholen. |Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|1 = Einfache quadratische Gleichungen|2=
Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a) <math>0=x^2-64</math>

b) <math> x^2+25 = 0 </math>

c) <math>0=x^2+13x</math>

d) <math>-2x=\frac{1}{2}x^2</math>

e) <math>(x-2)^2 = 9</math>

{{Lösung versteckt|1=zu a und b): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+c</math>, also ohne linearen Summanden <math>bx</math> kannst du die Gleichung umstellen, sodass <math>x^2</math> alleine steht und anschließend - falls möglich - die Wurzel ziehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Erinnere dich: Wann kannst du aus einer Zahl die Wurzel ziehen? |2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+bx</math>, also ohne konstanten Summanden <math>c</math> kannst du <math>x</math> ausklammern.|2=Tipp 4|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Ein Produkt ist genau dann <math>0</math>, wenn einer der beiden Faktoren bereits <math>0</math> ist. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}x} \cdot ({\color{red}x-2})=0</math> bedeutet, dass entweder <math>{\color{blue}x}=0</math> oder <math>{\color{red}x-2}=0</math> gilt.|2=Tipp 5|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu d): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 6|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu e): Ziehe zunächst auf beiden Seiten die Wurzel. Achte auf die positive und negative Lösung. |2=Tipp 7|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
zu a)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2-64 \qquad &&| +64\\
&\Leftrightarrow \qquad & 64 &= x^2 &&| \sqrt{\text{ }}\\
&\Leftrightarrow &\pm 8 &= x &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -8 \text{ oder } x_2=8&&
\end{alignat}
</math>

zu b)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2+25 \qquad &&| -25\\
&\Leftrightarrow \qquad & -25 &= x^2 &&| \ \\
\end{alignat}
</math> <br>
keine Lösung (in den reellen Zahlen)

zu c)
<math>
\begin{alignat}{5}
& & & & 0 &= x^2+13x & & &&| x \text{ ausklammern}\\
&\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= x \cdot (x+13) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+13 \qquad &&|-13\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -13 &= x_2 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -13 &&
\end{alignat}
</math>

zu d)
<math>
\begin{alignat}{5}
& & & & -2x &= \frac{1}{2}x^2 & & &&| +2x\\
&\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= \frac{1}{2}x^2+2x & & &&| \cdot 2\\
&\Leftrightarrow & & & 0 &= x^2+4x & & &&| x \text{ ausklammern}\\
&\Leftrightarrow & & & 0 &= x \cdot (x+4) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+4 \qquad &&|-4\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -4 &= x_2 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -4 &&
\end{alignat}
</math>

zu e)
<math>\begin{array}{lcl} (x-2)^2 & = & 9 \mid\surd \\ x-2 & = & 3 \lor x-2 & = & -3 \\\Leftrightarrow x & = & 5 \lor x & = & -1\end{array}</math>

|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}

|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1=Quadratische Gleichungen mit p-q-Formel| 2 = Löse die quadratischen Gleichungen. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a) <math>0=x^2+12x+27</math>

b) <math>0=x^2+6x-7</math>

c) <math>16x=x^2-17</math>

{{Lösung versteckt|1=Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form <math>0=x^2+px+q</math>, lies dann <math>p</math> und <math>q</math> ab und bestimme die Lösung mit <math>x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
zu a)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2+12x+27 &&| p=12, q=27\\
&\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{12}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2-27} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow & x &= -6 \pm 3 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=3 &&
\end{alignat}
</math>

zu b)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2+6x-7 &&| p=6, q=-7\\
&\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-7)} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow & x &= -3 \pm 4 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -7 \text{ oder } x_2=1 &&
\end{alignat}
</math>

zu c)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 16x &= x^2-17 &&| -16x\\
&\Leftrightarrow \qquad & 0 &= x^2-16x-17 &&| p=-16, q=-17\\
&\Leftrightarrow & x &= -\frac{-16}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-16}{2}\right)^2-(-17)} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow & x &= 8 \pm 9 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=17 &&
\end{alignat}
</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

=='''4. Aufgaben zum Trainieren '''==

{{Box|Info| Die folgenden Aufgaben sind thematisch geordnet. Du darfst über die Reihenfolge der Bearbeitung frei entscheiden. Du musst nicht alle Aufgaben schaffen. Verwende für die Lösung der Aufgaben ein Extrablatt. |Kurzinfo| |Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Finde die gesuchte Zahl|
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und ermittle die gesuchte Zahl (Extrablatt). Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.
{{Lösung versteckt|1=Die Variable x ist die gesuchte Zahl. Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1= Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math>

Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.

Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.

Wir erhalten also die Gleichung:
<math>2x+12=4x</math>.

Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}
</math>

Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.

Probe:
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung
|3=Lösung ausblenden}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|Alter der Mutter |Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Ermittle, wie alt Leon und seine Mutter heute sind (Extrablatt). Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.

Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:

<math>\begin{align}\\
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\

\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\

\Leftrightarrow & & L=12
\end{align}</math>

Leon ist heute also 12 Jahre alt.
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:

<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math>

Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.

Probe erste Gleichung:

<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\
\Leftrightarrow & & 36=36 &
\end{align}</math>

Probe zweite Gleichung:

<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\

\Leftrightarrow & & 48=48 &
\end{align}</math>
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung
|3=Lösung ausblenden}}

|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|1 = Flächeninhalt |2= Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.

{{LearningApp|app=pxj3hfqot18|width=100%|height=400px}}

{{Lösung versteckt|1=Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?|2= Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.|2=Tipp 3|3=schließen}}
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box |Zwei-Felder-Ball-Feld |

[[Datei:269A89E6-8A5A-4969-B953-21A412026976.jpg|200px|Zwei-Felder-Ball-Feld|rechts]]Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen? Nutze zur Rechnung ein Extrablatt. Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.

{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>.

Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden.

Diese Gleichung können wir lösen:

<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\
\Leftrightarrow & & x &=9
\end{align} </math>

Probe:

<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\
\end{align}</math>
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
| Üben | Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|1 = Schafweiden |2= Landwirt Mertens hat bisher eine quadratische Weide für seine paar Schafe. Da nun an dieser Stelle eine Landstraße ausgebaut werden soll, fragt die Stadt den Landwirt, ob er ein flächengleiches, rechteckiges Grundstück auf der anderen Seite seines Bauernhofes gegen seine quadratische Weide tauschen würde. Diese Weide ist zwar vier Meter kürzer, dafür aber sechs Meter länger.

Landwirt Mertens überlegt:

[[Datei:Weide Landwirt.png|Weide_Landwirt.png|600px]]

# Hilf ihm und finde die Maße (Seitenlängen und Flächeninhalte) der Weiden heraus. Nutze zur Rechnung ein Extrablatt. Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein. Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, schaue dir nach und nach die Tipps unten an.
{{Lösung versteckt|1= '''Was ist gegeben?'''

zwei flächengleiche Flächen (Quadrat und Rechteck). Wähle die Variable x = Seitenlänge der quadratischen Fläche

x = Seitenlänge der quadratischen Weide
|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1= Drücke die Seitenlängen der rechteckigen Weidefläche mit Hilfe von x aus. Stelle dann eine passende Gleichung auf.

|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1= Die beiden Weiden sind '''flächengleich''', d.h. ihr Flächeninhalt ist gleich.

Benutze zum Aufstellen der Gleichung die Formeln für die Berechnung des '''Flächeninhaltes eines Quadrats und eines Rechtecks'''.

[[Datei:Fläche Rechteck und Quadrat.jpg]]
|2=Tipp 3|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Beide Flächen sind gleich groß, daher lautet die Gleichung:

'''x² = (x – 4) (x + 6) '''

Versuche nun x zu berechnen. Löse hierfür zunächst die Klammern auf.
|2=Tipp 4|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Die korrekte Gleichung lautet: x² = (x-4)(x+6). <br>

<math>\begin{array}{lcl} x^2 & = & (x-4)(x+6) \\\Leftrightarrow x^2 & = & x^2-4x+6x-24 \\\Leftrightarrow x^2 & = & x^2+2x -24 \mid -x^2\\\Leftrightarrow 0 & = & 2x-24 \mid +24 \\\Leftrightarrow 24 & = & 2x\mid: 2\\\Leftrightarrow 12 & = & x \end{array}</math>

Du hast nun herausgefunden, dass die Länge und Breite der quadratischen Weide je 12m beträgt.
Damit kannst du jetzt die Seitenlängen der rechteckigen Weide berechnen.
* 12 - 4 = 8 (eine Seitenlänge des Rechtecks)
* 12 + 6 = 18 (andere Seitenlänge des Rechtecks)
Beide Weiden haben einen Flächeninhalt von 144 m²
<math>12^2 = 144 = 8\cdot18</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|1 = Dreieck |2= Die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes unterscheiden sich um 1 cm. Wie lang sind die Katheten, wenn die Hypotenuse 5 cm lang ist? Nutze zur Lösung ein Extrablatt. Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein. Nutze die Tipps, wenn du nicht weiterweißt.
{{Lösung versteckt|1=Wähle als Variable x: Länge einer Kathete.|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Nutze den Satz des Pythagoras. Fertige hierzu eine Skizze an.|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=x: Länge der kürzeren Kathete. Dann ist (x+1) die Länge der längeren Kathete.<br> Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
<math>\begin{array}{lcl} x^2 + (x+1)^2 & = & 25 \\\Leftrightarrow x^2+x^2+2x+1 & = & 25\\\Leftrightarrow 2x^2+2x+1 & = & 25\mid-25 \\\Leftrightarrow 2x^2+2x-24 & = & 0\mid : 2\\\Leftrightarrow x^2+x - 12 & = & 0\mid pq-Formel \\\Leftrightarrow x & = & -0,5+3,5 \lor x & = & -0,5-3,5\\\Leftrightarrow x & = & 3 \lor x & = & -4 \end{array}</math>
Die Lösung x = -4 ist im Sachzusammenhang nicht möglich. Also ist die kürzere Kathete 3 cm lang, die längere 4 cm.
|2=Lösung |3= Lösung ausblenden}}

|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

Jule Volbers/Testseite

2023-05-03T08:03:26Z

Jule Volbers:

<div style="font-size: 14pt; background-color: #8B8386 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Variablen, Terme und Gleichungen. </div>
[[Datei:Calcul mental.png|300 px|right]]
<br/>

Kaum tauchen Buchstaben auf, wird Mathe für manche kompliziert. Dabei sind '''Variablen, Terme und Gleichungen''' sehr nützliche ud häufig benötigte Werkzeuge, die man sicher nutzen können sollte. In diesem Kapitel geht es darum, grundlegende Begriffe und Verfahren zum Aufstellen und Umformen von Termen sowie dem Lösen von Gleichungen zu wiederholen. Im Anschluss findest kannst du dein Wissen in Anwendungsaufgaben testen. <br/> <br/> <br/>
<s>.</s>
<br/>

=='''1.Terme, Variable und Gleichungen'''==
{{Box|1='''Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!'''|2= Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial.
<div class="lueckentext-quiz">
Variablen sind '''Zeichen''' (meistens kleine Buchstaben). Sie sind '''Platzhalter'''. Du kannst '''Zahlen''' für sie einsetzen. Terme sind '''Rechenausdrücke'''. Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und '''Variablen''' enthalten. Werden zwei '''Terme''' mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine '''Gleichung'''. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Bei '''linearen''' Gleichungen ist die größte Potenz der Varialbe 1, bei '''quadratischen''' Gleichungen 2.
</div>| 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|Begriffstraining |
Teste dein Wissen! {{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pgvznoxrk23}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

=='''2.Terme '''==
=== Terme aufstellen ===

{{Box|Terme in Sachsituationen|Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen. <br/>
Kreuze auch hier den passenden Term an. <br/>
{{H5p-zum|id= 21668|height=250}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

===Terme vereinfachen===

{{Box|Info|Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Du hast die Regeln im Unterricht bereits kennengelernt.|Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Erinnerung: Überflüssige Malpunkte|Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.
{{LearningApp|app=pynxyt0qk20|width=100%|height=350px}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|Info|Überflüssige Malpunkte werden nicht notiert. |Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Terme zusammenfassen|
Vereinfache die Terme soweit wie möglich. Übertrage die Ergebnisse in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir die Tipps an. <br/>
'''Zusammenfassen von Summen:''' <br/>
a) <math>2a+10a+11+7</math> <br/>
b) <math>-4x+5+9x-7</math><br/>
c) <math>3a+5a +7b-2b</math> <br/>
d) <math>-2c+15-4d-3c-5</math> <br/>
e) <math>13x^2+3x+9y-3y</math> <br/>
f) <math> 2x+xy-3y-2xy+2xy^2 </math>

{{Lösung versteckt|1= '''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/>
* Nur gleiche Variablen dürfen zusammengefasst werden.
* Auch die Potenz muss übereinstimmen.
* Die Rechenregeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen müssen beachtet werden.
* Es kann helfen, gleiche Summanden farbig zu markieren.
|2= Tipp 1|3=einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Beispiele: <br/>
1) <math> {\color{blue}b}{\color{red}+a+3a} </math> <math> = {\color{blue}b}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/>
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math>
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math>
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/>
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/>
|2= Tipp 2|3=einklappen}} <br/>

'''Zusammenfassen von Produkten''' <br/>
f) <math> 5{r} 4{r}{s} </math> <br/>
g) <math> 2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3}) </math> <br/>

{{Lösung versteckt|1= '''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/>
* Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/>
* Der Multiplikationspunkt muss nicht notiert werden <math> {2}\cdot {a} </math> = '''2a''' <br/>
* Beachte die Vorzeichen der Faktoren!
|2= Tipp 3|3=einklappen}}

|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
<br />
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>2a+10a+11+7</math> = <math>12a+18</math> <br/>
b) <math>-4x+5+9x-7</math>= <math>5x-2</math> <br/>
c) <math>3a+5a+7b-2b</math> = <math>8a+5b</math> <br/>
d) <math>-2c+15-4d-3c-5</math>= <math>-5c-4d+10</math> <br/>
e) <math>13x^2+3x+9y-3y</math>= <math>13x^2+3x+6y</math> <br/>
f) <math> 5{r}4{r}{s}</math>
<math> = 5 \cdot 4 {r} {r} {s} </math> <math> = 20 {r^2}{s} </math> <br/>
g) <math> 2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3}) </math> <math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) {x} {x^2} {y} {y^3} </math> <math> = 42{x^3}{y^4} </math> <br/>
|3=Üben}}

{{Box|Erinnerung|Wichtig: Unterscheide <br/> <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/>
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/>
Denke daran. Es gilt: <br/>
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math> <br/>
<math> + \cdot - </math> ergibt: <math> - </math> <br/> <br/>
Beachte außerdem die Vorfahrtsregeln: '''Potenz- vor - Punkt- vor Strichrechnung''', die '''Klammer''' geht immer vor. |Unterrichtsidee }}

{{Box|Termtraining. |Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=2954651}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

=== Klammern in Termen ===
{{Box|Info|Zunächst geht es um das sogenannte '''Ausmultiplizieren''', das heißt das '''Auflösen von Klammern'''. |Kurzinfo|Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|1 = Auflösen von Klammern|
2 = Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:
[[Datei:Distr1.png|mini]]
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br/>
<math>(b+c){\color{green}a} = b{\color{green}a} + c{\color{green}a} </math>.<br/>
Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.
{{Lösung versteckt|1= Der Flächeninhalt des blauen Rechtecks ist <math> a\cdot b = ab [FE]</math> , der des roten Rechtecks <math> a\cdot c = ac [FE]</math>. Die beiden Rechtecks bilden ein großes Rechteck mit den Seitenlängen <math> a [LE] und (b+c) [LE] </math>. Der Flächeninhalts dieses Rechtecks kann auf 2 Arten berechnet werden: A<sub>groß</sub> = <math> a\cdot (b+c) = a(b+c) [FE]</math> oder durch Addition der beiden Flächeninhalte der kleinen Rechtecke: <math> ab [FE] + ac [FE]</math>. <br/>
Dies ist die Erklärung der ersten Gleichung. Da die Multiplikation kommutativ ist (z.B. ist ab = ba), gilt auch die 2. Gleichung. <br/>
Formulierung in eigenen Worten: Durch Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|mini | links | thumb ]]<br />
Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht: <br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.
|2= Lösung|3=einklappen}}<br />

Erinnerung
# Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn: <math>a(b{\color{red}-}c) = a \cdot b {\color{red}-} a\cdot c </math>
# Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:
<math> {\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.

b)
Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt:
<math> (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd </math>. Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung
[[Datei:Distr2.png|mini]]

{{Lösung versteckt|1= Hier bilden die vier kleinen Rechtecke ein großes Rechteck. Die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke sind:
<math> a\cdot c = ac [FE]</math> (blau), <math> b\cdot c = bc [FE]</math> (lila), <math> a\cdot d = ad [FE]</math> (rot), <math> b\cdot d = bd [FE]</math> (gelb). <br />
Auch hier bilden die kleinen Rechtecke ein großes Rechteck mit den Seitenlängen <math> (a+b) [LE] und (c+d) [LE].</math> <br />
Der Flächeninhalt des großen Rechtecks lässt sich wieder auf zwei Arten berechnen: A<sub>groß</sub> = <math> (a+b)\cdot (c+d) = (a+b)(c+d) [FE]</math> oder durch Addition der vier Flächeninhalte der kleinen Rechtecke: <math> ac [FE] + ad [FE] + bc [FE] + bd [FE ]</math>. <br />
Formulierung in eigenen Worten: Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links| thumb]] <br /> <br />
Es ist
<math> (2+3) (7-2) = 5 \cdot 5 = 25 </math>
<math>(2+3)(7-2) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 7 - 3 \cdot 2 = 14 - 4 + 21 - 6 = 25 </math>
<br /> <br /> <br /> <br />
|2= Lösung|3=einklappen}}<br />

{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}
|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1 = Merke: Auflösen von Klammern|2 = Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitheft.
<div class="lueckentext-quiz">
Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine '''Klammer aufzulösen'''. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer '''multipliziert'''. <br />
<math> {\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.
Diese Regel nennt man '''Distributivgesetz'''. <br /> Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht: <br />
<math>(b+c) {\color{green}a} = b{\color{green}a} + c{\color{green}a}
= {\color{green}a}b + {\color{green}a}c = {\color{green}a}(b+c) </math> <br />
Steht ein '''negativer Faktor''' vor der Klammer, '''drehen''' sich die Vorzeichen beim Auflösen der Klammer herum:
- a(b - c) = '''-''' ab ''' + ''' ac.
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden''' der ersten Klammer mit '''jedem Summanden''' der zweiten Klammer '''multipliziert:'''
<math>(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd</math>.
</div>
|3 = Merksatz}}

{{Box|1 = Training zum Ausmultiplizieren |2 =In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.
<div class="lueckentext-quiz">
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br />
d) <math> (2x+5)(3x-7) = </math> '''<math> 6x^2+x-35 </math>''' <br />
d) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br />
</div>
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|Info|Jetzt geht es um den umgekehrten Weg. Beim '''Ausklammern''' wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt, es werden also '''Klammern hinzugefügt'''.
Dies ist nur dann möglich, wenn die Summanden '''gemeinsame Faktoren''' haben.|Kurzinfo|Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|1=Ausklammern|2 = Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summanden und klammere diese dann aus. Achtung: Du musst <u>alle</u> gemeinsamen Faktoren ausklammern.
Wenn du dir unsicher bist, schaue dir zuerst das Beispiel an.
Übertrage die Ergebnisse nach der Kontrolle in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.

{{Lösung versteckt|1= 8x + 12xy<br>
= <span style="color:red">4x</span>⋅2 + <span style="color:red">4x</span>⋅3y<br>
= <span style="color:red">4x</span>⋅(2 + 3y)
|2=Beispiel |3=Beispiel ausblenden}}

{{LearningApp|app=p5pcm6z0a20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p1on72s7319|width=100%|height=400px}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

== '''3. Gleichungen''' ==

{{Box|Idee|Lineare und quadratische Gleichungen. Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:
<math> x^1=x </math>.
Ihre einfachste Form ist: <math> a x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.
Eine '''quadratische Gleichung''' ist eine Gleichung 2. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 2. Zum Beispiel: <math> x^2 = 9 </math> oder <math> 2x^2 +5x - 8 = 0 </math>. Die Verfahren zur Lösung solcher Gleichungen sollst du jetzt wiederholen.
|Unterrichtsidee }}

{{Box|1 = Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen| 2 = Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen hast du bereits kennengelernt. Die folgende Learning-App hilft dir, dich zu erinnern.
{{LearningApp|app=p3j3a7sia23|width=100%|height=400px}}
|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1 = Merke|2 = '''<big>Vorgehensweise zum Lösen von Gleichungen </big>'''
Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge, übertrage diese dann in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.
<div class="lueckentext-quiz">
# '''Löse die Klammern auf.'''
# '''Fasse die Terme auf beiden Seiten zusammen.'''
# '''Bringe die Summanden mit Variablen und die Summanden ohne Variablen jeweils auf eine Seite, fasse sie zusammen bzw. ordne sie.'''
# '''Dividiere durch den Faktor vor der Variable.'''
</div>
Beispiel: <br>
[[Datei:Beispiel Gleichung Merkkasten.jpg]]
|3 = Merksatz}}

{{Box|1 = Training: lineare Gleichungen lösen |2= Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt. <br />
'''a)''' <math>2a-64=5+a</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 2a-64 &=5+a & &\mid +64-a\\
\Leftrightarrow & & a &=69 \\
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\
\Leftrightarrow & & 5 &=5
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''b)''' <math>2x+7=16-x</math>
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16-x & &\mid -7+x\\
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\
\Leftrightarrow & & x &=3\\
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\
\Leftrightarrow & & 16 &=16
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''c)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math>
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & -1 &=1
\end{align}</math>
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''d)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math>
{{Lösung versteckt|1=Forme so um, dass 2x im Zähler steht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\
& & \mathbb{L}=\{1\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''e)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math>
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:

<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\
& & \mathbb{L}=\{0,5\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math>
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|Info|Auch für die Lösung quadratischer Gleichungen hast du Verfahren kennengelernt. Die Aufgaben helfen dir dabei, diese zu wiederholen. |Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|1 = Einfache quadratische Gleichungen|2=
Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a) <math>0=x^2-64</math>

b) <math> x^2+25 = 0 </math>

c) <math>0=x^2+13x</math>

d) <math>-2x=\frac{1}{2}x^2</math>

e) <math>(x-2)^2 = 9</math>

{{Lösung versteckt|1=zu a und b): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+c</math>, also ohne linearen Summanden <math>bx</math> kannst du die Gleichung umstellen, sodass <math>x^2</math> alleine steht und anschließend - falls möglich - die Wurzel ziehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Erinnere dich: Wann kannst du aus einer Zahl die Wurzel ziehen? |2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+bx</math>, also ohne konstanten Summanden <math>c</math> kannst du <math>x</math> ausklammern.|2=Tipp 4|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Ein Produkt ist genau dann <math>0</math>, wenn einer der beiden Faktoren bereits <math>0</math> ist. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}x} \cdot ({\color{red}x-2})=0</math> bedeutet, dass entweder <math>{\color{blue}x}=0</math> oder <math>{\color{red}x-2}=0</math> gilt.|2=Tipp 5|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu d): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 6|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu e): Ziehe zunächst auf beiden Seiten die Wurzel. Achte auf die positive und negative Lösung. |2=Tipp 7|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
zu a)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2-64 \qquad &&| +64\\
&\Leftrightarrow \qquad & 64 &= x^2 &&| \sqrt{\text{ }}\\
&\Leftrightarrow &\pm 8 &= x &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -8 \text{ oder } x_2=8&&
\end{alignat}
</math>

zu b)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2+25 \qquad &&| -25\\
&\Leftrightarrow \qquad & -25 &= x^2 &&| \ \\
\end{alignat}
</math> <br>
keine Lösung (in den reellen Zahlen)

zu c)
<math>
\begin{alignat}{5}
& & & & 0 &= x^2+13x & & &&| x \text{ ausklammern}\\
&\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= x \cdot (x+13) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+13 \qquad &&|-13\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -13 &= x_2 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -13 &&
\end{alignat}
</math>

zu d)
<math>
\begin{alignat}{5}
& & & & -2x &= \frac{1}{2}x^2 & & &&| +2x\\
&\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= \frac{1}{2}x^2+2x & & &&| \cdot 2\\
&\Leftrightarrow & & & 0 &= x^2+4x & & &&| x \text{ ausklammern}\\
&\Leftrightarrow & & & 0 &= x \cdot (x+4) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+4 \qquad &&|-4\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -4 &= x_2 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -4 &&
\end{alignat}
</math>

zu e)
<math>\begin{array}{lcl} (x-2)^2 & = & 9 \mid\surd \\ x-2 & = & 3 \lor x-2 & = & -3 \\\Leftrightarrow x & = & 5 \lor x & = & -1\end{array}</math>

|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}

|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1=Quadratische Gleichungen mit p-q-Formel| 2 = Löse die quadratischen Gleichungen. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a) <math>0=x^2+12x+27</math>

b) <math>0=x^2+6x-7</math>

c) <math>16x=x^2-17</math>

{{Lösung versteckt|1=Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form <math>0=x^2+px+q</math>, lies dann <math>p</math> und <math>q</math> ab und bestimme die Lösung mit <math>x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
zu a)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2+12x+27 &&| p=12, q=27\\
&\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{12}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2-27} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow & x &= -6 \pm 3 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=3 &&
\end{alignat}
</math>

zu b)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2+6x-7 &&| p=6, q=-7\\
&\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-7)} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow & x &= -3 \pm 4 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -7 \text{ oder } x_2=1 &&
\end{alignat}
</math>

zu c)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 16x &= x^2-17 &&| -16x\\
&\Leftrightarrow \qquad & 0 &= x^2-16x-17 &&| p=-16, q=-17\\
&\Leftrightarrow & x &= -\frac{-16}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-16}{2}\right)^2-(-17)} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow & x &= 8 \pm 9 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=17 &&
\end{alignat}
</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

=='''4. Aufgaben zum Trainieren '''==

{{Box|Info| Die folgenden Aufgaben sind thematisch geordnet. Du darfst über die Reihenfolge der Bearbeitung frei entscheiden. Du musst nicht alle Aufgaben schaffen. Verwende für die Lösung der Aufgaben ein Extrablatt |Kurzinfo| |Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Finde die gesuchte Zahl|
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und ermittle die gesuchte Zahl (Extrablatt). Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.
{{Lösung versteckt|1=Die Variable x ist die gesuchte Zahl. Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1= Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math>

Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.

Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.

Wir erhalten also die Gleichung:
<math>2x+12=4x</math>.

Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}
</math>

Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.

Probe:
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung
|3=Lösung ausblenden}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|Alter der Mutter |Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Ermittle, wie alt Leon und seine Mutter heute sind (Extrablatt). Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.

Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:

<math>\begin{align}\\
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\

\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\

\Leftrightarrow & & L=12
\end{align}</math>

Leon ist heute also 12 Jahre alt.
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:

<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math>

Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.

Probe erste Gleichung:

<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\
\Leftrightarrow & & 36=36 &
\end{align}</math>

Probe zweite Gleichung:

<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\

\Leftrightarrow & & 48=48 &
\end{align}</math>
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung
|3=Lösung ausblenden}}

|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|1 = Flächeninhalt |2= Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.

{{LearningApp|app=pxj3hfqot18|width=100%|height=400px}}

{{Lösung versteckt|1=Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?|2= Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.|2=Tipp 3|3=schließen}}
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box |Zwei-Felder-Ball-Feld |

[[Datei:269A89E6-8A5A-4969-B953-21A412026976.jpg|200px|Zwei-Felder-Ball-Feld|rechts]]Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen? Nutze zur Rechnung ein Extrablatt. Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.

{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>.

Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden.

Diese Gleichung können wir lösen:

<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\
\Leftrightarrow & & x &=9
\end{align} </math>

Probe:

<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\
\end{align}</math>
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
| Üben | Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|1 = Schafweiden |2= Landwirt Mertens hat bisher eine quadratische Weide für seine paar Schafe. Da nun an dieser Stelle eine Landstraße ausgebaut werden soll, fragt die Stadt den Landwirt, ob er ein flächengleiches, rechteckiges Grundstück auf der anderen Seite seines Bauernhofes gegen seine quadratische Weide tauschen würde. Diese Weide ist zwar vier Meter kürzer, dafür aber sechs Meter länger.

Landwirt Mertens überlegt:

[[Datei:Weide Landwirt.png|Weide_Landwirt.png|600px]]

# Hilf ihm und finde die Maße (Seitenlängen und Flächeninhalte) der Weiden heraus. Nutze zur Rechnung ein Extrablatt. Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein. Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, schaue dir nach und nach die Tipps unten an.
{{Lösung versteckt|1= '''Was ist gegeben?'''

zwei flächengleiche Flächen (Quadrat und Rechteck). Wähle die Variable x = Seitenlänge der quadratischen Fläche

x = Seitenlänge der quadratischen Weide
|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1= Drücke die Seitenlängen der rechteckigen Weidefläche mit Hilfe von x aus. Stelle dann eine passende Gleichung auf.

|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1= Die beiden Weiden sind '''flächengleich''', d.h. ihr Flächeninhalt ist gleich.

Benutze zum Aufstellen der Gleichung die Formeln für die Berechnung des '''Flächeninhaltes eines Quadrats und eines Rechtecks'''.

[[Datei:Fläche Rechteck und Quadrat.jpg]]
|2=Tipp 3|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Beide Flächen sind gleich groß, daher lautet die Gleichung:

'''x² = (x – 4) (x + 6) '''

Versuche nun x zu berechnen. Löse hierfür zunächst die Klammern auf.
|2=Tipp 4|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Die korrekte Gleichung lautet: x² = (x-4)(x+6). <br>

<math>\begin{array}{lcl} x^2 & = & (x-4)(x+6) \\\Leftrightarrow x^2 & = & x^2-4x+6x-24 \\\Leftrightarrow x^2 & = & x^2+2x -24 \mid -x^2\\\Leftrightarrow 0 & = & 2x-24 \mid +24 \\\Leftrightarrow 24 & = & 2x\mid: 2\\\Leftrightarrow 12 & = & x \end{array}</math>

Du hast nun herausgefunden, dass die Länge und Breite der quadratischen Weide je 12m beträgt.
Damit kannst du jetzt die Seitenlängen der rechteckigen Weide berechnen.
* 12 - 4 = 8 (eine Seitenlänge des Rechtecks)
* 12 + 6 = 18 (andere Seitenlänge des Rechtecks)
Beide Weiden haben einen Flächeninhalt von 144 m²
<math>12^2 = 144 = 8\cdot18</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|1 = Dreieck |2= Die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes unterscheiden sich um 1 cm. Wie lang sind die Katheten, wenn die Hypotenuse 5 cm lang ist? Nutze zur Lösung ein Extrablatt. Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein. Nutze die Tipps, wenn du nicht weiterweißt.
{{Lösung versteckt|1=Wähle als Variable x: Länge einer Kathete.|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Nutze den Satz des Pythagoras. Fertige hierzu eine Skizze an.|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=x: Länge der kürzeren Kathete. Dann ist (x+1) die Länge der längeren Kathete.<br> Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
<math>\begin{array}{lcl} x^2 + (x+1)^2 & = & 25 \\\Leftrightarrow x^2+x^2+2x+1 & = & 25\\\Leftrightarrow 2x^2+2x+1 & = & 25\mid-25 \\\Leftrightarrow 2x^2+2x-24 & = & 0\mid : 2\\\Leftrightarrow x^2+x - 12 & = & 0\mid pq-Formel \\\Leftrightarrow x & = & -0,5+3,5 \lor x & = & -0,5-3,5\\\Leftrightarrow x & = & 3 \lor x & = & -4 \end{array}</math>
Die Lösung x = -4 ist im Sachzusammenhang nicht möglich. Also ist die kürzere Kathete 3 cm lang, die längere 4 cm.
|2=Lösung |3= Lösung ausblenden}}

|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

Jule Volbers/Testseite

2023-05-03T08:00:43Z

Jule Volbers:

<div style="font-size: 14pt; background-color: #8B8386 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Variablen, Terme und Gleichungen. </div>
[[Datei:Calcul mental.png|300 px|right]]
<br/>

Kaum tauchen Buchstaben auf, wird Mathe für manche kompliziert. Dabei sind '''Variablen, Terme und Gleichungen''' sehr nützliche ud häufig benötigte Werkzeuge, die man sicher nutzen können sollte. In diesem Kapitel geht es darum, grundlegende Begriffe und Verfahren zum Aufstellen und Umformen von Termen sowie dem Lösen von Gleichungen zu wiederholen. Im Anschluss findest kannst du dein Wissen in Anwendungsaufgaben testen. <br/> <br/> <br/>
<s>.</s>
<br/>

=='''1.Terme, Variable und Gleichungen'''==
{{Box|1='''Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!'''|2= Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial.
<div class="lueckentext-quiz">
Variablen sind '''Zeichen''' (meistens kleine Buchstaben). Sie sind '''Platzhalter'''. Du kannst '''Zahlen''' für sie einsetzen. Terme sind '''Rechenausdrücke'''. Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und '''Variablen''' enthalten. Werden zwei '''Terme''' mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine '''Gleichung'''. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Bei '''linearen''' Gleichungen ist die größte Potenz der Varialbe 1, bei '''quadratischen''' Gleichungen 2.
</div>| 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|Begriffstraining |
Teste dein Wissen! {{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pgvznoxrk23}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

=='''2.Terme '''==
=== Terme aufstellen ===

{{Box|Terme in Sachsituationen|Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen. <br/>
Kreuze auch hier den passenden Term an. <br/>
{{H5p-zum|id= 21668|height=250}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

===Terme vereinfachen===

{{Box|Info|Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Du hast die Regeln im Unterricht bereits kennengelernt.|Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Erinnerung: Überflüssige Malpunkte|Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.
{{LearningApp|app=pynxyt0qk20|width=100%|height=350px}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|Info|Überflüssige Malpunkte werden nicht notiert. |Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Terme zusammenfassen|
Vereinfache die Terme soweit wie möglich. Übertrage die Ergebnisse in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir die Tipps an. <br/>
'''Zusammenfassen von Summen:''' <br/>
a) <math>2a+10a+11+7</math> <br/>
b) <math>-4x+5+9x-7</math><br/>
c) <math>3a+5a +7b-2b</math> <br/>
d) <math>-2c+15-4d-3c-5</math> <br/>
e) <math>13x^2+3x+9y-3y</math> <br/>
f) <math> 2x+xy-3y-2xy+2xy^2 </math>

{{Lösung versteckt|1= '''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/>
* Nur gleiche Variablen dürfen zusammengefasst werden.
* Auch die Potenz muss übereinstimmen.
* Die Rechenregeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen müssen beachtet werden.
* Es kann helfen, gleiche Summanden farbig zu markieren.
|2= Tipp 1|3=einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Beispiele: <br/>
1) <math> {\color{blue}b}{\color{red}+a+3a} </math> <math> = {\color{blue}b}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/>
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math>
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math>
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/>
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/>
|2= Tipp 2|3=einklappen}} <br/>

'''Zusammenfassen von Produkten''' <br/>
f) <math> 5{r} 4{r}{s} </math> <br/>
g) <math> 2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3}) </math> <br/>

{{Lösung versteckt|1= '''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/>
* Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/>
* Der Multiplikationspunkt muss nicht notiert werden <math> {2}\cdot {a} </math> = '''2a''' <br/>
* Beachte die Vorzeichen der Faktoren!
|2= Tipp 3|3=einklappen}}

|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
<br />
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>2a+10a+11+7</math> = <math>12a+18</math> <br/>
b) <math>-4x+5+9x-7</math>= <math>5x-2</math> <br/>
c) <math>3a+5a+7b-2b</math> = <math>8a+5b</math> <br/>
d) <math>-2c+15-4d-3c-5</math>= <math>-5c-4d+10</math> <br/>
e) <math>13x^2+3x+9y-3y</math>= <math>13x^2+3x+6y</math> <br/>
f) <math> 5{r}4{r}{s}</math>
<math> = 5 \cdot 4 {r} {r} {s} </math> <math> = 20 {r^2}{s} </math> <br/>
g) <math> 2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3}) </math> <math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) {x} {x^2} {y} {y^3} </math> <math> = 42{x^3}{y^4} </math> <br/>
|3=Üben}}

{{Box|Erinnerung|Wichtig: Unterscheide <br/> <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/>
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/>
Denke daran. Es gilt: <br/>
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math> <br/>
<math> + \cdot - </math> ergibt: <math> - </math> <br/> <br/>
Beachte außerdem die Vorfahrtsregeln: '''Potenz- vor - Punkt- vor Strichrechnung''', die '''Klammer''' geht immer vor. |Unterrichtsidee }}

{{Box|Termtraining. |Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=2954651}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

=== Klammern in Termen ===
{{Box|Info|Zunächst geht es um das sogenannte '''Ausmultiplizieren''', das heißt das '''Auflösen von Klammern'''. |Kurzinfo|Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|1 = Auflösen von Klammern|
2 = Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:
[[Datei:Distr1.png|mini]]
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br/>
<math>(b+c){\color{green}a} = b{\color{green}a} + c{\color{green}a} </math>.<br/>
Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.
{{Lösung versteckt|1= Der Flächeninhalt des blauen Rechtecks ist <math> a\cdot b = ab [FE]</math> , der des roten Rechtecks <math> a\cdot c = ac [FE]</math>. Die beiden Rechtecks bilden ein großes Rechteck mit den Seitenlängen <math> a [LE] und (b+c) [LE] </math>. Der Flächeninhalts dieses Rechtecks kann auf 2 Arten berechnet werden: A<sub>groß</sub> = <math> a\cdot (b+c) = a(b+c) [FE]</math> oder durch Addition der beiden Flächeninhalte der kleinen Rechtecke: <math> ab [FE] + ac [FE]</math>. <br/>
Dies ist die Erklärung der ersten Gleichung. Da die Multiplikation kommutativ ist (z.B. ist ab = ba), gilt auch die 2. Gleichung. <br/>
Formulierung in eigenen Worten: Durch Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|mini | links | thumb ]]<br />
Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht: <br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.
|2= Lösung|3=einklappen}}<br />

Erinnerung
# Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn: <math>a(b{\color{red}-}c) = a \cdot b {\color{red}-} a\cdot c </math>
# Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:
<math> {\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.

b)
Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt:
<math> (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd </math>. Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung
[[Datei:Distr2.png|mini]]

{{Lösung versteckt|1= Hier bilden die vier kleinen Rechtecke ein großes Rechteck. Die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke sind:
<math> a\cdot c = ac [FE]</math> (blau), <math> b\cdot c = bc [FE]</math> (lila), <math> a\cdot d = ad [FE]</math> (rot), <math> b\cdot d = bd [FE]</math> (gelb). <br />
Auch hier bilden die kleinen Rechtecke ein großes Rechteck mit den Seitenlängen <math> (a+b) [LE] und (c+d) [LE].</math> <br />
Der Flächeninhalt des großen Rechtecks lässt sich wieder auf zwei Arten berechnen: A<sub>groß</sub> = <math> (a+b)\cdot (c+d) = (a+b)(c+d) [FE]</math> oder durch Addition der vier Flächeninhalte der kleinen Rechtecke: <math> ac [FE] + ad [FE] + bc [FE] + bd [FE ]</math>. <br />
Formulierung in eigenen Worten: Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links| thumb]] <br /> <br />
Es ist
<math> (2+3) (7-2) = 5 \cdot 5 = 25 </math>
<math>(2+3)(7-2) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 7 - 3 \cdot 2 = 14 - 4 + 21 - 6 = 25 </math>
<br /> <br /> <br /> <br />
|2= Lösung|3=einklappen}}<br />

{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}
|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1 = Merke: Auflösen von Klammern|2 = Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitheft.
<div class="lueckentext-quiz">
Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine '''Klammer aufzulösen'''. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer '''multipliziert'''. <br />
<math> {\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.
Diese Regel nennt man '''Distributivgesetz'''. <br /> Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht: <br />
<math>(b+c) {\color{green}a} = b{\color{green}a} + c{\color{green}a}
= {\color{green}a}b + {\color{green}a}c = {\color{green}a}(b+c) </math> <br />
Steht ein '''negativer Faktor''' vor der Klammer, '''drehen''' sich die Vorzeichen beim Auflösen der Klammer herum:
- a(b - c) = '''-''' ab ''' + ''' ac.
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden''' der ersten Klammer mit '''jedem Summanden''' der zweiten Klammer '''multipliziert:'''
<math>(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd</math>.
</div>
|3 = Merksatz}}

{{Box|1 = Training zum Ausmultiplizieren |2 =In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.
<div class="lueckentext-quiz">
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br />
d) <math> (2x+5)(3x-7) = </math> '''<math> 6x^2+x-35 </math>''' <br />
d) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br />
</div>
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|Info|Jetzt geht es um den umgekehrten Weg. Beim '''Ausklammern''' wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt, es werden also '''Klammern hinzugefügt'''.
Dies ist nur dann möglich, wenn die Summanden '''gemeinsame Faktoren''' haben.|Kurzinfo|Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|1=Ausklammern|2 = Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summenden und klammere diese dann aus. Achtung: Du musst <u>alle</u> gemeinsamen Faktoren ausklammern.
Wenn du dir unsicher bist, schaue dir zuerst das Beispiel an.
Übertrage die Ergebnisse nach der Kontrolle in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.

{{Lösung versteckt|1= 8x + 12xy<br>
= <span style="color:red">4x</span>⋅2 + <span style="color:red">4x</span>⋅3y<br>
= <span style="color:red">4x</span>⋅(2 + 3y)
|2=Beispiel |3=Beispiel ausblenden}}

{{LearningApp|app=p5pcm6z0a20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p1on72s7319|width=100%|height=400px}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

== '''3. Gleichungen''' ==

{{Box|Idee|Lineare und quadratische Gleichungen. Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:
<math> x^1=x </math>.
Ihre einfachste Form ist: <math> a x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.
Eine '''quadratische Gleichung''' ist eine Gleichung 2. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 2. Zum Beispiel: <math> x^2 = 9 </math> oder <math> 2x^2 +5x - 8 = 0 </math>. Die Verfahren zur Lösung solcher Gleichungen sollst du jetzt wiederholen.
|Unterrichtsidee }}

{{Box|1 = Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen| 2 = Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen hast du bereits kennengelernt. Die folgende Learning-App hilft dir, dich zu erinnern.
{{LearningApp|app=p3j3a7sia23|width=100%|height=400px}}
|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1 = Merke|2 = '''<big>Vorgehensweise zum Lösen von Gleichungen </big>'''
Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge, übertrage diese dann in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.
<div class="lueckentext-quiz">
# '''Löse die Klammern auf.'''
# '''Fasse die Terme auf beiden Seiten zusammen.'''
# '''Bringe die Summanden mit Variablen und die Summanden ohne Variablen jeweils auf eine Seite, fasse sie zusammen bzw. ordne sie.'''
# '''Dividiere durch den Faktor vor der Variable.'''
</div>
Beispiel: <br>
[[Datei:Beispiel Gleichung Merkkasten.jpg]]
|3 = Merksatz}}

{{Box|1 = Training: lineare Gleichungen lösen |2= Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt. <br />
'''a)''' <math>2a-64=5+a</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 2a-64 &=5+a & &\mid +64-a\\
\Leftrightarrow & & a &=69 \\
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\
\Leftrightarrow & & 5 &=5
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''b)''' <math>2x+7=16-x</math>
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16-x & &\mid -7+x\\
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\
\Leftrightarrow & & x &=3\\
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\
\Leftrightarrow & & 16 &=16
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''c)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math>
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & -1 &=1
\end{align}</math>
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''d)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math>
{{Lösung versteckt|1=Forme so um, dass 2x im Zähler steht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\
& & \mathbb{L}=\{1\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''e)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math>
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:

<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\
& & \mathbb{L}=\{0,5\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math>
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|Info|Auch für die Lösung quadratischer Gleichungen hast du Verfahren kennengelernt. Die Aufgaben helfen dir dabei, diese zu wiederholen. |Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|1 = Einfache quadratische Gleichungen|2=
Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a) <math>0=x^2-64</math>

b) <math> x^2+25 = 0 </math>

c) <math>0=x^2+13x</math>

d) <math>-2x=\frac{1}{2}x^2</math>

e) <math>(x-2)^2 = 9</math>

{{Lösung versteckt|1=zu a und b): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+c</math>, also ohne linearen Summanden <math>bx</math> kannst du die Gleichung umstellen, sodass <math>x^2</math> alleine steht und anschließend - falls möglich - die Wurzel ziehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Erinnere dich: Wann kannst du aus einer Zahl die Wurzel ziehen? |2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+bx</math>, also ohne konstanten Summanden <math>c</math> kannst du <math>x</math> ausklammern.|2=Tipp 4|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Ein Produkt ist genau dann <math>0</math>, wenn einer der beiden Faktoren bereits <math>0</math> ist. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}x} \cdot ({\color{red}x-2})=0</math> bedeutet, dass entweder <math>{\color{blue}x}=0</math> oder <math>{\color{red}x-2}=0</math> gilt.|2=Tipp 5|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu d): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 6|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu e): Ziehe zunächst auf beiden Seiten die Wurzel. Achte auf die positive und negative Lösung. |2=Tipp 7|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
zu a)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2-64 \qquad &&| +64\\
&\Leftrightarrow \qquad & 64 &= x^2 &&| \sqrt{\text{ }}\\
&\Leftrightarrow &\pm 8 &= x &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -8 \text{ oder } x_2=8&&
\end{alignat}
</math>

zu b)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2+25 \qquad &&| -25\\
&\Leftrightarrow \qquad & -25 &= x^2 &&| \ \\
\end{alignat}
</math> <br>
keine Lösung (in den reellen Zahlen)

zu c)
<math>
\begin{alignat}{5}
& & & & 0 &= x^2+13x & & &&| x \text{ ausklammern}\\
&\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= x \cdot (x+13) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+13 \qquad &&|-13\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -13 &= x_2 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -13 &&
\end{alignat}
</math>

zu d)
<math>
\begin{alignat}{5}
& & & & -2x &= \frac{1}{2}x^2 & & &&| +2x\\
&\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= \frac{1}{2}x^2+2x & & &&| \cdot 2\\
&\Leftrightarrow & & & 0 &= x^2+4x & & &&| x \text{ ausklammern}\\
&\Leftrightarrow & & & 0 &= x \cdot (x+4) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+4 \qquad &&|-4\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -4 &= x_2 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -4 &&
\end{alignat}
</math>

zu e)
<math>\begin{array}{lcl} (x-2)^2 & = & 9 \mid\surd \\ x-2 & = & 3 \lor x-2 & = & -3 \\\Leftrightarrow x & = & 5 \lor x & = & -1\end{array}</math>

|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}

|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1=Quadratische Gleichungen mit p-q-Formel| 2 = Löse die quadratischen Gleichungen. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a) <math>0=x^2+12x+27</math>

b) <math>0=x^2+6x-7</math>

c) <math>16x=x^2-17</math>

{{Lösung versteckt|1=Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form <math>0=x^2+px+q</math>, lies dann <math>p</math> und <math>q</math> ab und bestimme die Lösung mit <math>x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
zu a)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2+12x+27 &&| p=12, q=27\\
&\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{12}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2-27} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow & x &= -6 \pm 3 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=3 &&
\end{alignat}
</math>

zu b)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2+6x-7 &&| p=6, q=-7\\
&\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-7)} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow & x &= -3 \pm 4 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -7 \text{ oder } x_2=1 &&
\end{alignat}
</math>

zu c)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 16x &= x^2-17 &&| -16x\\
&\Leftrightarrow \qquad & 0 &= x^2-16x-17 &&| p=-16, q=-17\\
&\Leftrightarrow & x &= -\frac{-16}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-16}{2}\right)^2-(-17)} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow & x &= 8 \pm 9 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=17 &&
\end{alignat}
</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

=='''4. Aufgaben zum Trainieren '''==

{{Box|Info| Die folgenden Aufgaben sind thematisch geordnet. Du darfst über die Reihenfolge der Bearbeitung frei entscheiden. Du musst nicht alle Aufgaben schaffen. Verwende für die Lösung der Aufgaben ein Extrablatt |Kurzinfo| |Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Finde die gesuchte Zahl|
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und ermittle die gesuchte Zahl (Extrablatt). Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.
{{Lösung versteckt|1=Die Variable x ist die gesuchte Zahl. Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1= Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math>

Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.

Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.

Wir erhalten also die Gleichung:
<math>2x+12=4x</math>.

Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}
</math>

Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.

Probe:
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung
|3=Lösung ausblenden}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|Alter der Mutter |Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Ermittle, wie alt Leon und seine Mutter heute sind (Extrablatt). Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.

Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:

<math>\begin{align}\\
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\

\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\

\Leftrightarrow & & L=12
\end{align}</math>

Leon ist heute also 12 Jahre alt.
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:

<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math>

Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.

Probe erste Gleichung:

<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\
\Leftrightarrow & & 36=36 &
\end{align}</math>

Probe zweite Gleichung:

<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\

\Leftrightarrow & & 48=48 &
\end{align}</math>
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung
|3=Lösung ausblenden}}

|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|1 = Flächeninhalt |2= Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.

{{LearningApp|app=pxj3hfqot18|width=100%|height=400px}}

{{Lösung versteckt|1=Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?|2= Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.|2=Tipp 3|3=schließen}}
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box |Zwei-Felder-Ball-Feld |

[[Datei:269A89E6-8A5A-4969-B953-21A412026976.jpg|200px|Zwei-Felder-Ball-Feld|rechts]]Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen? Nutze zur Rechnung ein Extrablatt. Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.

{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>.

Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden.

Diese Gleichung können wir lösen:

<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\
\Leftrightarrow & & x &=9
\end{align} </math>

Probe:

<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\
\end{align}</math>
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
| Üben | Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|1 = Schafweiden |2= Landwirt Mertens hat bisher eine quadratische Weide für seine paar Schafe. Da nun an dieser Stelle eine Landstraße ausgebaut werden soll, fragt die Stadt den Landwirt, ob er ein flächengleiches, rechteckiges Grundstück auf der anderen Seite seines Bauernhofes gegen seine quadratische Weide tauschen würde. Diese Weide ist zwar vier Meter kürzer, dafür aber sechs Meter länger.

Landwirt Mertens überlegt:

[[Datei:Weide Landwirt.png|Weide_Landwirt.png|600px]]

# Hilf ihm und finde die Maße (Seitenlängen und Flächeninhalte) der Weiden heraus. Nutze zur Rechnung ein Extrablatt. Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein. Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, schaue dir nach und nach die Tipps unten an.
{{Lösung versteckt|1= '''Was ist gegeben?'''

zwei flächengleiche Flächen (Quadrat und Rechteck). Wähle die Variable x = Seitenlänge der quadratischen Fläche

x = Seitenlänge der quadratischen Weide
|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1= Drücke die Seitenlängen der rechteckigen Weidefläche mit Hilfe von x aus. Stelle dann eine passende Gleichung auf.

|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1= Die beiden Weiden sind '''flächengleich''', d.h. ihr Flächeninhalt ist gleich.

Benutze zum Aufstellen der Gleichung die Formeln für die Berechnung des '''Flächeninhaltes eines Quadrats und eines Rechtecks'''.

[[Datei:Fläche Rechteck und Quadrat.jpg]]
|2=Tipp 3|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Beide Flächen sind gleich groß, daher lautet die Gleichung:

'''x² = (x – 4) (x + 6) '''

Versuche nun x zu berechnen. Löse hierfür zunächst die Klammern auf.
|2=Tipp 4|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Die korrekte Gleichung lautet: x² = (x-4)(x+6). <br>

<math>\begin{array}{lcl} x^2 & = & (x-4)(x+6) \\\Leftrightarrow x^2 & = & x^2-4x+6x-24 \\\Leftrightarrow x^2 & = & x^2+2x -24 \mid -x^2\\\Leftrightarrow 0 & = & 2x-24 \mid +24 \\\Leftrightarrow 24 & = & 2x\mid: 2\\\Leftrightarrow 12 & = & x \end{array}</math>

Du hast nun herausgefunden, dass die Länge und Breite der quadratischen Weide je 12m beträgt.
Damit kannst du jetzt die Seitenlängen der rechteckigen Weide berechnen.
* 12 - 4 = 8 (eine Seitenlänge des Rechtecks)
* 12 + 6 = 18 (andere Seitenlänge des Rechtecks)
Beide Weiden haben einen Flächeninhalt von 144 m²
<math>12^2 = 144 = 8\cdot18</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|1 = Dreieck |2= Die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes unterscheiden sich um 1 cm. Wie lang sind die Katheten, wenn die Hypotenuse 5 cm lang ist? Nutze zur Lösung ein Extrablatt. Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein. Nutze die Tipps, wenn du nicht weiterweißt.
{{Lösung versteckt|1=Wähle als Variable x: Länge einer Kathete.|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Nutze den Satz des Pythagoras. Fertige hierzu eine Skizze an.|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=x: Länge der kürzeren Kathete. Dann ist (x+1) die Länge der längeren Kathete.<br> Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
<math>\begin{array}{lcl} x^2 + (x+1)^2 & = & 25 \\\Leftrightarrow x^2+x^2+2x+1 & = & 25\\\Leftrightarrow 2x^2+2x+1 & = & 25\mid-25 \\\Leftrightarrow 2x^2+2x-24 & = & 0\mid : 2\\\Leftrightarrow x^2+x - 12 & = & 0\mid pq-Formel \\\Leftrightarrow x & = & -0,5+3,5 \lor x & = & -0,5-3,5\\\Leftrightarrow x & = & 3 \lor x & = & -4 \end{array}</math>
Die Lösung x = -4 ist im Sachzusammenhang nicht möglich. Also ist die kürzere Kathete 3 cm lang, die längere 4 cm.
|2=Lösung |3= Lösung ausblenden}}

|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

Jule Volbers/Testseite

2023-05-03T07:56:45Z

Jule Volbers:

<div style="font-size: 14pt; background-color: #8B8386 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Willkommen auf dem Lernpfad: Nützliche Werkzeuge - Variablen, Terme und Gleichungen. </div>
[[Datei:Calcul mental.png|300 px|right]]
<br/>

Kaum tauchen Buchstaben auf, wird Mathe für manche kompliziert. Dabei sind '''Variablen, Terme und Gleichungen''' sehr nützliche ud häufig benötigte Werkzeuge, die man sicher nutzen können sollte. In diesem Kapitel geht es darum, grundlegende Begriffe und Verfahren zum Aufstellen und Umformen von Termen sowie dem Lösen von Gleichungen zu wiederholen. Im Anschluss findest kannst du dein Wissen in Anwendungsaufgaben testen. <br/> <br/> <br/>
<s>.</s>
<br/>

=='''1.Terme, Variable und Gleichungen'''==
{{Box|1='''Was ist Was?" - Wiederhole die Begriffe!'''|2= Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial.
<div class="lueckentext-quiz">
Variablen sind '''Zeichen''' (meistens kleine Buchstaben). Sie sind '''Platzhalter'''. Du kannst '''Zahlen''' für sie einsetzen. Terme sind '''Rechenausdrücke'''. Terme können Zahlen, Rechenzeichen, Klammern und '''Variablen''' enthalten. Werden zwei '''Terme''' mit einem Gleichheitszeichen verbunden, entsteht eine '''Gleichung'''. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Bei '''linearen''' Gleichungen ist die größte Potenz der Varialbe 1, bei '''quadratischen''' Gleichungen 2.
</div>| 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|Begriffstraining |
Teste dein Wissen! {{LearningApp|width:100%|height:700px|app=pgvznoxrk23}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

=='''2.Terme '''==
=== Terme aufstellen ===

{{Box|Terme in Sachsituationen|Du hast gelernt, Sachsituationen mit Hilfe von Termen zu beschreiben. Hier kannst du dein Wissen testen. <br/>
Kreuze auch hier den passenden Term an. <br/>
{{H5p-zum|id= 21668|height=250}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

===Terme vereinfachen===

{{Box|Info|Terme enthalten unterschiedliche Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manche Teile von Termen kann man zusammenfassen, um so den Term zu vereinfachen. Du hast die Regeln im Unterricht bereits kennengelernt.|Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Erinnerung: Überflüssige Malpunkte|Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen und zwischen einer Zahl oder Variablen und einer Klammer.Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen.
{{LearningApp|app=pynxyt0qk20|width=100%|height=350px}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|Info|Überflüssige Malpunkte werden nicht notiert. |Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Terme zusammenfassen|
Vereinfache die Terme soweit wie möglich. Übertrage die Ergebnisse in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Wenn du dir unsicher bist, schaue dir die Tipps an. <br/>
'''Zusammenfassen von Summen:''' <br/>
a) <math>2a+10a+11+7</math> <br/>
b) <math>-4x+5+9x-7</math><br/>
c) <math>3a+5a +7b-2b</math> <br/>
d) <math>-2c+15-4d-3c-5</math> <br/>
e) <math>13x^2+3x+9y-3y</math> <br/>
f) <math> 2x+xy-3y-2xy+2xy^2 </math>

{{Lösung versteckt|1= '''Beim Zusammenfassen von Summen gilt:''' <br/>
* Nur gleiche Variablen dürfen zusammengefasst werden.
* Auch die Potenz muss übereinstimmen.
* Die Rechenregeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen müssen beachtet werden.
* Es kann helfen, gleiche Summanden farbig zu markieren.
|2= Tipp 1|3=einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Beispiele: <br/>
1) <math> {\color{blue}b}{\color{red}+a+3a} </math> <math> = {\color{blue}b}{\color{red}+4a}</math> <br/> <br/>
2) <math> {\color{orange}2x}{\color{red}+xy}{\color{blue}-3y}{\color{red}-2xy}{\color{green}+2xy^2} </math>
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}+xy-2xy} </math>
<math>= {\color{orange}2x}{\color{blue}-3y^2}{\color{green}+2xy^2}{\color{red}-xy} </math> <br/>
Hier konnten nur die beiden Teile mit <math>{\color{red}xy}</math> zusammengefasst werden, da alle anderen Variablen unterschiedlich sind bzw. in einer anderen Potenz vorkommen. <br/> <br/>
|2= Tipp 2|3=einklappen}} <br/>

'''Zusammenfassen von Produkten''' <br/>
f) <math> 5{r} 4{r}{s} </math> <br/>
g) <math> 2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3}) </math> <br/>

{{Lösung versteckt|1= '''Beim Zusammenfassen von Produkten gilt:''' <br/>
* Es können auch Teile mit unterschiedlichen Potenzen oder Variablen zusammengefasst werden. <br/>
* Der Multiplikationspunkt muss nicht notiert werden <math> {2}\cdot {a} </math> = '''2a''' <br/>
* Beachte die Vorzeichen der Faktoren!
|2= Tipp 3|3=einklappen}}

|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
<br />
{{Lösung versteckt|1=
a) <math>2a+10a+11+7</math> = <math>12a+18</math> <br/>
b) <math>-4x+5+9x-7</math>= <math>5x-2</math> <br/>
c) <math>3a+5a+7b-2b</math> = <math>8a+5b</math> <br/>
d) <math>-2c+15-4d-3c-5</math>= <math>-5c-4d+10</math> <br/>
e) <math>13x^2+3x+9y-3y</math>= <math>13x^2+3x+6y</math> <br/>
f) <math> 5{r}4{r}{s}</math>
<math> = 5 \cdot 4 {r} {r} {s} </math> <math> = 20 {r^2}{s} </math> <br/>
g) <math> 2{x}(-7{x^2y})(-3{y^3}) </math> <math> = 2 \cdot (-7) \cdot (-3) {x} {x^2} {y} {y^3} </math> <math> = 42{x^3}{y^4} </math> <br/>
|3=Üben}}

{{Box|Erinnerung|Wichtig: Unterscheide <br/> <math> (-x) + (-x) = -2x </math> <br/>
<math> (-x) \cdot (-y) = x \cdot y </math> <br/> <br/>
Denke daran. Es gilt: <br/>
<math> + \cdot + </math> ergibt: <math> + </math> <br />
<math> - \cdot - </math> ergibt: <math> + </math> <br />
<math> - \cdot + </math> ergibt: <math> - </math> <br/>
<math> + \cdot - </math> ergibt: <math> - </math> <br/> <br/>
Beachte außerdem die Vorfahrtsregeln: '''Potenz- vor - Punkt- vor Strichrechnung''', die '''Klammer''' geht immer vor. |Unterrichtsidee }}

{{Box|Termtraining. |Füge die zugehörigen Terme zusammen. Du kannst hierfür deinen Stift und Papier nutzen.{{LearningApp|width:75%|height:250px|app=2954651}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

=== Klammern in Termen ===
{{Box|Info|Zunächst geht es um das sogenannte '''Ausmultiplizieren''', das heißt das '''Auflösen von Klammern'''. |Kurzinfo|Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|1 = Auflösen von Klammern|
2 = Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für das Auflösen von Klammern gilt:
[[Datei:Distr1.png|mini]]
<math>{\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.<br/>
<math>(b+c){\color{green}a} = b{\color{green}a} + c{\color{green}a} </math>.<br/>
Formuliere die Regel in eigenen Worten. Wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 5 und c = 3 an. Kontrolliere dann deine Lösung.
{{Lösung versteckt|1= Der Flächeninhalt des blauen Rechtecks ist <math> a\cdot b = ab [FE]</math> , der des roten Rechtecks <math> a\cdot c = ac [FE]</math>. Die beiden Rechtecks bilden ein großes Rechteck mit den Seitenlängen <math> a [LE] und (b+c) [LE] </math>. Der Flächeninhalts dieses Rechtecks kann auf 2 Arten berechnet werden: A<sub>groß</sub> = <math> a\cdot (b+c) = a(b+c) [FE]</math> oder durch Addition der beiden Flächeninhalte der kleinen Rechtecke: <math> ab [FE] + ac [FE]</math>. <br/>
Dies ist die Erklärung der ersten Gleichung. Da die Multiplikation kommutativ ist (z.B. ist ab = ba), gilt auch die 2. Gleichung. <br/>
Formulierung in eigenen Worten: Durch Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer multipliziert.<br />
[[Datei:Ausmultiplizieren 1.png|mini | links | thumb ]]<br />
Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht: <br />
<math>(5+3) \cdot {\color{green}2} = 5 \cdot {\color{green}2} + 3\cdot {\color{green}2} = 10 + 6 = 16</math>.
|2= Lösung|3=einklappen}}<br />

Erinnerung
# Achte darauf, ob in der Klammer eine Summe oder Differenz steht, denn: <math>a(b{\color{red}-}c) = a \cdot b {\color{red}-} a\cdot c </math>
# Bei Minusklammern, also wenn vor der Klammer ein '''negativer Faktor''' steht, drehen sich die Vorzeichen von jedem Glied in der Klammer um:
<math> {\color{red}-}a(b{\color{red}+}c) = {\color{red}-}ab {\color{red}-} ac</math>.
<math>{\color{red}-}a({\color{red}-}b{\color{red}+}c) = ab {\color{red}-} ac</math>.

b)
Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass für die Multiplikation zweier Summen oder Differenzen folgende Regel gilt:
<math> (a+b) (c+d) = ac + ad + bc + bd </math>. Erkläre die Regel in eigenen Worten und wende sie auf das Beispiel a = 2, b = 3, c = 7 und d = -2 an. Kontrolliere dann deine Lösung
[[Datei:Distr2.png|mini]]

{{Lösung versteckt|1= Hier bilden die vier kleinen Rechtecke ein großes Rechteck. Die Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke sind:
<math> a\cdot c = ac [FE]</math> (blau), <math> b\cdot c = bc [FE]</math> (lila), <math> a\cdot d = ad [FE]</math> (rot), <math> b\cdot d = bd [FE]</math> (gelb). <br />
Auch hier bilden die kleinen Rechtecke ein großes Rechteck mit den Seitenlängen <math> (a+b) [LE] und (c+d) [LE].</math> <br />
Der Flächeninhalt des großen Rechtecks lässt sich wieder auf zwei Arten berechnen: A<sub>groß</sub> = <math> (a+b)\cdot (c+d) = (a+b)(c+d) [FE]</math> oder durch Addition der vier Flächeninhalte der kleinen Rechtecke: <math> ac [FE] + ad [FE] + bc [FE] + bd [FE ]</math>. <br />
Formulierung in eigenen Worten: Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert:'''
[[Datei:Ausmultiplizieren 2.png|400px | links| thumb]] <br /> <br />
Es ist
<math> (2+3) (7-2) = 5 \cdot 5 = 25 </math>
<math>(2+3)(7-2) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 7 - 3 \cdot 2 = 14 - 4 + 21 - 6 = 25 </math>
<br /> <br /> <br /> <br />
|2= Lösung|3=einklappen}}<br />

{{Lösung versteckt|1= <math>{\color{green}x} (3 + 2) = 3{\color{green}x} + 2{\color{green}x} = 5{\color{green}x}</math>.
<math>{\color{green}2}(3x - 1) = {\color{green}2} \cdot 3x - {\color{green}2} \cdot 1 = 6x - 2</math>.
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}+}b) = {\color{red}-}a {\color{red}-} b</math>.
<math>{\color{red}-}(a{\color{red}-}b) = {\color{red}-}a {\color{red}+} b</math>.
|2=Bei Bedarf findest du hier weitere Beispiele zum Thema Ausmultiplizieren |3=Verbergen}}
|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1 = Merke: Auflösen von Klammern|2 = Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Klammern in Termen" in deinem Begleitheft.
<div class="lueckentext-quiz">
Das Ausmultiplizieren hat zum Ziel, eine '''Klammer aufzulösen'''. Man multipliziert einen <span style="color: green">'''Faktor'''</span> mit einer Klammer, indem man den Faktor mit jedem einzelnen Glied in der Klammer '''multipliziert'''. <br />
<math> {\color{green}a}(b+c) = {\color{green}a}b + {\color{green}a}c</math>.
Diese Regel nennt man '''Distributivgesetz'''. <br /> Es spielt keine Rolle, ob der Faktor links oder rechts von der Klammer steht: <br />
<math>(b+c) {\color{green}a} = b{\color{green}a} + c{\color{green}a}
= {\color{green}a}b + {\color{green}a}c = {\color{green}a}(b+c) </math> <br />
Steht ein '''negativer Faktor''' vor der Klammer, '''drehen''' sich die Vorzeichen beim Auflösen der Klammer herum:
- a(b - c) = '''-''' ab ''' + ''' ac'''.
Zwei Summen (oder Differenzen) werden miteinander multipliziert, indem man '''jeden Summanden''' der ersten Klammer mit '''jedem Summanden''' der zweiten Klammer '''multipliziert:'''
<math>(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd</math>.
</div>
|3 = Merksatz}}

{{Box|1 = Training zum Ausmultiplizieren |2 =In dieser Aufgabe kannst du das ''Ausmultiplizieren'' üben. Ordne jedem Klammerterm die richtige ausmultiplizierte Lösung zu. Nimm dir einen Zettel für Nebenrechnungen zur Hilfe.
<div class="lueckentext-quiz">
a) <math> (5b+c+3d)\cdot a = </math> '''<math> 5ab+ac+3ad </math>''' <br />
b) <math> (5a+4b)\cdot 4 = </math> '''<math> 16b+20a </math>''' <br />
c) <math> -8(a-2b) = </math> '''<math> 16b-8a </math>''' <br />
d) <math> (2x+5)(3x-7) = </math> '''<math> 6x^2+x-35 </math>''' <br />
d) <math> (5a+10b)(\frac{1}{5}c+2d) = </math> '''<math> ac+10ad+2bc+20bd </math>''' <br />
f) <math> -\frac{1}{2}(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b) = </math> '''<math> -\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}b </math>''' <br />
</div>
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|Info|Jetzt geht es um den umgekehrten Weg. Beim '''Ausklammern''' wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt, es werden also '''Klammern hinzugefügt'''.
Dies ist nur dann möglich, wenn die Summanden '''gemeinsame Faktoren''' haben.|Kurzinfo|Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|1=Ausklammern|2 = Suche in den LearningApps nach gemeinsamen Faktoren der Summenden und klammere diese dann aus. Achtung: Du musst <u>alle</u> gemeinsamen Faktoren ausklammern.
Wenn du dir unsicher bist, schaue dir zuerst das Beispiel an.
Übertrage die Ergebnisse nach der Kontrolle in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.

{{Lösung versteckt|1= 8x + 12xy<br>
= <span style="color:red">4x</span>⋅2 + <span style="color:red">4x</span>⋅3y<br>
= <span style="color:red">4x</span>⋅(2 + 3y)
|2=Beispiel |3=Beispiel ausblenden}}

{{LearningApp|app=p5pcm6z0a20|width=100%|height=400px}}
{{LearningApp|app=p1on72s7319|width=100%|height=400px}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

== '''3. Gleichungen''' ==

{{Box|Idee|Lineare und quadratische Gleichungen. Eine '''lineare Gleichung''' ist eine Gleichung 1. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 1:
<math> x^1=x </math>.
Ihre einfachste Form ist: <math> a x + b = 0 </math>, wobei <math> a </math> und <math> b </math> reelle Zahlen sind
und <math> x </math> eine Variable.
Eine '''quadratische Gleichung''' ist eine Gleichung 2. Grades. Das heißt: Die Variable x hat als Exponenten höchstens die Zahl 2. Zum Beispiel: <math> x^2 = 9 </math> oder <math> 2x^2 +5x - 8 = 0 </math>. Die Verfahren zur Lösung solcher Gleichungen sollst du jetzt wiederholen.
|Unterrichtsidee }}

{{Box|1 = Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen| 2 = Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen hast du bereits kennengelernt. Die folgende Learning-App hilft dir, dich zu erinnern.
{{LearningApp|app=p3j3a7sia23|width=100%|height=400px}}
|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1 = Merke|2 = '''<big>Vorgehensweise zum Lösen von Gleichungen </big>'''
Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge, übertrage diese dann in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft.
<div class="lueckentext-quiz">
# '''Löse die Klammern auf.'''
# '''Fasse die Terme auf beiden Seiten zusammen.'''
# '''Bringe die Summanden mit Variablen und die Summanden ohne Variablen jeweils auf eine Seite, fasse sie zusammen bzw. ordne sie.'''
# '''Dividiere durch den Faktor vor der Variable.'''
</div>
Beispiel: <br>
[[Datei:Beispiel Gleichung Merkkasten.jpg]]
|3 = Merksatz}}

{{Box|1 = Training: lineare Gleichungen lösen |2= Löse die Gleichungen. Führe, wenn möglich, eine Probe durch. Denke daran: Eine Probe kann nur durchgeführt werden, wenn es mindestens eine Lösung für die Gleichung gibt. <br />
'''a)''' <math>2a-64=5+a</math>

{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 2a-64 &=5+a & &\mid +64-a\\
\Leftrightarrow & & a &=69 \\
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 69-64 &=5 \\
\Leftrightarrow & & 69-64 &=5\\
\Leftrightarrow & & 5 &=5
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''b)''' <math>2x+7=16-x</math>
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 3x+7&=16-x & &\mid -7+x\\
\Leftrightarrow & & 3x &=9 & &\mid :3\\
\Leftrightarrow & & x &=3\\
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 3\cdot 3+7&=16\\
\Leftrightarrow & & 9+7 &=16\\
\Leftrightarrow & & 16 &=16
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''c)''' <math>4(x+1)-4x-5=1</math>
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & 4(x+1)-4x-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & 4x+4-4x-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & 4x-4x+4-5 &=1\\
\Leftrightarrow & & -1 &=1
\end{align}</math>
Das ist ein Widerspruch. Deshalb ist die Lösungsmenge leer: <math>\mathbb{L}=\{\}</math>. Hier ist keine Probe durch Einsetzen möglich, weil die Lösungsmenge leer ist.
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''d)''' <math>\frac{1}{2x}=0,5</math>
{{Lösung versteckt|1=Forme so um, dass 2x im Zähler steht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{1}{2x} &=0,5 & & \mid \cdot 2x\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2x} \cdot 2x &= 0,5 \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 1 &=0,5\cdot 2x & & \mid :0,5\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{0,5} &=\frac{0,5}{0,5} \cdot 2x & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 2 &=2x & &\mid :2\\
\Leftrightarrow & & 1 &=x\\
& & \mathbb{L}=\{1\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & \frac{1}{2 \cdot 1} &=0,5 & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{1}{2} &=0,5 & &\\
\Leftrightarrow & & 0,5 &=0,5
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''e)''' <math>d\cdot (d-5)=0</math>
{{Lösung versteckt|1=Überlege dir, was für zwei Faktoren gilt, deren Produkt <math>0</math> ist.|2=Tipp |3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Ein Produkt ist dann <math>0</math>, wenn einer der Faktoren <math>0</math> ist. Deshalb kann man die Aufgabe so lösen:

<math>\begin{align} & & d\cdot (d-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d-5=0\\
\Leftrightarrow & & d=0 &\text{ oder } d=5\\
& & \mathbb{L}=\{0,5\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & 0\cdot (0-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
<math>\begin{align} & & 5\cdot (5-5)&=0\\
\Leftrightarrow & & 5\cdot 0&=0\\
\Leftrightarrow & & 0&=0
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

'''f)''' <math>\frac{3}{z+1}=-\frac{5}{2z-1}</math>
{{Lösung versteckt|1=Versuche die Variablen mit Hilfe der Multiplikation aus dem Nenner zu bekommen.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=<math>\begin{align} & & \frac{3}{z+1} &= - \frac{5}{2z-1} & & \mid \cdot (z+1)\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{z+1} \cdot (z+1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 3 &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} & & \mid \cdot (2z-1)\\
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - \frac{5 \cdot (z+1)}{2z-1} \cdot (2z-1) & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & 3 \cdot (2z-1) &= - 5 \cdot (z+1) & &\\
\Leftrightarrow & & 6z-3 &= -5z-5 & & \mid +5z\\
\Leftrightarrow & & 11z-3 &= -5 & & \mid +3\\
\Leftrightarrow & & 11z &= -2 & & \mid :11\\
\Leftrightarrow & & z &= - \frac{2}{11}\\
& & \mathbb{L}=\{-\frac{2}{11}\}
\end{align}</math>
Probe:
<math>\begin{align} & & \frac{3}{- \frac{2}{11} +1} &= - \frac{5}{2 \cdot (- \frac{2}{11}) -1} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{4}{11} -1} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{3}{\frac{9}{11}} &= - \frac{5}{- \frac{15}{11}} & & \mid \text{mit dem Kehrwert mal nehmen}\\
\Leftrightarrow & & 3 \cdot \frac{11}{9} &= - 5 \cdot - \frac{11}{15} & &\\
\Leftrightarrow & & \frac{33}{9} &= \frac{55}{15} & & \mid \text{kürzen}\\
\Leftrightarrow & & \frac{11}{3} &= \frac{11}{3}
\end{align}</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|Info|Auch für die Lösung quadratischer Gleichungen hast du Verfahren kennengelernt. Die Aufgaben helfen dir dabei, diese zu wiederholen. |Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|1 = Einfache quadratische Gleichungen|2=
Löse die quadratischen Gleichungen '''ohne p-q-Formel'''. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a) <math>0=x^2-64</math>

b) <math> x^2+25 = 0 </math>

c) <math>0=x^2+13x</math>

d) <math>-2x=\frac{1}{2}x^2</math>

e) <math>(x-2)^2 = 9</math>

{{Lösung versteckt|1=zu a und b): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+c</math>, also ohne linearen Summanden <math>bx</math> kannst du die Gleichung umstellen, sodass <math>x^2</math> alleine steht und anschließend - falls möglich - die Wurzel ziehen.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu a): Achte beim Wurzelziehen auf die positive und negative Lösung.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu b): Erinnere dich: Wann kannst du aus einer Zahl die Wurzel ziehen? |2=Tipp 3|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Bei Gleichungen der Form <math>ax^2+bx</math>, also ohne konstanten Summanden <math>c</math> kannst du <math>x</math> ausklammern.|2=Tipp 4|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Ein Produkt ist genau dann <math>0</math>, wenn einer der beiden Faktoren bereits <math>0</math> ist. ''Beispiel:'' <math>{\color{blue}x} \cdot ({\color{red}x-2})=0</math> bedeutet, dass entweder <math>{\color{blue}x}=0</math> oder <math>{\color{red}x-2}=0</math> gilt.|2=Tipp 5|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu d): Stelle um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 6|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu e): Ziehe zunächst auf beiden Seiten die Wurzel. Achte auf die positive und negative Lösung. |2=Tipp 7|3=schließen}}

{{Lösung versteckt|1=
zu a)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2-64 \qquad &&| +64\\
&\Leftrightarrow \qquad & 64 &= x^2 &&| \sqrt{\text{ }}\\
&\Leftrightarrow &\pm 8 &= x &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -8 \text{ oder } x_2=8&&
\end{alignat}
</math>

zu b)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2+25 \qquad &&| -25\\
&\Leftrightarrow \qquad & -25 &= x^2 &&| \ \\
\end{alignat}
</math> <br>
keine Lösung (in den reellen Zahlen)

zu c)
<math>
\begin{alignat}{5}
& & & & 0 &= x^2+13x & & &&| x \text{ ausklammern}\\
&\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= x \cdot (x+13) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+13 \qquad &&|-13\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -13 &= x_2 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -13 &&
\end{alignat}
</math>

zu d)
<math>
\begin{alignat}{5}
& & & & -2x &= \frac{1}{2}x^2 & & &&| +2x\\
&\Leftrightarrow \qquad & & & 0 &= \frac{1}{2}x^2+2x & & &&| \cdot 2\\
&\Leftrightarrow & & & 0 &= x^2+4x & & &&| x \text{ ausklammern}\\
&\Leftrightarrow & & & 0 &= x \cdot (x+4) & & &&| \text{einer der beiden Faktoren muss } 0 \text{ sein}\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 \qquad & \text{ o}&\text{der } & 0 &= x_2+4 \qquad &&|-4\\
&\Leftrightarrow & 0 &= x_1 & \text{ o}&\text{der } & -4 &= x_2 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= 0 & \text{ o}&\text{der } & x_2 &= -4 &&
\end{alignat}
</math>

zu e)
<math>\begin{array}{lcl} (x-2)^2 & = & 9 \mid\surd \\ x-2 & = & 3 \lor x-2 & = & -3 \\\Leftrightarrow x & = & 5 \lor x & = & -1\end{array}</math>

|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}

|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1=Quadratische Gleichungen mit p-q-Formel| 2 = Löse die quadratischen Gleichungen. Nutze hierfür den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitmaterial. Kontrolliere deine Lösung.

a) <math>0=x^2+12x+27</math>

b) <math>0=x^2+6x-7</math>

c) <math>16x=x^2-17</math>

{{Lösung versteckt|1=Verwende die p-q-Formel. Bringe die Gleichung also auf folgende Form <math>0=x^2+px+q</math>, lies dann <math>p</math> und <math>q</math> ab und bestimme die Lösung mit <math>x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}</math>.|2=Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=zu c): Stelle zunächst um, sodass auf einer Seite des Gleichheitszeichen <math>0</math> steht.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=
zu a)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2+12x+27 &&| p=12, q=27\\
&\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{12}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2-27} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow & x &= -6 \pm 3 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -9 \text{ oder } x_2=3 &&
\end{alignat}
</math>

zu b)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 0 &= x^2+6x-7 &&| p=6, q=-7\\
&\Leftrightarrow \qquad & x &= -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-(-7)} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow & x &= -3 \pm 4 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -7 \text{ oder } x_2=1 &&
\end{alignat}
</math>

zu c)
<math>
\begin{alignat}{3}
& & 16x &= x^2-17 &&| -16x\\
&\Leftrightarrow \qquad & 0 &= x^2-16x-17 &&| p=-16, q=-17\\
&\Leftrightarrow & x &= -\frac{-16}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-16}{2}\right)^2-(-17)} \qquad &&\\
&\Leftrightarrow & x &= 8 \pm 9 &&\\
&\Leftrightarrow & x_1 &= -1 \text{ oder } x_2=17 &&
\end{alignat}
</math>|2=Lösung anzeigen|3=Lösung ausblenden}}
|3 = Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

=='''4. Aufgaben zum Trainieren '''==

{{Box|Info| Die folgenden Aufgaben sind thematisch geordnet. Du darfst über die Reihenfolge der Bearbeitung frei entscheiden. Du musst nicht alle Aufgaben schaffen. Verwende für die Lösung der Aufgaben ein Extrablatt |Kurzinfo| |Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Finde die gesuchte Zahl|
Wenn man zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addiert, so erhält man das Vierfache der gesuchten Zahl. Stelle eine geeignete Gleichung auf und ermittle die gesuchte Zahl (Extrablatt). Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.
{{Lösung versteckt|1=Die Variable x ist die gesuchte Zahl. Überlege dir, wie man das Doppelte und das Vierfache einer Zahl als Term schreibt.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1= Das Doppelte einer Zahl: <math>2x</math>

Zur Zahl <math>12</math> das Doppelte einer Zahl addieren: <math>2x+12</math>. Dies wird die '''linke Seite''' der Gleichung bilden.

Das Vierfache der gesuchten Zahl: <math>4x</math>. Dies ist die '''rechte Seite''' der Gleichung.

Wir erhalten also die Gleichung:
<math>2x+12=4x</math>.

Um das gesuchte <math>x</math> zu finden, lösen wir die Gleichung, indem wir sie nach <math>x</math> umstellen. Achte darauf alle Umformungen immer auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

<math>\begin{align}& & 2x+12 & = 4x & &\mid -2x\\ \Leftrightarrow & & 12 & = 2x & &\mid :2\\ \Leftrightarrow & & 6 & = x \end{align}
</math>

Die gesuchte Zahl ist <math>6</math>.

Probe:
<math>\begin{align} & & 2\cdot 6+12&=4\cdot 6 \\
\Leftrightarrow & &24&=24 \end{align}</math>|2=Lösung
|3=Lösung ausblenden}}
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|Alter der Mutter |Die Mutter von Leon ist <math>3</math>-mal so alt wie er. In <math>12</math> Jahren wird sie doppelt so alt sein wie Leon. Ermittle, wie alt Leon und seine Mutter heute sind (Extrablatt). Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.
{{Lösung versteckt|1=Beachte, dass sich das doppelte Alter auf das Alter in <math>12</math> Jahren bezieht.|2=Tipp|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Bezeichne mit <math>M</math> das Alter der Mutter und mit <math>L</math> das Alter von Leon.
Die erste Gleichung ist <math>\begin{align}M=3L\end{align}</math>,da die Mutter von Leon 3-mal so alt ist wie er.
Außerdem gilt die zweite Gleichung <math>\begin{align}M+12=2(L+12)\end{align}</math>. Die linke Seite der Gleichung beschreibt das Alter der Mutter in 12 Jahren. Dies entspricht der rechten Seite der Gleichung, da das Alter der Mutter in 12 Jahren dann das doppelte des Alters von Leon in 12 Jahren beträgt.

Setze nun <math>\begin{align}M=3L \end{align}</math> in die zweite Gleichung ein:

<math>\begin{align}\\
\Leftrightarrow & & 3L+12&=2L+24 & &\mid -12\\

\Leftrightarrow & & 3L&=2L+12 & &\mid -2L\\

\Leftrightarrow & & L=12
\end{align}</math>

Leon ist heute also 12 Jahre alt.
Um das Alter der Mutter zu bestimmen, setzten wir <math>L=12</math> in die erste Gleichung ein:

<math>\begin{align} & & M=3 \cdot 12 = 36 \end{align}</math>

Die Mutter ist heute also 36 Jahre alt.

Probe erste Gleichung:

<math>\begin{align}\\ & & 3\cdot 12=36 & &\\
\Leftrightarrow & & 36=36 &
\end{align}</math>

Probe zweite Gleichung:

<math>\begin{align}\\ & & 36+12=2\cdot(12+12) & &\\

\Leftrightarrow & & 48=48 &
\end{align}</math>
Leon ist heute <math>12</math> Jahre alt und seine Mutter ist heute <math>36</math> Jahre alt.|2=Lösung
|3=Lösung ausblenden}}

|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|1 = Flächeninhalt |2= Klicke alle Terme an, die den Flächeninhalt der Fläche beschreiben.

{{LearningApp|app=pxj3hfqot18|width=100%|height=400px}}

{{Lösung versteckt|1=Worin liegt der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?|2= Tipp 1|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Mache dir bewusst, welche Bedeutung die einzelnen Glieder der Terme haben.|2=Tipp 2|3=schließen}}
{{Lösung versteckt|1=Zeichne die Rechtecke, die durch die einzelnen Term-Glieder repräsentiert werden, in dein Heft und überprüfe, ob sich daraus die Figur zusammen setzen lässt.|2=Tipp 3|3=schließen}}
|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box |Zwei-Felder-Ball-Feld |

[[Datei:269A89E6-8A5A-4969-B953-21A412026976.jpg|200px|Zwei-Felder-Ball-Feld|rechts]]Nick und Tom sollen für ein Sportfest ein Zwei-Felder-Ball-Feld abstecken. Dafür sollen sie ein <math>66</math> m langes Seil und sechs Pfosten verwenden. Für das Umwickeln aller Pfosten werden insgesamt drei Meter Seil benötigt. Das Spielfeld soll aus zwei gleichgroßen quadratischen Flächen bestehen. Wie lang ist eine Seite von einer der quadratischen Flächen, wenn man davon ausgeht, dass Nick und Tom das gesamte Seil benutzen? Nutze zur Rechnung ein Extrablatt. Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.

{{Lösung versteckt|1=Um die Gleichung aufzustellen, benötigst du den Umfang des Spielfeldes.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Benutze die Skizze, um einen Term für den Umfang des Spielfeldes aufzustellen. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Beachte, dass zusätzlich Seil für das Abspannen an den Pfosten benötigt wird.|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Die gesuchte Seitenlänge bezeichnen wir mit <math>x</math>. [[Datei:Skizze neu.jpg|mini|Skizzierung des Spielfeldes]] Den Umfang des Spielfeldes erhalten wir durch den Term <math>7x</math>.

Wir erhalten die Gleichung: <math>7x+3=66</math>, da insgesamt <math>66</math> Meter Seil zur Verfügung stehen und drei Meter Seil für die Abspannung an den Pfosten benötigt werden.

Diese Gleichung können wir lösen:

<math>\begin{align} & & 7x+3 &=66 & &\mid -3\\
\Leftrightarrow & & 7x &=63 & &\mid :7\\
\Leftrightarrow & & x &=9
\end{align} </math>

Probe:

<math>\begin{align} & & 7 \cdot 9 +3 &=66\\
\Leftrightarrow & & 63 + 3 &=66\\
\Leftrightarrow & & 66 &=66\\
\end{align}</math>
Eine Seite ist <math>9</math> m lang.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}
| Üben | Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|1 = Schafweiden |2= Landwirt Mertens hat bisher eine quadratische Weide für seine paar Schafe. Da nun an dieser Stelle eine Landstraße ausgebaut werden soll, fragt die Stadt den Landwirt, ob er ein flächengleiches, rechteckiges Grundstück auf der anderen Seite seines Bauernhofes gegen seine quadratische Weide tauschen würde. Diese Weide ist zwar vier Meter kürzer, dafür aber sechs Meter länger.

Landwirt Mertens überlegt:

[[Datei:Weide Landwirt.png|Weide_Landwirt.png|600px]]

# Hilf ihm und finde die Maße (Seitenlängen und Flächeninhalte) der Weiden heraus. Nutze zur Rechnung ein Extrablatt. Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein. Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, schaue dir nach und nach die Tipps unten an.
{{Lösung versteckt|1= '''Was ist gegeben?'''

zwei flächengleiche Flächen (Quadrat und Rechteck). Wähle die Variable x = Seitenlänge der quadratischen Fläche

x = Seitenlänge der quadratischen Weide
|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1= Drücke die Seitenlängen der rechteckigen Weidefläche mit Hilfe von x aus. Stelle dann eine passende Gleichung auf.

|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1= Die beiden Weiden sind '''flächengleich''', d.h. ihr Flächeninhalt ist gleich.

Benutze zum Aufstellen der Gleichung die Formeln für die Berechnung des '''Flächeninhaltes eines Quadrats und eines Rechtecks'''.

[[Datei:Fläche Rechteck und Quadrat.jpg]]
|2=Tipp 3|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Beide Flächen sind gleich groß, daher lautet die Gleichung:

'''x² = (x – 4) (x + 6) '''

Versuche nun x zu berechnen. Löse hierfür zunächst die Klammern auf.
|2=Tipp 4|3=Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Die korrekte Gleichung lautet: x² = (x-4)(x+6). <br>

<math>\begin{array}{lcl} x^2 & = & (x-4)(x+6) \\\Leftrightarrow x^2 & = & x^2-4x+6x-24 \\\Leftrightarrow x^2 & = & x^2+2x -24 \mid -x^2\\\Leftrightarrow 0 & = & 2x-24 \mid +24 \\\Leftrightarrow 24 & = & 2x\mid: 2\\\Leftrightarrow 12 & = & x \end{array}</math>

Du hast nun herausgefunden, dass die Länge und Breite der quadratischen Weide je 12m beträgt.
Damit kannst du jetzt die Seitenlängen der rechteckigen Weide berechnen.
* 12 - 4 = 8 (eine Seitenlänge des Rechtecks)
* 12 + 6 = 18 (andere Seitenlänge des Rechtecks)
Beide Weiden haben einen Flächeninhalt von 144 m²
<math>12^2 = 144 = 8\cdot18</math>
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Box|1 = Dreieck |2= Die Katheten eines rechtwinkligen Dreieckes unterscheiden sich um 1 cm. Wie lang sind die Katheten, wenn die Hypotenuse 5 cm lang ist? Nutze zur Lösung ein Extrablatt. Trage die geforderten Angaben in den Kasten zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein. Nutze die Tipps, wenn du nicht weiterweißt.
{{Lösung versteckt|1=Wähle als Variable x: Länge einer Kathete.|2=Tipp 1|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Nutze den Satz des Pythagoras. Fertige hierzu eine Skizze an.|2=Tipp 2|3=Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=x: Länge der kürzeren Kathete. Dann ist (x+1) die Länge der längeren Kathete.<br> Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
<math>\begin{array}{lcl} x^2 + (x+1)^2 & = & 25 \\\Leftrightarrow x^2+x^2+2x+1 & = & 25\\\Leftrightarrow 2x^2+2x+1 & = & 25\mid-25 \\\Leftrightarrow 2x^2+2x-24 & = & 0\mid : 2\\\Leftrightarrow x^2+x - 12 & = & 0\mid pq-Formel \\\Leftrightarrow x & = & -0,5+3,5 \lor x & = & -0,5-3,5\\\Leftrightarrow x & = & 3 \lor x & = & -4 \end{array}</math>
Die Lösung x = -4 ist im Sachzusammenhang nicht möglich. Also ist die kürzere Kathete 3 cm lang, die längere 4 cm.
|2=Lösung |3= Lösung ausblenden}}

|3 = Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

Jule Volbers/Studie

2023-05-03T07:37:29Z

Jule Volbers:

<div style="font-size: 14pt; background-color: #8B8386 ; text-align: center; color: white; padding: 5px 100px 5px 100px; margin-top: 5px; "> Willkommen auf dem Lernpfad: Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern - Wie verändern sich Seitenlängen, Flächen und Körper? </div>
[[Datei:Teetasse.jpg|300px|right]]

In vielen Filmen spielen besonders große oder kleine Helden oder Heldinnen eine wichtige Rolle. Bekannte Beispiele sind der Waldhüter und Halbriese Hagrid der Harry-Potter-Filme oder die Titelfigur Alice aus Alice im Wunderland, die im Laufe der Handlung auf ein Zehntel ihrer Größe schrumpft. Zur Darstellung der Größenverhältnisse wird oft mit großem Aufwand die Kulisse in einer kleineren oder größeren Version nachgebaut<s>.</s>
Doch worauf muss man achten, damit der Nachbau der Kulisse gelingt?
Zur Beantwortung der Frage sollst du untersuchen, wie sich Längen, Flächen, Körper und Winkel beim Vergrößern oder Verkleinern verändern.

=='''1. korrektes Vergrößern und Verkleinern. Worauf kommt es an?'''==

{{Box|Fehlersuche|Nur eines der drei kleinen Bilder zeigt eine korrekte Kopie des verzauberten Autos, mit dem Harry und Ron nach Hogwarts fliegen, nachdem sie den Zug verpasst haben.
{{H5p-zum|id=19945|height=600}}

Begründe deine Entscheidung!
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
{{Lösung versteckt|Auf den anderen Bildern sind die Verhältnisse der Seitenlängen und Flächen nicht korrekt. Beispielsweise ist auf dem ersten Bild die Kühlerhaube zu lang, auf dem dritten zu kurz.|2= Lösung|3=Lösung}}
{{Box|Frage|Worauf muss man achten, damit die Formen nicht verzerrren? Beantworte diese Frage mit Hilfe der Aufgabe "Harry-Logo"|Frage}}

{{Box|[[Datei:BildLogoNeu.jpg|150px|right]]Harry-Logo|Harrys Freundin Luna hat ein "Harry-Logo" entworfen. Durch geeignete Zauber kann sie es vergrößern und verkleinern, so dass sie es als Anstecknadel oder auch als Banner verwenden kann.

Überlege, wie du vorgehen würdest, um das Logo auf die doppelte Größe zu vergrößern bzw. halbe Größe zu verkleinern.

Notiere stichpunktartig, wie sich
* Seitenlängen
* Winkel
* Flächen
* Seitenverhältnisse
* Flächenverhältnisse (z.B. Buchstabe - Umrandung)
verändern.

Überprüfe deine Angaben anschließend mit dem Applet "Logo".
{{Lösung versteckt|Du kannst den Vergrößerungsfaktor - auch '''Skalierungsfaktor''' genannt - mit dem Schiebregler verändern.
<br /><ggb_applet id="xaery34n" width="20%" height="20%" border="888888" />

|2= Logo|3=Logo}}

Kreuze nun die richtigen Aussagen im Quiz an.
{{Lösung versteckt|1 = {{H5p-zum|id=19951|height=600}}
|2= Quiz|3=Quiz}}

|Arbeitsmethode

|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Fülle jetzt den Lückentext aus. Kontrolliere deine Lösung und übertrage sie in den Kasten "Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren" in deinem Begleitheft.

{{Box|1=Merke: <u>Skalieren</u> = Maßstäbliches Vergrößern oder Verkleinern von Figuren| 2=<div class="lueckentext-quiz">
Wenn die Formen nicht verzerren sollen, muss man eine Figur <u>maßstäblich</u> vergrößern oder verkleinern. Dabei werden alle Seitenlängen der Figur mit demselben positiven Faktor '''multipliziert'''. Dieser Faktor heißt auch '''Skalierungsfaktor''', das maßstäbliche Vergrößern oder Verkleinern heißt auch '''skalieren'''. Ist der Skalierungsfaktor k '''größer als 1''', so wird das Original vergrößert, ist '''k kleiner 1''', wird das Original verkleinert. Beim Skalieren bleiben alle Winkel sowie die Seiten- und Flächenverhältnisse '''gleich'''. Figuren, die durch Skalierung auseinander entstehen, nennt man mathematisch '''ähnlich''' zueinander.
Achtung: Flächen wachsen oder schrumpfen '''schneller''' als Längen, man erhält die neue Fläche '''nicht''' durch Multiplikation mit dem Skalierungsfaktor aus der alten Fläche.
</div>

|3=Merksatz}}

{{Box|Wie groß ist die Teetasse?|[[Datei:Teetasse.jpg|200px|right]]
Nachdem Alice einen Zaubertrank getrunken hat, schrumpft sie auf ein Zehntel ihrer Größe.
# Gib den Skalierungfaktor an, mit dem die Teetasse für die Dreharbeiten vergrößert werden musste.
# Die originale Teetasse ist ca. 8 cm hoch und hat am oberen Rand einen Umfang von 28 cm. Berechne Höhe und Umfang der vergrößerten Teetasse.
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}
{{Lösung versteckt|1=
# Der Skalierungsfaktor beträgt 10.
# Die Seitenlängen müssen mit dem Faktor 10 multipliziert werden. Die vergrößerte Teetasse ist 80 cm hoch und hat am oberen Rand einen Umfang von 280 cm = 2,80 m.
|2= Lösung|3=einklappen}}

<br />
=='''2. Wie verändern sich Flächen beim Vergrößern oder Verkleinern?'''==

{{Box|Wie geht es weiter? | Du hast bereits festgestellt, dass Flächeninhalte beim Skalieren schneller wachsen (oder schrumpfen) als die Seitenlängen. Auch hier gibt es eine Gesetzmäßigkeit, die du herausfinden sollst. Schaue dir dazu zuerst einfache geometrische Formen an.|Frage}}

{{Box|Quadratwachstum 1|
''Hinweis: Bei dieser Aufgabe musst du die Tabelle zur Aufgabe "Quadratwachstum 1" in Begleitmaterial ausfüllen. Dabei hilft dir das Geogebraapplet Quadrate 1.''<br />
So funktioniert das Applet: <br />
Im Applet "Quadrate 1" siehst du zwei Quadrate mit der Seitenlänge 1 cm, also einem Flächeninhalt von 1 cm². Das rechte Quadrat kannst du vergrößern, indem du den Skalierungsfaktor (2,3 oder 4) passend einstellst. Anschließend kannst du Kopien des kleinen Quadrats erzeugen und das skalierte Quadrat damit "auslegen". Auch Verkleinerungen (0,5 und 0,25) sind möglich. Dazu muss du die Konstruktion eventuell zurücksetzen (Pfeil oben rechts).

{{Lösung versteckt| <ggb_applet id=" bz4xthmv" width="30%" height="30%" border="888888" />

|2= Quadrate 1|3=Quadrate 1}}

Nutze das Applet, um die Tabelle zur Aufgabe "Quadratwachstum 1" im Begleitmaterial zu füllen.

* 1. Fülle die Spalte "Anzahl der Quadrate".
{{Lösung versteckt|1 = Vergrößere das rechte Quadrat zunächst einmal (Skalierung mit einem Faktor k > 1). Für die die Vergrößerungsfaktoren 2, 3 und 4 hilft dir das Applet, die Anzahlen für die Vergrößerungsfaktoren 5,6 und 10 musst du daraus erschließen.
Verkleinere das Quadrat anschließend (Faktoren '''0,5''' (gleich <small>'''<math>\frac{1}{2}</math>'''</small>) und '''0,25''' (gleich <small>'''<math>\frac{1}{4}</math>'''</small>). Du brauchst jetzt nur einen Teil des originalen Quadrats, um die Fläche auszulesen. Finde diesen Anteil heraus. |2= Tipp zu 1.|3=einklappen}}

* 2. Berechne den Flächeninhalt der vergrößerten oder verkleinerten Quadrate mit Hilfe der Anzahl der Quadrate. Trage die Werte in die Spalte "Fläche in cm²" der Tabelle ein.
{{Lösung versteckt|1 = Das originale Quadrat ist das Einheitsquadrat und hat eine Fläche von 1 cm². |2= Tipp zu 2.|3=einklappen}}

* 3. Überlege, welcher Zusammenhang zwischen Vergrößerungsfaktor k und Zahl der Quadrate besteht. Gib eine Formel an, mit der sich der Flächeninhalt direkt mit Hilfe des Skalierungsfaktors '''k''' berechnen lässt. Trage sie im Begleitmaterial ein.

Kontrolliere deine Lösung!

|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:LösungQuadratwachstum1.jpg|mini|left]]
* Wird das Quadrat mit dem Faktor '''k''' vergrößert, ist die Zahl der Quadrate '''k<sup>2</sup>'''
* Schiebt man eine Kopie des Originalquadrats auf das verkleinerte Quadrat, erkennt man, dass dass das verkleinerte Quadrat viermal (bzw. sechzehnmal) in das Originalquadrat passen würde. Man benötigt zum Auslegen also nur noch <small><math>\frac{1}{4}</math></small> bzw. <small><math>\frac{1}{16}</math></small> der Originalfläche.
* Man muss den ursprünglichen Flächeninhalt lediglich mit der Anzahl der Quadrate multiplizieren, um den neuen Flächeninhalt zu erhalten.
* Wird ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm mit dem Faktor '''k''' skaliert, so beträgt der Flächeninhalt '''k<sup>2</sup>'''. Die Formel für den neuen Flächeninhalt '''A<sub>neu</sub> = k<sup>2</sup>.'''
* (Begründung für Skalierungsfaktoren kleiner 1: Es ist (<small><math>\frac{1}{2}</math></small>)<sup>2</sup> = <small><math>\frac{1}{4}</math></small>, (<small><math>\frac{1}{4}</math></small>)<sup>2</sup>= <small><math>\frac{1}{16}</math></small>.)

|2= Lösung a |3=einklappen}}

{{Box|Quadratwachstum 2|
''Hinweis: Bei dieser Aufgabe musst du die Tabelle zur Aufgabe "Quadratwachstum 2" in Begleitheft ausfüllen. Hierbei hilft dir das Geogebraapplet Quadrate 2.''
''Bei diesem Applet musst du nur den passenden Skalierungsfaktor einstellen.''
{{Lösung versteckt| <ggb_applet id="ez4stbyn" width="50%" height="50%" border="888888" />

|2= Quadrate 2|3=einklappen}}

Begründe mit Hilfe des Applets Quadrate 2, dass man mit der gerade entwickelten Idee den Flächeninhalt eines vergrößerten oder verkleinerten Quadrats auch dann berechnen kann, wenn das Originalquadrat eine Seitenlänge ungleich 1 cm hat. Gehe dazu folgendermaßen vor:
* Verdopple, verdreifache und halbiere die Seitenlänge des Quadrats. Berechne den Flächeninhalt mit Hilfe der angezeigten '''Rasterung''' und trage die Ergebnisse (Seitenlängen, Anzahl der Quadrate und Flächeninhalt) in die Tabelle im Begleitheft ein.
* Was stellt du fest, wenn du die Zahl der Quadrate für die Verdopplung/Verdreifachung/Halbierung (mittlere Spalte in den beiden Tabellen) vergleichst?
* Mache dir klar, wie du die Flächeninhalte der vergrößerten oder verkleinerten Quadrate aus dem Flächeninhalt des Originalquadrats und dem Skalierungsfaktor berechnen kannst. Fülle den Lückentext im Begleitheft aus.

Kontrolliere dann deine Lösung.

|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Quadratwachstum2 neu.jpg|mini|left]] Die Anzahl der Quadrate bleibt beim Skalieren gleich. Sie hängt nicht vom Flächeninhalt der Originalfigur ab.
Man kann also den Flächeninhalt des vergrößerten oder verkleinerten Quadrats berechnen, indem man den ursprünglichen '''Flächeninhalt''' mit der Zahl der Quadrate multiplizieren.
Die Formel für den Flächeninhalt der vergrößerten oder verkleinerten Rechteck ist '''Flächeinhalt <sub>neu</sub> = Flächeninhalt <sub>alt</sub> ⋅ k²'''.
In unserem Beispiel hat das ursprüngliche Quadrat den Fächeninhalt 4 cm². Die mit dem Faktor k vergrößerten oder verkleinerten Quadrate haben also einen Flächeninhalt von 4⋅ k²
|2= Lösung |3=einklappen}}

{{Box|Sprinteraufgabe 1 zu Quadratwachstum 2|Gib im Applet Quadrate 2 als neue Seitenlänge 3 cm ein und ermittle den Skalierungsfaktor. Begründe dann mit Hilfe der angezeigten Rasterung, dass die Formel auch für nichtganzzahlige Skalierungsfaktoren gilt.
|Experimentieren|Farbe={{Farbe |komplementär |dunkel}}}}
{{Lösung versteckt| 1 = Beträgt die Seitenlänge des skalierten Quadrats 3 cm, so ist der Skalierungsfaktor '''k = 1,5'''.
Die neue Fläche beträgt 9 cm² . Es ist 9 = 4 ⋅ 1,5² = 4 ⋅ 2,25.
|2= Lösung Sprinteraufgabe |3=einklappen}}

{{Box|1='''Alles verstanden?'''|2= Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Skalieren eines Quadrats" in deinem Begleitmaterial.
<div class="lueckentext-quiz">
Wird die Seitenlänge eines Quadrats
*verdoppelt, so wächst der Flächeninhalt auf das '''Vierfache'''
*verdreifacht, so wächst der Flächeninhalt auf das '''Neunfache'''
*verzehnfacht, so wächst der Flächeninhalt auf das '''Hundertfache'''
*halbiert, so schrumpft der Flächeninhalt auf '''ein Viertel'''
Der Flächeninhalt eines Quadrats wächst also '''quadratisch''' zum Skalierungsfaktor. Der Flächeninhalt wird berechnet mit
'''A<sub>neu</sub>'''= A<sub>alt</sub> ⋅ '''k²'''
</div>| 3= Lösung|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|Info|Die Zerlegung des großen Quadrats in kleine Quadrate nennt man auch''' Rasterung'''. Mit Hilfe einer solchen Rasterung lassen sich Flächeninhalte berechnen oder zumindest abschätzen.|Kurzinfo||Farbe={{Farbe|sekundär-1|x-heller}}}}

{{Box|Flächenwachstum von Rechtecken| [[Datei:Rechteck2.jpg|mini]] Auch Rechtecke kann man rastern. Erkläre mit Hilfe der Abbildung, dass auch der Flächeninhalt von Rechtecken bei Skalieren mit dem Faktor k² wächst.
{{Lösung versteckt| 1 = Im Beispiel werden die Seitenlängen verdreifacht. Das bedeutet, dass sowohl in der Breite als auch der Länge drei kleine Rechtecke in das vergrößerte Reckteck passen. Das sind insgesamt 3⋅3 = 3²=9 Rechtecke. Der Flächeninhalt wird also neunmal größer.
|2= Lösung |3=einklappen}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|Wie untersucht man das Flächenwachstum krummlinig begrenzter Flächen? | |Frage}}

{{Box|Idee|Krummlinig begrenzte Flächen wie zum Beispiel Kreise können nicht auf die gleiche Art und Weise gerastert werden. Um zu erkennen, wie sich der Flächeninhalt solcher Flächen verändert, muss die Rastermethode abgewandelt werden. Eine Möglichkeit ist die folgende: Künstler entwerfen großformatige Kunstwerke oft aus kleineren Vorlagen, die sie auf Kästchenpapier zeichen. Anschließend wird das Bild auf vergrößerte Kästchen übertragen. |Unterrichtsidee }}

{{Box|See|
Untersuche, wie der Flächeninhalt des Bildes des Sees beim Vergrößern wächst mit Hilfe des Applets. Bearbeite dazu die Aufgaben, die du unter dem Applet findest.
<ggb_applet id="tqvtqcjw" width="30%" height="30%" />
# Schätze den Flächeninhalt des Sees durch die Fläche der Kästchen ab. Ein Kästchen hat eine Seitenlänge von 0,5 cm.
# Klicke auf "Vergrößere". Schätze genauso den Flächeninhalt des vergrößerten Sees ab. Ein Kästchen hat hier eine Seitenlänge von 1 cm.
# Gib den Faktor an, mit dem die Zeichnung skaliert wurde.
# Gib an, auf das wievielfache der Flächeninhalt bei der Vergrößerung wächst. Erläutere das Ergebnis mit Hilfe der Graphik. ''Tipp: Wenn du nicht weiter weißt, kannst du im Applet auf Hilfe klicken.''
# Wie groß wäre der Flächeninhalts des Sees, wenn die Kästchen eine Seitenlänge von 10 cm hätten?
{{Lösung versteckt|1 = Überlege, mit welchem Faktor die Seitenlängen (ausgehend von der Originalzeichnung) skaliert wurden. Nutze dann dein Wissen über das Wachstum von Flächen. |2= Tipp 5.|3=einklappen}}
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
{{Lösung versteckt|1 = Der Flächeninhalt des Sees entspricht ca. 22 Kästchen. Ein Kästchen hat eine Fläche von 0,25 cm². Also hat der See einen Flächeninhalt von 22⋅0,25 cm² = 5,5 cm²|2= Lösung 1.|3=einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Der Flächeninhalt des Sees entspricht auch hier ca. 22 Kästchen. Ein Kästchen hat eine Fläche von 1 cm². Also hat der See eine Fläche von 22⋅1 cm²= 22 cm²|2= Lösung 2.|3=einklappen}}
{{Lösung versteckt|1 = Der Skalierungsfaktor ist 2, weil die Seitenlängen der Quadrate und somit alle Längen verdoppelt wurden.|2= Lösung 3.|3=einklappen}}
{{Lösung versteckt|1 = Der Flächeninhalt wächst auf das Vierfache. Erklärung: Die Seitenlänge der Quadrate hat sich verdoppelt, also vervierfacht sich der Flächeninhalt der Quadrate. Da beim Skalieren das Verhältnis von Flächeninhalt zueinander gleichbleibt, vervierfacht sich auch der Flächeninhalts des Sees.
Hinweis: Dies sieht man auch, wenn man die Ergebnisse für den Flächeninhalt aus a und b miteinander vergleicht.|2= Lösung 4.|3=Lösung}}
{{Lösung versteckt|1 = Der Skalierungsfaktor beträgt 20. Der Flächeninhalts wächst also auf das 400fache. Also beträgt der Flächeninhalt des Sees
5,5 cm² ⋅ 400 = 2200 cm²|2= Lösung 5.|3=einklappen}}

Kontrolliere nach jeder Aufgabe deine Lösung.

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Wachstum von Flächeninhalten beim Skalieren" in deinem Begleitheft.

{{Box|1=Merke: So verändern sich Flächen beim Skalieren
| 2= <div class="grid">
<div class="width-1-3"> [[Datei:MerksatzFlächen.jpg|300px|left]]</div>
<div class="width-2-3"><div class="lueckentext-quiz">
Beim Skalieren dehnt sich eine Fläche in '''zwei''' Richtungen aus. Deshalb wachsen oder schrumpfen Flächen beim Vergrößern oder Verkleinern viel '''schneller''' als Längen: Sie wachsen '''quadratisch'''.
Beim Skalieren mit dem Faktor '''k''' wachsen (oder schrumpfen) Flächeninhalte mit dem Faktor '''k²'''.
Die Formel für den neuen Flächeninhalt ist '''A<sub>neu</sub>'''= A<sub>alt</sub> ⋅ '''k²'''
</div></div>
</div>
|3=Merksatz}}

{{Box|Idee|Mit Hilfe des Skalierungsfaktors kannst du die Flächeninhalte beliebiger vergrößerter oder verkleinerter Figuren sehr schnell berechnen.|Unterrichtsidee }}

{{Box|Flächeninhalte schnell berechnen|
''Hinweis: Bei dieser Aufgabe musst du die Ergebnisse in die Tabelle: "Flächeninhalte schnell berechnen" im Begleitheft eintragen.''

Berechne die neuen Flächeninhalte mit Hilfe des Skalierungsfaktors. Trage '''Rechnung''' und '''Ergebnisse''' in die Tabelle zur Aufgabe im Begleitheft ein.
# Ein Quadrat hat einen Flächeninhalt von 32 cm². Welchen Flächeninhalt hat das Quadrat, wenn es mit dem Faktor 1/4 verkleinert wird?
# Ein Kreis hat einen Flächeninalt von 10 cm². Welchen Flächeninhalt hat der Kreis, wenn er mit dem Faktor fünf vergrößert wird?
# [[Datei:Eule.jpg|100px|right]] Die abgebildete Eule hat einen Flächeninhalt von 0,25 m². Welchen Flächeninhalt hat das mit dem Faktor 3 vergrößerte Bild der Eule?
# Eine rechteckige Tischdecke hat eine Fläche von 0,6 m². Welche Fläche hat eine rechteckige Tischdecke, deren Seitenlängen doppelt so lang sind?
# Eine Riesenpizza hat eine Fläche von 2000 cm². Welche Fläche hat eine Pizza, deren Durchmesser nur halb so groß ist?
Kontrolliere anschließend deine Lösung.
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Lösung versteckt|1 = # <small>'''<math>\frac{1}{4}</math>'''</small>² = <small>'''<math>\frac{1}{16}</math>'''</small>; 32⋅ <small>'''<math>\frac{1}{16}</math>'''</small>= 2. Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von 2 cm³
# 5² = 25; 10 ⋅ 25 = 250. Der Kreis hat einen Flächeninhalt von 250 cm².
# 3² = 9; 0,25 ⋅ 9=2,25. Die vergrößerte Eule hat einen Flächeninhalt von 2,25 m²
# Der Skalierungsfaktor ist 2; 2²= 4; 0,6 ⋅ 4 = 2,4. Die Tischdecke hat einen Flächeninhalt von 2,4 m².
# Der Skalierungsfaktor ist 0,5. 0,5² = 0,25; 2000 ⋅ 0,25 = 500. Die Pizza hat eine Fläche von 500 cm². |2= Lösung|3=einklappen}}

=='''3. So verändern sich Körper beim Vergrößern und Verkleinern'''==

{{Box|Idee|Auch für den Rauminhalt (das Volumen) von Körpern gibt es eine Gesetzmäßigkeit, mit der die Rauminhalte beim Vergrößern oder Verkleinern wachsen bzw. schrumpfen. Diese Gesetzmäßigkeit sollst du am Beispiel eines Würfels erarbeiten:|Unterrichtsidee }}

{{Box|Würfelwachstum 1|[[Datei:Würfel.jpg|mini|right]]
''Hinweis: Bei dieser Aufgabe musst du die Tabelle zur Aufgabe "Würfelwachstum 1" im Begleitheft ausfüllen. ''

Der kleine Würfel hat eine Seitenlänge von 1 cm. Der zweite und dritte Würfel entstehen, indem kleine Würfel aneinandergeklebt werden.
# Trage zunächst die Seitenlängen und den Flächeninhalt der Seiten des zweiten und dritten Würfels in die Tabelle zur Aufgabe in deinem Begleitheft ein.
# Überlege dann, welches Volumen der zweite und dritte Würfel haben. Trage die Werte in die Tabelle ein.
# Ergänze die Werte für den "Viererwürfel" und für den "Sechserwürfel".
# Erkläre mit Hilfe der Tabelle, wie das Volumen eines beliebigen Würfels wächst, wenn man die Seitenlänge des Würfels verdoppelt bzw. verdreifacht.
# Überlege, mit welchem Faktor man das Volumen multiplizieren muss, wenn man einen Körper mit dem Faktor k skaliert.
Kontrolliere dein Ergebnis.
|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Lösung versteckt|1=1. bis 3.: Siehe Tabelle. [[Datei:Würfelwachstum3.jpg|300px|right]]
4: In der Tabelle kann man die Werte für zwei Verdopplungen ablesen (blaue Pfeile). Das Volumen wächst jeweils auf das Achtfache.
Ebenso kann man die Werte für zwei Verdreifachungen ablesen(lila Pfeile). Das Volumen wächst jeweils auf das Siebenundzwanzigfache.
5. Für eine Verdopplung - also k = 2 ist der Faktor 2²=8. Für eine Verdreifachung - also k = 3 ist der Faktor 3³ = 27. Allgemein gilt: Skaliert man einen Körper mit dem Faktor k, muss man das Volumen mit dem Faktor k³ multiplizieren. (Man sagt auch: Volumen wachsen kubisch.)
|2= Lösung |3=einklappen}}

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in den Kasten "Würfelwachstum 2" in deinem Begleitheft.

{{Box|1=Würfelwachstum 2|2= <div class="lueckentext-quiz">
Wenn man die Seitenlängen eines Würfels
*verdoppelt, so wächst das Volumen auf das '''Achtfache'''
*verdreifacht, so wächst das Volumen auf das '''Siebenundzwanzigfache'''
*verzehnfacht, so wächst das Volumen auf das '''Tausendfache'''
*halbiert, so schrumpft das Volumen auf '''ein Achtel'''
Skaliert man einen Würfel mit dem Faktor k, so ist das neue Volumen
'''V<sub>neu</sub>'''= V<sub>alt</sub> ⋅ '''k³'''
</div>. |3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|Idee|Dieses Wachstumsprinzip gilt für beliebige Körper. Man kann alle Überlegungen zu den Flächen auf den "3D-Fall" übertragen. |Unterrichtsidee }}

Ergänze den Lückentext. Prüfe das Ergebnis und übertrage die Lösung in die Box "So verändern sich Körper beim Skalieren" im Begleitheft.

{{Box|1=Merke: So verändern sich Körper beim Skalieren
| 2= <div class="grid">
<div class="width-1-3">[[Datei:MerksatzVolumen.jpg|mini|left]] </div>
<div class="width-2-3"><div class="lueckentext-quiz">
Beim Skalieren dehnt sich ein Körper in '''drei''' Richtungen aus. Deshalb wachsen oder schrumpfen Volumen beim Vergrößern oder Verkleinern viel '''schneller''' als Längen oder Flächeninhalte.
Beim Skalieren eines Körpers mit dem Faktor '''k''' wächst (oder schrumpft) das Volumen mit dem Faktor '''k³'''.
Die Formel für das neue Volumen ist '''V<sub>neu</sub>'''= V<sub>alt</sub> ⋅ '''k³'''
</div></div>
</div>
|3=Merksatz}}

{{Box|Idee|Auch Rauminhalte lassen sich beim Vergrößern und Verkleinern schnell mit Hilfe des Skalierungsfaktors berechnen. |Unterrichtsidee }}

{{Box|Rauminhalte schnell berechnen|
''Hinweis: Bei dieser Aufgabe musst du die Tabelle zur Aufgabe "Würfelwachstum 1" im Begleitheft ausfüllen. ''

Berechne das neue Volumen jeweils mit Hilfe des Skalierungsfaktors:
# Ein Würfel hat ein Volumen von 8cm³. Welches Volumen hat ein mit dem Faktor 0,5 verkleinerter Würfel?
# Tom hat Glasmurmeln verschiedener Größen. Die kleinste Glasmurmel wiegt 4 Gramm. Wie schwer ist die größte Murmel, deren Durchmesser fünfmal so groß ist?
# [[Datei:Vase.jpg|70px|right]]Die abgebildete Vase hat ein Volumen von 400 ml. Welches Volumen hat die Vase, wenn sie mit dem Faktor 2 (Faktor 0,5) skaliert wurde?
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}
{{Lösung versteckt|1= # 0,5³= 0,125; 8⋅0,125= 1. Der Würfel hat ein Volumen von 1 cm³
# Der Skalierungsfaktor ist 5. 5³=125; 4 ⋅ 125= 500 Die größte Murmel wiegt 500 g.
# Skalierungsfaktor 2: 2³=8: 400 ⋅ 8=3200. Die Vase hat ein Volumen von 3200 ml = 3,2 l.
Skalierungsfaktor 0,5: 0,5³=0,125; 400 ⋅ 0,125= 50. Die Vase hat ein Volumen von 50 ml. |2= Lösung|3=einklappen}}
=='''4. Längen, Flächen und Volumen beim Skalieren - vernetzte Aufgaben'''==

Lies die Zusammenfassung und übertrage die fett gedruckten Worte in die Box "So verändern sich Längen, Flächeninhalte und Volumina beim Skalieren"

{{Box|Zusammenfassung: So verändern sich Längen, Flächeninhalte und Volumina beim Skalieren|
[[Datei:MerksatzZusammenfassung.jpg|mini|left]] Beim Skalieren dehnen sich Längen in eine Richtung aus, Flächen in zwei Richtungen und Volumen in drei Richtungen. Deshalb berechnet man beim Skalieren
* '''Längen''' durch '''Multiplikation''' mit dem Faktor '''k'''
* '''Flächeninhalte''' durch '''Multiplikation''' mit dem Faktor''' k²'''
* '''Volumen''' durch '''Multiplikation''' mit dem Faktor '''k³'''.
|Merksatz}}

{{Box|Das Riesenschachbrett.|[[Datei:Schachbrett_shutterstock_87669796.jpg|150px|right]]
''Hinweis: Für diese Aufgabe benötigst du die die Tabelle zur Aufgabe "Das Riesenschachbrett" im Begleitheft.''

Die auf ein Zehntel ihrer Größe geschrumpfte Alice muss gegen Schachfiguren kämpfen. Für das Set musste ein entsprechend großes Schachbrett angefertigt werden.
[[Datei:Aufgabe Schach.jpg|150|left]]
In der Tabelle zu dieser Aufgabe im Begleitheft findest du die Angaben zum originalen Schachbrett.
Gib den Skalierungsfaktor an und berechne dann alle Maße und Gewichte für das vergrößerte Schachbrett. Trage alle Ergebnisse in die Tabelle ein.
Kontrolliere anschließend deine Lösung.
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:SchachbrettLösungen.jpg|200]]
|2= Lösung|3=einklappen}}

{{Box|Die Riesentasse |[[Datei:Teetasse.jpg|150px|right]]
''Hinweis: Für diese Aufgabe benötigst du die die Tabelle zur Aufgabe "Die Riesentasse" im Begleitheft.
[[Datei:Riesentasse.jpg|200|left]]

Auch die Teetasse musste mit dem Faktor 10 vergrößert werden.
In der Tabelle zu dieser Aufgabe im Begleitmaterial findest du die Angaben zur originalen Teetasse. Berechne alle Flächenmaße und das Volumen der vergrößerten Tasse. Trage alle Ergebnisse in die Tabelle ein.
|Üben|Farbe={{Farbe|orange|heller}}}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:LösungTeetasse.jpg|300px]] |2= Lösung|3=einklappen}}

{{Box|Sprinteraufgabe 2: Wie groß ist Alice?|Schätze mit Hilfe der Größe der Teetasse die ungefähre Größe der Alice-Darstellerin.
|Experimentieren|Farbe={{Farbe |komplementär |dunkel}}}}
{{Lösung versteckt|1=
# Die Teetasse ist etwa zwei Drittel so groß wie Alice. Da die vergrößerte Teetasse 80 cm hoch ist, ist die Schauspielerin also ca. 1,20 m groß. |2= Lösung|3=einklappen}}

{{Box|Sprinteraufgabe 2: Kostenexplosion? |Das Schachbrett besteht aus sehr teurem Holz - die Kosten belaufen sich auf 800 Euro pro Quadratmeter. Die Produktionsleitung befürchtet hohe Kosten, wenn das vergrößerte Brett aus dem gleichen Material gefertigt wird. Der Bühnenbauer meint: "Alles halb so wild", und präsentiert der Produktionsleitung folgende Rechnung.
[[Datei:KostenSchachbrett.jpg||300px|center]]
Erläutere die Berechnungen des Bühnenbauers und korrigiere den Fehler, den er gemacht hat.
Nimm dann Stellung zur Frage, ob die Kosten für das Brett zu hoch sind.
|Experimentieren|Farbe={{Farbe |komplementär |dunkel}}}}
{{Lösung versteckt|1 = Der Bühnenbauer hat aus den gemessenen Seitenlängen des Schachbretts dessen Fläche berechnet. Diese beträgt 0,25 m², die Kosten für das kleine Brett betragen also 800 €:4 = 200 €. Diese Rechnung ist korrekt. Die Seitenlängen des vergrößerten Schachbretts sind 10mal so groß, also 5m. Auch diese Überlegung ist richtig. Allerdings verhundertfach sich die Fläche und damit auch die Kosten für das Brett. Diese betragen also 20000 Euro.Der Bühnenbauer hat die Kosten aber fälschlicherweise nur verzehnfacht.
Stellungnahme: Hier gibt es keine eindeutige Antwort. Einerseits sind 20000 Euro schon recht viel Geld. Andererseits ist eine Filmproduktion sehr teuer - der Betrag von 20000 Euro ist im Vergleich gering. Allerdings können auch viele solch "kleinerer" Beträge die Kosten für die Produktion in die Höhe schießen lassen. |2= Lösung|3=einklappen}}

{{Box|Sprinteraufgabe 3: Zu viel Gewicht? |
[[Datei:Shutterstock 323593550.jpg|mini]]
Die auf ein Zehntel ihrer Größe geschrumpfte Alice fällt in ein Aquarium. Für die Filmkulisse soll das abgebildete Aquarium in zehnfacher Größe nachgebaut und mit Wasser gefüllt werden. Die Bühnenbauer befürchten, dass das Aquarium dann zu schwer für die Plattform wird, auf der es stehen soll. Das Aquarium ist 60 cm breit, 30 cm tief und 50 cm hoch. Es wiegt leer 12 kg. Die Plattforn darf mit 100 t belastet werden.
Prüfe, ob die Bühnenbauer mit ihrer Befürchtung Recht haben.
|Experimentieren|Farbe={{Farbe |komplementär |dunkel}}}}

{{Lösung versteckt|1= Annahme: Das Becken wird bis 5 cm unterhalb des Randes gefüllt. Dann wären im kleinen Becken 81 l Wasser (60cm ⋅ 30cm ⋅45cm = 85000cm³ = 81000ml = 81l). In das vergrößerte Becken müsste man dann 81l⋅1000 = 81000 l füllen.
Die Wasserfüllung hat dann (unter normalen Bedingungen ein Gewicht von 81000 kg = 81 Tonnen.
Schwieriger ist es, das Gewicht des Aquariums abzuschätzen, weil wir nicht wissen, ob
#das gleiche Material verwendet wird und
#die Glasdicke der Seiten ebenfalls verzehnfacht wird.

Setzt man beides voraus, wächst das Gewicht des Aquariums ebenfalls mit dem Faktor 1000 (die Seitenflächen sind als Körper zu betrachten).
Das Aquarium würde also 12000 kg = 12 t wiegen.
Insgesamt würde das gefüllte Aquarium also 93 t wiegen und die Traglast des Podestes wäre groß genug (auch für die Schauspielerin und eventuell Personen aus dem Filmteam samt Ausrüstung).
Es bleiben jedoch Unsicherheiten:
*Laut unsere Annahme wurde es ja nur bis 50 cm unterhalb des Randes gefüllt. Würde das Becken bis zum Rand gefüllt, wären dies noch 9000 l Wasser, also 9 Tonnen zusätzlich. Dann wäre die Traglast des Podestes überschritten.
*Sollte das große Aquarium am Boden mit Steinen (statt Kies) gefüllt werden, würde das Aquarium schwerer werden. Nimmt man beispielsweise an, dass die unteren 50 cm (5 cm im Original) des Beckens mit Steinen gefüllt würden, würde sich das Gewicht um 18 Tonnen erhöhen (Faustformel: Steine wiegen etwa dreimal so viel wie Wasser.). Hier wäre die Traglast deutlich überschritten.
Daher sind die Bedenken der Bühnenbauer nicht unberechtigt.
|2= Lösung|3=einklappen}}