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Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T14:04:48Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" /> | Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:52:39Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
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}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
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|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" /> | Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:50:37Z

Jonte Uni MS-14:

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:44:10Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" /> | Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:40:43Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" /> | Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:38:58Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
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}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:35:43Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:33:57Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|pink}}
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:29:55Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990}
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:25:10Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
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|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:18:48Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:10:00Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:08:38Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
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}}
{{Box|Aufgabe 2 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
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}}
{{Box|Aufgabe 2 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
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<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:06:32Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:03:45Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür schauen wir uns erst mal besondere Punkte im Dreieck an.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-27T13:01:03Z

Jonte Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
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|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
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{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T12:15:33Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1:| Experimentiere mit den Besonderen Punkten des Dreiecks herum und notiere dir die besonderen Eigenschaften auf dem Arbeitsblatt.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Umkreis berührt alle Eckpunkte eines Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Inkreis berührt Seiten eines Dreiecks genau einmal. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Dreiecks. Zur Konstruktion des Inkreises genügt es, zwei Winkelhalbierende zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
<ggb_applet id="anh5rdnm" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden des Dreiecks. Diese teilt er immer im Verhältnis 2:1. Zur Konstruktion des Schwerpunkts genügt es, zwei Seitenhalbierende zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
</div>

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode }}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp 1 anzeigen|Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Überlege dir, wo beispielsweise eine Winkelhalbierende entlangläuft und verschieben dann einen Eckpunkt. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.|Tipp 2 anzeigen|Tipp 2 verbergen}}

==Schnappe die Diebe==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

Zur Übersicht: [[Geometrie im Dreieck]]

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T12:14:35Z

Jonte Uni MS-14:

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T12:10:25Z

Jonte Uni MS-14:

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T12:09:24Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1:| Experimentiere mit den Besonderen Punkten des Dreiecks herum und notiere dir die besonderen Eigenschaften auf dem Arbeitsblatt.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Umkreis berührt alle Eckpunkte eines Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Inkreis berührt Seiten eines Dreiecks genau einmal. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Dreiecks. Zur Konstruktion des Inkreises genügt es, zwei Winkelhalbierende zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
<ggb_applet id="anh5rdnm" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden des Dreiecks. Diese teilt er immer im Verhältnis 2:1. Zur Konstruktion des Schwerpunkts genügt es, zwei Seitenhalbierende zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
</div>

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp 1 anzeigen|Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Überlege dir, wo beispielsweise eine Winkelhalbierende entlangläuft und verschieben dann einen Eckpunkt. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.|Tipp 2 anzeigen|Tipp 2 verbergen}}
}}

==Schnappe die Diebe==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T12:07:18Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1:| Experimentiere mit den Besonderen Punkten des Dreiecks herum und notiere dir die besonderen Eigenschaften auf dem Arbeitsblatt.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Umkreis berührt alle Eckpunkte eines Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Inkreis berührt Seiten eines Dreiecks genau einmal. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Dreiecks. Zur Konstruktion des Inkreises genügt es, zwei Winkelhalbierende zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
<ggb_applet id="anh5rdnm" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden des Dreiecks. Diese teilt er immer im Verhältnis 2:1. Zur Konstruktion des Schwerpunkts genügt es, zwei Seitenhalbierende zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
</div>
}}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp 1 anzeigen|Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Überlege dir, wo beispielsweise eine Winkelhalbierende entlangläuft und verschieben dann einen Eckpunkt. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.|Tipp 2 anzeigen|Tipp 2 verbergen}}
}}

==Schnappe die Diebe==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T12:04:30Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1:| Experimentiere mit den Besonderen Punkten des Dreiecks herum und notiere dir die besonderen Eigenschaften auf dem Arbeitsblatt.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Umkreis berührt alle Eckpunkte eines Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}

<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Inkreis berührt Seiten eines Dreiecks genau einmal. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Dreiecks. Zur Konstruktion des Inkreises genügt es, zwei Winkelhalbierende zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
<ggb_applet id="anh5rdnm" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden des Dreiecks. Diese teilt er immer im Verhältnis 2:1. Zur Konstruktion des Schwerpunkts genügt es, zwei Seitenhalbierende zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
</div>

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp 1 anzeigen|Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Überlege dir, wo beispielsweise eine Winkelhalbierende entlangläuft und verschieben dann einen Eckpunkt. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.|Tipp 2 anzeigen|Tipp 2 verbergen}}

==Schnappe die Diebe==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T12:03:36Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1:| Experimentiere mit den Besonderen Punkten des Dreiecks herum und notiere dir die besonderen Eigenschaften auf dem Arbeitsblatt.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Umkreis berührt alle Eckpunkte eines Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}

<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Inkreis berührt Seiten eines Dreiecks genau einmal. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Dreiecks. Zur Konstruktion des Inkreises genügt es, zwei Winkelhalbierende zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
<ggb_applet id="anh5rdnm" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden des Dreiecks. Diese teilt er immer im Verhältnis 2:1. Zur Konstruktion des Schwerpunkts genügt es, zwei Seitenhalbierende zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
</div>

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp 1 anzeigen|Tipp 1 verbergen}}
{{Lösung versteckt|Überlege dir, wo beispielsweise eine Winkelhalbierende entlangläuft und verschieben dann einen Eckpunkt. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.|Tipp 2 anzeigen|Tipp 2 verbergen}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T11:57:59Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1:| Experimentiere mit den Besonderen Punkten des Dreiecks herum und notiere dir die besonderen Eigenschaften auf dem Arbeitsblatt.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Umkreis berührt alle Eckpunkte eines Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}

<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Inkreis berührt Seiten eines Dreiecks genau einmal. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Dreiecks. Zur Konstruktion des Inkreises genügt es, zwei Winkelhalbierende zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
<ggb_applet id="anh5rdnm" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden des Dreiecks. Diese teilt er immer im Verhältnis 2:1. Zur Konstruktion des Schwerpunkts genügt es, zwei Seitenhalbierende zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}
</div>

== Wiederholung ==
{{Box|1=Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks|2=In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als '''Umkreismittelpunkt''' bezeichnet.
<ggb_applet id="x7krntjr" width="100%" height="100%" />

Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als '''Inkreismittelpunkt''' des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
(Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den '''Schwerpunkt''' kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
(GeoGebra Applet) }}

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1: | In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 2:| Notiere zu jedem besonderen Punkt des Dreiecks die Kerneigenschaften.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt|

Der Inkreismittelpunkt hat zu allen Seiten den gleichen Abstand.

Der Umkreismittelpunkt hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Der Schwerpunkt liegt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T11:53:44Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1:| Experimentiere mit den Besonderen Punkten des Dreiecks herum und notiere dir die besonderen Eigenschaften auf dem Arbeitsblatt.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|
Der Umkreis berührt Eckpunkte eines Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}

<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" />
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

<ggb_applet id="anh5rdnm" width="700" height="450" />
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
</div>

== Wiederholung ==
{{Box|1=Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks|2=In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als '''Umkreismittelpunkt''' bezeichnet.
<ggb_applet id="x7krntjr" width="100%" height="100%" />

Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als '''Inkreismittelpunkt''' des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
(Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den '''Schwerpunkt''' kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
(GeoGebra Applet) }}

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1: | In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 2:| Notiere zu jedem besonderen Punkt des Dreiecks die Kerneigenschaften.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt|

Der Inkreismittelpunkt hat zu allen Seiten den gleichen Abstand.

Der Umkreismittelpunkt hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Der Schwerpunkt liegt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T11:52:09Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

<div class="box experimentieren">
==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1:| Experimentiere mit den Besonderen Punkten des Dreiecks herum und notiere dir die besonderen Eigenschaften auf dem Arbeitsblatt.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="700" height="450" />
{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:
Der Umkreis berührt Eckpunkte eines Dreiecks. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu zeichnen.
|Eigenschaften anzeigen|Eigenschaften verbergen}}

<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" />
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

<ggb_applet id="anh5rdnm" width="700" height="450" />
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
</div>

== Wiederholung ==
{{Box|1=Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks|2=In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als '''Umkreismittelpunkt''' bezeichnet.
<ggb_applet id="x7krntjr" width="100%" height="100%" />

Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als '''Inkreismittelpunkt''' des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
(Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den '''Schwerpunkt''' kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
(GeoGebra Applet) }}

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1: | In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 2:| Notiere zu jedem besonderen Punkt des Dreiecks die Kerneigenschaften.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt|

Der Inkreismittelpunkt hat zu allen Seiten den gleichen Abstand.

Der Umkreismittelpunkt hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Der Schwerpunkt liegt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T11:37:35Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

<div class="box experimentieren">
== Basiswissen ==
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren.
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="700" height="450" />

Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" />
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
<ggb_applet id="anh5rdnm" width="700" height="450" />
</div>

== Wiederholung ==
{{Box|1=Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks|2=In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als '''Umkreismittelpunkt''' bezeichnet.
<ggb_applet id="x7krntjr" width="100%" height="100%" />

Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als '''Inkreismittelpunkt''' des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
(Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den '''Schwerpunkt''' kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
(GeoGebra Applet) }}

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1: | In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 2:| Notiere zu jedem besonderen Punkt des Dreiecks die Kerneigenschaften.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt|

Der Inkreismittelpunkt hat zu allen Seiten den gleichen Abstand.

Der Umkreismittelpunkt hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Der Schwerpunkt liegt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T11:37:19Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

<div class="box experimentieren">
== Basiswissen ==
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren.
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="700" height="450" />

Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" />
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
<ggb_applet id="anh5rdnm" width="700" height="450" />
</div>

== Wiederholung ==
{{Box|1=Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks|2=In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als '''Umkreismittelpunkt''' bezeichnet.
<ggb_applet id="x7krntjr" width="100%" height="100%" />

Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als '''Inkreismittelpunkt''' des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
(Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den '''Schwerpunkt''' kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
(GeoGebra Applet) }}

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1: | In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 2:| Notiere zu jedem besonderen Punkt des Dreiecks die Kerneigenschaften.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt|

Der Inkreismittelpunkt hat zu allen Seiten den gleichen Abstand.

Der Umkreismittelpunkt hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Der Schwerpunkt liegt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T11:36:35Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

<div class="box experimentieren">
== Basiswissen ==
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren.
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="700" height="450" />

Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" />
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
<ggb_applet id="anh5rdnm" width="700" height="450" />
</div>

== Wiederholung ==
{{Box|1=Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks|2=In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als '''Umkreismittelpunkt''' bezeichnet.
<ggb_applet id="x7krntjr" width="100%" height="100%" />

Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als '''Inkreismittelpunkt''' des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
(Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den '''Schwerpunkt''' kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
(GeoGebra Applet) }}

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1: | In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 2:| Notiere zu jedem besonderen Punkt des Dreiecks die Kerneigenschaften.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt|

Der Inkreismittelpunkt hat zu allen Seiten den gleichen Abstand.

Der Umkreismittelpunkt hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Der Schwerpunkt liegt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T11:29:37Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

<div class="box experimentieren">
== Basiswissen ==
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren.
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="700" height="450" />

Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" />
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
<ggb_applet id="anh5rdnm" width="700" height="450" />
</div>

== Wiederholung ==
{{Box|1=Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks|2=In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als '''Umkreismittelpunkt''' bezeichnet.
<ggb_applet id="x7krntjr" width="100%" height="100%" />

Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als '''Inkreismittelpunkt''' des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
(Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den '''Schwerpunkt''' kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
(GeoGebra Applet) }}

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1: | In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 2:| Notiere zu jedem besonderen Punkt des Dreiecks die Kerneigenschaften.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt|

Der Inkreismittelpunkt hat zu allen Seiten den gleichen Abstand.

Der Umkreismittelpunkt hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Der Schwerpunkt liegt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T11:28:38Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

<div class="box experimentieren">
== Basiswissen ==
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren.
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Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
<ggb_applet id="fae77shu" width="700" height="450" /> }}
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
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</div>

== Wiederholung ==
{{Box|1=Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks|2=In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als '''Umkreismittelpunkt''' bezeichnet.
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Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als '''Inkreismittelpunkt''' des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
(Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den '''Schwerpunkt''' kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
(GeoGebra Applet) }}

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1: | In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
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==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 2:| Notiere zu jedem besonderen Punkt des Dreiecks die Kerneigenschaften.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt|

Der Inkreismittelpunkt hat zu allen Seiten den gleichen Abstand.

Der Umkreismittelpunkt hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Der Schwerpunkt liegt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T11:27:38Z

Jonte Uni MS-14:

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

<div class="box experimentieren">
== Basiswissen ==
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren.
<ggb_applet id="ek99gmjh" width="400" height="450" /> }}

Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
<ggb_applet id="fae77shu" width="400" height="450" /> }}
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
<ggb_applet id="anh5rdnm" width="400" height="450" /> }}
</div>

== Wiederholung ==
{{Box|1=Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks|2=In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als '''Umkreismittelpunkt''' bezeichnet.
<ggb_applet id="x7krntjr" width="100%" height="100%" />

Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als '''Inkreismittelpunkt''' des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
(Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den '''Schwerpunkt''' kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
(GeoGebra Applet) }}

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1: | In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 2:| Notiere zu jedem besonderen Punkt des Dreiecks die Kerneigenschaften.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt|

Der Inkreismittelpunkt hat zu allen Seiten den gleichen Abstand.

Der Umkreismittelpunkt hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Der Schwerpunkt liegt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Entwurf

2024-11-12T11:23:11Z

Jonte Uni MS-14: Die Seite wurde neu angelegt: „===Kapitel-Informationskästchen=== {{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt. Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapit…“

===Kapitel-Informationskästchen===

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an (Link).

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

<div class="box experimentieren">
== Basiswissen ==
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren.
[[Datei:Umkreismittelpunkt.svg|rahmenlos|ohne|500px]]

Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
[[Datei:Triangle-inscribed-circle.svg|rahmenlos|ohne|500px]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
[[Datei:01_Schwerpunkt_im_Dreieck-3.svg|rahmenlos|ohne|500px]]
</div>

== Wiederholung ==
{{Box|1=Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks|2=In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als '''Umkreismittelpunkt''' bezeichnet.
<ggb_applet id="x7krntjr" width="100%" height="100%" />

Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als '''Inkreismittelpunkt''' des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand.
(Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den '''Schwerpunkt''' kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
(GeoGebra Applet) }}

==Aufgabe 1==
{{Box | Aufgabe 1: | In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist? | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 1: | | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
<div class="lueckentext-quiz">
a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - '''Umkreismittelpunkt'''

Winkelhalbierende - '''Inkreismittelpunkt'''

Seitenhalbierende - '''Schwerpunkt'''

</div>

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Aufgabe 2==
{{Box | Aufgabe 2:| Notiere zu jedem besonderen Punkt des Dreiecks die Kerneigenschaften.| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Lösung versteckt|

Der Inkreismittelpunkt hat zu allen Seiten den gleichen Abstand.

Der Umkreismittelpunkt hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Der Schwerpunkt liegt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Aufgabe 3==
{{Box | Aufgabe 3: | Benenne die Punkte M<sub>1</sub> M<sub>2</sub> und M<sub>3</sub> der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen. | Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M<sub>1</sub> - '''Umkreismittelpunkt''', M<sub>2</sub> - '''Schwerpunkt''', M<sub>3</sub> - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier] .|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Benutzer:Jonte Uni MS-14

2024-11-12T11:22:36Z

Jonte Uni MS-14:

Seminar: [[Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Lernpfad: [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Geometrie im Dreieck]]

Lernpfadkapitel: [[Digitale Werkzeuge in der Schule|Digitale Werkzeuge in der Schule/]]

Betreuer: [[Benutzer:Katharina Kirsten]]

Testseite [[Benutzer: Jonte Uni MS 14/Testseite]]

Testseite2 [[Benutzer: Jonte Uni MS 14/Testseite2]]
Testseite2 [[Benutzer: Jonte Uni MS 14/Entwurf]]

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Testseite

2024-11-12T11:13:37Z

Jonte Uni MS-14:

Testseite Jonte

<ggb_applet id="ek99gmjh" width="100%" height="100%"/>

[[Datei:Grafik1.png|mini|Umkreis mit Mittelsenkrechten]]

'''Gruppe''': Jakob, Paula, Jonte

'''Inhalt''': Außenkreis-Mittelpunkt, Innenkreis-Mittelpunkt, Schwerpunkt, wie kann ich erkennen, welche Punkte innerhalb des 3ecks liegen

Schwerpunkt: Schnittpunkt von Seitenhalbierenden

Außenkreismittelpunkt: Schnittpunkt von Mittelsenkrechten

Innenkreismittelpunkt: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

* Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Umkreises immer innerhalb des Dreiecks.

* Bei rechtwinkligen Dreiecken ist der Mittelpunkt des Umkreises gleichzeitig der Mittelpunkt der Hypotenuse.

* Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Umkreises immer außerhalb des Dreiecks.

'''Thema''': Besondere Punkte eines Dreiecks / Komm zum Punkt! - Verschieden Punkte des Dreiecks berechnen

'''Ziel''': Die SuS...

...können den Außenkreis-, Innenkreis- und Schwerpunkt eines Dreiecks voneinander trennen und sie bestimmen

...erkennen, wann ein Außenkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

...

'''fett''', ''kursiv'', '''''beides''''',<s>Durchstreichen</s>, <code>Computercode</code>
<span style="color:green;">grün</span>

{{Lösung versteckt|Tipp|Tipp Aufklappen|Einklappen}}{{Lösung versteckt mit Rand|Lösung versteckt mit Rand}}{{Lösung verstecken|Lösung verstecken}}
{{Lösung|Lösung|lang=50|Breite=50}}

<div class="box hervorhebung1">
== Hervorhebung 1 ==
Das ist eine Hervorhebung
</div>

<div class="box hervorhebung2">

== Hervorhebung 2 ==
...
</div>

<div class="box zitat">
== Zitat ==
...
</div>

<div class="box arbeitsmethode">
== Arbeitsmethode ==
...
</div>

<div class="box unterrichtsidee">
== Unterrichtsidee ==
...
</div>

<div class="box meinung">
== Meinung ==
...
</div>

<div class="box lernpfad">
== Lenrpfad ==
...
</div>

<div class="box experimentieren">
== Experimentieren ==
...
</div>

<div class="box loesung">
== Lösung ==
...
</div>

<div class="box ueben">
== Üben ==
...
</div>

<div class="box kurzinfo">
== Kurzinfo ==
...
</div>

<div class="box experimentieren">
== Experimentieren ==
...
</div>

<div class="box download">
== Download ==
...
</div>

Box mit Logo ausprobieren:
{{Box| Titel | Als Klassen/class stehen einige Varianten zur Verfügung wie Hervorhebung1, Hervorhebung2, Zitat, ... , allerdings ist dies optional (siehe [[Vorlage:Box#Das schreibt man:|Vorlage:Box#Das schreibt man:]] oder [[https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Vorlagen]]) | Zitat }}

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-08T13:42:34Z

Jonte Uni MS-14:

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-08T13:32:28Z

Jonte Uni MS-14:

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-10-28T15:39:10Z

Jonte Uni MS-14:

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-10-28T15:37:09Z

Jonte Uni MS-14:

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-10-28T15:22:00Z

Jonte Uni MS-14:

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-10-28T15:16:10Z

Jonte Uni MS-14:

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-10-28T15:14:30Z

Jonte Uni MS-14:

Benutzer:Jonte Uni MS 14/Testseite

2024-10-28T15:04:42Z

Jonte Uni MS-14:

Testseite Jonte

[[Datei:Grafik1.png|mini|Umkreis mit Mittelsenkrechten]]

'''Gruppe''': Jakob, Paula, Jonte

'''Inhalt''': Außenkreis-Mittelpunkt, Innenkreis-Mittelpunkt, Schwerpunkt, wie kann ich erkennen, welche Punkte innerhalb des 3ecks liegen

Schwerpunkt: Schnittpunkt von Seitenhalbierenden

Außenkreismittelpunkt: Schnittpunkt von Mittelsenkrechten

Innenkreismittelpunkt: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

* Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Umkreises immer innerhalb des Dreiecks.

* Bei rechtwinkligen Dreiecken ist der Mittelpunkt des Umkreises gleichzeitig der Mittelpunkt der Hypotenuse.

* Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Umkreises immer außerhalb des Dreiecks.

'''Thema''': Besondere Punkte eines Dreiecks / Komm zum Punkt! - Verschieden Punkte des Dreiecks berechnen

'''Ziel''': Die SuS...

...können den Außenkreis-, Innenkreis- und Schwerpunkt eines Dreiecks voneinander trennen und sie bestimmen

...erkennen, wann ein Außenkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

...

'''fett''', ''kursiv'', '''''beides''''',<s>Durchstreichen</s>, <code>Computercode</code>
<span style="color:green;">grün</span>

{{Lösung versteckt|Tipp|Tipp Aufklappen|Einklappen}}{{Lösung versteckt mit Rand|Lösung versteckt mit Rand}}{{Lösung verstecken|Lösung verstecken}}
{{Lösung|Lösung|lang=50|Breite=50}}

<div class="box hervorhebung1">
== Hervorhebung 1 ==
Das ist eine Hervorhebung
</div>

<div class="box hervorhebung2">

== Hervorhebung 2 ==
...
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<div class="box zitat">
== Zitat ==
...
</div>

<div class="box arbeitsmethode">
== Arbeitsmethode ==
...
</div>

<div class="box unterrichtsidee">
== Unterrichtsidee ==
...
</div>

<div class="box meinung">
== Meinung ==
...
</div>

<div class="box lernpfad">
== Lenrpfad ==
...
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<div class="box experimentieren">
== Experimentieren ==
...
</div>

<div class="box loesung">
== Lösung ==
...
</div>

<div class="box ueben">
== Üben ==
...
</div>

<div class="box kurzinfo">
== Kurzinfo ==
...
</div>

<div class="box experimentieren">
== Experimentieren ==
...
</div>

<div class="box download">
== Download ==
...
</div>

Box mit Logo ausprobieren:
{{Box| Titel | Als Klassen/class stehen einige Varianten zur Verfügung wie Hervorhebung1, Hervorhebung2, Zitat, ... , allerdings ist dies optional (siehe [[Vorlage:Box#Das schreibt man:|Vorlage:Box#Das schreibt man:]] oder [[https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Vorlagen]]) | Zitat }}

Datei:Grafik1.png

2024-10-28T15:04:06Z

Jonte Uni MS-14: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Umkreis
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Jonte Uni MS-14|Jonte Uni MS-14]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-10-28T14:51:30Z

Jonte Uni MS-14:

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-10-28T14:51:02Z

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Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-10-28T14:50:04Z

Jonte Uni MS-14:

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-10-28T14:39:00Z

Jonte Uni MS-14:

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-10-28T14:36:28Z

Jonte Uni MS-14:

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-10-28T14:21:43Z

Jonte Uni MS-14: