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https://projekte.zum.de/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Jonas+WWU-4 ZUM Projektwiki - Benutzerbeiträge [de] 2026-10-09T17:11:35Z Benutzerbeiträge MediaWiki 1.43.11 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8977 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-23T10:18:02Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.<br /><br /><br /> Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur '''Scheitelpunktform''', der '''Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform''' sowie zur Berechnung von '''Nullstellen''' bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei '''Anwendungsaufgaben''', in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.<br /><br /><br /> In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.<br /> |Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= a steht für die Verschiebung in X-Richtung.<br /> <br /> b für die Verschiebung in Y-Richtung.<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beispiele sind:<br /> <br /> <math>f(x)=(x-3)^2+2</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (3, 2)<br /> <br /> <math>g(x)=(x+0)^2-4</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (0, -4)<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 5. Anwendungsaufgabe für Zwischendurch: Flugbahn eines Steins|<br /> <br /> [[Datei:Water-2045469 1920.jpg|mini]]<br /> <br /> Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion <math>g(x)=-\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2}</math> beschreiben, wobei <math>x</math> die Entfernung des Steins vom Ufer und <math>g(x)</math> die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt. <br /> <br /> <br /><br /><br /> <br /> '''a)''' An welcher Stelle erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?<br /> <br /> '''b)''' Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft. <br /> <br /> '''c)*''' In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein?<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Da die Funktion in Scheitelpunktform angegeben ist, kannst du diesen direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.| 2=Tipp zu Aufgabenteil a) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Zu Erinnerung: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform hat die Form <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. Um die Flugbahn zeichnen zu können, musst du die Parameter <math>a,d</math> und <math>e</math> der gegebenen Funktionsgleichung identifizieren.| 2=Tipp 1 zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d,e)</math> ein. Beim weiteren Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter <math>a</math> an, wie viele Einheiten (Meter) du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit (Meter) nach rechts oder links "gehst".| 2=Tipp 2 zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Um diesen Aufgabenteil zu lösen, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen (an einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf das Wasser). Falls du dich dabei noch unsicher fühlst, bearbeite zuerst Aufgabe 10. Dort findest Du alle notwendigen Hilfestellungen. In jedem Fall solltest du für die Rechenschritte dein Heft benutzen. | 2=Tipp zu Aufgabenteil c) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Der Scheitelpunkt der Funktion ist <math>S=(1,\frac{5}{2})</math>. Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt also bereits nach einem Meter. | 2=Lösung zu Aufgabenteil a) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Steinwurf Skizze.png|700 px |zentriert]] Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf dem See endet. Auf der X-Achse trägst du die Wurfweite in Meter ab, auf der Y-Achse die Höhe des Steins in Meter. | 2=Lösung zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= <br /> <br /> Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion <math>g(x)</math> bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche.<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2} &\mid \cdot(-10)\\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-25 &\mid +25 \\<br /> &\Leftrightarrow& 25 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -5& \textrm{sowie}& (x_2-1)=5\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=-4</math> und <math>x_2=6</math>. Damit haben wir zwei Nullstellen.<br /> <br /><br /><br /> Da wir jedoch davon ausgehen, dass Jonas den Stein nach vorne in den See wirft, beträgt die Wurfweite 6 m.<br /> <br /> | 2=Lösung zu Aufgabenteil c) | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform===<br /> <br /> Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden '''Binomischen Formeln'''. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.<br /><br /><br /> {{Box|1=Die ersten beiden Binomischen Formeln|2=<br /> ''1. Binomische Formel:'' <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br><br /> ''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>|3=Merke}} <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> {{Box|6. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pukjo3dgk19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a+b)*(a-b)=a^2-b^2</math><br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> <br /><br /><br /> Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, diese Gleichung aufzulösen: Bei einer Funktion in Scheitelpunktform hilft es in der Regel, den Term <math>(x-d)^2</math> auf einer Seite zu isolieren und dann auf beiden Seiten die Wurzel zu ziehen. <br /> <br /> Weitere nützliche Hilfsmittel sind '''pq-Formel''', '''quadratische Ergänzung''' und '''Mitternachtsformel'''. <br /> <br /><br /><br /> Überlege dir jeweils, welcher Weg für die konkrete Aufgabenstellung am sinnvollsten ist.<br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Im Unterricht habt ihr sicherlich die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese besagt: <br /> <br /> Eine Gleichung der Form <math>x^2+px+q=0</math> hat die Lösungen <br /> <br /> <math>x_{1} = -\frac{p}{2}-\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{p}{2}+\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math><br /> <br /> Die '''pq-Formel''' ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal in Tipp 3 von Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8976 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-23T10:16:25Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.<br /><br /><br /> Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur '''Scheitelpunktform''', der '''Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform''' sowie zur Berechnung von '''Nullstellen''' bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei '''Anwendungsaufgaben''', in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.<br /><br /><br /> In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.<br /> |Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= a steht für die Verschiebung in X-Richtung.<br /> <br /> b für die Verschiebung in Y-Richtung.<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beispiele sind:<br /> <br /> <math>f(x)=(x-3)^2+2</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (3, 2)<br /> <br /> <math>g(x)=(x+0)^2-4</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (0, -4)<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 5. Anwendungsaufgabe für Zwischendurch: Flugbahn eines Steins|<br /> <br /> [[Datei:Water-2045469 1920.jpg|mini]]<br /> <br /> Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion <math>g(x)=-\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2}</math> beschreiben, wobei <math>x</math> die Entfernung des Steins vom Ufer und <math>g(x)</math> die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt. <br /> <br /> <br /><br /><br /> <br /> '''a)''' An welcher Stelle erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?<br /> <br /> '''b)''' Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft. <br /> <br /> '''c)*''' In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein?<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Da die Funktion in Scheitelpunktform angegeben ist, kannst du diesen direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.| 2=Tipp zu Aufgabenteil a) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Zu Erinnerung: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform hat die Form <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. Um die Flugbahn zeichnen zu können, musst du die Parameter <math>a,d</math> und <math>e</math> der gegebenen Funktionsgleichung identifizieren.| 2=Tipp 1 zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d,e)</math> ein. Beim weiteren Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter <math>a</math> an, wie viele Einheiten (Meter) du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit (Meter) nach rechts oder links "gehst".| 2=Tipp 2 zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Um diesen Aufgabenteil zu lösen, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen (an einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf das Wasser). Falls du dich dabei noch unsicher fühlst, bearbeite zuerst Aufgabe 10. Dort findest Du alle notwendigen Hilfestellungen. In jedem Fall solltest du für die Rechenschritte dein Heft benutzen. | 2=Tipp zu Aufgabenteil c) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Der Scheitelpunkt der Funktion ist <math>S=(1,\frac{5}{2})</math>. Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt also bereits nach einem Meter. | 2=Lösung zu Aufgabenteil a) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Steinwurf Skizze.png|700 px |zentriert]] Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf dem See endet. Auf der X-Achse trägst du die Wurfweite in Meter ab, auf der Y-Achse die Höhe des Steins in Meter. | 2=Lösung zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= <br /> <br /> Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion <math>g(x)</math> bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche.<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2} &\mid \cdot(-10)\\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-25 &\mid +25 \\<br /> &\Leftrightarrow& 25 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -5& \textrm{sowie}& (x_2-1)=5\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=-4</math> und <math>x_2=6</math>. Damit haben wir zwei Nullstellen.<br /> <br /><br /><br /> Da wir jedoch davon ausgehen, dass Jonas den Stein nach vorne in den See wirft, beträgt die Wurfweite 6 m.<br /> <br /> | 2=Lösung zu Aufgabenteil c) | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform===<br /> <br /> Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden '''Binomischen Formeln'''. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.<br /><br /><br /> {{Box|1=Die ersten beiden Binomischen Formeln|2=<br /> ''1. Binomische Formel:'' <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br><br /> ''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>|3=Merke}} <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> {{Box|6. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pukjo3dgk19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|9. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a+b)*(a-b)=a^2-b^2</math><br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|10. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> <br /><br /><br /> Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, diese Gleichung aufzulösen: Bei einer Funktion in Scheitelpunktform hilft es in der Regel, den Term <math>(x-d)^2</math> auf einer Seite zu isolieren und dann auf beiden Seiten die Wurzel zu ziehen. <br /> <br /> Weitere nützliche Hilfsmittel sind '''pq-Formel''', '''quadratische Ergänzung''' und '''Mitternachtsformel'''. <br /> <br /><br /><br /> Überlege dir jeweils, welcher Weg für die konkrete Aufgabenstellung am sinnvollsten ist.<br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Im Unterricht habt ihr sicherlich die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese besagt: <br /> <br /> Eine Gleichung der Form <math>x^2+px+q=0</math> hat die Lösungen <br /> <br /> <math>x_{1} = -\frac{p}{2}-\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{p}{2}+\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math><br /> <br /> Die '''pq-Formel''' ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|11. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal in Tipp 3 von Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8975 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-23T09:58:02Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.<br /><br /><br /> Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur '''Scheitelpunktform''', der '''Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform''' sowie zur Berechnung von '''Nullstellen''' bereitgestellt. Zusätzlich erwarten dich zwei '''Anwendungsaufgaben''', in welchen du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.<br /><br /><br /> In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.<br /> |Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= a steht für die Verschiebung in X-Richtung.<br /> <br /> b für die Verschiebung in Y-Richtung.<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beispiele sind:<br /> <br /> <math>f(x)=(x-3)^2+2</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (3, 2)<br /> <br /> <math>g(x)=(x+0)^2-4</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (0, -4)<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 5. Anwendungsaufgabe für Zwischendurch: Flugbahn eines Steins|<br /> <br /> [[Datei:Water-2045469 1920.jpg|mini]]<br /> <br /> Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion <math>g(x)=-\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2}</math> beschreiben, wobei <math>x</math> die Entfernung des Steins vom Ufer und <math>g(x)</math> die Höhe des Steins (jeweils in Meter) beschreibt. <br /> <br /> <br /><br /><br /> <br /> '''a)''' An welcher Stelle erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?<br /> <br /> '''b)''' Zeichne die Flugbahn des Steins in dein Heft. <br /> <br /> '''c)*''' In welcher Entfernung von Jonas taucht der Stein ins Wasser ein?<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt am Scheitelpunkt der Funktion. Da die Funktion in Scheitelpunktform angegeben ist, kannst du diesen direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.| 2=Tipp zu Aufgabenteil a) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Zu Erinnerung: Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform hat die Form <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. Um die Flugbahn zeichnen zu können, musst du die Parameter <math>a,d</math> und <math>e</math> der gegebenen Funktionsgleichung identifizieren.| 2=Tipp 1 zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Zeichne zunächst den Scheitelpunkt <math>S=(d,e)</math> ein. Beim weiteren Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter <math>a</math> an, wie viele Einheiten (Meter) du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit (Meter) nach rechts oder links "gehst".| 2=Tipp 2 zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Um diesen Aufgabenteil zu lösen, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen (an einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf das Wasser). Falls du dich dabei noch unsicher fühlst, bearbeite zuerst Aufgabe 10. Dort findest Du alle notwendigen Hilfestellungen. In jedem Fall solltest du für die Rechenschritte dein Heft benutzen. | 2=Tipp zu Aufgabenteil c) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Der Scheitelpunkt der Funktion ist <math>S=(1,\frac{5}{2})</math>. Der Stein erreicht seinen höchsten Punkt also bereits nach einem Meter. | 2=Lösung zu Aufgabenteil a) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= [[Datei:Steinwurf Skizze.png|700 px |zentriert]] Beachte, dass die Flugbahn erst mit dem Abwurf des Steins beginnt und mit dem Auftreffen des Steins auf dem See endet. Auf der X-Achse trägst du die Wurfweite in Meter ab, auf der Y-Achse die Höhe des Steins in Meter. | 2=Lösung zu Aufgabenteil b) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= <br /> <br /> Du musst zunächst die Nullstellen der Funktion <math>g(x)</math> bestimmen. An einer dieser Nullstellen trifft der Stein auf die Wasseroberfläche.<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2} &\mid \cdot(-10)\\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-25 &\mid +25 \\<br /> &\Leftrightarrow& 25 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -5& \textrm{sowie}& (x_2-1)=5\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=-4</math> und <math>x_2=6</math>. Damit haben wir zwei Nullstellen.<br /> <br /><br /><br /> Da wir jedoch davon ausgehen, dass Jonas den Stein nach vorne in den See wirft, beträgt die Wurfweite 6 m.<br /> <br /> | 2=Lösung zu Aufgabenteil c) | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform===<br /> <br /> Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden '''Binomischen Formeln'''. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.<br /><br /><br /> {{Box|1=Die ersten beiden Binomischen Formeln|2=<br /> ''1. Binomische Formel:'' <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br><br /> ''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>|3=Merke}} <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> {{Box|6. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pukjo3dgk19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 6 und 7 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|9. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a+b)*(a-b)=a^2-b^2</math><br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|10. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> <br /><br /><br /> Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, diese Gleichung aufzulösen: Bei einer Funktion in Scheitelpunktform hilft es in der Regel, den Term <math>(x-d)^2</math> auf einer Seite zu isolieren und dann auf beiden Seiten die Wurzel zu ziehen. <br /> <br /> Weitere nützliche Hilfsmittel sind '''pq-Formel''', '''quadratische Ergänzung''' und '''Mitternachtsformel'''. <br /> <br /><br /><br /> Überlege dir jeweils, welcher Weg für die konkrete Aufgabenstellung am sinnvollsten ist.<br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Im Unterricht habt ihr sicherlich die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese besagt: <br /> <br /> Eine Gleichung der Form <math>x^2+px+q=0</math> hat die Lösungen <br /> <br /> <math>x_{1} = -\frac{p}{2}-\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{p}{2}+\sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}</math><br /> <br /> Die '''pq-Formel''' ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|11. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal in Tipp 3 von Aufgabe 10 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 7 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8933 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-22T09:27:35Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.<br /><br /><br /> Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur '''Scheitelpunktform''', der '''Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform''' sowie zur Berechnung von '''Nullstellen''' bereitgestellt. Zum Schluss erwartet dich noch eine '''Anwendungsaufgabe''', in welcher du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.<br /><br /><br /> In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.<br /> |Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= a steht für die Verschiebung in X-Richtung.<br /> <br /> b für die Verschiebung in Y-Richtung.<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beispiele sind:<br /> <br /> <math>f(x)=(x-3)^2+2</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (3, 2)<br /> <br /> <math>g(x)=(x+0)^2-4</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (0, -4)<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 5. Steinwurf|Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion <math>-\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2 </math> beschreiben.<br /> <br /> '''a)''' Wann erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?<br /> <br /> '''b)'''Zeichne die Flugbahn des Steins. <br /> <br /> '''c)''' Wie weit fliegt der Stein?*<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform===<br /> <br /> Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden '''Binomischen Formeln'''. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.<br /><br /><br /> {{Box|1=Die ersten beiden Binomischen Formeln|2=<br /> ''1. Binomische Formel:'' <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br><br /> ''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>|3=Merke}} <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a+b)*(a-b)=a^2-b^2</math><br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8932 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-22T09:25:48Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.<br /><br /><br /> Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur '''Scheitelpunktform''', der '''Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform''' sowie zur Berechnung von '''Nullstellen''' bereitgestellt. Zum Schluss erwartet dich noch eine '''Anwendungsaufgabe''', in welcher du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.<br /><br /><br /> In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.<br /> |Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= a steht für die Verschiebung in X-Richtung.<br /> <br /> b für die Verschiebung in Y-Richtung.<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beispiele sind:<br /> <br /> <math>f(x)=(x-3)^2+2</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (3, 2)<br /> <br /> <math>g(x)=(x+0)^2-4</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (0, -4)<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 5. Steinwurf|Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion <math>-\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2 </math> beschreiben.<br /> <br /> '''a)''' Wann erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?<br /> <br /> '''b)'''Zeichne die Flugbahn des Steins. <br /> <br /> '''c)''' Wie weit fliegt der Stein?*<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform===<br /> <br /> Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden '''Binomischen Formeln'''. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.<br /><br /><br /> {{Box|1=Die ersten beiden Binomischen Formeln|2=<br /> ''1. Binomische Formel:'' <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br><br /> ''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>|3=Merke}} <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a+b)*(a-b)=a^2-b^2</math><br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8931 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-22T09:24:58Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.<br /><br /><br /> Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur '''Scheitelpunktform''', der '''Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform''' sowie zur Berechnung von '''Nullstellen''' bereitgestellt. Zum Schluss erwartet dich noch eine '''Anwendungsaufgabe''', in welcher du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.<br /><br /><br /> In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.<br /> |Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.</nowiki><br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= a steht für die Verschiebung in X-Richtung.<br /> <br /> b für die Verschiebung in Y-Richtung.<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beispiele sind:<br /> <br /> <math>f(x)=(x-3)^2+2</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (3, 2)<br /> <br /> <math>g(x)=(x+0)^2-4</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (0, -4)<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 5. Steinwurf|Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion <math>-\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2 </math> beschreiben.<br /> <br /> '''a)''' Wann erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?<br /> <br /> '''b)'''Zeichne die Flugbahn des Steins. <br /> <br /> '''c)''' Wie weit fliegt der Stein?*<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform===<br /> <br /> Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden '''Binomischen Formeln'''. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.<br /><br /><br /> {{Box|1=Die ersten beiden Binomischen Formeln|2=<br /> ''1. Binomische Formel:'' <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br><br /> ''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>|3=Merke}} <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a+b)*(a-b)=a^2-b^2</math><br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8930 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-22T09:24:15Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.<br /><br /><br /> Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur '''Scheitelpunktform''', der '''Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform''' sowie zur Berechnung von '''Nullstellen''' bereitgestellt. Zum Schluss erwartet dich noch eine '''Anwendungsaufgabe''', in welcher du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.<br /><br /><br /> In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.<br /> |Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= a steht für die Verschiebung in X-Richtung.<br /> <br /> b für die Verschiebung in Y-Richtung.<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beispiele sind:<br /> <br /> <math>f(x)=(x-3)^2+2</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (3, 2)<br /> <br /> <math>g(x)=(x+0)^2-4</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (0, -4)<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 5. Steinwurf|Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion <math>-\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2 </math> beschreiben.<br /> <br /> '''a)''' Wann erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?<br /> <br /> '''b)'''Zeichne die Flugbahn des Steins. <br /> <br /> '''c)''' Wie weit fliegt der Stein?*<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform===<br /> <br /> Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden '''Binomischen Formeln'''. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.<br /><br /><br /> {{Box|1=Die ersten beiden Binomischen Formeln|2=<br /> ''1. Binomische Formel:'' <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br><br /> ''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>|3=Merke}} <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a+b)*(a-b)=a^2-b^2</math><br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8929 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-22T09:23:39Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.<br /><br /><br /> Dazu werden dir Informationen und Aufgaben zur '''Scheitelpunktform''', der '''Umwandlung zwischen Scheitelpunktform und Normalform''' sowie zur Berechnung von '''Nullstellen''' bereitgestellt. Zum Schluss erwartet dich noch eine '''Anwendungsaufgabe''', in welcher du die zuvor gelernten Inhalte testen kannst.<br /><br /><br /> In diesem Lernpfad findest du Aufgaben mit einem *. Bei diesen handelt es sich um Forderaufgaben. Aufgaben mit ** sind anspruchsvolle Knobelaufgaben. Hat eine Aufgabe kein *, dann ist die Aufgabe zur Wiederholung und Vertiefung der Inhalte geeignet.<br /> |Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= a steht für die Verschiebung in X-Richtung.<br /> <br /> b für die Verschiebung in Y-Richtung.<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beispiele sind:<br /> <br /> <math>f(x)=(x-3)^2+2</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (3, 2)<br /> <br /> <math>g(x)=(x+0)^2-4</math> hat ihren Scheitelpunkt bei (0, -4)<br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Erinner dich, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter auf den Funktionsgraphen haben. Wenn du es nicht mehr genau weißt, dann schau dir Aufgabe 1 nochmal an.| 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 5. Steinwurf|Jonas wirft einen Stein vom Ufer in einen See. Die Flugbahn des Steins lässt sich mit der quadratischen Funktion <math>-\frac{1}{10}\cdot(x-1)^2+\frac{5}{2 </math> beschreiben.<br /> <br /> '''a)''' Wann erreicht der Stein seinen höchsten Punkt?<br /> <br /> '''b)'''Zeichne die Flugbahn des Steins. <br /> <br /> '''c)''' Wie weit fliegt der Stein?*<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalform===<br /> <br /> Bisher hast du dich intensiv mit der Scheitelpunktform beschäftigt. In diesem Abschnitt wirst du auch mit der Normalform einer quadratischen Funktion arbeiten. Dafür benötigst du die ersten beiden '''Binomischen Formeln'''. In dem folgenden Merksatz sind diese dargestellt. Falls du bei den nachfolgenden Aufgaben Schwierigkeiten bei der Umwandlung der Binomischen Formeln hast, dann scroll bis zu diesem Merksatz hoch und schau ihn dir nochmal an.<br /><br /><br /> {{Box|1=Die ersten beiden Binomischen Formeln|2=<br /> ''1. Binomische Formel:'' <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br><br /> ''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>|3=Merke}} <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a+b)*(a-b)=a^2-b^2</math><br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8850 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-21T09:06:58Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Erinner dich, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter auf den Funktionsgraphen haben. Wenn du es nicht mehr genau weißt, dann schau dir Aufgabe 1 nochmal an.| 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a+b)*(a-b)=a^2-b^2</math><br /> <br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8849 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-21T09:06:28Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Erinner dich, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter auf den Funktionsgraphen haben. Wenn du es nicht mehr genau weißt, dann schau dir Aufgabe 1 nochmal an.| 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <br /> <math>(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2</math><br /> <br /> <math>(a+b)*(a-b)=a^2-b^2</math><br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8848 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-21T09:05:41Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Erinner dich, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter auf den Funktionsgraphen haben. Wenn du es nicht mehr genau weißt, dann schau dir Aufgabe 1 nochmal an.| 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <math>(a+b)^2=a^2+2*ab+b^2</math><br /> <math>(a-b)^2=a^2-2*ab+b^2</math><br /> <math>(a+b)*(a-b)=a^2-b^2</math><br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8847 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-21T09:04:35Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Erinner dich, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter auf den Funktionsgraphen haben. Wenn du es nicht mehr genau weißt, dann schau dir Aufgabe 1 nochmal an.| 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <math>(a+b)²=a²+2*ab+b²</math><br /> <math>(a-b)²=a²-2*ab+b²</math><br /> <math>(a+b)*(a-b)=a²-b²</math><br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8846 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-21T09:02:20Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Erinner dich, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter auf den Funktionsgraphen haben. Wenn du es nicht mehr genau weißt, dann schau dir Aufgabe 1 nochmal an.| 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <math>(a+b)²=a²+2ab+b²</math><br /> <math>(a-b)²=a²-2ab+b²</math><br /> <math>(a+b)*(a-b)=a²-b²</math><br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8845 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-21T09:01:32Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Erinner dich, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter auf den Funktionsgraphen haben. Wenn du es nicht mehr genau weißt, dann schau dir Aufgabe 1 nochmal an.| 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <math>(a+b)² &=& a²+2ab+b²</math><br /> <math>(a-b)² &=& a²-2ab+b²</math><br /> <math>(a+b)*(a-b) &=& a²-b²</math><br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8844 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-21T09:00:31Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Erinner dich, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter auf den Funktionsgraphen haben. Wenn du es nicht mehr genau weißt, dann schau dir Aufgabe 1 nochmal an.| 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <math><br /> (a+b)² &=& a²+2ab+b²<br /> (a-b)² &=& a²-2ab+b²<br /> (a+b)*(a-b) &=& a²-b²<br /> </math><br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8843 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-21T08:59:03Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Erinner dich, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter auf den Funktionsgraphen haben. Wenn du es nicht mehr genau weißt, dann schau dir Aufgabe 1 nochmal an.| 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> (a+b)² &=& a²+2ab+b²\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8842 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-21T08:56:15Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Erinner dich, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter auf den Funktionsgraphen haben. Wenn du es nicht mehr genau weißt, dann schau dir Aufgabe 1 nochmal an.| 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die binomischen Formeln lauten:<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> (a+b)² &=& a²+2ab+b²<br /> \end{array}<br /> </math><br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=8841 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-05-21T08:51:05Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. Liegt die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform vor, wie es hier der Fall ist, dann kann der Scheitelpunkt S direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Der Parameter d ist die '''x'''-Koordinate und der Parameter e ist die '''y'''-Koordinate des Scheitelpunkts. <math>\Rightarrow </math> S(d,e). <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (a>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann sieht der Graph von g '''schma''' '''ler''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> Liegt a zwischen minus Eins und Eins (-1<a<1), dann sieht der Graph von g '''brei''' '''ter''' aus. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''staucht''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box|2.'''WANTED! Welche Punkte gehören nicht zu der Funktion f?'''|<br /> Gegeben seien die Funktion <math>f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-2)^2-2</math> und die Punkte <math>A=(4,0),</math><br /> <math>B=(0,2),</math><br /> <math>C=(-\frac{1}{2}, \frac{9}{8}),</math><br /> <math>D=(\frac{7}{3},\frac{20}{3})</math> und<br /> <math>E=(2,-2)</math>.<br /> <br /> '''a)''' Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte A, B, C, D und E auf dem Graphen von f liegen.<br /><br /><br /> '''b)''' Zeichne den Graphen der Funktion f und die Punkte A-E in dein Heft. Vergleiche anschließend die Ergebnisse aus a) mit deiner Zeichnung<br><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du kannst einfach prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt: Setze den x-Wert in die Funktionsgleichung ein und berechne den zugehörigen y-Wert| 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Du hast Probleme beim Zeichnen des Graphen? Der Lückentext in Aufgabe 1 hilft dir weiter.| 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Starte beim Zeichnen mit dem Scheitelpunkt, den du aus der Funktionsgleichung ablesen kannst. Auch hierbei kann dir Aufgabe 1 helfen. | 2=Tipp 3| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Beim Zeichnen des Funktionsgraphen gibt dir der Parameter a an, wie viele Einheiten du nach oben oder unten "gehen" musst, wenn du eine Einheit nach rechts oder links "gehst". |2=Tipp 4| 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn deine Zeichnung so aussieht, hast du alles richtig gemacht: [[Datei:Lösung Punkt auf Graph.jpg|700 px |zentriert]] | 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|<br /> Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den zugehörigen Graphen zu.<br /><br /> Hinweis: Du kannst das Bild der Funktionsgraphen vergrößern, indem du mit der Maus auf diese klickst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pp0fefcp519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Erinner dich, welche Auswirkungen die einzelnen Parameter auf den Funktionsgraphen haben. Wenn du es nicht mehr genau weißt, dann schau dir Aufgabe 1 nochmal an.| 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform aufstellen|<br /> <br /> Stell die zugehörigen Funktionsgleichungen in Scheitelpunktsform auf. Wähle im Anschluss die richtige Lösung aus. <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pk7nd3faa19}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, welche Parameter du brauchst um eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform aufzustellen. (Falls du Aufgabe 1 schon bearbeitet hast, findest du dort nützliche Hinweise.) <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Die Scheitelpunktform hat die Funktionsgleichung <math>g(x)=a\cdot(x-d)^2+e</math>. <br /> Probiere aus was passiert, wenn du die Parameter <math>a, d</math> und <math>e</math> veränderst. Beobachte die Funktionsgleichung und den zugehörigen Graphen. <br /> <br /> <ggb_applet id="ch7fd3vy" width="1280" height="650" border="888888" /><br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Für den Scheitelpunkt gilt: <math>S=(d,e)</math>. Wenn du also den Scheitelpunkt aus der Darstellung des Funktionsgraphen abliest und seine Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du nur noch den Parameter <math>a</math> bestimmen. | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Um den Parameter <math>a</math> zu bestimmen gibt es verschiedene Möglichkeiten. <br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 1:''' Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt <math>(x,y</math> ) aus dem Graphen ablesen und in die Funktionsgleichung einsetzen. Im Anschluss musst du nur noch die Gleichung nach <math>a</math> auflösen. Bei Bedarf kannst Du gerne dein Heft benutzen, um dir Rechenschritte zu notieren.<br /> <br /> <br /> '''Möglichkeit 2:''' Alternativ kannst du den Parameter <math>a</math> auch direkt aus dem Graphen ablesen: Gehst du vom Scheitelpunkt aus um eine Einheit nach rechts, so entspricht <math>a</math> der Anzahl an Einheiten, die du nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) gehen musst, bis du wieder auf dem Graphen bist.| 2=Tipp 4 | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p96dzo6ta19|width=100%|height=400px}}<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?|<br /> <br /> Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> {{LearningApp|app=pjwuo0wwj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Finde die Paare*|Wandle in deinem Heft die Funktionen f und g in die Normalform um und die Funktionen i und j in die Scheitelpunktform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu.<br><br /> Hinweis: Es bleiben am Ende drei Funktionsgleichungen übrig.<br /> <br /> {{LearningApp|app=p04ntn3cj19|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Wenn du dir nicht mehr genau weißt, wie du von der Scheitelpunktform in die Normalform kommst oder umgekehrt, dann schau dir nochmal die Aufgaben 5 und 6 an.<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> f(x) &=& (x+3)^2+4 &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& (x^2+6x+9)+4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& x^2 +6x +13<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> g(x) &=& 2 \cdot (x-3)^2+9 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \\<br /> &=& 2 \cdot (x^2 -6x +9)+9 &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& 2x^2-12x+18+9 &\mid zusammenfassen \\<br /> &=& 2x^2-12x+27<br /> \end{array}<br /> </math>}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> h(x) &=& x^2-14x-4 &\mid \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& x^2-14x +7^2-7^2-4 &\mid \, 2. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& (x-7)^2-7^2-4 &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& (x-7)^2 -53<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> i(x) &=& -2 \cdot x^2 -12x -11 &\mid \, (-2) \, ausklammern \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+\frac{11}{2}] &\mid \, quadratische\, Erg\ddot{a}nzung \\<br /> &=& -2 \cdot [x^2+6x+3^2-3^2+\frac{11}{2}] &\mid \, 1. \, Binomische \, Formel \, r\ddot{u}ckw\ddot{a}rts \, anwenden \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-9+\frac{11}{2}] &\mid \, zusammenfassen \\<br /> &=& -2 \cdot [(x+3)^2-\frac{7}{2}] &\mid \, ausmultiplizieren \\<br /> &=& -2 \cdot (x+3)^2 +7<br /> \end{array}<br /> </math><br /> }}<br /> |Lösung |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> {{LearningApp|app=phcwj4be519|width=100%|height=400px}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> Die zum lösen benötigten Formeln sind die binomischen Formeln.}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|9. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> Da einige Rechenschritte notwendig sind, solltest du dein Heft benutzen.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Überlege dir zunächst, wie Nullstellen definiert sind. Aus der Definition kannst Du direkt den ersten Schritt zur Nullstellenbestimmung ableiten. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen '''x-Werte''', die eingesetzt in die Funktion '''0''' ergeben. Setze also zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Es gibt verschiedene Wege, um quadratische Gleichungen zu lösen. Im Unterricht habt ihr sicherlich auch die '''pq-Formel''' kennengelernt. Diese ist z.B. für die Bestimmung der Nullstellen von <math>h(x)</math> sehr nützlich. <br /> | 2=Tipp 3 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=<br /> <br /> Eine Möglichkeit die Nullstellen von <math>g(x)</math> zu bestimmen lautet wie folgt:<br /> <br /><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> && g(x) &&=&& 0 \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& -3(x-1)^2+3 &\mid :(-3) \\<br /> &\Leftrightarrow& 0 &&=&& (x-1)^2-1 &\mid +1 \\<br /> &\Leftrightarrow& 1 &&=&& (x-1)^2 &\mid \sqrt{} \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rlll} <br /> &\Rightarrow&(x_1-1) = -1& \textrm{sowie}& (x_2-1)=1\\<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /><br /> <br /> Also folgt <math>x_1=2</math> und <math>x_2=0</math>. Das sind die Nullstellen.<br /> <br /> | 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Diese Funktion ist in Normalform angegeben. Du kannst also nach wenigen Rechenschritten auf die '''pq-Formel''' zurückgreifen, um die Nullstellen zu bestimmen:<br /><br />Betrachte <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> <br /> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math>.<br /><br /> <br /> Du erhälst die Gleichung <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel folgt<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> Somit sind <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> die Nullstellen.<br /> | 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|10. Baseball|<br /> <br /> [[File:Baseball swing.jpg|160px|rechts|rahmenlos|Batter beim Schlagen eines Balles]]<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <br /> [[Datei:Baseball Schlaghöhe.png|rechts|rahmenlos]]<br /> <br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. |Lösung a) |schließen}}<br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /><br /> <br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Ball aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht.|Lösung b)|schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf dem Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 9 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Der Zeitpunkt <math>x_2</math> liegt zeitlich vor dem Schlag. Aus diesem Grund müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.<br /> |Lösung c) |schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt| 1=Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}} <br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgabe 6 an.<br /> |2=Tipp 4<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> <br /><br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. <br /> |Lösung d) |schließen}}<br /> <br /> e)** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in welcher der Baseball eine Höhe von 0,5 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=0.5</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und löse dann die Gleichung mit der p-q-Formel.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=0.5</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>0.5</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> <br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0.5 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -0.5 \\<br /> \Leftrightarrow 0&=&-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 <br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +0.5 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x - \frac{200}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= -\frac{200}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 + \frac{200}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19400}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 80.42<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+80.42 = 160.42 </math> und <math> x_2 = 80-80.42 = -0.42 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>160.42</math> Metern eine Flughöhe von 0,5 Metern. |Lösung e) |schließen}}<br /> <br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=7369 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-04-24T13:45:01Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktsform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (<>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann wird der Graph von g '''schma''' '''ler'''. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box| 2. '''WANTED!'''|<br /> <br /> Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=-0.5*(x-2)^2-2</math><br /> <br /> Liegen folgende Punkte auf dem Graphen? <br /> <br /> <math>A=(4,0)</math><br /><br /><br /> <math>B=(0,2)</math><br /><br /><br /> <math>C=(-0.5, 1.125)</math><br /><br /><br /> <math>D=(3,6)</math><br /><br /><br /> <math>E=(2,-2)</math><br /><br /><br /> <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:300px|app=ptbc7v3wt19}}<br /> <br /> Zeichne den zugehörigen Graphen und die Punkte A-E in dein Heft.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=[[Datei:Graph und Punkte.png| alternativtext=|rand|zentriert|600x600px]]| 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|(Zuordnung Funktionsgraph und Funktionsgleichung.)<br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pp0fefcp519" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktsform aufstellen|<br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pke0t2avt19}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box|4. Punkt auf Graphen?|<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p96dzo6ta19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Von der Scheitelpunktform zur Normalenform*| <br /> Ordne in einem ersten Schritt den mathematischen Umformungen jeweils die richtige Bezeichnung zu.<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?*|<br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pjwuo0wwj19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Von der Normalenform zur Scheitelpunktform*|<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|9. Finde die Paare|Wandle in deinem Heft die Funktionen f, g und h in die allgemeine Form um und die Funktionen i, j und k in die Scheitelpunktsform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu. <br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p04ntn3cj19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Bei der Umwandlung der Scheitelpunktsform in die allgemeine Form löse zuerst die Klammer mithilfe der binomischen Formeln auf. [[Datei:Binomische Formeln.png|mini]]<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|10. würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phcwj4be519" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|11. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen x-Werte, die eingesetzt in die Funktion "0" ergeben. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Setze zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Setze <math> g(x)=0 </math>, d.h. <math> 0 = -3(x-1)^2+3</math> und teile dann beide Seiten durch <math>-3</math><br /> <br /><br /> ⇔ <math>0 = (x-1)^2-1</math><br /><br /> ⇔ <math>1 = (x-1)^2</math><br /><br /> ⇔ <math>x-1 = 1</math> oder <math>x-1 = -1</math> <br /><br /> also folgt <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math> und wir haben unsere Nullstellen gefunden.| 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Dieses mal könne wir die '''pq-Formel''' nutzen, um die Nullstellen zu bestimmen.<br /><br /> Setze <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math><br /><br /> <br /> <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel erhalten wir<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{4-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{4-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> also folgt <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> und wir haben unsere Nullstellen gefunden.| 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|12. Baseball|<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <br><math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math><br> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Balls aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf den Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen mithilfe der pq-Formel.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 11 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion. Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktsform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgaben 5, 7 und 8 an.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> Zusatzaufgabe** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in der der Baseball eine Höhe von 30 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=30</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> a)<br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. }}<br /> <br /> b) <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht. }}<br /> <br /> c)<br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Da wir wissen möchten wie weit der Ball fliegt, wenn kein Gegenspieler ihn vorher fängt, müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.}}<br /> <br /> d)<br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> Umwandlung der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. }}<br /> <br /> Zusatzaufgabe:<br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=30</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>30</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> 30 = -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -30 </math><br /> <math> \Leftrightarrow 0=-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x -29 </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x -29 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x + \frac{11600}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= \frac{11600}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 - \frac{11600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{7600}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 50.33<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+50.33 = 130.33 </math> und <math> x_2 = 80-50.33 = 29.67 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>29.67</math> Metern und nach ungefähr <math>130.33</math> Metern eine Flughöhe von 30 Metern. }}<br /> <br /> |Lösung<br /> |schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=7368 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-04-24T12:49:47Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktsform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (<>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann wird der Graph von g '''schma''' '''ler'''. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box| 2. '''WANTED!'''|<br /> <br /> Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=-0.5*(x-2)^2-2</math><br /> <br /> Liegen folgende Punkte auf dem Graphen? <br /> <br /> <math>A=(4,0)</math><br /><br /><br /> <math>B=(0,2)</math><br /><br /><br /> <math>C=(-0.5, 1.125)</math><br /><br /><br /> <math>D=(3,6)</math><br /><br /><br /> <math>E=(2,-2)</math><br /><br /><br /> <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:300px|app=ptbc7v3wt19}}<br /> <br /> Zeichne den zugehörigen Graphen und die Punkte A-E in dein Heft.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=[[Datei:Graph und Punkte.png| alternativtext=|rand|zentriert|600x600px]]| 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|(Zuordnung Funktionsgraph und Funktionsgleichung.)<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktsform aufstellen|<br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pke0t2avt19}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box|4. Punkt auf Graphen?|<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p96dzo6ta19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Von der Scheitelpunktform zur Normalenform*| <br /> Ordne in einem ersten Schritt den mathematischen Umformungen jeweils die richtige Bezeichnung zu.<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?*|<br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pjwuo0wwj19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Von der Normalenform zur Scheitelpunktform*|<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|9. Finde die Paare|Wandle in deinem Heft die Funktionen f, g und h in die allgemeine Form um und die Funktionen i, j und k in die Scheitelpunktsform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu. <br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p04ntn3cj19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Bei der Umwandlung der Scheitelpunktsform in die allgemeine Form löse zuerst die Klammer mithilfe der binomischen Formeln auf. [[Datei:Binomische Formeln.png|mini]]<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|10. würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phcwj4be519" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|11. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen x-Werte, die eingesetzt in die Funktion "0" ergeben. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Setze zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Setze <math> g(x)=0 </math>, d.h. <math> 0 = -3(x-1)^2+3</math> und teile dann beide Seiten durch <math>-3</math><br /> <br /><br /> ⇔ <math>0 = (x-1)^2-1</math><br /><br /> ⇔ <math>1 = (x-1)^2</math><br /><br /> ⇔ <math>x-1 = 1</math> oder <math>x-1 = -1</math> <br /><br /> also folgt <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math> und wir haben unsere Nullstellen gefunden.| 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Dieses mal könne wir die '''pq-Formel''' nutzen, um die Nullstellen zu bestimmen.<br /><br /> Setze <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math><br /><br /> <br /> <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel erhalten wir<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{4-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{4-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> also folgt <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> und wir haben unsere Nullstellen gefunden.| 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|12. Baseball|<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <br><math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math><br> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Balls aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf den Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen mithilfe der pq-Formel.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 11 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion. Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktsform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgaben 5, 7 und 8 an.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> Zusatzaufgabe** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in der der Baseball eine Höhe von 30 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=30</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> a)<br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. }}<br /> <br /> b) <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht. }}<br /> <br /> c)<br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Da wir wissen möchten wie weit der Ball fliegt, wenn kein Gegenspieler ihn vorher fängt, müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.}}<br /> <br /> d)<br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> Umwandlung der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. }}<br /> <br /> Zusatzaufgabe:<br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=30</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>30</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> 30 = -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -30 </math><br /> <math> \Leftrightarrow 0=-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x -29 </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x -29 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x + \frac{11600}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= \frac{11600}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 - \frac{11600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{7600}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 50.33<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+50.33 = 130.33 </math> und <math> x_2 = 80-50.33 = 29.67 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>29.67</math> Metern und nach ungefähr <math>130.33</math> Metern eine Flughöhe von 30 Metern. }}<br /> <br /> |Lösung<br /> |schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Wie_Funktionen_funktionieren/Quadratische_Funktionen&diff=7367 Digitale Werkzeuge in der Schule/Wie Funktionen funktionieren/Quadratische Funktionen 2019-04-24T12:43:05Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>{{Box|Info|In diesem Lernpfad geht es darum, dein Wissen im Bereich '''quadratischer Funktionen''' zu vertiefen.|Kurzinfo<br /> }}<br /> <br /> ===Scheitelpunktform===<br /> <br /> {{Box|1. Parameter der Scheitelpunktsform|Fülle den folgenden Lückentext aus, indem du die passenden Silben einfügst.|Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <div class="lueckentext-quiz"><br /> Wir schauen uns die Funktion <math>g(x)=a*(x-d)^2+e</math> an. Funktionen dieser Art heißen '''qua''' '''dra''' '''tisch''' '''e''' Funktionen. Der Graph einer solchen Funktion ist eine '''Pa''' '''ra''' '''bel'''. Der höchste bzw. der tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen heißt '''Schei''' '''tel''' '''punkt'''. <br><br /> Ist der Parameter a kleiner als Null (a<0), dann ist der Graph der Funktion g nach '''un''' '''ten''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Null (<>0), dann ist der Graph von g nach '''o''' '''ben''' geöffnet. <br><br /> Ist a größer als Eins (a>1) oder kleiner als minus Eins (a<-1), dann wird der Graph von g '''schma''' '''ler'''. Man sagt, dass in diesem Fall der Graph '''ge''' '''streckt''' wird. <br><br /> <br><br /> Ist d größer als Null (d>0), dann wird der Graph von g nach '''rechts''' verschoben. <br><br /> Ist d kleiner als Null (d<0), dann wird der Graph von g nach '''links''' verschoben.<br><br /> <br><br /> Ist e kleiner als Null (e<0), dann wird der Graph von g nach '''un''' '''ten''' verschoben. <br><br /> Ist e größer als Null (e>0), dann wird der Graph von g nach '''o''' '''ben''' verschoben.<br /> </div><br /> <br /> <br /> {{Box| 2. '''WANTED!'''|<br /> <br /> Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=-0.5*(x-2)^2-2</math><br /> <br /> Liegen folgende Punkte auf dem Graphen? <br /> <br /> <math>A=(4,0)</math><br /><br /><br /> <math>B=(0,2)</math><br /><br /><br /> <math>C=(-0.5, 1.125)</math><br /><br /><br /> <math>D=(3,6)</math><br /><br /><br /> <math>E=(2,-2)</math><br /><br /><br /> <br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:300px|app=ptbc7v3wt19}}<br /> <br /> Zeichne den zugehörigen Graphen und die Punkte A-E in dein Heft.<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=[[Datei:Graph und Punkte.png| alternativtext=|rand|zentriert|600x600px]]| 2=Lösung | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box| 3. Welcher Graph hat mit welcher Funktionsgleichung ein Match?|(Zuordnung Funktionsgraph und Funktionsgleichung.)<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box| 4. Aus dem Graphen eine quadratische Funktion in Scheitelpunktsform aufstellen|<br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pke0t2avt19}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> <br /> {{Box|4. Punkt auf Graphen?|<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Umwandlung Scheitelpunktform und Normalenform===<br /> {{Box|5. Die Umwandlungen zwischen Scheitelpunktform und Normalenform<br /> |Fülle den Lückentext aus, indem du auf eine Lücke klickst und die richtige Antwort auswählst.<br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p96dzo6ta19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|6. Von der Scheitelpunktform zur Normalenform*| <br /> Ordne in einem ersten Schritt den mathematischen Umformungen jeweils die richtige Bezeichnung zu.<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|7. Wie ging noch einmal quadratische Ergänzung?*|<br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/display?v=pjwuo0wwj19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|8. Von der Normalenform zur Scheitelpunktform*|<br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|9. Finde die Paare|Wandle in deinem Heft die Funktionen f, g und h in die allgemeine Form um und die Funktionen i, j und k in die Scheitelpunktsform. Ordne anschließend die gleichen Funktionen einander zu. <br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p04ntn3cj19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1= Bei der Umwandlung der Scheitelpunktsform in die allgemeine Form löse zuerst die Klammer mithilfe der binomischen Formeln auf. [[Datei:Binomische Formeln.png|mini]]<br /> | 2=Tipp | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> {{Box|10. würdest du bei der Umwandlung zwischen der Scheitelpunktform und der Normalform auch Millionär werden?**<br /> |Wähle die Antwortmöglichkeit A,B,C oder D, welche die angefangene Gleichung zu einer korrekten quadratischen Gleichung ergänzt.<br /> <br /> <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phcwj4be519" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Nullstellen===<br /> <br /> {{Box|11. Nullstellen berechnen|<br /> <br /> Bestimme jeweils die Nullstellen:<br /> <br /> <math>g(x)=-3(x-1)^2+3 </math><br /> <br /> <math>h(x)=2x^2-8x+6 </math><br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Zur Erinnerung: Nullstellen sind diejenigen x-Werte, die eingesetzt in die Funktion "0" ergeben. <br /> | 2=Tipp 1 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Setze zunächst <math>g(x)=0</math> bzw. <math>h(x)=0</math> <br /> | 2=Tipp 2 | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Setze <math> g(x)=0 </math>, d.h. <math> 0 = -3(x-1)^2+3</math> und teile dann beide Seiten durch <math>-3</math><br /> <br /><br /> ⇔ <math>0 = (x-1)^2-1</math><br /><br /> ⇔ <math>1 = (x-1)^2</math><br /><br /> ⇔ <math>x-1 = 1</math> oder <math>x-1 = -1</math> <br /><br /> also folgt <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math> und wir haben unsere Nullstellen gefunden.| 2=Lösung zur Funktion g(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt| 1=Dieses mal könne wir die '''pq-Formel''' nutzen, um die Nullstellen zu bestimmen.<br /><br /> Setze <math> h(x)=0 </math>, d.h. <math>0 = 2x^2-8x+6</math> und teile dann beide Seiten durch <math>2</math><br /><br /> <br /> <math>0 = x^2-4x+3</math><br /><br /><br /> Durch Anwenden der pq-Formel erhalten wir<br /><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_{1} = -\frac{-4}{2}+\sqrt{4-3}</math> sowie <math>x_{2} = -\frac{-4}{2}-\sqrt{4-3}</math><br /><br /><br /> ⇔ <math>x_1 = 2-1</math> und <math>x_2 = 2+1</math><br /> <br /><br /><br /> also folgt <math>x_1=1</math> und <math>x_2=3</math> und wir haben unsere Nullstellen gefunden.| 2=Lösung zur Funktion h(x) | 3=schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}<br /> <br /> ===Anwendungsaufgabe===<br /> <br /> {{Box|12. Baseball|<br /> Baseball ist eine der beliebtesten Sportarten der Welt. Beim Wurf erreicht der Ball Geschwindigkeiten bis zu 160km/h. Wenn der Schlagmann den Ball richtig trifft, kann dieser über die Tribüne hinweg aus dem Stadion fliegen. Ein bestimmter Schlag kann durch die Funktion <br><math>j(x)=-0,0075x^2+1,2x+1</math><br> beschrieben werden, wobei <math>x</math> die horizontale Entfernung zum Schlagmann und <math>j(x)</math> die Höhe des Balls, jeweils in Meter angibt.<br /> <br /> a) Berechne j(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br /> {{Lösung versteckt|1=Lies in der Aufgabenstellung noch einmal nach, wofür <math>x</math> und <math>j(x)</math> stehen.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Was bedeutet es, wenn x=0 ist?<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> b) Ein Spieler des gegnerischen Teams befindet sich 158 Meter vom Schlagmann entfernt in der Flugbahn des Balls. Wenn er hochspringt, erreichen seine Händen eine Höhe von 3,20 Metern. Berechne, ob der Spieler es schafft, den Balls aus der Luft zu fangen.<br /> {{Lösung versteckt|1=Berechne die Höhe des Balls nach 158 Metern und vergleiche diese Höhe mit der maximalen Sprunghöhe des Gegenspielers.<br /> |2=Tipp<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> c) Berechne, wie weit der Baseball fliegt, wenn er von keinem gegnerischen Spieler aus der Luft gefangen wird.<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, welchen Wert <math>j(x)</math> annehmen muss, wenn der Baseball auf den Boden aufkommt.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze <math>j(x)=0</math> und berechne die Nullstellen mithilfe der pq-Formel.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Falls du nicht mehr genau weißt, wie du die pq-Formel aufstellen und berechnen kannst, dann schau nochmal bei Aufgabe 11 nach. Achte darauf, dass vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehen darf.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> d) Nach wieviel Metern erreicht der Baseball seine maximale Höhe? Welche Höhe erreicht er?<br /> {{Lösung versteckt|1=Überlege dir, an welchem Punkt der Flugkurve der Baseball am höchsten ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht ist der Scheitelpunkt von der Funktion. Überlege, wo du den Scheitelpunkt ablesen kannst.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Wenn du gerade nicht mehr darauf kommst, wie du aus der Normalform einer quadratischen Funktion in die Scheitelpunktsform kommst, dann guck dir nochmal die Aufgaben 5, 7 und 8 an.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> Zusatzaufgabe** Berechne die horizontale Entfernung zum Schlagmann, in der der Baseball eine Höhe von 30 Metern hat.<br /> {{Lösung versteckt|1=Gesucht werden die x-Werte, sodass <math>j(x)=30</math> ist.<br /> |2=Tipp 1<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Setze anstelle von <math>j(x)</math> den Wert 30 in die Funktion ein und löse die Gleichung nach x auf.<br /> |2=Tipp 2<br /> |3=schließen}}<br /> {{Lösung versteckt|1=Bringe alles auf eine Seite und berechne die Nullstellen.<br /> |2=Tipp 3<br /> |3=schließen}}<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt|<br /> a)<br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(0) &=& -0.0075 \cdot 0^2 + 1.2 \cdot + 1 \\<br /> &=& 1<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Der Schlagmann trifft den Baseball einen Meter über dem Boden. }}<br /> <br /> b) <br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> j(158) &=& -0.0075 \cdot 158^2+ 1.2 \cdot 158 + 1 \\<br /> &=& 3.37<br /> \end{array}<br /> </math><br /> Auf Höhe des gegnerischen Spielers hat der Baseball noch eine Höhe von <math>3.37m.</math> Da der Spieler nur Bälle bis zu einer Höhe von <math>3.20m</math> erreichen kann, fängt er diesen Ball nicht. }}<br /> <br /> c)<br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> Nullstellenberechnung:<br /><br /> Im ersten Schritt wird der Vorfaktor von <math>x^2</math> eliminiert.<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 & \mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 - 160x - \frac{400}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Im zweiten Schritt wird die '''pq-Formel''' angewendet, um die Nullstellen zu berechnen.<br /><br /> <math> \Rightarrow p=-160, q= -\frac{400}{3} </math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{{\left( \frac{-160}{2} \right)}^2 -(-\frac{400}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{19600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm 80.83 \\<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math><br /> \Rightarrow x_1 = 80+80.83 = 160.83 </math> und <math> x_2 = 80-80.83 = -0.83 </math><br /> Da wir wissen möchten wie weit der Ball fliegt, wenn kein Gegenspieler ihn vorher fängt, müssen wir nur <math>x_1</math> betrachten. Somit fliegt der Baseball <math>160.83</math> Meter weit, bevor er auf dem Boden fällt.}}<br /> <br /> d)<br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> Umwandlung der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform:<br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> j(x) &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x +1 &\mid -0.0075 \, ausklammern \\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x-\frac{400}{3}) &\mid +80^2 -80^2 \, quadratische \, Erg\ddot{a}nzung\\<br /> &=& -0.0075 (x^2-160x + 80^2-80^2-\frac{400}{3}) &\mid 2. \, binomische \, Formel\\<br /> &=& -0.0075 [(x-80)^2 -\frac{19600}{3}] &\mid ausmultiplizieren \\<br /> &=& -0.0075 (x-80)^2 +49<br /> \end{array}<br /> </math> <br /> Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(80 \mid 49).</math> Somit erreicht der Baseball nach <math>80</math> Metern die maximale Höhe von <math>49</math> Metern. }}<br /> <br /> Zusatzaufgabe:<br /> {{Lösung versteckt mit Rand|<br /> Wir müssen für <math>j(x)=30</math> die zugehörigen x-Werte berechnen. Dafür setzen wir <math>30</math> für <math>j(x)</math> ein und bringen als erstes alle Summanden auf eine Seite.<br /><br /> <math> 30 = -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x + 1 \mid -30 </math><br /> <math> \Leftrightarrow 0=-0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x -29 </math><br /> <br /> Als nächstes eliminieren wir den Vorfaktor vor <math>x^2.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rlll}<br /> 0 &=& -0.0075 \cdot x^2 + 1.2 \cdot x -29 &\mid :(-0.0075) \\<br /> &=& x^2 -160 \cdot x + \frac{11600}{3}<br /> \end{array}<br /> </math><br /> <br /> Nun lösen wir die Gleichung mithilfe der '''pq-Formel''' nach <math>x</math> auf.<br /><br /> Es gilt <math>p=-160, q= \frac{11600}{3}.</math><br /><br /> <math><br /> \begin{array}{rll}<br /> x_{1/2} &=& -\frac{-160}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{-160}{2} \right)^2 - \frac{11600}{3}} \\<br /> &=& 80 \pm \sqrt{\frac{7600}{3}}\\<br /> &=& 80 \pm 50.33<br /> \end{array}<br /> </math><br /><br /> <math> \Rightarrow x_1 = 80+50.33 = 130.33 </math> und <math> x_2 = 80-50.33 = 29.67 </math><br /><br /> Der Baseball hat nach ungefähr <math>29.67</math> Metern und nach ungefähr <math>130.33</math> Metern eine Flughöhe von 30 Metern. }}<br /> <br /> |Lösung<br /> |schließen}}<br /> <br /> |Arbeitsmethode}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7180 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T15:18:21Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>===Spielwiese Yihaaa===<br /> ====Unterschrift 2====<br /> <br /> Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Methode zum Arbeiten|Methode|Arbeitsmethode}}<br /> {{Box|Merke folgendes:|Merksatz|Merke}}<br /> {{Box|Aufgaben|Übungsaufgabe|Üben}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=Alternativtext|zentriert|mini]]<br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:100px|app=2535071}}<br /> <br /> [[Datei:Dreieck.svg|links|mini|testtext]]<br /> <br /> [[Datei:Shopping Basket Flat Icon GIF Animation.gif|mini]]</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7173 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T15:16:17Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>===Spielwiese Yihaaa===<br /> ====Unterschrift 2====<br /> <br /> Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Methode zum Arbeiten|Methode|Arbeitsmethode}}<br /> {{Box|Merke folgendes:|Merksatz|Merke}}<br /> {{Box|Aufgaben|Übungsaufgabe|Üben}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=Alternativtext|zentriert|mini]]<br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:100px|app=2535071}}<br /> <br /> [[Datei:Video-Basketballwurf.gif|links|mini|testtext]]</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7170 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T15:15:25Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>===Spielwiese Yihaaa===<br /> ====Unterschrift 2====<br /> <br /> Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Methode|Arbeitsmethode}}<br /> {{Box|Testbox|Merksatz|Merke}}<br /> {{Box|Testbox|Übungsaufgabe|Üben}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=Alternativtext|zentriert|mini]]<br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:100px|app=2535071}}<br /> <br /> [[Datei:Video-Basketballwurf.gif|links|mini|testtext]]</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7166 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T15:14:43Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>===Spielwiese Yihaaa===<br /> ====Unterschrift 2====<br /> <br /> Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Methode|Arbeitsmethode}}<br /> {{Box|Testbox|Merksatz|Merke}}<br /> {{Box|Testbox|Übungsaufgabe|Üben}}<br /> <br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=Alternativtext|zentriert|mini]]<br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:100|app=2535071}}<br /> <br /> [[Datei:Video-Basketballwurf.gif|links|mini|testtext]]</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7164 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T15:12:12Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>===Spielwiese Yihaaa===<br /> ====Unterschrift 2====<br /> <br /> Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Testtext|Üben}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=Alternativtext|zentriert|mini]]<br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:100|app=2535071}}<br /> <br /> [[Datei:Dreieck.svg|links|mini|testtext]]</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7162 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T15:11:17Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>=== Spielwiese Yihaaa ===<br /> ==== Unterschrift 2 ====<br /> <br /> Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Testtext|Üben}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=Alternativtext|zentriert|mini]]<br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:1500px|app=2535071}}<br /> <br /> [[Datei:Dreieck.svg|links|mini|testtext]]</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7156 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T15:05:11Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Testtext|Üben}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=Alternativtext|zentriert|mini]]<br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:800px|app=2535071}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7154 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T15:04:34Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Testtext|Üben}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=Alternativtext|zentriert|mini]]<br /> <br /> {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=2535071}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7153 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T15:04:08Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Testtext|Üben}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=Alternativtext|zentriert|mini]]<br /> <br /> {{Learningapp|width:100%|height:500px|app=2535071}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7152 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T15:03:24Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Testtext|Üben}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=Alternativtext|zentriert]]<br /> <br /> {{Learningapp|width:100%|height:100%|app=2535071}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7149 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:55:07Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Testtext|Üben}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=|zentriert]]</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7148 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:54:49Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Testtext|Üben}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=|zentriert|mini]]</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7147 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:53:52Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Testtext|Üben}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:3D2DA42D-B285-4E6A-9FDC-8B248492A428.png|alternativtext=|mini]]</div>

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<p>Jonas WWU-4: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p> <hr /> <div>{{Information<br /> |description = Test<br /> |source = Eigene Arbeit<br /> |author = [[User:Jonas WWU-4|Jonas WWU-4]]<br /> }}<br /> <br /> == Lizenz ==<br /> {{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7143 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:51:21Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Testtext|Üben}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}<br /> <br /> <br /> [[Datei:D4CE71DF-97E4-436A-9265-B52B5C3E9C1E.jpg|mini]]</div>

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<p>Jonas WWU-4: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p> <hr /> <div>{{Information<br /> |description = Test<br /> |source = Eigene Arbeit<br /> |author = [[User:Jonas WWU-4|Jonas WWU-4]]<br /> }}<br /> <br /> == Lizenz ==<br /> {{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>

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<p>Jonas WWU-4: Hochgeladen mit VisualEditor Seite</p> <hr /> <div>{{Information<br /> |description = Testbild<br /> |source = Eigene Arbeit<br /> |author = [[User:Jonas WWU-4|Jonas WWU-4]]<br /> }}<br /> <br /> == Lizenz ==<br /> {{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7138 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:47:50Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Testbox|Testtext|Üben}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hier steht ein Tipp|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7136 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:45:56Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:darkblue">Blaue Schrift LOL.</span><br /> {{Box|Test|Testtext|a}}<br /> <br /> {{Lösung versteckt|1=Hide me|2=Shooow me finally|3=dont show pls}}</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7135 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:41:16Z

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Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7134 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:40:46Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>TDies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="darkcolor:blue">Blaue Schrift LOL.</span></div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7133 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:40:22Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="darkcolor:cyan">Dunkelblaue Schrift LOL.</span></div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7132 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:40:05Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="darkcolor:blue">Dunkelblaue Schrift LOL.</span></div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7131 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:39:35Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="color:blue">Dunkelblaue Schrift LOL.</span></div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7130 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:38:59Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span style="„Color:blue“">Dunkelblaue Schrift LOL.</span></div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4/Testseite&diff=7129 Benutzer:Jonas WWU-4/Testseite 2019-04-06T14:36:43Z

<p>Jonas WWU-4: Die Seite wurde neu angelegt: „Dies ist nur eine Testseite. <span Style=„Color:darkblue“>Dunkelblaue Schrift LOL.</span>“</p> <hr /> <div>Dies ist nur eine Testseite.<br /> <span Style=„Color:darkblue“>Dunkelblaue Schrift LOL.</span></div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4&diff=7126 Benutzer:Jonas WWU-4 2019-04-06T14:30:42Z

<p>Jonas WWU-4: </p> <hr /> <div># Seminar: Wikiprojekt zum Seminar DiWers<br /> # Projekt:<br /> # Betreut von: Elena Jedtke, Lena Frenken</div>

Jonas WWU-4 https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Jonas_WWU-4&diff=7117 Benutzer:Jonas WWU-4 2019-04-06T14:29:15Z

<p>Jonas WWU-4: Die Seite wurde neu angelegt: „Seminar: Wikiprojekt zum Seminar DiWers Projekt: Betreut von: Elena Jedtke, Lena Frenken“</p> <hr /> <div>Seminar: Wikiprojekt zum Seminar DiWers<br /> Projekt:<br /> Betreut von: Elena Jedtke, Lena Frenken</div>

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