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Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-19T19:06:19Z

Jan WWU-10:

<br />

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel in der Parkettierung| 2=

[[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Leider ist sein Geodreieck kaputt gegangen und er braucht Hilfe. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>= '''60()'''° <br>
</div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Winkel mithilfe des Geodreiecks messen.jpg|700px]]

|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

|3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Winkel bestimmen ohne zu messen==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hast, fällt ihm auf, dass der Winkel unter <math>\gamma</math> genauso groß ist, wie der Winkel <math>\gamma</math>selbst .
Tim behauptet deshalb: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".

<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.

</div>

Tim hat also recht. Die Winkel, die sich am Schnittpunkt der Geraden gegenüberliegen, sind tatsächlich gleichgroß. Weil die Winkel gleichgroß sind und sich genauso wie ein ''Scheitel'' gegenüber liegen, haben sie einen besonderen Namen. Diesen wollen wir in einem Merksatz festhalten:
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2=[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''
[[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.

'''Hinweis:''' Versuche dich möglichst ruhig zu verhalten und verwende für das Video, wenn möglich, Kopfhörer. Wenn du keine Kopfhörer zur Verfügung hast, dann stelle bitte den Ton in dem Video unten links auf ''Stumm''. Danach kannst du unten rechts unter ''Einstellungen'' (Zahnrad) den Untertitel einstellen und mitlesen. Halte das Video gegebenenfalls an, falls es dir zu schnell ist.

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind.

{{Box|1= Aufgabe 4: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

[[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.

'''Hinweis:''' Versuche dich möglichst ruhig zu verhalten und verwende für das Video, wenn möglich, Kopfhörer. Wenn du keine Kopfhörer zur Verfügung hast, dann stelle bitte den Ton in dem Video unten links auf ''Stumm''. Danach kannst du unten rechts unter ''Einstellungen'' (Zahnrad) den Untertitel einstellen und mitlesen. Halte das Video gegebenenfalls an, falls es dir zu schnell ist.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.

'''Hinweis:''' Nebenwinkel wurden ebenfalls in dem Video in ''Aufgabe 3'' besprochen. Dort kannst du gegebenenfalls noch einmal nachschauen, was Nebenwinkel sind.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht. Kannst du sie lösen? Du kannst selbstständig entscheiden, welche der Übungsaufgaben du bearbeitest.

{{Box|1= Aufgabe 6: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6. <math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' <br>
</div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 7: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|center|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke einer '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.

</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129()'''° groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= In dieser Skizze sieht man die Geraden, durch die das Rautenmuster der bayrischen Flagge entsteht. Dabei sind Winkel eingezeichnet, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

{{Box|1= Aufgabe 8: Leiter an der Hauswand |2= [[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Bestimme den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach. Du kannst, wenn du möchtest, als Hilfe Geraden und Winkel in die Abbildung auf dem Arbeitsblatt einzeichnen.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-19T19:03:39Z

Jan WWU-10:

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{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

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==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel in der Parkettierung| 2=

[[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Leider ist sein Geodreieck kaputt gegangen und er braucht Hilfe. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>= '''60()'''° <br>
</div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:Winkel mithilfe des Geodreiecks messen.jpg|700px]]

|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}

|3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Winkel bestimmen ohne zu messen==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hast, fällt ihm auf, dass der Winkel unter <math>\gamma</math> genauso groß ist, wie der Winkel <math>\gamma</math>selbst .
Tim behauptet deshalb: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".

<br />
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.

</div>

Tim hat also recht. Die Winkel, die sich am Schnittpunkt der Geraden gegenüberliegen, sind tatsächlich gleichgroß. Weil die Winkel gleichgroß sind und sich genauso wie ein ''Scheitel'' gegenüber liegen, haben sie einen besonderen Namen. Diesen wollen wir in einem Merksatz festhalten:
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2=[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''
[[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.

'''Hinweis:''' Versuche dich möglichst ruhig zu verhalten und verwende für das Video, wenn möglich, Kopfhörer. Wenn du keine Kopfhörer zur Verfügung hast, dann stelle bitte den Ton in dem Video unten links auf ''Stumm''. Danach kannst du unten rechts unter ''Einstellungen'' (Zahnrad) den Untertitel einstellen und mitlesen. Halte das Video gegebenenfalls an, falls es dir zu schnell ist.

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind.

{{Box|1= Aufgabe 4: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}<br />{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

[[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.

'''Hinweis:''' Versuche dich möglichst ruhig zu verhalten und verwende für das Video, wenn möglich, Kopfhörer. Wenn du keine Kopfhörer zur Verfügung hast, dann stelle bitte den Ton in dem Video unten links auf ''Stumm''. Danach kannst du unten rechts unter ''Einstellungen'' (Zahnrad) den Untertitel einstellen und mitlesen. Halte das Video gegebenenfalls an, falls es dir zu schnell ist.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.

'''Hinweis:''' Nebenwinkel wurden ebenfalls in dem Video in ''Aufgabe 3'' besprochen. Dort kannst du gegebenenfalls noch einmal nachschauen, was Nebenwinkel sind.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht. Kannst du sie lösen? Du kannst selber entscheiden, welche der Übungsaufgaben du bearbeitest, je nachdem wie sicher du dich schon mit Scheitel- und Stufenwinkeln fühlst.

{{Box|1= Aufgabe 6: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6. <math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' <br>
</div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 7: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|center|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke einer '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.

</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129()'''° groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= In dieser Skizze sieht man die Geraden, durch die das Rautenmuster der bayrischen Flagge entsteht. Dabei sind Winkel eingezeichnet, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

{{Box|1= Aufgabe 8: Leiter an der Hauswand |2= [[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Bestimme den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach. Du kannst, wenn du möchtest, als Hilfe Geraden und Winkel in die Abbildung auf dem Arbeitsblatt einzeichnen.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-14T10:49:30Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

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==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht. Kannst du sie lösen?

{{Box|1= Aufgabe 5: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 6: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|center|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke einer '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.

</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129()'''° groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= In dieser Skizze sieht man die Geraden, durch die das Rautenmuster der bayrischen Flagge entsteht. Dabei sind Winkel eingezeichnet, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

{{Box|1= Aufgabe 7: Leiter an der Hauswand |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Bestimme den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach. Du kannst, wenn du möchtest, als Hilfe Geraden und Winkel in die Abbildung auf der Arbeitsblatt einzeichnen.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-14T09:20:04Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht. Kannst du sie lösen?

{{Box|1= Aufgabe 5: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 6: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|center|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke einer '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.

</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129()'''° groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= In dieser Skizze sieht man die Geraden, durch die das Rautenmuster der bayrischen Flagge entsteht. Dabei sind Winkel eingezeichnet, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Bestimme den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach. Du kannst, wenn du möchtest, als Hilfe Geraden und Winkel in die Abbildung auf der Arbeitsblatt einzeichnen.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-14T09:18:48Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht. Kannst du sie lösen?

{{Box|1= Aufgabe 5: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 6: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|center|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke einer '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.

</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129()'''° groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= In dieser Skizze sieht man die Geraden, durch die das Rautenmuster der bayrischen Flagge entsteht. Dabei sind Winkel eingezeichnet, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Bestimme den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach. Du kannst, wenn du möchtest, als Hilfe Geraden und Winkel in die Abbildung auf der Arbeitsblatt einzeichnen.
'''zurück zum Arbeitsblatt'''

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck

2022-05-14T09:15:30Z

Jan WWU-10:

'''<big>Diese Seite befindet sich aktuell im Aufbau</big>'''

[[Datei:Tiling_Semiregular_3-3-3-3-6_Snub_Hexagonal.svg|Muster mit Dreiecken]]

<br />

{{Box
|1=Info
|2= In diesem Lernpfad untersuchst du verschiedene Dreiecksmuster und entdeckst besondere Dreiecke und Winkelpaare:

Kreuze auf deinem Arbeitsblatt an, mit welchem Thema du anfängst. Klicke dann unten auf den entsprechenden Link, um anzufangen.
|3=Kurzinfo}}

'''Kapitelübersicht'''

[[Rund ums Dreieck/Besondere Dreiecke|Besondere Dreiecke - gleichseitig, gleischschenklig, rechtwinklig]]

<math> \quad \rightarrow </math> [[Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden|Winkel an Geraden - Stufen- und Scheitelwinkel]]

<math> \quad \rightarrow </math> [[Rund ums Dreieck/Winkel im Dreieck|Winkel im Dreieck - Innenwinkelsumme im Dreieck]]

[[Rund ums Dreieck/Dreiecksmuster im Alltag|Dreiecksmuster im Alltag - Üben und Vertiefen]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T15:59:45Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht. Kannst du sie lösen?

{{Box|1= Aufgabe 5: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 6: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|center|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke einer '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.

</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129()'''° groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= In dieser Skizze sieht man die Geraden, durch die das Rautenmuster der bayrischen Flagge entsteht. Dabei sind Winkel eingezeichnet, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 7: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T15:57:11Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|center|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke einer '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.

</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129()'''° groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= In dieser Skizze sieht man die Geraden, durch die das Rautenmuster der bayrischen Flagge entsteht. Dabei sind Winkel eingezeichnet, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T15:55:13Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|center|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke der '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.

</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129()'''° groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= In dieser Skizze sieht man die Geraden, durch die das Rautenmuster der bayrischen Flagge entsteht. Dabei sind Winkel eingezeichnet, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T15:54:26Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|center|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke der '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.

</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129°()''' groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= In dieser Skizze sieht man die Geraden, durch die das Rautenmuster der bayrischen Flagge entsteht. Dabei sind Winkel eingezeichnet, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T15:50:15Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|center|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke der '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.

</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129°()''' groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze, in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T15:48:53Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|center|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke der '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.

</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129°()''' groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T15:48:00Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke der '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.

</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129°()''' groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T15:44:24Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.

Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke der '''weißen''' Raute.

Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129°()''' groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T15:41:09Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.\\
Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke der '''weißen''' Raute.\\ Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind '''Nebenwinkel''' und ergänzen sich zu 180°.</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129°()''' groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T15:38:15Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.
Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke der '''weißen''' Raute. Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind Nebenwinkel und ergänzen sich zu 180°.</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129°()''' groß.</div>

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T15:37:37Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winkel gibt es in der Abbildung einen Stufenwinkel und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe die Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufenwinkel, indem du den Lückentext ausfüllst.

<div class="lueckentext-quiz">
In die bayrische Flagge kann man zwei Geraden einzeichnen, sodass <math>\alpha</math> der Schnittwinkel der beiden Geraden ist. Alle anderen Geraden, die das Rautenmuster bilden, sind jeweils zu einer der beiden Geraden '''parallel'''.
Wenn man nun vom Winkel <math>\alpha</math> aus entlang einer der beiden Geraden geht, so kann man bei jeder Geradenkreuzung einen '''Stufenwinkel''' zu <math>\alpha</math> einzeichnen. Man kann zum Beispiel entlang der steileren Gerade nach unten wandern und dann bei dem zweiten Schnittpunkt einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math> einzeichnen, den wir <math>\alpha_{2}</math> nennen. Dieser befindet sich in der oberen Ecke der '''weißen''' Raute. Den Winkel unterhalb von <math>\beta</math>, also in der oberen Ecke der '''blauen''' Raute nennen wir <math>\alpha_{3}</math>. <math>\alpha_{3}</math> ist dann wiederum ein Stufenwinkel zu <math>\alpha_{2}</math>. Da Stufenwinkel '''gleich groß''' sind, sind also die Winkel <math>\alpha</math>,<math>\alpha_{2}</math> und <math>\alpha_{3}</math> alle '''<math>60</math>°''' groß. Die Winkel <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> sind Nebenwinkel und ergänzen sich zu 180°.</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Also ist <math>\beta</math> dann '''129°()''' groß.</div>

Wenn man nun entlang der steileren Gerade nach unten geht, findet man bei jeder Gerade, die diese schneidet ein Stufenwinkel von <math>\alpha</math>. Außerdem findet man, wenn man entlang der flacheren Gerade geht, bei jedem Schnittpunkt mit einer anderen Gerade, einen Stufenwinkel von <math>\alpha</math>.

Zeichnet man direkt unterhalb von <math>\beta</math> einen Winkel <math>\alpha_{3}</math> in die obere Ecke der blauen Raute ein, dann ergänzen sich <math>\alpha_{3}</math> und <math>\beta</math> zu 180°. Eine Raute weiter links kann man einen Stufenwinkel

'''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T14:36:25Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''60()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T14:35:30Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist </nowiki><math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''51()'''° groß.</div>

|3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T14:34:44Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist </nowiki><math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>.

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''51()'''° groß.</div> |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T14:30:42Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

<nowiki>{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist </nowiki><math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>.

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''51()'''° groß.</div> |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T14:29:10Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

<nowiki>{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist </nowiki><math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>.

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''51()'''°</div> groß.

|2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T14:28:03Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= [[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Man kann entlang der Hauswand und entlang des Schornsteins zwei parallele Geraden und eine weitere Gerade entlang des Daches des Hauses einzeichnen. Der Winkel <math>\alpha_{1}</math> in der Zeichnung ist ein Stufenwinkel zu <math>\alpha</math> und ein Scheitelwinkel zu <math>\beta</math>. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

<div class="lueckentext-quiz">
Der Winkel <math>\beta</math> ist '''51()'''°</div> groß.

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T14:16:48Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png|Abbildung zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png|Lösungsskizze zur Aufgabe: Leiter an der Hauswand]]
Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel <math>\beta</math> ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} |3= Arbeitsmethode }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Datei:HausohneWinkel2.Fassung.png

2022-05-13T14:16:12Z

Jan WWU-10: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Leiter an der Hauswand
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Jan WWU-10|Jan WWU-10]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:HausmitWinkeln2.Fassung.png

2022-05-13T14:14:44Z

Jan WWU-10: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Lösungsskizze
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Jan WWU-10|Jan WWU-10]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T09:54:53Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:Haus ohne eingezeichnete Winkel 1.Fassung.png|left|Aufgabe 5]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Haus mitWinkeln 1.Fassung.png|left|Lösungsskizze zu Aufgabe 5]]

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel <math>\beta</math> ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} |3= Arbeitsmethode }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T09:54:15Z

Jan WWU-10:

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{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png|mini]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:Haus ohne eingezeichnete Winkel 1.Fassung.png|left|Aufgabe 5]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Haus mitWinkeln 1.Fassung.png|left|Lösungsskizze zu Aufgabe 5]]

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel <math>\beta</math> ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} |3= Arbeitsmethode }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Datei:Hilfsskizze mit Winkeln.png

2022-05-13T09:54:03Z

Jan WWU-10: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Hilfsskizze
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Jan WWU-10|Jan WWU-10]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T09:35:19Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgaben===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

{{Lösung versteckt|1= Hier ist eine Skizze in der Winkel eingezeichnet sind, mit denen man <math>\beta</math> bestimmen kann. [[Datei:Erarbeitungsaufgabe.png|left|Aufgabe 4a)]] |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:Haus ohne eingezeichnete Winkel 1.Fassung.png|left|Aufgabe 5]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Haus mitWinkeln 1.Fassung.png|left|Lösungsskizze zu Aufgabe 5]]

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel <math>\beta</math> ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} |3= Arbeitsmethode }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T09:30:12Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgabe===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest.

[[Datei:Erarbeitungsaufgabe.png|left|Aufgabe 4a)]]
|3= Arbeitsmethode| Farbe=#CD2990 }}

==Anwendungsaufgabe==

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:Haus ohne eingezeichnete Winkel 1.Fassung.png|left|Aufgabe 5]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Haus mitWinkeln 1.Fassung.png|left|Lösungsskizze zu Aufgabe 5]]

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel <math>\beta</math> ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} |3= Arbeitsmethode }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T09:27:41Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgabe===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen.

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest. |3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4a): Bayrische Flagge |2= Bestimme die fehlenden Winkel!

[[Datei:Erarbeitungsaufgabe.png|left|Aufgabe 4a)]] |3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Anwendungsaufgabe==

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:Haus ohne eingezeichnete Winkel 1.Fassung.png|left|Aufgabe 5]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Haus mitWinkeln 1.Fassung.png|left|Lösungsskizze zu Aufgabe 5]]

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel <math>\beta</math> ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} |3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T09:26:25Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgabe===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen. |3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
1. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
2. <math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
3. Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
4. Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
5.<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1}</math> sind Stufenwinkel. '''richtig()''' <br>
6.<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest. |3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4a): Bayrische Flagge |2= Bestimme die fehlenden Winkel!

[[Datei:Erarbeitungsaufgabe.png|left|Aufgabe 4a)]] |3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Anwendungsaufgabe==

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:Haus ohne eingezeichnete Winkel 1.Fassung.png|left|Aufgabe 5]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Haus mitWinkeln 1.Fassung.png|left|Lösungsskizze zu Aufgabe 5]]

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel <math>\beta</math> ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} |3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T09:20:33Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgabe===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen. |3= Arbeitsmethode}}

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{3}</math> sind Scheitelwinkel. '''richtig()'''<br>
<math>\alpha_{1}</math> und <math>\alpha_{2}</math> sind Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
Zu jedem der Winekl gibt es einen Stufen- und einen Scheitelwinkel. '''richtig()''' <br>
Zu einigen der Winkel gibt es mehrere Stufenwinkel. '''falsch()''' <br>
<math>\alpha_{1}</math> und <math>\beta_{1} sind Stufenwinkel </math>'''richtig()''' <br>
<math>\alpha_{2}</math> ist ein Stufenwinkel zu <math>\beta_{2}</math> und <math>\beta_{2}</math> ist ein Scheitelwinkel zu <math>\beta_{4}</math>. Also sind <math>\alpha_{2}</math> und <math>\beta_{4}</math> gleich groß. '''richtig()''' </div>

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest. |3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4a): Bayrische Flagge |2= Bestimme die fehlenden Winkel!

[[Datei:Erarbeitungsaufgabe.png|left|Aufgabe 4a)]] |3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Anwendungsaufgabe==

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:Haus ohne eingezeichnete Winkel 1.Fassung.png|left|Aufgabe 5]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Haus mitWinkeln 1.Fassung.png|left|Lösungsskizze zu Aufgabe 5]]

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel <math>\beta</math> ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} |3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T09:11:15Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgabe===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

{{Box|1= Aufgabe 4: Scheitel- und Stufenwinkel erkennen |2= Die Abbildung zeigt drei Geraden, von denen zwei parallel sind. Überlege dir welche der Aussagen korrekt sind. Schreibe "richtig" oder "falsch" hinter die Aussagen. |3= Arbeitsmethode}}

[[Datei:Ü1.png|left]]

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha_{1}</math>= '''wahr()'''
<math>\beta</math>= '''wahr()'''
<math>\gamma</math>='''60()'''

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest. |3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4a): Bayrische Flagge |2= Bestimme die fehlenden Winkel!

[[Datei:Erarbeitungsaufgabe.png|left|Aufgabe 4a)]] |3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Anwendungsaufgabe==

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:Haus ohne eingezeichnete Winkel 1.Fassung.png|left|Aufgabe 5]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Haus mitWinkeln 1.Fassung.png|left|Lösungsskizze zu Aufgabe 5]]

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel <math>\beta</math> ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} |3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

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2022-05-13T09:07:39Z

Jan WWU-10: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Bild
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Jan WWU-10|Jan WWU-10]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-13T08:28:57Z

Jan WWU-10:

Diese Seite befindet sich zur Zeit im Aufbau

{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> gleich groß ist, wie der Winkel unter <math>\gamma</math>.
Tim behauptet: "Die gegenüberliegenden Winkel an zwei Geraden, die sich schneiden, sind immer gleich groß".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Tom, Tims Freund, versteht nicht, warum das so ist. Hilf Tim, eine Begründung für Tom zu finden. Schaue dir hierfür das folgende Video an und halte deine Begründung auf dem Arbeitsblatt fest.
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim und Tom haben nun beide verstanden, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch drei Geraden, von denen zwei parallel zueinander liegen. Sie fragen sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim und Tom jetzt wissen, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat Tom sich für Tim Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehr Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Tim braucht wieder deine Hilfe. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgabe===

Nachdem Tim und Tom sich jetzt mit Scheitel- und Stufenwinkeln auskennen, haben sie sich ein paar Übungsaufgaben für dich ausgedacht.

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4: Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest. |3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4a): Bayrische Flagge |2= Bestimme die fehlenden Winkel!

[[Datei:Erarbeitungsaufgabe.png|left|Aufgabe 4a)]] |3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Anwendungsaufgabe==

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:Haus ohne eingezeichnete Winkel 1.Fassung.png|left|Aufgabe 5]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Haus mitWinkeln 1.Fassung.png|left|Lösungsskizze zu Aufgabe 5]]

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel <math>\beta</math> ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} |3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Rund_ums_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-11T13:57:00Z

Jan WWU-10:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-11T13:44:13Z

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2022-05-11T13:42:55Z

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2022-05-11T13:41:36Z

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2022-05-11T13:40:21Z

Jan WWU-10:

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{{Box|1=Info|2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du zwei Sätze kennen, mit denen Winkel an Gerade bestimmt werden können.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
|3=Kurzinfo}}

<br />

==Winkel messen==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.|center]]
Betrachte die Abbildung. Tim möchte die Größen der Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> untersuchen. Bestimme die Winkel, um Tim zu helfen. Die Abbildung findest du auch auf dem Arbeitsblatt.

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\alpha</math>= '''120()'''° <br>
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>
<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erkundung==

Nachdem du für Tim die Winkel gemessen hat, fällt ihm auf, dass der Winkel <math>\gamma</math> nochmals gegenüber vom Winkel <math>\beta</math> zu finden ist und er behauptet: "Die Winkel <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> sind ja gleich groß!".
{{Box|1= Aufgabe 2: Gleiche Winkel|2= '''1.''' Hat Tim recht? Überprüfe Tims Aussage, indem du das folgende GeoGebra-Applet untersuchst. Du kannst dir dabei die Winkel anzeigen lassen und die Position der Geraden zueinander verändern. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen die du gemacht hast, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>
<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
Tim hat also recht. Die Winkel sind tatsächlich gleichgroß. Deshalb nennt man sie auch '''Scheitelwinkel'''.

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt und zeichne zwei Scheitelwinkel in die Abbildung ein.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box |1= Aufgabe 3: Wie kann das sein? | 2=Kannst du eine Begründung finden, warum Scheitelwinkel gleich groß sind? Schaue dir hierfür das folgende Video an.

{{#ev:youtube|https://youtu.be/WI6UBFhwjDA}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe=orange }}

===Winkel an mehreren Geraden===
Tim hat nun festgestellt, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Auf dem Bild am Anfang sind jedoch mehrere Geraden die teilweise parallel zueinander liegen. Er fragt sich nun, ob es bei mehreren Geraden ebenfalls Winkel gibt, die gleich groß sind. {{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Also werden nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden, betrachtet. Schaue dir dieses weitere GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Vergleiche die Winkel miteinander und ergänze danach den unten stehenden Merksatz.

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt ab. Zeichne zwei Stufenwinkel in die Abbildung ein.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
{{Lösung versteckt|1= Schaue dir das folgende Video nochmal an, um den Zusammenhang zwischen den Winkel noch besser zu verstehen.
{{#ev:youtube|cjgZsOHjo3E}}

{{Lösung versteckt|1= Folgende Begriffe könnten dir vielleicht helfen
*zwei
*Stufenwinkel
*parallele
*gleich groß
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}}
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Zuordnung|2= Nachdem Tim jetzt weiß, was '''Neben-''', '''Scheitel-''' und '''Stufenwinkel''' sind, hat er sich selber Geraden und Winkel ausgedacht und aufgezeichnet. Um das ganze jedoch noch schwieriger und unübersichtlicher zu gestalten, hat er mehrere Linien und Winkel eingezeichnet, als nötig wären. Ordne den Bilder die passende Unterschrift zu.
{{LearningApp|app=pndnmqymc22|width=100%|height=500px}}<br>
{{Lösung versteckt|Wenn du dir nicht mehr sicher bist, scrolle auf der Seite weiter nach oben und schaue dir die jeweiligen Winkeltypen noch einmal an.
Welche der Geraden sind wichtig zu beachten?
Welche der Geraden sind parallel?|Tipp|Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

===Übungsaufgabe===

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= Aufgabe 4:Bayrische Flagge |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Scheitelwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest. |3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4a): Bayrische Flagge |2= Bestimme die fehlenden Winkel!

[[Datei:Erarbeitungsaufgabe.png|left|Aufgabe 4a)]] |3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Anwendungsaufgabe==

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach.

[[Datei:Haus ohne eingezeichnete Winkel 1.Fassung.png|left|Aufgabe 5]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Haus mitWinkeln 1.Fassung.png|left|Lösungsskizze zu Aufgabe 5]]

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel <math>\beta</math> ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}} |3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitelauswahl}}

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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Rund ums Dreieck/Winkel an Geraden

2022-05-11T13:38:34Z

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2022-05-11T13:27:57Z

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2022-05-11T12:58:32Z

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2022-05-11T12:23:02Z

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2022-05-01T10:36:28Z

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<br />

==Einstieg==

{{Box|1= Aufgabe 1: Winkel an Geraden| 2= [[File:1-uniform n7.svg|thumb|Parkettierung mit Dreiecken.|alt=1-uniform n7.svg]]
Betrachte die Abbildung. Tim behauptet: "Es reicht aus, einen Winkel zu messen. Dann kann ich alle anderen Winkel bestimmen."
[[Datei:Ausschnitt der Parkettierung..png|mini|Ausschnitt der Parkettierung mit eingezeichneten Winkeln.]] Schaue dir die Winkel in der zweiten Abbildung an. Tim konnte <math>\alpha=120^{\circ}</math> bestimmen. Überprüfe Tims Behauptung, indem du die Winkel <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> bestimmst.

<div class="lueckentext-quiz">
<math>\beta</math>= '''60()'''° <br>

<math>\gamma</math>='''60()'''° </div>

{{Lösung versteckt|1= Erinnere dich daran, dass Winkel mit dem griechischem Alphabet beschrieben werden. Typische Bezeichnungen für Winkel sind
*<math>\alpha</math> (''Alpha'', griechisches ''a'')
*<math>\beta</math> (''Beta'', griechisches ''b'')
*<math>\gamma</math> (''Gamma'', griechisches ''g'')
*
*
Wenn du weitere Buchstaben aus dem griechischem Alphabet benötigst, schaue gerne unter diesem Wikipedia-Link nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet
|2= Tipp|3= Tipp verbergen}} |3=Arbeitsmethode |Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Erarbeitung==
===Scheitelwinkel===

{{Box|1= Aufgabe 2: Grundlagen zu Scheitelwinkeln|2= '''1.''' Untersuche das folgende GeoGebra-Applet, indem du dir die Winkel anzeigen lässt und die Position der Geraden veränderst. Verschiebe hierfür die Punkte '''A''' und '''B'''.

'''2.''' Beschreibe danach deine Beobachtungen, indem du den unten stehenden Lückentext ausfüllst.

<ggb_applet id="XXAVyaqp" width="1000" height="1000" border="888888" />
(Applet von I. Schwalbe)

<div class="lueckentext-quiz">
Wenn ich die Lage der Geraden zueinander verändere, so verändern sich auch '''die Winkel''' am Schnittpunkt. Außerdem bleiben die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> '''gleich groß''', genau so wie die Winkel <math>\gamma</math> und <math>\delta</math>. Zwei nebeneinander liegende Winkel addieren sich immer zu '''<math>180^\circ</math>'''. Deshalb ergibt <math>\alpha +\beta +\gamma +\delta=</math> '''<math>360^\circ</math>'''.
</div>

<br /><br />
|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
{{Box | Aufgabe 3: Erklärung Scheitelwinkel| Warum sind Scheitelwinkel gleich groß? Begründe deine Beobachtungen aus Aufgabe 2 mit geometrischen Argumenten. | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

{{Lösung versteckt|1= Welche der folgenden Begriffe aus der Geometrie könnten dir bei deiner Begründung helfen?<quiz display="simple">
{Klicke die Begriffe an, die dir helfen könnten.}
+ Drehung
+ Spiegelung
- Verschiebung
</quiz>|2= Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Wenn an dem Schnittpunkt eine Drehung um <math> 180^\circ</math> durchgeführt wird, dann dreht sich der Winkel ebenfalls mit. Da durch eine Drehung die Größe des Winkels gleich bleibt, sind Scheitelwinkel auch gleich groß.
Ebenso wäre es möglich an dem Schnittpunkt eine Spiegelung durchzuführt. Hierbei wird der Winkel auf die andere Seite gespiegelt. Weil durch die Spiegelung der Winkel nicht verändert wird, sind Scheitelwinkel gleichgroß.|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}

{{Box | Aufgabe 4: Beweis | Kannst du mit mathematischen Formel erklären, warum Scheitelwinkel gleich groß sind? | Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1= Was weißt du über gestreckte Winkel? Betrachte alle Winkel um den Schnittpunkt der Geraden und dein Wissen über gestreckte Winkel.|2=Tipp|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Da sich zwei Nebenwinkel zu <math>180^\circ</math> ergänzen gilt <math>\alpha+\beta=180^\circ</math>. Da <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> auch einen gestreckten Winkel bilden, gilt ebenfalls <math>\beta+\gamma=180^\circ</math>. Werden nun diese beiden Gleichungen voneinander subtrahiert, so gilt <math>\alpha+\beta-(\beta+\gamma)=180^\circ-180^\circ</math>. Durch Umstellen ergibt sich also <math>\alpha =\gamma </math>.|2= Lösung|3=Lösung verbergen}}

{{Box|1=Merksatz: Scheitelwinkel |2= [[Datei: Scheitelwinkel.png|mini|rechts|Scheitelwinkel]]
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Übertrage diesen Merksatz auf das Arbeitsblatt.
</div>
Schneiden sich zwei Geraden in einem Schnittpunkt, so nennen wir die Winkel die sich gegenüberliegen, '''Scheitelwinkel'''. Diese Scheitelwinkel sind immer '''gleich groß'''. |3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

===Stufenwinkel===

{{Box|1= Aufgabe 3: Stufenwinkel erkunden|2= Betrachten wir nun zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden. Schaue dir hierfür ein weiteres GeoGebra-Applet an und untersuche dieses, indem du die Position der Geraden zueinander veränderst. Was fällt dir auf?

<ggb_applet id="JkXWyZhr" width="729" height="440" border="888888" /><br>

(Applet von B. Lachner)<br><br>

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Merksatz: Stufenwinkel |2= [[Datei: Stufenwinkel.png|mini|rechts|Stufenwinkel]] <div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Fülle den unten stehenden Lückentext aus und schreibe ihn danach auf das Arbeitsblatt.
</div>
<div class="lueckentext-quiz">
Wenn zwei '''parallele()''' Geraden von einer dritten Gerade geschnitten werden, entstehen '''zwei()''' Schnittpunkte. Betrachtet man die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>, so nennen wir diese Art von Winkeln '''Stufenwinkel()''', welche '''gleich groß()''' sind.
</div>
|3=Merksatz| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

===Anwendung===

[[Datei:Bayernflagge mit Winkeln klein.png|mini|Ausschnitt der bayrischen Flagge]]

{{Box|1= |2= Das Bild zeigt einen Ausschnitt der bayrischen Flagge mit den eingezeichneten Winkeln <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>. Der Winkel <math>\alpha</math> ist 51° groß. Wie groß ist der Winkel <math>\beta</math>? Begründe deine Antwort, mit Hilfe deines Wissens über Stufen- und Wechselwinkel. Du kannst selber entscheiden, ob du als Hilfe die Aufgaben 4a) bearbeitest oder direkt die Frage beantwortest und begründest. |3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4a): Anwendungsaufgabe |2= Bestimme die fehlenden Winkel! |3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

[[Datei:Erarbeitungsaufgabe.png|left|Aufgabe 4a)]]

==Transferaufgabe==

===Leiter an der Hauswand===

{{Box|1= Aufgabe 5: Anwendungsaufgabe |2= Eine Leiter steht an einer Hauswand, so dass sie mit dem Dach eine gerade Linie bildet. Es ist <math>\alpha</math>=60° bekannt. Berechne den Winkel <math>\beta</math> zwischen dem Schornstein und dem Dach!|3= Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}

[[Datei:Haus ohne eingezeichnete Winkel 1.Fassung.png|left|Aufgabe 5]]

{{Lösung versteckt|1= Es hilft als erstes zu überlegen, wo es Geraden und Winkel geben könnte und diese einzuzeichnen. Gibt es irgendwo parallele Geraden? In welchem Winkel treffen die Hauswand und die Verlängerung des Schornsteins auf den Boden |2=Tipp 1 anzeigen|3=Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1= Die Leiter, der Boden und die rechte Hauswand bilden ein Dreieck. Zeichne es ein und überleg dir wie groß die Innenwinkel sind. |2=Tipp 2 anzeigen|3=Tipp 2 verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Haus mitWinkeln 1.Fassung.png|left|Lösungsskizze zu Aufgabe 5]]

Hauswand, Leiter und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°, damit lässt sich der obere Innenwinkel des Dreiecks bestimmen. Der Winkel <math>\beta</math> ist ein Wechselwinkel zu dem oberen Innenwinkel des Dreiecks.

|2=Tipp 3 anzeigen|3=Tipp 3 verbergen}}