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Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-29T09:47:41Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Hier kannst du deine Lösung überprüfen:
{{LearningApp|width=50%|height=400px|app=38060306}}| Arbeitsmethode}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

Überprüfung:

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
{{LearningApp|width=45%|height=300px|app=38059730}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-29T09:47:14Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
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}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
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|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
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<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Hier kannst du deine Lösung überprüfen:
{{LearningApp|width=50%|height=400px|app=38060306}}| Arbeitsmethode}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

Überprüfung:
[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
{{LearningApp|width=45%|height=300px|app=38059730}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-29T09:46:24Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
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|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
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{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Hier kannst du deine Lösung überprüfen:
{{LearningApp|width=50%|height=400px|app=38060306}}| Arbeitsmethode}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
{{LearningApp|width=45%|height=300px|app=38059730}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-29T09:45:59Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

Hier kannst ud deine Lösung überprüfen:
{{LearningApp|width=50%|height=400px|app=38060306}}| Arbeitsmethode}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
{{LearningApp|width=45%|height=300px|app=38059730}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-29T09:44:29Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

{{LearningApp|width=50%|height=400px|app=38060306}}| Arbeitsmethode}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
{{LearningApp|width=45%|height=300px|app=38059730}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-29T09:44:01Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
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|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{LearningApp|width=50%|height=400px|app=38060306}}| Arbeitsmethode}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
{{LearningApp|width=45%|height=300px|app=38059730}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-29T09:42:57Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />
{{LearningApp|width=50%|height=500px|app=38060306}}| Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
{{LearningApp|width=45%|height=300px|app=38059730}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-29T09:42:12Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
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|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" /> | Arbeitsmethode}}

{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=38060306}}
<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
{{LearningApp|width=45%|height=300px|app=38059730}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-29T09:24:39Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" /> | Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
{{LearningApp|width=45%|height=300px|app=38059730}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-29T09:24:18Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" /> | Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
{{LearningApp|width=60%|height=300px|app=38059730}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-29T09:23:50Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
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}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" /> | Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
{{LearningApp|width=100%|height=300px|app=38059730}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-29T09:23:11Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du dir da noch unsicher bist, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einbrecher in Münster==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er kann eingrenzen, wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Dafür kommen zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

In diesem Kapitel wollen wir Kommissar Biehl helfen, mithilfe von
Mathematik einen guten Ort zu finden. Dafür erinnert er sich daran, was er in der Schule zu besonderen punkten im Dreieck gelernt hat.“

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|grün}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
Wie Kommissar Biehl, solltest auch du auf alle möglichen Punkte im Dreieck vorbereitet sein. Probiere dich an allen Kontruktionsaufgaben aus, wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir die Kontruktionsschritte anzeigen lassen.
{{Box|Aufgabe 3 a): Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
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}}
{{Box|Aufgabe 3 b): Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
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}}
{{Box|Aufgabe 3 c): Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
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<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Kommissar Biehl hat einen anonymen Tipp erhalten, die ihm beim Umgang mit dem Umkreismittelpunkt helfen.
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung zuhause vertiefen möchtest, schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Kommissar Biehl möchte sich absolut sicher sein, welcher Standort der beste für ihn ist, muss sich aufgrund des Zeitdrucks aber auf eine Aufgabe beschränken. Wähle eine der nächsten beiden Aufgaben zur Bearbeitung.
{{Box|Aufgabe 4:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu. Wenn du auf die Bilder klickst, werden sie groß.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

{{Box | Aufgabe 5: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" /> | Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 6: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Dabei ist das Straßennetz egal, es zählt nur die Entfernung zum Ziel. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=38059730}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Super, du hast es geschafft! Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde:
[[Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-14T09:08:37Z

Jakob Uni MS-14: /* Vertiefung */

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Darstellungen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T16:42:30Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
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==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
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}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
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<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
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<ggb_applet id="agyjwnvh" width="600" height="420" />
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|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
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== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T16:41:36Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
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}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
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<ggb_applet id="agyjwnvh" width="550" height="450" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T16:23:26Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="580" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt||2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T16:22:51Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|
<ggb_applet id="kzdpgmxp" width="620" height="380" />
|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt||2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T16:22:00Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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{{Lösung versteckt|
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|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt||2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T16:00:25Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="600" height="370" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt||2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt||2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T15:59:36Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="750" height="350" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt||2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt||2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T15:58:56Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|<ggb_applet id="whhdcs5w" width="550" height="450" />|2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
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}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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{{Lösung versteckt||2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt||2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T15:06:59Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt||2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt||2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt||2=Konstruktionsschritte|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T15:05:35Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T11:08:14Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />

<ggb_applet id="RRpDczUu" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T11:06:44Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
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}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T11:06:10Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T11:05:25Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T11:04:34Z

Jakob Uni MS-14: /* Vertiefung */

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box|Aufgabe 3:|Sortiere die Eigenschaften und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T11:04:01Z

Jakob Uni MS-14: /* Vertiefung */

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box | Aufgabe 3: |Sortiere die Eigenschaftn und Assoziationen den Punkten des Dreiecks zu.
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}
| Arbeitsmethode}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T11:02:00Z

Jakob Uni MS-14: /* Vertiefung */

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box | Aufgabe 3: |EIne Aufgabe mit den Eigenschaftenpsdiösdlmväaoifchöac
{{LearningApp|width=75%|height=500px|app=37723807}}
| Arbeitsmethode}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T11:01:24Z

Jakob Uni MS-14: /* Vertiefung */

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
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}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box | Aufgabe 3: |EIne Aufgabe mit den Eigenschaftenpsdiösdlmväaoifchöac
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37723807}}
| Arbeitsmethode}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-13T11:00:32Z

Jakob Uni MS-14: /* Vertiefung */

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box | Aufgabe 3: |EIne Aufgabe mit den Eigenschaftenpsdiösdlmväaoifchöac

https://learningapps.org/view37723807
| Arbeitsmethode}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}

==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T20:07:37Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
{{Box | Aufgabe 3: |EIne Aufgabe mit den Eigenschaftenpsdiösdlmväaoifchöac
| Arbeitsmethode}}

{{Box | Aufgabe 4: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 5: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T20:06:24Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

Fällt dir bei einem rechtwinkligen Dreieck etwas auf? Wenn du deine Beobachtung vertiefen möchtest schau dir doch mal den [https://de.serlo.org/mathe/1743/satz-des-thales Satz des Thales] an.

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T20:03:27Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
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|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" />
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T20:02:55Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wissen II ==
Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T20:01:29Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T20:01:16Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T20:01:01Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wenn du aus einem gleichmäßigen Material ein Dreieck ausschneidest, müsstest du es auf dem Schwerpunkt balanieren können.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T19:57:00Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

[[Datei:Schwerpunkt.png|thumb|right|Der Schwerpunkt eines Dreiecks, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Datei:Schwerpunkt.png

2024-11-12T19:56:10Z

Jakob Uni MS-14: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = h
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Jakob Uni MS-14|Jakob Uni MS-14]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T19:55:19Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|weißt]]: Punkte auf der Winkelhalbierenden haben von den beiden Seiten, die den Winkel einschließen, die selbe kürzeste Entfernung. Auch hier: Vom Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden sind alle Seiten gleich weit entfernt. Wenn du einen Kreis zeichnest, der eine Seite in einem Punkt berührt (der '''Inkreis'''), dann berührt er auch die anderen Seiten in nur einem Punkt.

Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
[[Datei:01_Schwerpunkt_im_Dreieck-3.svg|rahmenlos|ohne|500px]]

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T19:51:01Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen I==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

[[Datei:Inkreis.png|thumb|left|Der Inkreis, konstruiert aus den Winkelhalbierenden.]]
Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
[[Datei:01_Schwerpunkt_im_Dreieck-3.svg|rahmenlos|ohne|500px]]

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
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b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
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}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Datei:Inkreis.png

2024-11-12T19:50:05Z

Jakob Uni MS-14: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = inkreis
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Jakob Uni MS-14|Jakob Uni MS-14]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T19:41:27Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
[[Datei:Triangle-inscribed-circle.svg|rahmenlos|ohne|500px]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
[[Datei:01_Schwerpunkt_im_Dreieck-3.svg|rahmenlos|ohne|500px]]

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T19:41:05Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:
Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
[[Datei:Triangle-inscribed-circle.svg|rahmenlos|ohne|500px]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
[[Datei:01_Schwerpunkt_im_Dreieck-3.svg|rahmenlos|ohne|500px]]

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T19:40:44Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle Ecken somit den selben Abstand.
Deswegen kannst du, wenn du den richtigen Radius wählst, um den Schnittpunkt M einen Kreis zeichnen, der alle Eckpunkte durchläuft. Das ist der '''Umkreis'''.

Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
[[Datei:Triangle-inscribed-circle.svg|rahmenlos|ohne|500px]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
[[Datei:01_Schwerpunkt_im_Dreieck-3.svg|rahmenlos|ohne|500px]]

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T19:38:42Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.

Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]:

Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle

Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
[[Datei:Triangle-inscribed-circle.svg|rahmenlos|ohne|500px]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
[[Datei:01_Schwerpunkt_im_Dreieck-3.svg|rahmenlos|ohne|500px]]

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T19:38:13Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen==
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren, die dritte schneidet im selben Punkt.
Du weißt über Mittelsenkrechten aus dem letzten [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|Kapitel]]: Alle Punkte auf der '''Mittelsenkrechte''' haben zu den zugehörigen Eckpunkten den '''selben Abstand'''. Als Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten haben vom Punkt M alle

Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
[[Datei:Triangle-inscribed-circle.svg|rahmenlos|ohne|500px]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
[[Datei:01_Schwerpunkt_im_Dreieck-3.svg|rahmenlos|ohne|500px]]

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="knbhdr7r" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]

Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

2024-11-12T19:34:39Z

Jakob Uni MS-14:

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über '''charakteristische Punkte''' des Dreiecks aufzufrischen.
In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den '''Seiten 56, 57 und 64'''.

==Information==
{{Box
|1=|2= In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den '''Umkreismittelpunkt''', den '''Inkreismittelpunkt''' und den '''Schwerpunkt'''. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|dieses Kapitel]] an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''orange''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''pinker''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''lilanem''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
==Einstieg==

[[Datei:Einbruchskarte.png|600px|left|Karte mit den möglichen Einbrüchen.]]
Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.
[[Datei:Kommissar Biehl.png|80px|right|Wo soll sich Kommissar Biehl auf die Lauer legen?]]

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

==Wissen==
Der Kreis, der alle '''Eckpunkte''' eines Dreiecks berührt, heißt '''Umkreis'''. Der '''Umkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Mittelsenkrechten''' des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren.
[[Datei:Umkreis.png|thumb|right|Aus den Mittelsenkrechten wird der Umkreismittelpunkt konstruiert. ]]

Der Kreis, der alle '''Seiten''' eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt '''Inkreis'''. Der '''Inkreismittelpunkt''' ist der Schnittpunkt der drei '''Winkelhalbierenden''' des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.
[[Datei:Triangle-inscribed-circle.svg|rahmenlos|ohne|500px]]
Der '''Schwerpunkt''' eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der '''Seitenhalbierenden'''. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.
[[Datei:01_Schwerpunkt_im_Dreieck-3.svg|rahmenlos|ohne|500px]]

==Merksatz==

{{Box|Aufgabe 1:|Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37688425}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

==Übung==
{{Box | Aufgabe 2.1:|a) Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.
{{LearningApp|width=90%|height=300px|app=37713328}}

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

{{Lösung versteckt|Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

'''S'''chwerpunkt und '''S'''eitenhalbierende: Beides beginnt mit "'''S'''".

'''Ink'''reis und W'''ink'''elhalbierende: In beidem kommt "'''ink'''" vor.

U'''m'''kreis und '''M'''ittelsenkrechte: In beidem kommt "'''m'''" vor.
|mögliche Eselsbrücke anzeigen|Eselsbrücke verbergen}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Konstruktion==
{{Box|Aufgabe 2.1: Umkreis |Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="bmjyge6v" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.2: Inkreis |Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.
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|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
{{Box|Aufgabe 2.3: Schwerpunkt |Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.
<ggb_applet id="zbue4tyz" width="550" height="450" />
|Arbeitsmethode| Farbe = #CD2990
}}

== Wiederholung ==
{{Box|1=Eigenschaften des Umkreismittelpunkt|2=Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch '''außerhalb''' des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen '''stumpfen Winkel''' hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Applet kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den '''Umkreismittelpunkt''' beobachten.
Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue [https://projekte.zum.de/wiki/Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Rund_ums_Dreieck hier].
<ggb_applet id="krn9wqhf" width="400" height="450" /> }}

==Vertiefung==
Im letzten Kapitel kannst du etwas zu den Eigenschaften der Linien im Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende) lernen. Als '''Schnittpunkte''' dieser Linien ergeben sich in diesem Kapitel neue '''Eigenschaften''', die sich auf das ganze Dreieck beziehen. Um diese soll es in der nächsten Aufgabe gehen.
Willst du nochmal einen Blick auf die Eigenschaften werfen? Das kannst du [[Geometrie im Dreieck/Mehr als eine Linie|hier]] tun.

{{Box | Aufgabe 3: |Benenne die Punkte M1 M2 und M3 der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.
<ggb_applet id="srjcpuge" width="400" height="450" />| Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Deine Lösung:

M1 - '''Umkreismittelpunkt''', M2 - '''Schwerpunkt''', M3 - '''Inkreismittelpunkt'''
</div>

{{Lösung versteckt|Tippe eine Ecke des Dreiecks an und verschiebe sie. Wie bewegen sich die gekennzeichneten Mittelpunkte?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaffst du es das Dreieck so zu bewegen, dass ein Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? Welcher Punkt kann das nur sein?|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Stell dir eine Winkelhalbierende vor. Welcher der Punkte könnte der Schnittpunkt mehrerer Winkelhalbierender sein.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
==Auf der Lauer==
{{Box|Aufgabe 4: Entfernungsproblem |Finde den Ort an dem Kommissar Biehl warten soll, damit er gleich schnell bei jedem möglichen Einbruchsort ist. Du kannst im Fenster mit Geogebra Konstruktionen durchführen.
<ggb_applet id="rpsnggh3" width="720" height="520" />

{{Lösung versteckt|Kommissar Biehl sollte von jedem Einbruchsort gleichweit entfernt sein.|2=Tipp 1|3=Hilfe verbergen}}

{{Lösung versteckt|Der Umkreismittelpunkt ist von jedem Eckpunkt eines Dreiecks gleich weit entfernt.|2=Tipp 2|3=Hilfe verbergen}}

|Arbeitsmethode| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

[[Datei:Orte auf Karte.png|450px|Welcher Ort wäre ideal um auf den Einbruch zu warten.]]
<div class="lueckentext-quiz">
Kommissar Biehl sollte sich bei Punkt '''D()''' aufhalten.
</div>

Hier findest du zurück zum Ausgangspunkt der Stunde.
[[Geometrie im Dreieck]]