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Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum

2024-07-05T09:37:50Z

HaZeGMB:

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.<ref>Idee: LogistischesWachstumAufgaben.pdf (groolfs.de), Aufgabe 2</ref>

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

<math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>

<math>100+49.900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100</math>

<math>49.900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49.900</math>

<math>e^{-3.500k}={4 \over 499} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3.500k</math>

<math>-3.500k\approx-4,8 \mid\div(-3.500)</math>

<math>k\approx0,0014</math>

<math>N(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

<math>500\cdot 0,8=400</math>

<math>N(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>

<math>400+199.600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400</math>

<math>199.600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199.600</math>

<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1.996} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({1\over 1.996})= -0,7x</math>

<math>-7,6= -0,7x\mid\div(-0,7)</math>

<math>x=10,9</math>

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten vier Tagen pro Tag?

<math>k(4)\approx16,5</math>

<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen
[[Datei:Bild zu den Aufgaben.jpg|zentriert|mini|Bild zu den Aufgaben]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T09:30:21Z

HaZeGMB: /* Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Google_Flu_Trends</ref>, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Der
Film "Minority Report" (2002)<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Minority_Report</ref>, beschäftigte sich mit Ansätzen teilen mit dieser Idee, aber insbesondere mit den Gefahren und Risiken, als auch den sozialen Aspekten. Hauptkrikpunkt ist der soziale Aspekt der fairen Behandlung, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird und so unschuldige Menschen bestraft werden könnten. Besonders angreifbar in dieser Hinsicht ist der Einsatz von KI, die ihre Parameter selbst festlegt, da hier nicht einsehbar ist, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung(Wohnort und Hautfarbe, könnten fälschlicherweise auch als Parameter genutzt werden) kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.118 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>.

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. So sind einige positive Beispiele Ausweichempfehlungen bei Stau, neue Fertigungsmethoden in der Produktion oder aber die Nutzung von Smarthome-Systemen. Jedoch gibt es auch negative Aspekte für die KI-Nutzung in der Zukunft, beispielsweise ist eine Abhängigkeit und somit Abgrenzung von realen Menschen, durch eine realistischere Umsetzung verschiedener Programme, möglich. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum

2024-07-05T09:28:00Z

HaZeGMB:

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.<ref>Idee: LogistischesWachstumAufgaben.pdf (groolfs.de), Aufgabe 2</ref>

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten vier Tagen pro Tag?

Lösung:

a) <math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>

<math>100+49.900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100</math>

<math>49.900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49.900</math>

<math>e^{-3.500k}={4 \over 499} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3.500k</math>

<math>-3.500k\approx-4,8 \mid\div(-3.500)</math>

<math>k\approx0,0014</math>

<math>N(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

b) <math>500\cdot 0,8=400</math>

<math>N(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>

<math>400+199.600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400</math>

<math>199.600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199.600</math>

<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1.996} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({1\over 1.996})= -0,7x</math>

<math>-7,6= -0,7x\mid\div(-0,7)</math>

<math>x=10,9</math>

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c) <math>k(4)\approx16,5</math>

<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen
[[Datei:Bild zu den Aufgaben.jpg|zentriert|mini|Bild zu den Aufgaben]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum

2024-07-05T09:27:41Z

HaZeGMB:

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.<ref>Idee: LogistischesWachstumAufgaben.pdf (groolfs.de), Aufgabe 2</ref>

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten vier Tagen pro Tag?

Lösung:

a) <math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>

<math>100+49.900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100</math>

<math>49.900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49.900</math>

<math>e^{-3.500k}={4 \over 499} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3.500k</math>

<math>-3.500k\approx-4,8 \mid\div(-3.500)</math>

<math>k\approx0,0014</math>

<math>N(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

b) <math>500\cdot 0,8=400</math>

<math>N(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>

<math>400+199.600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400</math>

<math>199.600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199.600</math>

<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1.996} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({1\over 1.996})= -0,7x</math>

<math>-7,6= -0,7x\mid\div(-0,7)</math>

<math>x=10,9</math>

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c)

<math>k(4)\approx16,5</math>

<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen
[[Datei:Bild zu den Aufgaben.jpg|zentriert|mini|Bild zu den Aufgaben]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T09:25:10Z

HaZeGMB: /* Logistisches Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Google_Flu_Trends</ref>, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Der
Film "Minority Report" (2002)<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Minority_Report</ref>, beschäftigte sich mit Ansätzen teilen mit dieser Idee, aber insbesondere mit den Gefahren und Risiken, als auch den sozialen Aspekten. Hauptkrikpunkt ist der soziale Aspekt der fairen Behandlung, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird und so unschuldige Menschen bestraft werden könnten. Besonders angreifbar in dieser Hinsicht ist der Einsatz von KI, die ihre Parameter selbst festlegt, da hier nicht einsehbar ist, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung(Wohnort und Hautfarbe, könnten fälschlicherweise auch als Parameter genutzt werden) kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>.

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. So sind einige positive Beispiele Ausweichempfehlungen bei Stau, neue Fertigungsmethoden in der Produktion oder aber die Nutzung von Smarthome-Systemen. Jedoch gibt es auch negative Aspekte für die KI-Nutzung in der Zukunft, beispielsweise ist eine Abhängigkeit und somit Abgrenzung von realen Menschen, durch eine realistischere Umsetzung verschiedener Programme, möglich. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum

2024-07-05T09:24:45Z

HaZeGMB:

[[Datei:Video Bierschaum exponentielles Wachstum2.mov|zentriert|mini]]
In dem Experiment wird eine Flasche Bier in ein Becherglas gekippt. Dabei findet die Schaumbildung statt. Dieser zerfällt innerhalb der nächsten fünf Minuten, wobei ein negatives exponentielles Wachstum zu beobachten ist, d.h. anfangs zerfällt der Schaum schneller und gegen Ende dauert es für die gleiche Menge an Schaum deutlich länger (d.h. es findet kein gleichmäßiges negatives lineares Wachstum statt).

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T08:29:55Z

HaZeGMB: /* Blick in die Zukunft */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Google_Flu_Trends</ref>, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Der
Film "Minority Report" (2002)<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Minority_Report</ref>, beschäftigte sich mit Ansätzen teilen mit dieser Idee, aber insbesondere mit den Gefahren und Risiken, als auch den sozialen Aspekten. Hauptkrikpunkt ist der soziale Aspekt der fairen Behandlung, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird und so unschuldige Menschen bestraft werden könnten. Besonders angreifbar in dieser Hinsicht ist der Einsatz von KI, die ihre Parameter selbst festlegt, da hier nicht einsehbar ist, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung(Wohnort und Hautfarbe, könnten fälschlicherweise auch als Parameter genutzt werden) kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>.

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. So sind einige positive Beispiele Ausweichempfehlungen bei Stau, neue Fertigungsmethoden in der Produktion oder aber die Nutzung von Smarthome-Systemen. Jedoch gibt es auch negative Aspekte für die KI-Nutzung in der Zukunft, beispielsweise ist eine Abhängigkeit und somit Abgrenzung von realen Menschen, durch eine realistischere Umsetzung verschiedener Programme, möglich. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T08:27:07Z

HaZeGMB: /* Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
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=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Google_Flu_Trends</ref>, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Der
Film "Minority Report" (2002)<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Minority_Report</ref>, beschäftigte sich mit Ansätzen teilen mit dieser Idee, aber insbesondere mit den Gefahren und Risiken, als auch den sozialen Aspekten. Hauptkrikpunkt ist der soziale Aspekt der fairen Behandlung, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird und so unschuldige Menschen bestraft werden könnten. Besonders angreifbar in dieser Hinsicht ist der Einsatz von KI, die ihre Parameter selbst festlegt, da hier nicht einsehbar ist, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung(Wohnort und Hautfarbe, könnten fälschlicherweise auch als Parameter genutzt werden) kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>.

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. So sind einige positive Beispiele Ausweichempfehlungen bei Stau, neue Fertigungsmethoden in der Produktion oder aber die Nutzung von Smarthome-Systemen. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T08:12:53Z

HaZeGMB: /* Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Google_Flu_Trends</ref>, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. So sind einige positive Beispiele Ausweichempfehlungen bei Stau, neue Fertigungsmethoden in der Produktion oder aber die Nutzung von Smarthome-Systemen. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T08:11:46Z

HaZeGMB: /* Logistisches Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. So sind einige positive Beispiele Ausweichempfehlungen bei Stau, neue Fertigungsmethoden in der Produktion oder aber die Nutzung von Smarthome-Systemen. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T08:06:20Z

HaZeGMB: Änderung 97488 von TaBeGMB (Diskussion) rückgängig gemacht.

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>Pierre-François Verhulst – Wikipedia</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. So sind einige positive Beispiele Ausweichempfehlungen bei Stau, neue Fertigungsmethoden in der Produktion oder aber die Nutzung von Smarthome-Systemen. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum

2024-07-05T07:23:34Z

HaZeGMB:

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.<ref>Idee: LogistischesWachstumAufgaben.pdf (groolfs.de), Aufgabe 2</ref>

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde?

Lösung:

a) <math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>

<math>100+49.900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100</math>

<math>49.900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49.900</math>

<math>e^{-3.500k}={4 \over 499} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3.500k</math>

<math>-3.500k\approx-4,8 \mid\div(-3.500)</math>

<math>k\approx0,0014</math>

<math>N(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

b) <math>500\cdot 0,8=400</math>

<math>N(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>

<math>400+199.600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400</math>

<math>199.600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199.600</math>

<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1.996} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({1\over 1.996})= -0,7x</math>

<math>-7,6= -0,7x\mid\div(-0,7)</math>

<math>x=10,9</math>

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c)

<math>k(4)\approx16,5</math>

<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen
[[Datei:Bild zu den Aufgaben.jpg|zentriert|mini|Bild zu den Aufgaben]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T07:22:26Z

HaZeGMB: /* Logistisches Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
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=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>Pierre-François Verhulst – Wikipedia</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>N(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. So sind einige positive Beispiele Ausweichempfehlungen bei Stau, neue Fertigungsmethoden in der Produktion oder aber die Nutzung von Smarthome-Systemen. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:58:43Z

HaZeGMB: /* Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Google_Flu_Trends</ref>, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen, diese Idee wurde beispielweise in Ansätzen auch im Film "Minority Report" (2002) umgesetzt.<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Minority_Report</ref> Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird. V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:57:13Z

HaZeGMB: /* Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Google_Flu_Trends</ref>, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen, diese Idee wurde beispielweise auch im Film "Minority Report" (2002). Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird. V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:54:47Z

HaZeGMB: /* Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Google_Flu_Trends</ref>, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:53:41Z

HaZeGMB: /* Logistisches Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre-Fran%C3%A7ois_Verhulst</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:52:50Z

HaZeGMB: /* Logistisches Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst<ref>Pierre-François Verhulst – Wikipedia</ref> hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:48:20Z

HaZeGMB: /* Logistisches Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

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=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.43 ff. (2.1.4 Logistische Modelle)</ref>

<math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

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===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:47:01Z

HaZeGMB: /* Logistisches Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
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Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

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=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

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=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:<ref></ref>

<math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

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===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:44:20Z

HaZeGMB: /* Logistisches Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
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Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
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=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die '''Regressionsgleichung''' verwendet:

<math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:43:56Z

HaZeGMB: /* Logistisches Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
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Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

zum Lösen von Problemen wird meist die Regressionsgleichung verwendet:
<math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum

2024-07-05T06:41:03Z

HaZeGMB:

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.<ref>Idee: LogistischesWachstumAufgaben.pdf (groolfs.de), Aufgabe 2</ref>

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde?

Lösung:

a) <math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>

<math>100+49900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100</math>

<math>49900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49900</math>

<math>e^{-3500k}={4 \over 499} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3500k</math>

<math>-3500k\approx-4,8 \mid\div(-3.500)</math>

<math>k\approx0,0014</math>

<math>K(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

b) <math>500\cdot 0,8=400</math>

<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>

<math>400+199600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400</math>

<math>199600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199600</math>

<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1996} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({1\over 1996})= -0,7x</math>

<math>-7,6= -0,7x\mid\div(-0,7)</math>

<math>x=10,9</math>

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c)

<math>k(4)\approx16,5</math>

<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen
[[Datei:Bild zu den Aufgaben.jpg|zentriert|mini|Bild zu den Aufgaben]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum

2024-07-05T06:39:28Z

HaZeGMB:

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.<ref>Idee: LogistischesWachstumAufgaben.pdf (groolfs.de), Aufgabe 2</ref>

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde?

Lösung:

a) <math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>

<math>100+49900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100</math>

<math>49900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49900</math>

<math>e^{-3500k}={4 \over 499} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3500k</math>

<math>-3500k\approx-4,8 \mid\div-3500</math>

<math>k\approx0,0014</math>

<math>K(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

b) <math>500\cdot 0,8=400</math>

<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>

<math>400+199600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400</math>

<math>199600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199600</math>

<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1996} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({1\over 1996})= -0,7x</math>

<math>-7,6= -0,7x\mid\div(-0,7)</math>

<math>x=10,9</math>

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c)

<math>k(4)\approx16,5</math>

<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen
[[Datei:Bild zu den Aufgaben.jpg|zentriert|mini|Bild zu den Aufgaben]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum

2024-07-05T06:38:49Z

HaZeGMB: Die Seite wurde neu angelegt: „In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.<ref>Idee: LogistischesWachstumAufgaben.pdf (groolfs.de), Aufgabe 2</ref> a) Bestimmen Sie den Funktionsterm. b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt? c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde? Lösung: a) <math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math> <math>100={500…“

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.<ref>Idee: LogistischesWachstumAufgaben.pdf (groolfs.de), Aufgabe 2</ref>

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde?

Lösung:

a) <math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>

<math>100+49900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100</math>

<math>49900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49900</math>

<math>e^{-3500k}={4 \over 499} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3500k</math>

<math>-3500k\approx-4,8 \mid\div-3500</math>

<math>k\approx0,0014</math>

<math>K(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

b) <math>500\cdot 0,8=400</math>

<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>

<math>400+199600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400</math>

<math>199600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199600</math>

<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1996} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({1\over 1996})= -0,7x</math>

<math>-7,6= -0,7x\mid\div-0,7</math>

<math>x=10,9</math>

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c)

<math>k(4)\approx16,5</math>

<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen
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Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:38:39Z

HaZeGMB: /* Logistisches Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistisches Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:38:03Z

HaZeGMB: /* Logistisches Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Wachstum|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:37:41Z

HaZeGMB: /* Logistisches Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistisches Wachstum|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Modell|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:36:17Z

HaZeGMB: /* Logistische Modelle */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistisches Wachstum ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Modell|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum

2024-07-05T06:34:50Z

HaZeGMB:

=== Übungsaufgabe Exponentielles Wachstum ===
Bei einer Bakterienkultur sterben jede Stunde <math>10</math>% der noch vorhanden Anzahl an Bakterien. Berechnen Sie, wie viele Bakterien nach <math>10</math> Minuten noch vorhanden sind.<ref>Idee: Aufgaben zum exponentiellen Wachstum – Grundlagen & Übungen (serlo.org)</ref>

Vorgehen und Lösungsansatz:

Bei der folgenden Aufgabe wird die Variable <math>a</math> für die Anzahl der Bakterien und nicht <math>N</math> verwendet.

Wenn jeden Minute <math>10</math>% zerfallen, dann sind nach jeder Minute noch 90% zur vorherigen vorhanden. Die ursprüngliche Anzahl der Bakterien bezeichnen wir mit <math>a_0</math>, Minute eins mit <math>a_1</math>, Minute zwei mit <math>a_2</math>..., Minute zehn mit <math>a_{10}</math>.

{| class="wikitable"
|+
! Minuten !! noch vorhandene Anzahl !! <math>a_0=10.000</math>
|-
| <math>0</math> || <math>a_0</math> || <math>a_0=10.000</math>
|-
| <math>1</math> || <math>a_1=0,9\cdot a_0</math> || <math>a_1=(0,9)^1 \cdot 10.000=9.000</math>
|
|-
| <math>2</math> || <math>a_2=0,9\cdot a_1=(0,9)^2 \cdot a_0</math> || <math>a_2=(0,9)^2 \cdot 10.000=8.100</math>
|
|-
| <math>3</math> || <math>a_3=0,9\cdot a_2=(0,9)^3 \cdot a_0</math> || <math>a_3=(0,9)^3 \cdot 10.000=7.290</math>
|
|-
| <math>...</math> || <math>...</math> || <math>...</math>
|
|-
| <math>9</math> || <math>a_9=0,9\cdot a_8=(0,9)^9 \cdot a_0</math> || <math>a_9=(0,9)^9 \cdot 10.000≈3.874</math>
|
|-
| <math>10</math> || <math>a_{10}=0,9\cdot a_9=(0,9)^{10} \cdot a_0</math> || <math>a_{10}=(0,9)^{10} \cdot 10.000≈3.487</math>
|
|}
<math>a_{10}=0,9 \cdot a_9=(0,9)^{10} \cdot a_0≈0,3487 \cdot a_0</math>

Nach zehn Minuten sind etwa <math>34,87</math>% der ursprünglichen Bakterienkultur vorhanden.

Nach zehn Minuten sind noch <math>3.487</math> der ursprünglich <math>10.000</math> Bakterien vorhanden.

=== Literaturverzeichnis ===

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle

2024-07-05T06:34:07Z

HaZeGMB:

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.<ref>Idee: LogistischesWachstumAufgaben.pdf (groolfs.de), Aufgabe 2</ref>

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde?

Lösung:

a) <math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>

<math>100+49900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100</math>

<math>49900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49900</math>

<math>e^{-3500k}={4 \over 499} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3500k</math>

<math>-3500k\approx-4,8 \mid\div-3500</math>

<math>k\approx0,0014</math>

<math>K(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

b) <math>500\cdot 0,8=400</math>

<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>

<math>400+199600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400</math>

<math>199600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199600</math>

<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1996} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({1\over 1996})= -0,7x</math>

<math>-7,6= -0,7x\mid\div-0,7</math>

<math>x=10,9</math>

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c)

<math>k(4)\approx16,5</math>

<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen
[[Datei:Bild zu den Aufgaben.jpg|zentriert|mini|Bild zu den Aufgaben]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle

2024-07-05T06:33:21Z

HaZeGMB:

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.<ref>LogistischesWachstumAufgaben.pdf (groolfs.de), Aufgabe 2</ref>

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde?

Lösung:

a) <math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>

<math>100+49900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100</math>

<math>49900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49900</math>

<math>e^{-3500k}={4 \over 499} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3500k</math>

<math>-3500k\approx-4,8 \mid\div-3500</math>

<math>k\approx0,0014</math>

<math>K(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

b) <math>500\cdot 0,8=400</math>

<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>

<math>400+199600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400</math>

<math>199600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199600</math>

<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1996} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({1\over 1996})= -0,7x</math>

<math>-7,6= -0,7x\mid\div-0,7</math>

<math>x=10,9</math>

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c)

<math>k(4)\approx16,5</math>

<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen
[[Datei:Bild zu den Aufgaben.jpg|zentriert|mini|Bild zu den Aufgaben]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle

2024-07-05T06:30:39Z

HaZeGMB:

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.<ref>httpt://groolfs.de</ref>

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde?

Lösung:

a) <math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>

<math>100+49900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100</math>

<math>49900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49900</math>

<math>e^{-3500k}={4 \over 499} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3500k</math>

<math>-3500k\approx-4,8 \mid\div-3500</math>

<math>k\approx0,0014</math>

<math>K(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

b) <math>500\cdot 0,8=400</math>

<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>

<math>400+199600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400</math>

<math>199600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199600</math>

<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1996} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({1\over 1996})= -0,7x</math>

<math>-7,6= -0,7x\mid\div-0,7</math>

<math>x=10,9</math>

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c)

<math>k(4)\approx16,5</math>

<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen
[[Datei:Bild zu den Aufgaben.jpg|zentriert|mini|Bild zu den Aufgaben]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum

2024-07-05T06:29:17Z

HaZeGMB: /* Übungsaufgabe Exponentielles Wachstum */

=== Übungsaufgabe Exponentielles Wachstum ===
Bei einer Bakterienkultur sterben jede Stunde <math>10</math>% der noch vorhanden Anzahl an Bakterien. Berechnen Sie, wie viele Bakterien nach <math>10</math> Minuten noch vorhanden sind.

Vorgehen und Lösungsansatz:

Bei der folgenden Aufgabe wird die Variable <math>a</math> für die Anzahl der Bakterien und nicht <math>N</math> verwendet.

Wenn jeden Minute <math>10</math>% zerfallen, dann sind nach jeder Minute noch 90% zur vorherigen vorhanden. Die ursprüngliche Anzahl der Bakterien bezeichnen wir mit <math>a_0</math>, Minute eins mit <math>a_1</math>, Minute zwei mit <math>a_2</math>..., Minute zehn mit <math>a_{10}</math>.

{| class="wikitable"
|+
! Minuten !! noch vorhandene Anzahl !! <math>a_0=10.000</math>
|-
| <math>0</math> || <math>a_0</math> || <math>a_0=10.000</math>
|-
| <math>1</math> || <math>a_1=0,9\cdot a_0</math> || <math>a_1=(0,9)^1 \cdot 10.000=9.000</math>
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| <math>2</math> || <math>a_2=0,9\cdot a_1=(0,9)^2 \cdot a_0</math> || <math>a_2=(0,9)^2 \cdot 10.000=8.100</math>
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| <math>3</math> || <math>a_3=0,9\cdot a_2=(0,9)^3 \cdot a_0</math> || <math>a_3=(0,9)^3 \cdot 10.000=7.290</math>
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| <math>...</math> || <math>...</math> || <math>...</math>
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| <math>9</math> || <math>a_9=0,9\cdot a_8=(0,9)^9 \cdot a_0</math> || <math>a_9=(0,9)^9 \cdot 10.000≈3.874</math>
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|-
| <math>10</math> || <math>a_{10}=0,9\cdot a_9=(0,9)^{10} \cdot a_0</math> || <math>a_{10}=(0,9)^{10} \cdot 10.000≈3.487</math>
|
|}
<math>a_{10}=0,9 \cdot a_9=(0,9)^{10} \cdot a_0≈0,3487 \cdot a_0</math>

Nach zehn Minuten sind etwa <math>34,87</math>% der ursprünglichen Bakterienkultur vorhanden.

Nach zehn Minuten sind noch <math>3.487</math> der ursprünglich <math>10.000</math> Bakterien vorhanden.<ref>Aufgaben zum exponentiellen Wachstum – Grundlagen & Übungen (serlo.org)</ref>

=== Literaturverzeichnis ===

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum

2024-07-05T06:28:51Z

HaZeGMB: /* Übungsaufgabe Exponentielles Wachstum */

=== Übungsaufgabe Exponentielles Wachstum ===
Bei einer Bakterienkultur sterben jede Stunde <math>10</math>% der noch vorhanden Anzahl an Bakterien. Berechnen Sie, wie viele Bakterien nach <math>10</math> Minuten noch vorhanden sind.

Vorgehen und Lösungsansatz:

Bei der folgenden Aufgabe wird die Variable <math>a</math> für die Anzahl der Bakterien und nicht <math>N</math> verwendet.

Wenn jeden Minute 10% zerfallen, dann sind nach jeder Minute noch 90% zur vorherigen vorhanden. Die ursprüngliche Anzahl der Bakterien bezeichnen wir mit <math>a_0</math>, Minute eins mit <math>a_1</math>, Minute zwei mit <math>a_2</math>..., Minute zehn mit <math>a_{10}</math>.

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! Minuten !! noch vorhandene Anzahl !! <math>a_0=10.000</math>
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Nach zehn Minuten sind etwa <math>34,87</math>% der ursprünglichen Bakterienkultur vorhanden.

Nach zehn Minuten sind noch <math>3.487</math> der ursprünglich <math>10.000</math> Bakterien vorhanden.<ref>Aufgaben zum exponentiellen Wachstum – Grundlagen & Übungen (serlo.org)</ref>

=== Literaturverzeichnis ===

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum

2024-07-05T06:28:09Z

HaZeGMB:

=== Übungsaufgabe Exponentielles Wachstum ===
Bei einer Bakterienkultur sterben jede Stunde 10% der noch vorhanden Anzahl an Bakterien. Berechnen Sie, wie viele Bakterien nach 10 Minuten noch vorhanden sind.

Vorgehen und Lösungsansatz:

Bei der folgenden Aufgabe wird die Variable <math>a</math> für die Anzahl der Bakterien und nicht <math>N</math> verwendet.

Wenn jeden Minute 10% zerfallen, dann sind nach jeder Minute noch 90% zur vorherigen vorhanden. Die ursprüngliche Anzahl der Bakterien bezeichnen wir mit <math>a_0</math>, Minute eins mit <math>a_1</math>, Minute zwei mit <math>a_2</math>..., Minute zehn mit <math>a_{10}</math>.

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Nach zehn Minuten sind etwa <math>34,87</math>% der ursprünglichen Bakterienkultur vorhanden.

Nach zehn Minuten sind noch <math>3.487</math> der ursprünglich <math>10.000</math> Bakterien vorhanden.<ref>Aufgaben zum exponentiellen Wachstum – Grundlagen & Übungen (serlo.org)</ref>

=== Literaturverzeichnis ===

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum

2024-07-05T06:27:27Z

HaZeGMB: /* Übungsaufgabe Exponentielles Wachstum */

=== Übungsaufgabe Exponentielles Wachstum ===
Bei einer Bakterienkultur sterben jede Stunde 10% der noch vorhanden Anzahl an Bakterien. Berechnen Sie, wie viele Bakterien nach 10 Minuten noch vorhanden sind.

Vorgehen und Lösungsansatz:

Bei der folgenden Aufgabe wird die Variable <math>a</math> für die Anzahl der Bakterien und nicht <math>N</math> verwendet.

Wenn jeden Minute 10% zerfallen, dann sind nach jeder Minute noch 90% zur vorherigen vorhanden. Die ursprüngliche Anzahl der Bakterien bezeichnen wir mit <math>a_0</math>, Minute eins mit <math>a_1</math>, Minute zwei mit <math>a_2</math>..., Minute zehn mit <math>a_{10}</math>.

{| class="wikitable"
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! Minuten !! noch vorhandene Anzahl !! <math>a_0=10.000</math>
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| <math>0</math> || <math>a_0</math> || <math>a_0=10.000</math>
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| <math>1</math> || <math>a_1=0,9\cdot a_0</math> || <math>a_1=(0,9)^1 \cdot 10.000=9.000</math>
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|}
<math>a_{10}=0,9 \cdot a_9=(0,9)^{10} \cdot a_0≈0,3487 \cdot a_0</math>

Nach zehn Minuten sind etwa <math>34,87</math>% der ursprünglichen Bakterienkultur vorhanden.

Nach zehn Minuten sind noch <math>3.487</math> Bakterien der ursprünglich 10.000 Bakterien vorhanden.<ref>Aufgaben zum exponentiellen Wachstum – Grundlagen & Übungen (serlo.org)</ref>

=== Literaturverzeichnis ===

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:24:30Z

HaZeGMB: /* Exponentielles Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

Die Lösungsgleichung ergibt sich aus der ursprünglichen Gleichung.

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Modell|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:17:14Z

HaZeGMB: /* Exponentielles Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math>

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Modell|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:16:31Z

HaZeGMB: /* Exponentielles Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>,

wobei <math>N_0</math> der Bestand zum Zeitpunkt <math>0</math> ist und <math>N_t</math> der Bestand <math>N</math> zum Zeitpunkt <math>t</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Modell|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum

2024-07-05T06:12:53Z

HaZeGMB:

In dem Experiment wird eine bestimmte Menge Wasser durch einen Trichter in ein Becherglas gefüllt. Dabei ist zu beobachten, dass die Wassermenge im Glas gleichmäßig wächst, dies nennt man lineares Wachstum.[[Datei:Video lineares Wachstum.mov|mini|zentriert]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum

2024-07-05T06:12:02Z

HaZeGMB:

In dem Experiment wird eine bestimmte Menge Wasser durch einen Trichter in ein Becherglas gefüllt. Dabei ist zu beobachten, dass das Wasser immer gleichmäßig in das Glas fließt, dies nennt man lineares Wachstum.[[Datei:Video lineares Wachstum.mov|mini|zentriert]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-05T06:11:06Z

HaZeGMB: /* Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
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=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
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=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Modell|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.129 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum

2024-07-04T10:01:25Z

HaZeGMB: Die Seite wurde neu angelegt: „=== Lineares Wachstum === Eine Grasgewächs wächst jeden Tag 10cm. Wie viele Tage nach dem Einpflanzen hat es eine Größe von 1,5 m erreicht? Vorgehen und Lösung: Als erste Stellt man mit Hilfe der Angaben eine Funktionsgleichung auf. Hierbei ist unser Anfangsbestand <math>A_0=0</math> , da die Planze noch keine Höhe erreicht hat, weil sie gepflanzt wurde. Die 10 cm entsprechen unserem Wachstumsfaktor <math>b</math>. In diesem Fall haben wir den…“

=== Lineares Wachstum ===

Eine Grasgewächs wächst jeden Tag 10cm. Wie viele Tage nach dem Einpflanzen hat es eine Größe von 1,5 m erreicht?

Vorgehen und Lösung:

Als erste Stellt man mit Hilfe der Angaben eine Funktionsgleichung auf. Hierbei ist unser Anfangsbestand <math>A_0=0</math> , da die Planze noch keine Höhe erreicht hat, weil sie gepflanzt wurde. Die 10 cm entsprechen unserem Wachstumsfaktor <math>b</math>. In diesem Fall haben wir den gegeben Wert <math>A_n</math>, wir suchen also <math>n</math> .

<math>A_{n}=A_0+n·b</math>

<math>1,5m=0+n·0,1m</math><math>\mid\div0,1m</math>

<math>n={1,5m \over 0,1m}</math>

<math>n= 15</math>, d.h das Grasgewächs hat nach 15 Tagen die Größe erreicht.
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Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-04T10:01:05Z

HaZeGMB: /* Lineares Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Modell|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-04T10:00:14Z

HaZeGMB: /* Lineares Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Modell|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-04T09:59:22Z

HaZeGMB: /* Lineares Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
[[Datei:Lineares Wachstum 1.png|zentriert|mini|Lineares Wachstum]]

=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 090749.png|mini|Exponentielles Wachstum|zentriert]]

=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Modell|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum

2024-07-04T09:58:53Z

HaZeGMB: Die Seite wurde neu angelegt: „In dem Experiment wird eine bestimmte Menge Wasser durch einen Tichter in ein Becherglas gefüllt. Dabei ist zu beobachten, dass das Wasser immer gleichmäßig in das Glas fließt, dies nennt man lineares Wachstum.mini“

In dem Experiment wird eine bestimmte Menge Wasser durch einen Tichter in ein Becherglas gefüllt. Dabei ist zu beobachten, dass das Wasser immer gleichmäßig in das Glas fließt, dies nennt man lineares Wachstum.[[Datei:Video lineares Wachstum.mov|mini]]

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo

2024-07-04T09:58:11Z

HaZeGMB: /* Lineares Wachstum */

'''<big>Forschungsfrage: Wie kann man mithilfe von Funktionen die Zukunft vorhersagen?</big>'''
[[Datei:CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées de l'Ecole polytechnique (25911635211).jpg|mini|zentriert]]

Man kann mit verschiedenen Funktionstypen und Algorithmen unterschiedliche Sachverhalte näherungsweise beschreiben und daraus Prognosen für die Zukunft aufstellen.

=== Lineares Wachstum ===
Lineares Wachstum beschreibt die konstante Zu- oder Abnahme einer Größe <math>A_n</math>. Diese Zunahme wird mithilfe der Konstante <math>b</math> beschrieben. Die Differenzengleichung lautet: <math>A_{n+1}=A_n+b</math>

Mit der Gleichung <math>A_{n}=A_0+n·b</math> (<math>A_0</math>= Anfangsbestand) wird die Rekursion (Zu- oder Abnahme einer Größe in einer bestimmten Zeit) explizit festgelegt. Im Unterricht wird statt dieser Formel oft die Formel <math>y=m·x+t
</math> , (<math>m \triangleq b, x\triangleq n, t\triangleq A_0</math>) verwendet.

Graphisch wird das lineare Wachstum durch eine Gerade beschrieben. Lineares Wachstum ist unbegrentzt, wenn <math>b\neq0</math> ist.

Deshalb können in der Realität nur Abschnitte von natürlichen Vorgängen (beispielsweise das Wachstum von Pflanzen) näherungsweise durch das lineares Wachstum beschrieben werden. Technische Vorgänge (beispielsweise der Füllstand einer Badewanne) werden ebenfalls durch lineares Wachstum beschrieben werden, jedoch gibt es hier meist eine Begrenzung (z.B. bedingt durch das Fassungsvermögen der Badewanne).<ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.1 Lineares Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Lineares Wachstum|Beispielaufgabe lineares Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Lineares Wachstum|Experiment lineares Wachstum]]
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=== Exponentielles Wachstum ===
Bei biologischen Wachstumsprozessen ist die Zunahme einer Größe zu Beginn oft proportional zum derzeitigen Bestand

'''Beispiele''': Bakterienwachstum, Wachstum durch Zellteilung, Bevölkerungswachstum, Ausbreitung von Pandemien, Abkühlungen

Die '''Rekursionsgleichung''' lautet: <math>N_{t+1}=N_t\cdot(1+p)</math>

mit <math>q=(1+p)</math> als Wachstumsfaktor <math>q=\frac{neuer Wert}{alter Wert}</math>

und <math>p</math> als Wachstumsrate, <math>p</math>%<math>=\frac{neue Größe - alte Größe}{alte Größe}</math>

'''Lösung der Gleichung''': <math>N_t=N_0\cdot q^t</math><ref>Ableitinger, C., "Biomathematische Modelle im Unterricht - Fachwissenschaftliche und didaktische Grundlagen und Unterrichtsmaterialien", 1. Auflage 2010, S.32 ff. (2.1.2 Exponentielles Wachstum)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Exponentielles Wachstum|Beispielaufgabe Exponentielles Wachstum]]

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Experiment Exponentielles Wachstum|Experiment Exponentielles Wachstum]]
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=== Logistische Modelle ===
Logistische Modelle beschreiben Wachstumsprozesse in der Biologie und der Demographie.

Dadurch werden reale Wachstumsprozesse modelliert, beispielsweise als Basismodell für Bevölkerungs- und Pflanzenwachstum, als Abstatz für ein neues Produkt oder als Anzahl für Krankheiten immunisierter Personen.

Francois Verhulst hat dieses Modell als erster benutzt, um die Bevölkerungsentwicklung zu beschreiben. Allerdings ist dies nur möglich gewesen, da der Belgier Benjamin Gompertz (1825) Vorarbeiten geleistet hatte.

Zu Beginn verläuft der Graph der Funktion meist exponentiell, im weiteren Verlauf flacht er dann ab, sodass die typisch s-förmige Funktion entsteht.

Das "Denken in Schritten" soll den Zugang zum inhaltlichen Verständnis erleichtern - Stichwort Proportionalität zu Bestand und Freiraum.

Die '''Differenzialgleichung''' lautet: <math>N'(t)=a\cdot N(t)\cdot (K-N(t))</math>

mit <math>N(0)=N_0</math>, <math>K</math> Kapazitätsgrenze (Sättigungswert und Maximum),

<math>N(t)</math> die Größe zum Zeitpunkt t, <math>N_0</math> Größe zu Beginn des Beobachtungszeitraums, <math>a</math> Konstante<ref>Ableitinger, C., "mathematiklehren - Erfolgreich unterrichten: Konzepte und Materialien", S.31 ff. (Ein Schritt nach dem anderen - Diskretisieren als Zugang zum logistischen Modell)</ref>

[[Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle|Beispielaufgabe logistische Modelle]]
[[Datei:Screenshot 2024-07-04 091416.png|mini|logistisches Modell|zentriert]]

===Einsatz von Algorithmen und KI um Vorhersagen zu treffen===
Heute werden viele alltägliche Vorhersagen, wie z.B. das Wetter, durch Algorithmen und Big Data (Verwendung von großen Datenmengen) und teilweise sogar mithilfe von KI (Künstliche Intelligenz) von Computer berechnet. Es gibt aber auch weniger bekannte und deutlich komplexere Anwendungszwecke, die große Auswirkungen auf die Gesellschaft haben können:

Google entwickelte beispielsweise Google Flu Trends, ein Service, der Grippewellen vorhersagen sollte. Jedoch waren die Vorhersagen, trotz erster Erfolge, meist unzuverlässig. Aus diesem Beispiel lässt sich gut ableiten, was bei der Verwendung von Algorithmen für Vorhersagen unbedingt beachtet werden muss. Um eine genaue Vorhersage treffen zu können, müssen Parameter ständig angepasst werden, da sich die Umstände in der Realität ständig verändern. Außerdem muss auf die Qualität der Daten geachtet werden.

Auch gibt es bereits seit Jahren den Versuch KI und Algorithmen einzusetzen, um Verbrechen vorherzusagen uns somit präventiv zu verhindern, oder Person per Kontrollen auszuwählen. Dieses Prozedere steht jedoch stark in der Kritik, da Vorhersagen, deren Grundlage rein aus bestehenden Daten bestehen, nie absolut dem entsprechen, was passieren wird.V.a. bei KI, die ihre Parameter selbst festlegt, ist nicht einsehbar, was diese Parameter besagen. Aufgrund dieser fehlenden Möglichkeit der Überwachung, kann es zu fatalen Fehlentscheidungen (z.B. bei Parametern, die auf Falschinformationen beruhen) oder Diskriminierung kommen<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Blick in die Zukunft===
Mit Hilfe der genannten Möglichkeiten sollen aber nicht nur Vorhersagen für kurze, sondern auch für lange Zeitintervalle getroffen werden, um besser auf medizinische, demographische und technologische Ereignisse vorbereitet zu sein. Für die zuverlässige Umsetzung und Nutzung müssen bestehende Programme und Algorithmen jedoch ständig weiterentwickelt, ergänzt und überarbeitet werden.<ref>Drösser, C., "Total berechenbar? Wenn Algorithmen für uns entscheiden", 2016, S.117 ff. (6. Vorhersagen - Wie aus Korrelationen Prognosen werden)</ref>

===Literaturverzeichnis===
<references />

Gymnasium Marktbreit/Wissenschaftswoche 2024/11bMatheInfo/Beispiele Logistische Modelle

2024-07-04T09:55:57Z

HaZeGMB: Die Seite wurde neu angelegt: „In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt. a) Bestimmen Sie den Funktionsterm. b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt? c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde? Lösung: a) <math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math> <math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)…“

In einem Internat leben 500 Menschen, einer davon infiziert sich Covid-19, nach einer Wochen sind bereits 100 Menschen angesteckt.

a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.

b) Nach welcher Zeit sind 80% der Bewohner erkrankt?

c) Wie viele Bewohner erkranken in den ersten Tagen pro Stunde?

Lösung:

a) <math>K(x)={K \over N_0 + (K-N_0\cdot e^{-K\cdot k \cdot x}) }</math>

<math>100={500 \over 1+ ((500-1)\cdot e^{-500\cdot 7 \cdot x}) } \mid1((500-1)\cdot e^{-500\cdot7k}</math>

<math>100+49900\cdot e^{-3500k}=500\mid -100</math>

<math>49900\cdot e^{-3500k}=400 \mid\div49900</math>

<math>e^{-3500k}={4 \over 499} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({4 \over 499}) = -3500k</math>

<math>-3500k\approx-4,8 \mid\div-3500</math>

<math>k\approx0,0014</math>

<math>K(x)={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}}</math>

b) <math>500\cdot 0,8=400</math>

<math>400={500 \over 1+((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0014x}} \mid\cdot1((500-1)\cdot e^{-500\cdot0,0018x}</math>

<math>400+199600\cdot e^500\cdot0,0014x=500 \mid-400</math>

<math>199600\cdot e^{-500\cdot 0,0014x}=100 \mid\div199600</math>

<math>e^{-500\cdot0,0014x}= {1\over 1996} \mid log</math>

<math>\log_{e} ({1\over 1996})= -0,7x</math>

<math>-7,6= -0,7x\mid\div-0,7</math>

<math>x=10,9</math>

Nach 10,9 Tagen sind 80% infiziert.

c)

<math>k(4)\approx16,5</math>

<math>{k(4)\over4}\approx4,1</math>

Pro Tag erkranken 4,1 Menschen
[[Datei:Bild zu den Aufgaben.jpg|zentriert|mini|Bild zu den Aufgaben]]