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Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-06-24T13:39:57Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2= In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | 1=Merksatz |2= Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>.|3= Merksatz}}

==Koordinatensystem==
{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> , <math>\vec{ EH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Koordinatenzug.jpg|rahmenlos|500x500px|Koordinatenzug des Pfad-Folge-Verfahrens]]
|2= Tipp|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung 2,3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei in der <math> x_1</math>-<math> x_2</math>-Ebene und die Spitze der Pyramide liegt 6 Längeneinheiten über der Grundfläche.

[[Datei:Pyramide.jpg|rahmenlos|500x500px|Pyramide]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?}
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 \text{ LE}^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 \text{ LE}^2 </math>.
+ Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 \text{ LE}^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Vektoren als Verschiebungen==
{{Box|1= Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Verschiebungen <math>\vec{u} </math> (grün) , <math>\vec{v}</math> (gelb) und <math>\vec{w}</math> (schwarz). Außerdem sind die Punkte <math> A(3|0|0)</math>, <math> B(0|2|0)</math> und <math> C(0|0|1)</math> bekannt.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?

# <math> A(3|0|0)</math> <math>+ \vec{w} </math>
# <math> C(0|0|1)</math> <math> - \vec{u} </math>
# <math> A(3|0|0)</math> <math> - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math> C(0|0|1) </math> <math>- \vec{u}+\vec{u}</math>
# <math> B(0|2|0) </math> <math> + 2 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} + \vec{w} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
# <math> C(0|0|1)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Rechnen mit Vektoren==
{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das Bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs. Gleichen Typs heißt, dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Komponenten''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Pfeilen''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Wenn wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> als '''Pfeile''' deuten, bedeutet die Addition, dass wir die '''Pfeile''' hintereinanderlegen, so dass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Eine derartige Verwendung von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> gestreckt ('''falls <math>c > 1</math>''') oder gestaucht ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> gestreckt oder getaucht wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> c \vec{a}=\vec{b} </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

==Kollinearität von Vektoren==
{{Box|1= Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

==Länge und Abstände von Vektoren==
{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet die Länge eines Vektors wie folgt: Man quadriert jede Komponente des Vektors. Anschließend werden diese addiert und zum Schluss wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet den Abstand zweier Punkte wie folgt: Man betrachtet die einzelnen Einträge von <math> A </math> und <math> B </math>. Wenn man sich den ersten Eintrag von <math> A </math> anschaut, so betrachtet man auch den ersten Eintrag von <math> B </math>. Zwischen diesen beiden Einträgen bildet man nun die Differenz. Gleiches Verfahren setzt man bei allen anderen Einträgen ein. Achtung: Betrachte immer nur von einem Punkt zum anderen die Veränderung, sodass sich keine Vorzeichenfehler einschleichen! Man betrachtet also immer alle Einträge von <math> A </math> nach <math> B </math> oder alle Einträge von <math> B </math> nach <math> A </math>. Dann hat man einen Vektor gefunnden, der die Verschiebung beschreibt. Ab hier geht man dann wieder so vor wie in Tipp 1 beschrieben|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

==Geometrische Objekte untersuchen==
{{Box|1= Aufgabe 8: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> Q(6|2|7)</math>
- <math> Q(7|4|3)</math>
+ <math> Q(0|4|3)</math>
- <math> Q(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-06-24T07:04:37Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2= In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | 1=Merksatz |2= Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>.|3= Merksatz}}

==Koordinatensystem==
{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Koordinatenzug.jpg|rahmenlos|500x500px|Koordinatenzug des Pfad-Folge-Verfahrens]]
|2= Tipp|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung 2,3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei in der <math> x_1</math>-<math> x_2</math>-Ebene und die Spitze der Pyramide liegt 5 Längeneinheiten über der Grundfläche.

[[Datei:Pyramide.jpg|rahmenlos|500x500px|Pyramide]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?}
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 \text{ LE}^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 \text{ LE}^2 </math>.
+ Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 \text{ LE}^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Vektoren als Verschiebungen==
{{Box|1= Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Verschiebungen <math>\vec{u} </math> (grün) , <math>\vec{v}</math> (gelb) und <math>\vec{w}</math> (schwarz). Außerdem sind die Punkte <math> A(3|0|0)</math>, <math> B(0|2|0)</math> und <math> C(0|0|1)</math> bekannt.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?

# <math> A(3|0|0)</math> <math>+ \vec{w} </math>
# <math> C(0|0|1)</math> <math> - \vec{u} </math>
# <math> A(3|0|0)</math> <math> - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math> C(0|0|1) </math> <math>- \vec{u}+\vec{u}</math>
# <math> B(0|2|0) </math> <math> + 2 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} + \vec{w} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
# <math> C(0|0|1)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Rechnen mit Vektoren==
{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das Bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs. Gleichen Typs heißt, dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Komponenten''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Pfeilen''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Wenn wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> als '''Pfeile''' deuten, bedeutet die Addition, dass wir die '''Pfeile''' hintereinanderlegen, so dass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Eine derartige Verwendung von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> gestreckt ('''falls <math>c > 1</math>''') oder gestaucht ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> gestreckt oder getaucht wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> c \vec{a}=\vec{b} </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

==Kollinearität von Vektoren==
{{Box|1= Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

==Länge und Abstände von Vektoren==
{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet die Länge eines Vektors wie folgt: Man quadriert jede Komponente des Vektors. Anschließend werden diese addiert und zum Schluss wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet den Abstand zweier Punkte wie folgt: Man betrachtet die einzelnen Einträge von <math> A </math> und <math> B </math>. Wenn man sich den ersten Eintrag von <math> A </math> anschaut, so betrachtet man auch den ersten Eintrag von <math> B </math>. Zwischen diesen beiden Einträgen bildet man nun die Differenz. Gleiches Verfahren setzt man bei allen anderen Einträgen ein. Achtung: Betrachte immer nur von einem Punkt zum anderen die Veränderung, sodass sich keine Vorzeichenfehler einschleichen! Man betrachtet also immer alle Einträge von <math> A </math> nach <math> B </math> oder alle Einträge von <math> B </math> nach <math> A </math>. Dann hat man einen Vektor gefunnden, der die Verschiebung beschreibt. Ab hier geht man dann wieder so vor wie in Tipp 1 beschrieben|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

==Geometrische Objekte untersuchen==
{{Box|1= Aufgabe 8: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-06-21T10:22:41Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2= In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | 1=Merksatz |2= Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>.|3= Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Koordinatenzug.jpg|rahmenlos|500x500px|Koordinatenzug des Pfad-Folge-Verfahrens]]
|2= Tipp|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung 2,3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei in der <math> x_1</math>-<math> x_2</math>-Ebene und die Spitze der Pyramide liegt 5 Längeneinheiten über der Grundfläche.

[[Datei:Pyramide.jpg|rahmenlos|500x500px|Pyramide]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?}
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 \text{ LE}^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 \text{ LE}^2 </math>.
+ Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 \text{ LE}^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Verschiebungen <math>\vec{u} </math> (grün) , <math>\vec{v}</math> (gelb) und <math>\vec{w}</math> (schwarz). Außerdem sind die Punkte <math> A(3|0|0)</math>, <math> B(0|2|0)</math> und <math> C(0|0|1)</math> bekannt.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?

# <math> A(3|0|0)</math> <math>+ \vec{w} </math>
# <math> C(0|0|1)</math> <math> - \vec{u} </math>
# <math> A(3|0|0)</math> <math> - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math> C(0|0|1) </math> <math>- \vec{u}+\vec{u}</math>
# <math> B(0|2|0) </math> <math> + 2 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} + \vec{w} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
# <math> C(0|0|1)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das Bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs. Gleichen Typs heißt, dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Komponenten''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Pfeilen''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Wenn wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> als '''Pfeile''' deuten, bedeutet die Addition, dass wir die '''Pfeile''' hintereinanderlegen, so dass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Eine derartige Verwendung von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> gestreckt ('''falls <math>c > 1</math>''') oder gestaucht ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> gestreckt oder getaucht wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> c \vec{a}=\vec{b} </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet die Länge eines Vektors wie folgt: Man quadriert jede Komponente des Vektors. Anschließend werden diese addiert und zum Schluss wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet den Abstand zweier Punkte wie folgt: Man betrachtet die einzelnen Einträge von <math> A </math> und <math> B </math>. Wenn man sich den ersten Eintrag von <math> A </math> anschaut, so betrachtet man auch den ersten Eintrag von <math> B </math>. Zwischen diesen beiden Einträgen bildet man nun die Differenz. Gleiches Verfahren setzt man bei allen anderen Einträgen ein. Achtung: Betrachte immer nur von einem Punkt zum anderen die Veränderung, sodass sich keine Vorzeichenfehler einschleichen! Man betrachtet also immer alle Einträge von <math> A </math> nach <math> B </math> oder alle Einträge von <math> B </math> nach <math> A </math>. Dann hat man einen Vektor gefunnden, der die Verschiebung beschreibt. Ab hier geht man dann wieder so vor wie in Tipp 1 beschrieben|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-06-21T09:58:47Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2= In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | 1=Merksatz |2= Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>.|3= Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Koordinatenzug.jpg|rahmenlos|500x500px|Koordinatenzug des Pfad-Folge-Verfahrens]]
|2= Tipp|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung 2,3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei in der <math> x_1</math>-<math> x_2</math>-Ebene und die Spitze der Pyramide liegt 5 Längeneinheiten über der Grundfläche.

[[Datei:Pyramide.jpg|rahmenlos|500x500px|Pyramide]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?}
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 \text{ LE}^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 \text{ LE}^2 </math>.
+ Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 \text{ LE}^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Verschiebungen <math>\vec{u} </math> (grün) , <math>\vec{v}</math> (gelb) und <math>\vec{w}</math> (schwarz). Außerdem sind die Punkte <math> A(3|0|0)</math>, <math> B(0|2|0)</math> und <math> C(0|0|1)</math> bekannt.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?

# <math> A(3|0|0)</math> <math>+ \vec{w} </math>
# <math>C(0|0|1)</math> <math> - \vec{u} </math>
# <math>A(3|0|0)</math> <math> - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>C(0|0|1) </math> <math>- \vec{u}+\vec{u}</math>
# <math>B(0|2|0) </math> <math> + 2 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} + \vec{w} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
# <math> C(0|0|1)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das Bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs. Gleichen Typs heißt, dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Komponenten''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Pfeilen''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Wenn wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> als '''Pfeile''' deuten, bedeutet die Addition, dass wir die '''Pfeile''' hintereinanderlegen, so dass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Eine derartige Verwendung von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> gestreckt ('''falls <math>c > 1</math>''') oder gestaucht ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> gestreckt oder getaucht wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> c \vec{a}=\vec{b} </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet die Länge eines Vektors wie folgt: Man quadriert jede Komponente des Vektors. Anschließend werden diese addiert und zum Schluss wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet den Abstand zweier Punkte wie folgt: Man betrachtet die einzelnen Einträge von <math> A </math> und <math> B </math>. Wenn man sich den ersten Eintrag von <math> A </math> anschaut, so betrachtet man auch den ersten Eintrag von <math> B </math>. Zwischen diesen beiden Einträgen bildet man nun die Differenz. Gleiches Verfahren setzt man bei allen anderen Einträgen ein. Achtung: Betrachte immer nur von einem Punkt zum anderen die Veränderung, sodass sich keine Vorzeichenfehler einschleichen! Man betrachtet also immer alle Einträge von <math> A </math> nach <math> B </math> oder alle Einträge von <math> B </math> nach <math> A </math>. Dann hat man einen Vektor gefunnden, der die Verschiebung beschreibt. Ab hier geht man dann wieder so vor wie in Tipp 1 beschrieben|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-06-21T09:50:24Z

Georg WWU-8: .

{{Box|1=Info
|2= In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | 1=Merksatz |2= Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>.|3= Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Verbindungsvektoren <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Koordinatenzug.jpg|rahmenlos|500x500px|Koordinatenzug des Pfad-Folge-Verfahrens]]
|2= Tipp|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung 2,3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei in der <math> x_1</math>-<math> x_2</math>-Ebene und die Spitze der Pyramide liegt 5 Längeneinheiten über der Grundfläche.

[[Datei:Pyramide.jpg|rahmenlos|500x500px|Pyramide]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?}
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 \text{ LE}^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 \text{ LE}^2 </math>.
+ Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 \text{ LE}^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Verschiebungen <math>\vec{u} </math> (grün) , <math>\vec{v}</math> (gelb) und <math>\vec{w}</math> (schwarz). Außerdem sind die Punkte <math> A(3|0|0)</math>, <math> B(0|2|0)</math> und <math> C(0|0|1)</math> bekannt.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?

# <math> A(3|0|0) + \vec{w} </math>
# <math>C(0|0|1) - \vec{u} </math>
# <math>A(3|0|0) - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>C(0|0|1) - \vec{u}+\vec{u}</math>
# <math>B(0|2|0) + 2 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} + \vec{w} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
# <math> C(0|0|1)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das Bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs. Gleichen Typs heißt, dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Komponenten''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Pfeilen''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Wenn wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> als '''Pfeile''' deuten, bedeutet die Addition, dass wir die '''Pfeile''' hintereinanderlegen, so dass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Eine derartige Verwendung von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> gestreckt ('''falls <math>c > 1</math>''') oder gestaucht ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> gestreckt oder getaucht wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> c \vec{a}=\vec{b} </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet die Länge eines Vektors wie folgt: Man quadriert jede Komponente des Vektors. Anschließend werden diese addiert und zum Schluss wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet den Abstand zweier Punkte wie folgt: Man betrachtet die einzelnen Einträge von <math> A </math> und <math> B </math>. Wenn man sich den ersten Eintrag von <math> A </math> anschaut, so betrachtet man auch den ersten Eintrag von <math> B </math>. Zwischen diesen beiden Einträgen bildet man nun die Differenz. Gleiches Verfahren setzt man bei allen anderen Einträgen ein. Achtung: Betrachte immer nur von einem Punkt zum anderen die Veränderung, sodass sich keine Vorzeichenfehler einschleichen! Man betrachtet also immer alle Einträge von <math> A </math> nach <math> B </math> oder alle Einträge von <math> B </math> nach <math> A </math>. Dann hat man einen Vektor gefunnden, der die Verschiebung beschreibt. Ab hier geht man dann wieder so vor wie in Tipp 1 beschrieben|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-06-21T09:46:19Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2= In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | 1=Merksatz |2= Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>.|3= Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Koordinatenzug.jpg|rahmenlos|500x500px|Koordinatenzug des Pfad-Folge-Verfahrens]]
|2= Tipp|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung 2,3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Die quadratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei in der <math> x_1</math>-<math> x_2</math>-Ebene und die Spitze der Pyramide ist 5 Längeneinheiten hoch.

[[Datei:Pyramide.jpg|rahmenlos|500x500px|Pyramide]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?}
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 \text{ LE}^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 \text{ LE}^2 </math>.
+ Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 \text{ LE}^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Verschiebungen <math>\vec{u} </math> (grün) , <math>\vec{v}</math> (gelb) und <math>\vec{w}</math> (schwarz). Außerdem sind die Punkte <math> A(3|0|0)</math>, <math> B(0|2|0)</math> und <math> C(0|0|1)</math> bekannt.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?

# <math> A(3|0|0) + \vec{w} </math>
# <math>C(0|0|1) - \vec{u} </math>
# <math>A(3|0|0) - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>C(0|0|1) - \vec{u}+\vec{u}</math>
# <math>B(0|2|0) + 2 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} + \vec{w} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
# <math> C(0|0|1)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das Bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs. Gleichen Typs heißt, dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Komponenten''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Pfeilen''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Wenn wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> als '''Pfeile''' deuten, bedeutet die Addition, dass wir die '''Pfeile''' hintereinanderlegen, so dass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Eine derartige Verwendung von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> gestreckt ('''falls <math>c > 1</math>''') oder gestaucht ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> gestreckt oder getaucht wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> c \vec{a}=\vec{b} </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet die Länge eines Vektors wie folgt: Man quadriert jede Komponente des Vektors. Anschließend werden diese addiert und zum Schluss wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Man berechtnet den Abstand zweier Punkte wie folgt: Man betrachtet die einzelnen Einträge von <math> A </math> und <math> B </math>. Wenn man sich den ersten Eintrag von <math> A </math> anschaut, so betrachtet man auch den ersten Eintrag von <math> B </math>. Zwischen diesen beiden Einträgen bildet man nun die Differenz. Gleiches Verfahren setzt man bei allen anderen Einträgen ein. Achtung: Betrachte immer nur von einem Punkt zum anderen die Veränderung, sodass sich keine Vorzeichenfehler einschleichen! Man betrachtet also immer alle Einträge von <math> A </math> nach <math> B </math> oder alle Einträge von <math> B </math> nach <math> A </math>. Dann hat man einen Vektor gefunnden, der die Verschiebung beschreibt. Ab hier geht man dann wieder so vor wie in Tipp 1 beschrieben|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-05-30T09:25:59Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren | Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>. | Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Koordinatenzug.jpg|rahmenlos|500x500px|Koordinatenzug des Pfad-Folge-Verfahrens]]
|2= Tipp|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung 2,3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Die quatratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei auf der <math> x_1</math>-<math> x_2</math>-Ebene und die Spitze der Pyramide ist 5 Längeneinheiten hoch.

[[Datei:Pyramide.jpg|rahmenlos|500x500px|Pyramide]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?}
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 \text{ LE}^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 \text{ LE}^2 </math>.
+ Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 \text{ LE}^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Verschiebungen <math>\vec{u} </math> (grün) , <math>\vec{v}</math> (gelb) und <math>\vec{w}</math> (schwarz). Außerdem sind die Punkte <math> A(3|0|0)</math>, <math> B(0|2|0)</math> und <math> C(0|0|1)</math> bekannt.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

{{Lösung versteckt|1= Es gilt <math> <math>\vec{0C} = \vec{0C} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>. |2= Tipp 2|3=Einklappen}}

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?

# <math>\vec{0A} + \vec{w} </math>
# <math>\vec{0C} - \vec{u} </math>
# <math>\vec{0A} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\vec{0C} - \vec{u}+\vec{u}</math>
# <math>\vec{0B} + 2 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v} + \vec{w} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
# <math> C(0|0|1)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>

</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-05-30T09:22:43Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren | Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>. | Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Koordinatenzug.jpg|rahmenlos|500x500px|Koordinatenzug des Pfad-Folge-Verfahrens]]
|2= Tipp|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung 2,3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Die quatratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei auf der <math> x_1</math>-<math> x_2</math>-Ebene und die Spitze der Pyramide ist 5 Längeneinheiten hoch.

[[Datei:Pyramide.jpg|rahmenlos|500x500px|Pyramide]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?}
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 \text{ LE}^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 \text{ LE}^2 </math>.
+ Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 \text{ LE}^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Verschiebungen durch Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Verschiebungen <math>\vec{u} </math> (grün) , <math>\vec{v}</math> (gelb) und <math>\vec{w}</math> (schwarz). Außerdem sind die Punkte <math> A(3|0|0)</math>, <math> B(0|2|0)</math> und <math> C(0|0|1)</math> bekannt.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

{{Lösung versteckt|1= Es gilt <math> <math>\vec{0C} = \vec{0C} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>. |2= Tipp 2|3=Einklappen}}

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren?

# <math>\vec{0A} + \vec{w} </math>
# <math>\vec{0C} - \vec{u} </math>
# <math>\vec{0A} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\vec{0C} - \vec{u}+\vec{u}</math>
# <math>\vec{0B} + 2* \vec{u} + 2*\vec{v} + \vec{w} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> B(0|2|0)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
# <math> C(0|0|1)</math>
# <math> A(3|0|0)</math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>

</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-05-30T08:55:28Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren | Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>. | Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Koordinatenzug.jpg|rahmenlos|500x500px|Koordinatenzug des Pfad-Folge-Verfahrens]]
|2= Tipp|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung 2,3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Die quatratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei auf der <math> x_1</math>-<math> x_2</math>-Ebene und die Spitze der Pyramide ist 5 Längeneinheiten hoch.

[[Datei:Pyramide.jpg|rahmenlos|500x500px|Pyramide]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?}
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 \text{ LE}^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 \text{ LE}^2 </math>.
+ Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 \text{ LE}^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{w}+ \vec{u}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{w} + \vec{u} +\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + \vec{v} - \vec{v}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2* \vec{u} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>

</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Datei:Pyramide.jpg

2021-05-30T08:54:28Z

Georg WWU-8: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Pyramide
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Georg WWU-8|Georg WWU-8]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Lösung 2,3.jpg

2021-05-30T08:52:12Z

Georg WWU-8: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Lösung einer Aufgabe
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Georg WWU-8|Georg WWU-8]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Koordinatenzug.jpg

2021-05-30T08:50:22Z

Georg WWU-8: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Die Bestimmung eines Punktes im dreidimensionalen Koordinatensystem kann mithilfe eines Kordinatenzuges erfolgen.
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Georg WWU-8|Georg WWU-8]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum

2021-05-29T18:40:50Z

Georg WWU-8:

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum"!

Hier entsteht im Sommersemester 2021 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad
}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.

<quiz display="simple">
{ Dies ist eine Beispielfrage. }
- Diese Antwortalternative ist '''falsch'''. Das zeigt das '''Minus'''-Zeichen in der Quelltextbearbeitung an.
+ Diese Antwortalternative ist '''richtig'''. Das zeigt das '''Plus'''-Zeichen in der Quelltextbearbeitung an.

{ Was ergibt 1+1? }
- 1
+ 2
- 3
- 4
</quiz>

Thema a:

<quiz display="simple">
{ Gegeben ist der Punkt <math> A(1|2|-3)</math> und der Punkt <math> A'(-2|5|3{,}5)</math>. Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung des Punktes <math> A </math> auf den Punkt <math> A' </math> ? }
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -6{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math>
+ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 6{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 6{,}5 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} </math>

{ Die Bewegung eines Fußgängers wird durch den Vektor <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} </math> beschrieben. Welcher der folgenden Vektoren beschreibt die Bewegung einer entgegenkommenden Joggerin mit doppelter Geschwindigkeit? }
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} </math>
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>

{ Gegeben ist das Dreieck <math>ABC</math>. Welche der folgenden Aussagen treffen auf das abgebildete Dreieck zu? [[Datei:Dreieck glsch rchtwklg.jpg|rahmenlos|225x225px]] }
+ <math> |\vec{AB}| = |\vec{AC}| </math>
- <math> |\vec{BC}| = |\vec{AC}| </math>
- <math> \vec{AB} = \vec{AC} </math>
- Es gilt <math> |\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
+ Es gilt <math> |\vec{BC}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AB}|^2 </math>.
</quiz>

Thema b:

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte <math>A(1|0|{-}2)</math> und <math>B(3|4|0)</math>? }
+ <math>g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>
+ <math>g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>
- <math>g_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, k \in \mathbb{R} </math>
+ <math>g_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + l \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}, l \in \mathbb{R} </math>

{ Welche Aussagen sind wahr? }
+ Wenn zwei Geraden zueinander windschief sind, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
- Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum nicht zueinander parallel sind, dann schneiden sich die Geraden.
+ Wenn sich zwei Geraden im Raum scheiden, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht zueinander parallel.
- Zwei Geraden mit parallelen Richtungsvektoren haben nie gemeinsame Punkte.
- Wenn zwei Geraden mindestens einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht parallel.

{ Welche Sachsituationen können zu der Geraden <math>g</math> definiert durch

<math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R} </math>

passen? }
- Ein Heißluftballon startet im Punkt <math>(3|7|8)</math> und befindet sich im Sinkflug.
+ Ein Flugzeug befindet sich zum Zeitpunkt <math>r = 0</math> im Punkt <math>(3|7|8)</math> und fliegt mit einer Geschwindigkeit von <math>5</math> km/min.
- Ein U-Boot steigt pro Sekunde um <math>7</math> m auf.
+ Ein Vogel befindet sich in <math>8</math> km Höhe. Nach drei Minuten ist die Position desselben Vogels um <math>9</math> km in <math>x_1</math>-Richtung und <math>12</math> km in <math>x_2</math>-Richtung verschoben und die Höhe des Vogels hat sich nicht verändert.
+ Ein GPS-Tracker an einer Taube, die in <math>(3|7|8)</math> gestartet ist, zeigt nach <math>5</math> min die Koordinaten <math>(18|27|8)</math> an.
</quiz>

Thema c:
<quiz display="simple">

{ Prüfe, welche der Vektoren orthogonal zueinander sind. }
- <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} </math>
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
+ <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 10 \end{pmatrix} </math> , <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} -11 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix} </math>

{ Welche Aussagen sind wahr? }
+ Wenn zwei Vektoren <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> orthogonal zueinander sind, gilt für den eingeschlossenen Winkel <math> \alpha </math>, dass <math> \cos(\alpha) = 0 </math>.
- Um den Winkel zwischen zwei Geraden zu bestimmen, muss das Skalarprodukt der Ortsvektoren Null sein.
- Das Skalarprodukt zweier gleicher Vektoren ist immer Null.
+ Wenn der Winkel <math> \alpha = 0^\circ </math> ist, haben die Vektoren dieselbe Richtung.
- Der Winkel <math> \alpha </math> zwischen zwei Vektoren wird mit folgender Formel berechnet: <math> \cos (\alpha) = \frac{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}{\vec{a} \ast \vec{b}} </math>.
+ Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz.

{ Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren <math> \vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} </math> und <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>? Runde sinnvoll.}
- 1°
- 129°
- 48°
+ 51°

</quiz>

Thema d (Fragen 1-3 für GK & LK. Fragen 4-5 nur LK):

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Parametergleichungen beschreiben eine Ebene? }
- <math>E: \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
+ <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R} </math>
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math>

{ Sei <math>g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} </math> eine Gerade. Welche Aussagen zu Spurpunkten treffen zu? }
- Unter einem Spurpunkt versteht man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene.
- Der Punkt <math>{S_3}(5|4|0)</math> ist der Spurpunkt der <math>{x_1x_2}</math>-Ebene.
- Der Punkt <math>(0|0|0)</math> ist nie Spurpunkt einer Geraden.
- Den Spurpunkt der <math>{x_1x_2}</math>-Ebene berechnet man, indem man die <math>{x_3}</math>-Koordinate gleich 0 setzt.
- Jede Gerade hat drei verschiedene Spurpunkte.
- Der Punkt <math>{S_2} (1|0|8)</math> ist Spurpunkt der <math>{x_2x_3}</math>-Ebene.

{ Eine Dachfläche liegt in einer Ebene, zu der in einem räumlichen Koordinatensystem der Punkt A <math>(0|9|4)</math> und die Richtungsvektoren <math>\vec{u} = (0|{-}2|0)</math> und <math>\vec{v} = ({-}2|0|2)</math> gehören. Der Punkt <math>(0|9|4)</math> ist die untere Ecke des Daches. Alle Punkte des Daches können beschrieben werden durch die Einschränkung der Ebenengleichung mit den Parametern <math>t=3</math> und <math>s=4</math>.}
- Die Ebene, in der das Dach liegt, lässt sich durch die Gleichung <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> beschreiben.
- Der Punkt <math>({-}2|0|4)</math> liegt in der Ebene .
- Der Punkt <math>(-4|0|4)</math> liegt innerhalb der Dachfläche.
- Der Punkt <math>(0|{-}10|0)</math> liegt in der Ebene, aber außerhalb der Dachfläche.

{ Welche Aussagen zum Thema Normalenvektor treffen zu? }
- Die Eckfahne beim Fußball kann geometrisch als Normalenvektor des Fußballfeldes interpretiert werden.
- Der Normalenvektor einer Ebene ist eindeutig.
- Das Skalarprodukt eines Normalenvektors und eines Richtungsvektors derselben Ebene ist 0.
- Selbst bei einer Straße mit Steigung stellt modellhaft eine Straßenlaterne einen Normalenvektor dar.
- Vektor <math>\vec{n}</math> ist ein Normalenvektor der Ebene. [[Datei:Bildschirmfoto 2021-04-20 um 01.18.48.png|rahmenlos|225x225px]]

{ Gegeben ist eine Ebene in Parameterform. <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}+ s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}, t,s \in \mathbb{R} </math> }
- <math>E: 2x_1-1{,}5x_2-x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=2{,}5 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
- <math>E: 2x_1+1{,}5x_2+x_3=0 </math> ist die zugehörige Koordinatenform.
- <math>E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot\ [ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} ] = 0</math> ist die zugehörige Normalenform.

</quiz>

Thema e (Fragen 1-3 für GK. Fragen 4-6 für LK):

<quiz display="simple">
{ Welche Aussagen sind wahr? }
- Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.
+ Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
+ Wenn eine Gerade und eine Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben, liegen sie parallel zueinander.

{ Seien die Gleichungen einer Gerade <math> g </math> und einer Ebene <math> E </math> gegeben. Um die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene zu untersuchen, hat Noah die Gleichungen gleichgesetzt. Mit dem Gauß-Verfahren erhält er das folgende Gleichungssystem: <math> \begin{vmatrix} r+2s-3t=6 \\ s-2t=2 \\ 0=0 \end{vmatrix} </math>. Wie muss Noah sein Ergebnis interpretieren?}
+ Die Gerade liegt in der Ebene.
- Die Gerade liegt parallel zur Ebene.
- Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.

{ Betrachte folgende Aufgabe:

<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Der Sinkflug eines Flugzeuges wird durch die Gerade <math>g \colon \vec{x} = \left( \begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 10 \end{smallmatrix} \right) + t \cdot \left( \begin{smallmatrix} -4\\ 4\\ -0{,}25 \end{smallmatrix} \right)</math> modelliert. Der Parameter <math>t</math> entspricht dabei der Zeit in Minuten ab dem Beginn des Sinkfluges. Der Boden wird durch die Ebene <math>B: \vec{x} = \left( \begin{smallmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{smallmatrix} \right) + r \cdot \left( \begin{smallmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{smallmatrix} \right) + s \cdot \left( \begin{smallmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{smallmatrix} \right)</math> modelliert.

Wo landet das Flugzeug?
</div>

Wie könntest du bei der Bearbeitung der Aufgabe vorgehen? }
- Ich setze den Stützvektor der Gerade in die Ebenengleichung ein und berechne so die Parameter <math> r </math> und <math> s </math>.
+ Ich setze die Geraden- und Ebenengleichung gleich und löse das LGS. Ich setze den Parameter <math> t </math> in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu berechnen.
+ Ich setze den Punkt <math>P=\left( \begin{smallmatrix} x_1\\ x_2\\ 0 \end{smallmatrix} \right) </math> mit der Gerade <math> g </math> gleich und löse das Gleichungssystem. Durch das Einsetzen von <math> x_1 </math> und <math> x_2 </math> in <math> P </math> ergibt sich der Schnittpunkt.

{ Welche Aussagen sind wahr? }
- Eine Gerade und eine Ebene können windschief zueinander liegen.
+ Wenn eine Gerade in einer Ebene liegt, dann ist jeder Punkt auf der Geraden auch ein Punkt in der Ebene.
+ Wenn die Normalenvektoren zweier Ebenen kolinear sind, dann schneiden sich die Ebenen nicht.

{ Seien <math>E: 3x_1-4x_2-x_3=3 </math> und <math>F: -6x_1+8x_2+2x_3=-3 </math> zwei Ebenen und <math>g: \vec{x} = \left( \begin{smallmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{smallmatrix} \right) + t \cdot \left( \begin{smallmatrix} 9\\ -12 \\ -3 \end{smallmatrix} \right), t \in \mathbb{R} </math> eine Gerade im Raum. Wie liegen <math> E </math> , <math> F </math> und <math> g </math> zueinander?}
- Die Ebenen sind identisch.
+ Die Ebenen sind parallel.
- Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.
+ Der Winkel zwischen der Gerade <math> g </math> und der Ebene <math> F </math> beträgt <math> 90^{\circ} </math>.
+ Die Gerade <math> g </math> liegt orthogonal zu beiden Ebenen.
- Die Gerade <math> g </math> liegt parallel zur Ebene <math> E </math>.

{ Welche Fragestellungen in den gegebenen Situationen könnten durch die Berechnung des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene beantwortet werden? }
+ Ein Flugzeug fliegt auf einer Geraden in Richtung des ebenen Erdbodens. Um eine weiche Landung sicherstellen zu können, muss das Flugzeug in einem Winkel von <math> 3,2^{\circ} </math> laden. Wird diese Vorgabe eingehalten?
- Ein Regalbrett, dass durch das Rechteck <math> ABCD </math> beschrieben wird, soll in einem Winkel von <math> 90^{\circ} </math> zur Wand montiert werden. Ist das Regalbrett korrekt montiert?
- Eine Zeltwand wird durch zwei Stangen gehalten, die auf ebenem Boden verankert werden. Um auch bei Sturm für Stabilität zu sorgen, sollte der Winkel in der Spitze des Zelts <math> 60^{\circ} </math> betragen. Steht das Zelt stabil?
</quiz>

Thema f (nur LK):

<quiz display="simple">
{ Welche Abstände lassen sich unter keinen Umständen sinnvoll definieren? }
- Der Abstand zwischen zwei parallelen Geraden.
+ Der Abstand zwischen zwei unterschiedlichen, nicht parallelen Ebenen.
- Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene.
- Der Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene.
+ Der Abstand zwischen zwei sich schneidenden Geraden.
- Der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden.
- Der Abstand zwischen windschiefen Geraden.
- Der Abstand zwischen parallelen Ebenen.
+ Der Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene, die sich schneiden.

{ Wie könntest du den Abstand des Punktes <math> P(6|7|-3) </math> von der Geraden <math> g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}</math> sicher bestimmen? }
- 1. Eine Hilfsebene <math> H </math> aufstellen, die die Gerade <math> g </math> enthält. 2. Die zu <math> H </math> orthogonale Gerade <math> f </math> durch <math> P </math> bestimmen. 3. Den Schnittpunkt <math> S </math> von <math> f </math> mit <math> H </math> bestimmen und den Abstand <math> d(P,S)</math> berechnen.
+ 1. Eine Hilfsebene <math> H </math> aufstellen, die <math> P </math> enthält und orthgonal zu <math> g </math> ist. 2. Den Schnittpunkt <math> S </math> zwischen <math> g </math> und <math> H </math> bestimmen. 3. Den Abstand <math> d(P,S) </math> berechnen.
- 1. Einen beliebigen Punkt <math> R </math> auf der Geraden <math> g </math> wählen. 2. Den Abstand <math> d(P,R)</math> berechnen.
+ 1. Einen beliebigen Verbindungsvektor vom Punkt <math> P </math> zu einem Geradenpunkt <math> L </math> (in Abhängigkeit vom Parameter <math> t</math> ) aufstellen. 2. <math> t </math> so bestimmen, dass der Verbindungsvektor orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist. 3. Für dieses <math> t </math> den Abstand <math> d(P,L) </math> berechnen.

{ Welche Fragestellungen in den gegebenen Situationen könnten durch die Berechnung des Abstandes eines Punktes <math> P </math> zu einer Ebene <math> E </math> beantwortet werden?
}
- Lukas ist <math>1,80m</math> groß und steht auf einer Wiese unter einer Seilbahn. Er möchte wissen, wie nah ihm die Gondeln höchstens kommen können. Er kennt seine Position und den Verlauf der Seilbahn.
+ Eine Drohne schwebt in der Luft an einer Stelle über der Dachfläche eines Hauses. Hält sie die nötige Entfernung von <math>5m</math> zur Dachfläche ein?
- Julia und Juan wohnen gegenüber. Sie möchten eine Schnur von Julias Fenster in der 1. Etage zu Juans Fenster in der Hauswand in der 2. Etage spannen. Wie lang muss die Schnur sein?
- Ein Schiff fährt auf einer geradlinigen Route und ein U-Boot taucht entlang einer Geraden im Meer. Wie nah könnten sie sich höchstens kommen?
+ Eine Glühbirne hängt über einem Tisch. Kann Nuria mit ihrem Kopf die Glühbirne berühren, wenn sie auf dem Tisch steht? Sie ist <math>1,40m</math> groß.
</quiz>

Thema g:

<quiz display="simple">
{Löse das Lineare Gleichungssystem ohne Hilfsmittel mit dem Gauß-Verfahren. Welche Lösung ist korrekt?

<math>\begin{align} 2x + 2y + 2z & = 0 \\ -2x +2y + 4z & = 12 \\ z & = 2\\ \end{align}</math> }

+ <math> x=-2,~y=0,~z=2 </math>
- <math> x=-3,~y=1,~z=2 </math>
- <math> x=0,~y=-2,~z=2 </math>
- das Lineare Gleichungssystem hat keine Lösung

{ Gegeben ist das folgende Lineare Gleichungssystem (LGS):

<math>\begin{align} 3x + 2y + z & = 4 \\ 3x +2y & = 5 \\ 3x + 2y + az & = 2\\ \end{align}</math>

Welche der folgenden Aussagen stimmt nicht?}
- Das LGS hat für a=1 unendlich viele Lösungen
- Das LGS hat für a=1 keine Lösung
+ Es gibt ein a aus den reelen Zahlen, sodass das LGS genau eine Lösung hat

{ Bringe die Schritte des Gauß-Verfahrens in die richtige Reihenfolge

a) Durch Addition und Subtraktion von Gleichungen die einzelnen Variablen eliminieren.

b) Das Lineare Gleichungssystem in die Zeilenstufenform bringen.

c) Die zugehörigen Variablen alle untereinander bringen.

d) Durch Einsetzen die Variablen berechnen.

e) Mit Hilfe von geschickter Multiplikation und Division der Gleichungen, gleiche Faktoren vor den Variablen erzeugen.

f) Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.
Alle Variablen auf die eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere }

- a, b, c, d, e, f
- c, a, b, f, e, d
- a, c, b, f, d, e
+ f, c, e, a, b, d

</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Punkte und Vektoren im Raum|Punkte und Vektoren im Raum]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Geraden im Raum|Geraden im Raum]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)|Winkel und Skalarprodukt (Vektoren bzw. Geraden)]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Ebenen im Raum|Ebenen im Raum]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)|Lagebeziehungen und Winkel (Gerade und Ebene, 2 Ebenen)]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Abstände von Objekten im Raum|Abstände von Objekten im Raum]]
*bei den Aufgaben 19 - 21, gehe zum Kapitel [[/Lineare Gleichungssysteme|Lineare Gleichungssysteme]]|Frage
}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-05-29T18:34:24Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren | Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>. | Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Die quatratische Grundfläche der Pyramide liegt dabei auf der <math> x_1</math>-<math> x_2</math>-Ebene und die Spitze der Pyramide ist 5 Längeneinheiten hoch.

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide ?}
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 \text{ LE}^2 </math>.
- Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 \text{ LE}^2 </math>.
+ Der Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 \text{ LE}^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Gundfläche ist ein Quadrat. Durch Multiplizieren der Längen der Grundflächenkanten erhältst du den Flächeninhalt.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Die Spitze der Pyramide liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Spitze einer Pyramide liegt mittig über der Grundseite.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{w}+ \vec{u}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{w} + \vec{u} +\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + \vec{v} - \vec{v}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2* \vec{u} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 5: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 6: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>

</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-05-29T17:52:35Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren | Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>. | Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein?

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{w}+ \vec{u}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{w} + \vec{u} +\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + \vec{v} - \vec{v}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2* \vec{u} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 5: Ortsvektoren | 2= {{LearningApp|width=100%|height=600px|app=5520634}} | Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Gerichtete Größen | 2= Gib das folgende Gesetz mithilfe von Vektoren an: Übt ein Körper <math> A </math> auf einen anderen Körper <math> B </math> eine Kraft aus, so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper <math> B </math> auf Körper <math> A </math>.

Erläutere, inwiefern sich Kräfte durch Vektoren darstellen lassen. {{Lösung versteckt|1= <math>\vec {F}_{A \to B} = -\vec {F}_{B \to A}</math>
Sowohl Kräfte als auch Vektoren sind durch eine Richtung und eine Größe gekennzeichnet. Im Fall von Vektoren heißt die Größe der "Betrag" oder die "Länge" des Vektors. Es handelt sich demnach bei beidem um gerichtete Größen.|2=Lösung|3=Einklappen}} | Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode }}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>

</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 9: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 10: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 11: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-05-29T17:48:52Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren | Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>. | Merksatz}}

<nowiki>{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.</nowiki>

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.
[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein?

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{w}+ \vec{u}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{w} + \vec{u} +\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + \vec{v} - \vec{v}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2* \vec{u} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 5: Ortsvektoren | 2= {{LearningApp|width=100%|height=600px|app=5520634}} | Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Gerichtete Größen | 2= Gib das folgende Gesetz mithilfe von Vektoren an: Übt ein Körper <math> A </math> auf einen anderen Körper <math> B </math> eine Kraft aus, so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper <math> B </math> auf Körper <math> A </math>.

Erläutere, inwiefern sich Kräfte durch Vektoren darstellen lassen. {{Lösung versteckt|1= <math>\vec {F}_{A \to B} = -\vec {F}_{B \to A}</math>
Sowohl Kräfte als auch Vektoren sind durch eine Richtung und eine Größe gekennzeichnet. Im Fall von Vektoren heißt die Größe der "Betrag" oder die "Länge" des Vektors. Es handelt sich demnach bei beidem um gerichtete Größen.|2=Lösung|3=Einklappen}} | Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode }}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>

</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 9: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 10: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 11: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-05-29T17:44:54Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren | Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>. | Merksatz}}

<nowiki>{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.</nowiki>

#Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
#Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
#Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
<nowiki>{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.</nowiki>

{{Box|1= Aufgabe 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein?

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Spitze der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{w}+ \vec{u}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{w} + \vec{u} +\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + \vec{v} - \vec{v}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2* \vec{u} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 5: Ortsvektoren | 2= {{LearningApp|width=100%|height=600px|app=5520634}} | Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Gerichtete Größen | 2= Gib das folgende Gesetz mithilfe von Vektoren an: Übt ein Körper <math> A </math> auf einen anderen Körper <math> B </math> eine Kraft aus, so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper <math> B </math> auf Körper <math> A </math>.

Erläutere, inwiefern sich Kräfte durch Vektoren darstellen lassen. {{Lösung versteckt|1= <math>\vec {F}_{A \to B} = -\vec {F}_{B \to A}</math>
Sowohl Kräfte als auch Vektoren sind durch eine Richtung und eine Größe gekennzeichnet. Im Fall von Vektoren heißt die Größe der "Betrag" oder die "Länge" des Vektors. Es handelt sich demnach bei beidem um gerichtete Größen.|2=Lösung|3=Einklappen}} | Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode }}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>

</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 9: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 10: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 11: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-05-29T17:32:32Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren | Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>. | Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
# Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
# Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
# Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.

{{Box|1= Aufgabe 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{w}+ \vec{u}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{w} + \vec{u} +\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + \vec{v} - \vec{v}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2* \vec{u} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 5: Ortsvektoren | 2= {{LearningApp|width=100%|height=600px|app=5520634}} | Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Gerichtete Größen | 2= Gib das folgende Gesetz mithilfe von Vektoren an: Übt ein Körper <math> A </math> auf einen anderen Körper <math> B </math> eine Kraft aus, so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper <math> B </math> auf Körper <math> A </math>.

Erläutere, inwiefern sich Kräfte durch Vektoren darstellen lassen. {{Lösung versteckt|1= <math>\vec {F}_{A \to B} = -\vec {F}_{B \to A}</math>
Sowohl Kräfte als auch Vektoren sind durch eine Richtung und eine Größe gekennzeichnet. Im Fall von Vektoren heißt die Größe der "Betrag" oder die "Länge" des Vektors. Es handelt sich demnach bei beidem um gerichtete Größen.|2=Lösung|3=Einklappen}} | Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode }}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>

</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 9: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 10: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 11: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-05-29T17:28:11Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren | Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>. | Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
# Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
# Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1{,}5)</math> und <math> D(1|4|{-}0{,}5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
# Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Es entsteht einen Koordinatenzug. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabenteil 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabenteil 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von der folgenden Lösung abweichen.

[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2{,}5|2{,}5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{w}+ \vec{u}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{w} + \vec{u} +\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + \vec{v} - \vec{v}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2* \vec{u} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 5: Ortsvektoren | 2= {{LearningApp|width=100%|height=600px|app=5520634}} | Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Gerichtete Größen | 2= Gib das folgende Gesetz mithilfe von Vektoren an: Übt ein Körper <math> A </math> auf einen anderen Körper <math> B </math> eine Kraft aus, so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper <math> B </math> auf Körper <math> A </math>.

Erläutere, inwiefern sich Kräfte durch Vektoren darstellen lassen. {{Lösung versteckt|1= <math>\vec {F}_{A \to B} = -\vec {F}_{B \to A}</math>
Sowohl Kräfte als auch Vektoren sind durch eine Richtung und eine Größe gekennzeichnet. Im Fall von Vektoren heißt die Größe der "Betrag" oder die "Länge" des Vektors. Es handelt sich demnach bei beidem um gerichtete Größen.|2=Lösung|3=Einklappen}} | Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode }}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9{,}5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6{,}5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>

</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 9: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 10: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 11: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3{,}5|3{,}5|1)</math> und <math> C(6{,}5|2{,}5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-05-29T15:24:43Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren | Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>. | Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
# Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
# Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|{-}1,5)</math> und <math> D(1|4|{-}0,5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
# Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabe 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabe 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von folgenden Lösung abweichen.

[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{w}+ \vec{u}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 0,5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{w} + \vec{u} +\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + \vec{v} - \vec{v}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2* \vec{u} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0,5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 5: Ortsvektoren | 2= {{LearningApp|width=100%|height=600px|app=5520634}} | Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Gerichtete Größen | 2= Gib das folgende Gesetz mithilfe von Vektoren an: Übt ein Körper <math> A </math> auf einen anderen Körper <math> B </math> eine Kraft aus, so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper <math> B </math> auf Körper <math> A </math>.

Erläutere, inwiefern sich Kräfte durch Vektoren darstellen lassen. {{Lösung versteckt|1= <math>\vec {F}_{A \to B} = -\vec {F}_{B \to A}</math>
Sowohl Kräfte als auch Vektoren sind durch eine Richtung und eine Größe gekennzeichnet. Im Fall von Vektoren heißt die Größe der "Betrag" oder die "Länge" des Vektors. Es handelt sich demnach bei beidem um gerichtete Größen.|2=Lösung|3=Einklappen}} | Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode }}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9,5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6,5 </math>

{<math> A(-1|{-}2|2) </math> und <math> B(-3|{-}1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>

</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 9: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 10: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 11: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3,5|3,5|1)</math> und <math> C(6,5|2,5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|{-}1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|{-}1)</math>
- <math> P(-7|{-}3|1)</math>
- <math> P(5|2|{-}3)</math>
- <math> P(-5|{-}2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-05-29T15:12:15Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigst du dich mit '''Punkten und Vektoren im Raum'''.
Du lernst die Grundlagen zum Thema Punkte und Vektoren. Dies Beinhaltet die Unterscheidung dieser beiden Begriffe, das Rechnen, Interpretieren und Anwenden im Sachzusammenhang.

Dazu haben wir für dich Aufgaben in verschiedenen Schwierigkeitsstufen:

* Mit Aufgaben, die <span style="color: #F19E4F"> '''orange''' </span> gefärbt sind, kannst du <span style="color:#F19E4F">'''grundlegende Kompetenzen'''</span> wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in <span style="color: #5E43A5"> '''blauer''' </span> Farbe sind Aufgaben <span style="color: #5E43A5">'''mittlerer Schwierigkeit'''</span>
* und Aufgaben mit <span style="color: #89C64A"> '''grünem''' </span> Streifen sind <span style="color: #89C64A">'''Knobelaufgaben'''</span>.

Wir wünschen dir viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box | Erinnerung: Punkte und Ortsvektoren | Jeder Punkt lässt sich durch den Vektor beschreiben, der den Ursprung auf diesen Punkt verschiebt, den '''Ortsvektor'''. Bei Punkten werden die Koordinaten direkt an den Namen des Punktes geschrieben, der Name des Punktes wird immer groß geschrieben; bei Vektoren, also auch bei Ortsvektoren, werden die Koordinaten durch ein Gleichheitszeichen vom Namen des Vektors getrennt, der Name des Vektors wird manchmal mit einem Pfeil darüber versehen und meistens klein geschrieben.

Zum Punkt <math>A(1|2|3) </math> gehört also der Ortsvektor <math>\vec {a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math>. | Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
# Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
# Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|-1,5)</math> und <math> D(1|4|-0,5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AB }</math> , <math>\vec{ AC }</math>,<math>\vec{ CD }</math> und <math>\vec{ BD }</math> ein. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.
# Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Zeichne nun die Strecken <math>\vec{ AE }</math>,<math>\vec{ AF }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ EG }</math>, <math>\vec{ AH }</math>, <math>\vec{ FG }</math>, <math>\vec{ FH }</math> und <math>\vec{ GH }</math>. Handelt es sich um eine zweidimensionale Figur oder um einen Körper? Benenne sie oder ihn.

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabe 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabe 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von folgenden Lösung abweichen.

[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 4: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{w}+ \vec{u}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 0,5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{w} + \vec{u} +\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + \vec{v} - \vec{v}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2* \vec{u} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0,5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 5: Ortsvektoren | 2= {{LearningApp|width=100%|height=600px|app=5520634}} | Farbe={{Farbe|orange}}| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Gerichtete Größen | 2= Gib das folgende Gesetz mithilfe von Vektoren an: Übt ein Körper <math> A </math> auf einen anderen Körper <math> B </math> eine Kraft aus, so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper <math> B </math> auf Körper <math> A </math>.

Erläutere, inwiefern sich Kräfte durch Vektoren darstellen lassen. {{Lösung versteckt|1= <math>\vec {F}_{A \to B} = -\vec {F}_{B \to A}</math>
Sowohl Kräfte als auch Vektoren sind durch eine Richtung und eine Größe gekennzeichnet. Im Fall von Vektoren heißt die Größe der "Betrag" oder die "Länge" des Vektors. Es handelt sich demnach bei beidem um gerichtete Größen.|2=Lösung|3=Einklappen}} | Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode }}

{{Box|1=Aufgabe 7: Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 11 </math>
- <math> 12 </math>
+ <math> 13 </math>
- <math> 14 </math>

{ <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- <math> 1 </math>
- <math> 2 </math>
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> \frac{1}{2} </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- <math> 9,5 </math>
+ <math> 7 </math>
- <math> 8 </math>
- <math> 6,5 </math>

{<math> A(-1|-2|2) </math> und <math> B(-3|-1|0) </math>}
+ <math> 3 </math>
- <math> 6 </math>
- <math> 9 </math>
- <math> 12 </math>

</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 8: Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 9: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.
</div>

<div class="lueckentext-quiz">
Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung'''. Für den Fall ''' <math> c=-1 </math> ''' sprechen wir dann vom '''Gegenvektor''' von <math> \vec{a} </math>.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''verschiedene''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 10: Kollinearität von Vektoren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11504986}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box|1= Aufgabe 11: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3,5|3,5|1)</math> und <math> C(6,5|2,5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Wir betrachten weiterhin das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> soll so gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|-1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du musst Gegenvektoren verwenden.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> für eines der Parallelogramme und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math> für das zweite Parallelogramm.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|-1)</math>
- <math> P(-7|-3|1)</math>
- <math> P(5|2|-3)</math>
- <math> P(-5|-2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Fertige eine Skizze des Dreiecks an und mache dir klar, welche Seite die Basis des Dreiecks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= In einer Raute sind alle Seiten gleich lang und gegenüberliegende Seiten parallel.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-30T13:08:31Z

Georg WWU-8:

==Punkte und Vektoren==

{{Box|1= Übung 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
# Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
# Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|-1,5)</math> und <math> D(1|4|-0,5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper? Benenne den Körper.
# Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper?

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabe 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabe 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von folgenden Lösung abweichen.

[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 4: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u}-\vec{w}-\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{w}+ \vec{u}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 0,5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{w} + \vec{u} +\vec{v} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + \vec{v} - \vec{v}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}</math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 2* \vec{u} </math>

{{Lösung versteckt|1=
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0,5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </math>
|2= Lösung|3=Einklappen}}

|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===
Neben normalen Text kann auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green">Grüner Text ist schon ''etwas'' schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. </span>

===Vorlagen // Aufträge, Tipps und Hervorhebungen===

{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
<span style="color: red">{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}</span>

{{Box | 1=Aufgabe 1: Münzwurf | 2=Versuche eine Münze hochzuwerfen und sie mit dem Mund aufzufangen. Achte dabei darauf '''nicht''' zu ersticken. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Kongruenzsätze | 2=Dreiecke sind ''manchmal'' kongruent. '''Manchmal''' auch nicht | 3=Merksatz}}

{{Box | 1=Polynomdivison | 2=Besser nicht machen... kann ganz ''falsche'' Antworten verursachen | 3=Hervorhebung1}}

===Dateien===
====Über die Bedienelemente====

Lorem ipsum
[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|rahmenlos|Ziegenproblem]]
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====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====

[[Datei:Basketball clipart hoop.png|ohne|mini|'''Ballwurf''']]

====Über Wikipedia (Ohne Rahmen)====

[[Datei:Wikipedia_meme_vector_version.svg|ohne|mini|500px|Comedy Gold.]]

===Interaktive Applets===
====LearningApp====

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3103860}}

====GeoGebra====

<ggb_applet id="xqmbxxgt" width="100%" height="100%" border="888888" />

Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-30T12:49:08Z

Georg WWU-8:

==Punkte und Vektoren==

{{Box|1= Übung 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
# Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
# Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|-1,5)</math> und <math> D(1|4|-0,5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper? Benenne den Körper.
# Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper?

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabe 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabe 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von folgenden Lösung abweichen.

[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 4: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
# <math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>

{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===
Neben normalen Text kann auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green">Grüner Text ist schon ''etwas'' schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. </span>

===Vorlagen // Aufträge, Tipps und Hervorhebungen===

{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
<span style="color: red">{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}</span>

{{Box | 1=Aufgabe 1: Münzwurf | 2=Versuche eine Münze hochzuwerfen und sie mit dem Mund aufzufangen. Achte dabei darauf '''nicht''' zu ersticken. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Kongruenzsätze | 2=Dreiecke sind ''manchmal'' kongruent. '''Manchmal''' auch nicht | 3=Merksatz}}

{{Box | 1=Polynomdivison | 2=Besser nicht machen... kann ganz ''falsche'' Antworten verursachen | 3=Hervorhebung1}}

===Dateien===
====Über die Bedienelemente====

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[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|rahmenlos|Ziegenproblem]]
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====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====

[[Datei:Basketball clipart hoop.png|ohne|mini|'''Ballwurf''']]

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===Interaktive Applets===
====LearningApp====

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3103860}}

====GeoGebra====

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Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-30T11:45:22Z

Georg WWU-8:

==Punkte und Vektoren==

{{Box|1= Übung 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
# Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
# Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|-1,5)</math> und <math> D(1|4|-0,5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper? Benenne den Körper.
# Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper?

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabe 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabe 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von folgenden Lösung abweichen.

[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 4: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt

<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Verschiebungen durch die Vektoren.

<math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>
<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{u} </math>
<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \vec{w} </math>
<math>\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{w} </math>

{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===
Neben normalen Text kann auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green">Grüner Text ist schon ''etwas'' schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. </span>

===Vorlagen // Aufträge, Tipps und Hervorhebungen===

{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
<span style="color: red">{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}</span>

{{Box | 1=Aufgabe 1: Münzwurf | 2=Versuche eine Münze hochzuwerfen und sie mit dem Mund aufzufangen. Achte dabei darauf '''nicht''' zu ersticken. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Kongruenzsätze | 2=Dreiecke sind ''manchmal'' kongruent. '''Manchmal''' auch nicht | 3=Merksatz}}

{{Box | 1=Polynomdivison | 2=Besser nicht machen... kann ganz ''falsche'' Antworten verursachen | 3=Hervorhebung1}}

===Dateien===
====Über die Bedienelemente====

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[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|rahmenlos|Ziegenproblem]]
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====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====

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====Über Wikipedia (Ohne Rahmen)====

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===Interaktive Applets===
====LearningApp====

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3103860}}

====GeoGebra====

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Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-30T11:31:20Z

Georg WWU-8:

==Punkte und Vektoren==

{{Box|1= Übung 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
# Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
# Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|-1,5)</math> und <math> D(1|4|-0,5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper? Benenne den Körper.
# Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper?

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabe 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabe 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von folgenden Lösung abweichen.

[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt <math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 4: Vektoren|2= Betrachte die dargestellten Vektoren <math>\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}</math> und <math>\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}</math>.

[[Datei:Vektoren.jpg|rahmenlos|600x600px]]

Für den Punkt <math> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> gilt <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{v} + \vec{u} + \vec{w}</math>.

Welche Punkte erhältst du bei folgenden Rechnungen.
<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{-u} </math>

{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===
Neben normalen Text kann auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green">Grüner Text ist schon ''etwas'' schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. </span>

===Vorlagen // Aufträge, Tipps und Hervorhebungen===

{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
<span style="color: red">{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}</span>

{{Box | 1=Aufgabe 1: Münzwurf | 2=Versuche eine Münze hochzuwerfen und sie mit dem Mund aufzufangen. Achte dabei darauf '''nicht''' zu ersticken. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Kongruenzsätze | 2=Dreiecke sind ''manchmal'' kongruent. '''Manchmal''' auch nicht | 3=Merksatz}}

{{Box | 1=Polynomdivison | 2=Besser nicht machen... kann ganz ''falsche'' Antworten verursachen | 3=Hervorhebung1}}

===Dateien===
====Über die Bedienelemente====

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Datei:Vektoren.jpg

2021-04-30T11:19:42Z

Georg WWU-8: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Drei Vektoren im Raum
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Georg WWU-8|Georg WWU-8]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-30T10:38:04Z

Georg WWU-8:

==Punkte und Vektoren==

{{Box|1= Übung 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
# Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
# Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|-1,5)</math> und <math> D(1|4|-0,5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper? Benenne den Körper.
# Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper?

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|500x500px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Bei Aufgabe 2 handelt es sich um ein Parallelogram. Bei Aufgabe 3 bekommst du eine Pyramide heraus, die eine quadratische Grundfläche besitzt. Deine Lösung kann aufgrund einer anderen Skalierung der Achsen natürlich auch von folgenden Lösung abweichen.

[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|500x500px|Lösung]] |2= Lösung|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt</nowiki><math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===
Neben normalen Text kann auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green">Grüner Text ist schon ''etwas'' schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. </span>

===Vorlagen // Aufträge, Tipps und Hervorhebungen===

{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
<span style="color: red">{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}</span>

{{Box | 1=Aufgabe 1: Münzwurf | 2=Versuche eine Münze hochzuwerfen und sie mit dem Mund aufzufangen. Achte dabei darauf '''nicht''' zu ersticken. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Kongruenzsätze | 2=Dreiecke sind ''manchmal'' kongruent. '''Manchmal''' auch nicht | 3=Merksatz}}

{{Box | 1=Polynomdivison | 2=Besser nicht machen... kann ganz ''falsche'' Antworten verursachen | 3=Hervorhebung1}}

===Dateien===
====Über die Bedienelemente====

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[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|rahmenlos|Ziegenproblem]]
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====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====

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===Interaktive Applets===
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{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3103860}}

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Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-30T10:32:40Z

Georg WWU-8:

==Punkte und Vektoren==

{{Box|1= Übung 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
# Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
# Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|-1,5)</math> und <math> D(1|4|-0,5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper? Benenne den Körper.
# Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper?

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren.

[[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|300x300px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Deine Lösung sollte etwa so aussehen.

[[Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg|rahmenlos|300x300px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Lösung|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt</nowiki><math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===
Neben normalen Text kann auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green">Grüner Text ist schon ''etwas'' schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. </span>

===Vorlagen // Aufträge, Tipps und Hervorhebungen===

{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
<span style="color: red">{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}</span>

{{Box | 1=Aufgabe 1: Münzwurf | 2=Versuche eine Münze hochzuwerfen und sie mit dem Mund aufzufangen. Achte dabei darauf '''nicht''' zu ersticken. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Kongruenzsätze | 2=Dreiecke sind ''manchmal'' kongruent. '''Manchmal''' auch nicht | 3=Merksatz}}

{{Box | 1=Polynomdivison | 2=Besser nicht machen... kann ganz ''falsche'' Antworten verursachen | 3=Hervorhebung1}}

===Dateien===
====Über die Bedienelemente====

Lorem ipsum
[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|rahmenlos|Ziegenproblem]]
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====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====

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====Über Wikipedia (Ohne Rahmen)====

[[Datei:Wikipedia_meme_vector_version.svg|ohne|mini|500px|Comedy Gold.]]

===Interaktive Applets===
====LearningApp====

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3103860}}

====GeoGebra====

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Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-30T10:31:38Z

Georg WWU-8:

==Punkte und Vektoren==

{{Box|1= Übung 1: Koordinatensysteme|2= Für diese Aufgabe benötigst du einen Bleistift, ein kariertes Blatt Papier und ein Geodreieck. Bearbeite die folgenden Aufgaben.
# Zeichne ein dreidimensionales Koordinatensystem. Wähle eine passende Skalierung anhand der angegebenen Punkte im Aufgabenteil 2 und 3.
# Zeichne die Punkte <math> A (1|2|1)</math>,<math> B(1|4|2)</math>, <math> C(1|2|-1,5)</math> und <math> D(1|4|-0,5) </math> in das gezeichnete Koordinatensystem. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper? Benenne den Körper.
# Nutze den Punkt <math> A (1|2|1)</math> aus Aufgabenteil 2. Füge die Punkte <math> E (-1|2|1)</math>,<math> F(1|0|1)</math>, <math> G(-1|0|1)</math> und <math> H(0|1|5) </math>. Handelt es sich um eine Figur oder um einen Körper?

{{Lösung versteckt|1= Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem kannst du mithilfe eines "Pfad-Folge-Verfahren" genau bestimmen. Dabei geht man die durch die Punktkoordinaten angegeben Längeneinheiten in die Richtung der jeweiligen Achsen. Das folgende Bild verdeutlicht das Verfahren. [[Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg|rahmenlos|300x300px|Pfad-Folge-Verfahren]] |2= Tipp|3=Einklappen}}
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|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt</nowiki><math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> C </math> und <math> D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===
Neben normalen Text kann auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green">Grüner Text ist schon ''etwas'' schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. </span>

===Vorlagen // Aufträge, Tipps und Hervorhebungen===

{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
<span style="color: red">{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}</span>

{{Box | 1=Aufgabe 1: Münzwurf | 2=Versuche eine Münze hochzuwerfen und sie mit dem Mund aufzufangen. Achte dabei darauf '''nicht''' zu ersticken. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Kongruenzsätze | 2=Dreiecke sind ''manchmal'' kongruent. '''Manchmal''' auch nicht | 3=Merksatz}}

{{Box | 1=Polynomdivison | 2=Besser nicht machen... kann ganz ''falsche'' Antworten verursachen | 3=Hervorhebung1}}

===Dateien===
====Über die Bedienelemente====

Lorem ipsum
[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|rahmenlos|Ziegenproblem]]
Lorem ipsum

====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====

[[Datei:Basketball clipart hoop.png|ohne|mini|'''Ballwurf''']]

====Über Wikipedia (Ohne Rahmen)====

[[Datei:Wikipedia_meme_vector_version.svg|ohne|mini|500px|Comedy Gold.]]

===Interaktive Applets===
====LearningApp====

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3103860}}

====GeoGebra====

<ggb_applet id="xqmbxxgt" width="100%" height="100%" border="888888" />

Datei:Lösung Aufgabe 1-2-3.jpg

2021-04-30T10:30:48Z

Georg WWU-8: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Lösung der Aufgabe 1
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Georg WWU-8|Georg WWU-8]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Datei:Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem.jpg

2021-04-30T10:27:09Z

Georg WWU-8: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Mit diesem Vorgehen erhältst du einen eindeutigen Punkt
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Georg WWU-8|Georg WWU-8]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-30T10:22:57Z

Georg WWU-8:

Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-30T08:40:07Z

Georg WWU-8:

Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-29T13:57:46Z

Georg WWU-8:

==Punkte und Vektoren==

{{Box|1= Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt</nowiki><math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]]

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der Punkte <math> B </math>,<math> B </math> und <math> B </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Betrachte jeweils zuerst die x1-Achse, dann die x2-Achse und abschließend die x3-Achse.|2= Tipp 1|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Größe der Grundfläche der Pyramide ?}
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>5 LE^2 </math>.
- Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>10 LE^2 </math>.
+ Die Größe der Grundfläche der Pyramide beträgt <math>25 LE^2 </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Die Grundfläche einer Pyramide berechnet man mit durch die Multiplikation zweier Seiten.|2= Tipp 2|3=Einklappen}}

<quiz display="simple">
{Wo liegt der Scheitelpunkt der Pyramide ?}
+ Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|6) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (5|5|5) </math>.
- Der Scheitelpunkt liegt bei <math> S (2,5|2,5|5) </math>.
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Bei der Berechnung des Scheitelpunkts sind die 2 der 3 Koordinaten durch die Bestimmung der Seitenflächen vorgegeben. Dabei solltest du beachten, dass nicht die volle Seitenfläche berechnet wird.|2= Tipp 3|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===
Neben normalen Text kann auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green">Grüner Text ist schon ''etwas'' schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. </span>

===Vorlagen // Aufträge, Tipps und Hervorhebungen===

{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
<span style="color: red">{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}</span>

{{Box | 1=Aufgabe 1: Münzwurf | 2=Versuche eine Münze hochzuwerfen und sie mit dem Mund aufzufangen. Achte dabei darauf '''nicht''' zu ersticken. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Kongruenzsätze | 2=Dreiecke sind ''manchmal'' kongruent. '''Manchmal''' auch nicht | 3=Merksatz}}

{{Box | 1=Polynomdivison | 2=Besser nicht machen... kann ganz ''falsche'' Antworten verursachen | 3=Hervorhebung1}}

===Dateien===
====Über die Bedienelemente====

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[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|rahmenlos|Ziegenproblem]]
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====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====

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====Über Wikipedia (Ohne Rahmen)====

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===Interaktive Applets===
====LearningApp====

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====GeoGebra====

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Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-29T13:45:47Z

Georg WWU-8:

==Punkte und Vektoren==

{{Box|1= Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt</nowiki><math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]] {{Lösung versteckt|1=Stelle dir vor, dass du die Kanten aneinander klebst. Was kannst du ausschließen? Welche Eigenschaften kennst du, die hier nicht zutreffen?|2= Tipp|3=Einklappen}}

Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein?
<quiz display="simple">
{Welche Aussage stimmt für die Koordinaten der <math> Punkte B, C und D </math> ?}
- <math> B (5|0|0),C(0|0|5),D(0|5|0) </math>
- <math> B(0|5|0),C(0|5|5),D(0|0|5) </math>
+ <math> B (5|0|0),C(5|5|0),D(0|5|0) </math>
- <math> B (1|0|0),C(0|1|1),D(0|0|1) </math>
</quiz>
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 11 - Für die ganz Schnellen eine Knobelaufgabe: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3,5|3,5|1)</math> und <math> C(6,5|2,5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|-1)</math>
- <math> P(-7|-3|1)</math>
- <math> P(5|2|-3)</math>
- <math> P(-5|-2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf und mach dir zunächst klar welche Seite die Basis des Dreieicks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gegenüberliegende Seiten sind in einer Raute gleich lang.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) wir betrachten nun wieder das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> solls o gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|-1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf <math> ABC </math> und überleg dir wie ein Parallelogram entstehen könnte. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Sei dir bewusst, dass es auch Gegenvektoren gibt.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

<div class="multiplechoice-quiz">

Was ergibt 1 + 1? (!2,2) (2) (!1,9) (!3)

Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene)

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man
Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen
Zahl multiplizieren bzw. dividieren.

</div>

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===
Neben normalen Text kann auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green">Grüner Text ist schon ''etwas'' schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. </span>

===Vorlagen // Aufträge, Tipps und Hervorhebungen===

{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
<span style="color: red">{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}</span>

{{Box | 1=Aufgabe 1: Münzwurf | 2=Versuche eine Münze hochzuwerfen und sie mit dem Mund aufzufangen. Achte dabei darauf '''nicht''' zu ersticken. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Kongruenzsätze | 2=Dreiecke sind ''manchmal'' kongruent. '''Manchmal''' auch nicht | 3=Merksatz}}

{{Box | 1=Polynomdivison | 2=Besser nicht machen... kann ganz ''falsche'' Antworten verursachen | 3=Hervorhebung1}}

===Dateien===
====Über die Bedienelemente====

Lorem ipsum
[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|rahmenlos|Ziegenproblem]]
Lorem ipsum

====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====

[[Datei:Basketball clipart hoop.png|ohne|mini|'''Ballwurf''']]

====Über Wikipedia (Ohne Rahmen)====

[[Datei:Wikipedia_meme_vector_version.svg|ohne|mini|500px|Comedy Gold.]]

===Interaktive Applets===
====LearningApp====

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3103860}}

====GeoGebra====

<ggb_applet id="xqmbxxgt" width="100%" height="100%" border="888888" />

Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-29T13:33:58Z

Georg WWU-8:

==Punkte und Vektoren==

{{Box|1= Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt</nowiki><math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]] {{Lösung versteckt|1=Stelle dir vor, dass du die Kanten aneinander klebst. Was kannst du ausschließen? Welche Eigenschaften kennst du, die hier nicht zutreffen?|2= Tipp|3=Einklappen}}

Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein?
<quiz display="multiplechoice">
{Wie Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
+ rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 11 - Für die ganz Schnellen eine Knobelaufgabe: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3,5|3,5|1)</math> und <math> C(6,5|2,5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|-1)</math>
- <math> P(-7|-3|1)</math>
- <math> P(5|2|-3)</math>
- <math> P(-5|-2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf und mach dir zunächst klar welche Seite die Basis des Dreieicks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gegenüberliegende Seiten sind in einer Raute gleich lang.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) wir betrachten nun wieder das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> solls o gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|-1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf <math> ABC </math> und überleg dir wie ein Parallelogram entstehen könnte. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Sei dir bewusst, dass es auch Gegenvektoren gibt.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

<div class="multiplechoice-quiz">

Was ergibt 1 + 1? (!2,2) (2) (!1,9) (!3)

Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene)

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man
Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen
Zahl multiplizieren bzw. dividieren.

</div>

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===
Neben normalen Text kann auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green">Grüner Text ist schon ''etwas'' schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. </span>

===Vorlagen // Aufträge, Tipps und Hervorhebungen===

{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
<span style="color: red">{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}</span>

{{Box | 1=Aufgabe 1: Münzwurf | 2=Versuche eine Münze hochzuwerfen und sie mit dem Mund aufzufangen. Achte dabei darauf '''nicht''' zu ersticken. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Kongruenzsätze | 2=Dreiecke sind ''manchmal'' kongruent. '''Manchmal''' auch nicht | 3=Merksatz}}

{{Box | 1=Polynomdivison | 2=Besser nicht machen... kann ganz ''falsche'' Antworten verursachen | 3=Hervorhebung1}}

===Dateien===
====Über die Bedienelemente====

Lorem ipsum
[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|rahmenlos|Ziegenproblem]]
Lorem ipsum

====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====

[[Datei:Basketball clipart hoop.png|ohne|mini|'''Ballwurf''']]

====Über Wikipedia (Ohne Rahmen)====

[[Datei:Wikipedia_meme_vector_version.svg|ohne|mini|500px|Comedy Gold.]]

===Interaktive Applets===
====LearningApp====

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3103860}}

====GeoGebra====

<ggb_applet id="xqmbxxgt" width="100%" height="100%" border="888888" />

Benutzer:Georg WWU-8/Testseite2

2021-04-29T13:30:25Z

Georg WWU-8:

==Punkte und Vektoren==

{{Box|1= Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|2= Der angegebene Tetraeder hat eine Höhe von 4 Skalierungseinheiten. An welchen Koordinaten befinden sich die Ecken des Tetraeders? Wähle eine richtige Lösung für jeden Punkt aus.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte zuerst die Punkte 1 und 2. Welche Höhe haben sie? Was lässt sich über die x- und y-Koordinaten sagen? |2= Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Betrachte nun die Punkte 3 und 4. Lies nochmal die Aufgabenstellung. Was lässt sich über die x-, y- und z-Koordinaten sagen? |2= Tipp 2|3=Einklappen}}
|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 3: Geometrische Objekte im Koordinatensystem|2= Die abgebildete Pyramide besitzt einen einen Eckpunkt im Nullpunkt</nowiki><math> A(0|0|0)</math>. Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein? [[Datei:PyramideimKS.png|rahmenlos|400x400px|Pyramide mit Grundfläche <math> ABCD </math> und Scheitelpunkt <math> S </math>]] {{Lösung versteckt|1=Stelle dir vor, dass du die Kanten aneinander klebst. Was kannst du ausschließen? Welche Eigenschaften kennst du, die hier nicht zutreffen?|2= Tipp|3=Einklappen}}
Welche Aussagen stimmen mit den abgebildeten Punkten überein?|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 11 - Für die ganz Schnellen eine Knobelaufgabe: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3,5|3,5|1)</math> und <math> C(6,5|2,5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|-1)</math>
- <math> P(-7|-3|1)</math>
- <math> P(5|2|-3)</math>
- <math> P(-5|-2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf und mach dir zunächst klar welche Seite die Basis des Dreieicks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gegenüberliegende Seiten sind in einer Raute gleich lang.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) wir betrachten nun wieder das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> solls o gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|-1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf <math> ABC </math> und überleg dir wie ein Parallelogram entstehen könnte. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Sei dir bewusst, dass es auch Gegenvektoren gibt.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

<div class="multiplechoice-quiz">

Was ergibt 1 + 1? (!2,2) (2) (!1,9) (!3)

Welches Tier ist ein Säugetier? (!Hai) (Wal) (Känguru) (!Meise) (Maus) (!Biene)

</div>

<div class="lueckentext-quiz">

Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man
Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen
Zahl multiplizieren bzw. dividieren.

</div>

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===
Neben normalen Text kann auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green">Grüner Text ist schon ''etwas'' schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung. </span>

===Vorlagen // Aufträge, Tipps und Hervorhebungen===

{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
<span style="color: red">{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}</span>

{{Box | 1=Aufgabe 1: Münzwurf | 2=Versuche eine Münze hochzuwerfen und sie mit dem Mund aufzufangen. Achte dabei darauf '''nicht''' zu ersticken. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Kongruenzsätze | 2=Dreiecke sind ''manchmal'' kongruent. '''Manchmal''' auch nicht | 3=Merksatz}}

{{Box | 1=Polynomdivison | 2=Besser nicht machen... kann ganz ''falsche'' Antworten verursachen | 3=Hervorhebung1}}

===Dateien===
====Über die Bedienelemente====

Lorem ipsum
[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|rahmenlos|Ziegenproblem]]
Lorem ipsum

====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====

[[Datei:Basketball clipart hoop.png|ohne|mini|'''Ballwurf''']]

====Über Wikipedia (Ohne Rahmen)====

[[Datei:Wikipedia_meme_vector_version.svg|ohne|mini|500px|Comedy Gold.]]

===Interaktive Applets===
====LearningApp====

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=3103860}}

====GeoGebra====

<ggb_applet id="xqmbxxgt" width="100%" height="100%" border="888888" />

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-04-29T13:25:58Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du etwas über '''Punkte und Vektoren im Raum''' lernen und wirst erfahren, was Schrägbilder und Netze von geometrischen Körpern sind und wie du sie zeichnen kannst. Ebenfalls erwartet dich in diesem Kapitel, was unmögliche Figuren sind und woran du diese erkennen kannst. Dir stehen eine Vielzahl an verschiedenen Aufgaben zum Üben zur Verfügung.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

*In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.

*Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.

*Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box|Erinnerung: Punkte und Vektoren im Raum|{{Lösung versteckt|1= Diesdas Lennarts machts|2=Infobox|3=Einklappen}}|
Merksatz}}

==Das dreidimensionale Koordinatensystem==

{{Box|Erinnerung: Bekannte Körper|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Schrägbild eines Würfels.svg|alternativtext=Würfel|mini|106x106px]]
Der '''Würfel''' besteht aus sechs gleichgroßen Flächen. Zudem besitzt der Würfel 12 gleichlange Kanten und acht Ecken.<br />

[[Datei:Quader quadratische Grundfläche.png|mini|116x116px]]
Der '''Quader''' besteht aus sechs rechteckigen Seitenflächen, die im rechten Winkel aufeinander stehen. Die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils parallel und gleich groß.<br />

|2=Infobox|3=Einklappen}}|
Merksatz}}

<nowiki>{{Box|1 = Übung 1: Lückentext Körper|2= Ziehe die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken.</nowiki><br /><div class="lueckentext-quiz">
Im '''Schrägbild''' nimmt man Körper auf der ebenen Fläche '''räumlich''' wahr.

Die '''Vorderseite''' des Quaders solltest du in '''Originalgröße''' zeichnen. Wenn der Quader eine '''Länge''' von 8 cm und eine Höhe von 2 cm hat, ist das '''Rechteck''', das du als seine Vorderseite zeichnest, 8 cm breit und 2 cm hoch.

Ein Würfel hat '''8''' Ecken, '''6''' Flächen und '''12''' Kanten. Außerdem sind alle Kanten '''gleich''' lang und alle Flächen '''quadratisch'''. Auch sind die Flächen '''gleich''' groß.

Eine Pyramide ist ein Körper, der aus einem Vieleck (Drei-, Vier-, Fünfeck usw.) und mehreren '''Dreiecken''' besteht. Das Vieleck bildet die '''Grundfläche''' und die Dreiecke die '''Mantelfläche''' der Pyramide.
</div> {{Lösung versteckt|1= Schau dir die Infobox zu den bekannten Körpern noch einmal an.|minialternativtext=|2=Tipp|3=Einklappen}}|Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki>|3= Arbeitsmethode}}</nowiki>

<nowiki>{{Box|Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|An welchen Koordinaten liegen die Ecken des angegebenen Tetraeders? </nowiki>

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}

{{Lösung versteckt|1= Lies die Aufgabenstellung der App um die Höhe|minialternativtext=|2=Tipp|3=Einklappen}}

<br />

==Schrägbilder und Netze==

{{Box|Erinnerung: Schrägbilder und Körpernetze|{{Lösung versteckt|1= Körpernetze und Schrägbilder sind Darstellungshilfen, die man in der Geometrie benutzt. Durch ein Schrägbild wird auf einer ebenen Fläche ein Körper räumlich dargestellt. Beispielsweise kann man einen dreidimensionalen Körper auf einem zweidimensionalen Blatt Papier abbilden.
*Ein Körpernetz entsteht, wenn man den dreidimensionalen Körper an einigen Kanten aufschneiden und dann auseinanderklappen würde.
*Bei einem Schrägbild zeichnest du den Köper, wie der Name schon sagt, schräg von der Seite. Hierbei ist wichtig, dass die schrägen Linien meistens im Winkel von <math>45</math>° gezeichnet werden. Je nach Blickpunkt, verändert sich die Perspektive auf den Körper. Die verdeckten Linien, die man von vorne nicht sehen kann, werden gestrichelt dargestellt.|2=Infobox|3=Einklappen}}
|
Merksatz}}

{{Box|Erinnerung: Wie zeichnet man ein Schrägbild?|{{Lösung versteckt|1= Jeder Körper hat eine Grundfläche. Zum Zeichnen von Schrägbildern sollten mehrere Regeln berücksichtigt werden. Zunächst wird die Grundfläche des Körpers in der angegebenen Längeneinheit auf ein Blatt Papier übertragen. Die Längen, die in die Blattebene hinlaufen, werden verkürzt darstellt. Um die Längen zu verkürzen, multipliziert man die reale Länge der Kante mit einem Verkürzungsfaktor <math>q</math>. Der Verkürzungsfaktor <math>q</math> beträgt meistens <math>q= 0{,}5</math>. Zu beachten ist außerdem, dass die verkürzten Kanten schräg gezeichnet werden. Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundfläche und wird in der angegebenen Längeneinheit gezeichnet.|2=Infobox|3=Einklappen}}

Beispielkonstruktion eines Quaders:
<ggb_applet id="SQm8Xq3y" width="1009" height="483" border="888888" sdz="true" /><br />
|Merksatz}}<br />
==='''Übungen: Netze'''===

{{Box|1= Übung 1: Würfelnetze|2= Giovanni, Yasmin und Mehmet haben jeweils das Netz eines Würfels gezeichnet. Beurteile, ob die Körpernetze korrekt gezeichnet wurden.[[Datei:Lösung Würfelnetze.jpg|mini | alternativtext=|zentriert|500x500px]] {{Lösung versteckt|1=Stelle dir vor, dass du die Kanten aneinander klebst. Was kannst du ausschließen? Welche Eigenschaften kennst du, die hier nicht zutreffen?|2= Tipp|3=Einklappen}}Wer hat richtig gezeichnet?
<div class="multiplechoice-quiz">
(Giovanni und Yasmin) (!Alle) (!Yasmin und Mehmet) (!Giovanni und Mehmet)
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

<br />{{Box|Übung 2: Kanten kleben|Markiere die Kanten, die die gleiche Kantenlänge haben, in derselben Farbe!<ggb_applet id="dugsrtcf" width="1000" height="800" border="888888" sdz="true" />{{Lösung versteckt|1= Stell dir am Besten vor, wie du die Seiten des Netzes knicken und verkleben musst, damit der Körper eines Prismas entsteht.
|2=Tipp|3=Einklappen}}|Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box|1= Übung 3: Wahr- und Falschaussagen über Schrägbilder|2= Bestimme, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
<div class="multiplechoice-quiz">

Wenn ein Quader im Schrägbild dargestellt wird, dann sind die Deck- und die Grundfläche immer gleich groß. (wahr) (!falsch)

Es gibt mehr als eine Lösung für Körpernetze von Schrägbildern. (wahr) (!falsch)

Schrägbilder haben keine versteckten Ecken oder Kanten. (wahr) (!falsch)

Schrägbilder stellen geometrische Figuren auf dem Papier dar. (wahr) (!falsch)
</div>

Falls ihr eine Frage falsch beantwortet habt, könnt ihr hier noch einmal die Erklärung zu den Lösungen nachgucken.
{{Lösung versteckt|1=1) Bei der Konstruktion eines Quaders werden lediglich die nach hinten verlaufenden Kanten verkürzt dargestellt. Da Deck- und Grundfläche parallel zueinander liegen, sind sie immer gleichgroß.

2) Zu jedem Körper gibt es mehrere Netze. Je nach dem welche Kante aufgeschnitten wird, entsteht ein anderes Netz.

3) Wenn du das Schrägbild korrekt gezeichnet hast, dann solltest du aus verschiedenen Perspektiven immer alle Ecken und Kanten sehen können.

4) Du konstruierst Schrägbilder, um geometrische Figuren bzw. räumliche Körper auf dem Papier darzustellen.|2=Erklärungen|3=Einklappen|Farbe={{Farbe|orange}}}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Übung 4: Netze der bekannten Körper|
Für die folgende Aufgabe benötigst du einen gespitzten Bleistift, dein Heft und Geodreieck. Zeichne das Netz

'''a)''' einer Pyramide, welche aus vier gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge <math>2</math> cm und einer quadratischen Grundfläche mit Seitenlänge von <math>2</math> cm besteht.
{{Lösung versteckt|1= Beachte die Infobox zu Netzen. Wenn dir das nicht weiter hilft, scrolle ans Ende der Seite.|2= Tipp zu a)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Pyramidennetz a.jpg|mini]]|2= Lösung|3=Einklappen}}
'''b)''' eines Tetraeder mit Seitenlänge <math>2</math> cm.
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Infobox zu Netzen. Wenn dir das nicht weiter hilft, scrolle ans Ende der Seite.|2= Tipp zu b)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Tetraedernetz b.jpg|mini]]|2= Lösung|3=Einklappen}}
'''c)''' eines Quaders, welcher <math>1</math> cm breit, <math>2</math> cm lang und <math>1</math> cm hoch ist.
{{Lösung versteckt|1= Beachte die Infobox zu Netzen. Wenn dir das nicht weiter hilft, scrolle ans Ende der Seite.|2= Tipp zu c)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Quadernetz.jpg|mini]]|2= Lösung|3=Einklappen}}
'''d)''' eines dreieckigen Prismas, welches aus zwei gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge <math>1</math> cm besteht. Die Breite des Prismas soll <math>2</math> cm betragen.{{Lösung versteckt|1=Beachte die Infobox zu Netzen. Wenn dir das nicht weiter hilft, scrolle ans Ende der Seite.|2= Tipp zu d)|3=Einklappen}} {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Prismanetz d.jpg|mini|216x216px]]|2= Lösung|3=Einklappen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 5: Netze zusammenfalten|2= Sind die gegebenen Netze die Netze einer Pyramide? Die weiteren Netze erscheinen, wenn du den Regler auf der rechten Seite bewegst. <ggb_applet id="abxbyZSC" width="1062" height="524" border="888888" />

<div class="multiplechoice-quiz">

Netz 1 ist das Netz einer Pyramide. (wahr) (!falsch)

Netz 2 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

Netz 3 ist das Netz einer Pyramide. (wahr) (!falsch)

Netz 4 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

Netz 5 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)
</div>
{{Lösung versteckt|1=
*Netz 1 ist das Netz einer Pyramide, da alle Seiten der Dreiecke sich treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils gleich lang sind.
*Netz 2 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die längeren Seiten des höheren Dreiecks nicht mit den des weniger hohen Dreiecks übereinstimmen.
*Netz 3 ist das Netz einer Pyramide, da alle Seiten der Dreiecke sich treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils gleich lang sind.
*Netz 4 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die Seiten der Dreiecke sich nicht treffen, wenn man die Dreiecke nach unten versucht zusammenzuklappen, d.h. die benachbarten Seiten der Dreiecke sind jeweils nicht gleich lang.
*Netz 5 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die Seiten der Dreiecke sich nicht treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils nicht gleich lang sind.
|alternativtext=|2=Lösung|3=Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Übung 6: Netze von Prismen|Zeichne die folgenden Netze in dein Heft und ergänze fehlende Flächen, damit das Netz eines Prismas entsteht.[[Datei:Angefangene Netze eines Prismas.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]]

{{Lösung versteckt|1= Schau dir zunächst noch einmal an, wie ein Prisma aussieht und welche Flächen es hat. Dann überlege dir, welche Flächen in den gegebenen Netzen fehlen könnten.
|2=Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Vergleiche die angegebenen Lösungen mit deinen eigenen Netzen. Bei dieser Aufgabe solltest du beachten, dass die angegebenen Lösungen nur mögliche Lösungen sind. [[Datei:Aufgabe Prisma Lösung.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]] |2=Lösung|3=Einklappen}}|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
<br />

==='''Übungen: Schrägbilder'''===

<br />

{{Box|1=Übung 1: Memory|2=Gegeben sind Körpernetze und Schrägbilder. Finde die passenden Paare.

<div class="memo-quiz">

{{{!}}

{{!}}[[File:Square pyramid.png|thumb|Quadratische Pyramide|alternativtext=|125x125px]]{{!}}{{!}}[[Datei:Pyramide Netz 2.png|mini|alternativtext=|125x125px]]

{{!}}-

{{!}}[[File:120px-Hexahedron-slowturn.gif|thumb|120px-Hexahedron-slowturn|alt=120px-Hexahedron-slowturn.gif]]{{!}}{{!}}[[File:Hexahedron flat color.svg|thumb|Hexahedron flat color|alt=Hexahedron flat color.svg|144x144px]]

{{!}}-

{{!}}[[File:120px-Tetrahedron-slowturn.gif|thumb|120px-Tetrahedron-slowturn|alt=120px-Tetrahedron-slowturn.gif]]{{!}}{{!}}[[File:Tetrahedron flat.svg|thumb|Tetrahedron flat|alternativtext=|110x110px]]

{{!}}-

{{!}}[[File:Cuboid abcd.svg|thumb|Quader mit Raumdiagonale d|alternativtext=|125x125px]]{{!}}{{!}}[[File:QuaderNetz.svg|thumb|Auseinander geklapptes Netz eines Quaders|alternativtext=|131x131px]]

{{!}}-

{{!}}[[File:Triangular prism.svg|thumb|dreieckiges Prisma|alternativtext=|143x143px]]{{!}}{{!}}[[Datei:Desarrollo prisma triangular.png|mini|alternativtext=|125x125px]]

{{!}}}

</div>

{{Lösung versteckt|1= * Falls du nicht mehr weißt, wie die Schrägbilder der bekannten Körper aussehen, dann guck noch einmal in der Erinnerungsbox zu den bekannten Körpern nach.
* Falls du nicht mehr weißt, wie die Netze der bekannten Körper aussehen, dann guck noch einmal hier nach: Das Netz eines Quaders, dreieckigen Prismas, einer Pyramide und eines Tetraeders findest du in den Lösungen von Aufgabe "nach Konstruktion zeichnen". Das Netz eines Würfels siehst du, wenn du Aufgabe 1 zu Schrägbildern richtig gelöst hast.
|2=Tipp |3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Übung 2: Schrägbild zeichnen|Wie sieht das Schrägbild des folgenden Körpernetzes aus? Zeichne die Lösung in dein Heft und überprüfe dein Ergebnis mit der angegebenen Lösung.[[Datei:Körpernetz Quader.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]]

{{Lösung versteckt|1= Falls du keine Idee hast, um welchen Körper es sich hier handeln könnte, schau dir oben noch einmal die Erinnerung der bekannten Körper an.
|2=Tipp 1|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Wenn du das Netz einem Körper zu ordnen konntest, dann überlege dir welche Seiten zu einander parallel sind.
|2=Tipp 2|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Das angegebene Netz ist das Netz eines Quaders. Jetzt solltest du es mit den angegebenen Längeneinheiten zeichnen können.
|2=Tipp 3|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Vergleiche die angegebene Lösung mit deiner Lösung im Heft. [[Datei:Aufgabe Lösung.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]] |2=Lösung|3=Einklappen}}|Arbeitsmethode| }}

{{Box|Übung 3: Zeichnung eines Netzes|Zeichne das Netz des folgenden Schrägbildes und benutze die angegebenen Längen. Zeichne das Netz in dein Heft.[[Datei:Schrägbild Trapezprisma.jpg|zentriert|mini]]
{{Lösung versteckt|Fange mit der größten quadratischen Grundfläche an, und überlege, wie du von hieraus ein Netz formen kannst.|2=Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|Welche Kanten des Körper musst du ,,einschneiden" um das Netz zu formen? Überlege dir, was passiert, wenn du einige Kanten ,,einschneidest". Entsteht so dein Körpernetz?|2=Tipp 2|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|,,Schneide" alle Kanten ein, die senkrecht von der quadratischen Grundfläche hochführen. Trenne nun die nicht-rechteckigen Seitenflächen der Grundfläche von der gegenüberliegenden Fläche der Grundfläche. Nun muss nur noch eine Kante ,,eingeschnitten" werden, um das Körpernetz zu erhalten.|2=Tipp 3|3=Einklappen}} {{Lösung versteckt|[[Datei:Netz Trapezprisma.jpg|zentriert|mini]] So sieht eine mögliche Lösung des Körpernetztes des gegebenen Schrägbildes aus. Die Seiten, die senkrecht der Grundfläche hochgehen, wurden ,,eingeschnitten". Danach wurden die anliegenden nicht-rechteckigen Seiten der Grundfläche von der gegenüberliegenden Fläche der Grundfläche getrennt. Als letztes wurde eine rechteckige Seitenfläche der Grundfläche von der gegenüberliegenden Fläche der Grundfläche getrennt.|2=Lösung|3=Einklappen}}
|Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|Übung 4: Schrägbilder korrigieren| Sofia hat im Unterricht das Schrägbild eines dreieckigen Prismas und eines Quaders, sowie Schrägbilder zweier Pyramiden gezeichnet. Beurteile, ob die Schrägbilder richtig sind. Falls sie falsch sind, finde die Fehler und korrigiere die Schrägbilder.[[Datei:Falsche Figuren.jpg|mini|alternativtext=|zentriert|300x300px]]
{{Lösung versteckt|*[[Datei:Fehler Pyramide.jpg|mini]] Figur 1: Die versteckten Linien wurden nicht gestrichelt gezeichnet.
*[[Datei:Fehler Quader.jpg|mini]] Figur 2: Hier liegt der Fehler darin, dass die markierten Längen, die in die Blattebene hinlaufen, auf der linken Seite des Quaders nicht denselben Winkel haben wie die anderen beiden, die in die Blattebene laufen, auf der rechten Seite. (Hier hättest du genauso gut die anderen beiden Längen, die in Blattebene hineinlaufen, auf der rechten Seite als Fehler markieren können.) Weiterhin wurde die hintere versteckte Linien nicht gestrichelt gezeichnet.
*[[Datei:Fehler Prisma.jpg|mini]] Figur 3: Hier sehen wir, dass die markierte Länge, die in die Blattebene hinlaufen, nicht denselben Winkel haben wie die anderen beiden, die in die Blattebene laufen. Somit verändert sich auch die eine Seite des hinteren Dreiecks.
* Figur 4 wurde richtig gezeichnet.
|2=Fehler|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Korrektur1.jpg|mini]]|2=Korrektur|3=Einklappen}}|Arbeitsmethode|}}

{{Box|
1= Übung 5: Zeichnen und Messen - Quader|
2= Ein Quader hat eine Länge von <math>8</math> cm, eine Breite von <math>8</math> cm und eine Höhe von <math>4</math> cm. Zeichne sein Schrägbild in dein Heft und miss mit dem Lineal nach, wie weit die Ecke unten links vorn von der Ecke oben rechts hinten entfernt ist.

<div class="multiplechoice-quiz">
Die gesuchte Strecke ist
(<math>12{,}8</math> cm lang.) (!<math>10{,}1</math> cm lang.) (!<math>14{,}3</math> cm lang.) (!<math>8{,}6</math> cm lang.)
</div>

{{Lösung versteckt|1= Zunächst zeichnest du in wahrer Länge die Vorderseite des Quaders. Das Rechteck hat dann eine Länge von <math>8</math> cm und eine Höhe von <math>4</math> cm.
|2=Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Im zweiten Schritt zeichnest du von den vier Eckpunkten jeweils eine Hilfsgerade im Neigungswinkel <math>45</math>°.
|2=Tipp 2|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Jetzt multiplizierst du die angegebene Breite mit dem Verkürzungsfaktor <math>q = 0{,}5</math>. Die errechnete Kantenlänge von <math>4</math> cm soll jetzt die Länge der Hilfsgeraden darstellen. Hier passt du deine anfänglich gezeichneten Hilfsgeraden an die Länge von <math>4</math> cm an.
|2=Tipp 3|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Die neu konstruierten Punkte verbindest du abschließend noch miteinander und zeichnest die nicht sichtbaren Linien gestrichelt ein. |2=Tipp 4 |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Die gesuchte Strecke beträgt <math>12{,}8</math> cm.[[Datei:Lösungsskizze.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]] |2=Lösung|3=Einklappen}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 6: Zeichnen und Messen - Prisma| 2= Ein gleichseitiges Prisma hat eine Seitenlänge von <math>a=6</math> cm und eine Höhe von <math>h=5</math> cm. Zeichne das Schrägbild in dein Heft und miss mit dem Lineal nach, wie weit die vordere Ecke unten rechts von der hinteren Ecke oben entfernt ist.
<div class="multiplechoice-quiz">
Die gesuchte Strecke ist
(<math>6{,}9</math> cm lang.) (!<math>5{,}3</math> cm lang.) (!<math>7{,}4</math> cm lang.) (!<math>5{,}8</math> cm lang.)
</div>
{{Lösung versteckt|1= Zunächst zeichnest du die Strecke <math>AB=6</math> cm in wahrer Länge.
|2=Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Da es sich bei dem Körper um ein gleichseitiges Prisma handelt, schneidet die Höhe die Strecke <math>AB</math> genau im Mittelpunkt <math>P</math>. Von diesem Punkt <math>P</math> ziehst du nun in einem Winkel von <math>45</math>° eine Hilfslinie. Um die Länge der Hilfslinie zu ermitteln, multiplizierst du die angegebene Höhe mit <math>0{,}5</math> . Hier hätte die Strecke dann eine Länge von <math>2{,}5</math> cm.
|2=Tipp 2|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Jetzt verbindest du den entstandenen Punkt <math>C</math> mit den Punkten <math>A</math> und <math>B</math>, um die Grundfläche des Prismas zu erhalten.
|2=Tipp 3|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Nun zeichnest du jeweils von den Punkten <math>A, B</math>, und <math>C</math> eine senkrechte Linie, die der Höhe von <math>5</math> cm entspricht. Um die Konstruktion abzuschließen, verbindest du die weiteren Eckpunkte miteinander.|2=Tipp 4 |3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Die gesuchte Strecke beträgt <math>6{,}9</math> cm.[[Datei:Aufgabe Lösung Prisma.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]]|2=Lösung|3=Einklappen}} |3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Übung 7: nach Konstruktionsbeschreibung zeichnen|Für diese Aufgabe benötigst du einen gespitzten Bleistift, Heft und Geodreieck. Zeichne eine Pyramide mithilfe folgender Konstruktionsbeschreibung. Die Kantenlängen kannst du frei wählen.

''Schritt 1:'' Die quadratische Grundfläche der Pyramide wird als Parallelogramm <math>ABCD</math> gezeichnet. Dabei werden die nach hinten verlaufenden Kanten im Winkel von <math>45</math>° gezeichnet und in ihrer Länge halbiert.

''Schritt 2:'' Die Spitze <math>S</math> der Pyramide wird senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche <math>ABCD</math> angenommen.

''Schritt 3:'' Die Spitze <math>S</math> der Pyramide wird mit den Eckpunkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> der Grundfläche verbunden. Sichtbare Linien werden durchgezeichnet. Nicht sichtbare Linien werden punktiert.
{{Lösung versteckt|1= Weil die Lösung nicht in dieser Box angezeigt werden kann, scrolle ganz ans Ende der Seite, um die Lösung zu sehen.|2=Lösung|3=Einklappen}}|Arbeitsmethode}}

==Unmögliche Figuren==

{{Box|Unmögliche Figuren|Falls du dir unsicher bist, was unmögliche Figuren sind, lies dir die Infobox einmal durch.{{Lösung versteckt|1= '''Unmögliche Figuren''' sind grafisch zweidimensionale Figuren, die dreidimensional erscheinen aber als Körper in der Realität nicht existieren können. Die geometrischen, dreidimensionalen Objekte kann man in der Realität gar nicht herstellen. Gezeichnet werden können sie auf (dem zweidimensionalen) Papier aber ohne Probleme. Bei den Figuren handelt es sich meist um optische Täuschungen.|2=Infobox|3=Einklappen}}'''<big>Beispiele von unmöglichen Figuren:</big>'''

{{2Spalten
|[[Datei:Lattenkiste_a.jpg|alternativtext=|ohne|mini|193x193px|Die unmögliche Lattenkiste]]
|[[Datei:Impossible_cube_illusion_angle.svg|alternativtext=|mini|Unmöglicher Würfel|ohne|199x199px]]
}}|
Merksatz}}

{{Box|Idee| 2 = Vielleicht kennst du ja auch schon ein paar unmögliche Figuren, natürlich nicht aus unserer Realität, aber ja aus Filmen? Eine der obigen Figuren kommt zum Beispiel in einer Szene aus ''Inception'' (2010) vor, die du dir hier auf YouTube angucken kannst:{{#ev:youtube|dvSD1EAlAUQ}}|3 = Hervorhebung1| Farbe={{Farbe|gelb}}}}

===Übungen: unmögliche Figuren===

{{Box|1=Übung 1: Erkennst du die unmöglichen Figuren? |2=Im unteren Kasten siehst du unmögliche Figuren und nicht unmögliche Figuren. Bestimme, ob die Figuren unmöglich sind oder nicht. Ziehe dafür das Bild in den zugehörigen Kasten.

<div class="zuordnungs-quiz">

{{{!}}

{{!}}unmögliche Figuren {{!}}{{!}} [[File:Impossible cube illusion angle.svg|thumb|alternativtext=|154x154px]] {{!}}{{!}} [[File:Reutersvärd’s triangle.svg|thumb|alternativtext=|150x150px]]{{!}}{{!}}[[File:Blivet.png|thumb|alternativtext=|200x200px]]{{!}}{{!}}[[File:Impossible staircase.svg|thumb|alternativtext=|200x200px]]

{{!}}-

{{!}}geometrische Körper/Konstruktionen{{!}}{{!}} [[Datei:Cube-2351867 640.jpg|mini|alternativtext=|200x200px]] {{!}}{{!}} [[File:Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0005.JPG|thumb|alternativtext=|200x200px]] {{!}}{{!}} [[Datei:Treppe-zp-beisp1.svg|mini|167x167px]]

{{!}}}

</div>

|3=Arbeitsmethode}}

<br />

{{Box|Übung 2: Aus unmöglich mach möglich!|Wie müsste man den unmöglichen Würfel verändern, damit diese/r keine unmögliche Figur mehr ist? [[Datei:Impossible_cube_illusion_angle.svg|alternativtext=|mini|Unmöglicher Würfel|ohne|199x199px]]{{Lösung versteckt|1= Man müsste die hinteren Seitenkannten des Würfels zerschneiden, um die vorderen an dieser Stelle sichtbar zu machen. Einen echten, nicht unmöglichen Würfel siehst du hier:
[[Datei:Cube-2351867 640.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]]|2=Lösung|3=Einklappen}}
|Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box | Übung 3: Das Penrose-Dreieck|Betrachte das sogenannte Penrose-Dreieck. Welche Besonderheiten fallen dir auf? Wordurch wird die optische Täuschung hervorgerufen? Welches mathematische Gesetz zeigt, dass das Dreieck im Dreidimensionalen nicht existieren kann? Beantworte im Heft.[[Datei:Penrose triangle.svg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1=In welchem Winkel stehen die Seiten des Dreiecks aufeinander?|2=Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=Was ist die Winkelsumme eines "möglichen" Dreiecks?|2=Tipp 2|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=Das Penrose-Dreieck hat drei Seiten, die jeweils im rechten Winkel zueinander stehen und dennoch zu einem Dreieck verbunden sind. Damit verstößt es gegen mehrere mathematische Gesetze der Geometrie. Zum Beispiel beträgt die Winkelsumme in einem Dreieck immer <math>180</math>°.|2=Lösung|3=Einklappen}}|Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

<br />

===Quellen===
{{Lösung versteckt|1= *https://learnattack.de/mathematik/koerpernetz-und-schraegbild-von-koerpern#video-was-sind-schr%C3%A4gbild-und-netz-eines-k%C3%B6rpers
*https://www.geogebra.org/m/a7wZdw5C#material/Qf9yn4sG
*https://www.geogebra.org/m/SQm8Xq3y
*https://www.geogebra.org/m/ab93zf9g
*https://www.geogebra.org/m/nc7KHTJt
*https://www.geogebra.org/material/show/id/ab93zf9g#
*https://www.geogebra.org/material/show/id/Z57aCNpm#
*https://www.youtube.com/watch?v=dvSD1EAlAUQ
*https://www.klippert-medien.de/media/ntx/klippert/sample/09108DA5_Musterseite.pdf
*https://nl.wikipedia.org/wiki/Onmogelijke_figuur#/media/Bestand:Blivet.png
*https://de.wikipedia.org/wiki/Unm%C3%B6gliche_Figur#/media/Datei:Impossible_staircase.svg
*https://de.wikipedia.org/wiki/Penrose-Dreieck#/media/Datei:Deutsches_Technikmuseum_Berlin_February_2008_0005.JPG
*https://es.wikipedia.org/wiki/Objeto_imposible#/media/Archivo:Reutersv%C3%A4rd%E2%80%99s_triangle.svg
*https://es.wikipedia.org/wiki/Objeto_imposible#/media/Archivo:Impossible_cube_illusion_angle.svg|2=Orientiert an|3=Einklappen}}

<br />
===Geogebra Applets===

======Pyramidenaufgabe Übung 6 Lösung======
<ggb_applet id="Z57aCNpm" width="750" height="550" border="888888" />
======Netzaufgabe Übung 4 a Tipp======
<ggb_applet id="Jhc3FeP8" width="750" height="550" border="888888" />
======Netzaufgabe Übung 4 b Tipp======
<ggb_applet id="QU97VcUE" width="950" height="550" border="888888" />
======Netzaufgabe Übung 4 c Tipp======
<ggb_applet id="UaEEaDy7" width="800" height="550" border="888888" />
======Netzaufgabe Übung 4 d Tipp======
<ggb_applet id="EwEjZUYn" width="869" height="486" border="888888" />

{{Box|1=Aufgabe 8 - Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{a) <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} </math>}
- 4
+ 5
- 6
- 7

{b) <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- 11
- 12
+ 13
- 14

{c) <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- 1
- 2
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> frac 1 2 </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{a)<math> A(2|-4|1) </math> und <math> B(4|-4|-2) </math>}
+ 3
- 6
- 9
- 12

{b)<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- 9,5
+ 7
- 8
- 6,5
</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|gelb|dunkel}}}}

{{Box|1=|2=
<quiz display="simple">
{Gegeben ist ein Dreieck <math> ABC </math> mit den Punkten <math> A(-3|0|-2) </math> <math> B(1|2|2) </math> und <math> C(-3|3|2) </math> . Berechne den Umfang des Dreiecks.}
- 14,123
- 11,256
+ 15,123
- 13,894
</quiz>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 9 - Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|gelb|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 10: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=|3=Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.

Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung''' und wird zum '''Gegenvektor'''.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''unterschiedliche''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>

{{Box|1= Aufgabe 11 - Für die ganz Schnellen eine Knobelaufgabe: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3,5|3,5|1)</math> und <math> C(6,5|2,5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|-1)</math>
- <math> P(-7|-3|1)</math>
- <math> P(5|2|-3)</math>
- <math> P(-5|-2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf und mach dir zunächst klar welche Seite die Basis des Dreieicks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gegenüberliegende Seiten sind in einer Raute gleich lang.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) wir betrachten nun wieder das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> solls o gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|-1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf <math> ABC </math> und überleg dir wie ein Parallelogram entstehen könnte. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Sei dir bewusst, dass es auch Gegenvektoren gibt.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-04-29T13:24:54Z

Georg WWU-8:

{{Box|1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du etwas über '''Punkte und Vektoren im Raum''' lernen und wirst erfahren, was Schrägbilder und Netze von geometrischen Körpern sind und wie du sie zeichnen kannst. Ebenfalls erwartet dich in diesem Kapitel, was unmögliche Figuren sind und woran du diese erkennen kannst. Dir stehen eine Vielzahl an verschiedenen Aufgaben zum Üben zur Verfügung.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

*In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.

*Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.

*Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung von Punkten und Vektoren==
{{Box|Erinnerung: Punkte und Vektoren im Raum|{{Lösung versteckt|1= Diesdas Lennarts machts|2=Infobox|3=Einklappen}}|
Merksatz}}

==Das dreidimensionale Koordinatensystem==

<div class="lueckentext-quiz">

Beim '''Erweitern''' und Kürzen muss man
Zähler und '''Nenner''' mit der gleichen
Zahl multiplizieren bzw. dividieren.

</div>

{{Box|Erinnerung: Bekannte Körper|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Schrägbild eines Würfels.svg|alternativtext=Würfel|mini|106x106px]]
Der '''Würfel''' besteht aus sechs gleichgroßen Flächen. Zudem besitzt der Würfel 12 gleichlange Kanten und acht Ecken.<br />

[[Datei:Quader quadratische Grundfläche.png|mini|116x116px]]
Der '''Quader''' besteht aus sechs rechteckigen Seitenflächen, die im rechten Winkel aufeinander stehen. Die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils parallel und gleich groß.<br />

|2=Infobox|3=Einklappen}}|
Merksatz}}

<nowiki>{{Box|1 = Übung 1: Lückentext Körper|2= Ziehe die korrekten Wörter in die jeweiligen Lücken.</nowiki><br /><div class="lueckentext-quiz">
Im '''Schrägbild''' nimmt man Körper auf der ebenen Fläche '''räumlich''' wahr.

Die '''Vorderseite''' des Quaders solltest du in '''Originalgröße''' zeichnen. Wenn der Quader eine '''Länge''' von 8 cm und eine Höhe von 2 cm hat, ist das '''Rechteck''', das du als seine Vorderseite zeichnest, 8 cm breit und 2 cm hoch.

Ein Würfel hat '''8''' Ecken, '''6''' Flächen und '''12''' Kanten. Außerdem sind alle Kanten '''gleich''' lang und alle Flächen '''quadratisch'''. Auch sind die Flächen '''gleich''' groß.

Eine Pyramide ist ein Körper, der aus einem Vieleck (Drei-, Vier-, Fünfeck usw.) und mehreren '''Dreiecken''' besteht. Das Vieleck bildet die '''Grundfläche''' und die Dreiecke die '''Mantelfläche''' der Pyramide.
</div> {{Lösung versteckt|1= Schau dir die Infobox zu den bekannten Körpern noch einmal an.|minialternativtext=|2=Tipp|3=Einklappen}}|Farbe={{Farbe|orange}}<nowiki>|3= Arbeitsmethode}}</nowiki>

<nowiki>{{Box|Übung 2: Punkte im Koordinatensystem|An welchen Koordinaten liegen die Ecken des angegebenen Tetraeders? </nowiki>

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=2531036}}

{{Lösung versteckt|1= Lies die Aufgabenstellung der App um die Höhe|minialternativtext=|2=Tipp|3=Einklappen}}

<br />

==Schrägbilder und Netze==

{{Box|Erinnerung: Schrägbilder und Körpernetze|{{Lösung versteckt|1= Körpernetze und Schrägbilder sind Darstellungshilfen, die man in der Geometrie benutzt. Durch ein Schrägbild wird auf einer ebenen Fläche ein Körper räumlich dargestellt. Beispielsweise kann man einen dreidimensionalen Körper auf einem zweidimensionalen Blatt Papier abbilden.
*Ein Körpernetz entsteht, wenn man den dreidimensionalen Körper an einigen Kanten aufschneiden und dann auseinanderklappen würde.
*Bei einem Schrägbild zeichnest du den Köper, wie der Name schon sagt, schräg von der Seite. Hierbei ist wichtig, dass die schrägen Linien meistens im Winkel von <math>45</math>° gezeichnet werden. Je nach Blickpunkt, verändert sich die Perspektive auf den Körper. Die verdeckten Linien, die man von vorne nicht sehen kann, werden gestrichelt dargestellt.|2=Infobox|3=Einklappen}}
|
Merksatz}}

{{Box|Erinnerung: Wie zeichnet man ein Schrägbild?|{{Lösung versteckt|1= Jeder Körper hat eine Grundfläche. Zum Zeichnen von Schrägbildern sollten mehrere Regeln berücksichtigt werden. Zunächst wird die Grundfläche des Körpers in der angegebenen Längeneinheit auf ein Blatt Papier übertragen. Die Längen, die in die Blattebene hinlaufen, werden verkürzt darstellt. Um die Längen zu verkürzen, multipliziert man die reale Länge der Kante mit einem Verkürzungsfaktor <math>q</math>. Der Verkürzungsfaktor <math>q</math> beträgt meistens <math>q= 0{,}5</math>. Zu beachten ist außerdem, dass die verkürzten Kanten schräg gezeichnet werden. Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundfläche und wird in der angegebenen Längeneinheit gezeichnet.|2=Infobox|3=Einklappen}}

Beispielkonstruktion eines Quaders:
<ggb_applet id="SQm8Xq3y" width="1009" height="483" border="888888" sdz="true" /><br />
|Merksatz}}<br />
==='''Übungen: Netze'''===

{{Box|1= Übung 1: Würfelnetze|2= Giovanni, Yasmin und Mehmet haben jeweils das Netz eines Würfels gezeichnet. Beurteile, ob die Körpernetze korrekt gezeichnet wurden.[[Datei:Lösung Würfelnetze.jpg|mini | alternativtext=|zentriert|500x500px]] {{Lösung versteckt|1=Stelle dir vor, dass du die Kanten aneinander klebst. Was kannst du ausschließen? Welche Eigenschaften kennst du, die hier nicht zutreffen?|2= Tipp|3=Einklappen}}Wer hat richtig gezeichnet?
<div class="multiplechoice-quiz">
(Giovanni und Yasmin) (!Alle) (!Yasmin und Mehmet) (!Giovanni und Mehmet)
</div>|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

<br />{{Box|Übung 2: Kanten kleben|Markiere die Kanten, die die gleiche Kantenlänge haben, in derselben Farbe!<ggb_applet id="dugsrtcf" width="1000" height="800" border="888888" sdz="true" />{{Lösung versteckt|1= Stell dir am Besten vor, wie du die Seiten des Netzes knicken und verkleben musst, damit der Körper eines Prismas entsteht.
|2=Tipp|3=Einklappen}}|Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box|1= Übung 3: Wahr- und Falschaussagen über Schrägbilder|2= Bestimme, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
<div class="multiplechoice-quiz">

Wenn ein Quader im Schrägbild dargestellt wird, dann sind die Deck- und die Grundfläche immer gleich groß. (wahr) (!falsch)

Es gibt mehr als eine Lösung für Körpernetze von Schrägbildern. (wahr) (!falsch)

Schrägbilder haben keine versteckten Ecken oder Kanten. (wahr) (!falsch)

Schrägbilder stellen geometrische Figuren auf dem Papier dar. (wahr) (!falsch)
</div>

Falls ihr eine Frage falsch beantwortet habt, könnt ihr hier noch einmal die Erklärung zu den Lösungen nachgucken.
{{Lösung versteckt|1=1) Bei der Konstruktion eines Quaders werden lediglich die nach hinten verlaufenden Kanten verkürzt dargestellt. Da Deck- und Grundfläche parallel zueinander liegen, sind sie immer gleichgroß.

2) Zu jedem Körper gibt es mehrere Netze. Je nach dem welche Kante aufgeschnitten wird, entsteht ein anderes Netz.

3) Wenn du das Schrägbild korrekt gezeichnet hast, dann solltest du aus verschiedenen Perspektiven immer alle Ecken und Kanten sehen können.

4) Du konstruierst Schrägbilder, um geometrische Figuren bzw. räumliche Körper auf dem Papier darzustellen.|2=Erklärungen|3=Einklappen|Farbe={{Farbe|orange}}}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Übung 4: Netze der bekannten Körper|
Für die folgende Aufgabe benötigst du einen gespitzten Bleistift, dein Heft und Geodreieck. Zeichne das Netz

'''a)''' einer Pyramide, welche aus vier gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge <math>2</math> cm und einer quadratischen Grundfläche mit Seitenlänge von <math>2</math> cm besteht.
{{Lösung versteckt|1= Beachte die Infobox zu Netzen. Wenn dir das nicht weiter hilft, scrolle ans Ende der Seite.|2= Tipp zu a)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Pyramidennetz a.jpg|mini]]|2= Lösung|3=Einklappen}}
'''b)''' eines Tetraeder mit Seitenlänge <math>2</math> cm.
{{Lösung versteckt|1=Beachte die Infobox zu Netzen. Wenn dir das nicht weiter hilft, scrolle ans Ende der Seite.|2= Tipp zu b)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Tetraedernetz b.jpg|mini]]|2= Lösung|3=Einklappen}}
'''c)''' eines Quaders, welcher <math>1</math> cm breit, <math>2</math> cm lang und <math>1</math> cm hoch ist.
{{Lösung versteckt|1= Beachte die Infobox zu Netzen. Wenn dir das nicht weiter hilft, scrolle ans Ende der Seite.|2= Tipp zu c)|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Quadernetz.jpg|mini]]|2= Lösung|3=Einklappen}}
'''d)''' eines dreieckigen Prismas, welches aus zwei gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge <math>1</math> cm besteht. Die Breite des Prismas soll <math>2</math> cm betragen.{{Lösung versteckt|1=Beachte die Infobox zu Netzen. Wenn dir das nicht weiter hilft, scrolle ans Ende der Seite.|2= Tipp zu d)|3=Einklappen}} {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Prismanetz d.jpg|mini|216x216px]]|2= Lösung|3=Einklappen}}
|Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 5: Netze zusammenfalten|2= Sind die gegebenen Netze die Netze einer Pyramide? Die weiteren Netze erscheinen, wenn du den Regler auf der rechten Seite bewegst. <ggb_applet id="abxbyZSC" width="1062" height="524" border="888888" />

<div class="multiplechoice-quiz">

Netz 1 ist das Netz einer Pyramide. (wahr) (!falsch)

Netz 2 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

Netz 3 ist das Netz einer Pyramide. (wahr) (!falsch)

Netz 4 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)

Netz 5 ist das Netz einer Pyramide. (!wahr) (falsch)
</div>
{{Lösung versteckt|1=
*Netz 1 ist das Netz einer Pyramide, da alle Seiten der Dreiecke sich treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils gleich lang sind.
*Netz 2 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die längeren Seiten des höheren Dreiecks nicht mit den des weniger hohen Dreiecks übereinstimmen.
*Netz 3 ist das Netz einer Pyramide, da alle Seiten der Dreiecke sich treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils gleich lang sind.
*Netz 4 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die Seiten der Dreiecke sich nicht treffen, wenn man die Dreiecke nach unten versucht zusammenzuklappen, d.h. die benachbarten Seiten der Dreiecke sind jeweils nicht gleich lang.
*Netz 5 ist nicht das Netz einer Pyramide, da die Seiten der Dreiecke sich nicht treffen, d.h. dass die benachbarten Seiten der Dreiecke jeweils nicht gleich lang sind.
|alternativtext=|2=Lösung|3=Einklappen}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Übung 6: Netze von Prismen|Zeichne die folgenden Netze in dein Heft und ergänze fehlende Flächen, damit das Netz eines Prismas entsteht.[[Datei:Angefangene Netze eines Prismas.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]]

{{Lösung versteckt|1= Schau dir zunächst noch einmal an, wie ein Prisma aussieht und welche Flächen es hat. Dann überlege dir, welche Flächen in den gegebenen Netzen fehlen könnten.
|2=Tipp|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Vergleiche die angegebenen Lösungen mit deinen eigenen Netzen. Bei dieser Aufgabe solltest du beachten, dass die angegebenen Lösungen nur mögliche Lösungen sind. [[Datei:Aufgabe Prisma Lösung.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]] |2=Lösung|3=Einklappen}}|Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}
<br />

==='''Übungen: Schrägbilder'''===

<br />

{{Box|1=Übung 1: Memory|2=Gegeben sind Körpernetze und Schrägbilder. Finde die passenden Paare.

<div class="memo-quiz">

{{{!}}

{{!}}[[File:Square pyramid.png|thumb|Quadratische Pyramide|alternativtext=|125x125px]]{{!}}{{!}}[[Datei:Pyramide Netz 2.png|mini|alternativtext=|125x125px]]

{{!}}-

{{!}}[[File:120px-Hexahedron-slowturn.gif|thumb|120px-Hexahedron-slowturn|alt=120px-Hexahedron-slowturn.gif]]{{!}}{{!}}[[File:Hexahedron flat color.svg|thumb|Hexahedron flat color|alt=Hexahedron flat color.svg|144x144px]]

{{!}}-

{{!}}[[File:120px-Tetrahedron-slowturn.gif|thumb|120px-Tetrahedron-slowturn|alt=120px-Tetrahedron-slowturn.gif]]{{!}}{{!}}[[File:Tetrahedron flat.svg|thumb|Tetrahedron flat|alternativtext=|110x110px]]

{{!}}-

{{!}}[[File:Cuboid abcd.svg|thumb|Quader mit Raumdiagonale d|alternativtext=|125x125px]]{{!}}{{!}}[[File:QuaderNetz.svg|thumb|Auseinander geklapptes Netz eines Quaders|alternativtext=|131x131px]]

{{!}}-

{{!}}[[File:Triangular prism.svg|thumb|dreieckiges Prisma|alternativtext=|143x143px]]{{!}}{{!}}[[Datei:Desarrollo prisma triangular.png|mini|alternativtext=|125x125px]]

{{!}}}

</div>

{{Lösung versteckt|1= * Falls du nicht mehr weißt, wie die Schrägbilder der bekannten Körper aussehen, dann guck noch einmal in der Erinnerungsbox zu den bekannten Körpern nach.
* Falls du nicht mehr weißt, wie die Netze der bekannten Körper aussehen, dann guck noch einmal hier nach: Das Netz eines Quaders, dreieckigen Prismas, einer Pyramide und eines Tetraeders findest du in den Lösungen von Aufgabe "nach Konstruktion zeichnen". Das Netz eines Würfels siehst du, wenn du Aufgabe 1 zu Schrägbildern richtig gelöst hast.
|2=Tipp |3=Einklappen}}
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Übung 2: Schrägbild zeichnen|Wie sieht das Schrägbild des folgenden Körpernetzes aus? Zeichne die Lösung in dein Heft und überprüfe dein Ergebnis mit der angegebenen Lösung.[[Datei:Körpernetz Quader.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]]

{{Lösung versteckt|1= Falls du keine Idee hast, um welchen Körper es sich hier handeln könnte, schau dir oben noch einmal die Erinnerung der bekannten Körper an.
|2=Tipp 1|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Wenn du das Netz einem Körper zu ordnen konntest, dann überlege dir welche Seiten zu einander parallel sind.
|2=Tipp 2|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Das angegebene Netz ist das Netz eines Quaders. Jetzt solltest du es mit den angegebenen Längeneinheiten zeichnen können.
|2=Tipp 3|3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Vergleiche die angegebene Lösung mit deiner Lösung im Heft. [[Datei:Aufgabe Lösung.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]] |2=Lösung|3=Einklappen}}|Arbeitsmethode| }}

{{Box|Übung 3: Zeichnung eines Netzes|Zeichne das Netz des folgenden Schrägbildes und benutze die angegebenen Längen. Zeichne das Netz in dein Heft.[[Datei:Schrägbild Trapezprisma.jpg|zentriert|mini]]
{{Lösung versteckt|Fange mit der größten quadratischen Grundfläche an, und überlege, wie du von hieraus ein Netz formen kannst.|2=Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|Welche Kanten des Körper musst du ,,einschneiden" um das Netz zu formen? Überlege dir, was passiert, wenn du einige Kanten ,,einschneidest". Entsteht so dein Körpernetz?|2=Tipp 2|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|,,Schneide" alle Kanten ein, die senkrecht von der quadratischen Grundfläche hochführen. Trenne nun die nicht-rechteckigen Seitenflächen der Grundfläche von der gegenüberliegenden Fläche der Grundfläche. Nun muss nur noch eine Kante ,,eingeschnitten" werden, um das Körpernetz zu erhalten.|2=Tipp 3|3=Einklappen}} {{Lösung versteckt|[[Datei:Netz Trapezprisma.jpg|zentriert|mini]] So sieht eine mögliche Lösung des Körpernetztes des gegebenen Schrägbildes aus. Die Seiten, die senkrecht der Grundfläche hochgehen, wurden ,,eingeschnitten". Danach wurden die anliegenden nicht-rechteckigen Seiten der Grundfläche von der gegenüberliegenden Fläche der Grundfläche getrennt. Als letztes wurde eine rechteckige Seitenfläche der Grundfläche von der gegenüberliegenden Fläche der Grundfläche getrennt.|2=Lösung|3=Einklappen}}
|Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box|Übung 4: Schrägbilder korrigieren| Sofia hat im Unterricht das Schrägbild eines dreieckigen Prismas und eines Quaders, sowie Schrägbilder zweier Pyramiden gezeichnet. Beurteile, ob die Schrägbilder richtig sind. Falls sie falsch sind, finde die Fehler und korrigiere die Schrägbilder.[[Datei:Falsche Figuren.jpg|mini|alternativtext=|zentriert|300x300px]]
{{Lösung versteckt|*[[Datei:Fehler Pyramide.jpg|mini]] Figur 1: Die versteckten Linien wurden nicht gestrichelt gezeichnet.
*[[Datei:Fehler Quader.jpg|mini]] Figur 2: Hier liegt der Fehler darin, dass die markierten Längen, die in die Blattebene hinlaufen, auf der linken Seite des Quaders nicht denselben Winkel haben wie die anderen beiden, die in die Blattebene laufen, auf der rechten Seite. (Hier hättest du genauso gut die anderen beiden Längen, die in Blattebene hineinlaufen, auf der rechten Seite als Fehler markieren können.) Weiterhin wurde die hintere versteckte Linien nicht gestrichelt gezeichnet.
*[[Datei:Fehler Prisma.jpg|mini]] Figur 3: Hier sehen wir, dass die markierte Länge, die in die Blattebene hinlaufen, nicht denselben Winkel haben wie die anderen beiden, die in die Blattebene laufen. Somit verändert sich auch die eine Seite des hinteren Dreiecks.
* Figur 4 wurde richtig gezeichnet.
|2=Fehler|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Korrektur1.jpg|mini]]|2=Korrektur|3=Einklappen}}|Arbeitsmethode|}}

{{Box|
1= Übung 5: Zeichnen und Messen - Quader|
2= Ein Quader hat eine Länge von <math>8</math> cm, eine Breite von <math>8</math> cm und eine Höhe von <math>4</math> cm. Zeichne sein Schrägbild in dein Heft und miss mit dem Lineal nach, wie weit die Ecke unten links vorn von der Ecke oben rechts hinten entfernt ist.

<div class="multiplechoice-quiz">
Die gesuchte Strecke ist
(<math>12{,}8</math> cm lang.) (!<math>10{,}1</math> cm lang.) (!<math>14{,}3</math> cm lang.) (!<math>8{,}6</math> cm lang.)
</div>

{{Lösung versteckt|1= Zunächst zeichnest du in wahrer Länge die Vorderseite des Quaders. Das Rechteck hat dann eine Länge von <math>8</math> cm und eine Höhe von <math>4</math> cm.
|2=Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Im zweiten Schritt zeichnest du von den vier Eckpunkten jeweils eine Hilfsgerade im Neigungswinkel <math>45</math>°.
|2=Tipp 2|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Jetzt multiplizierst du die angegebene Breite mit dem Verkürzungsfaktor <math>q = 0{,}5</math>. Die errechnete Kantenlänge von <math>4</math> cm soll jetzt die Länge der Hilfsgeraden darstellen. Hier passt du deine anfänglich gezeichneten Hilfsgeraden an die Länge von <math>4</math> cm an.
|2=Tipp 3|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Die neu konstruierten Punkte verbindest du abschließend noch miteinander und zeichnest die nicht sichtbaren Linien gestrichelt ein. |2=Tipp 4 |3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Die gesuchte Strecke beträgt <math>12{,}8</math> cm.[[Datei:Lösungsskizze.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]] |2=Lösung|3=Einklappen}}|Farbe={{Farbe|orange}}|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Übung 6: Zeichnen und Messen - Prisma| 2= Ein gleichseitiges Prisma hat eine Seitenlänge von <math>a=6</math> cm und eine Höhe von <math>h=5</math> cm. Zeichne das Schrägbild in dein Heft und miss mit dem Lineal nach, wie weit die vordere Ecke unten rechts von der hinteren Ecke oben entfernt ist.
<div class="multiplechoice-quiz">
Die gesuchte Strecke ist
(<math>6{,}9</math> cm lang.) (!<math>5{,}3</math> cm lang.) (!<math>7{,}4</math> cm lang.) (!<math>5{,}8</math> cm lang.)
</div>
{{Lösung versteckt|1= Zunächst zeichnest du die Strecke <math>AB=6</math> cm in wahrer Länge.
|2=Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Da es sich bei dem Körper um ein gleichseitiges Prisma handelt, schneidet die Höhe die Strecke <math>AB</math> genau im Mittelpunkt <math>P</math>. Von diesem Punkt <math>P</math> ziehst du nun in einem Winkel von <math>45</math>° eine Hilfslinie. Um die Länge der Hilfslinie zu ermitteln, multiplizierst du die angegebene Höhe mit <math>0{,}5</math> . Hier hätte die Strecke dann eine Länge von <math>2{,}5</math> cm.
|2=Tipp 2|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Jetzt verbindest du den entstandenen Punkt <math>C</math> mit den Punkten <math>A</math> und <math>B</math>, um die Grundfläche des Prismas zu erhalten.
|2=Tipp 3|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1= Nun zeichnest du jeweils von den Punkten <math>A, B</math>, und <math>C</math> eine senkrechte Linie, die der Höhe von <math>5</math> cm entspricht. Um die Konstruktion abzuschließen, verbindest du die weiteren Eckpunkte miteinander.|2=Tipp 4 |3=Einklappen}}

{{Lösung versteckt|1= Die gesuchte Strecke beträgt <math>6{,}9</math> cm.[[Datei:Aufgabe Lösung Prisma.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]]|2=Lösung|3=Einklappen}} |3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Übung 7: nach Konstruktionsbeschreibung zeichnen|Für diese Aufgabe benötigst du einen gespitzten Bleistift, Heft und Geodreieck. Zeichne eine Pyramide mithilfe folgender Konstruktionsbeschreibung. Die Kantenlängen kannst du frei wählen.

''Schritt 1:'' Die quadratische Grundfläche der Pyramide wird als Parallelogramm <math>ABCD</math> gezeichnet. Dabei werden die nach hinten verlaufenden Kanten im Winkel von <math>45</math>° gezeichnet und in ihrer Länge halbiert.

''Schritt 2:'' Die Spitze <math>S</math> der Pyramide wird senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche <math>ABCD</math> angenommen.

''Schritt 3:'' Die Spitze <math>S</math> der Pyramide wird mit den Eckpunkten <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> der Grundfläche verbunden. Sichtbare Linien werden durchgezeichnet. Nicht sichtbare Linien werden punktiert.
{{Lösung versteckt|1= Weil die Lösung nicht in dieser Box angezeigt werden kann, scrolle ganz ans Ende der Seite, um die Lösung zu sehen.|2=Lösung|3=Einklappen}}|Arbeitsmethode}}

==Unmögliche Figuren==

{{Box|Unmögliche Figuren|Falls du dir unsicher bist, was unmögliche Figuren sind, lies dir die Infobox einmal durch.{{Lösung versteckt|1= '''Unmögliche Figuren''' sind grafisch zweidimensionale Figuren, die dreidimensional erscheinen aber als Körper in der Realität nicht existieren können. Die geometrischen, dreidimensionalen Objekte kann man in der Realität gar nicht herstellen. Gezeichnet werden können sie auf (dem zweidimensionalen) Papier aber ohne Probleme. Bei den Figuren handelt es sich meist um optische Täuschungen.|2=Infobox|3=Einklappen}}'''<big>Beispiele von unmöglichen Figuren:</big>'''

{{2Spalten
|[[Datei:Lattenkiste_a.jpg|alternativtext=|ohne|mini|193x193px|Die unmögliche Lattenkiste]]
|[[Datei:Impossible_cube_illusion_angle.svg|alternativtext=|mini|Unmöglicher Würfel|ohne|199x199px]]
}}|
Merksatz}}

{{Box|Idee| 2 = Vielleicht kennst du ja auch schon ein paar unmögliche Figuren, natürlich nicht aus unserer Realität, aber ja aus Filmen? Eine der obigen Figuren kommt zum Beispiel in einer Szene aus ''Inception'' (2010) vor, die du dir hier auf YouTube angucken kannst:{{#ev:youtube|dvSD1EAlAUQ}}|3 = Hervorhebung1| Farbe={{Farbe|gelb}}}}

===Übungen: unmögliche Figuren===

{{Box|1=Übung 1: Erkennst du die unmöglichen Figuren? |2=Im unteren Kasten siehst du unmögliche Figuren und nicht unmögliche Figuren. Bestimme, ob die Figuren unmöglich sind oder nicht. Ziehe dafür das Bild in den zugehörigen Kasten.

<div class="zuordnungs-quiz">

{{{!}}

{{!}}unmögliche Figuren {{!}}{{!}} [[File:Impossible cube illusion angle.svg|thumb|alternativtext=|154x154px]] {{!}}{{!}} [[File:Reutersvärd’s triangle.svg|thumb|alternativtext=|150x150px]]{{!}}{{!}}[[File:Blivet.png|thumb|alternativtext=|200x200px]]{{!}}{{!}}[[File:Impossible staircase.svg|thumb|alternativtext=|200x200px]]

{{!}}-

{{!}}geometrische Körper/Konstruktionen{{!}}{{!}} [[Datei:Cube-2351867 640.jpg|mini|alternativtext=|200x200px]] {{!}}{{!}} [[File:Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0005.JPG|thumb|alternativtext=|200x200px]] {{!}}{{!}} [[Datei:Treppe-zp-beisp1.svg|mini|167x167px]]

{{!}}}

</div>

|3=Arbeitsmethode}}

<br />

{{Box|Übung 2: Aus unmöglich mach möglich!|Wie müsste man den unmöglichen Würfel verändern, damit diese/r keine unmögliche Figur mehr ist? [[Datei:Impossible_cube_illusion_angle.svg|alternativtext=|mini|Unmöglicher Würfel|ohne|199x199px]]{{Lösung versteckt|1= Man müsste die hinteren Seitenkannten des Würfels zerschneiden, um die vorderen an dieser Stelle sichtbar zu machen. Einen echten, nicht unmöglichen Würfel siehst du hier:
[[Datei:Cube-2351867 640.jpg|mini|alternativtext=|zentriert]]|2=Lösung|3=Einklappen}}
|Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Box | Übung 3: Das Penrose-Dreieck|Betrachte das sogenannte Penrose-Dreieck. Welche Besonderheiten fallen dir auf? Wordurch wird die optische Täuschung hervorgerufen? Welches mathematische Gesetz zeigt, dass das Dreieck im Dreidimensionalen nicht existieren kann? Beantworte im Heft.[[Datei:Penrose triangle.svg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1=In welchem Winkel stehen die Seiten des Dreiecks aufeinander?|2=Tipp 1|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=Was ist die Winkelsumme eines "möglichen" Dreiecks?|2=Tipp 2|3=Einklappen}}
{{Lösung versteckt|1=Das Penrose-Dreieck hat drei Seiten, die jeweils im rechten Winkel zueinander stehen und dennoch zu einem Dreieck verbunden sind. Damit verstößt es gegen mehrere mathematische Gesetze der Geometrie. Zum Beispiel beträgt die Winkelsumme in einem Dreieck immer <math>180</math>°.|2=Lösung|3=Einklappen}}|Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

<br />

===Quellen===
{{Lösung versteckt|1= *https://learnattack.de/mathematik/koerpernetz-und-schraegbild-von-koerpern#video-was-sind-schr%C3%A4gbild-und-netz-eines-k%C3%B6rpers
*https://www.geogebra.org/m/a7wZdw5C#material/Qf9yn4sG
*https://www.geogebra.org/m/SQm8Xq3y
*https://www.geogebra.org/m/ab93zf9g
*https://www.geogebra.org/m/nc7KHTJt
*https://www.geogebra.org/material/show/id/ab93zf9g#
*https://www.geogebra.org/material/show/id/Z57aCNpm#
*https://www.youtube.com/watch?v=dvSD1EAlAUQ
*https://www.klippert-medien.de/media/ntx/klippert/sample/09108DA5_Musterseite.pdf
*https://nl.wikipedia.org/wiki/Onmogelijke_figuur#/media/Bestand:Blivet.png
*https://de.wikipedia.org/wiki/Unm%C3%B6gliche_Figur#/media/Datei:Impossible_staircase.svg
*https://de.wikipedia.org/wiki/Penrose-Dreieck#/media/Datei:Deutsches_Technikmuseum_Berlin_February_2008_0005.JPG
*https://es.wikipedia.org/wiki/Objeto_imposible#/media/Archivo:Reutersv%C3%A4rd%E2%80%99s_triangle.svg
*https://es.wikipedia.org/wiki/Objeto_imposible#/media/Archivo:Impossible_cube_illusion_angle.svg|2=Orientiert an|3=Einklappen}}

<br />
===Geogebra Applets===

======Pyramidenaufgabe Übung 6 Lösung======
<ggb_applet id="Z57aCNpm" width="750" height="550" border="888888" />
======Netzaufgabe Übung 4 a Tipp======
<ggb_applet id="Jhc3FeP8" width="750" height="550" border="888888" />
======Netzaufgabe Übung 4 b Tipp======
<ggb_applet id="QU97VcUE" width="950" height="550" border="888888" />
======Netzaufgabe Übung 4 c Tipp======
<ggb_applet id="UaEEaDy7" width="800" height="550" border="888888" />
======Netzaufgabe Übung 4 d Tipp======
<ggb_applet id="EwEjZUYn" width="869" height="486" border="888888" />

{{Box|1=Aufgabe 8 - Länge und Abstände von Vektoren|2=
<quiz display="simple">
{Berechne die Länge der Vektoren:}

{a) <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} </math>}
- 4
+ 5
- 6
- 7

{b) <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} </math>}
- 11
- 12
+ 13
- 14

{c) <math> \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} </math>}
- 1
- 2
+ <math> \sqrt{2} </math>
- <math> frac 1 2 </math>
</quiz>

<quiz display="simple">
{Berechne den Abstand der Punkte:}

{a)<math> A(2|-4|1) </math> und <math> B(4|-4|-2) </math>}
+ 3
- 6
- 9
- 12

{b)<math> A(8|9|10) </math> und <math> B(2|6|8) </math>}
- 9,5
+ 7
- 8
- 6,5
</quiz>
|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|gelb|dunkel}}}}

{{Box|1=|2=
<quiz display="simple">
{Gegeben ist ein Dreieck <math> ABC </math> mit den Punkten <math> A(-3|0|-2) </math> <math> B(1|2|2) </math> und <math> C(-3|3|2) </math> . Berechne den Umfang des Dreiecks.}
- 14,123
- 11,256
+ 15,123
- 13,894
</quiz>
|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 9 - Vektoren addieren und mit einem Skalar multiplizieren|2=

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=11071387}}

|3=Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|gelb|dunkel}}}}

{{Box|1= Aufgabe 10: Lückentext - Geometrische Bedeutung von Vektoraddition und skalarer Multiplikation|2=|3=Arbeitsmethode}}

<div class="lueckentext-quiz">
Wir definieren zwei '''Rechenoperationen''' für Vektoren: das Bilden des Vielfachen und der Summe. Die '''Vektoraddition''' bezeichnet das bilden der '''Summe''' zweier Vektoren gleichen Typs, das heißt dass die beiden Vektoren gleich viele '''Komponenten''' haben. Man bildet die Summe, indem man die '''Einträge''' der Vektoren '''komponentenweise''' addiert. Wir können uns die Addition von Vektoren als ein „'''Aneinanderlegen'''“ von zwei '''Strecken''' von ggf. verschiedener Länge vorstellen. Nennen wir <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b}</math> Vektoren. Wir deuten diese als '''Pfeile''' und addieren sie, das heißt wir legen sie hintereinander, sodass der '''Anfang''' von <math> \vec{b} </math> und die „'''Spitze'''“ von <math> \vec{a} </math> übereinstimmen. Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist aus der '''Physik''' bekannt. Dort werden oftmals '''Kräfte''' und Geschwindigkeiten mit Pfeilen dargestellt. Man kann am Ende zur Addition sagen, dass das Bilden der Summe zweier Vektoren <math> \vec{a} + \vec{b} </math> als '''Hintereinander-Ausführen''' der durch <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> dargestellten '''Verschiebungen''' gesehen werden kann.

Das Bilden des '''Vielfachen''' eines Vektors wird auch als '''Multiplikation mit einem Skalar''' bezeichnet. Wir nennen unseren '''Vektor''' wieder <math> \vec{a} </math> und das '''Skalar''' bezeichnen wir mit <math> c </math>. Von jedem Vektor kann das '''<math> c </math> -Fache''' gebildet werden, indem '''alle Komponenten''' von <math> \vec{a} </math> '''mit <math> c </math> multipliziert''' werden. Ist '''<math> c>0 </math>''' so wird der „Pfeil“ von <math> \vec{a} </math> um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen ('''falls <math>c > 1</math>''') oder geschrumpft ('''falls <math>c < 1</math> '''). Ist '''<math>c<0</math>''', so erhält der Pfeil, der um den Faktor <math> c </math> aufgeblasen oder geschrumpft wird, noch eine '''Richtungsumkehrung''' und wird zum '''Gegenvektor'''.

Wir nennen zwei Vektoren '''kollinear''' (oder parallel), wenn einer der Vektoren ein '''Vielfaches des anderen''' ist. Mit anderen Worten: Wenn <math> \vec{a} </math> und <math> \vec{b} </math> zwei '''verschiedene''' Vektoren sind, so sind sie '''parallel/kollinear''' zueinander, falls ein '''Skalar <math> c </math>''' existiert, sodass gilt: '''<math> ca=b </math>'''. Dabei ist es egal, ob die beiden Vektoren in '''unterschiedliche''' '''Richtungen''' zeigen oder nicht.
</div>

{{Box|1= Aufgabe 11 - Für die ganz Schnellen eine Knobelaufgabe: Besondere Vierecke
|2=

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte <math> A(3|3|5)</math>, <math> B(3,5|3,5|1)</math> und <math> C(6,5|2,5|3) </math> gegeben.

<quiz display="simple">
{a) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?}
- rechtwinkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
+ gleichschenkliges Dreieck
</quiz>

<quiz display="simple">
{b) Sei <math> P </math> nun ein weiter Punkt im bereits vorhandenen System. Welche Koordinaten muss <math> P </math> haben, damit <math> P </math> gemeinsam mit <math> A </math>, <math> B </math> und <math> C </math> die Eckpunkte einer Raute bildet?}
+ <math> P(7|3|-1)</math>
- <math> P(-7|-3|1)</math>
- <math> P(5|2|-3)</math>
- <math> P(-5|-2|3)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf und mach dir zunächst klar welche Seite die Basis des Dreieicks ist.|2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Gegenüberliegende Seiten sind in einer Raute gleich lang.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ AC }</math> am Punkt <math> B </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}

<quiz display="simple">
{c) wir betrachten nun wieder das Dreieck <math> ABC </math>. Ein neuer Punkt <math> Q </math> solls o gewählt werden, dass er zusammen mit dem Dreieck <math> ABC </math> ein Parallelogramm bildet, das keine Raute ist. Welche Koordinaten passen zu <math> Q </math>? Es sind zwei Antwortmöglichkeiten richtig. Finde beide!}
+ <math> P(6|2|7)</math>
- <math> P(7|4|3)</math>
+ <math> P(0|4|3)</math>
- <math> P(6|3|-1)</math>
</quiz>
{{Lösung versteckt|1=Zeichne dir ein gleichschenkliges Dreieck auf <math> ABC </math> und überleg dir wie ein Parallelogram entstehen könnte. |2=Tipp 1|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Sei dir bewusst, dass es auch Gegenvektoren gibt.|2=Tipp 2|3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Verwende den Vektor <math>\vec{ CA }</math> am Punkt <math> B </math> und den Vektor <math>\vec{ BA } </math> am Punkt <math> C </math>.|2=Tipp 3|3=Tipp verbergen}}
|3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

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2021-04-29T13:21:10Z

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Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Punkte und Vektoren im Raum

2021-04-29T13:06:40Z

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2021-04-29T12:59:13Z

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2021-04-29T12:58:02Z

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