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Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-22T14:10:59Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt|
Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

|Tipp 1|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht und dazu g = h gesetzt. Daraus entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
2r &&\; + \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Untersuche, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze die erste Gleichung des umgeformten LGS in die zweite Gleichung ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15: Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen| 2=

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 1 &&\; - \;&& s \\
1 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& (-s)\\
3 &&\; - \;&& 1r &&\; = \;&& 4 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Ermittel die Lösungsmenge des LGS und interpretiert diese in Bezug auf die Lagebeziehung zweier Geraden

{{Lösung versteckt| Forme das LGS um. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Durch Umformungen kann folgendes LGS entstehen :

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s \\
1r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s \\
1r &&\; = \;&& 1 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die erste und zweite Gleichung des LGS sind identisch. Setzte die erste Gleichung in die dritte des LGS ein und löse das LGS. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{(0|{-}1)\} </math>. Da das LGS eine Lösung hat, schneiden sich die Geraden. | Lösung ausblenden}}| 3= Arbeitsmethode }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-22T14:09:56Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt|
Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

|Tipp 1|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht und dazu g = h gesetzt. Daraus entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
2r &&\; + \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Untersuche, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze die erste Gleichung des umgeformten LGS in die zweite Gleichung ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15: Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen| 2=

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 1 &&\; - \;&& s \\
1 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& (-s)\\
3 &&\; - \;&& 1r &&\; = \;&& 4 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Ermittel die Lösungsmenge des LGS und interpretiert diese in Bezug auf die Lagebeziehung zweier Geraden

{{Lösung versteckt| Forme das LGS um. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Durch Umformungen kann folgendes LGS entstehen :

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s \\
1r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s \\
1r &&\; = \;&& 1 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die erste und zweite Gleichung des LGS sind identisch. Setzte die erste Gleichung in die dritte des LGS ein und löse das LGS. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Lösungsmenge laute <math> L= \{(0|{-}1)\} </math>. Da das LGS eine Lösung hat, schneiden sich die Geraden | Lösung ausblenden}}| 3= Arbeitsmethode }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-22T14:08:05Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt|
Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

|Tipp 1|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht und dazu g = h gesetzt. Daraus entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
2r &&\; + \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Untersuche, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze die erste Gleichung des umgeformten LGS in die zweite Gleichung ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15: Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen| 2=

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 1 &&\; - \;&& s\\\
1 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& (-s) \\
3 &&\; - \;&& 1r &&\; = \;&& 4 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 1 &&\; - \;&& s \\
1 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& (-s)\\
3 &&\; - \;&& 1r &&\; = \;&& 4 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Ermittel die Lösungsmenge des LGS und interpretiert diese in Bezug auf die Lagebeziehung zweier Geraden

{{Lösung versteckt| Forme das LGS um. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Durch Umformungen kann folgendes LGS entstehen :

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s\\\
r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s\\\
r &&\; = \;&& 1 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die erste und zweite Gleichung des LGS sind identisch. Setzte die erste Gleichung in die dritte des LGS ein und löse das LGS. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Lösungsmenge laute <math> L= \{(0|{-}1)\} </math>. Da das LGS eine Lösung hat, schneiden sich die Geraden | Lösung ausblenden}}| 3= Arbeitsmethode }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-22T14:05:14Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt|
Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

|Tipp 1|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht und dazu g = h gesetzt. Daraus entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
2r &&\; + \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Untersuche, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze die erste Gleichung des umgeformten LGS in die zweite Gleichung ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15: Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen| 2=

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 1 &&\; - \;&& s\\\
1 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& (-s) \\
3 &&\; - \;&& 1r &&\; = \;&& 4 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Ermittel die Lösungsmenge des LGS und interpretiert diese in Bezug auf die Lagebeziehung zweier Geraden

{{Lösung versteckt| Forme das LGS um. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Durch Umformungen kann folgendes LGS entstehen :

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s\\\
r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s\\\
r &&\; = \;&& 1 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die erste und zweite Gleichung des LGS sind identisch. Setzte die erste Gleichung in die dritte des LGS ein und löse das LGS. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Lösungsmenge laute <math> L= \{(0|{-}1)\} </math>. Da das LGS eine Lösung hat, schneiden sich die Geraden | Lösung ausblenden}}| 3= Arbeitsmethode }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-22T14:00:44Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt|
Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

|Tipp 1|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht und dazu g = h gesetzt. Daraus entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
2r &&\; + \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Untersuche, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze die erste Gleichung des umgeformten LGS in die zweite Gleichung ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15: Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen| 2=

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2 &&\; + \;&& r &&\; = \;&& 1 &&\; - \;&& s\\\
1 &&\; + \;&& r &&\; = \;&& (-s) \\
3 &&\; - \;&& r &&\; = \;&& 4 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Ermittel die Lösungsmenge des LGS und interpretiert diese in Bezug auf die Lagebeziehung zweier Geraden

{{Lösung versteckt| Forme das LGS um. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Durch Umformungen kann folgendes LGS entstehen :

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s\\\
r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s\\\
r &&\; = \;&& 1 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die erste und zweite Gleichung des LGS sind identisch. Setzte die erste Gleichung in die dritte des LGS ein und löse das LGS. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Lösungsmenge laute <math> L= \{(0|{-}1)\} </math>. Da das LGS eine Lösung hat, schneiden sich die Geraden | Lösung ausblenden}}| 3= Arbeitsmethode }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-22T13:58:34Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt|
Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

|Tipp 1|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht und dazu g = h gesetzt. Daraus entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
2r &&\; + \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Untersuche, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze die erste Gleichung des umgeformten LGS in die zweite Gleichung ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15: Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen| 2=
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2 &&\; + \;&& r &&\; = \;&& 1 &&\; - \;&& s\\\
1 &&\; + \;&& r &&\; = \;&& (-s) \\
3 &&\; - \;&& r &&\; = \;&& 4 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Ermittel die Lösungsmenge des LGS und interpretiert diese in Bezug auf die Lagebeziehung zweier Geraden

{{Lösung versteckt| Forme das LGS um. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Durch Umformungen kann folgendes LGS entstehen :
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s\\\
r &&\; = \;&& (-1) &&\; - \;&& s\\\
r &&\; = \;&& 1 \;&& + \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>
|Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die erste und zweite Gleichung des LGS sind identisch. Setzte die erste Gleichung in die dritte des LGS ein und löse das LGS. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Lösungsmenge laute <math> L= \{(0|{-}1)\} </math>. Da das LGS eine Lösung hat, schneiden sich die Geraden | Lösung ausblenden}}| 3= Arbeitsmethode }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-22T13:28:04Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt|
Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

|Tipp 1|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht und dazu g = h gesetzt. Daraus entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
2r &&\; + \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Untersuche, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze die erste Gleichung des umgeformten LGS in die zweite Gleichung ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r|1+r|3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s|-s|4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind <math> (1/1/-1) </math> und <math> (-1/-1/1)</math>. Sind diese linear abhängig? |Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind <math> (2/1/0) </math> und <math> (1/0/4) </math>. Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch. |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-22T13:23:19Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt|
Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

|Tipp 1|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
2r &&\; + \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Untersuche, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze die erste Gleichung des umgeformten LGS in die zweite Gleichung ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht und dazu g = h gesetzt. Das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r|1+r|3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s|-s|4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind <math> (1/1/-1) </math> und <math> (-1/-1/1)</math>. Sind diese linear abhängig? |Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind <math> (2/1/0) </math> und <math> (1/0/4) </math>. Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch. |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-22T13:20:50Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt|
Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

|Tipp 1|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
2r &&\; + \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Untersuche, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze die erste Gleichung des umgeformten LGS in die zweite Gleichung ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r|1+r|3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s|-s|4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind <math> (1/1/-1) </math> und <math> (-1/-1/1)</math>. Sind diese linear abhängig? |Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind <math> (2/1/0) </math> und <math> (1/0/4) </math>. Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch. |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-22T13:18:15Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt|
Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

|Tipp 1|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
2r &&\; + \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze die erste Gleichung des umgeformten LGS in die zweite Gleichung ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r|1+r|3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s|-s|4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind <math> (1/1/-1) </math> und <math> (-1/-1/1)</math>. Sind diese linear abhängig? |Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind <math> (2/1/0) </math> und <math> (1/0/4) </math>. Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch. |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-22T13:16:55Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt|
Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

|Tipp 1|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
2r &&\; + \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze I in II ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r|1+r|3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s|-s|4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind <math> (1/1/-1) </math> und <math> (-1/-1/1)</math>. Sind diese linear abhängig? |Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind <math> (2/1/0) </math> und <math> (1/0/4) </math>. Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch. |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-22T13:14:24Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahren zu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt|
Betrachte die beiden Fälle:

1) Die beiden Geraden haben keinen Schnittpunkt.

2) Die beiden Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte.

|Tipp 1|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.

In dieser Aufgabe geht es um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Die Lösungsmöglichkeiten (eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen) lassen sich aber auch auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen übertragen.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
2r &&\; - \;&& 1 &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze I in II ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r|1+r|3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s|-s|4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind <math> (1/1/-1) </math> und <math> (-1/-1/1)</math>. Sind diese linear abhängig? |Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind <math> (2/1/0) </math> und <math> (1/0/4) </math>. Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch. |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-05T08:56:48Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
1 &&\; - \;&& 2r &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze I in II ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r|1+r|3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s|-s|4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind <math> (1/1/-1) </math> und <math> (-1/-1/1)</math>. Sind diese linear abhängig? |Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind <math> (2/1/0) </math> und <math> (1/0/4) </math>. Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch. |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-05T08:55:39Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
1 &&\; - \;&& 2r &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
1r &&\; = \;&& 2s &&\; + \;&& 1 \\
2r &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 2s\\
3r &&\; = \;&& 3 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze I in II ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r|1+r|3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s|-s|4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind <math> (1/1/-1) </math> und <math> (-1/-1/1)</math>. Sind diese linear abhängig? |Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind <math> (2/1/0) </math> und <math> (1/0/4) </math>. Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch. |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-05T08:51:35Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
1 &&\; - \;&& 2r &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze I in II ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r|1+r|3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s|-s|4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind <math> (1/1/-1) </math> und <math> (-1/-1/1)</math>. Sind diese linear abhängig? |Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind <math> (2/1/0) </math> und <math> (1/0/4) </math>. Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch. |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-05T08:50:20Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
(-1) &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
1 &&\; - \;&& 2r &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze I in II ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r|1+r|3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s|-s|4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind <math> (1/1/-1) </math> und <math> (-1/-1/1)</math>. Sind diese linear abhängig? |Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind <math> (2/1/0) </math> und <math> (1/0/4) </math>. Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch. |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-05T08:49:06Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren |
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}
| Merksatz }}

{{Box| Aufgabe 2: Wähle geschickt. |Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches Gleichungssystem einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Gleichungssystems auch die Lösung des anderen Gleichungssystems ist

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3 </math>.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:

1. Setze <math> z=3 </math> in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Somit erhalten wir <math> y=-1 </math> und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Gleichungssystems auch das erste Gleichungssystem gelöst.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}| Farbe={{Farbe|orange}} | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 3: Forme um. | 2=In Aufgabe 2 wird gezeigt, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Lösung haben. Forme das erste Gleichungssystem so um, dass das zweite Gleichungssystem entsteht.

{{Lösung versteckt|
Wir haben gesehen, dass es bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ein wichtiges Zwischenziel ist, das Gleichungssystem in eine Dreiecksgestalt umzuformen, wie das zweite lineare Gleichungssystem.

1. Als erstes soll in der zweiten und der dritten Gleichung eine Variable wegfallen, hier <math> x </math>. Dazu addieren wir das Zweifache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, sowie das <math>(-3)</math>-fache der ersten Gleichung zur dritten Gleichung. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& -8y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Die zweite und die dritte Gleichung enthalten nur noch die Variablen <math> y </math> und <math> z </math>. Nun können wir das Vierfache der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung addieren, damit die Variable <math> y </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 14z &&\; = \;&& 42
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 14 </math> und erhalten somit das zweite Gleichungssystem:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box| 1= Aufgabe 4: Gauß-Algorithmus| 2= Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
-x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1\\
-x &&\; - \;&& 3y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

1. Multipliziere die zweite und dritte Gleichung mit <math> 2 </math> und addiere dann die erste Gleichung, damit <math> x </math> wegfällt. Dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& -4y &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& -5
\end{alignat}\right\vert</math>

2. Addiere dann die zweite Gleichung zur dritten Gleichung und dann erhalten wir:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& 4y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& 17\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 4z &&\; = \;&& 12
\end{alignat}\right\vert</math>

3. Nun teilen wir die letzte Gleichung durch <math> 4 </math> und erhalten dadurch <math> z=3 </math>. Dann setzen wir <math> z=3 </math> in die zweite Gleichung und erhalten:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 15 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

4. Dann setze <math> y=-1 </math> und <math> z=3 </math> in die erste Gleichung ein, darauf folgt <math> x=4 </math>.

|Lösungsweg|Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(4| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 12: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 13: Zuordnen |2=
Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 14: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
-1 &&\; + \;&& 1r &&\; = \;&& 2s \\
1 &&\; - \;&& 2r &&\; = \;&& 3 &&\; + \;&& 2s\\
1,5 &&\; + \;&& 3r &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 4,5 \;&& - \;&& s
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt|
Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp 1 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Setze I in II ein. |Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> r=1 , s=0 </math> |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung. |Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich. | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 15 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r|1+r|3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s|-s|4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen. | Tipp 1 |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind <math> (1/1/-1) </math> und <math> (-1/-1/1)</math>. Sind diese linear abhängig? |Tipp 2| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind <math> (2/1/0) </math> und <math> (1/0/4) </math>. Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte. |Tipp 3| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch. |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T23:17:56Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|1=Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze <math> z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math> 3.Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>
4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Systems auch das erste System gelöst.|2=Lösungsweg Anzeigen|3=Lösungsweg Verbergen}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 17 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r;1+r;3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s;-s;4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen | Tipp |Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind (1/1/-1) und (-1/-1/1). Sind diese linear abhängig? |Tipp | Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind (2/1/0) und (1/0/4). Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte |Tipp | Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T23:16:39Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|1=Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze <math> z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math> 3.Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>
4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Systems auch das erste System gelöst.|2=Lösungsweg Anzeigen|3=Lösungsweg Verbergen}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 17 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r;1+r;3-r)\} </math> bzw.
<math> L2=\{(1-s;-s;4+s)\} </math>

Untersuche, ob die beiden Lösungsmengen identisch sind.

{{Lösung versteckt| Die Beiden Lösungsmengen lassen sich als Geraden h und g interpretieren. Notiere die Geradengleichungen | Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind (1/1/-1) und (-1/-1/1). Sind diese linear abhängig? |Tipp | Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Ortsvektoren sind (2/1/0) und (1/0/4). Überprüfe ob einer der Ortsvektoren auf der anderen Geraden liegen könnte |Tipp | Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Die Ortsvektoren liegen jeweils auch auf der anderen Geradengleichung. Demnach sind die Lösungsmengen und auch die Geraden identisch |Lösung | Lösung ausblenden}}
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T23:04:48Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|1=Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze <math> z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math> 3.Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>
4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Systems auch das erste System gelöst.|2=Lösungsweg Anzeigen|3=Lösungsweg Verbergen}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 17 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r;1+r;3-r)\} </math>
<math> L2=\{(1-s;-s;4+s)\} </math> | 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T23:04:00Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|1=Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: <math> z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze <math> z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir<math> y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math> 3.Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>
4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Systems auch das erste System gelöst.|2=Lösungsweg Anzeigen|3=Lösungsweg Verbergen}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 17 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math> L1=\{(2+r;1+r;3-r):r∈ℝ\} </math>
<math> L2=\{(1-s;-s;4+s):s∈ℝ\} </math> | 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T23:03:05Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|1=Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math> 3.Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>
4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Systems auch das erste System gelöst.|2=Lösungsweg Anzeigen|3=Lösungsweg Verbergen}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 17 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math>L1=\{(2+r;1+r;3-r):r∈ℝ\}</math>
<math>L2=\{(1-s;-s;4+s):s∈ℝ\}</math> | 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T23:02:12Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|1=Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math> 3.Setzen wir diese Werte in das erste lineare Gleichungssystem erhalten wir
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
&&\; \;&& &&\; \;&& 2 &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& &&\; \;&& 6 &&\; = \;&& 6\\
&&\; \;&& &&\; \;&& 8 &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>
4. Da sich beim Einsetzen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben Werte ergeben, haben wir mit der Lösung des zweitens Systems auch das erste System gelöst.|2=Lösungsweg Anzeigen|3=Lösungsweg Verbergen}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 17 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
<math>L1={(2+r;1+r;3-r):r∈ℝ}</math>
<math>L2={(1-s;-s;4+s):s∈ℝ}</math> | 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|blau}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T22:58:03Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösungsweg versteckt|<math> Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
</math>|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 17 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
L1={(2+r;1+r;3-r):r∈ℝ}
L2={(1-s;-s;4+s):s∈ℝ} | 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|rot}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T22:56:40Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösungsweg versteckt|<math> Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
</math>|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 17 | 2= Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
L1 = { (2+r ; 1+r ; 3-r) : r∈ℝ }
L2 = { (1-s ; -s ; 4+s) : s∈ℝ } 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|rot}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T22:55:01Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösungsweg versteckt|<math> Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
</math>|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 17: Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
L1 = { (2+r ; 1+r ; 3-r) : r∈ℝ } | 2= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|rot}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T22:51:12Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösungsweg versteckt|<math> Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
</math>|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box| 1= Aufgabe 17: Zwei Schüler*innen lösen dasselbe LGS. Sie erhalten die Lösungsmengen
2+r;1+r;3-r) : r∈ℝ }2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|rot}} }}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T22:32:14Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösungsweg versteckt|<math> Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
</math>|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 |Lösung| Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T22:30:37Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösungsweg versteckt|<math> Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
</math>|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 | Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung|Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T22:28:25Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösungsweg versteckt|<math> Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
</math>|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 | Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet dies hinsichtlich der Lagebeziehung der beiden Geraden?

{{Lösung versteckt| Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig und das LGS besitzt eine Lösung| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Geraden schneiden sich | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T22:25:49Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösungsweg versteckt|<math> Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
</math>|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| r=1 , s=0 | Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet die Lösung in Bezug auf die Lagebeziehung der Ebenen? Bestimme ggf. den Schnittpunkt oder die Schnittgerade der drei Ebenen.

{{Lösung versteckt| Bestimme, ob das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat | Tipp 1 | Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Schneiden sich die 3 Ebenen in einem Punkt, so hat das LGS genau eine Lösung. Schneiden sich die 3 Ebenen in einer Gerade, so hat das LGS unendlich viele Lösungen. Hat das LGS keine Lösung, so gibt es keinen Punkt, indem sich alle 3 Ebenen schneiden. | Tipp 2 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das LGS hat genau eine Lösung. Die Lösung des LGS entspricht dem Schnittpunkt S(4/1/2). | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T22:23:06Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösungsweg versteckt|<math> Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
</math>|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Im nächsten Schritt entstand folgendes LGS:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

'''a)''' Berechne, ob das LGS eine Lösung hat

{{Lösung versteckt| Durch Vereinfachen kann folgendes LGS entstehen:
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 1r & = & 2s & + & 1\\
\text{II}\quad & 2r & = & 2 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 3r & = & 3 & - & s
\end{array}</math>
| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|setze I in II ein |Tipp ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet die Lösung in Bezug auf die Lagebeziehung der Ebenen? Bestimme ggf. den Schnittpunkt oder die Schnittgerade der drei Ebenen.

{{Lösung versteckt| Bestimme, ob das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat | Tipp 1 | Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Schneiden sich die 3 Ebenen in einem Punkt, so hat das LGS genau eine Lösung. Schneiden sich die 3 Ebenen in einer Gerade, so hat das LGS unendlich viele Lösungen. Hat das LGS keine Lösung, so gibt es keinen Punkt, indem sich alle 3 Ebenen schneiden. | Tipp 2 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das LGS hat genau eine Lösung. Die Lösung des LGS entspricht dem Schnittpunkt S(4/1/2). | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-03T22:12:28Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1: Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 3: Gegeben sind die folgenden linearen Gleichungssysteme. Vergleiche beide linearen Gleichungssysteme miteinander. Entscheide, welches System einfacher zu lösen ist und löse dieses. Setze die Lösung in das andere Gleichungssystem ein und zeige, dass die Lösung des einen Systems auch die Lösung des anderen Systems ist. | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
-2x &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 6\\
3x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& 2y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& 10\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösungsweg versteckt|<math> Das zweite lineare Gleichungssystem ist leichter zu lösen als das erste, da der Wert einer Variablen bereits bekannt ist: z=3.
Und damit lässt sich direkt weiter arbeiten, wie folgt:
1. Setze z=3 in die erste und zweite Gleichung ein und vereinfache
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
2. Somit erhalten wir y=-1 und können dies nun in die erste Gleichung einsetzen und dann vereinfachen
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; \;&& &&\; \;&& &&\; = \;&& 2 \\
&&\; \;&& y &&\; \;&& &&\; = \;&& -1\\
&&\; \;&& &&\; \;&& z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
</math>|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| -1| 3)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
&&\; - \;&& y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 0\\
&&\; \;&& &&\; - \;&& 3z &&\; = \;&& 3
\end{alignat}\right\vert</math>
{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; \;&& &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 1+y \\
5x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 4\\
3x &&\; - \;&& 2y &&\; \;&& &&\; = \;&& 8-z
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
6x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 48 \\
-3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 49\\
-2x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 24
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 7: Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten? Wie verändern sich die Geraden, wenn du den Schieberegler <math> c </math> oder <math> k </math> bewegst? Wie verändern sich die Geraden bei Bewegen der anderen Schieberegler? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach rechts bewegst? Was passiert mit den Geraden, wenn du die Schieberegler nach links bewegst? Was kannst du für den Schnittpunkt beobachten, wenn du die Schieberegler bewegst?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösung ausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz: Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme.]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel: Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Um die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems zu bestimmen, bringen wir es zunächst auf Zeilenstufenform.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> -2 </math> und anschließende Addition der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle ist bereits erkennbar, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt. Dann das Gleichungssystem befindet sich in Zeilenstufenform, sodass in der dritten Gleichung nur noch eine Variable steht, in der zweiten Gleichung nur noch zwei Variable und in der ersten Gleichung drei Variablen stehen. Durch Rückwärtseinsetzen können die Variablen nun bestimmt werden. Es kann also zunächst mit der dritten Gleichung die Variable <math> z </math> bestimmt werden, mit der zweiten Gleichung und <math> z </math> kann dann die Variable <math> y </math> bestimmt werden und anschließend wird mit der ersten Gleichung und <math> z </math> und <math> y </math> die Variable <math> x </math> bestimmt.

Somit ergibt sich:

<math>
\Rightarrow z = \frac{4}{3}
</math>

Einsetzen von <math> z </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6y + 3 \cdot (\frac{4}{3}) &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y + 4 &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -6y &= -4 \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{2}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. Die Lösungsmenge lautet <math> L= \{({-}1|\frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Daher lautet die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Wie viele Lösungen besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Ein möglicher Lösungsweg, um die Lösungsmenge zu bestimmen, kann so aussehen:

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung lautet <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz: Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 8: Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c) wurde für die Variable <math> z </math> der Parameter <math> t </math> gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt| Setze für <math> t </math> eine beliebige reelle Zahl ein. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Wähle <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen? Schau dazu noch einmal in den Lösungsweg des Beispiels ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' Teil c).

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 9: Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 10: Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 11: Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung, also unendlich viele Lösungen besitzen und überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Auch hier wird nun deutlich, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein unter- oder überbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Begründe deine Entscheidung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich? Was unterscheidet sich? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

Die Aussage stimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge leer: <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

Wie kann die Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Um eine mögliche Lösung zu bestimmen, wird jetzt für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Wähle <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

Eine mögliche konkrete Lösung ergibt sich, wenn zum Beispiel <math> t=3 </math> gewählt wird. Dann folgt für die Lösungsmenge: <math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math> ist eine mögliche Lösung. Eine mögliche konkrete Lösung wäre <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>.|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 12: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt| Eine mögliche Lösung ist <math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1= Aufgabe 13: LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem unterbestimmt oder überbestimmt? Begründe deine Entscheidung.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | 1=Aufgabe 14: Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 15: Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 16: Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung zweier Geraden wird untersucht. Dabei entsteht das das folgende Gleichungssystem:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & -1 & + & 1r & = & 2s\\
\text{II}\quad & 1 & + & 2r & = & 3 & + & 2s\\
\text{III}\quad & 1,5 & + & 3r & = & 4,5 & - & s
\end{array}</math>

Durch die Anwendung des Gaußverfahrens resultiert folgende Matrix:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}</math>

'''a)''' Lese die Lösungen des LGS für x, y und z ab.

{{Lösung versteckt|In der Matrixschreibweise steht je eine Spalte für eine Variable. Aus einer solchen Stufenform lassen sich die Werte direkt aus der letzten Spalte ablesen. | Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x = 4, y = 1, z = 2 </math> |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet die Lösung in Bezug auf die Lagebeziehung der Ebenen? Bestimme ggf. den Schnittpunkt oder die Schnittgerade der drei Ebenen.

{{Lösung versteckt| Bestimme, ob das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat | Tipp 1 | Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Schneiden sich die 3 Ebenen in einem Punkt, so hat das LGS genau eine Lösung. Schneiden sich die 3 Ebenen in einer Gerade, so hat das LGS unendlich viele Lösungen. Hat das LGS keine Lösung, so gibt es keinen Punkt, indem sich alle 3 Ebenen schneiden. | Tipp 2 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das LGS hat genau eine Lösung. Die Lösung des LGS entspricht dem Schnittpunkt S(4/1/2). | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

2021-06-01T15:44:18Z

Fynn WWU-8:

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel kannst du dein Wissen über Lineare Gleichungssysteme (LGS) vertiefen und üben. Das Kapitel gibt dir einen Überblick über den Gauß-Algorithmus, mit dem du Lineare Gleichungssysteme lösen kannst, über verschiedene Arten von Gleichungssystemen sowie über die Interpretation der Lösungen.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">blauer</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #89C64A">grünem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.

Du solltest alle Aufgaben '''<span style="color: #FF0000">ohne Hilfsmittel</span>''', das heißt auch '''<span style="color: #FF0000">ohne GTR-Einsatz</span>''', lösen!

Viel Erfolg und viel Spaß!
|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme==
{{Box | 1= Aufgabe 1 - Gleichungssysteme zuordnen| 2= Ordne die LGS dem am besten geeigneten Umformungsverfahrenzu, indem du sie in die entsprechenden Felder bewegst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=19751654}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus lösen==

{{Box| Erklärvideo zum Gauß-Verfahren | | Kurzinfo }}
{{#ev:youtube|8Uut7RAnqEI}}

{{Box| Aufgabe 2: löse das Gleichungssystem mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen | | Arbeitsmethode }}
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & x & + & y & = & 6\\
\text{II}\quad & 4x & - & y & = & 4\\
\end{array}</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 4)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 3: Löse das Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen | | Arbeitsmethode }}
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & x & + & y & - & 2z & = & 7\\
\text{II}\quad & 3x & - & y & + & z & = & 2\\
\text{III}\quad & 2x & + & 3y & + & 5z & = & 8
\end{array}</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 3| -1)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 4: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & x & - & y & + & 2z & = & 0\\
\text{II}\quad & -y & - & 2z & = & 0\\
\text{III}\quad & -3z & = & 3
\end{array}</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2| 1| 0{,}5)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 5: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 6x & + & 2z & = & 1 & + & y \\
\text{II}\quad & 5x & - & 3y & + & 3z & = & 4\\
\text{III}\quad & 3x & - & 2y & = & 8 & - & z
\end{array}</math>

{{Lösung versteckt|Bringe zuerst alle Variablen auf eine Seite und fahre dann mit dem Gauß-Algorithmus fort.| Tipp }}
{{Lösung versteckt|<math> L= \{2{,}75; -9; -12{,}25\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Box| Aufgabe 6: Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus | | Arbeitsmethode }}
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 6x & + & 2y & - & z & = & 48\\
\text{II}\quad & -3x & + & 5y & + & 3z & = & 49\\
\text{III}\quad & -2x & + & y & + & 3z & = & 24
\end{array}</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(7| 8| 10)\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

==Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme==

{{Box | 1=Aufgabe 5 - Wiederholung | 2=
Bearbeite alle Teilaufgaben mit dem integrierten GeoGebra-Applet und mache dir Notizen.

'''a)''' Bewege die Schieberegler <math> a, b, c </math> sowie <math> d, h, k</math>. Was kannst du beobachten?

'''b)''' Was bedeutet der Schnittpunkt der beiden Geraden für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden einen eindeutigen Schnittpunkt besitzen, dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung. |Lösung|Lösungausblenden}}

'''c)''' Bewege die Schieberegler. Wann haben die beiden Geraden keinen eindeutigen Schnittpunkt? Was bedeutet das für die Lösung des Gleichungssystems?

{{Lösung versteckt| Wenn die Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also übereinander liegen, haben sie unendlich viele Schnittpunkte. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Wenn die beiden Geraden parallel zueinander sind, existiert kein Schnittpunkt. Dann hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die beiden Geraden identisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen für das zugehörige lineare Gleichungssystem. |Lösung|Lösungausblenden}}

'''d)''' Welche Lösungsmöglichkeiten gibt es also für lineare Gleichungssysteme?

{{Lösung versteckt|
Ein lineares Gleichungssystem kann
* eine Lösung
* keine Lösung oder
* unendlich viele Lösungen
haben.
|Lösung|Lösungausblenden}}

<ggb_applet id="eykdc2u9" width="100%" height="100%" />
| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1=Merksatz - Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=
Ein lineares Gleichungssystem hat entweder '''genau eine''' Lösung, '''keine''' Lösung oder '''unendlich viele''' Lösungen.
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1=Merksatz - Erkennen der Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme | 2=
Hat ein lineares Gleichungssystem '''keine Lösung''', lässt sich dies durch einen Widerspruch erkennen. Entsteht bei der Umformung eines Gleichungssystems innerhalb einer Gleichung ein Widerspruch, so hat das Gleichungssystem keine Lösung. Manchmal lässt sich dies bereits vor dem Umformen erkennen, wenn zum Beispiel alle bis auf eine Komponente zweier Gleichungen identisch sind. Besitzt ein lineares Gleichungssystem keine Lösung, so ist die Lösungsmenge leer. Man schreibt dann <math> L= \{\} </math>.

Hat ein lineares Gleichungssystem '''unendlich viele''' Lösungen, lässt sich dies häufig direkt dadurch erkennen, dass zwei oder mehrere Gleichungen äquivalent sind, also Vielfache voneinander sind. Manchmal benötigt es zunächst einige Umformungen, bis eine Äquivalenz zwischen den Gleichungen erkannt werden kann. Besitzt ein lineares Gleichungssystem unendlich viele Lösung, so kann man eine Variable frei wählen und setzt für diese einen Parameter. Weiter unten findest du einen Merksatz zu diesem Vorgehen.

Existiert kein Widerspruch und die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der nicht äquivalenten Gleichungen, so besitzt das lineare Gleichungssystem '''genau eine''' Lösung.

Außerdem kann man die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems an der Anzahl der Gleichungen und Variablen erkennen. Weiteres dazu erfährst du im Abschnitt [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme#Unter- und .C3.BCberbestimmte Gleichungssysteme | Unter- und Überbestimmte Gleichungssysteme]]
| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Beispiel - Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 2=

'''a)''' Welche Lösung besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(-1| \frac{2}{3}| \frac{4}{3})\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
2x &&\; + \;&& y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten Gleichung von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; - \;&& 3y &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& -2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{(-2)}{(-3)} = \frac{2}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & -6 \cdot (\frac{2}{3}) + 3z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & -4 + 3z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 3z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{4}{3}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{3} &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x + 4 &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= -2 \\
\Leftrightarrow & & x &= -1
\end{align}</math>

Somit hat das Gleichungssystem '''genau eine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

'''b)''' Welche Lösung besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
-x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Addition der zweiten zur dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
x &&\; - \;&& y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; - \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man bereits sehen, dass sich die zweite und dritte Gleichung widersprechen: Beide Gleichungen sind bis auf eine Komponente äquivalent. Denn die linke Seite der zweiten Gleichung ist ein Vielfaches der linken Seite der dritten Gleichung, die rechte Seite jedoch nicht. Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 6 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; - &&\; 6z &&\; = \;&& -2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

'''c)''' Welche Lösung besitzt das lineare Gleichungssystem?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
4x &&\; + \;&& 3y &&\; - &&\; 2z &&\; = \;&& 14
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 4 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
x &&\; + \;&& 2y &&\; - &&\; 3z &&\; = \;&& 6\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; - \;&& 5y &&\; + &&\; 10z &&\; = \;&& -10
\end{alignat}\right\vert</math>

Hier kann man direkt sehen, dass die zweite und dritte Gleichung äquivalent sind, woran man bereits erkennt, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Addition der dritten und zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& y &&\; + &&\; 4z &&\; = \;&& 2 \\
0 &&\; + \;&& 5y &&\; - &&\; 10z &&\; = \;&& 10\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; + &&\; 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Nun wird ein Parameter gesetzt: Wähle <math> z = t </math>. Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5y - 10t &= 10 \\
\Leftrightarrow & & 5y &= 10 + 10t \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{10+10t}{5} \\
\Leftrightarrow & & y &= 2 + 2t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (2+2t) + 4t &= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2+2+2t-4t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 4-2t \\
\Leftrightarrow & & y &= 2-t
\end{align}</math>

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| 3=Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Merksatz - Variable frei wählen | 2=
Hat ein Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so kann eine Variable frei gewählt und die anderen Variablen in Abhängigkeit der gewählten Variable bestimmt werden. Dafür setzt man, nachdem das Gleichungssystem auf Zeilenstufenform gebracht wurde, für eine frei wählbare Variable einen Parameter ein, welcher für eine beliebige reelle Zahl steht. Dafür kann ein beliebiger Buchstabe genutzt werden. Folgende Schritte sollten dabei verfolgt werden:
# Wähle die Variable, welche sich durch weitere Äquivalenzumformungen nicht eindeutig bestimmen lässt.
# Häufig gibt es mehrere Variablen, die frei gewählt werden können. Setze dann nur für eine Variable einen Parameter ein, da dann die anderen Variablen in Abhängigkeit des Parameters bestimmt werden.
# Setze den Parameter für die gewählte Variable ein. Bestimme die anderen, noch nicht eindeutig bestimmten, Variablen in Abhängigkeit des Parameters durch Einsetzen und Umformen.

| 3= Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 6 - Variable frei wählen | 2=

Im Beispiel ''Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme'' wurde für die Variable <math> z </math> ein Parameter gesetzt. Somit hat sich für das lineare Gleichungssystem die Lösungsmenge <math> L= \{(2{-}t|2+2t|t) | t \in \mathbb{R}\} </math> ergeben.

'''a)''' Bestimme eine konkrete mögliche Lösung für die angegebene Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

{{Lösung versteckt|
Beispiel: Sei <math> t = 5 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(2{-}5|2+ 2\cdot 5|5)\} </math> also <math> L= \{({-}3|12|5)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b''' Für welche Variable könnte man statt für <math> z </math> noch einen Parameter setzen? Wie würde die Lösungsmenge dann aussehen?

{{Lösung versteckt|

Man könnte zum Beispiel auch für <math> y </math> einen Parameter setzen. Setze <math> y = t </math>.

Einsetzen in die zweite Gleichung und Umformen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
\Rightarrow & & 5t - 10z &= 10 \\
\Leftrightarrow & & -10z &= 10 - 5t \\
\Leftrightarrow & & z &= \frac{10-5t}{(-10)} \\
\Leftrightarrow & & z &= -1 + \frac{1}{2} \cdot t
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> y </math> und <math> z </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - t + 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t )&= 2 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t - 4 (-1 + \frac{1}{2} \cdot t ) \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 2 + t + 4 - 2t \\
\Leftrightarrow & & 2x &= 6-t \\
\Leftrightarrow & & x &= 3 - \frac{1}{2} \cdot t \\
\end{align}</math>

Somit folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3 {-} \frac{1}{2} \cdot t|t|{-}1 + \frac{1}{2} \cdot t ) | t \in \mathbb{R}\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Box | 1=Aufgabe 7 - Anzahl der Lösungen erkennen | 2=
Kreuze an, ob die jeweiligen Gleichungssysteme keine Lösung, unendlich viele Lösungen oder genau eine Lösungen besitzen und klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen.
{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20311259}}
| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 8 - Parameter bestimmen | 2=
Bestimme den Parameter <math> a \in \mathbb{R} </math> so, dass das lineare Gleichungssystem...

'''a)''' ...unendlich viele Lösungen hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
4x &&\; + \;&& 6y &&\; + &&\; 2z &&\; = \;&& 2 \\
2x &&\; + \;&& 3y &&\; + &&\; 3z &&\; = \;&& 0\\
2x &&\; + \;&& ay &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|
Für <math> a=3 </math> ist die dritte Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Somit sind beide Gleichungen für <math> a=3 </math> äquivalent und das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' ...keine Lösung hat.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; - \;&& ay &&\; = \;&& a-1 \\
x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 1
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt für die zweite Gleichung:

<math>\begin{align}
& & 2x-ay &= a-1 \\
\Leftrightarrow & & -4y+ay &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y(-4+a) &= 3-a \\
\Leftrightarrow & & y &= \frac{(3-a)}{(-4+a)}
\end{align}</math>

An dieser Stelle sieht man, dass <math> y </math> für <math> a=4 </math> unültig ist, da der Nenner für <math> a=4 </math> Null werden würde. Daher besitzt das Gleichungssystem für <math> a=4 </math> keine Lösung.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

==Unter- und überbestimmte Gleichungssysteme==

{{Box | Merksatz: Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme |
Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''überbestimmt''', wenn es mehr Gleichungen als Variablen enthält. Im Allgemeinen besitzen überbestimmte Gleichungssysteme keine Lösung.

Ein Lineares Gleichungssystem heißt '''unterbestimmt''', wenn es mehr Variablen als Gleichungen enthält. Im Allgemeinen sind unterbestimmte Gleichungssysteme nicht eindeutig lösbar. Sie besitzen also unendlich viele Lösungen.
| Merksatz}}

{{Box | 1= Aufgabe 9 - Ausnahmefälle bei der Lösung unter- und überbestimmter Gleichungssysteme |
2= Im Merksatz oben wurde erklärt, dass überbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine Lösung besitzen und unterbestimmte Gleichungssysteme im Allgemeinen keine eindeutige Lösung besitzen. Für beides gibt es jedoch Ausnahmen. Diese Ausnahmen wollen wir uns in dieser Aufgabe anhand zweier Beispiele anschauen.

'''a)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt| Hierbei handelt es sich um ein überbestimmtes Gleichungssystem. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Stimmt die folgende Aussage? Überlege dir auch eine Begründung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist überbestimmt und hat dennoch unendlich viele Lösungen.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Die Gleichungen sind alle Vielfache voneinander. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen mit der Lösungsmenge <math> L= \{(t|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>. Dies erkennt man auch direkt daran, dass die zweite und dritte Gleichung Vielfache der ersten Gleichung sind. Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> erhält man die zweite Gleichung, durch Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 4 </math> erhält man die dritte Gleichung. Somit sind alle drei Gleichungen äquivalent. Es reicht also, die Gleichung <math> x + y = 1 </math> zu betrachten. Umstellen der Gleichung nach <math> y </math> ergibt:

<math> y = 1 - x </math>

Die Variable <math> x </math> kann nun frei gewählt werden, es wird daher der Parameter <math> t = x </math> eingesetzt. Abhängig von diesem Parameter lässt sich dann <math> y = 1 - t </math> bestimmen. Wird zum Beispiel <math> t = 1 </math> gewählt, so folgt <math> y = 1-1 = 0 </math>.

Dies wird auch deutlich, wenn das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren gelöst wird:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
4x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der dritten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 2\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der ersten Gleichung mit <math> 2 </math> und Subtraktion des Ergebnisses von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 1 \\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0\\
0 &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

'''c)''' Betrachte das Lineare Gleichungssystem. Überlege dir mit der Erklärung aus dem Merksatz, ob es sich um ein über- oder unterbestimmtes Gleichungssystem handelt.

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
x &&\; + \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

'''d)''' Stimmt die folgende Aussage? Überlege dir auch eine Begründung.

<div style="background:LightGrey">
'''Das Gleichungssystem ist unterbestimmt und hat dennoch keine Lösung.'''
</div>

{{Lösung versteckt| Vergleiche die beiden Gleichungen des Gleichungssystems. Was ist gleich, was nicht? |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem hat keine Lösung, also die Lösungsmenge <math> L= \{\} </math>. Dies erkennt man direkt daran, dass bei beiden Gleichungen der Term auf der linken Seite gleich ist. Setzt man also beide Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren gleich, so ergibt sich <math> 1 = 2 </math>. Dies ist ein Widerspruch.

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Box | Beispiel: Überbestimmtes Gleichungssystem |

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Lösung versteckt|
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
x &&\; + \;&& 3y &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& y &&\; = \;&& 6 \\
2x &&\; - \;&& y &&\; = \;&& 1\\
0 &&\; + \;&& 7y &&\; = \;&& -1
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der dritten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{(-1)}{7} = - \frac{1}{7} </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x - (- \frac{1}{7}) &= 1 \\
\Leftrightarrow & & 2x &= \frac{6}{7} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{3}{7}
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & \frac{3}{7}+ (- \frac{1}{7}) &= 6 \\
\Leftrightarrow & & \frac{2}{7} &= 6 \quad \Rightarrow \text{Widerspruch}
\end{align}</math>

An dieser Stelle entsteht ein '''Widerspruch'''. Die letzte Gleichung besitzt keine Gültigkeit. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Box | Beispiel: Unterbestimmtes Gleichungssystem |

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der zweiten Gleichung mit <math> 2 </math> und anschließende Subtraktion der ersten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 &&\; - \;&& 4y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Aus der zweiten Gleichung folgt:

<math> y = \frac{4}{(-4)} = -1 </math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2x + 2 \cdot (-1) + 2z &= 0 \\
\Leftrightarrow & & 2x -2 + 2z &= 0
\end{align}</math>

Die Gleichung kann nun entweder nach <math> x </math> oder nach <math> z </math> umgestellt werden. Umstellen nach <math> z </math> ergibt:

<math>\begin{align}
& & 2z &= -2x+2 \\
\Leftrightarrow & & z &= 1-x
\end{align}</math>

Für <math> x </math> wird jetzt ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. Somit ergibt sich die Lösungsmenge <math> L= \{(t|{-}1|1{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

| Hervorhebung1}}

{{Box | 1= Aufgabe 10 - weiterführende Aufgabe zu den Beispielen | 2=
Das Gleichungssystem aus dem Beispiel ''Unterbestimmtes Gleichungssystem'' besitzt unendlich viele Lösungen. Bestimme eine mögliche konkrete Lösung für dieses Gleichungssystem.

{{Lösung versteckt| <math> t </math> ist eine beliebige, also eine frei wählbare reelle Zahl. |Tipp|Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt|
Wähle zum Beispiel <math> t = 3 </math>. Dann folgt für die Lösungsmenge:

<math> L= \{(3| {-}1| 1{-}3)\} </math> also <math> L= \{(3| {-}1| {-}2)\} </math>

|Lösung |Lösung ausblenden}}

| 3=Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box | 1= Aufgabe 11 - LGS lösen | 2=

'''a)''' Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da es mehr Variablen als Gleichungen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.
| 3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{(t| {-}\frac{1}{3}| 4{-}t)| t \in \mathbb{R}\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
x &&\; - \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 5
\end{alignat}\right\vert</math>

Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& z &&\; = \;&& 3 \\
0 &&\; - \;&& 6y &&\; + \;&& 0 &&\; = \;&& 2
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{2}{(-6)} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& x + 3 \cdot -\frac{1}{3} + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x - 1 + z &= 3 \\
\Leftrightarrow & & x + z &= 4 \\
\Leftrightarrow & & z &= 4 - x \\
\end{align}</math>

Für dieses Gleichungssystem kann keine eindeutige Lösung bestimmt werden. Für <math> y </math> wurde eine eindeutige Lösung bestimmt, <math> x </math> und <math> z </math> können nur in Abhängigkeit der jeweils anderen Variable bestimmt werden. So wurde hier '''die Variable <math> z </math> in Abhängigkeit von <math> x </math> ''' bestimmt. Für <math> x </math> kann also eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden, daher wird für <math> x </math> ein Parameter eingesetzt: Sei <math> t = x </math>. <math> z </math> berechnet sich dann durch den Parameter <math> t </math>. Das Gleichungssystem hat also '''unendlich viele Lösungen'''. Genauso wäre es möglich, die Variable <math> x </math> in Abhängigkeit von <math> z </math> zu bestimmen, also für <math> z </math> einen Parameter zu setzen.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 12 - LGS lösen | 2=

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

'''a)''' Ist das Gleichungssystem überbestimmt oder unterbestimmt?

{{Lösung versteckt|Das Gleichungssystem ist überbestimmt, da es mehr Gleichungen als Variablen besitzt. |Lösung |Lösung ausblenden}}

'''b)''' Löse das Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Schreibe deinen Lösungsweg auf und gib anschließend die Lösungsmenge an.
| 3= Arbeitsmethode|Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Lösung versteckt|<math> L= \{\} </math>|Lösung|Lösung ausblenden}}

{{Lösung versteckt|

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
x &&\; + \;&& 4y &&\; = \;&& 4
\end{alignat}\right\vert</math>

Multiplikation der dritten Gleichung mit <math> 4 </math> und anschließende Subtraktion der zweiten Gleichung ergibt:

<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& 2y &&\; = \;&& 12 \\
4x &&\; - \;&& 2y &&\; = \;&& 8\\
0 &&\; + \;&& 18y &&\; = \;&& 8
\end{alignat}\right\vert</math>

<math>
\Rightarrow y = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
</math>

Einsetzen von <math> y </math> in die zweite Gleichung ergibt:

<math>\begin{align}
&& 4x - 2 \cdot \frac{4}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x - \frac{8}{9} &= 8 \\
\Leftrightarrow & & 4x &= \frac{80}{9} \\
\Leftrightarrow & & x &= \frac{20}{9} \\
\end{align}</math>

Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung ergibt:

<math>
2 \cdot \frac{20}{9} + 2 \cdot \frac{8}{18} = \frac{16}{3} \neq 12
</math>

Hier entsteht also ein '''Widerspruch'''. Das Einsetzen von <math> x </math> und <math> y </math> in die erste Gleichung liefert ein anderes Ergebnis als das, was auf der rechten Seite der Gleichung steht. Daher gilt dieses Gleichungssystem als nicht lösbar, es besitzt also '''keine Lösung'''.

|Lösungsweg |Lösungsweg ausblenden}}

{{Box | 1=Aufgabe 13 - Zusammenfassung | 2=
Fülle die Lücken richtig aus, indem du auf die Lücken klickst und die richtige Aussage aus der Liste auswählst. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Lösung zu überprüfen.

{{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20165782}}

| 3= Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

==Interpretation der Lösung eines Linearen Gleichungssystems==
{{Box| 1= Aufgabe 9 - Ordne die Linearen Gleichungssysteme und Lösungsmengen bezüglich der Lage zweier Geraden zu. Klicke abschließend auf den Haken im blauen Kreis, um deine Zuordnung zu überprüfen |2={{LearningApp|width=100%|height=500px|app=20404725}}|3= Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt|Parallele Geraden besitzen keine, identische Geraden unendlich viele und sich schneidende Geraden genau eine Lösung| Tipp 1| Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt|Ist eine Variable beim Lösen des LGS von einer anderen abhängig, ist eine Variable frei wählbar und somit existieren unendlich viele Lösungen| Tipp 2|Tipp ausblenden}}

{{Box | 1= Aufgabe 10 - Lösung interpretieren | 2=
Die Lagebeziehung dreier Ebenen wird untersucht. Dabei entsteht durch die Ebenengleichungen das folgende Gleichungssystem:

<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & x & + & 4y & + & z & = & 12\\
\text{II}\quad & x & + & 2y & + & z & = & 8\\
\text{III}\quad & x & + & y & - & z & = & 3
\end{array}</math>

Durch die Anwendung des Gaußverfahrens resultiert folgende Matrix:

<math>\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 4\\
0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}</math>

'''a)''' Lese die Lösungen des LGS für x, y und z ab.

{{Lösung versteckt|In der Matrixschreibweise steht je eine Spalte für eine Variable. Aus einer solchen Stufenform lassen sich die Werte direkt aus der letzten Spalte ablesen. | Tipp | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x = 4, y = 1, z = 2 </math> |Lösung|Lösung ausblenden}}

'''b)''' Was bedeutet die Lösung in Bezug auf die Lagebeziehung der Ebenen? Bestimme ggf. den Schnittpunkt oder die Schnittgerade der drei Ebenen.

{{Lösung versteckt| Bestimme, ob das LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat | Tipp 1 | Tipp ausblenden}}
{{Lösung versteckt| Schneiden sich die 3 Ebenen in einem Punkt, so hat das LGS genau eine Lösung. Schneiden sich die 3 Ebenen in einer Gerade, so hat das LGS unendlich viele Lösungen. Hat das LGS keine Lösung, so gibt es keinen Punkt, indem sich alle 3 Ebenen schneiden. | Tipp 2 | Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Das LGS hat genau eine Lösung. Die Lösung des LGS entspricht dem Schnittpunkt S(4/1/2). | Lösung| Lösung ausblenden}}

| 3= Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Unterwegs_in_3-D_–_Punkte,_Vektoren,_Geraden_und_Ebenen_im_Raum#Kapitelauswahl}}

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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Unterwegs in 3-D – Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen im Raum/Lineare Gleichungssysteme

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