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Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-06-02T20:14:20Z

Florine WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66</math>m und eine Höhe von <math>100</math>m maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 </math>m maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200</math>cm sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360</math>cm groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360</math>cm groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Um das maximale Volumen angeben zu können, nutze die in Aufgabenteil a ermittelten Abmessungen für die Höhe, Breite und Länge. Das Volumen errechnest du, indem du Höhe <math>* </math>Breite <math>*</math> Länge rechnest. | 2= Tipp zur Errechnung des Volumens | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200</math>cm sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60</math>cm.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120</math>cm.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000</math>cm³.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10</math>cm eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10</math>cm der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403</math>cm³.

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>g</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von <math>g</math> liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: Mit Hilfe der x-Achse wollen wir die Breite des Rechteckes in cm und mit Hilfe der y-Achse die Länge des Rechteckes in cm angeben.

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
Den Flächeninhalt von einem Rechteck bestimmst du, indem du die Breite mit der Länge multiplizierst. Den Flächeninhalt geben wir durch <math>A(x,y)</math> an. Es gilt also <math> A(x,y) = x*y </math> | Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes | Tipp verbergen }}
{{Lösung versteckt|
Als Nebenbedingung eignet sich die Funktion <math>g(x)=(x-3)^2 + 2{,}5</math>.
Das liegt daran, dass ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt. Somit wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> bestimmt.
Die Nebenbedingung <math>g(x)</math> wird in <math>A(x,y)=x*y</math> für <math>y</math> eingesetzt. | Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt|
1=
Mit <math>x,y</math> in cm berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>. Da ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt, wird die Länge des Rechteckes durch den Funktionswert an der Stelle <math>x</math> angegeben.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5</math>cm².
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-05-20T17:13:45Z

Florine WWU-6:

{{Box |1=Info |2=
In diesem Kapitel kannst du etwas zum Thema Optimierungsprobleme lernen.

In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.

Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.

Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.

Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

In diesem Kapitel erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind. Dabei werden wir wichtige Begriffe wiederholen.

Anschließend kannst du selbstständig Aufgaben bearbeiten.

Viel Erfolg!

|3=Kurzinfo}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box | Aufgabe 1: Das größtmöglichste Fussballfeld|

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fußballfeld?

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Lösung versteckt
|2= Tipps zu a)
|1=

{{Lösung versteckt |2= Tipp 1 |1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes. Überlege also zunächst, wie der Flächeninhalt <math>A</math> berechnet wird.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=a \cdot b</math>.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 1 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 2 |1=

Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
Du erhältst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>.
|3= Lösung verbergen }}
|3= Tipp 2 verbergen }}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 3 |1=

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du deine Zielfunktion.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Deine Zielfunktion ist:
<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 3 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 4 |1=

Für die Zielfunktion kann <math>b</math> nur zwischen <math>0</math> und <math>200</math> liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Prüfe nun die notwendige und hinreichende Bedingung.

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 4 verbergen}}

{{Lösung versteckt |2= Tipp 5 |1=

Berechne nun <math> a </math>.
{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=

<math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math>
Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird also für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp 5 verbergen}}

|3= Tipps zu a) verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Tipp zu b)
|1=

Berechne nun durch Einsetzen von <math>a</math> und <math>b</math> den Flächeninhalt <math>A</math>:

{{Lösung versteckt |2= Lösung |1=
<math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 </math>
Der Flächeninhalt wird also auf <math> 6366 m </math> maximiert.
|3= Lösung verbergen}}
|3= Tipp zu b) verbergen
}}

{{Box
| Aufgabe 2: Das optimale Paket
|
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen (<math>a</math>) her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge (<math>b</math>) soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge (<math>b</math>) plus Umfang einer quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. [[Datei:Kartonfabrik 3.png|300|rechts|rahmenlos]]
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=
Rechne Höhe (<math>a</math>) <math>*</math> Breite (<math>a</math>) <math>*</math> Länge (<math>b</math>), um das Volumen eines Quaders (Paketes) zu ermitteln.
| 2=Tipp zum Aufstellen der Zielfunktion | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Nutze die zweite Bedingung, stelle eine Gleichung auf und stelle diese nach <math>b</math> um.

Zweite Bedingung: Länge (<math>b</math>) plus Umfang '''einer''' quadratischen Seitenfläche soll <math> 360cm </math> groß sein. Den Umfang einer quadratischen Seitenfläche erhältst du, indem du <math>4*a</math> rechnest.
| 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt | 1=
Die Definitionsmenge für die Zielfunktion <math>V(a)</math> ergibt sich aus der Bedingung für die Länge (<math>b</math>).
Die Länge muss zum einen größer gleich <math>0</math> und zum anderen kleiner gleich <math>200</math> sein. Also gelten die folgenden zwei Ungleichungen, die du einfach nach a auflösen kannst.
<math>0</math><math>\leq</math><math>360-4*a</math> und
<math>200</math><math>\geq</math><math>360-4*a</math>.
| 2= Tipp zur Bestimmung der Definitionsmenge | 3= Tipp verbergen }}

{{Lösung versteckt | 1=
'''Zielfunktion aufstellen''': Um das Volumen des Paktes zu errechnen, verwenden wir die folgende Funktion, die von den Variablen <math>a</math> und <math>b</math> abgängig ist:
<math>V(a,b) = a * a * b = a^2 *b</math>.

'''Nebenbedingung aufstellen''': Durch die zweite Bedingung können wir die folgende Gleichung aufstellen.
<math> b + 4*a = 360</math>.
Die Gleichung stellen wir nach <math>b</math> um und erhalten:
<math>b = 360 - 4*a</math>.
Nun können wir <math>b</math> in die Zielfunktion <math>V(a,b)</math> einsetzen, welche dann durch noch von der Variable <math>a</math> abhängt. Wir schreiben dann für die Funktion <math>V(a)</math> und erhalten <math>V(a) = -4*a^3 + 360 a^2</math>.

'''Definitionsmenge angeben''': Wir wollen nun eine Definitionsmenge für die Funktion <math>V(a)</math> angeben. Diese erhalten wir, indem wir uns die Bedingung für die Länge (<math>b</math>) anschauen.
Offensichtlich muss die Länge größer gleich <math>0</math> sein. Es gilt also:
<math>360 - 4*a \geq 0</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt:<math>a \leq 90</math>.
Außerdem muss die Länger kleiner gleich <math>200 cm </math> sein. Es gilt also:
<<math>360 - 4*a \leq 200</math>.
Durch das Umstellen nach <math>a</math> folgt: <math>a \geq 40</math>.
Insgesamt ergibt das also <math>40 \leq a \leq 90</math>.

Nun sollen die Extremstellen von <math>V(a)</math>bestimmt werden.

<math>V'(a) = -12a^2 + 720a</math>

<math>V''(a) = -24a + 720</math>.

Notw. Bedingung: <math>V'(a) = 0 </math>.

<math> -12a^2 + 720a = 0 </math> (Klammere das <math>a</math> aus und wende den Satz vom Nullprodukt an. Alternativ kannst du auch die pq-Formel anwenden)
<math> (-12a + 720)a = 0 </math>

<math>-> a=0 </math> oder <math> -12a + 720 = 0 </math>.
Da <math>a \geq 40</math> muss <math> -12a + 720 = 0 </math> gelten, also <math> a = 60 </math>.

Durch das Einsetzen von <math> a = 60 </math> in <math>V''(a)</math> folgt, dass <math>V(a)</math> an dieser Stelle einen Hochpunkt besitzt.

Breite und Höhe sind also <math>60 cm</math>.
Die Länge ergibt sich durch das einsetzen von <math> a = 60</math> in <math> b = 360 - 4*a</math>.
<math> b = 120 cm </math>.

'''Das Volumen bestimmen''': Wir berechnen nun das Volumen des optimalen Paketes, indem wir <math>60 * 60 * 120 </math> berechnen.
Das maximale Volumen beträgt also <math>432 000 cm^3</math>.

|2 = Lösung der Aufgabe | 3= Lösung verbergen}}

| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
|Aufgabe 3: Die optimale Pommestüte
|
Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> eine Pommestüte formen.

Dazu schneidet er den Kreis längs eines Radius ein. Nun versucht Leon die Pommestüte so zu formen, sodass das Volumen der Pommestüte maximal ist, damit auch möglichst viele Pommes hineinpassen.

Was ist das maximale Volumen der Pommestüte? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]]

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen der Pommestüte errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras kannst du <math>s^2</math> bestimmen. Durch geeignetes Umstellen nach <math>r^2</math> erhältst du schließlich eine geeignete Nebenbedingung. | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Leon möchte aus einem kreisförmigen Stück Papier eine Pommestüte formen, in der möglichst viele Pommes hineinpassen. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> der Pommestüte.

Rollt Leon das Stück Papier nicht, so ist ist das Volumen <math>V = 0</math>. Rollte Leon das Stück Papier ganz zusammen, so ist <math>s = h = 10</math>.

Gegeben ist die Mantellinie mit <math> s=10 </math> der Pommestüte. Außerdem ist das Volumen der Pommestüte von den Variablen <math> r </math>(Radius) und <math> h </math>(Höhe) abhängig. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Volumen der Pommestüte beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

| Arbeitsmethode }}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Aufgabe 4: Globale und lokale Extremstellen |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}

{{Box
| Aufgabe 5: Randextrema beachten |

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>g(x)=(x-3)^2+2{,}5</math> im Intervall <math>[0{,}3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt A auf dem Graphen von g liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Hinweis: In der Abbildung kannst du Punkt C verschieben.

<ggb_applet id="xqe2gfjd" width="200%" height="100%" border="888888" />

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2{,}5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1{,}59|7{,}14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7{,}5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7{,}5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

| Arbeitsmethode
| Farbe ={{Farbe|orange}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable <math>x</math> abhängt, sondern außerdem von einem Parameter <math>a</math>.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box
|Aufgabe 6: __ ⭐
|
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>, wobei <math>g(t)</math> den Funktionswert am Tiefpunkt in Abhängigkeit von t angibt.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 2}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von <math>t</math>:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

| Arbeitsmethode
| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-30T11:11:09Z

Florine WWU-6: /* Globales Extremum und Randextremum */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y=200</math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Was ist das maximale Kegelvolumen? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]

{{Lösung versteckt|
1=

Mit <math>x,y</math> in <math>cm</math> berechnen wir den Flächeninhalt mit der Funktion <math>A(x,y)=x*y</math>.

Die Nebenbedingung ist die angegebene Funktion <math>f(x)=f(x)=(x-3)^2+2,5</math>.

Setzt man nun die Nebenbedingung in die Funktion <math>A(x,y)</math> ein, so erhalten wir <math>A(x)=x^3-6x^2+11x</math>. Die Funktion heißt nun <math>A(x)</math>, da sie nur noch von der Unbekannte <math>x</math> abhängt.

Nun lässt sich mit Hilfe der notwendigen Bedingung <math>A'(x)=0</math> und der hinreichenden Bedingung für Hochpunkte <math>A''(x) < 0 </math> die Stelle des lokalen Hochpunktes bestimmen. Anschließend setzen wir <math>x</math> in die Ausgangsfunktion <math>A(x)</math> ein und erhalten nun den lokalen Hochpunkt <math>HP(1,59/7,14)</math>.

Zuletzt prüfen wir noch die Randpunkte.

<math>A(0)=0</math> und <math>A(3)=7,5</math>.

Damit liegt der globale Hochpunkt an der Stelle <math>x=3</math>.

Der Flächeninhalt ist also am größten, wenn der zweite Eckpunkt des achsenparallelen Rechteckes an die Stelle <math>x=3</math> gelegt wird. Der Flächeninhalt beträgt dann <math>7,5cm^2</math>
|2=Lösung |3=Lösung verbergen }}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-30T08:35:48Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y=200</math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Was ist das maximale Kegelvolumen? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-30T08:34:19Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math> </math> <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math> </math> <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Was ist das maximale Kegelvolumen? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da es sich um eine Anwendungssituation handelt, reicht ein guter Näherungswert.

Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-30T08:32:08Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math> </math> <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math> </math> <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

'''a)''' Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

'''b)''' Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Was ist das maximale Kegelvolumen? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.
*Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-30T08:31:22Z

Florine WWU-6:

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math> </math> <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math> </math> <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

a) Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>.

b) Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Was ist das maximale Kegelvolumen? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.
*Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-30T08:30:22Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math> </math> <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math> </math> <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>. Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Was ist das maximale Kegelvolumen? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.
*Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-30T08:26:08Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.

'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen dr Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math> </math> <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math> </math> <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>. Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Was ist das maximale Kegelvolumen? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.
*Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-30T08:25:05Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen dr Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math> </math> <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math> </math> <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>. Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Was ist das maximale Kegelvolumen? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.
*Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-30T08:24:00Z

Florine WWU-6:

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen dr Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen der Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot (360-4x)=-4x^3 + 360x^2 </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math> </math> <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math> </math> <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq 40</math>

Damit gilt <math>40 \leq x <90</math>.

Mit der ersten Ableitung <math>V'(x) = -12x^2 + 720x =(-12x+720)x</math> und <math>V'(x)=0</math> ergibt sich dann <math>x=0</math> oder <math>x=60</math>. Wegen <math>x \geq 40</math> kann nur <math>x=60</math> gelten. <math>V(x)</math> hat also bei <math>x=60</math> ein Maximum.

Somit erhält man das größte Volumen mit den Maßen <math>120cm \cdot 60cm \cdot 60cm</math>. Das Volumen beträgt dann <math>V=432 000cm^3=0,432cm^3</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Was ist das maximale Kegelvolumen? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.
*Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-30T08:15:28Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen dr Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen dr Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Was ist das maximale Kegelvolumen? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.
*Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-30T08:10:31Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Mit <math>x, y</math> in <math>cm</math>, <math>V</math> in <math>cm^3</math> gilt: <math>V = x^2 \cdot y</math>.

Nebenbedingung: <math>4x + y = 360</math>, also <math>y = 360 -4x</math>.

Einsetzen dr Nebenbedingung ergibt: <math>V(x)= x^2 \cdot </math>. Die Definitionsmenge für diese Funktion ergeibt sich aus den Bedingungen für <math>y</math>:

<math>y=0</math>: <math>4x = 360 </math>, also <math>x < 90</math>

<math>y= </math>: <math>4x + 200=360</math>, also <math>x \geq</math>

|2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt.
Was ist das maximale Kegelvolumen? [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.
*Die Ableitungsfunktion lautet <math>V'(h)=- \pi*h^2 + \frac{100}{3} * \pi</math>.
Das maximale Kegelvolumen beträgt ca. <math>403cm^3</math>

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T19:47:51Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>.

Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T19:47:22Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3} \cdot\pi\cdot r^2 h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi h</math>
Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T19:45:42Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1=

Aus einer Tüte soll ein Kegel mit maximalem Volumen geformt werden. Zu optimieren ist also das Volumen <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math> eines Kegels.

Betrachte nun eine Tüte. Nimmt man eine Tüte und rollt diese gar nicht, also <math> s=r </math> und <math> h=0 </math>, so erhält man kein Volumen, also <math> V=0 </math>. Gleiches passiert, wenn man eine Tüte gan zusammenrollt, also <math> s=h=10 </math>. Es muss also ein Volumen <math> V </math> zwischen beiden geben.

Gegeben sind zwei Größen: die Mantellinie <math> s=10 </math> des Kegels, der Radius <math> r </math> und die Höhe <math> h </math>. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich <math> r^2 + h^2 = 10^2 </math>. Stelle diese Gleichung nun nach <math> r </math> um und erhalte <math> r^2 = 100 - h^2 </math>.

Setze diesen Ausdruck nun für <math> r^2 </math> in die Formel für das Volumen ein. Du erhälst folgende Zielfunktion:
<math> V(h)= \frac{1}{3} \pi (100-h^2)h = -\frac{1}{3} \pi h^3 + \frac{100}{3} \pi \h</math>
Für diese Funktion kann <math> h </math> nur zwischen <math> 0 </math> und <math> 10 </math> liegen, also <math> 0<h<10 </math>.

Da in Anwendungssituationen meist nur gute Näherungswerte sinnvoll sind, sind hier grafisch-tabellarische Bestimmungen der Extremwerte hinreichend.

| 2= Lösung
|3= Lösung verbergen
}}

|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T19:29:17Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1=

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
|3= Rechenweg verbergen
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T19:25:47Z

Florine WWU-6:

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedingung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T19:24:47Z

Florine WWU-6:

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es? Welche Größen kommen vor und wie hängen sie zusammen? Welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Über die Größen selbst weißt du ebenfalls etwas durch den Umfang: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Stelle die Formel für den Umfang nun nach <math> a </math> um und erhalte: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Formel für <math> a </math> in den Flächeninhalt ein. So erhälst du die folgende Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>
Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

Nun musst du den optimalen Wert berechnen. Gesucht ist hier das '''Maximum'''. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T19:09:27Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es, welche Größen kommen vor und welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T19:08:43Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme
|Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es, welche Größen kommen vor und welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T19:07:25Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|

Bei Optimierungsproblemen geht es stets darum, dass eine bestimmte Größe optimiert werden soll. So wird z. B. eine '''optimale''' Verpackung für Reis oder die '''optimale''' Anzahl an Zahnpasten gesucht, die in einen Karton passen - es geht also um eine Anwendungssituation. Das Ergebnis eines Optimierungsproblems ist daher auch meist kein exakter Wert sondern ein '''Näherungswert'''. Dieser muss natürlich sinnvoll gewählt sein.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems muss man zunächst die Aufgabe genau lesen und verstehen. Hierbei kann man sich die folgenden Fragen stellen: Worum geht es, welche Größen kommen vor und welche Größe soll nun '''optimiert''', also maximiert oder minimiert werden?

Der '''optimale''' Wert bedeutet mathematisch, den Extremwert einer Funktion zu bestimmen. Du musst also das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken und dabei die anderen Größen miteinbeziehen. Mit dieser Funktion kannst du dann den optimalen Wert bestimmen.

|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
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}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|{{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
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{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
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}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T18:31:21Z

Florine WWU-6: /* Optimierungsprobleme & Funktionenscharen */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T14:47:31Z

Florine WWU-6:

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T14:46:34Z

Florine WWU-6:

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Beispiel: Aufgabe 1
|Inhalt=

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

<nowiki>|3=Merke
}}</nowiki>

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T14:43:00Z

Florine WWU-6:

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe 1:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal.

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|3=Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T14:40:21Z

Florine WWU-6:

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe 1:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|3=Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==

{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 5 ⭐
|Inhalt=

Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|Farbe= {{Farbe|grün|dunkler}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T13:37:41Z

Florine WWU-6:

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe 1:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Rechenweg
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>
}}

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1=
'''a)''' Der Flächeninhalt des Fussballfeldes wird für eine Breite von <math>63,66m</math> und eine Höhe von <math>100m</math> maximal

'''b)''' Der Flächeninhalt wird auf <math> 6366 m </math> maximiert.
}}

|3=Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==
{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box| 1=Aufgabe 5 ⭐|2=
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T13:34:15Z

Florine WWU-6:

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Optimierungsproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe 1:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.
}}

|3=Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==
{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box| 1=Aufgabe 5 ⭐|2=
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T13:32:15Z

Florine WWU-6:

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Extremwertproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe 1:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.
}}

|3=Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==
{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box| 1=Aufgabe 5 ⭐|2=
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-04-29T13:29:52Z

Florine WWU-6: Einfügen der Items zum Thema c) (Optimierungsprobleme)

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.

<quiz display="simple">
{ Der Differenzenquotient <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschreibt die momentane Änderungsrate. }
- Wahr
+ Falsch

{ Was ergibt 1+1? }
- 1
+ 2
- 3
- 4
</quiz>

<quiz display="simple">
{ Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? }
+ Mittels einer Sekante.
- Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
+ Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
- Mittels einer Tangente.

{ Was gibt die Tangentensteigung an? }
- Die durchschnittliche Änderungsrate.
+ Die lokale Änderungsrate.
- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

{ Dummy zu Thema a) }
- 1
- 2

{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
- zwei Extrema
+ drei Extrema
- vier Extrema
- keinen Wendepunkt
- einen Wendepunkt
+ zwei Wendepunkte

{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
- im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math> und nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math> und nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.
+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math> und nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math> und nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.

{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2)</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>(x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend
+ <math>f'(x_1)>0 </math>
+ <math>f'(x_2)=0 </math>
- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

{ Was trifft zu? Kreuze alle richtigen Aussagen an! }
+ Bei einem Optimierungsproblem wird immer nach dem optimalen Wert einer Funktion gefragt.
- Mit Optimierungsproblem ist die Kurvendiskussion einer Funktion gemeint.
+ Bei einem Optimierungsproblem wird immer nach dem bestmöglichsten Wert gesucht.
+ Bei einem Optimierungsproblem soll eine Größe entweder minimiert oder maximiert werden
- Bei Optimierungsproblemen geht es das Integral einer Funktion

{ Um ein Optimierungsproblem zu lösen, braucht man eine Nebenbedingung. }
+ Wahr
- Falsch

{ Zur Lösung eines Optimierungsproblems braucht man keine Extremwerte. }
- Wahr
+ Falsch

{ Dummy zu Thema d) }
- 1
- 2

{ Dummy zu Thema d) }
- 1
- 2

{ Dummy zu Thema d) }
- 1
- 2

{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse und ist immer positiv. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bestimme die Stammfunktion von <math> f(x) = 17x^5 + 4x^3 - 11x - 568 + 23x^4 </math> }
- <math> F(x) = 85x^4+92x^3+12x^2-11 </math>
+ <math> F(x) = \frac{17}{6}x^6+\frac{23}{5}x^5+x^4-\frac{11}{2}x^2-568x+c </math>
- <math> F(x) = 85x^6+92x^5+12x^4-11x^2-568x+c </math>
- <math> F(x) = \frac{17}{5}x^6+\frac{23}{4}x^5+\frac{4}{3}x^4-11x^2-568x+c </math>

{ Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt: Die Funktion <math>f</math> sei stetig auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt: }
+ <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)</math>
- <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(a) - F(b)</math>
- <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) + F(a)</math>
- <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = f(b) - f(a)</math>

{ Die Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot e^x </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot e^x </math>. }
- wahr
+ falsch

{ Welche Integrationsmethode(n) wurde(n) bei dieser Rechnung verwendet?
<math> \int x \cdot cos(x) dx = [x \cdot sin(x)] - \int 1 \cdot sin(x) dx </math> }
+ partielle Integration
- Integration durch Substitution
- beide
- keines der beiden

{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{1}^{5} 3 \cdot x + 4 dx </math>}
- 60
- 43
+ 52
</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung|Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Optimierungsprobleme|Optimierungsprobleme]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Steckbriefaufgaben|Steckbriefaufgaben]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]

|Frage}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T13:17:28Z

Florine WWU-6: /* Allgemeine Hinweise */

==Allgemeine Hinweise==
{{Box-spezial
|Titel= Info
|Inhalt=

In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''orangem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem ⭐ gekennzeichnet.

Viel Erfolg!
|Farbe= {{Farbe|grau}}
|Icon= {{Vorlage:Icon info}}
}}

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Extremwertproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe 1:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.
}}

|3=Merke
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 2
|Inhalt=

Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an.
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 3
|Inhalt=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe 4
|Inhalt=

Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
|Farbe= {{Farbe|orange}}
|Icon= {{Vorlage:Icon pencil}}
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==
{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box| 1=Aufgabe|2=
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-29T12:55:59Z

Florine WWU-6:

==Einführung: Optimierungsprobleme==
{{Box|Was sind Optimierungsprobleme?|
'''''Optimierungsprobleme''''' , oder auch '''''Extremwertprobleme''''', beschreiben eine Aufgabenform, bei der nach dem '''''optimalen Wert''''' einer Funktion gefragt wird. Dieser optimale Wert ist oftmals ein '''''Extremwert''''', also ein '''''Maximum''''' oder ein '''''Minimum'''''.

Die Berechnung erfolgt dabei im Sachzusammenhang, es wird also beispielsweise nach dem minimalen Volumen einer Schachtel gefragt, die man mit einem Blatt Papier falten kann, oder nach dem maximalen Flächeninhalt eines Grundstücks, das man mit einer bestimmten Meterzahl an Zaunteilen einzäunen kann.

Die Funktion, deren Extremwert es zu bestimmen gilt, muss also noch ermittelt werden.|Kurzinfo}}

==Allgemeine Hinweise==
{{Box|Info|In diesem Lernpfad sollst du dein Wissen zu '''''Optimierungsproblemen''''' testen, wiederholen und vertiefen können. Dafür erklären wir dir zunächst, was Optimierungsprobleme sind, und wiederholen wichtige Begriffe. Danach kannst du selbständig Aufgaben bearbeiten.

Zum Lösen der Aufgaben benötigst du nur Papier, Stift und Taschenrechner.

In den Augaben mit '''gelbem ''' Balken kannst du dein gelerntes Wissen testen und es wiederholen.

Mit Aufgaben, die einen '''blauen ''' Balken haben, kannst du weiter üben und dein Wissen vertiefen.

Aufgaben mit '''grünem ''' Balken sind Knobelaufgaben.

Aufgaben, die nur für den LK Mathematik sind, sind außerdem mit einem * gekennzeichnet.

Viel Erfolg!|Kurzinfo}}

==Vorgehen beim Lösen von Extremwertproblemen==
{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt
|2= Lösung
|1='''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu.

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach a umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2} \cdot b=\frac{-\pi \cdot b^2}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>.
Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen.

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.
}}

|3=Merke
}}

{{Box | 1=Aufgabe | 2=
Eine Kartonfabrik stellt quaderförmige Pakete mit quadratischen Seitenflächen her. Damit die Pakete nicht zu unhandlich werden, sollen noch zwei Bedingungen erfüllt sein:
* Die Länge soll nicht größer als <math> 200cm </math> sein.
* Länge plus Umfang der quadratischen Seitenflächen soll <math> 360cm </math> groß sein.
'''a)''' Ermittle die Abmessungen des Pakets mit dem größten Volumen.
'''b)''' Gebe das maximale Volumen an. | 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1=Aufgabe | 2=
Aus einem kreisförmigen Stück Papier mit dem Radius <math>s=10cm</math> soll eine kegelförmige Tüte mit maximalem Volumen geformt werden. Dazu wird der Kreis längs eines Radius eingeschnitten und zu einer Tüte geformt. [[File:Gerader Kreiskegel.svg| 200px | rechts ]] {{Lösung versteckt | 1=Beachte, dass der Radius des Stücks Papier <math>s=10cm</math> der Mantellinie <math>s</math> des Kegels entspricht. | 2=Tipp zur Erfassung des Problems | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Das Volumen eines Kegels errechnet man mit der Formel <math> V(r,h)=\frac{1}{3}\pi*r^2*h </math>. | 2=Tipp zur Bestimmung des Volumens | 3=Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt | 1= Überlege dir, wie du die Länge s ermitteln könntest. Denke dabei an den Satz des Pythagoras | 2=Tipp für eine geeignete Nebenbedingung | 3=Tipp verbergen}}
| 3=Arbeitsmethode}}

==Globales Extremum und Randextremum==
{{Box|Merke|Der größte Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Maximum'''.
Der kleinste Funktionswert unter allen Funktionswerten in der Definitionsmenge heißt '''globales Minimum'''.
Ein globales Extremum an einer Randstelle der Definitionsmenge heißt '''Randextremum'''.|Merksatz
}}
{{Box | Übung |
{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}} | Üben}}

{{Box|1=Aufgabe
| 2 = Gegeben ist der Graph einer Funktion <math>f</math> mit
<math>f(x)=(x-3)^2+2,5</math> im Intervall <math>[0,3]</math>.
Ein achsenparalleles Rechteck wird so gelegt, dass ein Eckpunkt der Koordinatenursprung ist und der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Graphen von f liegt.
Welches der möglichen Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?[[Datei:Aufgabe Ranextrema beachten.png|400px|rechts]]
| 3 = Arbeitsmethode
}}

==Optimierungsprobleme & Funktionenscharen==
{{Box|Berechnung von Extremwerten im Fall einer Funktionenschar|
In bestimmten Fällen kann es vorkommen, dass die erhaltene Funktion nicht nur von einer Variable x abhängt, sondern außerdem von einem Parameter a.

In diesem Fall ändert sich die Vorgehensweise bei der Berechnung des Extremwertes zwar nicht, allerdings ist das erhaltene Ergebnis dann abhängig von a.|}}

{{Box| 1=Aufgabe|2=
Gegeben ist die Funktionenschar <math>f_t(x)=x^2-4x-t^2-2t</math>.

Für welchen Wert von <math>t</math> liegt der Tiefpunkt der Funktionenschar am höchsten?
|3=Arbeitsmethode}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t.

{{Lösung versteckt|1 = Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

|2 = Lösung | 3 = Lösung}}

|2 = Tipp 1|3 = Tipp 1}}

{{Lösung versteckt| 1 = Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

|2 = Tipp 2|3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Prüfe die hinreichende Bedingung: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.
|2 = Tipp 3| 3 = Tipp 3}}

{{Lösung versteckt|1 = Die zu optimierende Größe ist der Funktionswert am Tiefpunkt der Funktion.

Berechne also zunächst den Tiefpunkt der Funktion in Abhängigkeit von t:

Ableiten der Funktion ergibt:

<math>f'(x)=2x-4</math>
<math>f''(x)= 2</math>

Für ein Minimum muss gelten: <math>f'(x)=0</math> und <math>f''(x)>0</math>.

<math> f'(x)=0</math>

<math><=> 2x-4=0 </math>

<math><=> 2x=4</math>

<math><=> x=2</math>

<math>f''(2) = 2 > 0 =></math> Minimum

Setze nun <math>x=2</math> in <math>f(x)</math> ein, um den Funktionswert am Minimum zu bestimmen:

<math>f(2)=2^2-4*2-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=4-8-t^2-2t</math>

<math><=> f(2)=-4-t^2-2t</math>

Bezeichnen wir den Funktionswert am Tiefpunkt mit einer neuen Gleichung <math>g</math>, so ergibt sich also:

<math> g(t)=-4-t^2-2t</math>.

Gesucht ist das <math>t</math>, für das der Funktionswert maximal ist, also das Maximum der Funktion <math>g(t)</math>.

Bilde zunächst wieder die Ableitungen <math>g'(t)</math> und <math>g''(t)</math>:

<math>g'(t)=-2t-2</math>

<math>g''(t)=-2</math>

Bei einem Maximum muss gelten: <math>g'(t)=0</math> und <math>g''(t)<0</math>.

<math>g'(t)=0</math>

<math><=>-2t-2=0</math>

<math><=>-2t=2</math>

<math><=>t=-1</math>

<math>g''(-1)=-2<0 =></math> Maximum

Der Funktionswert des Tiefpunktes ist also für <math>t=-1</math> maximal.
|2 = Gesamtlösung|3 = Gesamtlösung}}

Benutzer:Florine WWU-6/Optimierungsprobleme: Testseite

2020-04-17T15:59:27Z

Florine WWU-6:

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe
|Inhalt= 1 2 3
|Farbe= {{Farbe|links}}
|Icon= {{Vorlage:Icon edit}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe
|Inhalt= 1 2 3
|Farbe= {{Farbe|grün|dunkel}}
|Icon= {{Vorlage:Icon edit}}
}}

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe
|Inhalt= 1 2 3
|Farbe= {{Farbe|primär|hell}}
|Icon= {{Vorlage:Icon edit}}
}}

{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.
|{{Farbe |links |dunkel}}
|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt|2= Lösung
|1= '''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu:

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.\

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach b umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2}\cdot b=\frac{-\pi \cdot b}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>. Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.}}

|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
|3=Merke
}}

{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
<nowiki>| Arbeitsmethode}}</nowiki>

Benutzer:Florine WWU-6/Optimierungsprobleme: Testseite

2020-04-17T15:46:07Z

Florine WWU-6:

{{Box-spezial
|Titel= Aufgabe
|Inhalt= 1 2 3
|Farbe= #F1D850 (Farbcode oder Farbname für den breiten Strich links)
|Icon= {{Vorlage:Icon edit}}
}}

{{Farbe|blau}}

{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt|2= Lösung
|1= '''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu:

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.\

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach b umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2}\cdot b=\frac{-\pi \cdot b}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>. Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.}}

|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
|3=Merke
}}

{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
<nowiki>| Arbeitsmethode}}</nowiki>

Benutzer:Florine WWU-6/Optimierungsprobleme: Testseite

2020-04-17T14:45:42Z

Florine WWU-6:

{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt|2= Lösung
|1= '''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu:

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.\

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach b umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2}\cdot b=\frac{-\pi \cdot b}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>. Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.}}

|Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}
|3=Merke
}}

{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
<nowiki>| Arbeitsmethode}}</nowiki>

Benutzer:Florine WWU-6/Optimierungsprobleme: Testseite

2020-04-17T14:44:50Z

Florine WWU-6:

{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt|2= Lösung
|1= '''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu:

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.\

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach b umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2}\cdot b=\frac{-\pi \cdot b}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>. Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.}}

|Farbe={{Farbe|blau|dunkel}}
|3=Merke
}}

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<nowiki>| Arbeitsmethode}}</nowiki>

Benutzer:Florine WWU-6/Optimierungsprobleme: Testseite

2020-04-17T14:43:35Z

Florine WWU-6:

{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt|2= Lösung
|1= '''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu:

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.\

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach b umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2}\cdot b=\frac{-\pi \cdot b}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>. Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.}}

|Farbe={{Farbe|rot|dunkel}}
|3=Merke
}}

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<nowiki>| Arbeitsmethode}}</nowiki>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-17T10:59:49Z

Florine WWU-6:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-17T10:58:52Z

Florine WWU-6:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-17T10:58:22Z

Florine WWU-6:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-17T10:57:30Z

Florine WWU-6:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-17T10:56:12Z

Florine WWU-6:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-17T10:54:32Z

Florine WWU-6:

Benutzer:Florine WWU-6/Optimierungsprobleme: Testseite

2020-04-17T10:36:57Z

Florine WWU-6:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-17T09:33:47Z

Florine WWU-6: /* Vorgehen beim Lösen von Extremwertproblemen */

Benutzer:Florine WWU-6/Optimierungsprobleme: Testseite

2020-04-17T09:32:18Z

Florine WWU-6:

{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt|2= Lösung
|1= '''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

Erstelle eine Skizze dazu:

[[Datei:Skizze .png|mini]]

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.\

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach b umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2}\cdot b=\frac{-\pi \cdot b}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>. Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.}}

|3=Merke
}}

{{LearningApp|width:50%|height:300px|app=pa2vx65qa20}}
<nowiki>| Arbeitsmethode}}</nowiki>

Datei:Skizze .png

2020-04-17T09:31:50Z

Florine WWU-6: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Skizze zur Aufgabe (Veranschaulichung)
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Florine WWU-6|Florine WWU-6]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Optimierungsprobleme

2020-04-17T09:22:33Z

Florine WWU-6:

Benutzer:Florine WWU-6/Optimierungsprobleme: Testseite

2020-04-17T09:20:23Z

Florine WWU-6:

{{Box|So löst du Optimierungsprobleme|'''Schritt 1: Erfasse das Problem'''

# Suche zunächst zur Größe, die optimiert, die passende Funktion. Überlege dir dazu genau:
#* Welche Größen kommen vor?
#* Welche Größe soll optimiert, also maximiert oder minimiert werden?
Du kannst ebenfalls eine Skizze zum Problem erstellen.

'''Schritt 2:''' '''Stelle einen funktionalen Zusammenhang her'''

# Du musst nun das Optimierungsproblem als Funktion ausdrücken. Stelle dazu erst einmal die Formel für die Größe auf, die du optimieren möchtest. Das ist dann deine '''Hauptbedingung'''.
# Betrachte jetzt deinen beiden Größen. Wie hängen sie zusammen? Stelle eine Formel mit beiden Größen auf. Diese ist deine '''Nebenbedingung'''.
# Setze jetzt deine Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. So erhältst du eine '''Zielfunktion''' mit nur einer Größe.
# Lege jetzt den Bereich für deine verbleibende Größe fest:
#* Wie groß darf sie maximal sein?
#* Wie klein darf sie maximal sein?

'''Schritt 3: Bestimme den Extremwert'''

Rechne nun deinen Extremwert aus. Dazu musst du nun wie folgt vorgehen:

# Bilde die Ableitung der Zielfunktion.
# Berechne den Extremwert über die notwendige und hinreichende Bedingung.
# Überprüfe, ob dein Extremwert in deinem gewählten Bereich liegt.

Da es bei Optimierungsaufgaben um Anwendungssituationen geht, wird kein exakter Wert benötigt. Es reicht also ein guter Näherungswert.|Merke
}}

{{Box
|1= Beispiel
|2='''Aufgabe:'''

Ein Sportplatz mit einer 400-m-Laufbahn soll so angelegt werden, dass das Fußballfeld möglichst groß ist.
Die seitlichen Kurven des Sportplatzes sollen Halbkreise sein.

'''a)''' Für welche Länge und für weiche Breite wird das Fußballfeld im Inneren des Sportplatzes maximal?

'''b)''' Wie groß ist das Fussballfeld?

{{Lösung versteckt|2= Lösung
|1= '''Schritt 1:'''

Gegeben ist die Länge der Laufbahn um den Sportplatz herum, also der Umfang des Sportplatzes. Maximiert werden soll die Größe des Fussballfeldes, also der rechteckige Flächeninhalt <math> A </math> innerhalb des Sportplatzes.

'''Schritt 2:'''

Die Formel zum Flächeninhalt ist <math>A=2=a \cdot b</math>. Dies ist deine Hauptbedingung.\

Deine Nebenbedingung findest du im Umfang wieder: <math>U=2 \cdot a+\pi\cdot b</math>. Diese kannst du nach b umstellen und erhälst: <math>a=\frac{400-\pi \cdot b}{2}</math>

Setze nun deine Nebenbedingung in deine Hauptbedigung ein und erhalte die Zielfunktion:

<math>A(b)=\frac{400-\pi \cdot b}{2}\cdot b=\frac{-\pi \cdot b}{2}+200 \cdot b</math>.

Für diese Funktion kann b nur zwischen 0 und 200 liegen, also <math>0<b<200</math>

'''Schritt 3:'''

Berechne nun deinen Extremwert. Bilde dazu die Ableitungen:

# <math>A'(b)= -\pi \cdot b + 200 \cdot b </math>
# <math> A''(b) = - \pi</math>

Mit der notwendigen Bedingung <math> A'(b)=0</math> erhälst du dann <math> b=\frac{200}{pi} = 63,66 </math>. Mit der hinreichenden Bedindung folgt <math> A''(b)=-\pi \neq 0 </math>, somit erfüllt <math> b </math> alle Bedingungen

Berechne nun <math> a </math> und den Flächeninhalt:
# <math>a=\frac{400-\pi \cdot \frac{200}{pi}}{2} = 100 </math> und
# <math> A = 100 \cdot 63,66 = 6366 m </math>

Der Flächeninhalt des Fussballfeldes kann also mit einer Breite von <math>63,66m</math> und einer Höhe von <math>100m</math> auf <math> 6366 m </math> maximiert werden.}}

|3=Merke
}}

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<nowiki>| Arbeitsmethode}}</nowiki>