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Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-26T06:30:49Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> ein Extremum aufweist, so ist <math>f''(x_W)=0</math> (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Verfahren zur Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten der Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2</math>

<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})\approx 16{,}73>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})\approx-16{,}73<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|-5,95)</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|-5,95)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du hier ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}=\frac{2}{5}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}=-\frac{15}{4}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{15}{4}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{15}{4}}\approx 0{,}97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(-\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{15}{4}}\approx -0{,}97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{15}{4}}|0{,}97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{15}{4}}|-0{,}97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall <math>[-3,3]</math> Sekunden sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt, wobei <math>t</math> für die Zeit und <math>s</math> für die Sekunden der Fahrt steht. Zum Zeitpunkt <math>t=0</math> schießt eine Kamera ein Foto von den Passagieren.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

Die Zeitpunkte, an denen die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind sicherheitsrelevanten Momente der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Zu welchen Zeitpunkten ist die Beschleunigung minimal bzw. maximal? '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' gesucht, du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen. Der letzte Schritt aus dem obigen Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man berechnen, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, an denen die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Für weitere Tipps kannst du in der Aufgabe 2 und dem Beispiel schauen!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution: <math> t_{W}^2= z </math> ist zur Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung möglich!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der Bahn beschreibt.

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow RLW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})} </math> Sekunden und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}</math> Sekunden am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}</math> Sekunden und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}</math> Sekunden am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-26T06:23:02Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> ein Extremum aufweist, so ist <math>f''(x_W)=0</math> (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Verfahren zur Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten der Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2</math>

<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})\approx 16{,}73>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})\approx-16{,}73<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|-5,95)</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|-5,95)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du hier ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}=\frac{2}{5}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}=-\frac{15}{4}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{15}{4}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{15}{4}}\approx 0{,}97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(-\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{15}{4}}\approx -0{,}97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{15}{4}}|0{,}97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{15}{4}}|-0{,}97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall <math>[-3s,3s]</math> sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt, wobei <math>t</math> für die Zeit und <math>s</math> für die Sekunden der Fahrt steht. Zum Zeitpunkt <math>t=0</math> schießt eine Kamera ein Foto von den Passagieren.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

Die Zeitpunkte, an denen die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind sicherheitsrelevanten Momente der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Zu welchen Zeitpunkten ist die Beschleunigung minimal bzw. maximal? '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' gesucht, du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen. Der letzte Schritt aus dem obigen Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man berechnen, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, an denen die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Für weitere Tipps kannst du in der Aufgabe 2 und dem Beispiel schauen!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution: <math> t_{W}^2= z </math> ist zur Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung möglich!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der Bahn beschreibt.

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow RLW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-26T06:06:49Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> ein Extremum aufweist, so ist <math>f''(x_W)=0</math> (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Verfahren zur Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten der Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2</math>

<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})\approx 16{,}73>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})\approx-16{,}73<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|-5,95)</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|-5,95)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}=\frac{2}{5}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}=-\frac{15}{4}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{15}{4}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{15}{4}}\approx 0{,}97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(-\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{15}{4}}\approx -0{,}97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{15}{4}}|0{,}97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{15}{4}}|-0{,}97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall <math>[-3s,3s]</math> sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt, wobei <math>t</math> für die Zeit und <math>s</math> für die Sekunden der Fahrt steht. Zum Zeitpunkt <math>t=0</math> schießt eine Kamera ein Foto von den Passagieren.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

Die Zeitpunkte, an denen die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind sicherheitsrelevanten Momente der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Zu welchen Zeitpunkten ist die Beschleunigung minimal bzw. maximal? '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' gesucht, du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen. Der letzte Schritt aus dem obigen Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man berechnen, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, an denen die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Für weitere Tipps kannst du in der Aufgabe 2 und dem Beispiel schauen!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution: <math> t_{W}^2= z </math> ist zur Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung möglich!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der Bahn beschreibt.

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow RLW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-15T15:21:14Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0, also <math>f''(x)=0</math> (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten der Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2</math>

<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})\approx 16{,}73>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})\approx-16{,}73<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|-5,95)</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|-5,95)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Merksatz}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}=\frac{2}{5}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}=-\frac{15}{4}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{15}{4}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{15}{4}}\approx 0{,}97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(-\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{15}{4}}\approx -0{,}97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{15}{4}}|0{,}97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{15}{4}}|-0{,}97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall <math>[-3s,3s]</math> sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt, wobei <math>t</math> für die Zeit und <math>s</math> für die Sekunden der Fahrt steht. Zum Zeitpunkt <math>t=0</math> schießt eine Kamera ein Foto von den Passagieren.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

Die Zeitpunkte, an denen die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind sicherheitsrelevanten Momente der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Zu welchen Zeitpunkten ist die Beschleunigung minimal bzw. maximal? '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' gesucht, du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen. Der letzte Schritt aus dem obigen Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man berechnen, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, an denen die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Für weitere Tipps kannst du in der Aufgabe 2 und dem Beispiel schauen!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution: <math> t_{W}^2= z </math> ist zur Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung möglich!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der Bahn beschreibt.

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow RLW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T10:13:49Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0, also <math>f''(x)=0</math> (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten der Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2</math>

<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})\approx 16{,}73>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})\approx-16{,}73<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|-5,95)</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|-5,95)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}=\frac{2}{5}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}=-\frac{15}{4}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{15}{4}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{15}{4}}\approx 0{,}97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(-\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{15}{4}}\approx -0{,}97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{15}{4}}|0{,}97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{15}{4}}|-0{,}97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall <math>[-3s,3s]</math> sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt, wobei <math>t</math> für die Zeit und <math>s</math> für die Sekunden der Fahrt steht. Zum Zeitpunkt <math>t=0</math> schießt eine Kamera ein Foto von den Passagieren.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

Die Zeitpunkte, an denen die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind sicherheitsrelevanten Momente der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Zu welchen Zeitpunkten ist die Beschleunigung minimal bzw. maximal? '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' gesucht, du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen. Der letzte Schritt aus dem obigen Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man berechnen, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, an denen die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Für weitere Tipps kannst du in der Aufgabe 2 und dem Beispiel schauen!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution: <math> t_{W}^2= z </math> ist zur Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung möglich!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der Bahn beschreibt.

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow RLW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T10:11:29Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0, also <math>f''(x)=0</math> (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten der Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2</math>

<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})\approx 16{,}73>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})\approx-16{,}73<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|-5,95)</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|-5,95)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}=\frac{2}{5}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}=-\frac{15}{4}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{15}{4}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{15}{4}}\approx 0{,}97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(-\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{15}{4}}\approx -0{,}97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{15}{4}}|0{,}97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{15}{4}}|-0{,}97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall <math>[-3s,3s]</math> sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt, wobei <math>t</math> für die Zeit und <math>s</math> für die Sekunden der Fahrt steht.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

Die Zeitpunkte, an denen die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind sicherheitsrelevanten Momente der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Zu welchen Zeitpunkten ist die Beschleunigung minimal bzw. maximal? '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' gesucht, du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen. Der letzte Schritt aus dem obigen Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man berechnen, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, an denen die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Für weitere Tipps kannst du in der Aufgabe 2 und dem Beispiel schauen!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution: <math> t_{W}^2= z </math> ist zur Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung möglich!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der Bahn beschreibt.

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow RLW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T10:06:49Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0, also <math>f''(x)=0</math> (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten der Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2</math>

<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})\approx 16{,}73>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})\approx-16{,}73<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|-5,95)</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|-5,95)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}=\frac{2}{5}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}=-\frac{15}{4}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{15}{4}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{15}{4}}\approx 0{,}97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(-\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{15}{4}}\approx -0{,}97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{15}{4}}|0{,}97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{15}{4}}|-0{,}97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall <math>[-3,3]</math> sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

Die Zeitpunkte, an denen die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind sicherheitsrelevanten Momente der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Zu welchen Zeitpunkten ist die Beschleunigung minimal bzw. maximal? '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' gesucht, du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen. Der letzte Schritt aus dem obigen Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man berechnen, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, an denen die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Für weitere Tipps kannst du in der Aufgabe 2 und dem Beispiel schauen!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution: <math> t_{W}^2= z </math> ist zur Berechnung der Nullstellen der zweiten Ableitung möglich!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der Bahn beschreibt.

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T09:53:10Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0, also <math>f''(x)=0</math> (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten der Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2</math>

<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})\approx 16{,}73>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})\approx-16{,}73<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|-5,95)</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|-5,95)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}=\frac{2}{5}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}=-\frac{15}{4}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{15}{4}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{15}{4}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^2-6=12>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{15}{4}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{15}{4}})^5-(-\sqrt{\frac{15}{4}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{15}{4}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{15}{4}}|0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{15}{4}}|-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math>, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermitteln, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T09:47:52Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0, also <math>f''(x)=0</math> (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten der Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2</math>

<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})\approx 16{,}73>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})\approx-16{,}73<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5{,}95</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|-5,95)</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|-5,95)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}=\frac{2}{5}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung kann in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}|0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}|-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math>, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermitteln, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T09:39:47Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0, also <math>f''(x)=0</math> (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten der Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2</math>

<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})\approx 16,73>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})\approx-16,73<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5,95</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^4-5\cdot (-\sqrt{\frac{10}{7}})^2\approx -5,95</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|-5,95)</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|-5,95)</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}|0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}|-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math>, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermitteln, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T09:31:18Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0, also <math>f''(x)=0</math> (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten der Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>

<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}|0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}|-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math>, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermitteln, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T09:28:29Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0, also <math>f''(x)=0</math> (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten der Wendestelle <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen der Wendestelle <math> x_W </math> in die ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x=\frac{7}{3}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{7\cdot 3}{3}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}|0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}|-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math>, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermitteln, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T09:22:34Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2= Gib in der Grafik an, ob an der markierten Punkten ein Wendepunkt vorliegt oder ob nicht.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0 (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}|0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}|-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math>, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermitteln, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T09:17:21Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0 (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}|0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}|-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math>, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermitteln, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T09:16:33Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0 (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}|0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}|-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}|-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math>, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermitteln, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math>, an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier soll also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math>-\sqrt{(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{(3 + \sqrt {5})}s</math> und <math> \sqrt(3 - \sqrt {5})}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T09:10:56Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0 (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}|0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}|-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Achterbahn]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math>, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermitteln, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-(3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -(3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math> (3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T09:09:40Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0 (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

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'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}|0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}|-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Colossos Heide Park Soltau Germany.jpg|thumb|Holzachterbahn Colossos im Heide-Park]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math>, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermitteln, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-(3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -(3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math> (3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T09:07:17Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0 (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}|0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}|-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=
[[File:Silverstar sg.jpg|thumb|First Drop des Silver Star|alt=First Drop des Silver Star]]
Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math>, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermitteln, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-(3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -(3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math> (3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-05-13T07:04:09Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Änderung des Krümmungsverhalten|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphen ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-Links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-Rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Lokales Extremum der Ableitung
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0 (Hinweis: Dies wurde im vorherigen Kapitel "Extema" bearbeitet).

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box|Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20|\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20|\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche, die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, kannst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}|0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}|-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt, sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math>, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermitteln, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-(3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -(3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math> (3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-29T12:26:00Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition 1|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Verfahren zur Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)''' <math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3,3] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-(3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -(3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math> (3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-29T12:22:46Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition 1|
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Verfahren zur Berechnung eines Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-(3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -(3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math> (3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema

2020-04-29T12:18:43Z

David WWU-6:

{{Box| Wissen |
Eine Funktion <math> f</math>, die in einem Intervall streng monoton wächst und im darauf folgenden Intervall streng monoton fällt, muss einen Punkt besitzen, an dem die Funktion weder steigt noch fällt. Dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet, allgemein als Extremum.

Extrema werden bei einer Funktionsuntersuchung weitergehend darin unterschieden, ob es sich dabei um ein '''globales''' oder '''lokales''' Extremum handelt. Wichtig ist es dabei, dass du dein Intervall berücksichtigst. 
:* Es liegt ein '''lokales Extremum''' vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert in einem betrachteten Intervall vorhanden ist.
:* Ein '''globales Extremum''' liegt vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert des gesamten Graphen existiert. 
'''Merke:''' Die globalen Extremstellen sind besonders dann wichtig für dich, wenn du die Randwerte überprüfen sollst.
Die nachfolgende Übung soll Dir dabei den Unterschied verdeutlichen!

|Merksatz}}

{{Box | 1=Aufgabe 1 - Extrema zuordnen|2=
Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=10789454}}
|Farbe= #ffa600| 3=Arbeitsmethode}}

Nach dem du jetzt weißt was Extrema sind, sollst du erfahren, wie du diese schrittweise bestimmen kannst.

 {{Box| Extremstellenbestimmung |
Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, das für jede Funktion <math> f(x)</math> gilt:

:'''Notwendiges Kriterium:''' Für ein mögliches Extremum muss die Steigung 0 betragen. Im Folgenden wird diese als <math> x_E</math> bezeichnet. Es muss gelten: '''<math> f'(x_E) = 0</math>'''. 

:'''Hinreichendes Kriterium:''' Die potentiellen Extremstellen werden in <math> f''(x)</math> eingesetzt. Du musst darauf achten, dass dabei zwei Möglichkeiten entstehen. Für <math> f''(x_E)</math> kann folgen:
::* <math>f''(x_E) < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Hochpunkt''' vor.
::* <math>f''(x_E) > 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Tiefpunkt''' vor.
:'''Ordinate bestimmen:''' Zu jeder Koordinate exisitert eine passende Ordinate. Dazu musst du <math>x_E</math> in <math>f(x)</math> einsetzen. Zusammenfassend erhälst du alle Extremstellen der Form <math>E(x_E/f(x_E))</math>.

'''Achtung:''' Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: '''<math>f''(x_E) = 0</math>'''. Dabei kann es sich um eine sogenannte '''Sattelstelle''' handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Extremums dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen.
| Merksatz}}

Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können:
{| class="wikitable center"
|-
!Art der Extremstelle
!Notwendiges Kriterium
!Hinreichendes Kriterium
|-
|Hochpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''<''' <math>0</math>
|-
|Tiefpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''>''' <math>0</math>
|-
|Sattelpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E) = 0</math>
|<math> f'''(x_E) \neq 0</math>
|}

{{Box | Beispiel: Bestimmung von Extremstellen |

Wir untersuchen die folgende Funktion <math> f(x) = \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2} + 4x</math> auf Extremstellen.
# Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null: <math> f'(x) = 2x^{2} + 6x + 4 = 0</math>. Umformungen dieser Gleichung liefern die möglichen Extremstellen <math> x_1 = -2</math> und <math> x_2 = -1</math>.
# Das bilden der zweiten Ableitung ergibt: <math> f''(x) = 4x + 6</math>
#* <math> f''(-2) = -2 < 0 \Rightarrow</math> Hochpunkt an der Stelle <math> x_1 = -2</math>.
#* <math> f''(-1) = +2 > 0 \Rightarrow</math> Tiefpunkt an der Stelle <math> x_2 = -1</math>.
# Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in <math> f(x)</math> bestimmen.
::Wir erhalten: HP <math> \Big(-2/\frac{28}{3}\Big)</math> und TP <math> \Big(-1/-\frac{1}{3}\Big)</math>.
|Test}}

In den beiden nachfolgenden Aufgaben kannst du dein Wissen nun überprüfen. In der Aufgabe 2 werden deine mathematischen Fähigkeiten unter Probe gestellt, um anschließend in Aufgabe 3 herausfinden zu können, ob du deine Ergebnisse auch im Sachzusammenhang interpretieren kannst.

 

{{Box |1= Aufgabe 2 - Extrema bestimmen|2=

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmung von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe.

: '''a)''' <math> f(x) = 2x^{2} - 6x + 4</math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 4x - 6</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;|-6</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{2}{3}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen: <math>f''\Big(\frac{2}{3}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{2}{3}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{2}{3}\Big) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{2}{3}/\frac{8}{9}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''b)''' <math> g(x) = x^{3} - 3x^{2} - 5x + 6 </math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 3x^{2} - 6x - 5</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>3x^{2}-6x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:3</math>
:<math>\;x^{2}-2x-\frac{5}{3} = 0\;\;\;\;\;\;\;\,|</math>PQ-Formel anwenden
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^{2}-q}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{-2}{2}\Big)^{2}-\Big(-\frac{5}{3}\Big)}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx 1 \pm \frac{163}{100}</math> 
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_1 = -\frac{63}{100}</math> und <math> x_2 = \frac{263}{100}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 6x - 6</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>f''\Big(-\frac{63}{100}\Big) = -\frac{489}{50} < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{63}{100}.</math>
:<math>f''\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{489}{50} > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{263}{100}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>f\Big(-\frac{63}{100}\Big) = \frac{771}{100} \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{63}{100}/\frac{771}{100}\Big)</math>
:<math>f\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{971}{100} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{263}{100}/\frac{971}{100}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''c)''' ⭐ <math> h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3} </math> mit <math> a \in [1,5]</math>

<center><ggb_applet id="cset8amu" width="450" height="450" /></center>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> h_{a}'(x) = 0</math>, mit <math> h_{a}'(x) = 25x^{4} - 9a^{2}x^{2}</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>\;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Ausklammern
:<math>\;x^{2}\cdot(25x^{2}-9a^{2})=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Satz vom Nullprodukt
:<math>\Rightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1/2} = 0</math>
:<math>\vee.\;\;\;\;\;\; 25x^{2} - 9a^{2} = 0\;\;\;\;\;\;\,\;|+9a</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 25x^{2} = 9a^{2}\;\;\;\;|:25</math>
:<math>\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2} = \frac{9}{25}a^{2}\;|\sqrt{(...)}</math>
.<math> \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1} = -\frac{3}{5}a, x_{2} = 0</math> und <math> x_{4} = \frac{3}{5}a</math>
;Hinreichendes Kriterium: <math> h_{a}''(x_E) < 0</math> oder <math> h_{a}''(x_E) > 0</math>, mit <math> h_{a}''(x) = 100x^{3} - 18a^{2}x</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>h_{a}''\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = -540a^{3} + 10,8a < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{3}{5}a.</math> 
:<math>h_{a}''(0) = 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei <math>x = 0.</math> Dies muss überprüft werden! 
:<math>h_{a}''\Big(\frac{3}{5}a\Big) = 540a^{3} - 10,8a > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{3}{5}.</math> 
: '''Achtung:''' Ob es sich um eine Sattelstelle bei <math>x = 0</math> handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass <math>h_{a}'''(0) \neq 0</math> stimmt. Es gilt <math>h_{a}'''(x) = 300x^{2} - 18a^{2}</math> 
:<math>h_{a}'''(0) = -18a^{2} \neq 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Sattelpunkt vor.
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>h_{a}\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = \frac{162}{625}a \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{3}{5}/\frac{162}{625}a\Big)</math>
:<math>h_{a}(0) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''SP''' <math>(0/0)</math>
:<math>h_{a}\Big(\frac{3}{5}a\Big) = -\frac{162}{625} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{3}{5}/-\frac{162}{625}a\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1= Aufgabe 3 - Anwendungsaufgabe| 2=
Die Anzahl der Kunden eines Shopping-Centers wird für <math>9 \leq x \leq 20</math> mit Hilfe der Funktion <math>f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{19}{2}x^{2} + 55x - 900 </math> modelliert. Die Variable <math>x</math> stellt dabei die Zeit in Stunden dar.
:'''a)''' Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit im Shopping-Center auf?

{{Lösung versteckt|1=

;'''Antwortsatz'''
:Um 15:07 Uhr besuchen die meisten Kunden das Shopping Center. Insgesamt sind es 376 Personen.

{{Lösung versteckt|1=

;'''Ableitungen bestimmen'''
:<math> f'(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+19x+55, f''(x)=-3x^{2}+19</math>

;'''Notwendiges Kriterium'''
::<math> f'(x) = 0 \Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{243}{10}\Big) \vee. x_{2}=\frac{151}{10}</math>. Hier ist nur der zweite Wert von Relevanz, da der erste außerhalb des Definitionsbereiches liegt.

;'''Hinreichendes Kriterium'''
:<math> f''(x_{2}) = f''\Big(\frac{151}{10}\Big) = -\frac{263}{10} < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Hochpunkt vor.

;'''Ordinate bestimmen'''
:<math> f\Big(\frac{151}{10}\Big) = 375,12. \;\;\;\;\;</math> '''Dieser Wert wird aufgerundet!'''

|2= Lösungsweg anzeigen |3=Lösungsweg verbergen}}

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

:'''b)''' Berechne <math> f'(12)</math> und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

{{Lösung versteckt|1=

<math>f'(12)=67.</math> 
Die Ableitungsfunktion beschreibt die Anzahl der Kunden, die zu der Uhrzeit <math>x</math> das Shopping-Center betreten oder verlassen. Der Wert 67 bedeutet im Sachzusammenhang, dass um 12 Uhr 67 neue Kunden das Shopping-Center betreten.

|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

:'''c)''' Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Shopping-Center. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben.

{{Lösung versteckt|1=

Überlege Dir, wie die Zunahme und Abnahme von Kunden mathematisch betrachtet werden kann. Erinnere dich daran, dass man von einer positiven Zunahme spricht.

|2= Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''Bestimme die Anzahl neuer Kunden um 10 Uhr:'''
:<math> f'(10) = 95</math>

Hier muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden, denn die Zunahme von Kunden bedeutet im mathematischen Sinne eine positive Zunahme. Da nach einer Uhrzeit gesucht, bei der Kunden das Shopping-Center verlassen, muss aus +95 -95 werden.

'''Bestimme die Uhrzeit zu der 95 Kunden das Shopping-Center verlassen:'''
:<math> f'(x) = -95 \Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{38}{6} \pm \sqrt{\Big(-\frac{38}{6}\Big)^{2} + 100}\Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{55}{10}\Big) \vee. \Big(x_{2} = \frac{1817}{100}\Big)</math>

'''Antwortsatz:''' Um 18:10 verlassen 95 Kunden das Shopping-Center.

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Fortsetzung|weiter=Wendepunkte|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema

2020-04-29T12:15:22Z

David WWU-6:

{{Box| Wissen |
Eine Funktion <math> f</math>, die in einem Intervall streng monoton wächst und im darauf folgenden Intervall streng monoton fällt, muss einen Punkt besitzen, an dem die Funktion weder steigt noch fällt. Dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet, allgemein als Extremum.

Extrema werden bei einer Funktionsuntersuchung weitergehend darin unterschieden, ob es sich dabei um ein '''globales''' oder '''lokales''' Extremum handelt. Wichtig ist es dabei, dass du dein Intervall berücksichtigst. 
:* Es liegt ein '''lokales Extremum''' vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert in einem betrachteten Intervall vorhanden ist.
:* Ein '''globales Extremum''' liegt vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert des gesamten Graphen existiert. 
'''Merke:''' Die globalen Extremstellen sind besonders dann wichtig für dich, wenn du die Randwerte überprüfen sollst.
Die nachfolgende Übung soll Dir dabei den Unterschied verdeutlichen!

|Merksatz}}

{{Box | 1=Aufgabe 1 - Extrema zuordnen|2=
Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=10789454}}
|Farbe= #ffa600| 3=Arbeitsmethode}}

Nach dem du jetzt weißt was Extrema sind, sollst du erfahren, wie du diese schrittweise bestimmen kannst.

 {{Box| Extremstellenbestimmung |
Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, das für jede Funktion <math> f(x)</math> gilt:

:'''Notwendiges Kriterium:''' Für ein mögliches Extremum muss die Steigung 0 betragen. Im Folgenden wird diese als <math> x_E</math> bezeichnet. Es muss gelten: '''<math> f'(x_E) = 0</math>'''. 

:'''Hinreichendes Kriterium:''' Die potentiellen Extremstellen werden in <math> f''(x)</math> eingesetzt. Du musst darauf achten, dass dabei zwei Möglichkeiten entstehen. Für <math> f''(x_E)</math> kann folgen:
::* <math>f''(x_E) < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Hochpunkt''' vor.
::* <math>f''(x_E) > 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Tiefpunkt''' vor.
:'''Ordinate bestimmen:''' Zu jeder Koordinate exisitert eine passende Ordinate. Dazu musst du <math>x_E</math> in <math>f(x)</math> einsetzen. Zusammenfassend erhälst du alle Extremstellen der Form <math>E(x_E/f(x_E))</math>.

'''Achtung:''' Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: '''<math>f''(x_E) = 0</math>'''. Dabei kann es sich um eine sogenannte '''Sattelstelle''' handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Extremums dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen.
| Merksatz}}

Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können:
{| class="wikitable center"
|-
!Art der Extremstelle
!Notwendiges Kriterium
!Hinreichendes Kriterium
|-
|Hochpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''<''' <math>0</math>
|-
|Tiefpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''>''' <math>0</math>
|-
|Sattelpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E) = 0</math>
|<math> f'''(x_E) \neq 0</math>
|}

{{Box | Beispiel: Bestimmung von Extremstellen |

Wir untersuchen die folgende Funktion <math> f(x) = \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2} + 4x</math> auf Extremstellen.
# Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null: <math> f'(x) = 2x^{2} + 6x + 4 = 0</math>. Umformungen dieser Gleichung liefern die möglichen Extremstellen <math> x_1 = -2</math> und <math> x_2 = -1</math>.
# Das bilden der zweiten Ableitung ergibt: <math> f''(x) = 4x + 6</math>
#* <math> f''(-2) = -2 < 0 \Rightarrow</math> Hochpunkt an der Stelle <math> x_1 = -2</math>.
#* <math> f''(-1) = +2 > 0 \Rightarrow</math> Tiefpunkt an der Stelle <math> x_2 = -1</math>.
# Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in <math> f(x)</math> bestimmen.
::Wir erhalten: HP <math> \Big(-2/\frac{28}{3}\Big)</math> und TP <math> \Big(-1/-\frac{1}{3}\Big)</math>.
|Test}}

In den beiden nachfolgenden Aufgaben kannst du dein Wissen nun überprüfen. In der Aufgabe 2 werden deine mathematischen Fähigkeiten unter Probe gestellt, um anschließend in Aufgabe 3 herausfinden zu können, ob du deine Ergebnisse auch im Sachzusammenhang interpretieren kannst.

 

{{Box |1= Aufgabe 2 - Extrema bestimmen|2=

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmung von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe.

: '''a)''' <math> f(x) = 2x^{2} - 6x + 4</math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 4x - 6</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;|-6</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{2}{3}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen: <math>f''\Big(\frac{2}{3}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{2}{3}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{2}{3}\Big) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{2}{3}/\frac{8}{9}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''b)''' <math> g(x) = x^{3} - 3x^{2} - 5x + 6 </math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 3x^{2} - 6x - 5</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>3x^{2}-6x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:3</math>
:<math>\;x^{2}-2x-\frac{5}{3} = 0\;\;\;\;\;\;\;\,|</math>PQ-Formel anwenden
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^{2}-q}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{-2}{2}\Big)^{2}-\Big(-\frac{5}{3}\Big)}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx 1 \pm \frac{163}{100}</math> 
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_1 = -\frac{63}{100}</math> und <math> x_2 = \frac{263}{100}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 6x - 6</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>f''\Big(-\frac{63}{100}\Big) = -\frac{489}{50} < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{63}{100}.</math>
:<math>f''\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{489}{50} > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{263}{100}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>f\Big(-\frac{63}{100}\Big) = \frac{771}{100} \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{63}{100}/\frac{771}{100}\Big)</math>
:<math>f\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{971}{100} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{263}{100}/\frac{971}{100}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''c)''' <math> h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3} </math> mit <math> a \in [1,5]</math>

<center><ggb_applet id="cset8amu" width="450" height="450" /></center>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> h_{a}'(x) = 0</math>, mit <math> h_{a}'(x) = 25x^{4} - 9a^{2}x^{2}</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>\;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Ausklammern
:<math>\;x^{2}\cdot(25x^{2}-9a^{2})=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Satz vom Nullprodukt
:<math>\Rightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1/2} = 0</math>
:<math>\vee.\;\;\;\;\;\; 25x^{2} - 9a^{2} = 0\;\;\;\;\;\;\,\;|+9a</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 25x^{2} = 9a^{2}\;\;\;\;|:25</math>
:<math>\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2} = \frac{9}{25}a^{2}\;|\sqrt{(...)}</math>
.<math> \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1} = -\frac{3}{5}a, x_{2} = 0</math> und <math> x_{4} = \frac{3}{5}a</math>
;Hinreichendes Kriterium: <math> h_{a}''(x_E) < 0</math> oder <math> h_{a}''(x_E) > 0</math>, mit <math> h_{a}''(x) = 100x^{3} - 18a^{2}x</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>h_{a}''\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = -540a^{3} + 10,8a < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{3}{5}a.</math> 
:<math>h_{a}''(0) = 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei <math>x = 0.</math> Dies muss überprüft werden! 
:<math>h_{a}''\Big(\frac{3}{5}a\Big) = 540a^{3} - 10,8a > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{3}{5}.</math> 
: '''Achtung:''' Ob es sich um eine Sattelstelle bei <math>x = 0</math> handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass <math>h_{a}'''(0) \neq 0</math> stimmt. Es gilt <math>h_{a}'''(x) = 300x^{2} - 18a^{2}</math> 
:<math>h_{a}'''(0) = -18a^{2} \neq 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Sattelpunkt vor.
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>h_{a}\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = \frac{162}{625}a \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{3}{5}/\frac{162}{625}a\Big)</math>
:<math>h_{a}(0) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''SP''' <math>(0/0)</math>
:<math>h_{a}\Big(\frac{3}{5}a\Big) = -\frac{162}{625} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{3}{5}/-\frac{162}{625}a\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1= Aufgabe 3 - Anwendungsaufgabe| 2=
Die Anzahl der Kunden eines Shopping-Centers wird für <math>9 \leq x \leq 20</math> mit Hilfe der Funktion <math>f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{19}{2}x^{2} + 55x - 900 </math> modelliert. Die Variable <math>x</math> stellt dabei die Zeit in Stunden dar.
:'''a)''' Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit im Shopping-Center auf?

{{Lösung versteckt|1=

;'''Antwortsatz'''
:Um 15:07 Uhr besuchen die meisten Kunden das Shopping Center. Insgesamt sind es 376 Personen.

{{Lösung versteckt|1=

;'''Ableitungen bestimmen'''
:<math> f'(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+19x+55, f''(x)=-3x^{2}+19</math>

;'''Notwendiges Kriterium'''
::<math> f'(x) = 0 \Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{243}{10}\Big) \vee. x_{2}=\frac{151}{10}</math>. Hier ist nur der zweite Wert von Relevanz, da der erste außerhalb des Definitionsbereiches liegt.

;'''Hinreichendes Kriterium'''
:<math> f''(x_{2}) = f''\Big(\frac{151}{10}\Big) = -\frac{263}{10} < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Hochpunkt vor.

;'''Ordinate bestimmen'''
:<math> f\Big(\frac{151}{10}\Big) = 375,12. \;\;\;\;\;</math> '''Dieser Wert wird aufgerundet!'''

|2= Lösungsweg anzeigen |3=Lösungsweg verbergen}}

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

:'''b)''' Berechne <math> f'(12)</math> und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

{{Lösung versteckt|1=

<math>f'(12)=67.</math> 
Die Ableitungsfunktion beschreibt die Anzahl der Kunden, die zu der Uhrzeit <math>x</math> das Shopping-Center betreten oder verlassen. Der Wert 67 bedeutet im Sachzusammenhang, dass um 12 Uhr 67 neue Kunden das Shopping-Center betreten.

|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

:'''c)''' Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Shopping-Center. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben.

{{Lösung versteckt|1=

Überlege Dir, wie die Zunahme und Abnahme von Kunden mathematisch betrachtet werden kann. Erinnere dich daran, dass man von einer positiven Zunahme spricht.

|2= Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''Bestimme die Anzahl neuer Kunden um 10 Uhr:'''
:<math> f'(10) = 95</math>

Hier muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden, denn die Zunahme von Kunden bedeutet im mathematischen Sinne eine positive Zunahme. Da nach einer Uhrzeit gesucht, bei der Kunden das Shopping-Center verlassen, muss aus +95 -95 werden.

'''Bestimme die Uhrzeit zu der 95 Kunden das Shopping-Center verlassen:'''
:<math> f'(x) = -95 \Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{38}{6} \pm \sqrt{\Big(-\frac{38}{6}\Big)^{2} + 100}\Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{55}{10}\Big) \vee. x_{2} = \Big(\frac{1817}{100}\Big)</math>

'''Antwortsatz:''' Um 18:10 verlassen 95 Kunden das Shopping-Center.

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Fortsetzung|weiter=Wendepunkte|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema

2020-04-29T12:12:53Z

David WWU-6:

{{Box| Wissen |
Eine Funktion <math> f</math>, die in einem Intervall streng monoton wächst und im darauf folgenden Intervall streng monoton fällt, muss einen Punkt besitzen, an dem die Funktion weder steigt noch fällt. Dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet, allgemein als Extremum.

Extrema werden bei einer Funktionsuntersuchung weitergehend darin unterschieden, ob es sich dabei um ein '''globales''' oder '''lokales''' Extremum handelt. Wichtig ist es dabei, dass du dein Intervall berücksichtigst. 
:* Es liegt ein '''lokales Extremum''' vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert in einem betrachteten Intervall vorhanden ist.
:* Ein '''globales Extremum''' liegt vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert des gesamten Graphen existiert. 
'''Merke:''' Die globalen Extremstellen sind besonders dann wichtig für dich, wenn du die Randwerte überprüfen sollst.
Die nachfolgende Übung soll Dir dabei den Unterschied verdeutlichen!

|Merksatz}}

{{Box | 1=Aufgabe 1 - Extrema zuordnen|2=
Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=10789454}}
|Farbe= #ffa600| 3=Arbeitsmethode}}

Nach dem du jetzt weißt was Extrema sind, sollst du erfahren, wie du diese schrittweise bestimmen kannst.

 {{Box| Extremstellenbestimmung |
Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, das für jede Funktion <math> f(x)</math> gilt:

:'''Notwendiges Kriterium:''' Für ein mögliches Extremum muss die Steigung 0 betragen. Im Folgenden wird diese als <math> x_E</math> bezeichnet. Es muss gelten: '''<math> f'(x_E) = 0</math>'''. 

:'''Hinreichendes Kriterium:''' Die potentiellen Extremstellen werden in <math> f''(x)</math> eingesetzt. Du musst darauf achten, dass dabei zwei Möglichkeiten entstehen. Für <math> f''(x_E)</math> kann folgen:
::* <math>f''(x_E) < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Hochpunkt''' vor.
::* <math>f''(x_E) > 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Tiefpunkt''' vor.
:'''Ordinate bestimmen:''' Zu jeder Koordinate exisitert eine passende Ordinate. Dazu musst du <math>x_E</math> in <math>f(x)</math> einsetzen. Zusammenfassend erhälst du alle Extremstellen der Form <math>E(x_E/f(x_E))</math>.

'''Achtung:''' Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: '''<math>f''(x_E) = 0</math>'''. Dabei kann es sich um eine sogenannte '''Sattelstelle''' handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Extremums dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen.
| Merksatz}}

Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können:
{| class="wikitable center"
|-
!Art der Extremstelle
!Notwendiges Kriterium
!Hinreichendes Kriterium
|-
|Hochpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''<''' <math>0</math>
|-
|Tiefpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''>''' <math>0</math>
|-
|Sattelpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E) = 0</math>
|<math> f'''(x_E) \neq 0</math>
|}

{{Box | Beispiel: Bestimmung von Extremstellen |

Wir untersuchen die folgende Funktion <math> f(x) = \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2} + 4x</math> auf Extremstellen.
# Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null: <math> f'(x) = 2x^{2} + 6x + 4 = 0</math>. Umformungen dieser Gleichung liefern die möglichen Extremstellen <math> x_1 = -2</math> und <math> x_2 = -1</math>.
# Das bilden der zweiten Ableitung ergibt: <math> f''(x) = 4x + 6</math>
#* <math> f''(-2) = -2 < 0 \Rightarrow</math> Hochpunkt an der Stelle <math> x_1 = -2</math>.
#* <math> f''(-1) = +2 > 0 \Rightarrow</math> Tiefpunkt an der Stelle <math> x_2 = -1</math>.
# Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in <math> f(x)</math> bestimmen.
::Wir erhalten: HP <math> \Big(-2/\frac{28}{3}\Big)</math> und TP <math> \Big(-1/-\frac{1}{3}\Big)</math>.
|Test}}

In den beiden nachfolgenden Aufgaben kannst du dein Wissen nun überprüfen. In der Aufgabe 2 werden deine mathematischen Fähigkeiten unter Probe gestellt, um anschließend in Aufgabe 3 herausfinden zu können, ob du deine Ergebnisse auch im Sachzusammenhang interpretieren kannst.

 

{{Box |1= Aufgabe 2 - Extrema bestimmen|2=

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmung von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe.

: '''a)''' <math> f(x) = 2x^{2} - 6x + 4</math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 4x - 6</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;|-6</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{2}{3}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen: <math>f''\Big(\frac{2}{3}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{2}{3}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{2}{3}\Big) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{2}{3}/\frac{8}{9}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''b)''' <math> g(x) = x^{3} - 3x^{2} - 5x + 6 </math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 3x^{2} - 6x - 5</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>3x^{2}-6x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:3</math>
:<math>\;x^{2}-2x-\frac{5}{3} = 0\;\;\;\;\;\;\;\,|</math>PQ-Formel anwenden
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^{2}-q}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{-2}{2}\Big)^{2}-\Big(-\frac{5}{3}\Big)}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\approx 1 \pm \frac{163}{100}</math> 
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_1 = -\frac{63}{100}</math> und <math> x_2 = \frac{263}{100}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 6x - 6</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>f''\Big(-\frac{63}{100}\Big) = -\frac{489}{50} < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{63}{100}.</math>
:<math>f''\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{489}{50} > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{263}{100}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>f\Big(-\frac{63}{100}\Big) = \frac{771}{100} \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{63}{100}/\frac{771}{100}\Big)</math>
:<math>f\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{971}{100} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{263}{100}/\frac{971}{100}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''c)''' <math> h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3} </math> mit <math> a \in [1,5]</math>

<center><ggb_applet id="cset8amu" width="450" height="450" /></center>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> h_{a}'(x) = 0</math>, mit <math> h_{a}'(x) = 25x^{4} - 9a^{2}x^{2}</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>\;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Ausklammern
:<math>\;x^{2}\cdot(25x^{2}-9a^{2})=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Satz vom Nullprodukt
:<math>\Rightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1/2} = 0</math>
:<math>\vee.\;\;\;\;\;\; 25x^{2} - 9a^{2} = 0\;\;\;\;\;\;\,\;|+9a</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 25x^{2} = 9a^{2}\;\;\;\;|:25</math>
:<math>\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2} = \frac{9}{25}a^{2}\;|\sqrt{(...)}</math>
.<math> \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1} = -\frac{3}{5}a, x_{2} = 0</math> und <math> x_{4} = \frac{3}{5}a</math>
;Hinreichendes Kriterium: <math> h_{a}''(x_E) < 0</math> oder <math> h_{a}''(x_E) > 0</math>, mit <math> h_{a}''(x) = 100x^{3} - 18a^{2}x</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>h_{a}''\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = -540a^{3} + 10,8a < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{3}{5}a.</math> 
:<math>h_{a}''(0) = 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei <math>x = 0.</math> Dies muss überprüft werden! 
:<math>h_{a}''\Big(\frac{3}{5}a\Big) = 540a^{3} - 10,8a > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{3}{5}.</math> 
: '''Achtung:''' Ob es sich um eine Sattelstelle bei <math>x = 0</math> handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass <math>h_{a}'''(0) \neq 0</math> stimmt. Es gilt <math>h_{a}'''(x) = 300x^{2} - 18a^{2}</math> 
:<math>h_{a}'''(0) = -18a^{2} \neq 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Sattelpunkt vor.
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>h_{a}\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = \frac{162}{625}a \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{3}{5}/\frac{162}{625}a\Big)</math>
:<math>h_{a}(0) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''SP''' <math>(0/0)</math>
:<math>h_{a}\Big(\frac{3}{5}a\Big) = -\frac{162}{625} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{3}{5}/-\frac{162}{625}a\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1= Aufgabe 3 - Anwendungsaufgabe| 2=
Die Anzahl der Kunden eines Shopping-Centers wird für <math>9 \leq x \leq 20</math> mit Hilfe der Funktion <math>f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{19}{2}x^{2} + 55x - 900 </math> modelliert. Die Variable <math>x</math> stellt dabei die Zeit in Stunden dar.
:'''a)''' Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit im Shopping-Center auf?

{{Lösung versteckt|1=

;'''Antwortsatz'''
:Um 15:07 Uhr besuchen die meisten Kunden das Shopping Center. Insgesamt sind es 376 Personen.

{{Lösung versteckt|1=

;'''Ableitungen bestimmen:'''
:<math> f'(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+19x+55, f''(x)=-3x^{2}+19</math>

;'''Notwendiges Kriterium:'''
::<math> f'(x) = 0 \Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{243}{10}\Big) \vee. x_{2}=\frac{151}{10}</math>. Hier ist nur der zweite Wert von Relevanz, da der erste außerhalb des Definitionsbereiches liegt.

;'''Hinreichendes Kriterium:'''
:<math> f''(x_{2}) = f''\Big(\frac{151}{10}\Big) = -\frac{263}{10} < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Hochpunkt vor.

;'''Ordinate bestimmen:'''
:<math> f\Big(\frac{151}{10}\Big) = 375,12. \;\;\;\;\;</math> '''Dieser Wert wird aufgerundet!'''

|2= Lösungsweg anzeigen |3=Lösungsweg verbergen}}

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

:'''b)''' Berechne <math> f'(12)</math> und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

{{Lösung versteckt|1=

<math>f'(12)=67.</math> 
Die Ableitungsfunktion beschreibt die Anzahl der Kunden, die zu der Uhrzeit <math>x</math> das Shopping-Center betreten oder verlassen. Der Wert 67 bedeutet im Sachzusammenhang, dass um 12 Uhr 67 neue Kunden das Shopping-Center betreten.

|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

:'''c)''' Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Shopping-Center. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben.

{{Lösung versteckt|1=

Überlege Dir, wie die Zunahme und Abnahme von Kunden mathematisch betrachtet werden kann. Erinnere dich daran, dass man von einer positiven Zunahme spricht.

|2= Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''Bestimme die Anzahl neuer Kunden um 10 Uhr:'''
:<math> f'(10) = 95</math>

Hier muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden, denn die Zunahme von Kunden bedeutet im mathematischen Sinne eine positive Zunahme. Da nach einer Uhrzeit gesucht, bei der Kunden das Shopping-Center verlassen, muss aus +95 -95 werden.

'''Bestimme die Uhrzeit zu der 95 Kunden das Shopping-Center verlassen:'''
:<math> f'(x) = -95 \Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{38}{6} \pm \sqrt{\Big(-\frac{38}{6}\Big)^{2} + 100}\Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{55}{10}\Big) \vee. x_{2} = \Big(\frac{1817}{100}\Big)</math>

'''Antwortsatz:''' Um 18:10 verlassen 95 Kunden das Shopping-Center.

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Fortsetzung|weiter=Wendepunkte|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema

2020-04-29T12:04:46Z

David WWU-6:

{{Box| Wissen |
Eine Funktion <math> f</math>, die in einem Intervall streng monoton wächst und im darauf folgenden Intervall streng monoton fällt, muss einen Punkt besitzen, an dem die Funktion weder steigt noch fällt. Dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet, allgemein als Extremum.

Extrema werden bei einer Funktionsuntersuchung weitergehend darin unterschieden, ob es sich dabei um ein '''globales''' oder '''lokales''' Extremum handelt. Wichtig ist es dabei, dass du dein Intervall berücksichtigst. 
:* Es liegt ein '''lokales Extremum''' vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert in einem betrachteten Intervall vorhanden ist.
:* Ein '''globales Extremum''' liegt vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert des gesamten Graphen existiert. 
'''Merke:''' Die globalen Extremstellen sind besonders dann wichtig für dich, wenn du die Randwerte überprüfen sollst.
Die nachfolgende Übung soll Dir dabei den Unterschied verdeutlichen!

|Merksatz}}

{{Box | 1=Aufgabe 1 - Extrema zuordnen|2=
Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=10789454}}
|Farbe= #ffa600| 3=Arbeitsmethode}}

Nach dem du jetzt weißt was Extrema sind, sollst du erfahren, wie du diese schrittweise bestimmen kannst.

 {{Box| Extremstellenbestimmung |
Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, das für jede Funktion <math> f(x)</math> gilt:

:'''Notwendiges Kriterium:''' Für ein mögliches Extremum muss die Steigung 0 betragen. Im Folgenden wird diese als <math> x_E</math> bezeichnet. Es muss gelten: '''<math> f'(x_E) = 0</math>'''. 

:'''Hinreichendes Kriterium:''' Die potentiellen Extremstellen werden in <math> f''(x)</math> eingesetzt. Du musst darauf achten, dass dabei zwei Möglichkeiten entstehen. Für <math> f''(x_E)</math> kann folgen:
::* <math>f''(x_E) < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Hochpunkt''' vor.
::* <math>f''(x_E) > 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Tiefpunkt''' vor.
:'''Ordinate bestimmen:''' Zu jeder Koordinate exisitert eine passende Ordinate. Dazu musst du <math>x_E</math> in <math>f(x)</math> einsetzen. Zusammenfassend erhälst du alle Extremstellen der Form <math>E(x_E/f(x_E))</math>.

'''Achtung:''' Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: '''<math>f''(x_E) = 0</math>'''. Dabei kann es sich um eine sogenannte '''Sattelstelle''' handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Extremums dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen.
| Merksatz}}

Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können:
{| class="wikitable center"
|-
!Art der Extremstelle
!Notwendiges Kriterium
!Hinreichendes Kriterium
|-
|Hochpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''<''' <math>0</math>
|-
|Tiefpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''>''' <math>0</math>
|-
|Sattelpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E) = 0</math>
|<math> f'''(x_E) \neq 0</math>
|}

{{Box | Beispiel: Bestimmung von Extremstellen |

Wir untersuchen die folgende Funktion <math> f(x) = \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2} + 4x</math> auf Extremstellen.
# Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null: <math> f'(x) = 2x^{2} + 6x + 4 = 0</math>. Umformungen dieser Gleichung liefern die möglichen Extremstellen <math> x_1 = -2</math> und <math> x_2 = -1</math>.
# Das bilden der zweiten Ableitung ergibt: <math> f''(x) = 4x + 6</math>
#* <math> f''(-2) = -2 < 0 \Rightarrow</math> Hochpunkt an der Stelle <math> x_1 = -2</math>.
#* <math> f''(-1) = +2 > 0 \Rightarrow</math> Tiefpunkt an der Stelle <math> x_2 = -1</math>.
# Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in <math> f(x)</math> bestimmen.
::Wir erhalten: HP <math> \Big(-2/\frac{28}{3}\Big)</math> und TP <math> \Big(-1/-\frac{1}{3}\Big)</math>.
|Test}}

In den beiden nachfolgenden Aufgaben kannst du dein Wissen nun überprüfen. In der Aufgabe 2 werden deine mathematischen Fähigkeiten unter Probe gestellt, um anschließend in Aufgabe 3 herausfinden zu können, ob du deine Ergebnisse auch im Sachzusammenhang interpretieren kannst.

 

{{Box |1= Aufgabe 2 - Extrema bestimmen|2=

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmung von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe.

: '''a)''' <math> f(x) = 2x^{2} - 6x + 4</math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 4x - 6</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;|-6</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{2}{3}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen: <math>f''\Big(\frac{2}{3}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{2}{3}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{2}{3}\Big) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{2}{3}/\frac{8}{9}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''b)''' <math> g(x) = x^{3} - 3x^{2} - 5x + 6 </math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 3x^{2} - 6x - 5</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>3x^{2}-6x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:3</math>
:<math>\;x^{2}-2x-\frac{5}{3} = 0\;\;\;\;\;\;\;\,|</math>PQ-Formel anwenden
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^{2}-q}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{-2}{2}\Big)^{2}-\Big(-\frac{5}{3}\Big)}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 1 \pm \frac{163}{100}</math> 
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_1 = -\frac{63}{100}</math> und <math> x_2 = \frac{263}{100}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 6x - 6</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>f''\Big(-\frac{63}{100}\Big) = -\frac{489}{50} < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{63}{100}.</math>
:<math>f''\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{489}{50} > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{263}{100}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>f\Big(-\frac{63}{100}\Big) = \frac{771}{100} \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{63}{100}/\frac{771}{100}\Big)</math>
:<math>f\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{971}{100} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{263}{100}/\frac{971}{100}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''c)''' <math> h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3} </math> mit <math> a \in [1,5]</math>

<center><ggb_applet id="cset8amu" width="450" height="450" /></center>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> h_{a}'(x) = 0</math>, mit <math> h_{a}'(x) = 25x^{4} - 9a^{2}x^{2}</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>\;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Ausklammern
:<math>\;x^{2}\cdot(25x^{2}-9a^{2})=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Satz vom Nullprodukt
:<math>\Rightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1/2} = 0</math>
:<math>\vee.\;\;\;\;\;\; 25x^{2} - 9a^{2} = 0\;\;\;\;\;\;\,\;|+9a</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 25x^{2} = 9a^{2}\;\;\;\;|:25</math>
:<math>\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2} = \frac{9}{25}a^{2}\;|\sqrt{(...)}</math>
.<math> \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1} = -\frac{3}{5}a, x_{2} = 0</math> und <math> x_{4} = \frac{3}{5}a</math>
;Hinreichendes Kriterium: <math> h_{a}''(x_E) < 0</math> oder <math> h_{a}''(x_E) > 0</math>, mit <math> h_{a}''(x) = 100x^{3} - 18a^{2}x</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>h_{a}''\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = -540a^{3} + 10,8a < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{3}{5}a.</math> 
:<math>h_{a}''(0) = 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei <math>x = 0.</math> Dies muss überprüft werden! 
:<math>h_{a}''\Big(\frac{3}{5}a\Big) = 540a^{3} - 10,8a > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{3}{5}.</math> 
: '''Achtung:''' Ob es sich um eine Sattelstelle bei <math>x = 0</math> handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass <math>h_{a}'''(0) \neq 0</math> stimmt. Es gilt <math>h_{a}'''(x) = 300x^{2} - 18a^{2}</math> 
:<math>h_{a}'''(0) = -18a^{2} \neq 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Sattelpunkt vor.
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>h_{a}\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = \frac{162}{625}a \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{3}{5}/\frac{162}{625}a\Big)</math>
:<math>h_{a}(0) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''SP''' <math>(0/0)</math>
:<math>h_{a}\Big(\frac{3}{5}a\Big) = -\frac{162}{625} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{3}{5}/-\frac{162}{625}a\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1= Aufgabe 3 - Anwendungsaufgabe| 2=
Die Anzahl der Kunden eines Shopping-Centers wird für <math>9 \leq x \leq 20</math> mit Hilfe der Funktion <math>f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{19}{2}x^{2} + 55x - 900 </math> modelliert. Die Variable <math>x</math> stellt dabei die Zeit in Stunden dar.
:'''a)''' Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit im Shopping-Center auf?

{{Lösung versteckt|1=

;'''Antwortsatz'''
:Um 15:07 Uhr besuchen die meisten Kunden das Shopping Center. Insgesamt sind es 376 Personen.

{{Lösung versteckt|1=

;'''Ableitungen bestimmen:'''
:<math> f'(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+19x+55, f''(x)=-3x^{2}+19</math>

;'''Notwendiges Kriterium:'''
::<math> f'(x) = 0 \Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{243}{10}\Big) \vee. x_{2}=\frac{151}{10}</math>. Hier ist nur der zweite Wert von Relevanz, da der erste außerhalb des Definitionsbereiches liegt.

;'''Hinreichendes Kriterium:'''
:<math> f''(x_{2}) = f''\Big(\frac{151}{10}\Big) = -\frac{263}{10} < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Hochpunkt vor.

;'''Ordinate bestimmen:'''
:<math> f\Big(\frac{151}{10}\Big) = 375,12. \;\;\;\;\;</math> '''Dieser Wert wird aufgerundet!'''

|2= Lösungsweg anzeigen |3=Lösungsweg verbergen}}

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

:'''b)''' Berechne <math> f'(12)</math> und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

{{Lösung versteckt|1=

<math>f'(12)=67.</math> 
Die Ableitungsfunktion beschreibt die Anzahl der Kunden, die zu der Uhrzeit <math>x</math> das Shopping-Center betreten oder verlassen. Der Wert 67 bedeutet im Sachzusammenhang, dass um 12 Uhr 67 neue Kunden das Shopping-Center betreten.

|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

:'''c)''' Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Shopping-Center. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben.

{{Lösung versteckt|1=

Überlege Dir, wie die Zunahme und Abnahme von Kunden mathematisch betrachtet werden kann. Erinnere dich daran, dass man von einer positiven Zunahme spricht.

|2= Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''Bestimme die Anzahl neuer Kunden um 10 Uhr:'''
:<math> f'(10) = 95</math>

Hier muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden, denn die Zunahme von Kunden bedeutet im mathematischen Sinne eine positive Zunahme. Da nach einer Uhrzeit gesucht, bei der Kunden das Shopping-Center verlassen, muss aus +95 -95 werden.

'''Bestimme die Uhrzeit zu der 95 Kunden das Shopping-Center verlassen:'''
:<math> f'(x) = -95 \Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{38}{6} \pm \sqrt{\Big(-\frac{38}{6}\Big)^{2} + 100}\Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{55}{10}\Big) \vee. x_{2} = \Big(\frac{1817}{100}\Big)</math>

'''Antwortsatz:''' Um 18:10 verlassen 95 Kunden das Shopping-Center.

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{{Fortsetzung|weiter=Wendepunkte|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema

2020-04-29T12:03:17Z

David WWU-6:

{{Box| Wissen |
Eine Funktion <math> f</math>, die in einem Intervall streng monoton wächst und im darauf folgenden Intervall streng monoton fällt, muss einen Punkt besitzen, an dem die Funktion weder steigt noch fällt. Dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet, allgemein als Extremum.

Extrema werden bei einer Funktionsuntersuchung weitergehend darin unterschieden, ob es sich dabei um ein '''globales''' oder '''lokales''' Extremum handelt. Wichtig ist es dabei, dass du dein Intervall berücksichtigst. 
:* Es liegt ein '''lokales Extremum''' vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert in einem betrachteten Intervall vorhanden ist.
:* Ein '''globales Extremum''' liegt vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert des gesamten Graphen existiert. 
'''Merke:''' Die globalen Extremstellen sind besonders dann wichtig für dich, wenn du die Randwerte überprüfen sollst.
Die nachfolgende Übung soll Dir dabei den Unterschied verdeutlichen!

|Merksatz}}

{{Box | 1=Aufgabe 1 - Extrema zuordnen|2=
Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=10789454}}
|Farbe= #ffa600| 3=Arbeitsmethode}}

Nach dem du jetzt weißt was Extrema sind, sollst du erfahren, wie du diese schrittweise bestimmen kannst.

 {{Box| Extremstellenbestimmung |
Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, das für jede Funktion <math> f(x)</math> gilt:

:'''Notwendiges Kriterium:''' Für ein mögliches Extremum muss die Steigung 0 betragen. Im Folgenden wird diese als <math> x_E</math> bezeichnet. Es muss gelten: '''<math> f'(x_E) = 0</math>'''. 

:'''Hinreichendes Kriterium:''' Die potentiellen Extremstellen werden in <math> f''(x)</math> eingesetzt. Du musst darauf achten, dass dabei zwei Möglichkeiten entstehen. Für <math> f''(x_E)</math> kann folgen:
::* <math>f''(x_E) < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Hochpunkt''' vor.
::* <math>f''(x_E) > 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Tiefpunkt''' vor.
:'''Ordinate bestimmen:''' Zu jeder Koordinate exisitert eine passende Ordinate. Dazu musst du <math>x_E</math> in <math>f(x)</math> einsetzen. Zusammenfassend erhälst du alle Extremstellen der Form <math>E(x_E/f(x_E))</math>.

'''Achtung:''' Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: '''<math>f''(x_E) = 0</math>'''. Dabei kann es sich um eine sogenannte '''Sattelstelle''' handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Extremums dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen.
|Farbe= #DF0101| Merksatz}}

Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können:
{| class="wikitable center"
|-
!Art der Extremstelle
!Notwendiges Kriterium
!Hinreichendes Kriterium
|-
|Hochpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''<''' <math>0</math>
|-
|Tiefpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''>''' <math>0</math>
|-
|Sattelpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E) = 0</math>
|<math> f'''(x_E) \neq 0</math>
|}

{{Box | Beispiel: Bestimmung von Extremstellen |

Wir untersuchen die folgende Funktion <math> f(x) = \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2} + 4x</math> auf Extremstellen.
# Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null: <math> f'(x) = 2x^{2} + 6x + 4 = 0</math>. Umformungen dieser Gleichung liefern die möglichen Extremstellen <math> x_1 = -2</math> und <math> x_2 = -1</math>.
# Das bilden der zweiten Ableitung ergibt: <math> f''(x) = 4x + 6</math>
#* <math> f''(-2) = -2 < 0 \Rightarrow</math> Hochpunkt an der Stelle <math> x_1 = -2</math>.
#* <math> f''(-1) = +2 > 0 \Rightarrow</math> Tiefpunkt an der Stelle <math> x_2 = -1</math>.
# Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in <math> f(x)</math> bestimmen.
::Wir erhalten: HP <math> \Big(-2/\frac{28}{3}\Big)</math> und TP <math> \Big(-1/-\frac{1}{3}\Big)</math>.
|Test}}

In den beiden nachfolgenden Aufgaben kannst du dein Wissen nun überprüfen. In der Aufgabe 2 werden deine mathematischen Fähigkeiten unter Probe gestellt, um anschließend in Aufgabe 3 herausfinden zu können, ob du deine Ergebnisse auch im Sachzusammenhang interpretieren kannst.

 

{{Box |1= Aufgabe 2 - Extrema bestimmen|2=

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmung von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe.

: '''a)''' <math> f(x) = 2x^{2} - 6x + 4</math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 4x - 6</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;|-6</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{2}{3}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen: <math>f''\Big(\frac{2}{3}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{2}{3}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{2}{3}\Big) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{2}{3}/\frac{8}{9}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''b)''' <math> g(x) = x^{3} - 3x^{2} - 5x + 6 </math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 3x^{2} - 6x - 5</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>3x^{2}-6x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:3</math>
:<math>\;x^{2}-2x-\frac{5}{3} = 0\;\;\;\;\;\;\;\,|</math>PQ-Formel anwenden
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^{2}-q}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{-2}{2}\Big)^{2}-\Big(-\frac{5}{3}\Big)}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 1 \pm \frac{163}{100}</math> 
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_1 = -\frac{63}{100}</math> und <math> x_2 = \frac{263}{100}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 6x - 6</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>f''\Big(-\frac{63}{100}\Big) = -\frac{489}{50} < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{63}{100}.</math>
:<math>f''\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{489}{50} > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{263}{100}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>f\Big(-\frac{63}{100}\Big) = \frac{771}{100} \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{63}{100}/\frac{771}{100}\Big)</math>
:<math>f\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{971}{100} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{263}{100}/\frac{971}{100}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''c)''' <math> h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3} </math> mit <math> a \in [1,5]</math>

<center><ggb_applet id="cset8amu" width="450" height="450" /></center>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> h_{a}'(x) = 0</math>, mit <math> h_{a}'(x) = 25x^{4} - 9a^{2}x^{2}</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>\;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Ausklammern
:<math>\;x^{2}\cdot(25x^{2}-9a^{2})=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Satz vom Nullprodukt
:<math>\Rightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1/2} = 0</math>
:<math>\vee.\;\;\;\;\;\; 25x^{2} - 9a^{2} = 0\;\;\;\;\;\;\,\;|+9a</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 25x^{2} = 9a^{2}\;\;\;\;|:25</math>
:<math>\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2} = \frac{9}{25}a^{2}\;|\sqrt{(...)}</math>
.<math> \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1} = -\frac{3}{5}a, x_{2} = 0</math> und <math> x_{4} = \frac{3}{5}a</math>
;Hinreichendes Kriterium: <math> h_{a}''(x_E) < 0</math> oder <math> h_{a}''(x_E) > 0</math>, mit <math> h_{a}''(x) = 100x^{3} - 18a^{2}x</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>h_{a}''\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = -540a^{3} + 10,8a < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{3}{5}a.</math> 
:<math>h_{a}''(0) = 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei <math>x = 0.</math> Dies muss überprüft werden! 
:<math>h_{a}''\Big(\frac{3}{5}a\Big) = 540a^{3} - 10,8a > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{3}{5}.</math> 
: '''Achtung:''' Ob es sich um eine Sattelstelle bei <math>x = 0</math> handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass <math>h_{a}'''(0) \neq 0</math> stimmt. Es gilt <math>h_{a}'''(x) = 300x^{2} - 18a^{2}</math> 
:<math>h_{a}'''(0) = -18a^{2} \neq 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Sattelpunkt vor.
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>h_{a}\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = \frac{162}{625}a \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{3}{5}/\frac{162}{625}a\Big)</math>
:<math>h_{a}(0) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''SP''' <math>(0/0)</math>
:<math>h_{a}\Big(\frac{3}{5}a\Big) = -\frac{162}{625} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{3}{5}/-\frac{162}{625}a\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1= Aufgabe 3 - Anwendungsaufgabe| 2=
Die Anzahl der Kunden eines Shopping-Centers wird für <math>9 \leq x \leq 20</math> mit Hilfe der Funktion <math>f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{19}{2}x^{2} + 55x - 900 </math> modelliert. Die Variable <math>x</math> stellt dabei die Zeit in Stunden dar.
:'''a)''' Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit im Shopping-Center auf?

{{Lösung versteckt|1=

;'''Antwortsatz'''
:Um 15:07 Uhr besuchen die meisten Kunden das Shopping Center. Insgesamt sind es 376 Personen.

{{Lösung versteckt|1=

;'''Ableitungen bestimmen:'''
:<math> f'(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+19x+55, f''(x)=-3x^{2}+19</math>

;'''Notwendiges Kriterium:'''
::<math> f'(x) = 0 \Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{243}{10}\Big) \vee. x_{2}=\frac{151}{10}</math>. Hier ist nur der zweite Wert von Relevanz, da der erste außerhalb des Definitionsbereiches liegt.

;'''Hinreichendes Kriterium:'''
:<math> f''(x_{2}) = f''\Big(\frac{151}{10}\Big) = -\frac{263}{10} < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Hochpunkt vor.

;'''Ordinate bestimmen:'''
:<math> f\Big(\frac{151}{10}\Big) = 375,12. \;\;\;\;\;</math> '''Dieser Wert wird aufgerundet!'''

|2= Lösungsweg anzeigen |3=Lösungsweg verbergen}}

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

:'''b)''' Berechne <math> f'(12)</math> und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

{{Lösung versteckt|1=

<math>f'(12)=67.</math> 
Die Ableitungsfunktion beschreibt die Anzahl der Kunden, die zu der Uhrzeit <math>x</math> das Shopping-Center betreten oder verlassen. Der Wert 67 bedeutet im Sachzusammenhang, dass um 12 Uhr 67 neue Kunden das Shopping-Center betreten.

|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

:'''c)''' Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Shopping-Center. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben.

{{Lösung versteckt|1=

Überlege Dir, wie die Zunahme und Abnahme von Kunden mathematisch betrachtet werden kann. Erinnere dich daran, dass man von einer positiven Zunahme spricht.

|2= Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''Bestimme die Anzahl neuer Kunden um 10 Uhr:'''
:<math> f'(10) = 95</math>

Hier muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden, denn die Zunahme von Kunden bedeutet im mathematischen Sinne eine positive Zunahme. Da nach einer Uhrzeit gesucht, bei der Kunden das Shopping-Center verlassen, muss aus +95 -95 werden.

'''Bestimme die Uhrzeit zu der 95 Kunden das Shopping-Center verlassen:'''
:<math> f'(x) = -95 \Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{38}{6} \pm \sqrt{\Big(-\frac{38}{6}\Big)^{2} + 100}\Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{55}{10}\Big) \vee. x_{2} = \Big(\frac{1817}{100}\Big)</math>

'''Antwortsatz:''' Um 18:10 verlassen 95 Kunden das Shopping-Center.

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Fortsetzung|weiter=Wendepunkte|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema

2020-04-29T12:00:08Z

David WWU-6:

{{Box| Wissen |
Eine Funktion <math> f</math>, die in einem Intervall streng monoton wächst und im darauf folgenden Intervall streng monoton fällt, muss einen Punkt besitzen, an dem die Funktion weder steigt noch fällt. Dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet, allgemein als Extremum.

Extrema werden bei einer Funktionsuntersuchung weitergehend darin unterschieden, ob es sich dabei um ein '''globales''' oder '''lokales''' Extremum handelt. Wichtig ist es dabei, dass du dein Intervall berücksichtigst. 
:* Es liegt ein '''lokales Extremum''' vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert in einem betrachteten Intervall vorhanden ist.
:* Ein '''globales Extremum''' liegt vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert des gesamten Graphen existiert. 
'''Merke:''' Die globalen Extremstellen sind besonders dann wichtig für dich, wenn du die Randwerte überprüfen sollst.
Die nachfolgende Übung soll Dir dabei den Unterschied verdeutlichen!

|Merksatz}}

{{Box | 1=Aufgabe 1 - Extrema zuordnen|2=
Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=10789454}}
|Farbe= #ffa600| 3=Arbeitsmethode}}

Nach dem du jetzt weißt was Extrema sind, sollst du erfahren, wie du diese schrittweise bestimmen kannst.

 {{Box| Extremstellenbestimmung |
Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, das für jede Funktion <math> f(x)</math> gilt:

:'''Notwendiges Kriterium:''' Für ein mögliches Extremum muss die Steigung 0 betragen. Im Folgenden wird diese als <math> x_E</math> bezeichnet. Es muss gelten: '''<math> f'(x_E) = 0</math>'''. 

:'''Hinreichendes Kriterium:''' Die potentiellen Extremstellen werden in <math> f''(x)</math> eingesetzt. Du musst darauf achten, dass dabei zwei Möglichkeiten entstehen. Für <math> f''(x_E)</math> kann folgen:
::* <math>f''(x_E) < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Hochpunkt''' vor.
::* <math>f''(x_E) > 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Tiefpunkt''' vor.
:'''Ordinate bestimmen:''' Zu jeder Koordinate exisitert eine passende Ordinate. Dazu musst du <math>x_E</math> in <math>f(x)</math> einsetzen. Zusammenfassend erhälst du alle Extremstellen der Form <math>E(x_E/f(x_E))</math>.

'''Achtung:''' Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: '''<math>f''(x_E) = 0</math>'''. Dabei kann es sich um eine sogenannte '''Sattelstelle''' handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Extremums dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen.
|Farbe= #DF0101| Merksatz}}

Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können:
{| class="wikitable center"
|-
!Art der Extremstelle
!Notwendiges Kriterium
!Hinreichendes Kriterium
|-
|Hochpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''<''' <math>0</math>
|-
|Tiefpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''>''' <math>0</math>
|-
|Sattelpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E) = 0</math>
|<math> f'''(x_E) \neq 0</math>
|}

{{Box | Beispiel: Bestimmung von Extremstellen |

Wir untersuchen die folgende Funktion <math> f(x) = \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2} + 4x</math> auf Extremstellen.
# Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null: <math> f'(x) = 2x^{2} + 6x + 4 = 0</math>. Umformungen dieser Gleichung liefern die möglichen Extremstellen <math> x_1 = -2</math> und <math> x_2 = -1</math>.
# Das bilden der zweiten Ableitung ergibt: <math> f''(x) = 4x + 6</math>
#* <math> f''(-2) = -2 < 0 \Rightarrow</math> Hochpunkt an der Stelle <math> x_1 = -2</math>.
#* <math> f''(-1) = +2 > 0 \Rightarrow</math> Tiefpunkt an der Stelle <math> x_2 = -1</math>.
# Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in <math> f(x)</math> bestimmen.
::Wir erhalten: HP <math> \Big(-2/\frac{28}{3}\Big)</math> und TP <math> \Big(-1/-\frac{1}{3}\Big)</math>.
|Test}}

In den beiden nachfolgenden Aufgaben kannst du dein Wissen nun überprüfen. In der 1. Aufgabe werden deine mathematischen Fähigkeiten unter Probe gestellt, um anschließend in Aufgabe 2 herausfinden zu können, ob du deine Ergebnisse auch im Sachzusammenhang interpretieren kannst.

 

{{Box |1= Aufgabe 2 - Extrema bestimmen|2=

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmunng von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe.

: '''a)''' <math> f(x) = 2x^{2} - 6x + 4</math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 4x - 6</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;|-6</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{2}{3}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen: <math>f''\Big(\frac{2}{3}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{2}{3}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{2}{3}\Big) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{2}{3}/\frac{8}{9}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''b)''' <math> g(x) = x^{3} - 3x^{2} - 5x + 6 </math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 3x^{2} - 6x - 5</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>3x^{2}-6x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:3</math>
:<math>\;x^{2}-2x-\frac{5}{3} = 0\;\;\;\;\;\;\;\,|</math>PQ-Formel anwenden
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^{2}-q}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{-2}{2}\Big)^{2}-\Big(-\frac{5}{3}\Big)}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 1 \pm \frac{163}{100}</math> 
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_1 = -\frac{63}{100}</math> und <math> x_2 = \frac{263}{100}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 6x - 6</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>f''\Big(-\frac{63}{100}\Big) = -\frac{489}{50} < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{63}{100}.</math>
:<math>f''\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{489}{50} > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{263}{100}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>f\Big(-\frac{63}{100}\Big) = \frac{771}{100} \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{63}{100}/\frac{771}{100}\Big)</math>
:<math>f\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{971}{100} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{263}{100}/\frac{971}{100}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''c)''' <math> h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3} </math> mit <math> a \in [1,5]</math>

<center><ggb_applet id="cset8amu" width="450" height="450" /></center>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> h_{a}'(x) = 0</math>, mit <math> h_{a}'(x) = 25x^{4} - 9a^{2}x^{2}</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>\;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Ausklammern
:<math>\;x^{2}\cdot(25x^{2}-9a^{2})=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Satz vom Nullprodukt
:<math>\Rightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1/2} = 0</math>
:<math>\vee.\;\;\;\;\;\; 25x^{2} - 9a^{2} = 0\;\;\;\;\;\;\,\;|+9a</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 25x^{2} = 9a^{2}\;\;\;\;|:25</math>
:<math>\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2} = \frac{9}{25}a^{2}\;|\sqrt{(...)}</math>
.<math> \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1} = -\frac{3}{5}a, x_{2} = 0</math> und <math> x_{4} = \frac{3}{5}a</math>
;Hinreichendes Kriterium: <math> h_{a}''(x_E) < 0</math> oder <math> h_{a}''(x_E) > 0</math>, mit <math> h_{a}''(x) = 100x^{3} - 18a^{2}x</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>h_{a}''\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = -540a^{3} + 10,8a < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{3}{5}a.</math> 
:<math>h_{a}''(0) = 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei <math>x = 0.</math> Dies muss überprüft werden! 
:<math>h_{a}''\Big(\frac{3}{5}a\Big) = 540a^{3} - 10,8a > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{3}{5}.</math> 
: '''Achtung:''' Ob es sich um eine Sattelstelle bei <math>x = 0</math> handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass <math>h_{a}'''(0) \neq 0</math> stimmt. Es gilt <math>h_{a}'''(x) = 300x^{2} - 18a^{2}</math> 
:<math>h_{a}'''(0) = -18a^{2} \neq 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Sattelpunkt vor.
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>h_{a}\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = \frac{162}{625}a \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{3}{5}/\frac{162}{625}a\Big)</math>
:<math>h_{a}(0) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''SP''' <math>(0/0)</math>
:<math>h_{a}\Big(\frac{3}{5}a\Big) = -\frac{162}{625} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{3}{5}/-\frac{162}{625}a\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1= Aufgabe 3 - Anwendungsaufgabe| 2=
Die Anzahl der Kunden eines Shopping-Centers wird für <math>9 \leq x \leq 20</math> mit Hilfe der Funktion <math>f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{19}{2}x^{2} + 55x - 900 </math> modelliert. Die Variable <math>x</math> stellt dabei die Zeit in Stunden dar.
:'''a)''' Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit im Shopping-Center auf?

{{Lösung versteckt|1=

;'''Antwortsatz'''
:Um 15:07 Uhr besuchen die meisten Kunden das Shopping Center. Insgesamt sind es 376 Personen.

{{Lösung versteckt|1=

;'''Ableitungen bestimmen:'''
:<math> f'(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+19x+55, f''(x)=-3x^{2}+19</math>

;'''Notwendiges Kriterium:'''
::<math> f'(x) = 0 \Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{243}{10}\Big) \vee. x_{2}=\frac{151}{10}</math>. Hier ist nur der zweite Wert von Relevanz, da der erste außerhalb des Definitionsbereiches liegt.

;'''Hinreichendes Kriterium:'''
:<math> f''(x_{2}) = f''\Big(\frac{151}{10}\Big) = -\frac{263}{10} < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Hochpunkt vor.

;'''Ordinate bestimmen:'''
:<math> f\Big(\frac{151}{10}\Big) = 375,12. \;\;\;\;\;</math> '''Dieser Wert wird aufgerundet!'''

|2= Lösungsweg anzeigen |3=Lösungsweg verbergen}}

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

:'''b)''' Berechne <math> f'(12)</math> und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

{{Lösung versteckt|1=

<math>f'(12)=67.</math> 
Die Ableitungsfunktion beschreibt die Anzahl der Kunden, die zu der Uhrzeit <math>x</math> das Shopping-Center betreten oder verlassen. Der Wert 67 bedeutet im Sachzusammenhang, dass um 12 Uhr 67 neue Kunden das Shopping-Center betreten.

|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

:'''c)''' Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Shopping-Center. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben.

{{Lösung versteckt|1=

Überlege Dir, wie die Zunahme und Abnahme von Kunden mathematisch betrachtet werden kann. Erinnere dich daran, dass man von einer positiven Zunahme spricht.

|2= Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''Bestimme die Anzahl neuer Kunden um 10 Uhr:'''
:<math> f'(10) = 95</math>

Hier muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden, denn die Zunahme von Kunden bedeutet im mathematischen Sinne eine positive Zunahme. Da nach einer Uhrzeit gesucht, bei der Kunden das Shopping-Center verlassen, muss aus +95 -95 werden.

'''Bestimme die Uhrzeit zu der 95 Kunden das Shopping-Center verlassen:'''
:<math> f'(x) = -95 \Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{38}{6} \pm \sqrt{\Big(-\frac{38}{6}\Big)^{2} + 100}\Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{55}{10}\Big) \vee. x_{2} = \Big(\frac{1817}{100}\Big)</math>

'''Antwortsatz:''' Um 18:10 verlassen 95 Kunden das Shopping-Center.

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Fortsetzung|weiter=Wendepunkte|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Extrema

2020-04-29T11:47:36Z

David WWU-6:

{{Box| Wissen |
Eine Funktion <math> f</math>, die in einem Intervall streng monoton wächst und im darauf folgenden Intervall streng monoton fällt, muss einen Punkt besitzen, an dem die Funktion weder steigt noch fällt. Dieser Punkt wird als Maximum beziehungsweise Minimum bezeichnet, allgemein als Extremum.

Extrema werden bei einer Funktionsuntersuchung weitergehend darin unterschieden, ob es sich dabei um ein '''globales''' oder '''lokales''' Extremum handelt. Wichtig ist es dabei, dass du dein Intervall berücksichtigst. 
:* Es liegt ein '''lokales Extremum''' vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert in einem betrachteten Intervall vorhanden ist.
:* Ein '''globales Extremum''' liegt vor, wenn kein größerer oder kleinerer Funktionswert des gesamten Graphen existiert. 
'''Merke:''' Die globalen Extremstellen sind besonders dann wichtig für dich, wenn du die Randwerte überprüfen sollst.
Die nachfolgende Übung soll Dir dabei den Unterschied verdeutlichen!

|Merksatz}}

{{Box | 1=Aufgabe 1 - Extrema zuordnen|2=
Ordne die Fachbegriffe den passenden Punkten der Funktion zu.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=10789454}}
|Farbe= #ffa600| 3=Arbeitsmethode}}

Nach dem du jetzt weißt was Extrema sind, sollst du erfahren, wie du diese schrittweise bestimmen kannst.

 {{Box| Extremstellenbestimmung |
Das Vorgehen setzt sich aus zwei Teilen zusammen, das für jede Funktion <math> f(x)</math> gilt:

:'''Notwendiges Kriterium:''' Für ein mögliches Extremum muss die Steigung 0 betragen. Im Folgenden wird diese als <math> x_E</math> bezeichnet. Es muss gelten: '''<math> f'(x_E) = 0</math>'''. 

:'''Hinreichendes Kriterium:''' Die potentiellen Extremstellen werden in <math> f''(x)</math> eingesetzt. Du musst darauf achten, dass dabei zwei Möglichkeiten entstehen. Für <math> f''(x_E)</math> kann folgen:
::* <math>f''(x_E) < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Hochpunkt''' vor.
::* <math>f''(x_E) > 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein '''Tiefpunkt''' vor.
:'''Ordinate bestimmen:''' Zu jeder Koordinate exisitert eine passende Ordinate. Dazu musst du <math>x_E</math> in <math>f(x)</math> einsetzen. Zusammenfassend erhälst du alle Extremstellen der Form <math>E(x_E/f(x_E))</math>.

'''Achtung:''' Im hinreichenden Kriterium besteht die Möglichkeit folgendes Ergebnis zu erhalten: '''<math>f''(x_E) = 0</math>'''. Dabei kann es sich um eine sogenannte '''Sattelstelle''' handeln. Diese Sattelstelle stellt einen besonderen Fall eines Extremums dar. Die zu erfüllenden Kriterien für eine Sattelstelle kannst du aus der unten abgebildeten Tabelle entnehmen.
|Farbe= #DF0101| Merksatz}}

Die folgende Übersicht soll dir dabei helfen, die Kriterien der verschiedenen Extremstellen besser merken zu können:
{| class="wikitable center"
|-
!Art der Extremstelle
!Notwendiges Kriterium
!Hinreichendes Kriterium
|-
|Hochpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''<''' <math>0</math>
|-
|Tiefpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math>
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E)</math> '''>''' <math>0</math>
|-
|Sattelpunkt
|<math> f'(x_E) = 0</math> und <math> f''(x_E) = 0</math>
|<math> f'''(x_E) \neq 0</math>
|}

{{Box | Beispiel: Bestimmung von Extremstellen |

Wir untersuchen die folgende Funktion <math> f(x) = \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2} + 4x</math> auf Extremstellen.
# Zunächst bilden wir die erste Ableitung und setzen diese gleich null: <math> f'(x) = 2x^{2} + 6x + 4 = 0</math>. Umformungen dieser Gleichung liefern die möglichen Extremstellen <math> x_1 = -2</math> und <math> x_2 = -1</math>.
# Das bilden der zweiten Ableitung ergibt: <math> f''(x) = 4x + 6</math>
#* <math> f''(-2) = -2 < 0 \Rightarrow</math> Hochpunkt an der Stelle <math> x_1 = -2</math>.
#* <math> f''(-1) = +2 > 0 \Rightarrow</math> Tiefpunkt an der Stelle <math> x_2 = -1</math>.
# Es fehlen nun die Ordinaten, die wir durch das Einsetzen in <math> f(x)</math> bestimmen.
::Wir erhalten: HP <math> \Big(-2/\frac{28}{3}\Big)</math> und TP <math> \Big(-1/-\frac{1}{3}\Big)</math>.
|Farbe= | Üben}}

In den beiden nachfolgenden Aufgaben kannst du dein Wissen nun überprüfen. In der 1. Aufgabe werden deine mathematischen Fähigkeiten unter Probe gestellt, um anschließend in Aufgabe 2 herausfinden zu können, ob du deine Ergebnisse auch im Sachzusammenhang interpretieren kannst.

 

{{Box |1= Aufgabe 2 - Extrema bestimmen|2=

Berechne die Extremstellen der folgenden Aufgabe. Jede Funktion besitzt einen unterschiedlich hohen Schwierigkeitsgrad. Wenn du dir noch nicht so sicher bist bei der Bestimmunng von Extremstellen, so solltest du die erste Aufgabe erarbeiten. Fühlst du dich jedoch gut vorbereitet und bist der Meinung du kannst auch komplexere Funktionen auf Extremstellen untersuchen. Dann versuche dein Können an der dritten Aufgabe.

: '''a)''' <math> f(x) = 2x^{2} - 6x + 4</math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 4x - 6</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>4x-6=0\;\;\;\;\;\;\;\;|-6</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;4x=6\;\;\;\;\;|:4</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;x=\frac{2}{3}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 4</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen: <math>f''\Big(\frac{2}{3}\Big) = 4 > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{2}{3}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein: <math>f\Big(\frac{2}{3}\Big) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{2}{3}/\frac{8}{9}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''b)''' <math> g(x) = x^{3} - 3x^{2} - 5x + 6 </math>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> f'(x) = 0</math>, mit <math> f'(x) = 3x^{2} - 6x - 5</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>3x^{2}-6x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;|:3</math>
:<math>\;x^{2}-2x-\frac{5}{3} = 0\;\;\;\;\;\;\;\,|</math>PQ-Formel anwenden
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{p}{2}\Big)^{2}-q}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= -\frac{-2}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{-2}{2}\Big)^{2}-\Big(-\frac{5}{3}\Big)}</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 1 \pm \frac{163}{100}</math> 
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_1 = -\frac{63}{100}</math> und <math> x_2 = \frac{263}{100}</math> 
;Hinreichendes Kriterium: <math> f''(x_E) < 0</math> oder <math> f''(x_E) > 0</math>, mit <math> f''(x) = 6x - 6</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>f''\Big(-\frac{63}{100}\Big) = -\frac{489}{50} < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{63}{100}.</math>
:<math>f''\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{489}{50} > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{263}{100}.</math>
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>f\Big(-\frac{63}{100}\Big) = \frac{771}{100} \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{63}{100}/\frac{771}{100}\Big)</math>
:<math>f\Big(\frac{263}{100}\Big) = -\frac{971}{100} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{263}{100}/\frac{971}{100}\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

: '''c)''' <math> h_{a}(x) = 5x^{5} -3a^{2}x^{3} </math> mit <math> a \in [1,5]</math>

<center><ggb_applet id="cset8amu" width="450" height="450" /></center>

{{Lösung versteckt|1= Die Extrema werden durch das oben beschriebe Verfahren in drei Schritten bestimmt: 
;Notwendiges Kriterium: <math> h_{a}'(x) = 0</math>, mit <math> h_{a}'(x) = 25x^{4} - 9a^{2}x^{2}</math>.
:Durch Umformungen erhalten wir die möglichen Extremstellen:
:<math>\;\;\;\;\;\;25x^{4}-9a^{2}x^{2}=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Ausklammern
:<math>\;x^{2}\cdot(25x^{2}-9a^{2})=0\;\;\;\;\;\;\;|</math> Satz vom Nullprodukt
:<math>\Rightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1/2} = 0</math>
:<math>\vee.\;\;\;\;\;\; 25x^{2} - 9a^{2} = 0\;\;\;\;\;\;\,\;|+9a</math>
:<math>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 25x^{2} = 9a^{2}\;\;\;\;|:25</math>
:<math>\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{2} = \frac{9}{25}a^{2}\;|\sqrt{(...)}</math>
.<math> \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow x_{1} = -\frac{3}{5}a, x_{2} = 0</math> und <math> x_{4} = \frac{3}{5}a</math>
;Hinreichendes Kriterium: <math> h_{a}''(x_E) < 0</math> oder <math> h_{a}''(x_E) > 0</math>, mit <math> h_{a}''(x) = 100x^{3} - 18a^{2}x</math>.
:Wir erhalten durch einsetzen:
:<math>h_{a}''\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = -540a^{3} + 10,8a < 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Hochpunkt bei <math>x = -\frac{3}{5}a.</math> 
:<math>h_{a}''(0) = 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen möglichen Sattelpunkt bei <math>x = 0.</math> Dies muss überprüft werden! 
:<math>h_{a}''\Big(\frac{3}{5}a\Big) = 540a^{3} - 10,8a > 0 \Rightarrow</math> Es handelt sich um einen Tiefpunkt bei <math>x = \frac{3}{5}.</math> 
: '''Achtung:''' Ob es sich um eine Sattelstelle bei <math>x = 0</math> handelt, wird durch die dritte Ableitung überprüft, indem wir zeigen, dass <math>h_{a}'''(0) \neq 0</math> stimmt. Es gilt <math>h_{a}'''(x) = 300x^{2} - 18a^{2}</math> 
:<math>h_{a}'''(0) = -18a^{2} \neq 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Sattelpunkt vor.
;Ordinate bestimmen: 
:Wir setzen unsere Extremstelle in die Ursprungsfunktion ein:
:<math>h_{a}\Big(-\frac{3}{5}a\Big) = \frac{162}{625}a \Rightarrow</math> '''HP''' <math>\Big(-\frac{3}{5}/\frac{162}{625}a\Big)</math>
:<math>h_{a}(0) = \frac{8}{9} \Rightarrow</math> '''SP''' <math>(0/0)</math>
:<math>h_{a}\Big(\frac{3}{5}a\Big) = -\frac{162}{625} \Rightarrow</math> '''TP''' <math>\Big(\frac{3}{5}/-\frac{162}{625}a\Big)</math>
|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

| 3=Arbeitsmethode}}

{{Box |1= Aufgabe 3 - Anwendungsaufgabe| 2=
Die Anzahl der Kunden eines Shopping-Centers wird für <math>9 \leq x \leq 20</math> mit Hilfe der Funktion <math>f(x) = -\frac{1}{2}x^{3} + \frac{19}{2}x^{2} + 55x - 900 </math> modelliert. Die Variable <math>x</math> stellt dabei die Zeit in Stunden dar.
:'''a)''' Bestimme die Uhrzeit, an der die Anzahl der Kunden am größten ist. Wie viele Besucher halten sich zu dieser Zeit im Shopping-Center auf?

{{Lösung versteckt|1=

;'''Antwortsatz'''
:Um 15:07 Uhr besuchen die meisten Kunden das Shopping Center. Insgesamt sind es 376 Personen.

{{Lösung versteckt|1=

;'''Ableitungen bestimmen:'''
:<math> f'(x)=-\frac{3}{2}x^{2}+19x+55, f''(x)=-3x^{2}+19</math>

;'''Notwendiges Kriterium:'''
::<math> f'(x) = 0 \Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{243}{10}\Big) \vee. x_{2}=\frac{151}{10}</math>. Hier ist nur der zweite Wert von Relevanz, da der erste außerhalb des Definitionsbereiches liegt.

;'''Hinreichendes Kriterium:'''
:<math> f''(x_{2}) = f''\Big(\frac{151}{10}\Big) = -\frac{263}{10} < 0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Hochpunkt vor.

;'''Ordinate bestimmen:'''
:<math> f\Big(\frac{151}{10}\Big) = 375,12. \;\;\;\;\;</math> '''Dieser Wert wird aufgerundet!'''

|2= Lösungsweg anzeigen |3=Lösungsweg verbergen}}

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}

:'''b)''' Berechne <math> f'(12)</math> und beschreibe was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

{{Lösung versteckt|1=

<math>f'(12)=67.</math> 
Die Ableitungsfunktion beschreibt die Anzahl der Kunden, die zu der Uhrzeit <math>x</math> das Shopping-Center betreten oder verlassen. Der Wert 67 bedeutet im Sachzusammenhang, dass um 12 Uhr 67 neue Kunden das Shopping-Center betreten.

|2= Lösung anzeigen |3=Lösung verbergen}}

:'''c)''' Um 10 Uhr betritt eine bestimmte Anzahl an Kunden das Shopping-Center. Berechne den Zeitpunkt an dem genauso viele Kunden das Center verlassen, wie sie es um 10 Uhr betreten haben.

{{Lösung versteckt|1=

Überlege Dir, wie die Zunahme und Abnahme von Kunden mathematisch betrachtet werden kann. Erinnere dich daran, dass man von einer positiven Zunahme spricht.

|2= Tipp anzeigen|3=Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=

'''Bestimme die Anzahl neuer Kunden um 10 Uhr:'''
:<math> f'(10) = 95</math>

Hier muss ein Vorzeichenwechsel stattfinden, denn die Zunahme von Kunden bedeutet im mathematischen Sinne eine positive Zunahme. Da nach einer Uhrzeit gesucht, bei der Kunden das Shopping-Center verlassen, muss aus +95 -95 werden.

'''Bestimme die Uhrzeit zu der 95 Kunden das Shopping-Center verlassen:'''
:<math> f'(x) = -95 \Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{38}{6} \pm \sqrt{\Big(-\frac{38}{6}\Big)^{2} + 100}\Leftrightarrow \Big(x_{1} = -\frac{55}{10}\Big) \vee. x_{2} = \Big(\frac{1817}{100}\Big)</math>

'''Antwortsatz:''' Um 18:10 verlassen 95 Kunden das Shopping-Center.

|2= Lösung anzeigen|3=Lösung verbergen}}
|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}} }}

{{Fortsetzung|weiter=Wendepunkte|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-29T11:37:18Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-(3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -(3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math> (3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-29T11:35:47Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|orange}}}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-(3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -(3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math> (3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode| Farbe={{Farbe|green}}}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-29T11:10:54Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' ⭐ <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-(3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -(3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math> (3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-04-28T13:40:34Z

David WWU-6:

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung. Die ersten beiden Items sind Beispielitems.

<quiz display="simple">
{ Der Differenzenquotient <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschreibt die momentane Änderungsrate. }
- Wahr
+ Falsch

{ Was ergibt 1+1? }
- 1
+ 2
- 3
- 4
</quiz>

<quiz display="simple">
{ Die durchschnittliche Änderungsrate kann mittels einer Sekante veranschaulicht werden. }
+ Wahr
- Falsch

{ Was gibt die Tangentensteigung an? }
- Die durchschnittliche Änderungsrate.
+ Die lokale Änderungsrate.
- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

{ Dummy zu Thema a) }
- 1
- 2

{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
- zwei Extrema
+ drei Extrema
- vier Extrema
- keinen Wendepunkt
- einen Wendepunkt
+ zwei Wendepunkte

{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
- im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math> und nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math> und nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.
+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math> und nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math> und nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.

{ Dummy zu Thema b) }
- 1
- 2

{ Dummy zu Thema c) }
- 1
- 2

{ Dummy zu Thema c) }
- 1
- 2

{ Dummy zu Thema c) }
- 1
- 2

{ Dummy zu Thema d) }
- 1
- 2

{ Dummy zu Thema d) }
- 1
- 2

{ Dummy zu Thema d) }
- 1
- 2

{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse und ist immer positiv. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bestimme die Stammfunktion von <math> f(x) = 17x^5 + 4x^3 - 11x - 568 + 23x^4 </math> }
- <math> F(x) = 85x^4+92x^3+12x^2-11 </math>
+ <math> F(x) = \frac{17}{6}x^6+\frac{23}{5}x^5+x^4-\frac{11}{2}x^2-568x+c </math>
- <math> F(x) = 85x^6+92x^5+12x^4-11x^2-568x+c </math>
- <math> F(x) = \frac{17}{5}x^6+\frac{23}{4}x^5+\frac{4}{3}x^4-11x^2-568x+c </math>

{ Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt: Die Funktion <math>f</math> sei stetig auf dem Intervall <math>[a;b]</math>. Dann gilt: }
+ <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)</math>
- <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(a) - F(b)</math>
- <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) + F(a)</math>
- <math>\int_{a}^{b} f(x) dx = f(b) - f(a)</math>

{ Die Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot e^x </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot e^x </math>. }
- wahr
+ falsch

{ Welche Integrationsmethode(n) wurde(n) bei dieser Rechnung verwendet?
<math> \int x \cdot cos(x) dx = [x \cdot sin(x)] - \int 1 \cdot sin(x) dx </math> }
+ partielle Integration
- Integration durch Substitution
- beide
- keines der beiden

{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{1}^{5} 3 \cdot x + 4 dx </math>}
- 60
- 43
+ 52
</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung|Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Optimierungsprobleme|Optimierungsprobleme]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Steckbriefaufgaben|Steckbriefaufgaben]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]

|Frage}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-04-28T13:40:13Z

David WWU-6:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T16:04:17Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-(3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -(3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math> (3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T16:03:34Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-(3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -(3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math> (3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T16:02:44Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \ approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-(3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -(3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math> (3 - \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T16:01:07Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \ approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\frac{1}{2}}s</math> und <math>-\sqrt{3 - \sqrt {5}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math> \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T16:00:34Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \ approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\sqrt{1}{2}}s</math> und <math>-\sqrt{3 - \sqrt {5}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math> \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T15:59:56Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \ approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> (3 + \sqrt {5})^{\sqrt{1}{2}s</math> und <math>-\sqrt{3 - \sqrt {5}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math> \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T15:58:16Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{2}}) \ approx -307 < 0 \Rightarrow LRW</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})\approx -117 < 0 \Rightarrow RLW</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})\approx 117 > 0 \Rightarrow LRW</math>

An Rechts-links-Wendepunkten wird die Beschleunigung minimal und an den Links-rechts Wendepunkten maximal.

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Achterbahn bremst zu den Zeitpunkten <math> \sqrt{3 + \sqrt {5}}s</math> und <math>-\sqrt{3 - \sqrt {5}}s</math> am stärksten ab. Die Achterbahn beschleunigt zu den Zeitpunkten <math> -\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math> \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> am stärksten.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T15:44:04Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=60t_{W_{1}}^3-180t_{W_{1}}=60\cdot(\sqrt{3 + \sqrt {5}})^3-180\cdot \sqrt{3 + \sqrt {5}}\approx 307 > 0 </math>

<math>f'''(t_{W_{2}})=-6</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})=-6</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})=-6</math>

<math>\Rightarrow</math>an <math>x_{W1}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle, an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor und an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.
| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T15:37:42Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Berechne mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist. '''Beachte:''' Es ist nur der '''Zeitpunkt''' du musst also nicht den Funktionswert bzw. die Geschwindigkeit berechnen, der letzte Schritt in unserem Beispiel bleibt also aus.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Eine Substitution:<math> t_{W}^2= z </math> ist zur Lösung der Nullstellen der zweiten Ableitung notwendig!| Tipp 3 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwendig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>v'''(t_W)=a''(t_{W})\neq 0</math>
<math>f'''(t_{W_{1}})=-6</math>

<math>f'''(t_{W_{2}})=-6</math>

<math>f'''(t_{W_{3}})=-6</math>

<math>f'''(t_{W_{4}})=-6</math>

<math>\Rightarrow</math>an <math>x_{W1}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle, an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor und an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.
| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T15:28:12Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Gebe mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwndig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> \pm\sqrt{z}=t_{W}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=\pm \sqrt{3 + \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=\pm \sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1}}=\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{2}}=-\sqrt{3 + \sqrt {5}}</math>, <math>\Rightarrow t_{W_{3}}=\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{4}}=-\sqrt{3 - \sqrt {5}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W1})=-6</math> und <math>f'''(x_{W2})=</math><math>f'''(x_{3})=</math>

<math>\Rightarrow</math>an <math>x_{W1}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle, an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor und an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.
| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T15:21:08Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Gebe mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwndig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow 0=z^2-6z+4</math> pq-Formel anwenden mit <math>p=-6</math> und <math>q=4</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=\frac{6}{2}\pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-4}</math>

<math>\Rightarrow z_{1/2}=3\pm \sqrt {5}</math>

<math>\Rightarrow z_{1}=3 + \sqrt {5}</math> und <math>\Rightarrow z_{2}=3 - \sqrt {5}</math> Nun müssen wir zurück substituieren <math> z=t_{W}^2</math>

<math>\Rightarrow t_{W_{1/2}}=(3 + \sqrt {5})^2</math> und <math>\Rightarrow t_{W_{3/4}}=(3 - \sqrt {5})^2</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W1})=-6</math> und <math>f'''(x_{W2})=</math><math>f'''(x_{3})=</math>

<math>\Rightarrow</math>an <math>x_{W1}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle, an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor und an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.
| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T15:11:02Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Gebe mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>v''(t_{W})=a'(t_{W})=0</math>, wobei <math>a(t)</math> die Beschleunigung der BAhn beschreibt.
<math> v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math>

<math> v'(t)=a(t)=3t^5-30t^3+60t </math>

<math>v''(t)=a'(t)=15t^4-90t^2+60 </math>

<math>v'''(t)=a''(t)=60t^3-180t </math>

<math>0=v''(t_{W})=a'(t_{W})=15t_{W}^4-90t_{W}^2+60</math> Substitution notwndig: <math> t_{W}^2= z </math>

<math>\Rightarrow 0=15z^2-90z+60</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W1})=-6</math> und <math>f'''(x_{W2})=</math><math>f'''(x_{3})=</math>

<math>\Rightarrow</math>an <math>x_{W1}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle, an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor und an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.
| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T14:49:06Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Gebe mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
'''Rechnung:''' Notwendiges Kriterium: <math>v(t)''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10x^4}{25}-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40x^3}{25}-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W1}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W2/3}^2-6)=0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W2/3}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W2}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W3}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W1})=-6</math> und <math>f'''(x_{W2})=</math><math>f'''(x_{3})=</math>

<math>\Rightarrow</math>an <math>x_{W1}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle, an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor und an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.
| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T14:36:48Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Rechts-links-Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an den Punkten: <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Gebe mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist.
{{Lösung versteckt|Die Beschleunigung <math>a(t)</math> kann man ermittel, da sie der Ableitung der Geschwindigkeit entspricht also: <math>a(t)=v'(t)</math>. Die Geschwindigkeit ist angegeben. Was gilt für die Punkte, wo die Beschleunigung maximal oder minimal ist? Lösung zu der Frage findest du in Tipp 2.| Tipp 1 anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Zu dem Zeitpunkt <math>t_{W}</math> an dem die Beschleunigung maximal bzw. minimal ist gilt: <math>a'(t_{W})=0</math>, da zu diesem Zeitpunkt die Beschleunigung eine Extremstelle und somit die Geschwindigkeit einen Wendepunkt aufweist.
Hier muss also nur wieder der Wendepunkt berechnet werden. Falls du noch mehr Hilfe brauchst, schau dir die Tipps von Aufgabe 2 und das Beispiel nochmal an!| Tipp 2 anzeigen |Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|'''Rechnung:''' Notwendiges Kriterium: <math>v(t)''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10x^4}{25}-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40x^3}{25}-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W1}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W2/3}^2-6)=0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W2/3}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W2}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W3}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W1})=-6</math> und <math>f'''(x_{W2})=</math><math>f'''(x_{3})=</math>

<math>\Rightarrow</math>an <math>x_{W1}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle, an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor und an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T14:13:39Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an dem Punkt <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Gebe mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist.
{{Lösung versteckt|1| Tipp anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|2| Tipp anzeigen |Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|'''Rechnung:''' Notwendiges Kriterium: <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10x^4}{25}-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40x^3}{25}-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W1}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W2/3}^2-6)=0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W2/3}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W2}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W3}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W1})=-6</math> und <math>f'''(x_{W2})=</math><math>f'''(x_{3})=</math>

<math>\Rightarrow</math>an <math>x_{W1}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle, an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor und an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T14:11:08Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* Notwendiges Kriterium: <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* Notwendiges Kriterium: <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* Hinreichendes Kriterium: <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=-\frac{2}{6^3}a^3-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an dem Punkt <math>(\frac{a}{6}/-\frac{2}{6^3}a^3-a) </math>
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Gebe mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist.
{{Lösung versteckt|1| Tipp anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|2| Tipp anzeigen |Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|'''Rechnung:''' Notwendiges Kriterium: <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10x^4}{25}-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40x^3}{25}-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W1}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W2/3}^2-6)=0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W2/3}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W2}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W3}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W1})=-6</math> und <math>f'''(x_{W2})=</math><math>f'''(x_{3})=</math>

<math>\Rightarrow</math>an <math>x_{W1}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle, an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor und an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Wendepunkte

2020-04-27T14:05:30Z

David WWU-6:

{{Box | Merke: Definition |
'''Ein Wendepunkt''' beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das '''Krümmungsverhalten des Graphes ändert'''. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Rechts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

| Merksatz}}

{{Box |1= Aufgabe 1 - Wendepunkte angeben
|2=Gib die Wendepunkte im Graphen an.
{{LearningApp|width:80%|height:450px|app=pasf50isa20}}|3=Arbeitsmethode}}

{{Box | Merke: Definition 2
|An einem '''Wendepunkt''' <math> x_W </math> einer Funktion <math>f(x)</math> ist die '''Steigung''' in der näheren Umgebung '''maximal bzw. minimal'''. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle ein lokales Extremum aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion <math>f'(x)</math> im Punkt <math> x_W </math> einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion <math>f''(x)</math> in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

'''Zusammenfassung:'''
* '''notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
* '''hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W) \neq 0</math>, '''Wobei gilt:''' <math>f'''(x_W) > 0 \Rightarrow</math>RLW oder <math>f'''(x_W) < 0 \Rightarrow</math>LRW
| Merksatz}}

{{Box| Berechnen des Wendepunktes|
* '''Notwendiges Kriterium:''' Nullstellen <math> x_W </math> der zweiten Ableitung berechnen

* '''Hinreichendes Kriterium:''' Einsetzen der berechneten Funktionstherms <math> x_W </math> in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)

* '''Berechnen des Funktionswertes''' durch einsetzen des Funktionstherms <math> x_W </math> in die Ursprüngliche Funktion

Du kannst dir noch gerne das folgende Beispiel anschauen:
{{Lösung versteckt|'''Beispiel:''' Gegeben sei die Funktion <math>f(x)=\frac{7}{12}x^4-5x^2-90.000</math>
* '''Notwendiges Kriterium:''' <math>f''(x_W)=0</math>
<math>f'(x)=\frac{28}{12}x^3-10x</math>

<math>f''(x)=\frac{84}{12}x^2-10=7x^2-10</math>

<math>f'''(x)=14x</math>

<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>

<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math> x_{W2}=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>

* '''Hinreichendes Kriterium:''' <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W_{1}})=20>0</math> und <math>f'''(x_{W_{2}})=-20<0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math>f(x_{W_{1}})=\frac{7}{12}\cdot 20^4-5\cdot 20^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>
<math>f(x_{W_{2}})=\frac{7}{12}\cdot (-20)^4-5\cdot (-20)^2-90.000=\frac{4.000}{3}\approx 1.333,33</math>

'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(20/\frac{4.000}{3})</math> liegt eine Recht-links-Wendepunkt vor und an dem Punkt <math>(-20/\frac{4.000}{3})</math> liegt ein Links-rechts-Wendepunkt vor.

| Beispiel anzeigen |Beispiel verbergen}}
Und nun du...
| Wie berechnet man einen Wendepunkt}}

{{Box|1= Aufgabe 2 - Wendepunkt bestimmen
|2=Berechne die Wendepunkte der folgenden Funktionen. Falls du Hilfe brauchst, schaue dir zunächst die Tipps an. '''Beachte:''' Der Aufgabenteil b) geht über Funktionsscharen und ist nur für den LK gedacht.

'''a)'''<math> g(x) = \frac{2}{25} x^5-x^3+\frac{25}{8} x </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktion zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Um die Nullstelle eine Polynoms dritten Grades zu berechnen, musst du ein <math>x</math> ausklammern.| Tipp 3| Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* Notwendiges Kriterium: <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10}{25}x^4-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40}{25}x^3-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math> Polynom dritten Grades: <math>x_W</math> ausklammern.

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math> Wir erhalten drei Lösungen ...

<math>\Rightarrow x_{W_{1}}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W_{2/3}}^2-6)=0 </math> Die Gleichung muss in die Form <math>x^2+px+q</math> gebracht werden, um die pq-Formel anzuwenden.

<math>\Rightarrow (x_{W_{2/3}}^2-6\cdot \frac{5}{8})=0 </math>, also <math>\Rightarrow p=0, q=-\frac{30}{8}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=-\frac{0}{2}\pm\sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2/3}}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W_{2}}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W_{3}}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>g'''(x_{W_{1}})=\frac{24}{5}\cdot 0^2-6=-6<0</math>

<math>g'''(x_{W_{2}})=\frac{24}{5}\cdot(\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>g'''(x_{W_{3}})=\frac{24}{5}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^2-6=9>0</math>

<math>\Rightarrow</math>An <math>x_{W_{1}}</math> liegt eine Links-rechts-Wendestelle und an <math> x_{W_{2}}</math> und <math> x_{W_{3}}</math> eine Rechts-links-Wendestelle vor.

*'''Berechnen der Funktionswerte: '''

<math> g(x_{W_{1}}) = \frac{2}{25}\cdot 0^5-0^3+\frac{25}{8}\cdot 0=0 </math>

<math> g(x_{W_{2}}) = \frac{2}{25}\cdot (\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{\frac{30}{8}}\approx 0,97</math>
<math> g(x_{W_{3}}) = \frac{2}{25}\cdot (-\sqrt{\frac{30}{8}})^5-(-\sqrt{\frac{30}{8}})^3+\frac{25}{8}\cdot \sqrt{-\frac{30}{8}}\approx -0,97 </math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' An dem Punkt <math>(0/0)</math> liegt eine Links-rechts-Wendepunkt vor und an den Punkten <math>(\sqrt{\frac{30}{8}}/0,97)</math> und <math>(-\sqrt{\frac{30}{8}}/-0,97)</math> liegen Rechts-links-Wendepunkte vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

'''b)''' <math> h(x) = x^3-\frac{a}{2}x^2-a </math>
{{Lösung versteckt|Schaue dir das obige Beispiel nochmal genau an!| Tipp 1 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Versuche die drei Ableitungen von der Funktionsschar zu berechnen und schaue dir dann die Kriterien für einen Wendepunkt an!| Tipp 2 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Variable <math>a</math> kannst du wie eine Zahl behandeln!| Tipp 3 |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|
Schaue dir hier die Rechnung an um den Lösungsweg schrittweise nachzuvollziehen!
{{Lösung versteckt|
* Notwendiges Kriterium: <math>h''(x_W)=0</math>

<math> h'(x) = 3x^2-ax</math>

<math> h''(x) = 6x-a</math>

<math> h'''(x) = 6</math>

<math> h''(x_{W}) = 6x_W-a =0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W}=\frac{a}{6} </math> Es existiert ein Wendepunkt.

* Hinreichendes Kriterium: <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math> h'''(x_{W}) = 6 > 0</math>

<math>\Rightarrow</math> Bei dem Wendepunkt handelt es sich um einen Recht-links-Wendepunkt.

*'''Berechnen des Funktionswertes: '''

<math> h(x_{W}) = (\frac{a}{6})^3-\frac{a}{2}\cdot(\frac{a}{6})^2-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{1}{2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(\frac{1}{6^3}-\frac{3}{3\cdot 2\cdot 6^2})-a=a^3\cdot(-\frac{2}{6^3})-a</math>

| Rechenweg anzeigen |Rechenweg verbergen}}
'''Lösung:''' Die Wendepunkt der Funktionsscharen liegen an dem Punkt <math>(\frac{a}{6}/ </math>
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Box|1= Aufgabe 3 - Die schnelle Achterbahn
|2=Im Europa Park in Baden-Württemberg soll eine schnelle Achterbahn gebaut werden. Kurz vor Schluss soll die Bahn über zwei hohe Punkte fahren und dort die Höchstgeschwindigkeiten erreichen. Die Mitarbeiter des Parks haben eine Simulation der Achterbahn erstellt und haben somit die Geschwindigkeit der Achterbahn gegen die Zeit aufgenommen. Die Funktion <math>v(t)=\frac{1}{2}t^6-\frac{15}{2}t^4+30t^{2}+10 </math> (siehe Abbildung) beschreibt im Intervall [-3s,3s] sehr gut die Geschwindigkeit der Achterbahn am Ende der Fahrt.

[[Datei:Aufgabe Achterbahn.png|zentriert|mini|450x450px]]

An den Stellen, wo die Achterbahn stark abbremst oder beschleunigt sind die wichtigsten Stellen der Fahrt. Zu diesen Zeitpunkten sollen deshalb besondere Sicherheitssysteme arbeiten. Gebe mit Hilfe der Funktion <math> v(t) </math> an, zu welchen Zeitpunkten die Beschleunigung minimal bzw. maximal ist.
{{Lösung versteckt|1| Tipp anzeigen |Tipp verbergen}}
{{Lösung versteckt|2| Tipp anzeigen |Tipp verbergen}}

{{Lösung versteckt|'''Rechnung:''' Notwendiges Kriterium: <math>g''(x_W)=0</math>

<math>g'(x)=\frac{10x^4}{25}-3x^2+\frac{25}{8}</math>

<math>g''(x)=\frac{40x^3}{25}-6x=\frac{8}{5}x^3-6x</math>

<math>g'''(x)=\frac{24}{5}x^2-6</math>

<math>g''(x_W)=\frac{8}{5}x_W^3-6x_W=0 </math>

<math>\Rightarrow x_W\cdot(\frac{8}{5}x_W^2-6)=0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W1}=0 </math> und <math>(\frac{8}{5}x_{W2/3}^2-6)=0 </math>

<math>\Rightarrow x_{W2/3}=\pm\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

<math>\Rightarrow x_{W2}=+\sqrt{\frac{30}{8}}</math> und <math> x_{W3}=-\sqrt{\frac{30}{8}}</math>

* Hinreichendes Kriterium: <math>f'''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_{W1})=-6</math> und <math>f'''(x_{W2})=</math><math>f'''(x_{3})=</math>

<math>\Rightarrow</math>an <math>x_{W1}</math> liegt eine Recht-links-Wendestelle, an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor und an <math> {x_W2}</math> eine Links-rechts-Wendestelle vor.
| Lösung anzeigen |Lösung verbergen}}

|3=Arbeitsmethode}}

{{Fortsetzung|weiter=Verhalten im Unendlichen und nahe Null|weiterlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung/Verhalten im Unendlichen und nahe Null|vorher=zurück|vorherlink=Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung}}