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Benutzer:C.Schroer/Lineare Funktionen

2024-04-15T06:33:11Z

C.Schroer:

======Dieser Lernpfad wurde im Original erstellt von Frau Buß-Haskert[[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]] [[Herta-Lebenstein-Realschule|(Herta-Lebenstein-Realschule)]] und wurde veröffentlicht unter der Lizenz CC BY SA. Herzlichen Dank!======
==1. Funktionen==
{{Box|Funktionen|Eine Zuordnung, bei der jedem x-Wert genau einem y-Wert zugeordnet wird, nennt man Funktion.|Merksatz
}}Es gibt viele verschiedene Arten von Funktionen. Zum Beispiel gibt es proportionale und lineare Funktionen, später lernt man auch noch quadratische und ganzrationale Funktionen kennen.

Die Graphen von proportionalen Funktionen sind Halbgeraden, die im Ursprung beginnen. Die Graphen von linearen Funktionen hingegen sind Geraden, die die y-Achse in einem Punkt (0|b) schneiden. Man erkennt also: Proportionale Funktionen sind spezielle lineare Funktionen, lineare Funktionen sind spezielle Funktionen.

Und es gibt auch noch Zuordnungen, die keine Funktion darstellen. Ihre Graphen erkennt man daran, dass es x-Werte gibt, denen zwei oder mehr y-Werte zugeordnet werden.

<br />{{LearningApp|app=2728348|width=100%|height=400px}}<br />

==1.1) Darstellungsformen von Funktionen==
Funktionen kann man als Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph darstellen.

Beispiel:
{| class="wikitable"
|+
!Darstellungsform
!
!Beispiel
|-
|Text
|
|jedem x-Wert sein 4faches vermehrt um 7
|-
|Funktonsgleichung
|
|f(x) = y = 4x + 7
|-
|Wertetabelle darstellen
|
|
{| class="wikitable"
|+
!x
!-2
!-1
!0
!1
!2
|-
|y
| -1
|3
|7
|11
|15
|}
|-
|Graph
|
|[[Datei:Grafik vierxplussieben.png|mini]]
|}
Hier noch einmal ein Video, indem erklärt wird, wie man mit der Funktionsgleichung eine Wertetabelle anlegt und mit damit den Graphen der Funktion zeichnet:

{{#ev:youtube|https://www.youtube.com/watch?v=dLfPBJgHgC4}}

==2. Lineare Funktionen erkennen und darstellen==

{{Box|Lineare Funktionen
| 2 = Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form ''<b>f(x) = mx + b</b>'' hat, heißt <b>lineare Funktion</b>. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine <b>Gerade</b> mit der <b><font color=red>Steigung m </font></b> und dem <b><font Color=green>y-Achsenabschnitt b</font></b>. Der Graph scheidet die y-Achse im Punkt P(0I<b><font Color=green>b</font></b>).
| 3 = Merksatz
}}

Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen (hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen). Du musst noch nicht jeden Zusammenhang, der hier genannt wird, verstehen. Vieles davon erarbeitest du auf den nächsten Seiten.

{{#ev:youtube|blY2qdFV4ag|center}}

{{Box|Übung 1: Lineare Funktionen erkennen|Entscheide in den folgenden Apps, ob die Funktion linear ist oder nicht. In der letzen App gib die Funktionsgleichung an oder lies m und b ab.|Üben
}}
{{LearningApp|app=7222616|widtht=100%|height=400px}}

{{LearningApp|app=341227|width=100%|height=400px}}

{{LearningApp|app=p1syaqysj20|width=100%|height=400px}}
<br />

==2.2) Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Funktionsgraph==

===f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.<ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" />

Übertrage die Merksätze in dein Heft:
{{Box|Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Merksatz
}}

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.

Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.

{{Box|Übung 2: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben
}}

{{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width=100%|height=400px}}

{{h5p|id=796620|height=300}}

===Die Steigung m linearer Funktionen===
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

<ggb_applet id="dnhgkk6c" width="800" height="400" />

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus [[Datei:Steigung_m_.png|52x52px]] bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.

{{Box|Merke: Die Steigung m
| 2 = Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]
| 3 = Arbeitsmethode
}}

Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:

{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|460|center}}

===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung|Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo
}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Erklärvideo: {{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div>
</div>

Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
<div class="grid">
<div class="width-1-2"> leicht: m ist eine natürliche Zahl[[Datei:Funktionsgleichung_einer_Geraden_bestimmen_m=2.png]]</div>
<div class="width-1-2"> mittel: m ist negativ [[Datei:Funktionsgleichung_einer_Geraden_bestimmen_m=-1,5.png]]</div>
</div>
schwer: m ist ein Bruch
[[Datei:Funktionsgleichung_einer_Geraden_bestimmen_m=drei_Fünftel.png]]

{{Box|Übung 3 : Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu.|Üben
}}
<div class="grid">
<div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp|app=pw8bbo2st20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=400px}}</div>
</div>

<div class="grid">
<div class="width-1-3"></div>
<div class="width-1-3"></div></div>

===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo
}}

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.
<div class="grid">
<div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_Schritt_1.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_2._Schritt.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_Schritt_3.png]]</div>
</div>
Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!

Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div>
</div>

==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==

===Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung===

Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5

Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse)
[[Datei:Wertetabelle_erstellen_Beispiel_2x+5_berichtigt.png]]

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}

===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===

Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

Tom und Lisa leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein?

geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5

ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?

In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.
[[Datei:F(x)_=_2x_+_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png|487x487px]]

{{Box|Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage
}}

Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?

(Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)

Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

<span style="color:blue">y</span>= 2<span style="color:red">x</span> + 5    A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>)

<span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5

10 = 6 + 5

10 = 11 '''(f)'''

Es ergibt sich eine '''falsche''' Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also '''liegt''' der Punkt '''nicht''' auf dem Graphen.
Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt:

'''Punktprobe:'''

<span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5    B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13)</span>

<span style="color:blue">13</span> = 2·<span style="color:red">4</span> + 5

13 = 8 + 5

13 = 13 '''(w)'''

Es ergibt sich eine '''wahre''' Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also '''liegt''' der Punkt auf dem Graphen.

Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
<div class="grid">
<div class="width-1-2"> Zusammenfassung: {{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div>
<div class="width-1-2"> noch mehr Beispiele: {{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div>
</div>

{{Box|Punktprobe
| 2 = Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.
| 3 = Merksatz
}}

{{Box|Übung 7: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben
}}

{{LearningApp|app=ppkr9n4sj20|width=100%|height=400px}}
<br>
<br>

===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===

Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.

'''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''

Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?

geg: <span style="color:red">x = 1,5</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehöriger y-Wert

Setze die <span style="color:red">x</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne:
f(x) = 2<span style="color:red">x</span> + 5

   <span style="color:blue">y</span> = 2·<span style="color:red">1,5</span> + 5

= 3 + 5

   = <span style="color:blue">8</span> P(<span style="color:red">1,5</span>|<span style="color:blue">8</span>)

Sie müssen 8€ bezahlen.

'''2. Möglichkeit: <span style="color:blue">y</span>-Koordinate ist gegeben:'''

Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?
geg: <span style="color:blue">y = 10</span> und f(x) = 2x+5
ges: zugehörige x-Koordinate
Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:

f(x) = 2x + 5

<span style="color:blue">10</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 |-5

5 = 2<span style="color:red">x</span> |:2

2,5 = <span style="color:red">x</span>           P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>)

Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.

<div class="grid">
<div class="width-1-2"> Zusammenfassung: {{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div>
<div class="width-1-2"> noch mehr Beispiele: {{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div>
</div>
{{Box|Übung 8: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben
}}

{{LearningApp|app=pz6auqgia20|width=100%|heitht=600px}}

===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===

{{Lösung versteckt|1=Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen:
Sezte in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + b die gegebenen Größen ein und löse nach der gesuchten Größe auf.|2=Tipp 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zu Nr. 9: Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 1,5x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 1,5 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(2I6) gegeben. Gesucht ist b.
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}

===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===

{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}

{{Box|Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
| 2 = Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

P<sub>y</sub> (0Ib)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
N (x<sub>N</sub>I0)
| 3 = Merksatz
}}
[[Datei:Übersicht_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]

{{LearningApp|app=pu8028csj20|width=100%|height=400px}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0

y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4

Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu 7a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu 7b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu 7b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu 7c)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 0.25x-2.png]]|Funktionsgraph zu 7d)|Verbergen}}|Tipps zu S. 137 Nr. 7|Verbergen}}

==2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen==

Es gibt Situationen in unserem Alltag, in denen sich Probleme oder Fragen mithilfe von linearen Funktionen beschreiben und lösen lassen. Solche Aufgaben nennen wir "Anwendungsaufgaben". Die Alltagssituation wird in ein mathematisches Modell übertragen, mit unserem Wissen zu den linearen Funktionen mathematisch gelöst und diese Lösung dann auf die Situation bezogen. Die nachfolgende Struktur hilft dir dabei:

{{Box|Anwendungsaufgaben lösen|1. Notiere, was gegeben und was gesucht ist, also

geg:...

ges:...

2. Welche mathematischen Informationen habe ich?

- y-Achsenabschnitt

- Steigung

- Nullstelle

- einen beliebigen Punkt

3. Löse die Aufgabe mit deinem Wissen über lineare Funktionen.

- Funktionsgleichung aufstellen

- Schaubild/Graph zeichnen

- Koordinaten von Punkte berechnen

4. Beziehe deine mathematische Lösung auf die Alltagssituation und formuliere einen Antwortsatz.|Merksatz
}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 1: Fahrradverleih|[[Datei:Fahrradverleih.png|mini]]
Du möchtest im Aktiv-Urlaub ein Fahrrad leihen.

a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen.

b) Wie viel Euro musst du zahlen, wenn du das Fahrrad 3 Stunden ausleihst. Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.

c) Du hast 20 € zur Verfügung. Wie lange kannst du das Rad leihen? Löse durch eine Rechnung und prüfe deine Ergebnis am Graphen.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Die Zuordnung lautet Zeit [Stunden] <math>\rightarrow</math>Kosten [€]

x gibt also die Zeit an, f(x) die Kosten.|Tipp zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du leihst das Fahrrad für 3 Stunden, also ist x=3. Setze in der Funktionsgleichung für x die Zahl 3 ein und berechne f(3).|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Verbergen|Tipp zu c)}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 2: Fahrradtour|[[Datei:Fahrradtour Graph.png|mini]]
Mit den geliehenen Rädern unternehmt zwei Freunde und du eine Fahrradtour.

Um 9:00 Uhr geht es los.

a) Berechne mithilfe des Graphen die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der ihr unterwegs seid. Gib damit die Funktionsgleichung des Graphen an.

b) Um 9:30 Uhr ruft ein weiterer Freund an, ob er noch nachkommen kann. Schafft er es, euch bis 12:00 Uhr einzuholen, wenn er durchschnittlich 20 km/h fährt? Begründe anhand der Zeichnung und mit einer Rechnung.

c) Um 12:00 Uhr macht ihr eine Mittagspause. Wie muss der Graph dann verlaufen?|Üben
}}

{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Lies am Graphen ab, wie viele Kilometer nach 1 Stunde (also bis 10:00 Uhr) zurückgelegt wurden. Dies ist die Steigung.|Tipp 1 zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Pro Stunde werden 15 km zurückgelegt. Die Funktionsgleichung lautet daher f(x) = 15x, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt.|2=Tipp 2 zu a)|3=Verbergen}}|Tipps zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt| Zeichne das Schaubild in dein Heft und zeichne einen zweiten Graphen für den Freund ein. Beginne bei 9:30 Uhr und lege in 1 Stunde 20km zurück.|Tipp 1 zu b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Funktionsgleichung die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b.

Die Steigung der Funktion ist m = 20, denn in 1 Stunde werden 20 km zurückgelegt.

Der y-Achsenabschnitt beträgt -10, da der Freund 0,5 Stunden später startet, in denen er 10 km zurückgelegt hätte.

Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 20x-10, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt. |2=Tipp 2 zu b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt| 1= Der Punkt, wann die Freunde sich treffen, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Hier haben beide Gruppen dieselbe Strecke zurückgelegt, das heißt, sie sind gleich weit gefahren und müssen sich demnach treffen.

Um zu berechnen, wann die Freunde sich treffen, berechne also den Schnittpunkt der Gerden. An dieser Stelle x haben sie dieselben y-Werte, sie sind gleich weit gefahren. Es gilt y = 15x und y=20x-10.

Löse die Gleichung 15x = 20x-10 nach x auf.|2=Tipp 3 zu b)|3=Verbergen}}|Tipps zu b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Wenn ihr eine Pause macht, vergeht Zeit, es wird aber keine Strecke zurückgelegt, also verläuft der Graph parallel zur x-Achse.|Tipp zu c)|Verbergen}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 3: Tandemsprung|[[Datei:Skydiving-297103 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small> ]]
Ein weiteres Angebot im Aktiv-Urlaub ist ein Tandem-Fallschirmsprung. Nach dem Öffnen des Fallschirms misst du mit einem Höhenmesser jede Sekunde deine Höhe über dem Erdboden.
[[Datei:Skydiving Tabelle.png|center]]

a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen.

b) Auf welche Höhe befindest du dich nach 6 Sekunden? Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.

c) Berechne die Nullstelle der Funktion und prüfe dein Ergebnis am Graphen. Welche Bedeutung hat die Nullstelle bezogen auf die Fallzeit und Fallhöhe?

d) Denke dir selbst eine Aufgabe zum Fallschirmsprung aus.|Üben
}}

{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Beim Zeichnen des Graphen wähle für die x-Achse 1cm für 10 Sekunden und auf der y-Achse für 1cm für 100m.|Tipp 1 zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Für die Funktionsgleichung benötigst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Wo findest du dies in der Wertetabelle?
Den y-Achsenabschnitt liest du bei x=0 ab.

Die Steigung m findest du so: Wenn du bei x eine Einheit nach rechts gehst, gehst du m Einheiten nach oben oder unten. Wie groß ist also die Steigung hier?|2=Tipp 2 zu a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= f(x) = mx + b; hier ist m = -8 und b = 490, also f(x) = -8x + 490.|2=Tipp 3 zu a)|3=Verbergen}}|Tipps zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: x=6 Sekunden; f(x) = -8x+490

ges: f(6)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse, also gilt f(x) = 0.
[[Datei:Graph Fallschirmsprung.png|mini|center]]|2=Tipp zu c)|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die Steigung berechnet sich immer mit m = [[Datei:Steigung m .png|center]]

Berechne also den Höhenunterschied <math>\Delta </math>y und den Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x und bestimme damit die Steigung.|2=Tipp 1 zu Nr. 14|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Beispielrechnung: a)·Bourg-d’Oisans·nach·Pied·de·côte:

Höhenunterschied <math>\Delta </math>y = 740m – 720m = 20m;

Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x = 1,5km = 1500m;

also ist m = <math>\tfrac{20}{1500}</math> =0,013 = 1,3%|2=Tipp 2 zu Nr. 14|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Berechne die Gesamtsteigung, indem du den gesamten Höhenunterschied <math>\Delta </math>y durch die gesamte Streckenlänge, also den gesamten Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x dividierst.|Tipp zu Nr. 14 b)|Verbergen}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}}

Benutzer:C.Schroer/Lineare Funktionen

2024-04-15T06:20:20Z

C.Schroer: 2.4 LearningApp eingefügt

======Dieser Lernpfad wurde im Original erstellt von Frau Buß-Haskert[[Benutzer:Buss-Haskert|Frau Buß-Haskert]] [[Herta-Lebenstein-Realschule|(Herta-Lebenstein-Realschule)]] und wurde veröffentlicht unter der Lizenz CC BY SA. Herzlichen Dank!======
==1. Funktionen==
{{Box|Funktionen|Eine Zuordnung, bei der jedem x-Wert genau einem y-Wert zugeordnet wird, nennt man Funktion.|Merksatz
}}Es gibt viele verschiedene Arten von Funktionen. Zum Beispiel gibt es proportionale und lineare Funktionen, später lernt man auch noch quadratische und ganzrationale Funktionen kennen.

Die Graphen von proportionalen Funktionen sind Halbgeraden, die im Ursprung beginnen. Die Graphen von linearen Funktionen hingegen sind Geraden, die die y-Achse in einem Punkt (0|b) schneiden. Man erkennt also: Proportionale Funktionen sind spezielle lineare Funktionen, lineare Funktionen sind spezielle Funktionen.

Und es gibt auch noch Zuordnungen, die keine Funktion darstellen. Ihre Graphen erkennt man daran, dass es x-Werte gibt, denen zwei oder mehr y-Werte zugeordnet werden.

<br />{{LearningApp|app=2728348|width=100%|height=400px}}<br />

==1.1) Darstellungsformen von Funktionen==
Funktionen kann man als Text, Funktionsgleichung, Wertetabelle oder Graph darstellen.

Beispiel:
{| class="wikitable"
|+
!Darstellungsform
!
!Beispiel
|-
|Text
|
|jedem x-Wert sein 4faches vermehrt um 7
|-
|Funktonsgleichung
|
|f(x) = y = 4x + 7
|-
|Wertetabelle darstellen
|
|
{| class="wikitable"
|+
!x
!-2
!-1
!0
!1
!2
|-
|y
| -1
|3
|7
|11
|15
|}
|-
|Graph
|
|[[Datei:Grafik vierxplussieben.png|mini]]
|}
Hier noch einmal ein Video, indem erklärt wird, wie man mit der Funktionsgleichung eine Wertetabelle anlegt und mit damit den Graphen der Funktion zeichnet:

{{#ev:youtube|https://www.youtube.com/watch?v=dLfPBJgHgC4}}

==2. Lineare Funktionen erkennen und darstellen==

{{Box|Lineare Funktionen
| 2 = Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Form ''<b>f(x) = mx + b</b>'' hat, heißt <b>lineare Funktion</b>. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine <b>Gerade</b> mit der <b><font color=red>Steigung m </font></b> und dem <b><font Color=green>y-Achsenabschnitt b</font></b>. Der Graph scheidet die y-Achse im Punkt P(0I<b><font Color=green>b</font></b>).
| 3 = Merksatz
}}

Diese Eigenschaften werden in folgendem Lied besungen (hier heißt die Funktionsgleichung f(x) = mx + n (n statt b, du findest in verschiedenen Büchern verschiedene Bezeichnungen). Du musst noch nicht jeden Zusammenhang, der hier genannt wird, verstehen. Vieles davon erarbeitest du auf den nächsten Seiten.

{{#ev:youtube|blY2qdFV4ag|center}}

{{Box|Übung 1: Lineare Funktionen erkennen|Entscheide in den folgenden Apps, ob die Funktion linear ist oder nicht. In der letzen App gib die Funktionsgleichung an oder lies m und b ab.|Üben
}}
{{LearningApp|app=7222616|widtht=100%|height=400px}}

{{LearningApp|app=341227|width=100%|height=400px}}

{{LearningApp|app=p1syaqysj20|width=100%|height=400px}}
<br />

==2.2) Zusammenhang zwischen Funktionsgleichung und Funktionsgraph==

===f(x) = mx + b Bedeutung von m und b für den Funktionsgraphen===

Damit du einen Eindruck von der Bedeutung der Parameter m (Steigung) und b (y-Achsenabschnitt) der Funktionsgleichung linearer Funktionen f(x) = mx + b erhältst, verändere in der folgenden Animation mithilfe der Schieberegler die Größe von m und b. Notiere deine Beobachtungen stichpunktartig.<ggb_applet id="gdvednbk" width="700"" height="500" />

Übertrage die Merksätze in dein Heft:
{{Box|Die Bedeutung von m: Steigende und fallende Geraden|Wir unterscheiden steigende und fallende Geraden. Eine Gerade "steigt", wenn bei steigenden x-Werten auch die y-Werte steigen. Für die Steigung m gilt also:

Ist m > 0, steigt die Funktion.
Ist m < 0, fällt die Funktion.|Merksatz
}}

Anschaulich vorstellen kannst du dir, dass die Funktion steigt, wenn der Wanderer den Berg hochsteigen muss.

Fällt die Funktion, "fällt" der Wanderer bergab.

{{Box|Übung 2: Steigende und fallende Geraden|Bearbeite die nachfolgenden Apps um dein Wissen über steigende und fallende Geraden und die Bedeutung von m in der Funktionsgleichung.|Üben
}}

{{LearningApp|app=pcwv0txpt20|width=100%|height=400px}}

{{h5p|id=796620|height=300}}

===Die Steigung m linearer Funktionen===
Untersuche mithilfe der Animation in GeoGebra die Steigung von Geraden. Du kannst mit den Schiebereglern m verändern. Außerdem kannst du das Steigungsdreieck durch Verschieben der Punkte A und B verändern. Beobachte, was geschieht. Probiere aus.

<ggb_applet id="dnhgkk6c" width="800" height="400" />

Beobachtung: Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Dazu zeichnen wir von einem beliebigen Punkt auf der Geraden ein Dreieck zu einem anderen Punkt auf der Geraden, bei dem die eine Seite parallel zur x-Achse liegt und die andere parallel zur y-Achse. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Egal, wie das Steigungsdreieck gezeichnet wird, der Quotient aus [[Datei:Steigung_m_.png|52x52px]] bleibt immer gleich, dies ist die Steigung m.

{{Box|Merke: Die Steigung m
| 2 = Die Steigung m einer linearen Funktion können wir mit einem Steigungsdreieck ermitteln und darstellen. Gehen wir dabei genau 1 Einheit in x-Richtung, steigt (oder fällt) der y-Wert immer um den Wert m, die Steigung.

Es gilt: m=[[Datei:Steigung m .png|30px]]
| 3 = Arbeitsmethode
}}

Schau dazu das nachfolgende Video zu Steigungsdreiecken an:

{{#ev:youtube|qwL_B7OhRIE|460|center}}

===Von der Geraden zu Funktionsgleichung===
{{Box|Ablesen der Funktionsgleichung am Funktionsgraphen - Erklärung|Übe das Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen Funktion bei gegebenem Graphen. Bestimme dazu zunächst den y-Achsenabschnitte b und danach die Steigung m mithilfe des Steigungsdreiecks.|Kurzinfo
}}

<div class="grid">
<div class="width-1-2">Erklärvideo: {{#ev:youtube|D1ohhkkIUoM|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">und noch mehr Beispiele:{{#ev:youtube|2j4V10V5Gnc|460|center}}</div>
</div>

Und nun noch einmal übersichtlich als Bild:
<div class="grid">
<div class="width-1-2"> leicht: m ist eine natürliche Zahl[[Datei:Funktionsgleichung_einer_Geraden_bestimmen_m=2.png]]</div>
<div class="width-1-2"> mittel: m ist negativ [[Datei:Funktionsgleichung_einer_Geraden_bestimmen_m=-1,5.png]]</div>
</div>
schwer: m ist ein Bruch
[[Datei:Funktionsgleichung_einer_Geraden_bestimmen_m=drei_Fünftel.png]]

{{Box|Übung 3 : Bestimmen der Funktionsgleichung einer Geraden|Ordne den Geraden die Funktionsgleichung zu.|Üben
}}
<div class="grid">
<div class="width-1-3">leicht (*){{LearningApp|app=p2rwidw3t20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">mittel (**){{LearningApp|app=pw8bbo2st20|width=100%|height=400px}}</div>
<div class="width-1-3">schwer (***){{LearningApp|app=ppn4q2oe320|width=100%|height=400px}}</div>
</div>

<div class="grid">
<div class="width-1-3"></div>
<div class="width-1-3"></div></div>

===Von der Funktionsgleichung zur Geraden===
{{Box|Und nun umgekehrt...|Zeichne zu einer Funktionsgleichung den Graphen.|Kurzinfo
}}

Dabei gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen der Funktionsgleichung.1. Schritt: Zeichne den y-Achsenabschnitt b ein: P(0|b)
2. Schritt: Zeichne das Steigungsdreieck ein. Starte im Punkt P. Der Nenner gibt an, wie viele Einheiten du nach rechts gehst, der Zähler, wie viele Einheiten nach oben (unten).
3. Schritt: Zeichne die Gerade durch die so erhaltenen Punkte.

Die Bilder zeigen das Vorgehen für die Funktionsgleichung f(x) = <math>{3 \over 5}</math>x - 1.
<div class="grid">
<div class="width-1-3">Schritt 1[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_Schritt_1.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 2[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_2._Schritt.png]]</div>
<div class="width-1-3">Schritt 3[[Datei:Gerade_zur_Gleichung_zeichnen_Schritt_3.png]]</div>
</div>
Übertrage das Beispiel mit den Anmerkungen in dein Heft!

Die Videos zeigen das Vorgehen noch einmal:
<div class="grid">
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|g4fFXe9-en0|460|center}}</div>
<div class="width-1-2">{{#ev:youtube|TKK-25nz-cE|460|center}}</div>
</div>

==2.3) Zusammenhang zwischen Wertetabelle und Funktionsgleichung==

===Wiederholung: Erstellen einer Wertetabelle mithilfe der Funktionsgleichung===

Du hast in den Einführungsbeispielen schon Wertetabellen erstellt. Schauen wir uns das Beispiel zum Bootsverleih noch einmal an. Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 2x + 5

Um nun eine Wertetabelle zu erstellen, setze für x verschiedene Werte ein und berechne den zugehörigen y-Wert, den Funktionswert. Erinnerung: Werte von Termen berechnen (7. Klasse)
[[Datei:Wertetabelle_erstellen_Beispiel_2x+5_berichtigt.png]]

Das Video fasst das Vorgehen noch einmal zusammen:
{{#ev:youtube|EfPX2lmay0c}}

===Punktprobe: Liegt der Punkt auf der Geraden?===

Bei der Punktprobe entscheidest du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

Tom und Lisa leihen für 3 Stunden ein Tretboot. Der Bootsverleiher rechnet den Preis 10€ aus. Kann das sein?

geg: Punkt A(3|10); Funktion f(x) = 2x + 5

ges: Liegt der Punkt A auf dem Graphen der Funktion?

In der Zeichnung erkennen wir sofort, dass dies nicht der Fall ist.
[[Datei:F(x)_=_2x_+_5_Punkt_A_liegt_nicht_auf_dem_Graphen.png|487x487px]]

{{Box|Punktprobe|Wie können wir rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt?
Schreibe die nachfolgende Rechnung in dein Heft.|Frage
}}

Gegeben ist die Funktionsgleichung <span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5. Liegt der Punkt A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>) auf dem Graphen der Funktion?

(Hier ist es leichter <span style="color:blue">y</span> statt f(x) zu schreiben, der Zusammenhang zu den Koordinaten des Punktes sind dann leichter zu erkennen.)

Idee: Setze die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die Gleichung erfüllt wird.

<span style="color:blue">y</span>= 2<span style="color:red">x</span> + 5    A(<span style="color:red">3</span>|<span style="color:blue">10</span>)

<span style="color:blue">10</span> = 2·<span style="color:red">3</span> + 5

10 = 6 + 5

10 = 11 '''(f)'''

Es ergibt sich eine '''falsche''' Aussage, die Gleichung ist nicht erfüllt, also '''liegt''' der Punkt '''nicht''' auf dem Graphen.
Wir prüfen ebenso, ob der Punkt B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13</span>) auf der Geraden liegt:

'''Punktprobe:'''

<span style="color:blue">y</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5    B(<span style="color:red">4</span>|<span style="color:blue">13)</span>

<span style="color:blue">13</span> = 2·<span style="color:red">4</span> + 5

13 = 8 + 5

13 = 13 '''(w)'''

Es ergibt sich eine '''wahre''' Aussage, die Gleichung ist erfüllt, also '''liegt''' der Punkt auf dem Graphen.

Das folgende Video fasst noch einmal zusammen:
<div class="grid">
<div class="width-1-2"> Zusammenfassung: {{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=0&end=180}}</div>
<div class="width-1-2"> noch mehr Beispiele: {{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=0&end=135}}</div>
</div>

{{Box|Punktprobe
| 2 = Wir können rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes P(<span style="color:red">x</span>I<span style="color:blue">y</span>) in die Funktionsgleichung <span style="color:blue">f(x)</span> = m<span style="color:red">x</span> + b ein. Der Punkt liegt auf dem Graphen, wenn sich eine wahre Aussage ergibt, die Gleichung also erfüllt ist.
| 3 = Merksatz
}}

{{Box|Übung 7: Punktprobe|Prüfe in der folgenden App rechnerisch, ob der Punkt auf dem Graphen der Funktion liegt.|Üben
}}

{{LearningApp|app=ppkr9n4sj20|width=100%|height=400px}}
<br>
<br>

===Fehlende Koordinate eines Punktes der Funktion berechnen===

Du kannst mithilfe der Funktionsgleichung fehlende Koordinaten berechnen.

'''1. Möglichkeit: <span style="color:red">x</span>-Koordinate ist gegeben'''

Tom und Lisa leihen ein Tretboot für 1,5 Stunden. Wie viel müssen sie bezahlen?

geg: <span style="color:red">x = 1,5</span> und f(x) = 2x+5

ges: zugehöriger y-Wert

Setze die <span style="color:red">x</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechne:
f(x) = 2<span style="color:red">x</span> + 5

   <span style="color:blue">y</span> = 2·<span style="color:red">1,5</span> + 5

= 3 + 5

   = <span style="color:blue">8</span> P(<span style="color:red">1,5</span>|<span style="color:blue">8</span>)

Sie müssen 8€ bezahlen.

'''2. Möglichkeit: <span style="color:blue">y</span>-Koordinate ist gegeben:'''

Tom und Lisa bezahlen 10 €. Wie lange haben sie das Tretboot ausgeliehen?
geg: <span style="color:blue">y = 10</span> und f(x) = 2x+5
ges: zugehörige x-Koordinate
Setze die <span style="color:blue">y</span>-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und löse nach x auf:

f(x) = 2x + 5

<span style="color:blue">10</span> = 2<span style="color:red">x</span> + 5 |-5

5 = 2<span style="color:red">x</span> |:2

2,5 = <span style="color:red">x</span>           P(<span style="color:red">2,5</span>|<span style="color:blue">10</span>)

Sie haben das Boot für 2,5 Stunden geliehen.

<div class="grid">
<div class="width-1-2"> Zusammenfassung: {{#ev:youtube|iV-ysofefkg|460|center|||start=185&end=409}}</div>
<div class="width-1-2"> noch mehr Beispiele: {{#ev:youtube|Gi1Dj4kzL20|460|center|||start=135&end=302}}</div>
</div>
{{Box|Übung 8: Fehlende Koordinate bestimmen|Bestimme in der folgenden App jeweils die fehlende Koordinate.|Üben
}}

{{LearningApp|app=pz6auqgia20|width=100%|heitht=600px}}

===Aufstellen der Funktionsgleichung durch den Punkt P mit m oder b gegeben===

{{Lösung versteckt|1=Die vorangegangenen Übungen zur "Punktprobe" können dir helfen:
Sezte in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = mx + b die gegebenen Größen ein und löse nach der gesuchten Größe auf.|2=Tipp 1|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Zu Nr. 9: Wenn die Gerade <b>parallel</b> zur Geraden von f(x)= 1,5x + 1 verläuft, haben die Geraden <b>dieselbe Steigung</b>! Also ist m = 1,5 gegeben. Außerdem hast du den Punkt P(2I6) gegeben. Gesucht ist b.
Setze die gegebenen Größen ein und löse nach b auf.|2=Tipp zu Nr. 9|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Hilfen bietet das nachfolgende Video:{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}|Video mit Beispielaufgaben|Verbergen}}

===Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen===

{{#ev:youtube|KnOdPP4gqmc}}

{{Box|Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
| 2 = Für den Schnittpunkt P<sub>y</sub> mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein berechnen b.

P<sub>y</sub> (0Ib)

Für den Schnittpunkt N mit der x-Achse (<b>Nullstelle</b>) setzen wir f(x) = 0 (oder y = 0) in die Funktionsgleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf.
N (x<sub>N</sub>I0)
| 3 = Merksatz
}}
[[Datei:Übersicht_Schnittpunkte_mit_den_Koordinatenachsen.png|Übersicht Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen]]

{{LearningApp|app=pu8028csj20|width=100%|height=400px}}{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|1=Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse): f(x) = 0, also -x+4 = 0

y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse): x = 0, also f(0) = -0+4

Prüfe dein Ergebnis mithilfe von GeoGebra https://www.geogebra.org/graphing . Gib dort die Funktionsgleichung ein und vergleiche deine rechnerischen Lösungen mit dem Graphen. Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen?|2=Tipp zu 7a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -x+4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.png]]|Probe: Funktionsgraph zu 7a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = -0.5x+5.png]]|Funktionsgraph zu 7b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung S. 137 Nr. 7b.png]]|2=Lösung zu 7b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 1.5x+3.png]]|Funktionsgraph zu 7c)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:F(x) = 0.25x-2.png]]|Funktionsgraph zu 7d)|Verbergen}}|Tipps zu S. 137 Nr. 7|Verbergen}}

==2.4) Lineare Funktionen im Aktivurlaub und andere Anwendungen==

Es gibt Situationen in unserem Alltag, in denen sich Probleme oder Fragen mithilfe von linearen Funktionen beschreiben und lösen lassen. Solche Aufgaben nennen wir "Anwendungsaufgaben". Die Alltagssituation wird in ein mathematisches Modell übertragen, mit unserem Wissen zu den linearen Funktionen mathematisch gelöst und diese Lösung dann auf die Situation bezogen. Die nachfolgende Struktur hilft dir dabei:

<nowiki><iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2695948" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe></nowiki>

{{Box|Anwendungsaufgaben lösen|1. Notiere, was gegeben und was gesucht ist, also

geg:...

ges:...

2. Welche mathematischen Informationen habe ich?

- y-Achsenabschnitt

- Steigung

- Nullstelle

- einen beliebigen Punkt

3. Löse die Aufgabe mit deinem Wissen über lineare Funktionen.

- Funktionsgleichung aufstellen

- Schaubild/Graph zeichnen

- Koordinaten von Punkte berechnen

4. Beziehe deine mathematische Lösung auf die Alltagssituation und formuliere einen Antwortsatz.|Merksatz
}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 1: Fahrradverleih|[[Datei:Fahrradverleih.png|mini]]
Du möchtest im Aktiv-Urlaub ein Fahrrad leihen.

a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen.

b) Wie viel Euro musst du zahlen, wenn du das Fahrrad 3 Stunden ausleihst. Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.

c) Du hast 20 € zur Verfügung. Wie lange kannst du das Rad leihen? Löse durch eine Rechnung und prüfe deine Ergebnis am Graphen.|Üben
}}
{{Lösung versteckt|Die Zuordnung lautet Zeit [Stunden] <math>\rightarrow</math>Kosten [€]

x gibt also die Zeit an, f(x) die Kosten.|Tipp zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Du leihst das Fahrrad für 3 Stunden, also ist x=3. Setze in der Funktionsgleichung für x die Zahl 3 ein und berechne f(3).|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Verbergen|Tipp zu c)}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 2: Fahrradtour|[[Datei:Fahrradtour Graph.png|mini]]
Mit den geliehenen Rädern unternehmt zwei Freunde und du eine Fahrradtour.

Um 9:00 Uhr geht es los.

a) Berechne mithilfe des Graphen die durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der ihr unterwegs seid. Gib damit die Funktionsgleichung des Graphen an.

b) Um 9:30 Uhr ruft ein weiterer Freund an, ob er noch nachkommen kann. Schafft er es, euch bis 12:00 Uhr einzuholen, wenn er durchschnittlich 20 km/h fährt? Begründe anhand der Zeichnung und mit einer Rechnung.

c) Um 12:00 Uhr macht ihr eine Mittagspause. Wie muss der Graph dann verlaufen?|Üben
}}

{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Lies am Graphen ab, wie viele Kilometer nach 1 Stunde (also bis 10:00 Uhr) zurückgelegt wurden. Dies ist die Steigung.|Tipp 1 zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Pro Stunde werden 15 km zurückgelegt. Die Funktionsgleichung lautet daher f(x) = 15x, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt.|2=Tipp 2 zu a)|3=Verbergen}}|Tipps zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt| Zeichne das Schaubild in dein Heft und zeichne einen zweiten Graphen für den Freund ein. Beginne bei 9:30 Uhr und lege in 1 Stunde 20km zurück.|Tipp 1 zu b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= Du benötigst für die Funktionsgleichung die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b.

Die Steigung der Funktion ist m = 20, denn in 1 Stunde werden 20 km zurückgelegt.

Der y-Achsenabschnitt beträgt -10, da der Freund 0,5 Stunden später startet, in denen er 10 km zurückgelegt hätte.

Die Funktionsgleichung lautet f(x) = 20x-10, wobei x die Anzahl der Stunden (nach 9:00 Uhr) angibt. |2=Tipp 2 zu b)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt| 1= Der Punkt, wann die Freunde sich treffen, ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Hier haben beide Gruppen dieselbe Strecke zurückgelegt, das heißt, sie sind gleich weit gefahren und müssen sich demnach treffen.

Um zu berechnen, wann die Freunde sich treffen, berechne also den Schnittpunkt der Gerden. An dieser Stelle x haben sie dieselben y-Werte, sie sind gleich weit gefahren. Es gilt y = 15x und y=20x-10.

Löse die Gleichung 15x = 20x-10 nach x auf.|2=Tipp 3 zu b)|3=Verbergen}}|Tipps zu b)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Wenn ihr eine Pause macht, vergeht Zeit, es wird aber keine Strecke zurückgelegt, also verläuft der Graph parallel zur x-Achse.|Tipp zu c)|Verbergen}}

{{Box|Anwendungsaufgabe 3: Tandemsprung|[[Datei:Skydiving-297103 1280.png|mini|<small>Bild von Clker-Free-Vector-Images auf Pixabay</small> ]]
Ein weiteres Angebot im Aktiv-Urlaub ist ein Tandem-Fallschirmsprung. Nach dem Öffnen des Fallschirms misst du mit einem Höhenmesser jede Sekunde deine Höhe über dem Erdboden.
[[Datei:Skydiving Tabelle.png|center]]

a) Begründe, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Gib die Funktionsgleichung an und zeichne den Graphen.

b) Auf welche Höhe befindest du dich nach 6 Sekunden? Löse durch eine Rechnung und prüfe dein Ergebnis am Graphen.

c) Berechne die Nullstelle der Funktion und prüfe dein Ergebnis am Graphen. Welche Bedeutung hat die Nullstelle bezogen auf die Fallzeit und Fallhöhe?

d) Denke dir selbst eine Aufgabe zum Fallschirmsprung aus.|Üben
}}

{{Lösung versteckt|{{Lösung versteckt|Beim Zeichnen des Graphen wähle für die x-Achse 1cm für 10 Sekunden und auf der y-Achse für 1cm für 100m.|Tipp 1 zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Für die Funktionsgleichung benötigst du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Wo findest du dies in der Wertetabelle?
Den y-Achsenabschnitt liest du bei x=0 ab.

Die Steigung m findest du so: Wenn du bei x eine Einheit nach rechts gehst, gehst du m Einheiten nach oben oder unten. Wie groß ist also die Steigung hier?|2=Tipp 2 zu a)|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1= f(x) = mx + b; hier ist m = -8 und b = 490, also f(x) = -8x + 490.|2=Tipp 3 zu a)|3=Verbergen}}|Tipps zu a)|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=geg: x=6 Sekunden; f(x) = -8x+490

ges: f(6)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der x-Achse, also gilt f(x) = 0.
[[Datei:Graph Fallschirmsprung.png|mini|center]]|2=Tipp zu c)|3=Verbergen}}

{{Lösung versteckt|1=Die Steigung berechnet sich immer mit m = [[Datei:Steigung m .png|center]]

Berechne also den Höhenunterschied <math>\Delta </math>y und den Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x und bestimme damit die Steigung.|2=Tipp 1 zu Nr. 14|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Beispielrechnung: a)·Bourg-d’Oisans·nach·Pied·de·côte:

Höhenunterschied <math>\Delta </math>y = 740m – 720m = 20m;

Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x = 1,5km = 1500m;

also ist m = <math>\tfrac{20}{1500}</math> =0,013 = 1,3%|2=Tipp 2 zu Nr. 14|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Berechne die Gesamtsteigung, indem du den gesamten Höhenunterschied <math>\Delta </math>y durch die gesamte Streckenlänge, also den gesamten Horizontalunterschied <math>\Delta </math>x dividierst.|Tipp zu Nr. 14 b)|Verbergen}}

{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Startseite|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule/Lineare Funktionen im Aktiv-Urlaub}}

C.Schroer/Terme addieren und subtrahieren

2023-08-28T07:10:07Z

C.Schroer:

C.Schroer/Terme addieren und subtrahieren

2023-08-27T12:02:07Z

C.Schroer:

2020-12-20T16:22:19Z

C.Schroer:

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===Die Quadratwurzel===
{{Box|Definition|...|Merksatz}}

{{Box|Definition|Die Quadratwurzel <math>\sqrt{a}</math><nowiki> aus einer nichtnegativen Zahl a ist diejenige nichtnegative Zahl b, die mit sich selbst multipliziert a ergibt.|Merksatz}} </nowiki>

Es gilt:
1.<nowiki><math>\sqrt{a}</math></nowiki> <nowiki><math>\geq</math></nowiki> 0
2.(<nowiki><math>\sqrt{a}</math></nowiki>)<nowiki><math>\cdot</math></nowiki>(<nowiki><math>\sqrt{a}</math></nowiki>) = a für alle a <nowiki><nowiki><math>\geq</math></nowiki> 0

3.<nowiki><math>\sqrt{a}</math></nowiki> ist für a < 0 nicht definiert

4.<nowiki><math>\sqrt{0}</math></nowiki><nowiki><nowiki>= 0 |</nowiki><math>\cdot</math>

===Rechnen mit Quadratwurzeln===
===Wurzelgesetze===
===Anwendungsaufgaben===
===Irrationale Zahlen und Intervallschachtelung===
===Die Kubikwurzel und weitere Wurzeln===