ZUM Projektwiki - Benutzerbeiträge [de]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-29T12:46:13Z

Ansgar WWU-6: /* Kubische Funktionen im Sachzusammenhang */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-29T12:45:01Z

Ansgar WWU-6: /* Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-29T10:02:45Z

Ansgar WWU-6: /* Kubische Funktionen im Sachzusammenhang */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-29T10:00:52Z

Ansgar WWU-6: /* Kubische Funktionen im Sachzusammenhang */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-29T09:30:01Z

Ansgar WWU-6: /* Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-28T14:00:27Z

Ansgar WWU-6: /* Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-28T13:57:00Z

Ansgar WWU-6: /* Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-27T12:51:08Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-27T12:50:30Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-27T12:48:58Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-27T12:48:25Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-27T12:47:57Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-27T12:46:51Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-27T12:45:50Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-27T12:44:58Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-27T12:44:16Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-27T12:43:03Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-27T12:42:35Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-27T12:40:39Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-27T12:38:36Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

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2020-05-26T12:27:57Z

Ansgar WWU-6: /* Kubische Funktionen im Sachzusammenhang */

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2020-05-26T12:27:40Z

Ansgar WWU-6: /* Kubische Funktionen im Sachzusammenhang */

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2020-05-26T12:27:19Z

Ansgar WWU-6: /* Kubische Funktionen im Sachzusammenhang */

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2020-05-26T12:26:55Z

Ansgar WWU-6: /* Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang */

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2020-05-26T12:26:41Z

Ansgar WWU-6: /* Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang */

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2020-05-26T12:25:40Z

Ansgar WWU-6: /* Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang */

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2020-05-26T12:25:00Z

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2020-05-26T12:23:04Z

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2020-05-26T12:21:32Z

Ansgar WWU-6: /* Kubische Funktionen im Sachzusammenhang */

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2020-05-26T12:20:18Z

Ansgar WWU-6: /* Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang */

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-26T12:12:00Z

Ansgar WWU-6:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-26T12:07:09Z

Ansgar WWU-6:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-05-20T16:58:37Z

Ansgar WWU-6:

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung.

<quiz display="simple">
{ Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? }
+ Mittels einer Sekante.
- Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
+ Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
- Mittels einer Tangente.

{ Was gibt die Tangentensteigung an? }
- Die durchschnittliche Änderungsrate.
+ Die lokale Änderungsrate.
- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

{ Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)=x+5. </math>}
- -1
+ 1
- 5

{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
- zwei Extrema
+ drei Extrema
- vier Extrema
- keinen Wendepunkt
- einen Wendepunkt
+ zwei Wendepunkte

{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math>.
+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math>.
+ nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
- nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.

{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2)</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>(x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend
+ <math>f'(x_1)>0 </math>
+ <math>f'(x_2)=0 </math>
- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

{ Was trifft zu? Kreuze alle richtigen Aussagen an! }
+ Bei einem Optimierungsproblem wird immer nach dem optimalen Wert einer Funktion gefragt.
- Mit Optimierungsproblem ist die Kurvendiskussion einer Funktion gemeint.
+ Bei einem Optimierungsproblem wird immer nach dem bestmöglichsten Wert gesucht.
+ Bei einem Optimierungsproblem soll eine Größe entweder minimiert oder maximiert werden
- Bei Optimierungsproblemen geht es das Integral einer Funktion

{ Um ein Optimierungsproblem zu lösen, braucht man eine Nebenbedingung. }
+ Wahr
- Falsch

{ Zur Lösung eines Optimierungsproblems braucht man keine Extremwerte. }
- Wahr
+ Falsch

{ Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt }
- einen Hochpunkt.
+ einen Wendepunkt.
- eine Nullstelle.
- einen Sattelpunkt.

{Löse folgendes Gleichungssystem: 
<math>\begin{array}{rlllll}\\
I\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
II\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
 
Welche Aussage trifft auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?
}

- <math>x > 0</math>, <math>y > 6</math>
+ <math>x > 1</math>, <math>y < 6</math>
- <math>x < 1</math>, <math>y > 3</math>
- <math>x < 0</math>, <math>y < 3</math>

{ Lineare Gleichungssysteme lassen sich mit dem Gauß-Verfahren lösen, indem }
- mehrere Gleichungen gleichgesetzt werden.
+ das Gleichungssystem zu einer oberen Dreiecksmatrix umgeformt wird.
- eine Gleichung in die anderen Gleichungen eingesetzt wird.

{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse und ist immer positiv. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme? }
- Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
+ Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
- Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert sich man dem Integral an.
+ Der Grenzwert der Untersumme entspricht dem Integral, also wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich geht.

{ Sei <math> f(x) </math> eine Funktion, dann gilt für die Stammfunktion <math> F(x) </math>: }
+ <math> F'(x) = f(x) </math>
- <math> F(x) = f'(x) </math>
- <math> F'(x) = f(x) + c </math>
- <math> F'(x) + c = f(x) </math>

{ Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. }
- wahr
+ falsch

{ Welche Integrationsmethode(n) wurde(n) bei dieser Rechnung verwendet?
<math> \int x \cdot cos(x) dx = [x \cdot sin(x)] - \int 1 \cdot sin(x) dx </math> }
+ partielle Integration
- Integration durch Substitution
- beide
- keines der beiden

{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{6} 3 \cdot x + 4 dx </math>}
- 60
- 43
+ 78
</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung|Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Optimierungsprobleme|Optimierungsprobleme]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Steckbriefaufgaben|Steckbriefaufgaben]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]

|Frage}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis

2020-05-20T16:57:42Z

Ansgar WWU-6:

{{Box|Lernpfad|Herzlich Willkommen in dem Lernpfad "Basiswissen Analysis"!

Hier entsteht im Sommersemester 2020 ein Lernpfad für Schülerinnen und Schüler der Q1 im Rahmen des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule| "Digitale Werkzeuge in der Schule"]].

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos]]|Lernpfad}}

Hier entsteht ein Diagnosetest mit der Quiz-Umgebung.

<quiz display="simple">
{ Wie kann die durchschnittliche Änderungsrate bestimmt werden? }
+ Mittels einer Sekante.
- Indem eine Gerade gezeichnet wird, die den Graph in genau einem Punkt berührt und die Steigung dieser Geraden bestimmt wird.
+ Indem eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen gezeichnet und die Steigung abgelesen wird.
- Mittels einer Tangente.

{ Was gibt die Tangentensteigung an? }
- Die durchschnittliche Änderungsrate.
+ Die lokale Änderungsrate.
- Wie häufig der Graph seine Steigung ändert.

{ Bestimme rechnerisch die lokale Änderungsrate von <math>f(x)=x+5. </math>}
- -1
+ 1
- 5

{ Schau Dir das Bild an und kreuze die richtigen Aussagen an!
[[Datei:Item.png|links|mini|483x483px]]

Wie viele Extrema und Wendepunkte besitzt die Funktion?}
- zwei Extrema
+ drei Extrema
- vier Extrema
- keinen Wendepunkt
- einen Wendepunkt
+ zwei Wendepunkte

{ <math>f(x)=-\frac{5}{8}x^3+2x^2-3x+2</math> verhält sich... }
- im Unendlichen wie <math>g(x)=\frac{5}{8}x^3</math>.
+ im Unendlichen wie <math>g(x)=-\frac{5}{8}x^3</math>.
+ nahe Null wie <math>h(x)=-3x+2</math>.
- nahe Null wie <math>h(x)=3x+2</math>.

{ Auf einem Intervall <math>[x_1, x_2)</math> ist eine Funktion <math>f(x)</math> streng monoton steigend, auf dem Intervall <math>(x_2, x_3]</math> ist <math>f(x)</math> streng monoton fallend (<math>x_1<x_2<x_3</math>). Kreuze an, welche Aussagen zu treffen. }
- Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall <math>[x_1, x_3]</math> monoton steigend
+ <math>f'(x_1)>0 </math>
+ <math>f'(x_2)=0 </math>
- An der Stelle <math>x_2</math> bestizt die Funktion einen Tiefpunkt

{ Was trifft zu? Kreuze alle richtigen Aussagen an! }
+ Bei einem Optimierungsproblem wird immer nach dem optimalen Wert einer Funktion gefragt.
- Mit Optimierungsproblem ist die Kurvendiskussion einer Funktion gemeint.
+ Bei einem Optimierungsproblem wird immer nach dem bestmöglichsten Wert gesucht.
+ Bei einem Optimierungsproblem soll eine Größe entweder minimiert oder maximiert werden
- Bei Optimierungsproblemen geht es das Integral einer Funktion

{ Um ein Optimierungsproblem zu lösen, braucht man eine Nebenbedingung. }
+ Wahr
- Falsch

{ Zur Lösung eines Optimierungsproblems braucht man keine Extremwerte. }
- Wahr
+ Falsch

{ Wenn in Sachzusammenhängen die Rede davon ist, dass der Graph einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt die größte Steigung hat, so hat er zu diesem Zeitpunkt }
- einen Hochpunkt.
+ einen Wendepunkt.
- eine Nullstelle.
- einen Sattelpunkt.

{Löse folgendes Gleichungssystem: 
<math>\begin{array}{rlllll}\\
I\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
II\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
Welche Aussagen treffen auf <math>x</math> und <math>y</math> zu?
 }

- <math>x > 0</math>, <math>y > 6</math>
+ <math>x > 1</math>, <math>y < 6</math>
- <math>x < 1</math>, <math>y > 3</math>
- <math>x < 0</math>, <math>y < 3</math>

{ Lineare Gleichungssysteme lassen sich mit dem Gauß-Verfahren lösen, indem }
- mehrere Gleichungen gleichgesetzt werden.
+ das Gleichungssystem zu einer oberen Dreiecksmatrix umgeformt wird.
- eine Gleichung in die anderen Gleichungen eingesetzt wird.

{ Das Integral beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse und ist immer positiv. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei ganzrationalen Funktionen versucht man mithilfe von Rechtecksflächen sich der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen anzunähern. Zum Beispiel über die Untersumme. Welche der Aussagen sind richtig im Bezug auf die Untersumme? }
- Je mehr Unterteilungen vorgenommen werden, desto größer wird die Breite der Rechtecke.
+ Je mehr Unterteilungen bei der Untersumme vorgenommen werden, desto größer wird der Flächeninhalt der Summe aller Rechtecke.
- Je weniger Unterteilungen, desto eher nähert sich man dem Integral an.
+ Der Grenzwert der Untersumme entspricht dem Integral, also wenn die Anzahl der Unterteilungen gegen unendlich geht.

{ Sei <math> f(x) </math> eine Funktion, dann gilt für die Stammfunktion <math> F(x) </math>: }
+ <math> F'(x) = f(x) </math>
- <math> F(x) = f'(x) </math>
- <math> F'(x) = f(x) + c </math>
- <math> F'(x) + c = f(x) </math>

{ Eine Stammfunktion von <math> f(x) = x^2 \cdot cos(x) </math> lautet <math> F(x) = \frac{1}{3} x^3 \cdot sin(x) </math>. }
- wahr
+ falsch

{ Welche Integrationsmethode(n) wurde(n) bei dieser Rechnung verwendet?
<math> \int x \cdot cos(x) dx = [x \cdot sin(x)] - \int 1 \cdot sin(x) dx </math> }
+ partielle Integration
- Integration durch Substitution
- beide
- keines der beiden

{ Bestimme den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{6} 3 \cdot x + 4 dx </math>}
- 60
- 43
+ 78
</quiz>

{{Box|Wie geht es nun weiter?|
'''Wenn du alle Aufgaben richtig beantwortet hast:'''
*Suche dir aus den folgenden Kapiteln eines (oder mehrere) aus. In jedem Kapitel gibt es auch Knobelaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

'''Wenn du einen oder auch mehrere Fehler gemacht hast:'''
*bei den Aufgaben 1 - 3, gehe zum Kapitel [[/Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate|Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate]]
*bei den Aufgaben 4 - 6, gehe zum Kapitel [[/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung|Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]]
*bei den Aufgaben 7 - 9, gehe zum Kapitel [[/Optimierungsprobleme|Optimierungsprobleme]]
*bei den Aufgaben 10 - 12, gehe zum Kapitel [[/Steckbriefaufgaben|Steckbriefaufgaben]]
*bei den Aufgaben 13 - 15, gehe zum Kapitel [[/Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt|Von der Änderungsrate zum Änderungseffekt]]
*bei den Aufgaben 16 - 18, gehe zum Kapitel [[/Von der Randfunktion zur Integralfunktion|Von der Randfunktion zur Integralfunktion]]

|Frage}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-16T08:50:34Z

Ansgar WWU-6:

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst den unteren Lückentext.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=1000px}}

b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von <math>f</math> auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="100%" height="100%" />

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

c) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

d) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b) ⭐

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Anmerkung: alle unteren Angaben sind frei erfunden

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion (Funktion dritten Grades) der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Löse zunächst unteren Lückentext.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=1000px}}

b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von <math>f</math> auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="100%" height="100%" />

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

c) Wissenschaftler behaupten, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

d) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-14T13:19:54Z

Ansgar WWU-6:

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst den unteren Lückentext.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von <math>f</math> auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="100%" height="100%" />

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

c) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

d) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b) ⭐

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Anmerkung: alle unteren Angaben sind frei erfunden

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion (Funktion dritten Grades) der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Löse zunächst unteren Lückentext.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von <math>f</math> auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="100%" height="100%" />

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

c) Wissenschaftler behaupten, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

d) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-14T13:18:17Z

Ansgar WWU-6:

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst den unteren Lückentext.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von <math>f</math> auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="100%" height="100%" />

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

c) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

d) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b) ⭐

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Anmerkung: alle unteren Angaben sind frei erfunden

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion (Funktion dritten Grades) der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Löse zunächst unteren Lückentext.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von <math>f</math> auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="100%" height="100%" />

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

c) Wissenschaftler behaupten, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

d) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-14T13:15:16Z

Ansgar WWU-6: /* Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang */

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst den unteren Lückentext.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von <math>f</math> auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="100%" height="100%" />

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

c) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

d) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b) ⭐

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Anmerkung: alle unteren Angaben sind frei erfunden

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion (Funktion dritten Grades) der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Löse zunächst unteren Lückentext.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

b) Stelle mit Hilfe von Aufgabe a) die Gleichung von <math>f</math> auf. Mit unterem Applet kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="100%" height="100%" />

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b) Forscher behaupten, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

c) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-10T17:14:32Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Gauß-Verfahren */

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst den unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b) ⭐

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Anmerkung: alle unteren Angaben sind frei erfunden

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion (Funktion dritten Grades) der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b) Forscher behaupten, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

c) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-10T17:11:49Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Gauß-Verfahren */

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst den unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b) &#x2B50

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Anmerkung: alle unteren Angaben sind frei erfunden

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion (Funktion dritten Grades) der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b) Forscher behaupten, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

c) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-10T17:09:48Z

Ansgar WWU-6: /* Kubische Funktionen im Sachzusammenhang */

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst den unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)*

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Anmerkung: alle unteren Angaben sind frei erfunden

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion (Funktion dritten Grades) der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b) Forscher behaupten, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

c) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-10T17:04:58Z

Ansgar WWU-6: /* Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang */

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst den unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)*

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b) Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable <math>t</math> enthalten, lassen sich durch '''Faktorisieren''' lösen .|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f</math> hat '''Nullstellen bei <math>t_{1} = 0</math> und <math>t_{2} = 12</math>'''. Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.
{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\
&\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\
&\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\
&\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\
\end{array}
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c) Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

d) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-10T17:04:00Z

Ansgar WWU-6: /* Kubische Funktionen im Sachzusammenhang */

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)*

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b) Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable <math>t</math> enthalten, lassen sich durch '''Faktorisieren''' lösen .|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f</math> hat '''Nullstellen bei <math>t_{1} = 0</math> und <math>t_{2} = 12</math>'''. Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.
{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\
&\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\
&\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\
&\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\
\end{array}
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c) Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

d) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-10T17:03:02Z

Ansgar WWU-6:

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a) Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c) Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)*

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a)
 
Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable <math>t</math> enthalten, lassen sich durch '''Faktorisieren''' lösen .|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f</math> hat '''Nullstellen bei <math>t_{1} = 0</math> und <math>t_{2} = 12</math>'''. Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.
{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\
&\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\
&\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\
&\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\
\end{array}
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

d)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-10T16:55:59Z

Ansgar WWU-6: /* Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang */

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a)
 
Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)*

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a)
 
Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable <math>t</math> enthalten, lassen sich durch '''Faktorisieren''' lösen .|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f</math> hat '''Nullstellen bei <math>t_{1} = 0</math> und <math>t_{2} = 12</math>'''. Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.
{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\
&\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\
&\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\
&\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\
\end{array}
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

d)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-10T16:55:34Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Gauß-Verfahren */

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Aufgabe: Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a)
 
Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)*

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a)
 
Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable <math>t</math> enthalten, lassen sich durch '''Faktorisieren''' lösen .|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f</math> hat '''Nullstellen bei <math>t_{1} = 0</math> und <math>t_{2} = 12</math>'''. Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.
{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\
&\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\
&\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\
&\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\
\end{array}
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

d)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-10T16:55:14Z

Ansgar WWU-6: /* Kubische Funktionen im Sachzusammenhang */

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Aufgabe: Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a)
 
Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Aufgabe: Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)*

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a)
 
Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable <math>t</math> enthalten, lassen sich durch '''Faktorisieren''' lösen .|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f</math> hat '''Nullstellen bei <math>t_{1} = 0</math> und <math>t_{2} = 12</math>'''. Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.
{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\
&\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\
&\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\
&\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\
\end{array}
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

d)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-10T16:54:30Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Gauß-Verfahren */

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Aufgabe: Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a)
 
Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Aufgabe: Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)*

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Aufgabe: Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a)
 
Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable <math>t</math> enthalten, lassen sich durch '''Faktorisieren''' lösen .|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f</math> hat '''Nullstellen bei <math>t_{1} = 0</math> und <math>t_{2} = 12</math>'''. Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.
{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\
&\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\
&\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\
&\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\
\end{array}
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

d)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-10T16:53:55Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Einsetzungsverfahren */

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Arbeitsmethode}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Aufgabe: Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a)
 
Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Aufgabe: Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)*

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Üben}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Aufgabe: Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a)
 
Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable <math>t</math> enthalten, lassen sich durch '''Faktorisieren''' lösen .|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f</math> hat '''Nullstellen bei <math>t_{1} = 0</math> und <math>t_{2} = 12</math>'''. Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.
{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\
&\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\
&\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\
&\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\
\end{array}
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

d)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Steckbriefaufgaben

2020-05-10T16:51:41Z

Ansgar WWU-6: /* Aufgaben zum Gauß-Verfahren */

{{Box |1=Info |2=In diesem Lernpfadkapitel lernst du '''Steckbriefaufgaben '''kennen. In Steckbriefaufgaben geht es darum, aus den Eigenschaften einer Funktion deren Funktionsterm und Funktionsgraphen herzuleiten.

* In Aufgaben, die ''orange'' gefärbt sind, kannst du ''Gelerntes wiederholen und vertiefen''.
* Aufgaben in ''blauer'' Farbe sind ''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit''.
* Und Aufgaben mit ''grüner'' Hinterlegung sind ''Knobelaufgaben''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.

Damit übst du das ''Modellieren ''und ''Mathematisieren '', indem du mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten Lösungen innerhalb mathematischer Modelle erarbeitest. Dazu ist das Lösen von ''Gleichungssystemen ''mit mehr als einer Variablen notwendig. Du stellst lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar, löst sie mithilfe geeigneter Verfahren und interpretierst ihre Lösungsmenge.

Wir empfehlen dir, dich bereits mit den Eigenschaften von Funktionen und der lokalen Änderungsrate beschäftigt zu haben, wenn du mit dieser Seite beginnst.|3=Kurzinfo}}

==Wiederholung: Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen==

In diesem Abschnitt werden wir kurz die Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen wiederholen. Solltest du das Kapitel [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Basiswissen Analysis/Eigenschaften von Funktionen und Funktionsuntersuchung]] noch nicht bearbeitet haben, empfehlen wir dir, dich zuerst damit vertraut zu machen. Wenn du dich fit fühlst beim Thema Funktionseigenschaften, kannst du die Wiederholung überspringen und dein Wissen im Quiz im unteren Bereich dieses Abschnitts testen.

{{Box|1= Definition: Ganzrationale Funktionen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Eine '''Ganzrationale Funktion''' nennt man auch '''Polynomfunktion''' oder kurz '''Polynom'''.

Beispiele sind:

<math>f(x)=3x^4-2x^2+7</math>

<math>f(x)=-10x^3-9x^2+x</math>

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen. Die Zahlen, mit denen einzelne Potenzfunktionen multipliziert werden, nennt man '''Koeffizienten'''. Den Wert des größten Exponenten nennt man den '''Grad der Funktion'''.

Die Koeffizienten des ersten Beispiels sind <math>3</math>, <math>-2</math> und <math>7</math>. Der Grad ist <math>4</math>, sodass man sagt, die es handelt sich um eine Funktion <math>4.</math> Grades.
|2= Definition zeigen
|3= Definition einklappen}}
|3= Merksatz}}

{{Box|1= Schnittpunkte
|2= {{Lösung versteckt

|1= Den Schnittpunkt einer Funktion mit der y-Achse nennt man '''<math>y</math>-Achsenabschnitt'''. Ist <math>y_s</math> der <math>y</math>-Achsenabschnitt einer Funktion <math>f</math>, liegt der Punkt <math>P_y(0|y_s)</math>, dessen x-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen von <math>f</math>.

Den <math>y</math>-Achsenabschnitt errechnest Du, indem Du in den Funktionsterm für <math>x</math> 0 einsetzt: <math>f(0)=y_s</math>.

<ggb_applet id="vzq4hbez" width="800" height="400" />

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=2x^3+3x+4</math>

<math>\Rightarrow f(0)=2 \cdot 0^3+3 \cdot 0+4=4</math>

<math>\Rightarrow P_y(0|4)</math>
|2= Beispiel anzeigen
|3= Beispiel verbergen}}

Der <math>y</math>-Achsenabschnitt ist immer gleich dem letzten Koeffizienten der Funktion, welcher nicht mit <math>x</math> multipliziert wird. Sie lässt sich also immer aus der Funktionsgleichung ablesen.

|2= Schnittpunkte mit der y-Achse
|3= Schnittpunkte mit der y-Achse einklappen}}

{{Lösung versteckt
|1= Scheidet eine Funktion <math>f(x)</math> die '''x-Achse''', so liegt ein Punkt <math>P_x(x_s|0)</math>, dessen y-Wert gleich <math>0</math> ist, auf dem Funktionsgraphen. Man bezeichnet einen Schnittpunkt mit der x-Achse in der Regel als '''Nullstelle'''.

Ganzrationale Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben. Um genau zu sein, kein eine ganzrationale Funktion maximal so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihres Grades beträgt. Ist ihr Grad außerdem ungerade, so haben sie mindestens eine Nullstelle.

[[Datei:Beispiel Nullstellen.jpg|mini|zentriert]]

Um die Nullstellen einer Funktion <math>f(x)</math> zu berechnen, setzt du den Funktionsterm <math>=0</math> und löst die Gleichung nach <math>x</math> auf. Verfahren zur Lösung, die Du kennen könntest, sind die pq-Formel, das Faktorisierungsverfahren, das Substitutuionsverfahren oder die Polynomdivision.

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=3x^2-9x-12=0</math> <math> \mid :3</math>

<math> \Leftrightarrow x^2-3x-4=0</math>

<math>p=-3</math> , <math>q=-4</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{( \frac{p}{2} )^2 -q}</math>

<math>x_{1/2}=- \frac{-3}{2} \pm \sqrt{( \frac{-3}{2})^2-(-4)}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm \sqrt{6,25}</math>

<math>x_{1/2}=1,5 \pm 2,5</math>

<math>x_1=4</math> , <math>x_2=-1</math>
|2= Beispiel pq-Formel anzeigen
|3= Beispiel pq-Formel verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= <math>f(x)=x^3-4x^2+4x=0</math>

Der Faktor <math>x</math> kann ausgeklammert werden.

<math>\Leftrightarrow x \cdot (x^2-4x+4)=0</math>

<math>\Rightarrow x_1 = 0</math> ist die erste Nullstelle. Weitere Nullstellen ergeben sich, wenn der Ausdruck in den Klammern <math>=0</math> wird.

<math> \Rightarrow x^2-4x+4=0</math>

<math> \Rightarrow x_{2/3}=- \frac{-4}{2} \pm \sqrt{( \frac{-4}{2} )^2 -4}</math>

<math> \Rightarrow x_2=2</math>

Die Nullstellen sind <math>x_1=0</math> und <math>x_2=2</math>
|2= Beispiel Faktorisierungsverfahren anzeigen
|3= Beispiel Faktorisierungsverfahren verbergen}}

|2= Schnittpunkte mit der x-Achse
|3= Schnittpunkte mit der x-Achse einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Monotonie
|2= Das Monotonieverhalten einer Funktion beschreibt den Verlauf des Graphen einer Funktion. Die Montonie gibt an, ob eine Funktion fällt, steigt oder konstant ist.

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p7pny09y220}}
|2= Übung zur Monotonie
|3= Übung zur Monotonie verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Symmetrie
|2= {{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so spiegelt sich der Funktionsgraph an der y-Achse. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für achsensymmetrische Funktionen <math>f(-x)=f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Achsensymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Achsensymmetrie
|3= Achsensymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so wird eine Hälfte des Graphen am Koordinatenursprung auf die andere gespiegelt wird. Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht. Außerdem gilt für punktsymmetrische Funktionen <math>f(-x)=-f(x)</math>.

[[Datei:Beispiel Punktsymmetrie.jpg|mini|zentriert]]
|2= Punktsymmetrie
|3= Punktsymmetrie verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxrh34xin20}}
|2= Übung zur Symmetrie
|3= Übung einklappen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Extrema und Wendepunkte
|2= {{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Extremwert''' bezeichnet man ein lokales oder globales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt). Nimmt der Funktionswert <math>f(x)</math> an einer Stelle <math>x</math> den größten bzw. kleinsten Wert innerhalb eines Intervalles um <math>x</math> an, so spricht man von einem lokalen Maximum bzw. lokalem Minimum. Ist der Funktionswert bei <math>x</math> der größte bzw. kleinste Wert für den gesamten Definitionsbereich der Funktion, so nennt man ihn globales Maximum bzw. globales Minimum.

Ist <math>f(x)</math> eine Extremstelle, so spricht man auch von einer Extremstelle der Funktion <math>f</math> bei <math>x</math>.

[[Datei:Extrema example de.svg|zentriert]]

Bei der Berechnung von Extremstellen einer Funktion <math>f(x)</math> macht man sich die Eigenschaften der Ableitung <math>f'(x)</math> zu Nutze: Eine Tangente, die an einer Extremstelle <math>x_1</math> angelegt wird, ist parallel zur <math>x</math>-Achse. Die Steigung ist also <math>0</math>. Die Ableitung <math>f'(x_1)</math> an dieser Stelle ist folglich <math>=0</math>.

Für alle Extremstellen <math>x_n</math> gilt:

<math>f'(x_n)=0</math>

Das ist das '''Notwendige Kriterium'''.

Will man nun prüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt, zieht man die zweite Ableitung <math>f''(x)</math> hinzu.

Das '''Hinreichende Kriterium''' lautet:

*<math>f''(x)<0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Maximum vor.

*<math>f''(x)>0 \Rightarrow</math> Es liegt ein Minimum vor.

*<math>f''(x)=0 \Rightarrow</math> Es liegt eine Sattelstelle vor.
|2= Extremstellen
|3= Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=pxcek6u8t20}}
|2= Übung Extremstellen
|3= Übung Extremstellen verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= Mit einem '''Wendepunkt''' bezeichnet meine eine Stelle des Funktionsgraphen, an der sich das Krümmungsverhalten des Graphen ändert. Das kann ein Wechsel von einer Rechts- zu einer Linkskurve oder von einer Links- zu einer Rechtskurve sein.

[[File:Animated illustration of inflection point.gif|zentriert|thumb|Krümmungsverhalten der Funktion sin(2x). Die Tangente ist blau gefärbt in konvexen Bereichen (Linkskurve), grün gefärbt in konkaven Bereichen (Rechtskurve) und rot gefärbt bei Wendepunkten.]]

An einem Wendepunkt ist die Steigung der Funktion innerhalb einer Umgebung um den Wendepunkt maximal. Das erkennst Du gut auf der Grafik oben.

Ist die Steigung an einer Stelle <math>x_W</math> maximal, so ist bei der Ableitung an dieser Stelle <math>f'(x_W)</math> ein Extremum. Um die Wendestellen einer Funktion <math>f</math> zu finden, musst du die Ableitung <math>f'</math> also nach Extremstellen untersuchen.
|2= Wendepunkte
|3= Wendepunkte verbergen}}

{{Lösung versteckt
|1= {{LearningApp|width:100%|height:500px|app=po7ph1zgc20}}
|2= Übung Wendepunkte
|3= Übung Wendepunkte verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgleichung aufstellen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Bei dem Aufstellen einer Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion geht es darum, die Werte aller Koeffizienten herauszufinden. Das Vorgehen ist vergleichbar mit einem Puzzle: Verschiedene Informationen über die Funktion sind Dir bekannt, die Schwierigkeit besteht nun darin, diese Informationen zu sortieren.

Der erste Schritt ist immer, beim Rahmen anzufangen. Welche Form wird der Funktionsterm haben? Handelt es sich beispielsweise um eine Funktion 2. Grades, so hat der Term die Form <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> mit den drei unbekannten Koeffizienten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>. Eine Funktion 3. Grades hätte die Form <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>. Und so weiter.

Als nächstes können Dir Informationen über die Symmetrie helfen. Falls die Funktion achsensymmetrisch ist, weißt Du, dass alle Koeffizienten vor ungeraden Exponenten gleich <math>0</math> sind. Im Fall von Punktsymmetrie sind alle Koeffizienten vor geraden Exponenten gleich <math>0</math>.

Dein nächstes Ziel ist es verschiedene Gleichungen, die die unbekannten Koeffizienten enthalten aufzustellen. Wie Du ein solches System aus Gleichungen dann auflöst zeigen wir Dir unten.

Um aber zuerst Gleichungen zu erhalten, setzt du <math>x</math>- und <math>y</math>-Koordinaten von bekannten Punkten des Graphen in Deinen Rahmen ein. Wenn Du spezielle Informationen über Extremstellen, Wendepunkte oder die Ableitung allgemein hast, musst Du diese Koordinaten in den Rahmen der Ableitung der Funktion einsetzen. Diesen berechnest Du aus den bekannten Ableitungsregeln:

Sei die gesuchte Funktion vom 3. Grad.

Rahmen: <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math>

1. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=3ax^2+2bx+c</math>

2. Ableitung des Rahmens: <math>f(x)=6ax+2b</math>

|2= Funktionsgleichung aufstellen
|3= Funktionsgleichung aufstellen verbergen}}
|3= Beispiel}}

{{Box|1= Funktionsgraphen zeichnen
|2= {{Lösung versteckt
|1= Um den Funktionsgraphen zu zeichnen benötigst Du möglichst viele Informationen über den Graphen.
Besonders hilfreiche Informationen sind Achsenschnittpunkte sowie Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen. Kennst du den Funktionsterm kannst Du mit einer Wertetabelle darüber hinaus weitere Punkte errechnen, die auf dem Graphen liegen müssen.
|2= Funktionsgraphen zeichnen
|3= Funktionsgraphen zeichnen einklappen}}
|3= Beispiel}}

===Quiz===
{{Box|1= 
|2={{Lösung versteckt
|1= Kreuze die richtigen Antworten an. Es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein. Drück am Ende auf "Speichern" um Deine Lösungen zu überprüfen.

<quiz display="simple">
{ Welche der folgenden Aussagen ist wahr? }

+ 1 Eine Funktion hat an einem Hochpunkt dieselbe Steigung, wie an einem Tiefpunkt.

- 2 Ein Polynom 3. Grades ist immer punktsymmetrisch.

+ 3 Ein Polynom 3. Grades ist nie achsensymmetrsich.

+ 4 Das Hinreichende Kriterium unterscheidet Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelstellen.

- 5 Direkt hinter einem Hochpunkt ist die Steigung einer Funktion positiv.

+ 6 Die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades ist konstant.

+ 7 Eine parabelförmige Funktion hat zwei oder weniger Nullstellen.

- 8 <math>f(x)=5x^2+10x</math> geht nicht durch den Ursprung <math>(0|0)</math>.

- 9 Zwischen zwei Tiefpunkten liegt genau ein Wendepunkt.

+ 10 An einem Wendepunkt von <math>f</math> hat die Ableitung <math>f'</math> ein Extremum.

{ <math>f'(x)</math> ist nur auf dem Intervall <math>[1,3]</math> positiv. }

- 1 <math>f(x)</math> steigt im Bereich <math>[3,\infty[</math>.

+ 2 <math>f(x)</math> hat zwei Extremstellen.

- 3 <math<f'(x)</math> hat mindestens Grad 3.

+ 4 Im Intervall <math>[1,3]</math> hat <math>f(x)</math> einen Wendepunkt.

{ <math>f(x)=x^3+2x^2+3x+4</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> ist streng monoton steigend.

+ 2 <math>f'(x)</math> schneidet die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>P(0|3)</math>.

- 3 <math>f(x)</math> ist eine Funktion 4. Grades.

- 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)=3x^4+2x^2-10</math> }

+ 1 <math>f''(x)</math> hat den Grad 2.

- 2 <math>f(x)</math> ist punktsymmetrisch.

- 3 <math>f(x)</math> scheidet die <math>y</math>-Achse beim wert 10.

+ 4 <math>f'(x)</math> ist punktsymmetrisch.

{ <math>f(x)</math> hat einen Hochpunkt an der Stelle <math>x_1</math> }

- 1 <math>f''(x_1)=0</math>

- 2 <math>f''(x_1)>0</math>

- 3 <math> f'(x_1)<0</math>

+ 4 <math> f''(x_1)<0</math>

{ <math>f(x)= \frac{1}{2}x^2+x-3</math> und <math>g(x)= 3x^2+ \frac{1}{3}x+7</math> }

- 1 <math>f+g(x)= \frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x-21</math>.

+ 2 <math>f-g(x)=- \frac{5}{2}x^2+ \frac{2}{3}x-10</math>

+ 3 <math>f+g(x)= \frac{7}{2}x^2+ \frac{4}{3}x+4</math>

- 4 <math>g(x)</math> hat einen höheren Grad als <math>f(x)</math>.
</quiz>
|2= Quiz
|3= Quiz verbergen}}
|Farbe =#fce903|3= Arbeitsmethode}}

==Einführung: lineare Gleichungen==
Auf dieser Seite lernst Du, wie Du '''Gleichungssysteme mit mehr als einer Variablen lösen''' kannst. Falls Du dir noch unsicher bist, wie man eine Gleichung mit nur einer Variable löst, versuche folgendes ''Beispiel ''zu lösen. Falls Du das aber noch kannst, dann überspringe das Beispiel gerne.{{Box|Beispiel|Löse folgende Gleichung:
<math>6x-5=37</math>

{{Lösung versteckt|1= Bringe zuerst die Variable alleine auf eine Seite und Teile dann durch die Anzahl der Variable.|2=Hinweis zum Vorgehen|3=Alles klar, weiter geht's!}}

{{Lösung versteckt|1=<math>x=7</math> |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}|Beispiel
}}

==Das Einsetzungsverfahren==
{{Box|Das Einsetzungsverfahren|Das Einsetzungsverfahren verwendest du, um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Dabei versuchst du zuerst eine Variable allein auf eine Seite zu bringen und diese Gleichung dann in die zweite Gleichung einzusetzen.

Schau dir folgendes Gleichungssystem an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& &=& &58&\\
&II\quad& &x& + &2& &=& &y& \\
\end{array}
</math>

Die Gleichung <math>II</math> ist bereits nach der Variable <math>y</math> aufgelöst. Diese fügen wir nun statt <math>y</math> in die die Gleichung <math>I</math> ein. Das sieht folgendermaßen aus:

<math>3x + 5 \cdot (x + 2) = 58</math>

1. Wir vereinfachen

<math>3x + 5x + 10 = 58</math>

2. Und stellen nach <math>x</math> um

<math>8x = 48</math>

3. Dann teilen wir durch die Anzahl der Variable, hier 8 und es ergibt sich

<math>x = 6</math>

4. Das können wir nun in eine der beiden Gleichungen einsetzen und nach <math>y</math> umstellen. Gleichung <math>II</math> eignet sich dafür natürlich am besten.
Es gilt:

<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& x + 2 &=& y &\mid x = 6 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 6 + 2 &=& y \\
&&&\Rightarrow& y &=& 8 \\
\end{array}
</math>

|Arbeitsmethode}}

{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 Variablen'''. Dabei stellst du die ''eine Gleichung nach einer Variable um'' und ''setzt diese dann in die andere Gleichung ein''. Nun kannst du vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable.|Merke}}

===Aufgaben zum Einsetzungsverfahren===
{{Box|1= Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &7x& + &3y& &=& &50&\\
&II\quad& && &18y& &=& &6& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| <math> x=7</math>,<math>y=1/3</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &6y& &=& &6&\\
&II\quad& &-2x& + &12y& &=& &0& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Eliminiere die <math>y</math>-Variable in der unteren Zeile.| Tipp| Tipp ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3/2 </math>,<math>y=1/4</math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Üben}}

===Quadratische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Aufgabe: Elternsprechtag|2=

[[Datei:Parkplatz Elternsprechtag.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.

a)
 
Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p2eaqwfgj20|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="vgc8dgq6" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(1) &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\
&\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(6) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a + b &=& 25 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
 
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
</math>
 
und damit insgesamt
 
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
 
 
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}

|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t < 0</math> und <math>t > 6</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 6</math> als mathematische Modellierung der Parkplatzsituation geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #5E43A5|3= Arbeitsmethode}}

==Das Gauß-Verfahren==
{{Box|Das Gauß-Verfahren|Das Gauß-Verfahren verwendest du bei Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen. Dabei versuchst du die Gleichungen so zu vereinfachen, das eine obere Dreiecksmatix entsteht.

Schaue dir folgende Gleichungen an:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& &2x& + &1y& + &7z& &=& &15& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht das so aus:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 2 & 1 & 7 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

1. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>II</math> zu eliminieren rechnen wir <math>II + (-2) \cdot III</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& &1x& + &2y& + &3z& &=& &5& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}</math>

2. Um die <math>x</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> zu eliminieren rechnen wir <math>III \cdot (-3) + I</math>:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && - &1y& - &5z& &=& &-9& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & -1 & -5 & -9\end{pmatrix}</math>

3. Nun soll auch die <math>y</math>-Variable in Gleichung <math>III</math> eliminiert werden. Dazu rechnen wir <math>III \cdot (-3) + II</math>

Unsere Gleichungen sehen nun folgendermaßen aus:

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &5y& + &4z& &=& &6&\\
&II\quad& && - &3y& + &1z& &=& &5& \\
&III\quad& && && + &16z& &=& &32& \\
\end{array}
</math>

In Matrix-Vektor-Schreibweise:

<math>\begin{pmatrix} 3 & 5 & 4& 6 \\ 0 & -3 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 16 & 32\end{pmatrix}</math>

Wir können Gleichung <math>III</math> nun nach <math>z</math> auflösen. Dann setzen wir den <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>II</math> ein und lösen nach <math>y</math> auf. Zuletzt setzten wir jeweils den berechneten <math>y</math>- und <math>z</math>-Wert in Gleichung <math>I</math> ein und lösen nach <math>x</math> auf. Wir erhalten so unsere dritte Variable.

Es folgt also:

<math>z=2</math>, <math>y=-1</math>, <math>x=1</math>|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merke|Du verwendest dieses Verfahren bei '''Gleichungssystemen mit 2 oder mehr Variablen'''. Dabei stellst du die Gleichungen so um, das in einer Gleichung nur eine Variable, in der zweiten Gleichung zwei Variablen und in der dritten Gleichung alle drei Variablen vorkommen. Das bezeichnet man auch als ''obere '''Dreiecksmatrix'''''. Nun kannst du mit der ersten Gleichung so vorgehen wie bei einer Gleichung mit nur einer Variable und die Lösung dann in die zweite Gleichung einsetzen. Die Lösung dieser Gleichung setzt du dann in die letzte Gleichung ein. Bei vier Gleichungen mit vier Variablen gehst du analog vor.|Merke
}}

===Aufgaben zum Gauß-Verfahren===

{{Box|1= Aufgabe: Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren lösen|2= Die Schwierigkeit der Aufgaben steigt von oben nach unten.

a)

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &1x& + &12y& + &6z& &=& &-2&\\
&II\quad& &-2x& + &7y& + &18z& &=& &24,5& \\
&III\quad& &4x& + &2y& + &24z& &=& &-31& \\
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst die <math>x</math>-Variable in der zweiten Zeile.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Deine Matrix sollte in folgende Form umgeschrieben werden. <math>\begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & h & i \end{pmatrix}</math>.| Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=-9 </math>,<math>y=7</math>, <math> z=1/6 </math>|Lösung |Lösung ausblenden}}

b)*

<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &3x& + &4y& - &5z& + &6v& &=& &-7,5&\\
&II\quad& &6x& + &5y& - &6z& + &5v& &=& &-7,5& \\
&III\quad& &9x& - &4y& + &2z& + &3v& &=& &69& \\
&IV\quad& && &2y& - &3z& + &1v& &=& &-14,5&
\end{array}
</math>

{{Lösung versteckt| Schreibe die Gleichungen in die Matrix-Vektor-Schreibweise um.| Tipp 1| Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Eliminiere zuerst den <math>x</math>-Wert in Gleichung <math>II</math>.| Tipp 2| Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| Die Matrix sollte in eine obere rechte Dreiecksmatrix umgeschrieben werden. | Tipp 3| Tipp 3 ausblenden}}

{{Lösung versteckt| <math> x=3,5 </math>,<math>y=-7</math>, <math> z=1 </math>, <math> v=2,5 </math> |Lösung |Lösung ausblenden}}

|Farbe= #F19E4F|3= Üben}}

===Kubische Funktionen im Sachzusammenhang===

{{Box|1= Aufgabe: Virusinfektion|2=

[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig

a)
 
Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
Löse zunächst unteren Lückentext und stelle dann mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. Indem du die Box "Funktionsgleichung überprüfen" öffnest, kannst du dein Ergebnis selbstständig überprüfen.

{{LearningApp|app=p3ibtei6520|width=100%|height=500px}}

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet id="bkhvjgfz" width="800" height="620" />|2=Funktionsgleichung überprüfen|3=Funktionsgleichung überprüfen ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)</math>

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(0) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& d &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(4) &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\
&\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(8) &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f'(8) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
 
 
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
 
<math>II - 8 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - 3 \cdot I</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
 
 
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
 
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
 
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
 
 
und damit insgesamt
 
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}

b)
 
Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Tipp 1|3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable <math>t</math> enthalten, lassen sich durch '''Faktorisieren''' lösen .|2=Tipp 2|3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>f</math> hat '''Nullstellen bei <math>t_{1} = 0</math> und <math>t_{2} = 12</math>'''. Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.
{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&&f(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\
&\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\
&\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\
&\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\
\end{array}
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

c)
 
Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

{{Lösung versteckt|1=Der '''Wendepunkt ''' ist der Punkt der '''stärksten Zunahme''' (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.|2=Tipp 1 |3=Tipp 1 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Tipp 2 |3=Tipp 2 ausblenden}}

{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
</math>
 
 
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
</math>

|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}

d)
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen auf einem Blatt. Beachte hierbei die geeignete Beschriftung der Koordinatenachsen. Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
 
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet. Inwiefern der Graph für das vorherige Jahr geeignet ist, lässt sich anhand der Informationen nicht eindeutig feststellen. Der Graph zeigt jedoch, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt vor dem beobachteten Jahr unendlich viele infizierte Personen in Deutschland leben, was offensichtlich nicht möglich ist.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}

|Farbe= #89C64A|3= Arbeitsmethode}}

{{Box|Alles klar?|Bearbeite den Lückentext
{{LearningApp|width:100%|height:250px|app=10753102}}|Üben}}