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Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-12-05T19:48:43Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Freds Herausforderung==
Fred nimmt gerade das Thema "Winkel" im Mathematikunterricht durch. Im Sportunterricht erkennt Fred in einer Konstruktion verschiedene Dreiecke und Winkel. Freds Mathematik- und Sportlehrerin schlägt ihm vor, dass er seine Mathematiknote verbessern kann, wenn er die Winkel in der Konstruktion bestimmen kann. Da Fred nicht ganz zufrieden mit seiner Mathematiknote ist und diese gerne verbessern würde, möchte er die Winkel der Konstruktion nun bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen, fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Halte deine Überlegungen fest und begründe sie. Die Auflösung erhältst du nach Bearbeitung des Kapitels.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
{{Box|Aufgabe 1|Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel bestimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Aufgabe 3: Winkelarten|Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Winkel, der genau neben mir liegt, ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir uns stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir uns auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe
| Farbe = #CD2990
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Einstieg das Problem aus dem Sportunterricht akkurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

Nachdem du alle Aufgaben bis hier bereits erfolgreich gelöst hast, versuche Fred in der folgenden Aufgabe dabei zu unterstützen, seine Note zu verbessern.

{{Box|Aufgabe 4.2|Freds Lehrerin will ihm die bessere Note noch nicht geben, da er eine wichtige Sache noch nicht berücksichtigt hat. Überlege ein weiteres Mal, ob Freds Herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen, vergleiche sie mit deinen Notizen vom Anfang und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parallel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels:{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Geometrie_im_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-12-05T19:48:22Z

Anne Uni MS-14:

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-12-05T19:46:37Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Freds Herausforderung==
Fred nimmt gerade das Thema "Winkel" im Mathematikunterricht durch. Im Sportunterricht erkennt Fred in einer Konstruktion verschiedene Dreiecke und Winkel. Freds Mathematik- und Sportlehrerin schlägt ihm vor, dass er seine Mathematiknote verbessern kann, wenn er die Winkel in der Konstruktion bestimmen kann. Da Fred nicht ganz zufrieden mit seiner Mathematiknote ist und diese gerne verbessern würde, möchte er die Winkel der Konstruktion nun bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen, fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Halte deine Überlegungen fest und begründe sie. Die Auflösung erhältst du nach Bearbeitung des Kapitels.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
{{Box|Aufgabe 1 |Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel bestimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}
|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Aufgabe 3: Winkelarten|Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Winkel, der genau neben mir liegt, ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir uns stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir uns auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe
| Farbe = #CD2990
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Einstieg das Problem aus dem Sportunterricht akkurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

Nachdem du alle Aufgaben bis hier bereits erfolgreich gelöst hast, versuche Fred in der folgenden Aufgabe dabei zu unterstützen, seine Note zu verbessern.

{{Box|Aufgabe 4.2|Freds Lehrerin will ihm die bessere Note noch nicht geben, da er eine wichtige Sache noch nicht berücksichtigt hat. Überlege ein weiteres Mal, ob Freds Herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen, vergleiche sie mit deinen Notizen vom Anfang und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parallel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels:{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Geometrie_im_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-12-05T19:30:18Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Freds Herausforderung==
Fred nimmt gerade das Thema "Winkel" im Mathematikunterricht durch. Im Sportunterricht erkennt Fred in einer Konstruktion verschiedene Dreiecke und Winkel. Freds Mathematik- und Sportlehrerin schlägt ihm vor, dass er seine Mathematiknote verbessern kann, wenn er die Winkel in der Konstruktion bestimmen kann. Da Fred nicht ganz zufrieden mit seiner Mathematiknote ist und diese gerne verbessern würde, möchte er die Winkel der Konstruktion nun bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen, fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Halte deine Überlegungen fest und begründe sie. Die Auflösung erhältst du nach Bearbeitung des Kapitels.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
{{Box|Aufgabe 1 |Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel bestimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}
|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Aufgabe 3: Winkelarten|Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Winkel, der genau neben mir liegt, ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir uns stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir uns auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe
| Farbe = #CD2990
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Einstieg das Problem aus dem Sportunterricht akkurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

Nachdem du alle Aufgaben bis hier bereits erfolgreich gelöst hast, versuche Fred in der folgenden Aufgabe dabei zu unterstützen, seine Note zu verbessern.

{{Box|Aufgabe 4.2|Freds Lehrerin will ihm die bessere Note noch nicht geben, da er eine wichtige Sache noch nicht berücksichtigt hat. Überlege ein weiteres Mal, ob Freds Herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen, vergleiche sie mit deinen Notizen vom Anfang und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parallel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Geometrie_im_Dreieck}}

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-12-05T19:18:54Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Freds Herausforderung==
Fred nimmt gerade das Thema "Winkel" im Mathematikunterricht durch. Im Sportunterricht erkennt Fred in einer Konstruktion verschiedene Dreiecke und Winkel. Freds Mathematik- und Sportlehrerin schlägt ihm vor, dass er seine Mathematiknote verbessern kann, wenn er die Winkel in der Konstruktion bestimmen kann. Da Fred nicht ganz zufrieden mit seiner Mathematiknote ist und diese gerne verbessern würde, möchte er die Winkel der Konstruktion nun bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen, fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Halte deine Überlegungen fest und begründe sie. Die Auflösung erhältst du nach Bearbeitung des Kapitels.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
{{Box|Aufgabe 1 |Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel bestimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}
|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Aufgabe 3: Winkelarten|Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Winkel, der genau neben mir liegt, ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir uns stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir uns auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe
| Farbe = #CD2990
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Einstieg das Problem aus dem Sportunterricht akkurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

Nachdem du alle Aufgaben bis hier bereits erfolgreich gelöst hast, versuche Fred in der folgenden Aufgabe dabei zu unterstützen, seine Note zu verbessern.

{{Box|Aufgabe 4.2|Freds Lehrerin will ihm die bessere Note noch nicht geben, da er eine wichtige Sache noch nicht berücksichtigt hat. Überlege ein weiteres Mal, ob Freds Herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen, vergleiche sie mit deinen Notizen vom Anfang und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parallel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-24T18:34:24Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Freds Herausforderung==
Fred nimmt gerade das Thema "Winkel" im Mathematikunterricht durch. Im Sportunterricht erkennt Fred in einer Konstruktion verschiedene Dreiecke und Winkel. Freds Mathematik- und Sportlehrerin schlägt ihm vor, dass er seine Mathematiknote verbessern kann, wenn er die Winkel in der Konstruktion bestimmen kann. Da Fred nicht ganz zufrieden mit seiner Mathematiknote ist und diese gerne verbessern würde, möchte er die Winkel der Konstruktion nun bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen, fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Halte deine Überlegungen fest und begründe sie. Die Auflösung erhältst du nach Bearbeitung des Kapitels.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
{{Box|Aufgabe 1 |Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel betsimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}
|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkelart |Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Winkel, der genau neben mir liegt, ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = Farbe| Farbe = #CD2990}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe| Farbe = #CD2990}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir uns stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe| Farbe = #CD2990}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir uns auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe| Farbe = #CD2990}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Einstieg das Problem aus dem Sportunterricht akkurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Freds Lehrerin will ihm die bessere Note noch nicht geben, da er eine wichtige Sache noch nicht berücksichtigt hat. Überlege ein weiteres Mal, ob Freds Herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen, vergleiche sie mit deinen Notizen vom Anfang und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parallel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-24T18:31:42Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Freds Herausforderung==
Fred nimmt gerade das Thema "Winkel" im Mathematikunterricht durch. Im Sportunterricht erkennt Fred in einer Konstruktion verschiedene Dreiecke und Winkel. Freds Mathematik- und Sportlehrerin schlägt ihm vor, dass er seine Mathematiknote verbessern kann, wenn er die Winkel in der Konstruktion bestimmen kann. Da Fred nicht ganz zufrieden mit seiner Mathematiknote ist und diese gerne verbessern würde, möchte er die Winkel der Konstruktion nun bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Halte deine Überlegungen fest und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
{{Box|Aufgabe 1 |Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel betsimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}
|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkelart |Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Winkel, der genau neben mir liegt, ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = Farbe| Farbe = #CD2990}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe| Farbe = #CD2990}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir uns stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe| Farbe = #CD2990}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir uns auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe| Farbe = #CD2990}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Einstieg das Problem aus dem Sportunterricht akkurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Freds Lehrerin will ihm die bessere Note noch nicht geben, da er eine wichtige Sache noch nicht berücksichtigt hat. Überlege ein weiteres Mal, ob Freds Herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen, vergleiche sie mit deinen Notizen vom Anfang und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parallel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-24T18:29:16Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Freds Herausforderung==
Fred nimmt gerade das Thema "Winkel" im Mathematikunterricht durch. Im Sportunterricht erkennt Fred in einer Konstruktion verschiedene Dreiecke und Winkel. Freds Mathematik- und Sportlehrerin schlägt ihm vor, dass er seine Mathematiknote verbessern kann, wenn er die Winkel in der Konstruktion bestimmen kann. Da Fred nicht ganz zufrieden mit seiner Mathematiknote ist und diese gerne verbessern würde, möchte er die Winkel der Konstruktion nun bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Halte deine Überlegungen fest und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
{{Box|Aufgabe 1 |Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel betsimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}
|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkelart |Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Winkel, der genau neben mir liegt, ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = Farbe| Farbe = #CD2990}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe| Farbe = #CD2990}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir uns stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe| Farbe = #CD2990}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir uns auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe| Farbe = #CD2990}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Einstieg das Problem aus dem Sportunterricht akkurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds Herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen, vergleiche sie mit deinen Notizen vom Anfang und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parallel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-24T18:26:09Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Freds Herausforderung==
Fred nimmt gerade das Thema "Winkel" im Mathematikunterricht durch. Im Sportunterricht erkennt Fred in einer Konstruktion verschiedene Dreiecke und Winkel. Freds Mathematik- und Sportlehrerin schlägt ihm vor, dass er seine Mathematiknote verbessern kann, wenn er die Winkel in der Konstruktion bestimmen kann. Da Fred nicht ganz zufrieden mit seiner Mathematiknote ist und diese gerne verbessern würde, möchte er die Winkel der Konstruktion nun bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
{{Box|Aufgabe 1 |Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel betsimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}
|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkelart |Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Winkel, der genau neben mir liegt, ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = Farbe| Farbe = #CD2990}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe| Farbe = #CD2990}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir uns stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe| Farbe = #CD2990}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir uns auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|Farbe| Farbe = #CD2990}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-24T18:23:45Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Freds Herausforderung==
Fred nimmt gerade das Thema "Winkel" im Mathematikunterricht durch. Im Sportunterricht erkennt Fred in einer Konstruktion verschiedene Dreiecke und Winkel. Freds Mathematik- und Sportlehrerin schlägt ihm vor, dass er seine Mathematiknote verbessern kann, wenn er die Winkel in der Konstruktion bestimmen kann. Da Fred nicht ganz zufrieden mit seiner Mathematiknote ist und diese gerne verbessern würde, möchte er die Winkel der Konstruktion nun bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
{{Box|Aufgabe 1 |Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel betsimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}
|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkelart |Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Winkel, der genau neben mir liegt, ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe| Farbe = #CD2990}}
}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|{{Farbe| Farbe = #CD2990}}

}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir uns stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|{{Farbe| Farbe = #CD2990}}
}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir uns auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|{{Farbe| Farbe = #CD2990}}
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-24T18:22:17Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Freds Herausforderung==
Fred nimmt gerade das Thema "Winkel" im Mathematikunterricht durch. Im Sportunterricht erkennt Fred in einer Konstruktion verschiedene Dreiecke und Winkel. Freds Mathematiklehrerin und Sportlehrerin schlägt ihm vor, dass er seine Mathematiknote verbessern kann, wenn er die Winkel in der Konstruktion bestimmen kann. Da Fred nicht ganz zufrieden mit seiner Mathematiknote ist und diese gerne verbessern würde, möchte er die Winkel der Konstruktion nun bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
{{Box|Aufgabe 1 |Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel betsimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}
|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkelart |Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Winkel, der genau neben mir liegt, ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe| Farbe = #CD2990}}
}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|{{Farbe| Farbe = #CD2990}}

}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir uns stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|{{Farbe| Farbe = #CD2990}}
}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir uns auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|{{Farbe| Farbe = #CD2990}}
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-24T18:05:30Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred nimmt gerade das Thema "Winkel" im Mathematikunterricht durch. Im Sportunterricht erkennt Fred in einer Konstruktion verschiedene Dreiecke und Winkel. Nun möchte Fred die Winkel der Konstruktion bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
{{Box|Aufgabe 1 |Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel betsimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}
|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkelart |Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Winkel, der genau neben mir liegt, ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Winkel, der genau neben mir liegt, und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe| Farbe = #CD2990}}
}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|{{Farbe| Farbe = #CD2990}}

}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir uns stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|{{Farbe| Farbe = #CD2990}}
}}

{{Box|Winkelart |Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir uns auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) befinden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode|{{Farbe| Farbe = #CD2990}}
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-23T19:38:27Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Du hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel betsimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-23T13:11:31Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel betsimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-23T13:07:56Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
| Farbe = {{Farbe|grün|dunkel}}
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-23T12:59:09Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkelarten an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkelarten, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-23T12:55:19Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mithilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-23T12:54:35Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen ohne zu messen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-23T12:53:20Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
'''Hinweis:''' Wähle eine der drei Aufgaben aus.
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-23T12:49:00Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
Wähle eine der drei Aufgaben aus.
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-23T12:44:31Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-23T12:43:30Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitelauswahl}}
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-23T12:33:09Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Hier kommst du zurück zur Startseite des Kapitels: [[Geometrie_im_Dreieck|Geometrie im Dreieck]]
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-23T12:32:51Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180°. Wenn er beispielsweise 70° aufweist, besitze ich 110°.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
'''α=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

'''β=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

'''β'=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

'''ε=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

'''γ=90°'''

,da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

'''δ=60°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

'''δ'=90°'''

,da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

'''τ=30°'''

,da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

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{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-13T15:54:02Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
α=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

β=90°, da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

β'=60°, da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

ε=30°, da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

γ=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

δ=60°, da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

δ'=90°, da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

τ=30°, da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-13T15:53:37Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]] [[Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
α=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

β=90°, da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

β'=60°, da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

ε=30°, da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

γ=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

δ=60°, da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

δ'=90°, da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

τ=30°, da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Datei:Winkelgröße 2 neu.jpg

2024-11-13T15:53:00Z

Anne Uni MS-14: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Winkelgrößen
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Anne Uni MS-14|Anne Uni MS-14]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-13T15:45:21Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
α=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

β=90°, da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

β'=60°, da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

ε=30°, da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

γ=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

δ=60°, da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

δ'=90°, da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

τ=30°, da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-13T15:41:32Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat, bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
α=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

β=90°, da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

β'=60°, da der Scheitelwinkel zu β' 60° groß ist muss β'=60° gelten.

ε=30°, da der Scheitelwinkel zu ε 30° groß ist muss ε=30° gelten.

γ=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

δ=60°, da der Scheitelwinkel zu δ 60° groß ist muss δ=60° gelten.

δ'=90°, da der Scheitelwinkel zu δ' 90° groß ist muss δ'=90° gelten.

τ=30°, da der Scheitelwinkel zu τ 30° groß ist muss τ=30° gelten.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parallel zueinander?|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-10T15:52:42Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich. Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
α=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

β=90°, da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

β'=60°,

ε=30°,

γ=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

δ=60°,

δ'=90°,

τ=30°,
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parralel zueinander?.|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-10T15:51:25Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich . Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich? </nowiki>
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
α=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

β=90°, da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

β'=60°,

ε=30°,

γ=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

δ=60°,

δ'=90°,

τ=30°,
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parralel zueinander?.|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-10T15:50:39Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich . Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich? </nowiki>
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 3|Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Winkeltyp 4|Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
α=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

β=90°, da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

β'=60°,

ε=30°,

γ=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

δ=60°,

δ'=90°,

τ=30°,
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parralel zueinander?.|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-10T15:47:28Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

{{Box|Winkeltyp 2|Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich . Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich? </nowiki>
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

===Winkeltyp 3===
Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 4===
Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
α=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

β=90°, da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

β'=60°,

ε=30°,

γ=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

δ=60°,

δ'=90°,

τ=30°,
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parralel zueinander?.|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-10T15:42:35Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
{{Box|Winkeltyp 1|Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}

===Winkeltyp 2===
<nowiki>{{Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich . Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich? </nowiki>
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}
<nowiki>| Farbe = #CD2990
}}</nowiki>

===Winkeltyp 3===
Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 4===
Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
α=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

β=90°, da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

β'=60°,

ε=30°,

γ=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

δ=60°,

δ'=90°,

τ=30°,
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parralel zueinander?.|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-10T12:30:16Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Einstieg==
Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat bestimmen.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

[[Datei:FredsZeichnung.jpg|thumb|FredsZeichnung|zentriert|mini|450x450px| Freds Zeichnung.]]

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwiqmvfdj24" style="border:0px;width:100%;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
===Winkeltyp 1===
Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 2===
Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 3===
Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 4===
Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich . Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==

{{Box|Aufgabe 4.1.|Wir nehmen an, dass Freds Zeichnung aus dem Enstieg das Problem aus dem Sportunterricht akurat beschreibt. Berechne die fehlenden Winkel aus der Zeichnung.

[[Datei:Geoge2.jpg|thumb|Geoge2|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|1=
α=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von α auch 90° sein.

β=90°, da der Scheitelwinkel zu β 90° groß ist muss β=90° gelten.

β'=60°,

ε=30°,

γ=90°, da die Nebenwinkel zu diesem alle rechte Winkel sind (90°) muss die Winkelgröße von γ auch 90° sein. Genau wie bei α.

δ=60°,

δ'=90°,

τ=30°,
|2=Lösung|3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

{{Box|Aufgabe 4.2.|Überlege ein weiteres Mal, ob Freds herangehensweise an das Problem sinnvoll ist. Notiere deine Überlegungen in deinem Heft und gleiche sie mit der Lösung ab.

[[Datei:Kastenkombio.jpg|thumb|Kastenkombio|zentriert|mini|450x450px| ]]

{{
Lösung versteckt|Überlege, ob die Geraden aus Freds Zeichnung genau den Sportgeräten entsprechen.|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|
Sind Bank und Boden, sowie Kasten und Sprossenwand parralel zueinander?.|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|1=
Fred hat bei seiner Zeichnung nicht darauf geachtet, ob die obere Bank wirklich parralel zum Boden ist. Da das nicht der Fall ist ist Freds Zeichnung nicht genau und er kann die Winkel nicht ideal berechnen.|
2=Lösung|
3=Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Benutzer:Anne Uni MS-14/Testseite

2024-11-10T10:35:36Z

Anne Uni MS-14:

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Scheitelwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

==Spielwiese==
===Schreiben im Wiki===
Neben normalem Text kann man auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green"> Grüner Text ist schon etwas schwieriger</span>, funktioniert aber über die Quelltextbearbeitung.

Einen neuen Absatz beginnt man in der Quelltextbearbeitung durch zwei aufeinanderfolgende Zeilenumbrüche, also einer leeren Zeile zwischen den beiden Absätzen. In der visuellen Bearbeitung reicht hierzu das einmalige Betätigen der Eingabetaste.
===Vorlagen===
{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Box|Aufgabe 1: Münzwurf|Inhalt|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merksatz: Kongruenzsätze|Inhalt|Merksatz
}}{{Box|Beispiel: Polynomdivision|Inhalt|Hervorhebung1
}}
===Dateien===
====Über die Bedienelemente====
[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|mini|rechts|Ziegenproblem]]Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.
====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.[[Datei:GIF Basketball.gif|mini|ohne|Ballwurf]]Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.
====Über Wikipedia (Ohne Rahmen) ====
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.[[File:KreisMittelpunktRadius.svg|rahmenlos|ohne|500px]]Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.
===Interaktive Applets===
====LearningApp====
{{LearningApp|width=100%|height=600px|app=phcsyj21c17}}
====GeoGebra====
<ggb_applet id="cDyjWjkp" width="100%" height="100%" />
==Kombinationen==
Die Inhalte basieren auf dem Lernpfad [https://unterrichten.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden Quadratische Funktionen erkunden] von [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]].
{{Box|Merksatz: Quadratische Funktionen|Quadratische Funktionen können in der Form <math>f(x)=a(x-{\color{blue}d})^2+{\color{green}e}</math> angegeben werden (wobei <math>a \neq 0</math>). Diese Darstellungsform nennt man '''Scheitelpunktform''', da sich der Scheitelpunkt direkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten <math>S({\color{blue}d}|{\color{green}e})</math>.|Merksatz
}}{{Box|Aufgabe 3: Von Angry Birds bis Basketball|Finde Werte für <math>a</math>, <math>d</math> und <math>e</math>, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

<ggb_applet id="cDyjWjkp" width="100%" height="100%"/>

{{Lösung versteckt|1=Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

{{{!}} class="wikitable"
{{!}}-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter <math>a</math> !! Parameter <math>d</math> !! Parameter <math>e</math>
{{!}}-
{{!}} Angry Birds
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}13(x-7)^2+4{,}85</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}15 \leq a \leq -0{,}13</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>6{,}80 \leq d \leq 7{,}20</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>4{,}70 \leq e \leq 5{,}00</math>
{{!}}-
{{!}} Golden Gate Bridge
{{!}}{{!}} <math>f(x)=0{,}04(x-5{,}7)^2+1</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}03 \leq a \leq 0{,}05</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}00 \leq d \leq 6{,}40</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}80 \leq e \leq 1{,}10</math>
{{!}}-
{{!}} Springbrunnen
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}33(x-4{,}85)^2+5{,}3</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}40 \leq a \leq -0{,}30</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>4{,}70 \leq d \leq 5{,}00</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}10 \leq e \leq 5{,}50</math>
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen links)
{{!}}{{!}} <math>f(x)=0{,}40(x-2{,}50)^2+4{,}35</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}33 \leq a \leq 0{,}47</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>2{,}40 \leq d \leq 2{,}60</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>4{,}25 \leq e \leq 4{,}40</math>
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen mitte)
{{!}}{{!}} <math>f(x)=0{,}33(x-5{,}85)^2+3{,}4</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}30 \leq a \leq 0{,}36</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}70 \leq d \leq 6{,}00</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>3{,}20 \leq e \leq 3{,}60</math>
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen rechts)
{{!}}{{!}} <math>f(x)=0{,}22(x-9{,}40)^2+3{,}60</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}18 \leq a \leq 0{,}27</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>9{,}30 \leq d \leq 9{,}50</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>3{,}55 \leq e \leq 3{,}65</math>
{{!}}-
{{!}} Gebirgsformation
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}2(x-5{,}4)^2+2{,}3</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}30 \leq a \leq -0{,}10</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}10 \leq d \leq 5{,}70</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>2{,}10 \leq e \leq 2{,}50</math>
{{!}}-
{{!}} Motorrad-Stunt
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}07(x-7{,}7)^2+5{,}95</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}10 \leq a \leq -0{,}04</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>7{,}30 \leq d \leq 8{,}10</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}70 \leq e \leq 6{,}20</math>
{{!}}-
{{!}} Basketball
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}32(x-6{,}5)^2+6{,}45</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}35 \leq a \leq -0{,}29</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>6{,}20 \leq d \leq 6{,}80</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>6{,}20 \leq e \leq 6{,}70</math>
{{!}}}
|2=Lösungsvorschläge anzeigen|3=Lösungsvorschläge verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

Auf dieser Seite sind verschiedene Vorlagen für die Lernpfadkapitel des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule|''Digitale Werkzeuge in der Schule'']] dargestellt. Dabei findet sich jeweils links im grau unterlegten Feld der benötigte Code um die Ausgabe rechts daneben zu erhalten.

==Allgemeines==

===Kapitel-Informationskästchen ===

<span style="color: red">Bei Lernpfaden für die Sekundarstufe I oder Einführungsphase entfällt der Stichpunkt zu LK-Aufgaben!</span>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel <Kurzbeschreibung des Kapitelziels>

Für die Bearbeitung dieses Kapitels benötigst du den Hefter [https://projekte.zum.de/wiki/Datei:Hefter_zum_Lernpfad_Pyramiden_entdecken.pdf "Pyramiden entdecken"], einen Taschenrechner, einen Stift, einen Bleistift, vier verschiedenfarbige Stifte, einen Zirkel, ein Geodreieck, ein Lineal (mind. 7 cm lang), eine Schere, etwas Klebeband, zwei lose DIN A3-Blätter und zwei lose DIN A4-Blätter.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel <Kurzbeschreibung des Kapitelziels>

Für die Bearbeitung dieses Kapitels benötigst du den Hefter [https://projekte.zum.de/wiki/Datei:Hefter_zum_Lernpfad_Pyramiden_entdecken.pdf "Pyramiden entdecken"], einen Taschenrechner, einen Stift, einen Bleistift, vier verschiedenfarbige Stifte, einen Zirkel, ein Geodreieck, ein Lineal (mind. 7 cm lang), eine Schere, etwas Klebeband, zwei lose DIN A3-Blätter und zwei lose DIN A4-Blätter.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
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</div>

===Navigation===
<span style="color: red">Parameter ''vorherlink'' an aktuellen Lernpfad anpassen.</span>

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<pre>
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitelauswahl}}
</pre>
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{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitelauswahl}}
</div>
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<span style="color: red">Parameter ''weiterlink'' an aktuellen Lernpfad anpassen.</span>
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<pre>
{{Fortsetzung|weiter=weiter zum nächsten Kapitel|weiterlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitel}}
</pre>
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{{Fortsetzung|weiter=weiter zum nächsten Kapitel|weiterlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitel}}
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<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Lösung versteckt|1=Inhalt|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
</pre>
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{{Lösung versteckt|1=Inhalt|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
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===Kategoriezuordnung===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]
</pre>
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Siehe Kategorie am Ende dieser Seite.
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</div>

===Aufgaben-Boxen===

====Schwierigkeitsstufe I====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
</div>
</div>

====Schwierigkeitsstufe II====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}
</div>
</div>

====Schwierigkeitsstufe III====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode}}
</div>
</div>

====Mit Verweis zum Arbeitsblatt====
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> |
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | [[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt''' | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}
</div>
</div>

====LK-Kennzeichnung====

=====Gesamte Aufgabe=====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>&#x2B50;: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>⭐: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode}}
</div>
</div>

=====Teilaufgabe=====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> |
'''a)''' Inhalt

'''b)''' Inhalt

'''c)&#x2B50;''' Inhalt
| Arbeitsmethode}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> |
'''a)''' Inhalt

'''b)''' Inhalt

'''c)⭐''' Inhalt
| Arbeitsmethode}}
</div>
</div>

===Andere Boxen===

====Merksatz====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Merksatz: <Name> | Inhalt | Merksatz | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Merksatz: <Name> | Inhalt | Merksatz|| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
</div>
</div>

====Beispiel====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Beispiel: <Name> | Inhalt | Hervorhebung1}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Beispiel: <Name> | Inhalt | Hervorhebung1}}
</div>
</div>

===Eingebettete Aufgabenstellung===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Hier steht eine eingebettete Aufgabenstellung.
</div>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Hier steht eine eingebettete Aufgabenstellung.
</div>
</div>
</div>

==Applets==

===Technischer Benutzungshinweis===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
[[Datei:About icon (The Noun Project).svg|15px|middle]] Technischer Benutzungshinweis
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
[[Datei:About icon (The Noun Project).svg|15px|middle]] Technischer Benutzungshinweis
</div>
</div>

==Mathematik-Modus==

===Äquivalenzumformung===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{align}
& & x^2 + 24 &= 42 - 0 & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & & x^2 + 24 &= 42 & &\mid -24\\
\Leftrightarrow & & x^2 &= 18 & &\mid \pm \surd\\
\Leftrightarrow & & x &= \pm \sqrt{18}
\end{align}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{align}
& & x^2 + 24 &= 42 - 0 & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & & x^2 + 24 &= 42 & &\mid -24\\
\Leftrightarrow & & x^2 &= 18 & &\mid \pm \surd\\
\Leftrightarrow & & x &= \pm \sqrt{18}
\end{align}</math>
</div>
</div>

===Gleichungskette===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{align}
A_{\text{Kreis}} &= \pi \cdot r^2\\
&= \pi \cdot 42^2\\
&= \pi \cdot 1.764^2\\
&\approx 5.541{,}7
\end{align}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{align}
A_{\text{Kreis}} &= \pi \cdot r^2\\
&= \pi \cdot 42^2\\
&= \pi \cdot 1.764^2\\
&\approx 5.541{,}7
\end{align}</math>
</div>
</div>

===LGS===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
\text{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
\text{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
</div>
</div>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 42y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
4242x &&\; - \;&& 24y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -42\\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{3} y &&\; \;&& &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 42y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
4242x &&\; - \;&& 24y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -42\\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{3} y &&\; \;&& &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>
</div>
</div>

===Vektoren und Matrizen===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}</math>
</div>
</div>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}</math>
</div>
</div>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
Mit Text in einer Zeile geht <math>\left( \begin{smallmatrix}
1\\
2\\
3
\end{smallmatrix} \right)</math> so und <math>\left( \begin{smallmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{smallmatrix} \right)</math> so.
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
Mit Text in einer Zeile geht <math>\left( \begin{smallmatrix}
1\\
2\\
3
\end{smallmatrix} \right)</math> so und <math>\left( \begin{smallmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{smallmatrix} \right)</math> so.
</div>
</div>

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Benutzer:Anne Uni MS-14/Testseite

2024-11-10T10:34:41Z

Anne Uni MS-14:

{{Box|Merksätze|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz Scheitelwinkel|3=Merksatz Scheitelwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz Nebenwinkel|3=Merksatz Nebenwinkel verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Stufenwinkel|3=Merksatz Stufenwinkel verbergen}}{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz Wechselwinkel|3=Merksatz Wechselwinkel verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Scheitelwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

==Spielwiese==
===Schreiben im Wiki===
Neben normalem Text kann man auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green"> Grüner Text ist schon etwas schwieriger</span>, funktioniert aber über die Quelltextbearbeitung.

Einen neuen Absatz beginnt man in der Quelltextbearbeitung durch zwei aufeinanderfolgende Zeilenumbrüche, also einer leeren Zeile zwischen den beiden Absätzen. In der visuellen Bearbeitung reicht hierzu das einmalige Betätigen der Eingabetaste.
===Vorlagen===
{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Box|Aufgabe 1: Münzwurf|Inhalt|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merksatz: Kongruenzsätze|Inhalt|Merksatz
}}{{Box|Beispiel: Polynomdivision|Inhalt|Hervorhebung1
}}
===Dateien===
====Über die Bedienelemente ====
[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|mini|rechts|Ziegenproblem]]Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.
====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.[[Datei:GIF Basketball.gif|mini|ohne|Ballwurf]]Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.
====Über Wikipedia (Ohne Rahmen)====
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.[[File:KreisMittelpunktRadius.svg|rahmenlos|ohne|500px]]Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.
===Interaktive Applets===
====LearningApp====
{{LearningApp|width=100%|height=600px|app=phcsyj21c17}}
====GeoGebra====
<ggb_applet id="cDyjWjkp" width="100%" height="100%" />
==Kombinationen==
Die Inhalte basieren auf dem Lernpfad [https://unterrichten.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden Quadratische Funktionen erkunden] von [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]].
{{Box|Merksatz: Quadratische Funktionen|Quadratische Funktionen können in der Form <math>f(x)=a(x-{\color{blue}d})^2+{\color{green}e}</math> angegeben werden (wobei <math>a \neq 0</math>). Diese Darstellungsform nennt man '''Scheitelpunktform''', da sich der Scheitelpunkt direkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten <math>S({\color{blue}d}|{\color{green}e})</math>.|Merksatz
}}{{Box|Aufgabe 3: Von Angry Birds bis Basketball|Finde Werte für <math>a</math>, <math>d</math> und <math>e</math>, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

<ggb_applet id="cDyjWjkp" width="100%" height="100%"/>

{{Lösung versteckt|1=Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

{{{!}} class="wikitable"
{{!}}-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter <math>a</math> !! Parameter <math>d</math> !! Parameter <math>e</math>
{{!}}-
{{!}} Angry Birds
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}13(x-7)^2+4{,}85</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}15 \leq a \leq -0{,}13</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>6{,}80 \leq d \leq 7{,}20</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>4{,}70 \leq e \leq 5{,}00</math>
{{!}}-
{{!}} Golden Gate Bridge
{{!}}{{!}} <math>f(x)=0{,}04(x-5{,}7)^2+1</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}03 \leq a \leq 0{,}05</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}00 \leq d \leq 6{,}40</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}80 \leq e \leq 1{,}10</math>
{{!}}-
{{!}} Springbrunnen
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}33(x-4{,}85)^2+5{,}3</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}40 \leq a \leq -0{,}30</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>4{,}70 \leq d \leq 5{,}00</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}10 \leq e \leq 5{,}50</math>
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen links)
{{!}}{{!}} <math>f(x)=0{,}40(x-2{,}50)^2+4{,}35</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}33 \leq a \leq 0{,}47</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>2{,}40 \leq d \leq 2{,}60</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>4{,}25 \leq e \leq 4{,}40</math>
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen mitte)
{{!}}{{!}} <math>f(x)=0{,}33(x-5{,}85)^2+3{,}4</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}30 \leq a \leq 0{,}36</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}70 \leq d \leq 6{,}00</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>3{,}20 \leq e \leq 3{,}60</math>
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen rechts)
{{!}}{{!}} <math>f(x)=0{,}22(x-9{,}40)^2+3{,}60</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}18 \leq a \leq 0{,}27</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>9{,}30 \leq d \leq 9{,}50</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>3{,}55 \leq e \leq 3{,}65</math>
{{!}}-
{{!}} Gebirgsformation
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}2(x-5{,}4)^2+2{,}3</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}30 \leq a \leq -0{,}10</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}10 \leq d \leq 5{,}70</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>2{,}10 \leq e \leq 2{,}50</math>
{{!}}-
{{!}} Motorrad-Stunt
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}07(x-7{,}7)^2+5{,}95</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}10 \leq a \leq -0{,}04</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>7{,}30 \leq d \leq 8{,}10</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}70 \leq e \leq 6{,}20</math>
{{!}}-
{{!}} Basketball
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}32(x-6{,}5)^2+6{,}45</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}35 \leq a \leq -0{,}29</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>6{,}20 \leq d \leq 6{,}80</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>6{,}20 \leq e \leq 6{,}70</math>
{{!}}}
|2=Lösungsvorschläge anzeigen|3=Lösungsvorschläge verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

Auf dieser Seite sind verschiedene Vorlagen für die Lernpfadkapitel des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule|''Digitale Werkzeuge in der Schule'']] dargestellt. Dabei findet sich jeweils links im grau unterlegten Feld der benötigte Code um die Ausgabe rechts daneben zu erhalten.

==Allgemeines==

===Kapitel-Informationskästchen===

<span style="color: red">Bei Lernpfaden für die Sekundarstufe I oder Einführungsphase entfällt der Stichpunkt zu LK-Aufgaben!</span>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel <Kurzbeschreibung des Kapitelziels>

Für die Bearbeitung dieses Kapitels benötigst du den Hefter [https://projekte.zum.de/wiki/Datei:Hefter_zum_Lernpfad_Pyramiden_entdecken.pdf "Pyramiden entdecken"], einen Taschenrechner, einen Stift, einen Bleistift, vier verschiedenfarbige Stifte, einen Zirkel, ein Geodreieck, ein Lineal (mind. 7 cm lang), eine Schere, etwas Klebeband, zwei lose DIN A3-Blätter und zwei lose DIN A4-Blätter.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel <Kurzbeschreibung des Kapitelziels>

Für die Bearbeitung dieses Kapitels benötigst du den Hefter [https://projekte.zum.de/wiki/Datei:Hefter_zum_Lernpfad_Pyramiden_entdecken.pdf "Pyramiden entdecken"], einen Taschenrechner, einen Stift, einen Bleistift, vier verschiedenfarbige Stifte, einen Zirkel, ein Geodreieck, ein Lineal (mind. 7 cm lang), eine Schere, etwas Klebeband, zwei lose DIN A3-Blätter und zwei lose DIN A4-Blätter.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
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===Navigation===
<span style="color: red">Parameter ''vorherlink'' an aktuellen Lernpfad anpassen.</span>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitelauswahl}}
</pre>
</div>
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{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitelauswahl}}
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<span style="color: red">Parameter ''weiterlink'' an aktuellen Lernpfad anpassen.</span>
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{{Fortsetzung|weiter=weiter zum nächsten Kapitel|weiterlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitel}}
</pre>
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{{Fortsetzung|weiter=weiter zum nächsten Kapitel|weiterlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitel}}
</div>
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<div class="grid">
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<pre>
{{Lösung versteckt|1=Inhalt|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
</pre>
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{{Lösung versteckt|1=Inhalt|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
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===Kategoriezuordnung===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]
</pre>
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Siehe Kategorie am Ende dieser Seite.
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</div>

=== Aufgaben-Boxen===

====Schwierigkeitsstufe I====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
</div>
</div>

==== Schwierigkeitsstufe II====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}
</div>
</div>

====Schwierigkeitsstufe III====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode}}
</div>
</div>

==== Mit Verweis zum Arbeitsblatt====
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> |
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | [[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt''' | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}
</div>
</div>

====LK-Kennzeichnung ====

=====Gesamte Aufgabe=====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>&#x2B50;: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>⭐: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode}}
</div>
</div>

=====Teilaufgabe=====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> |
'''a)''' Inhalt

'''b)''' Inhalt

'''c)&#x2B50;''' Inhalt
| Arbeitsmethode}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> |
'''a)''' Inhalt

'''b)''' Inhalt

'''c)⭐''' Inhalt
| Arbeitsmethode}}
</div>
</div>

===Andere Boxen===

====Merksatz ====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Merksatz: <Name> | Inhalt | Merksatz | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Merksatz: <Name> | Inhalt | Merksatz|| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
</div>
</div>

====Beispiel====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Beispiel: <Name> | Inhalt | Hervorhebung1}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Beispiel: <Name> | Inhalt | Hervorhebung1}}
</div>
</div>

===Eingebettete Aufgabenstellung ===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Hier steht eine eingebettete Aufgabenstellung.
</div>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Hier steht eine eingebettete Aufgabenstellung.
</div>
</div>
</div>

==Applets==

===Technischer Benutzungshinweis===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
[[Datei:About icon (The Noun Project).svg|15px|middle]] Technischer Benutzungshinweis
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
[[Datei:About icon (The Noun Project).svg|15px|middle]] Technischer Benutzungshinweis
</div>
</div>

==Mathematik-Modus==

===Äquivalenzumformung===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{align}
& & x^2 + 24 &= 42 - 0 & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & & x^2 + 24 &= 42 & &\mid -24\\
\Leftrightarrow & & x^2 &= 18 & &\mid \pm \surd\\
\Leftrightarrow & & x &= \pm \sqrt{18}
\end{align}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{align}
& & x^2 + 24 &= 42 - 0 & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & & x^2 + 24 &= 42 & &\mid -24\\
\Leftrightarrow & & x^2 &= 18 & &\mid \pm \surd\\
\Leftrightarrow & & x &= \pm \sqrt{18}
\end{align}</math>
</div>
</div>

===Gleichungskette===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{align}
A_{\text{Kreis}} &= \pi \cdot r^2\\
&= \pi \cdot 42^2\\
&= \pi \cdot 1.764^2\\
&\approx 5.541{,}7
\end{align}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{align}
A_{\text{Kreis}} &= \pi \cdot r^2\\
&= \pi \cdot 42^2\\
&= \pi \cdot 1.764^2\\
&\approx 5.541{,}7
\end{align}</math>
</div>
</div>

===LGS===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
\text{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
\text{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
</div>
</div>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 42y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
4242x &&\; - \;&& 24y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -42\\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{3} y &&\; \;&& &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 42y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
4242x &&\; - \;&& 24y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -42\\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{3} y &&\; \;&& &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>
</div>
</div>

===Vektoren und Matrizen===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}</math>
</div>
</div>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}</math>
</div>
</div>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
Mit Text in einer Zeile geht <math>\left( \begin{smallmatrix}
1\\
2\\
3
\end{smallmatrix} \right)</math> so und <math>\left( \begin{smallmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{smallmatrix} \right)</math> so.
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
Mit Text in einer Zeile geht <math>\left( \begin{smallmatrix}
1\\
2\\
3
\end{smallmatrix} \right)</math> so und <math>\left( \begin{smallmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{smallmatrix} \right)</math> so.
</div>
</div>

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Benutzer:Anne Uni MS-14/Testseite

2024-11-10T10:25:29Z

Anne Uni MS-14:

{{Box|Merksatz: Scheitelwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

==Spielwiese==
===Schreiben im Wiki===
Neben normalem Text kann man auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten''' Text schreiben. '''''Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich.''''' <span style="color: green"> Grüner Text ist schon etwas schwieriger</span>, funktioniert aber über die Quelltextbearbeitung.

Einen neuen Absatz beginnt man in der Quelltextbearbeitung durch zwei aufeinanderfolgende Zeilenumbrüche, also einer leeren Zeile zwischen den beiden Absätzen. In der visuellen Bearbeitung reicht hierzu das einmalige Betätigen der Eingabetaste.
===Vorlagen ===
{{Lösung versteckt|Das ist ein Tipp|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}{{Lösung versteckt|Das ist eine Lösung|Lösung anzeigen|Lösung verbergen}}{{Box|Aufgabe 1: Münzwurf|Inhalt|Arbeitsmethode
}}{{Box|Merksatz: Kongruenzsätze|Inhalt|Merksatz
}}{{Box|Beispiel: Polynomdivision|Inhalt|Hervorhebung1
}}
===Dateien===
====Über die Bedienelemente====
[[Datei:Monty Hall. Ilustración de paradoja. Puerta abierta.png|mini|rechts|Ziegenproblem]]Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.
====Mittels Quelltexteingabe (Ohne Umfließen des Textes)====
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.[[Datei:GIF Basketball.gif|mini|ohne|Ballwurf]]Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.
====Über Wikipedia (Ohne Rahmen) ====
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.[[File:KreisMittelpunktRadius.svg|rahmenlos|ohne|500px]]Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisici elit, sed eiusmod tempor incidunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquid ex ea commodi consequat. Quis aute iure reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint obcaecat cupiditat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.
===Interaktive Applets===
====LearningApp====
{{LearningApp|width=100%|height=600px|app=phcsyj21c17}}
==== GeoGebra ====
<ggb_applet id="cDyjWjkp" width="100%" height="100%" />
==Kombinationen ==
Die Inhalte basieren auf dem Lernpfad [https://unterrichten.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden Quadratische Funktionen erkunden] von [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]].
{{Box|Merksatz: Quadratische Funktionen|Quadratische Funktionen können in der Form <math>f(x)=a(x-{\color{blue}d})^2+{\color{green}e}</math> angegeben werden (wobei <math>a \neq 0</math>). Diese Darstellungsform nennt man '''Scheitelpunktform''', da sich der Scheitelpunkt direkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten <math>S({\color{blue}d}|{\color{green}e})</math>.|Merksatz
}}{{Box|Aufgabe 3: Von Angry Birds bis Basketball|Finde Werte für <math>a</math>, <math>d</math> und <math>e</math>, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

<ggb_applet id="cDyjWjkp" width="100%" height="100%"/>

{{Lösung versteckt|1=Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

{{{!}} class="wikitable"
{{!}}-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter <math>a</math> !! Parameter <math>d</math> !! Parameter <math>e</math>
{{!}}-
{{!}} Angry Birds
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}13(x-7)^2+4{,}85</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}15 \leq a \leq -0{,}13</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>6{,}80 \leq d \leq 7{,}20</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>4{,}70 \leq e \leq 5{,}00</math>
{{!}}-
{{!}} Golden Gate Bridge
{{!}}{{!}} <math>f(x)=0{,}04(x-5{,}7)^2+1</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}03 \leq a \leq 0{,}05</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}00 \leq d \leq 6{,}40</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}80 \leq e \leq 1{,}10</math>
{{!}}-
{{!}} Springbrunnen
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}33(x-4{,}85)^2+5{,}3</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}40 \leq a \leq -0{,}30</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>4{,}70 \leq d \leq 5{,}00</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}10 \leq e \leq 5{,}50</math>
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen links)
{{!}}{{!}} <math>f(x)=0{,}40(x-2{,}50)^2+4{,}35</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}33 \leq a \leq 0{,}47</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>2{,}40 \leq d \leq 2{,}60</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>4{,}25 \leq e \leq 4{,}40</math>
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen mitte)
{{!}}{{!}} <math>f(x)=0{,}33(x-5{,}85)^2+3{,}4</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}30 \leq a \leq 0{,}36</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}70 \leq d \leq 6{,}00</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>3{,}20 \leq e \leq 3{,}60</math>
{{!}}-
{{!}} Elbphilharmonie (Bogen rechts)
{{!}}{{!}} <math>f(x)=0{,}22(x-9{,}40)^2+3{,}60</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>0{,}18 \leq a \leq 0{,}27</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>9{,}30 \leq d \leq 9{,}50</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>3{,}55 \leq e \leq 3{,}65</math>
{{!}}-
{{!}} Gebirgsformation
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}2(x-5{,}4)^2+2{,}3</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}30 \leq a \leq -0{,}10</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}10 \leq d \leq 5{,}70</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>2{,}10 \leq e \leq 2{,}50</math>
{{!}}-
{{!}} Motorrad-Stunt
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}07(x-7{,}7)^2+5{,}95</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}10 \leq a \leq -0{,}04</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>7{,}30 \leq d \leq 8{,}10</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>5{,}70 \leq e \leq 6{,}20</math>
{{!}}-
{{!}} Basketball
{{!}}{{!}} <math>f(x)=-0{,}32(x-6{,}5)^2+6{,}45</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>-0{,}35 \leq a \leq -0{,}29</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>6{,}20 \leq d \leq 6{,}80</math>
{{!}}style="text-align:center"{{!}} <math>6{,}20 \leq e \leq 6{,}70</math>
{{!}}}
|2=Lösungsvorschläge anzeigen|3=Lösungsvorschläge verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

Auf dieser Seite sind verschiedene Vorlagen für die Lernpfadkapitel des Seminars [[Digitale Werkzeuge in der Schule|''Digitale Werkzeuge in der Schule'']] dargestellt. Dabei findet sich jeweils links im grau unterlegten Feld der benötigte Code um die Ausgabe rechts daneben zu erhalten.

==Allgemeines==

===Kapitel-Informationskästchen===

<span style="color: red">Bei Lernpfaden für die Sekundarstufe I oder Einführungsphase entfällt der Stichpunkt zu LK-Aufgaben!</span>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel <Kurzbeschreibung des Kapitelziels>

Für die Bearbeitung dieses Kapitels benötigst du den Hefter [https://projekte.zum.de/wiki/Datei:Hefter_zum_Lernpfad_Pyramiden_entdecken.pdf "Pyramiden entdecken"], einen Taschenrechner, einen Stift, einen Bleistift, vier verschiedenfarbige Stifte, einen Zirkel, ein Geodreieck, ein Lineal (mind. 7 cm lang), eine Schere, etwas Klebeband, zwei lose DIN A3-Blätter und zwei lose DIN A4-Blätter.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Aufgaben, die mit einem &#x2B50; gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel <Kurzbeschreibung des Kapitelziels>

Für die Bearbeitung dieses Kapitels benötigst du den Hefter [https://projekte.zum.de/wiki/Datei:Hefter_zum_Lernpfad_Pyramiden_entdecken.pdf "Pyramiden entdecken"], einen Taschenrechner, einen Stift, einen Bleistift, vier verschiedenfarbige Stifte, einen Zirkel, ein Geodreieck, ein Lineal (mind. 7 cm lang), eine Schere, etwas Klebeband, zwei lose DIN A3-Blätter und zwei lose DIN A4-Blätter.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben mit '''<span style="color: #5E43A5">lilanem</span>''' Streifen sind '''Knobelaufgaben'''.
* Aufgaben, die mit einem ⭐ gekennzeichnet sind, sind nur für den LK gedacht.
Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}
</div>
</div>

=== Navigation===
<span style="color: red">Parameter ''vorherlink'' an aktuellen Lernpfad anpassen.</span>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitelauswahl}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Kapitelauswahl|vorherlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitelauswahl}}
</div>
</div>

<span style="color: red">Parameter ''weiterlink'' an aktuellen Lernpfad anpassen.</span>
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Fortsetzung|weiter=weiter zum nächsten Kapitel|weiterlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitel}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Fortsetzung|weiter=weiter zum nächsten Kapitel|weiterlink=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/LERNPFAD#Kapitel}}
</div>
</div>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Lösung versteckt|1=Inhalt|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Lösung versteckt|1=Inhalt|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}
</div>
</div>

===Kategoriezuordnung ===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
Siehe Kategorie am Ende dieser Seite.
</div>
</div>

===Aufgaben-Boxen===

====Schwierigkeitsstufe I====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
</div>
</div>

====Schwierigkeitsstufe II====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode | Farbe=#CD2990 }}
</div>
</div>

====Schwierigkeitsstufe III====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode}}
</div>
</div>

====Mit Verweis zum Arbeitsblatt====
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> |
[[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt'''
| Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}} }}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> | [[Datei:Grundlagen-bearbeiten.png|30px|middle]] '''zurück zum Arbeitsblatt''' | Arbeitsmethode | Farbe={{Farbe|orange}}}}
</div>
</div>

====LK-Kennzeichnung====

=====Gesamte Aufgabe=====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>&#x2B50;: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>⭐: <Name> | Inhalt | Arbeitsmethode}}
</div>
</div>

=====Teilaufgabe=====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> |
'''a)''' Inhalt

'''b)''' Inhalt

'''c)&#x2B50;''' Inhalt
| Arbeitsmethode}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Aufgabe <Nummer>: <Name> |
'''a)''' Inhalt

'''b)''' Inhalt

'''c)⭐''' Inhalt
| Arbeitsmethode}}
</div>
</div>

===Andere Boxen===

====Merksatz====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Merksatz: <Name> | Inhalt | Merksatz | Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Merksatz: <Name> | Inhalt | Merksatz|| Farbe={{Farbe|grün|dunkel}}}}
</div>
</div>

==== Beispiel ====

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
{{Box | Beispiel: <Name> | Inhalt | Hervorhebung1}}
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
{{Box | Beispiel: <Name> | Inhalt | Hervorhebung1}}
</div>
</div>

===Eingebettete Aufgabenstellung===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Hier steht eine eingebettete Aufgabenstellung.
</div>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<div style="background:#FFFACD; border:ridge #FFEC8B; padding:10px">
Hier steht eine eingebettete Aufgabenstellung.
</div>
</div>
</div>

==Applets==

===Technischer Benutzungshinweis===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
[[Datei:About icon (The Noun Project).svg|15px|middle]] Technischer Benutzungshinweis
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
[[Datei:About icon (The Noun Project).svg|15px|middle]] Technischer Benutzungshinweis
</div>
</div>

==Mathematik-Modus==

===Äquivalenzumformung===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{align}
& & x^2 + 24 &= 42 - 0 & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & & x^2 + 24 &= 42 & &\mid -24\\
\Leftrightarrow & & x^2 &= 18 & &\mid \pm \surd\\
\Leftrightarrow & & x &= \pm \sqrt{18}
\end{align}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{align}
& & x^2 + 24 &= 42 - 0 & &\mid \text{Termumformung}\\
\Leftrightarrow & & x^2 + 24 &= 42 & &\mid -24\\
\Leftrightarrow & & x^2 &= 18 & &\mid \pm \surd\\
\Leftrightarrow & & x &= \pm \sqrt{18}
\end{align}</math>
</div>
</div>

===Gleichungskette===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{align}
A_{\text{Kreis}} &= \pi \cdot r^2\\
&= \pi \cdot 42^2\\
&= \pi \cdot 1.764^2\\
&\approx 5.541{,}7
\end{align}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{align}
A_{\text{Kreis}} &= \pi \cdot r^2\\
&= \pi \cdot 42^2\\
&= \pi \cdot 1.764^2\\
&\approx 5.541{,}7
\end{align}</math>
</div>
</div>

===LGS===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
\text{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{array}{crcrcr}\\
\text{I}\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
\text{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}</math>
</div>
</div>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 42y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
4242x &&\; - \;&& 24y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -42\\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{3} y &&\; \;&& &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 42y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
4242x &&\; - \;&& 24y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -42\\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{3} y &&\; \;&& &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert</math>
</div>
</div>

===Vektoren und Matrizen===

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}</math>
</div>
</div>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}</math>
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}</math>
</div>
</div>

<div class="grid">
<div class="width-1-2">
<pre>
Mit Text in einer Zeile geht <math>\left( \begin{smallmatrix}
1\\
2\\
3
\end{smallmatrix} \right)</math> so und <math>\left( \begin{smallmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{smallmatrix} \right)</math> so.
</pre>
</div>
<div class="width-1-2">
Mit Text in einer Zeile geht <math>\left( \begin{smallmatrix}
1\\
2\\
3
\end{smallmatrix} \right)</math> so und <math>\left( \begin{smallmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{smallmatrix} \right)</math> so.
</div>
</div>

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-07T16:54:36Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

{{Box|Merksatz: Scheitelwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
===Winkeltyp 1===
Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

=== Winkeltyp 2===
Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 3===
Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 4===
Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich - wir haben '''immer''' die gleiche Winkelgröße. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben denselben Schnittpunkt der Geraden.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==
===Zeichnen===
{{Box|Aufgabe 4.1.|Zeichne die Sprossenwand, die Bänke, den großen Kasten und die Linie (auf dem Boden) als Geraden in dein Heft. Übertrage außerdem die Winkel aus dem Foto in deine Zeichnung. (z.B. zwischen Bank und Sprossenwand).

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{
Lösung versteckt|
[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]
|Lösung|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

=== Winkel benennen und berechnen===
{{Box|Aufgabe 4.2.|Benenne die Winkeltypen, die in der Darstellung auftauchen und berechne deren Größe.

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Lösung|
Lösung
|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-07T16:42:56Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

{{Box|Merksatz: Scheitelwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
===Winkeltyp 1===
Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen und immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

=== Winkeltyp 2===
Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 3===
Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 4===
Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich - wir haben '''immer''' die gleiche Winkelgröße. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben denselben Schnittpunkt der Geraden.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nich nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==
===Zeichnen===
{{Box|Aufgabe 4.1.|Zeichne die Sprossenwand, die Bänke, den großen Kasten und die Linie (auf dem Boden) als Geraden in dein Heft. Übertrage außerdem die Winkel aus dem Foto in deine Zeichnung. (z.B. zwischen Bank und Sprossenwand).

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{
Lösung versteckt|
[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]
|Lösung|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

=== Winkel benennen und berechnen===
{{Box|Aufgabe 4.2.|Benenne die Winkeltypen, die in der Darstellung auftauchen und berechne deren Größe.

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Lösung|
Lösung
|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-07T16:42:37Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

{{Box|Merksatz: Scheitelwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|180x180px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
===Winkeltyp 1===
Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen und immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

=== Winkeltyp 2===
Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 3===
Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 4===
Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich - wir haben '''immer''' die gleiche Winkelgröße. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben denselben Schnittpunkt der Geraden.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nich nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==
===Zeichnen===
{{Box|Aufgabe 4.1.|Zeichne die Sprossenwand, die Bänke, den großen Kasten und die Linie (auf dem Boden) als Geraden in dein Heft. Übertrage außerdem die Winkel aus dem Foto in deine Zeichnung. (z.B. zwischen Bank und Sprossenwand).

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{
Lösung versteckt|
[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]
|Lösung|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

=== Winkel benennen und berechnen===
{{Box|Aufgabe 4.2.|Benenne die Winkeltypen, die in der Darstellung auftauchen und berechne deren Größe.

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Lösung|
Lösung
|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-07T16:42:16Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

{{Box|Merksatz: Scheitelwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Wechselwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich?==
===Winkeltyp 1===
Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen und immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

=== Winkeltyp 2===
Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 3===
Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 4===
Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich - wir haben '''immer''' die gleiche Winkelgröße. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben denselben Schnittpunkt der Geraden.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nich nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle ==
===Zeichnen===
{{Box|Aufgabe 4.1.|Zeichne die Sprossenwand, die Bänke, den großen Kasten und die Linie (auf dem Boden) als Geraden in dein Heft. Übertrage außerdem die Winkel aus dem Foto in deine Zeichnung. (z.B. zwischen Bank und Sprossenwand).

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{
Lösung versteckt|
[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]
|Lösung|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

=== Winkel benennen und berechnen===
{{Box|Aufgabe 4.2.|Benenne die Winkeltypen, die in der Darstellung auftauchen und berechne deren Größe.

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Lösung|
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|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Datei:Wechselwinkel.jpg

2024-11-07T16:41:43Z

Anne Uni MS-14: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Wechselwinkel
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Anne Uni MS-14|Anne Uni MS-14]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-07T16:41:02Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

{{Box|Merksatz: Scheitelwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich? ==
===Winkeltyp 1===
Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen und immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 2===
Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 3===
Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 4===
Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich - wir haben '''immer''' die gleiche Winkelgröße. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben denselben Schnittpunkt der Geraden.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nich nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==
=== Zeichnen===
{{Box|Aufgabe 4.1.|Zeichne die Sprossenwand, die Bänke, den großen Kasten und die Linie (auf dem Boden) als Geraden in dein Heft. Übertrage außerdem die Winkel aus dem Foto in deine Zeichnung. (z.B. zwischen Bank und Sprossenwand).

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{
Lösung versteckt|
[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]
|Lösung|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

===Winkel benennen und berechnen===
{{Box|Aufgabe 4.2.|Benenne die Winkeltypen, die in der Darstellung auftauchen und berechne deren Größe.

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Lösung|
Lösung
|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-07T16:39:32Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

{{Box|Merksatz: Scheitelwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]
An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]
An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Stufenwinkel.jpg|rechts|200x200px]]

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''.
Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen ==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich? ==
===Winkeltyp 1===
Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen und immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 2===
Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
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===Winkeltyp 3===
Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 4===
Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich - wir haben '''immer''' die gleiche Winkelgröße. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben denselben Schnittpunkt der Geraden.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nich nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==
=== Zeichnen===
{{Box|Aufgabe 4.1.|Zeichne die Sprossenwand, die Bänke, den großen Kasten und die Linie (auf dem Boden) als Geraden in dein Heft. Übertrage außerdem die Winkel aus dem Foto in deine Zeichnung. (z.B. zwischen Bank und Sprossenwand).

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{
Lösung versteckt|
[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]
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}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

===Winkel benennen und berechnen===
{{Box|Aufgabe 4.2.|Benenne die Winkeltypen, die in der Darstellung auftauchen und berechne deren Größe.

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
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Lösung versteckt|Lösung|
Lösung
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Datei:Stufenwinkel.jpg

2024-11-07T16:37:14Z

Anne Uni MS-14: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
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|author = [[User:Anne Uni MS-14|Anne Uni MS-14]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-07T16:36:40Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

{{Box|Merksatz: Scheitelwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]
An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|130x130px]]
An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
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{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=
An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
=== Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich? ==
===Winkeltyp 1===
Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen und immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

=== Winkeltyp 2===
Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 3===
Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 4===
Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich - wir haben '''immer''' die gleiche Winkelgröße. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben denselben Schnittpunkt der Geraden.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nich nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==
===Zeichnen ===
{{Box|Aufgabe 4.1.|Zeichne die Sprossenwand, die Bänke, den großen Kasten und die Linie (auf dem Boden) als Geraden in dein Heft. Übertrage außerdem die Winkel aus dem Foto in deine Zeichnung. (z.B. zwischen Bank und Sprossenwand).

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{
Lösung versteckt|
[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]
|Lösung|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

===Winkel benennen und berechnen===
{{Box|Aufgabe 4.2.|Benenne die Winkeltypen, die in der Darstellung auftauchen und berechne deren Größe.

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Lösung|
Lösung
|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-07T16:36:13Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

{{Box|Merksatz: Scheitelwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]
An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Nebenwinkel.jpg|rechts|150x150px]]
An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=
An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, '''Stufenwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man '''Wechselwinkel''', indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
=== Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

==Aufgabe 3: Wer bin ich? ==
===Winkeltyp 1===
Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen und immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

=== Winkeltyp 2===
Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 3===
Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 4===
Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich - wir haben '''immer''' die gleiche Winkelgröße. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben denselben Schnittpunkt der Geraden.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nich nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==
===Zeichnen ===
{{Box|Aufgabe 4.1.|Zeichne die Sprossenwand, die Bänke, den großen Kasten und die Linie (auf dem Boden) als Geraden in dein Heft. Übertrage außerdem die Winkel aus dem Foto in deine Zeichnung. (z.B. zwischen Bank und Sprossenwand).

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{
Lösung versteckt|
[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]
|Lösung|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

===Winkel benennen und berechnen===
{{Box|Aufgabe 4.2.|Benenne die Winkeltypen, die in der Darstellung auftauchen und berechne deren Größe.

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Lösung|
Lösung
|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}

Datei:Nebenwinkel.jpg

2024-11-07T16:33:27Z

Anne Uni MS-14: Hochgeladen mit VisualEditor Seite

{{Information
|description = Nebenwinkel
|source = Eigene Arbeit
|author = [[User:Anne Uni MS-14|Anne Uni MS-14]]
}}

== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/4.0/de}}

Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

2024-11-07T16:32:05Z

Anne Uni MS-14:

==Kapitel-Informationskästchen==

{{Box
|1=Info
|2=In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:
* In Aufgaben, die '''<span style="color: #F19E4F">orange</span>''' gefärbt sind, kannst du '''grundlegende Kompetenzen''' wiederholen und vertiefen.
* Aufgaben in '''<span style="color: #CD2990">pinker</span>''' Farbe sind '''Aufgaben mittlerer Schwierigkeit'''.
* Und Aufgaben in '''<span style="color: #5E43A5">lilaner</span>''' Farbe sind '''Knobelaufgaben'''.

Viel Erfolg!
|3=Kurzinfo}}

==Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen==
Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

{{Box|Merksatz: Scheitelwinkel|{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Scheitelwinkel.jpg|rechts|200x200px]]
An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel '''Scheitelwinkel'''. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α <math>=</math> β. |2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Nebenwinkel|{{Lösung versteckt|1=An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel '''Nebenwinkel'''. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β <math>=</math> 180°.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Stufenwinkel|{{Lösung versteckt|1=
An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, Stufenwinkel. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

{{Box|Merksatz: Wechselwinkel|{{Lösung versteckt|1=An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man Wechselwinkel, indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α<math>=</math> β.|2=Merksatz|3=Merksatz verbergen}}|Merksatz
}}

==Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen==
===Schwierigkeitsstufe I===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 1.jpg|zentriert|mini]]

{{Lösung versteckt|1= '''β=120°'''

mögliche Begründung:
: 1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.
: 2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

'''γ=60°'''

mögliche Begründungen:
: 1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.
: 2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

'''δ=120°'''

mögliche Begründungen:
: 1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.
: 2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.
: 3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = {{Farbe|orange}}
}}
===Schwierigkeitsstufe II===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 2.jpg|zentriert|mini|450x450px]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=70°'''

mögliche Begründung:
: α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

'''β=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.
: 2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

'''γ=110°'''

mögliche Begründungen:
: 1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.
: 2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

'''δ=80°'''

mögliche Begründung:
: δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

'''ε=100°'''

mögliche Begründung:
: ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.
|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}
===Schwierigkeitsstufe III===
{{Box|Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen|Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{Lösung versteckt|1= '''α=120°''' und '''β=60°'''

mögliche Begründung:
: α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

'''γ=120°'''

mögliche Begründung:
: Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.
[[Datei:Winkelgröße 3.2.jpg|rechts|rahmenlos]]

'''δ=66°'''

mögliche Begründung:
: Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

|2=Lösung|3=Lösung verbergen}}|Arbeitsmethode
}}

== Aufgabe 3: Wer bin ich? ==
===Winkeltyp 1===
Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen und immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Nebenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

=== Winkeltyp 2===
Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Stufenwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

===Winkeltyp 3===
Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden schwimmen. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Linien schneidet.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Wechselwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

=== Winkeltyp 4===
Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich - wir haben '''immer''' die gleiche Winkelgröße. Wer bin ich?
{{Lösung versteckt|1=Mein Partner und ich haben denselben Schnittpunkt der Geraden.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
{{Lösung versteckt|1=Wir liegen zwar nich nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
{{Lösung versteckt|1=Ich bin der Scheitelwinkel.|2=Lösung|3=Lösung}}

==Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle==
===Zeichnen===
{{Box|Aufgabe 4.1.|Zeichne die Sprossenwand, die Bänke, den großen Kasten und die Linie (auf dem Boden) als Geraden in dein Heft. Übertrage außerdem die Winkel aus dem Foto in deine Zeichnung. (z.B. zwischen Bank und Sprossenwand).

[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]

{{
Lösung versteckt|
[[Datei:Winkelgröße 3.1.jpg|zentriert|mini|450x450px|Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.]]
|Lösung|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode
| Farbe = #CD2990
}}

===Winkel benennen und berechnen===
{{Box|Aufgabe 4.2.|Benenne die Winkeltypen, die in der Darstellung auftauchen und berechne deren Größe.

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Erster Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Tipp|
Zweiter Tipp
|Tipp verbergen
}}

{{
Lösung versteckt|Lösung|
Lösung
|Lösung verbergen
}}|Arbeitsmethode|
}}